2017大一第一学期期末高数A试卷及答案
2017级高数一期末A解答(理工类多学时)(1)
2017级本科高等数学A （一）期末试题解答与评分标准A（理工类多学时）一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1．数列极限2lim (1)n n n n →∞+-的值为（ B ）.A ．0；B ．12； C ．1； D ．∞. 2．若函数1cos ,0(),0xx f x axb x ⎧->⎪=⎨⎪≤⎩在0x =处连续，则（ A ）. A . 12ab =； B . 12ab =-； C . 0ab =； D . 2ab =. 3．已知函数()sin f x x x =，则(0)f '的值为（ B ）. A ．1-； B ．0； C ．1； D ．不存在.4．已知函数32()26187f x x x x =---，则在[1,4]上的最大值为（ D ）. A . 3； B . 61-； C . 47-； D . 29-. 5．设2()f x dx x C =+⎰，则2(1)xf x dx -=⎰（ C ）.A ．222(1)x C -+； B ．222(1)x C --+；C ．221(1)2x C --+； D ．221(1)2x C -+. 6．一根长为1的细棒位于x 轴的区间[0,1]上，若其线密度为221x x ρ=-++，则该细棒的质量为（ A ）. A .53； B . 73； C . 1； D . 2. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7．()6sin 0lim 13kxx x e →+=（其中k 为常数），则k =2.8. 曲线22ln y x x =+在拐点处的微分dy =4dx . 解：222222(1)(1)2ln 22x x y x x y x y x x x +-'''=+⇒=+⇒=-=， 22(1)(1)01,1x x y x x x+-''==⇒==-（舍），且1,0;1,0x y x y ''''>><<，所以，拐点为（1,1），此处的微分为112(2)4x x dy x dx dx x===+=9．322(sin)x x dx πππ-+-=⎰32π．10．20sin()x d x t dt dx-=⎰2sin x . 11．D 是曲线段sin (0)2y x x π=≤≤及直线0,2y x π==所围成的平面图形，则D 绕x 轴旋转所得的旋转体的体积为24π.12．已知()y f x =的图像过点(0,0)，且与xy a =相切于点(1,2)，则10()xf x dx ''=⎰2ln 22-.解：因为()y f x =的图像过点(0,0)，所以，(0)0f =；而xy a =过点(1,2)，所以12a =，即2a =，曲线为2xy =，它在点(1,2)的切线的斜率为(1)2ln 2k y '==，又()y f x = x y a =相切于点(1,2)，所以(1)2f =，(1)2ln 2f '=，则1111100()()()()(1)()xf x dx xdf x xf x f x dx f f x ''''''==-=-⎰⎰⎰(1)(1)(0)2ln 22f f f '=-+=-三、解答题（本大题共8小题，每小题8分，共64分） 13. 求极限20cos limarcsin 5x x t dtx→⎰.解：原式20cos =lim5x x t dt x→⎰ （3分）20cos lim 5x x →= （3分） =15（2分） 14. 已知曲线()y y x =由方程1yy xe =+确定，求该曲线在点(1,0)-处的切线方程. 解：方程两边关于x 求导得：y y y e xe y ''=+ （2分）1yydy e dx xe =- （2分）12dy dx =（-1,0) （2分）则过点(1,0)-的切线方程为：1(1)2y x =+，即21y x =+ . （2分） 15. 设函数()y y x =由参数方程sin t x t e y t⎧=+⎨=⎩确定，求22t d ydx =.解：cos 1tdy dy dt tdx dx dt e ==+ （3分） 2223sin (1)cos 1sin (1)cos ==(1)1(1)t t t t t t t d y t e e t t e e tdx e e e -+--+-⋅+++ （3分） 221=8t d y dx =- （2分）16. 求不定积分e x x dx -⎰.解：原式x xde -=-⎰x x xe e dx --=-+⎰（4分）xx xee C --=--+(1)x x e C -=-++ （4分）17. 求定积分1cos 2x dx π+⎰．解：1cos 2x dx π+⎰202cos xdx π=⎰222(cos cos )xdx xdx πππ=-⎰⎰ （4分）2022(sin sin )xx πππ=-22= （4分）18. 求反常积分25143dx x x +∞-+⎰．解：2551143(1)(3)dx dx x x x x +∞+∞=-+--⎰⎰ 5111()231dx x x +∞=---⎰ 513ln21x x +∞-=- （4分）ln 22=（4分） 19. 已知曲线2:(0)L y x x =≥，点(0,0)O ，点(0,1)A ．设P 是L 上的动点，S 是直线OA与直线AP 及曲线L 所围图形的面积．若P 运动到点(2,4)时沿x 轴正向的速度是4，求此 时S 关于时间t 的变化率．解：设在t 时刻，P 点的坐标为((),())x t y t ，则1(1)2y S ydy y y =+-⎰3211+62y y =31162x x =+， 或者22200(1)(1)22x x y x x x S x dx x dx ++=-=-⎰⎰31126x x =+， （4分） 所以2()1122dS t dx dxxdt dt dt=+， （2分） 又(2,4)=4dx dt，故2(2,4)()11424=1022dS t dt=⋅+⋅⋅． （2分） 解法二：设在t 时刻，P 点的坐标为((),())x t y t ，则22200(1)(1)22x x y x x x S x dx x dx ++=-=-⎰⎰， （4分）22()1(3)2dS t dx dx dxx x dt dt dt dt=+-， （2分） 故(2,4)()1(4344)44=102dS t dt=+⋅⋅-⋅． （2分） 20. 设(0,1)x ∈，证明：22(1)ln (1)x x x ++<．解：令22()(1)ln (1)g x x x x =++-，则 （2分）2()ln (1)2ln(1)2g x x x x '=+++-，2()[ln(1)]1g x x x x''=+-+， （2分） 又由拉格朗日中值定理有，ln(1)ln(1)ln11xx x x ξ+=+-=<+，(0,01)x x ξ<<<< （或者令()ln(1)h x x x =+-，用单调性证明()(0)0h x h <=．） 则()0,(0,1)g x x ''<∈，所以()g x '在(0,1)上单调减少， 又(0)0g '=，所以当(0,1)x ∈时，()(0)0g x g ''<=，从而()g x 在(0,1)上单调减少，当(0,1)x ∈时，()(0)0g x g <=，故有22(1)ln (1)x x x ++<． （4分）。
大一(第一学期)高数期末考试题及答案
大一上学期高数期末考试之巴公井开创作一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分)1. )(0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f . （A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不成导.2. ）时（ ，则当，设133)(11)(3→-=+-=x x x x xx βα.（A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B ）()()x x αβ与是等价无穷小；（C ）()x α是比()x β高阶的无穷小； （D ）()x β是比()x α高阶的无穷小.3. 若()()()02xF x t x f t dt=-⎰，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且'>()0f x ，则（ ）.（A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值； （B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值；（C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点；（D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。
（A ）22x （B ）222x +（C ）1x - （D ）2x +.二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 4. =+→xx x sin 2)31(l i m .5.,)(cos 的一个原函数是已知x f xx=⋅⎰x xxx f d cos )(则.6.lim(cos cos cos )→∞-+++=22221n n nnnn ππππ .7. =-+⎰21212211arcsin －dx xx x .三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分）8. 设函数=()y y x 由方程sin()1x ye xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y .9.设函数)(x f 连续，=⎰10()()g x f xt dt，且→=0()limx f x A x ，A 为常数. 求'()g x 并讨论'()g x 在=0x 处的连续性.10. 求微分方程2ln xy y x x '+=满足=-1(1)9y 的解. 四、 解答题（本大题10分）11. 已知上半平面内一曲线)0()(≥=x x y y ，过点(,)01，且曲线上任一点M x y (,)00处切线斜率数值上等于此曲线与x 轴、y 轴、直线x x =0所围成面积的2倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程.五、解答题（本大题10分）12. 过坐标原点作曲线x y ln =的切线，该切线与曲线xy ln =及x 轴围成平面图形D.(1) 求D 的面积A ；(2) 求D 绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积V .六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共8分）13. 设函数)(x f 在[]0,1上连续且单调递减，证明对任意的[,]∈01q ，1()()≥⎰⎰qf x d x q f x dx.14. 设函数)(x f 在[]π,0上连续，且)(0=⎰πx d x f ，cos )(0=⎰πdx x x f .证明：在()π,0内至少存在两个分歧的点21,ξξ，使.0)()(21==ξξf f （提示：设⎰=xdxx f x F 0)()(）解答一、单项选择题(本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1、D 2、A 3、C 4、C 二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）5.6e. 6.cx x +2)cos (21 .7. 2π. 8.3π.三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 解：方程两边求导0,0x y ==，(0)1y '=-10. 解：767u x x dx du == 11.解：1033()x f x dx xe dx ---=+⎰⎰⎰12. 解：由(0)0f =，知(0)0g =。
大一(第一学期)高数期末考试题及答案
大一上学期高数期末考试一、单项选择题 （本大题有4小题， 每小题4分, 共16分） 1. )(0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f .（A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D)()f x 不可导。
2. ）时（ ，则当，设133)(11)(3→-=+-=x x x x xx βα。
（A)()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B ）()()x x αβ与是等价无穷小;（C)()x α是比()x β高阶的无穷小； （D ）()x β是比()x α高阶的无穷小.3. 若()()()02xF x t x f t dt=-⎰，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且'>()0f x ，则（ ）。
（A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值； （B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值；（C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点; （D)函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。
4.)()( , )(2)( )(1=+=⎰x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设（A ）22x （B)222x+（C ）1x - （D ）2x +。
二、填空题(本大题有4小题,每小题4分，共16分） 5. =+→xx x sin 2)31(lim .6. ,)(cos 的一个原函数是已知x f xx=⋅⎰x xxx f d cos )(则。
7.lim(cos cos cos )→∞-+++=22221n n nnnn ππππ .8. =-+⎰21212211arcsin －dx xx x 。
三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分)9. 设函数=()y y x 由方程sin()1x ye xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y 。
大一(第一学期)高数期末考试题及答案
大一上学期高数期末考试一、单项选择题 （本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )(0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f .(A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C)(0)0f '= （D)()f x 不可导.2. ）时（ ，则当，设133)(11)(3→-=+-=x x x x xx βα。
（A ）()()x x αβ与是同阶无穷小,但不是等价无穷小； （B)()()x x αβ与是等价无穷小;（C ）()x α是比()x β高阶的无穷小； （D)()x β是比()x α高阶的无穷小。
3. 若()()()02xF x t x f t dt=-⎰,其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且'>()0f x ，则( ).（A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值； （B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值;（C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点； （D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。
4.)()( , )(2)( )(1=+=⎰x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设(A ）22x （B ）222x+（C ）1x - （D ）2x +。
二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 5. =+→xx x sin 2)31(lim 。
6. ,)(cos 的一个原函数是已知x f xx=⋅⎰x xxx f d cos )(则.7.lim(cos cos cos )→∞-+++=22221n n nnnn ππππ 。
8. =-+⎰21212211arcsin －dx xx x .三、解答题(本大题有5小题,每小题8分，共40分）9. 设函数=()y y x 由方程sin()1x ye xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y . 10. .d )1(177x x x x ⎰+-求11. ． 求，， 设⎰--⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤=1 32)(1020)(dx x f x x x x xe x f x12. 设函数)(x f 连续,=⎰10()()g x f xt dt,且→=0()limx f x A x ,A 为常数。
大一上学期高数期末考试题
大一上学期(第一学期)高数期末考试题(有答案)(总5页)-本页仅作为预览文档封面，使用时请删除本页-大一上学期高数期末考试一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )(0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f .（A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导.2. ）时（ ，则当，设133)(11)(3→-=+-=x x x x xx βα.（A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B ）()()x x αβ与是等价无穷小；（C ）()x α是比()x β高阶的无穷小； （D ）()x β是比()x α高阶的无穷小.3. 若()()()02xF x t x f t dt=-⎰，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且'>()0f x ，则（ ）.（A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值； （B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值；（C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点；（D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。
4.)()( , )(2)( )(1=+=⎰x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设（A ）22x （B ）222x+（C ）1x - （D ）2x +.二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 5. =+→xx x sin 2)31(l i m .6. ,)(cos 的一个原函数是已知x f x x =⋅⎰x x xx f d cos )(则 .7.lim(cos cos cos )→∞-+++=22221n n nnnn ππππ .8. =-+⎰21212211arcsin －dx xx x .三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分）9. 设函数=()y y x 由方程sin()1x ye xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y .10. .d )1(177x x x x ⎰+-求11. ． 求，， 设⎰--⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤=1 32)(1020)(dx x f x x x x xe x f x12. 设函数)(x f 连续，=⎰10()()g x f xt dt，且→=0()limx f x A x ，A 为常数.求'()g x 并讨论'()g x 在=0x 处的连续性.13. 求微分方程2ln xy y x x '+=满足=-1(1)9y 的解.四、 解答题（本大题10分）14. 已知上半平面内一曲线)0()(≥=x x y y ，过点(,)01，且曲线上任一点M x y (,)00处切线斜率数值上等于此曲线与x 轴、y 轴、直线x x =0所围成面积的2倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程. 五、解答题（本大题10分）15. 过坐标原点作曲线x y ln =的切线，该切线与曲线x y ln =及x 轴围成平面图形D.(1) 求D 的面积A ；(2) 求D 绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积V . 六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共8分）16. 设函数)(x f 在[]0,1上连续且单调递减，证明对任意的[,]∈01q ，1()()≥⎰⎰qf x d x q f x dx.17. 设函数)(x f 在[]π,0上连续，且0)(0=⎰πx d x f ，cos )(0=⎰πdx x x f .证明：在()π,0内至少存在两个不同的点21,ξξ，使.0)()(21==ξξf f （提示：设⎰=xdxx f x F 0)()(）解答一、单项选择题(本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1、D 2、A 3、C 4、C二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）5. 6e . 6.c x x +2)cos (21 .7. 2π. 8.3π.三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 解：方程两边求导(1)cos()()0x ye y xy xy y +''+++=cos()()cos()x y x ye y xy y x e x xy +++'=-+0,0x y ==，(0)1y '=-10. 解：767u x x dx du == 1(1)112()7(1)71u du duu u u u -==-++⎰⎰原式 1(ln ||2ln |1|)7u u c =-++ 7712ln ||ln |1|77x x C =-++11. 解：1033()x f x dx xe dx ---=+⎰⎰⎰3()x xd e --=-+⎰⎰00232cos (1sin )x x xe e d x πθθθ----⎡⎤=--+-=⎣⎦⎰令3214e π=--12. 解：由(0)0f =，知(0)0g =。
大一上学期(第一学期)高数期末考试题(有答案)
大一上学期高数期末考试一、单项选择题 （本大题有4小题， 每小题4分， 共16分) 1. )(0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f 。
(A)(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C)(0)0f '= （D ）()f x 不可导.2. ）时（ ，则当，设133)(11)(3→-=+-=x x x x xx βα。
（A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B ）()()x x αβ与是等价无穷小;（C ）()x α是比()x β高阶的无穷小; (D ）()x β是比()x α高阶的无穷小.3. 若()()()02xF x t x f t dt=-⎰，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且'>()0f x ，则（ ）.（A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值； （B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值;（C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点； （D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。
4.)()( , )(2)( )(1=+=⎰x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设（A ）22x （B ）222x+（C ）1x - （D ）2x +。
二、填空题(本大题有4小题,每小题4分，共16分） 5. =+→xx x sin 2)31(l i m 。
6. ,)(cos 的一个原函数是已知x f xx=⋅⎰x xxx f d cos )(则.7.lim(cos cos cos )→∞-+++=22221n n nnnn ππππ 。
8. =-+⎰21212211arcsin －dx xx x 。
三、解答题（本大题有5小题,每小题8分，共40分）9. 设函数=()y y x 由方程sin()1x ye xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y 。
高数(大一上)期末试题及答案
高数(大一上)期末试题及答案第一学期期末考试试卷（1）课程名称：高等数学（上）考试方式：闭卷完成时限：120分钟班级：学号：姓名：得分：一、填空（每小题3分，满分15分）1.lim (3x^2+5)/ (5x+3x^2) = 02.设 f''(-1) = A，则 lim (f'(-1+h) - f'(-1))/h = A3.曲线 y = 2e^(2t) - t 在 t = 0 处切线方程的斜率为 44.已知 f(x) 连续可导，且 f(x)。
0，f(0) = 1，f(1) = e，f(2) = e，∫f(2x)dx = 1/2ex，则 f'(0) = 1/25.已知 f(x) = (1+x^2)/(1+x)，则 f'(0) = 1二、单项选择（每小题3分，满分15分）1.函数 f(x) = x*sinx，则 B 选项为正确答案，即当x → ±∞ 时有极限。
2.已知 f(x) = { e^x。
x < 1.ln x。
x ≥ 1 }，则 f(x) 在 x = 1 处的导数不存在，答案为 D。
3.曲线 y = xe^(-x^2) 的拐点是 (1/e。
1/(2e))，答案为 C。
4.下列广义积分中发散的是 A 选项，即∫dx/(x^2+x+1)在区间 (-∞。
+∞) 内发散。
5.若 f(x) 与 g(x) 在 (-∞。
+∞) 内可导，且 f(x) < g(x)，则必有 B 选项成立，即 f'(x) < g'(x)。
三、计算题（每小题7分，共56分）1.lim x^2(e^(2x)-e^(-x))/((1-cosx)sinx)lim x^2(e^(2x)-e^(-x))/((1-cosx)/x)*x*cosxlim x(e^(2x)-e^(-x))/(sinx/x)*cosxlim (2e^(2x)+e^(-x))/(cosx/x)应用洛必达法则)2.lim {arcsin(x+1) + arcsin(x-1) - 2arcsin(x)}/xlim {arcsin[(x+1)/√(1+(x+1)^2)] + arcsin[(x-1)/√(1+(x-1)^2)] - 2arcsin(x)/√(1+x^2)}lim {arcsin[(x+1)/√(1+(x+1)^2)] - arcsin(x/√(1+x^2)) + arcsin[(x-1)/√(1+(x-1)^2)] - arcsin(x/√(1+x^2))}lim {arcsin[(x+1)/√(1+(x+1)^2)] - arcsin(x/√(1+(x+1)^2)) + arcsin[(x-1)/√(1+(x-1)^2)] - arcsin(x/√(1+(x-1)^2))}lim {arcsin[(x+1)/√(1+(x+1)^2)] - arcsin[(x-1)/√(1+(x-1)^2)]} π/2 (应用洛必达法则)3.y = y(x) 由 x + y - 3 = 0 确定，即 y = 3 - x，因此 dy/dx = -1.4.f(x) = arctan(2x-9) - arctan(x-3) 的导数为 f'(x) = 1/[(2x-9)^2+1] - 1/[(x-3)^2+1]，因此 f'(x)。
2017级高数一期末A解答(理工类多学时)(1)
2017级本科高等数学A （一）期末试题解答与评分标准A（理工类多学时）一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1．数列极限2lim (1)n n n n →∞+-的值为（ B ）.A ．0；B ．12； C ．1； D ．∞. 2．若函数1cos ,0(),0xx f x axb x ⎧->⎪=⎨⎪≤⎩在0x =处连续，则（ A ）. A . 12ab =； B . 12ab =-； C . 0ab =； D . 2ab =. 3．已知函数()sin f x x x =，则(0)f '的值为（ B ）. A ．1-； B ．0； C ．1； D ．不存在.4．已知函数32()26187f x x x x =---，则在[1,4]上的最大值为（ D ）. A . 3； B . 61-； C . 47-； D . 29-. 5．设2()f x dx x C =+⎰，则2(1)xf x dx -=⎰（ C ）.A ．222(1)x C -+； B ．222(1)x C --+；C ．221(1)2x C --+； D ．221(1)2x C -+. 6．一根长为1的细棒位于x 轴的区间[0,1]上，若其线密度为221x x ρ=-++，则该细棒的质量为（ A ）. A .53； B . 73； C . 1； D . 2. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7．()6sin 0lim 13kxx x e →+=（其中k 为常数），则k =2.8. 曲线22ln y x x =+在拐点处的微分dy =4dx . 解：222222(1)(1)2ln 22x x y x x y x y x x x +-'''=+⇒=+⇒=-=， 22(1)(1)01,1x x y x x x+-''==⇒==-（舍），且1,0;1,0x y x y ''''>><<，所以，拐点为（1,1），此处的微分为112(2)4x x dy x dx dx x===+=9．322(sin)x x dx πππ-+-=⎰32π．10．20sin()x d x t dt dx-=⎰2sin x . 11．D 是曲线段sin (0)2y x x π=≤≤及直线0,2y x π==所围成的平面图形，则D 绕x 轴旋转所得的旋转体的体积为24π.12．已知()y f x =的图像过点(0,0)，且与xy a =相切于点(1,2)，则10()xf x dx ''=⎰2ln 22-.解：因为()y f x =的图像过点(0,0)，所以，(0)0f =；而xy a =过点(1,2)，所以12a =，即2a =，曲线为2xy =，它在点(1,2)的切线的斜率为(1)2ln 2k y '==，又()y f x = x y a =相切于点(1,2)，所以(1)2f =，(1)2ln 2f '=，则1111100()()()()(1)()xf x dx xdf x xf x f x dx f f x ''''''==-=-⎰⎰⎰(1)(1)(0)2ln 22f f f '=-+=-三、解答题（本大题共8小题，每小题8分，共64分） 13. 求极限20cos limarcsin 5x x t dtx→⎰.解：原式20cos =lim5x x t dt x→⎰ （3分）20cos lim 5x x →= （3分） =15（2分） 14. 已知曲线()y y x =由方程1yy xe =+确定，求该曲线在点(1,0)-处的切线方程. 解：方程两边关于x 求导得：y y y e xe y ''=+ （2分）1yydy e dx xe =- （2分）12dy dx =（-1,0) （2分）则过点(1,0)-的切线方程为：1(1)2y x =+，即21y x =+ . （2分） 15. 设函数()y y x =由参数方程sin t x t e y t⎧=+⎨=⎩确定，求22t d ydx =.解：cos 1tdy dy dt tdx dx dt e ==+ （3分） 2223sin (1)cos 1sin (1)cos ==(1)1(1)t t t t t t t d y t e e t t e e tdx e e e -+--+-⋅+++ （3分） 221=8t d y dx =- （2分）16. 求不定积分e x x dx -⎰.解：原式x xde -=-⎰x x xe e dx --=-+⎰（4分）xx xee C --=--+(1)x x e C -=-++ （4分）17. 求定积分1cos 2x dx π+⎰．解：1cos 2x dx π+⎰202cos xdx π=⎰222(cos cos )xdx xdx πππ=-⎰⎰ （4分）2022(sin sin )xx πππ=-22= （4分）18. 求反常积分25143dx x x +∞-+⎰．解：2551143(1)(3)dx dx x x x x +∞+∞=-+--⎰⎰ 5111()231dx x x +∞=---⎰ 513ln21x x +∞-=- （4分）ln 22=（4分） 19. 已知曲线2:(0)L y x x =≥，点(0,0)O ，点(0,1)A ．设P 是L 上的动点，S 是直线OA与直线AP 及曲线L 所围图形的面积．若P 运动到点(2,4)时沿x 轴正向的速度是4，求此 时S 关于时间t 的变化率．解：设在t 时刻，P 点的坐标为((),())x t y t ，则1(1)2y S ydy y y =+-⎰3211+62y y =31162x x =+， 或者22200(1)(1)22x x y x x x S x dx x dx ++=-=-⎰⎰31126x x =+， （4分） 所以2()1122dS t dx dxxdt dt dt=+， （2分） 又(2,4)=4dx dt，故2(2,4)()11424=1022dS t dt=⋅+⋅⋅． （2分） 解法二：设在t 时刻，P 点的坐标为((),())x t y t ，则22200(1)(1)22x x y x x x S x dx x dx ++=-=-⎰⎰， （4分）22()1(3)2dS t dx dx dxx x dt dt dt dt=+-， （2分） 故(2,4)()1(4344)44=102dS t dt=+⋅⋅-⋅． （2分） 20. 设(0,1)x ∈，证明：22(1)ln (1)x x x ++<．解：令22()(1)ln (1)g x x x x =++-，则 （2分）2()ln (1)2ln(1)2g x x x x '=+++-，2()[ln(1)]1g x x x x''=+-+， （2分） 又由拉格朗日中值定理有，ln(1)ln(1)ln11xx x x ξ+=+-=<+，(0,01)x x ξ<<<< （或者令()ln(1)h x x x =+-，用单调性证明()(0)0h x h <=．） 则()0,(0,1)g x x ''<∈，所以()g x '在(0,1)上单调减少， 又(0)0g '=，所以当(0,1)x ∈时，()(0)0g x g ''<=，从而()g x 在(0,1)上单调减少，当(0,1)x ∈时，()(0)0g x g <=，故有22(1)ln (1)x x x ++<． （4分）。
大一第一学期期末高等数学上试题及答案
1、(本小题5分)2、(本小题5分)3、(本小题5分)4、(本小题5分)5、(本小题5分)6、(本小题5分)（第七题删掉了）8、(本小题5分)9、(本小题5分)10、(本小题5分)11、(本小题5分)12、(本小题5分)13、(本小题5分)14、(本小题5分)15、(本小题5分)16、(本小题5分)二、解答下列各题(本大题共2小题，总计14分)1、(本小题7分)2、(本小题7分)三、解答下列各题( 本大题6分 )(答案)一、解答下列各题(本大题共16小题，总计77分)1、(本小题3分)2、(本小题3分)3、(本小题3分)4、(本小题3分)5、(本小题3分)6、(本小题4分)8、(本小题4分)9、(本小题4分)10、(本小题5分)解：),(+∞-∞函数定义域11、(本小题5分)12、(本小题6分)解：dx x t dt='()13、(本小题6分)14、(本小题6分)解：定义域，且连续(),-∞+∞15、(本小题8分)16、(本小题10分)二、解答下列各题(本大题共2小题，总计13分)1、(本小题5分)2、(本小题8分)三、解答下列各题( 本 大 题10分 )一、 填空题（每小题3分，本题共15分）1、.______)31(lim 20=+→xx x 。
2、当 时，⎪⎩⎪⎨⎧>+≤=00e )(2x k xx x f x在0=x 处连续．3、设x x y ln +=,则______=dy dx4、曲线x e y x -=在点（0，1）处的切线方程是5、若⎰+=C x dx x f 2sin )(，C 为常数，则=)(x f 。
二、 单项选择题（每小题3分，本题共15分）1、若函数x xx f =)(，则=→)(lim 0x f x （ ）A 、0B 、1-C 、1D 、不存在2、下列变量中，是无穷小量的为（ ） A. )0(1ln +→x x B. )1(ln →x x C. )0(cosx →x D. )2(422→--x x x3、满足方程0)(='x f 的x 是函数)(x f y =的（ ）．A ．极大值点B ．极小值点C ．驻点D ．间断点4、下列无穷积分收敛的是（ ）A 、⎰+∞0sin xdxB 、dx e x ⎰+∞-02C 、dx x ⎰+∞01D 、dx x⎰+∞01 5、设空间三点的坐标分别为M （1，1，1）、A （2，2，1）、B （2，1，2）。
大一(第一学期)高数期末考试题及答案
创作编号：GB8878185555334563BT9125XW创作者： 凤呜大王*大一上学期高数期末考试一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )(0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f .（A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导.2. ）时（ ，则当，设133)(11)(3→-=+-=x x x x xx βα.（A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B ）()()x x αβ与是等价无穷小；（C ）()x α是比()x β高阶的无穷小； （D ）()x β是比()x α高阶的无穷小.3. 若()()()02xF x t x f t dt=-⎰，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且'>()0f x ，则（ ）.（A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值； （B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值；（C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点；（D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。
4.)()( , )(2)( )(10=+=⎰x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设（A ）22x （B ）222x+（C ）1x - （D ）2x +.二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 5. =+→xx x sin 2)31(lim .6.,)(cos 的一个原函数是已知x f xx=⋅⎰x xxx f d cos )(则.7.lim (cos cos cos )→∞-+++=22221n n n n n nππππ.8. =-+⎰21212211arcsin －dx xx x .三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分）9. 设函数=()y y x 由方程sin()1x ye xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y .10. .d )1(177x x x x ⎰+-求11. ． 求，， 设⎰--⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤=1 32)(1020)(dx x f x x x x xe x f x12. 设函数)(x f 连续，=⎰10()()g x f xt dt，且→=0()limx f x A x ，A 为常数. 求'()g x 并讨论'()g x 在=0x 处的连续性.13. 求微分方程2ln xy y x x '+=满足=-1(1)9y 的解.四、 解答题（本大题10分）14. 已知上半平面内一曲线)0()(≥=x x y y ，过点(,)01，且曲线上任一点M x y (,)00处切线斜率数值上等于此曲线与x 轴、y 轴、直线x x =0所围成面积的2倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程. 五、解答题（本大题10分）15. 过坐标原点作曲线x y ln =的切线，该切线与曲线x y ln =及x轴围成平面图形D.(1) 求D 的面积A ；(2) 求D 绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积V .六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共8分）16. 设函数)(x f 在[]0,1上连续且单调递减，证明对任意的[,]∈01q ，1()()≥⎰⎰qf x d x q f x dx.17. 设函数)(x f 在[]π,0上连续，且)(0=⎰πx d x f ，cos )(0=⎰πdx x x f .证明：在()π,0内至少存在两个不同的点21,ξξ，使.0)()(21==ξξf f （提示：设⎰=xdxx f x F 0)()(）解答一、单项选择题(本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1、D 2、A 3、C 4、C二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）5. 6e . 6.c x x +2)cos (21 .7. 2π. 8.3π.三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 解：方程两边求导(1)cos()()0x ye y xy xy y +''+++=cos()()cos()x y x ye y xy y x e x xy +++'=-+0,0x y ==，(0)1y '=-10. 解：767u x x dx du == 1(1)112()7(1)71u du duu u u u -==-++⎰⎰原式创作编号：GB8878185555334563BT9125XW创作者： 凤呜大王*1(ln ||2ln |1|)7u u c =-++ 7712ln ||ln |1|77x x C =-++11. 解：1033()x f x dx xe dx ---=+⎰⎰⎰3()x xd e --=-+⎰⎰00232cos (1sin )x xxe e d x πθθθ----⎡⎤=--+-=⎣⎦⎰令3214e π=--12. 解：由(0)0f =，知(0)0g =。
大一(第一学期)高数期末考试题及答案
大一上学期高数期末考试一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )(0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f .（A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导.2. ）时（ ，则当，设133)(11)(3→-=+-=x x x x xx βα.（A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B ）()()x x αβ与是等价无穷小；（C ）()x α是比()x β高阶的无穷小； （D ）()x β是比()x α高阶的无穷小.3. 若()()()02xF x t x f t dt=-⎰，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且'>()0f x ，则（ ）.（A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值； （B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值；（C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点； （D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。
4.)()( , )(2)( )(1=+=⎰x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设（A ）22x （B ）222x+（C ）1x - （D ）2x +.二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 5. =+→xx x sin 2)31(lim .6. ,)(cos 的一个原函数是已知x f xx=⋅⎰x xxx f d cos )(则.7.lim(cos cos cos )→∞-+++=22221n n nnnn ππππ .8. =-+⎰21212211arcsin －dx xx x .三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分）9. 设函数=()y y x 由方程sin()1x ye xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y . 10. .d )1(177x x x x ⎰+-求11. ． 求，， 设⎰--⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤=1 32)(1020)(dx x f x x x x xe x f x12. 设函数)(x f 连续，=⎰10()()g x f xt dt，且→=0()limx f x A x ，A 为常数. 求'()g x 并讨论'()g x 在=0x 处的连续性.13. 求微分方程2ln xy y x x '+=满足=-1(1)9y 的解.四、 解答题（本大题10分）14. 已知上半平面内一曲线)0()(≥=x x y y ，过点(,)01，且曲线上任一点M x y (,)00处切线斜率数值上等于此曲线与x 轴、y 轴、直线x x =0所围成面积的2倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程. 五、解答题（本大题10分）15. 过坐标原点作曲线x y ln =的切线，该切线与曲线x y ln =及x 轴围成平面图形D.(1) 求D 的面积A ；(2) 求D 绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积V .六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共8分）16. 设函数)(x f 在[]0,1上连续且单调递减，证明对任意的[,]∈01q ，1()()≥⎰⎰qf x d x q f x dx.17. 设函数)(x f 在[]π,0上连续，且0)(0=⎰πx d x f ，0cos )(0=⎰πdx x x f .证明：在()π,0内至少存在两个不同的点21,ξξ，使.0)()(21==ξξf f （提示：设⎰=xdxx f x F 0)()(）解答一、单项选择题(本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1、D 2、A 3、C 4、C二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）5. 6e . 6.c x x +2)cos (21 .7. 2π. 8.3π.三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 解：方程两边求导(1)cos()()0x y e y xy xy y +''+++= cos()()cos()x y x ye y xy y x e x xy +++'=-+0,0x y ==，(0)1y '=-10. 解：767u x x dx du == 1(1)112()7(1)71u du duu u u u -==-++⎰⎰原式 1(ln ||2ln |1|)7u u c =-++ 7712ln ||ln |1|77x x C =-++11. 解：1033()x f x dx xe dx ---=+⎰⎰⎰03()x xd e --=-+⎰⎰0232cos (1sin )x x xe e d x πθθθ----⎡⎤=--+-=⎣⎦⎰ 令3214e π=--12. 解：由(0)0f =，知(0)0g =。
大一(第一学期)高数期末考试题及答案
大一上学期高数期末考试一、单项选择题 （本大题有4小题， 每小题4分， 共16分） 1. )(0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f .（A)(0)2f '= (B)(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导。
2. ）时（ ，则当，设133)(11)(3→-=+-=x x x x xx βα。
(A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小; (B ）()()x x αβ与是等价无穷小;（C ）()x α是比()x β高阶的无穷小； (D ）()x β是比()x α高阶的无穷小。
3. 若()()()02xF x t x f t dt=-⎰，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且'>()0f x ，则( )。
(A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值； (B)函数()F x 必在0x =处取得极小值；（C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点; （D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点.4.)()( , )(2)( )(1=+=⎰x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设（A)22x (B ）222x+(C ）1x - （D)2x +。
二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分) 5. =+→xx x sin 2)31(lim 。
6.,)(cos 的一个原函数是已知x f xx=⋅⎰x xxx f d cos )(则。
7.lim (cos cos cos )→∞-+++=22221n n n n n n ππππ 。
8. =-+⎰21212211arcsin －dx xx x 。
三、解答题(本大题有5小题，每小题8分，共40分)9. 设函数=()y y x 由方程sin()1x ye xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y 。
2017-2018高等数学A(1) A卷 答案
2017/2018学年第一学期 高等数学A1课程考核试卷 A ■、B□参考答案一、填空题或选择填空题 (每小题 3分，满分15分) 1. 当0x →1−与是等价无穷小，则ax 12a=；(等价无穷小112x −∼) 2. 设，则(1)1f ′=0(1)(1)lim2x f x f x x→+−−=；(导数定义 00(1)(1)(1)(1)(1)(1)limlim 2(1)2x x f x f x f x f f x f f x x x →→+−−+−−−⎡⎤′=+=⎢⎥−⎣⎦=0) 3. 若函数由确定，则()y y x =e e xyx y +−=0d d x y x==；(微分形式：0d (0x y y =′=)d x xyy x y y )(隐函数求导：当时，，0x =0y =e e 0′′++−=，则e e x y y+′=，进而)(0)1y ′=y x−4. 设函数3()f x x =−x ，则在内(0,1)B()A 存在ξ，使得()2f ξ′=− ()B 存在ξ，使得()0f ξ′= ()C 存在ξ，使得()2f ξ′= (存在)D ξ，使得()3f ξ′=；(罗尔定理：()f x 在[0上连续，在(0内可导，,1],1)(0)(1)f f =，由罗尔定理知，(0,1)ξ∃∈，使得()0f ξ′=) 5. 若()f x 满足201()()d 11xf x f t t x =++∫，则C()A (0)0f ′= ()B (0)1f ′= ()C (0)2f ′= 无法确定()D (0)f ′的值.(导数定义结合洛必达法则和积分上限函数求导：(0)1f =，00022000()(0)(0)lim lim li 1()d ()d m lim 22(0)2(1)2121()x x x xx x f t t f t t f x f f f x f x x x x x x →→→→−′=====+++∫∫=)二、计算下列各题（每小题6分，共48分）1. 10(1)e limxx x x →+−； (0洛必达法则或者等价无穷小)解：(洛必达法则结合幂指函数求导)11ln(1)ln(1)20000(1)ln(1)(1)e 1lim lim lim e lim e 1x x x x x x x x x x x x x x x x x ++→→→→′⎡⎤+⎢⎥−+′⎡⎤+−⎣⎦+===⋅⎢⎥⎣⎦ln(1)22000(1)ln(1)ln(1)elim elime lim e lim (1)23232x xx x x x x x x x x x x x x x x +→→→→−++−+−−=⋅=⋅=⋅=+++2.(等价无穷小结合洛必达法则) 1ln(1)ln(1)1200000ln(1)1(1)e eee(e1)ln(1)limlimlimelim elim x x x xxx x x x x x x x x x xxxx++−→→→→→x +−+−−−+−==== 0011e 1elimelim 22(1)x x x x x x x →→−−+==+2=−. 2. 设33cos ,sin ,x t y t ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 求22π4d d x y x =； (参数方程求导)解：2d 3cos sin d x t t =−t , 2d 3sin cos d y t t t =, 22d 3sin cos tan d 3cos sin y t t t x t t==−−， 22224d 3cos si sec 1d 3o n c n t t y ts si t t −==−, 22π4d d 3x y x==. x3.∫； (三角换元)解：令tan x t =，则2d sec d x t t =2csc d ln |csc cot |ln t t t t C C ==−+=∫+； 4.2(2+3)d 25x xx x ++∫；(分母二次的有理函数----凑微分)解：222222(2+3)d (25)+1d d(25)1d(1)252525(1)4x x x x x x x x x x x x x x x ′++++==+++++++++∫∫∫∫+ 211ln (25)arc tan 22x x x C +=++++； 5.e 1eln d x x ∫； (去绝对值，分部积分)解：[][]e 1e1e11111ee e2ln d (ln )d ln d ln ln 2e x x x x x x x x x x x x =−+=−−+−=−∫∫∫；6.1x +∞∫；(反常积分，倒代换)解：令1x t =，则21d d x t t =−，111211002(1)x t t t −+∞⎡⎤===−+=⎢⎥⎣⎦∫∫∫2；7. 求微分方程满足，2()0y y y ′′′−=(0)1y =(0)2y ′=的解； (可降阶微分方程) 解：令d d y p x =，则d d p y py ′′=，代入方程得2d 0d p y p p y −=，从而d 0d py p y−=，(舍) 0p = 分离变量得d d p yp y=，两边积分得 1ln ||ln ||ln ||p y C =+，则1p C y = 由，(0)1y =(0)2y ′=得，则12C =d 2d yy x=，分离变量的d 2d y x y =， 两边积分得2ln ||2ln ||y x C =+，即22e xy C =，由(0)1y =得21C =，故2e xy =；8. 求函数的极值.2(1)y x x =−3)解：，(,D =−∞+∞32222(1)3(1)(1)(52)y x x x x x x x ′=−+−=−−当，0x =2x =，1x =时， 0y ′= 故极小值为()53125y =−(0)0y =.，极大值为 三、(8分) 设0α>，讨论函数1sin ,0(),x x f x xx αβ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩在0x =处的连续性与可导性.解：因0α>，则01lim sin0x x xα→=，(0)f β= 当0β=时，，0lim ()(0)0x f x f →==100()(0)1(0)limlim sin x x f x f f x x xα−→→−′== 当1α>时，；当(0)0f ′=01α<≤时，(0)f ′不存在. 故当0α>，0β≠时，()f x 在0x =处不连续且不可导. 当01α<≤，0β=时，()f x 在0x =处连续但不可导.当1α>，0β=时，()f x 在处连续且可导.0x = 四、(8分) 求由曲线y x =，及ln y x =0y =，1y =围成平面图形的面积，并求此图形绕x 轴旋转而成的旋转体的体积.为积分变量)：面积121003(e )d e e 22yy y A y y ⎡⎤=−=−=−⎢⎥⎣⎦∫ y 解：(选择 体积131004π2π(e )d 2πe e 33y y yx y V y y y y ⎡⎤=−=−−=⎢⎥⎣⎦∫； 为积分变量): 面积[]121ee10103d (1ln )d ln e 22x A x x x x x x x x ⎡⎤=+−=+−+=−⎢⎥⎣⎦∫∫x (选择 体积131ee 22221014ππd π(1ln )d ππln 2ln 233x x V x x x x x x x x x x ⎡⎤⎡⎤=+−=+−+−=⎢⎥⎣⎦⎣⎦∫∫. 五、(7分) 求微分方程369e xy y y ′′′−+=的通解.解: 特征方程: 特征根 269r r −+=0123r r ==，对应齐次方程通解 312()e x Y C C x =+ 因3λ=是特征重根 设非齐次方程特解为23*e xy ax =， 代入方程得12a =故所求通解23312*()e e 2xxx y Y y C C x =+=++.六、(6分) 设()f x 是[0上单调递减连续函数，证明：对于任意,1](0,1)a ∈，成立不等式1()d ()d a f x x a f x x ≥∫∫.证明: 令0()d ()a f x x g a a=∫， (构造函数，利用单调性证明) (a 为自变量)0a <<1 则02()()d ()af a a f x xg a a⋅−′=∫，由积分中值定理知，()d ()a f x x f a ξ=⋅∫，0a ξ<<从而()()()f a f g a aξ−′=，因()f x 在[0上单调减少，则,1]()()f a f ξ≤，进而，故在(0上单调减少，，()0g a ′≤()g a ,1)10()(1)()d g a g f x x ≥=∫即1()d ()d a f x x a f x x ≥∫∫，(01)a <<.(另法) 令 (为了利用单调性，分割区间)100()()d ()d a g a f x x a f x x =−∫∫ 则11()()d (()d ()d )(1)()d ()d aa a aag a f x x a f x x f x x a f x x a f x x =−+=−−∫∫∫∫∫ 由积分中值定理知，10()d ()a f x x f a ξ=⋅∫，01a <，12()d ()(1)af x x f a ξ=⋅−∫，a 21<<<ξξ 从而12()(1)()(1)()g a a a f a a f ξξ=−⋅⋅−−⋅⋅因()f x 在[0上单调减少，,1]1201a ξξ<<<<，则12()()f f ξξ≥故，即()0g a ≥1()d ()d a f x x a f x x ≥∫∫，(01)a <<.七、(8分) 设()f x ，在[,上具有二阶导数，()g x ]a b ()()f a g a =，()()f b g b =，()()f x g x ≠，且在内(,)a b ()f x 与取得相等的最大值.()g x 证明：(1) 存在(,)a b ξ∈，使得()()f g ξξ=；(2) 存在(,)a b η∈，使得()()f g ηη′′′′=. 证明：(1) 若()f x 与均在()g x 0x 点取得相等的最大值，即00()()f x g x =，取0(,)x a b ξ=∈即可 若()f x 与分别在点()g x 1x 与点2x 取得最大值，即12()()f x g x M ==，不妨设12x x <令，则在()()()F x f x g x =−()F x 12[,]x x 上连续，且1111()()()()0F x f x g x M g x =−=−>， 2222()()()()0F x f x g x f x M =−=−<由零点定理知，12(,)(,)x x a b ξ∃∈⊂，使得()0F ξ=，即()()f g ξξ=.(2) 因()()f a g a =，()()f g ξξ=，()()f b g b =，则()()()0F a F F b ξ===()F x 在[,]a ξ，[,]b ξ上连续，在(,)a ξ，(,)b ξ内可导， ()()()0F a F F b ξ===由罗尔定理知，1(,)a ξξ∃∈，2(,)b ξξ∈，使得1()0F ξ′=，2()0F ξ′=()F x ′在12[,]ξξ上连续，在12(,)ξξ内可导， 12()()F F ξξ′′=由罗尔定理知，12(,)(,)a b ηξξ∃∈⊂，使得()0F η′′=，即()()f g ηη′′′′=.。
大一(第一学期)高数期末考试题及答案
大一上学期高数期末考试一、单项选择题 （本大题有4小题, 每小题4分， 共16分） 1. )(0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f 。
（A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C)(0)0f '= (D ）()f x 不可导。
2. ）时（ ，则当，设133)(11)(3→-=+-=x x x x xx βα。
(A)()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小; （B)()()x x αβ与是等价无穷小;（C ）()x α是比()x β高阶的无穷小; （D)()x β是比()x α高阶的无穷小。
3. 若()()()02xF x t x f t dt=-⎰,其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且'>()0f x ，则（ ）。
（A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值； （B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值；（C ）函数()F x 在0x =处没有极值,但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点； (D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。
4.)()( , )(2)( )(1=+=⎰x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设（A ）22x （B)222x+（C)1x - （D ）2x +。
二、填空题（本大题有4小题,每小题4分，共16分) 5. =+→xx x sin 2)31(lim .6.,)(cos 的一个原函数是已知x f xx=⋅⎰x xxx f d cos )(则。
7.lim (cos cos cos )→∞-+++=22221n n n n n n ππππ .8. =-+⎰21212211arcsin －dx xx x 。
三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分）9. 设函数=()y y x 由方程sin()1x ye xy ++=确定,求'()y x 以及'(0)y . 10. .d )1(177x x x x ⎰+-求11. ． 求，， 设⎰--⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤=1 32)(1020)(dx x f x x x x xe x f x12. 设函数)(x f 连续，=⎰10()()g x f xt dt，且→=0()limx f x A x ，A 为常数。
大一(第一学期)高数期末考试题及答案
大一上学期高数期末考试一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )(0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f .（A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导.2. ）时（ ，则当，设133)(11)(3→-=+-=x x x x xx βα.（A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B ）()()x x αβ与是等价无穷小；（C ）()x α是比()x β高阶的无穷小； （D ）()x β是比()x α高阶的无穷小.3. 若()()()02xF x t x f t dt=-⎰，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且'>()0f x ，则（ ）.（A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值； （B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值；（C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点； （D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。
4.)()( , )(2)( )(1=+=⎰x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设（A ）22x （B ）222x +（C ）1x - （D ）2x +.二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 5. =+→xx x sin 2)31(lim .6. ,)(cos 的一个原函数是已知x f xx=⋅⎰x xxx f d cos )(则.7.lim(cos cos cos )→∞-+++=22221n n nnnn ππππ .8. =-+⎰21212211arcsin －dx xx x .三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分）9. 设函数=()y y x 由方程sin()1x ye xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y . 10. .d )1(177x x x x ⎰+-求11. ． 求，， 设⎰--⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤=1 32)(1020)(dx x f x x x x xe x f x12. 设函数)(x f 连续，=⎰10()()g x f xt dt，且→=0()limx f x A x ，A 为常数. 求'()g x 并讨论'()g x 在=0x 处的连续性.13. 求微分方程2ln xy y x x '+=满足=-1(1)9y 的解.四、 解答题（本大题10分）14. 已知上半平面内一曲线)0()(≥=x x y y ，过点(,)01，且曲线上任一点M x y (,)00处切线斜率数值上等于此曲线与x 轴、y 轴、直线x x =0所围成面积的2倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程. 五、解答题（本大题10分）15. 过坐标原点作曲线x y ln =的切线，该切线与曲线x y ln =及x 轴围成平面图形D.(1) 求D 的面积A ；(2) 求D 绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积V .六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共8分）16. 设函数)(x f 在[]0,1上连续且单调递减，证明对任意的[,]∈01q ，1()()≥⎰⎰qf x d x q f x dx.17. 设函数)(x f 在[]π,0上连续，且0)(0=⎰πx d x f ，0cos )(0=⎰πdx x x f .证明：在()π,0内至少存在两个不同的点21,ξξ，使.0)()(21==ξξf f （提示：设⎰=xdxx f x F 0)()(）解答一、单项选择题(本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1、D 2、A 3、C 4、C二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）5. 6e . 6.c x x +2)cos (21 .7. 2π. 8.3π.三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 解：方程两边求导(1)cos()()0x y e y xy xy y +''+++= cos()()cos()x y x ye y xy y x e x xy +++'=-+0,0x y ==，(0)1y '=-10. 解：767u x x dx du == 1(1)112()7(1)71u du duu u u u -==-++⎰⎰原式 1(ln ||2ln |1|)7u u c =-++ 7712ln ||ln |1|77x x C =-++11. 解：1033()x f x dx xe dx ---=+⎰⎰⎰3()x xd e --=-+⎰⎰0232cos (1sin )x x xe e d x πθθθ----⎡⎤=--+-=⎣⎦⎰ 令3214e π=--12. 解：由(0)0f =，知(0)0g =。
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大一上学期高数期末考试一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )(0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f .（A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导.2. ）时（ ，则当，设133)(11)(3→-=+-=x x x x xx βα.（A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B ）()()x x αβ与是等价无穷小；（C ）()x α是比()x β高阶的无穷小； （D ）()x β是比()x α高阶的无穷小.3. 若()()()02xF x t x f t dt=-⎰，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且'>()0f x ，则（ ）.（A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值； （B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值；（C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点； （D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。
4.)()( , )(2)( )(1=+=⎰x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设（A ）22x （B ）222x+（C ）1x - （D ）2x +.二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 5. =+→xx x sin 2)31(lim .6. ,)(cos 的一个原函数是已知x f xx=⋅⎰x xxx f d cos )(则.7.lim(cos cos cos )→∞-+++=22221n n nnnn ππππ .8. =-+⎰21212211arcsin －dx xx x .三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分）9. 设函数=()y y x 由方程sin()1x ye xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y . 10. .d )1(177x x x x ⎰+-求11. ． 求，， 设⎰--⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤=1 32)(1020)(dx x f x x x x xe x f x12. 设函数)(x f 连续，=⎰10()()g x f xt dt，且→=0()limx f x A x ，A 为常数. 求'()g x 并讨论'()g x 在=0x 处的连续性.13. 求微分方程2ln xy y x x '+=满足=-1(1)9y 的解.四、 解答题（本大题10分）14. 已知上半平面内一曲线)0()(≥=x x y y ，过点(,)01，且曲线上任一点M x y (,)00处切线斜率数值上等于此曲线与x 轴、y 轴、直线x x =0所围成面积的2倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程. 五、解答题（本大题10分）15. 过坐标原点作曲线x y ln =的切线，该切线与曲线x y ln =及x 轴围成平面图形D.(1) 求D 的面积A ；(2) 求D 绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积V .六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共8分）16. 设函数)(x f 在[]0,1上连续且单调递减，证明对任意的[,]∈01q ，1()()≥⎰⎰qf x d x q f x dx.17. 设函数)(x f 在[]π,0上连续，且0)(0=⎰πx d x f ，0cos )(0=⎰πdx x x f .证明：在()π,0内至少存在两个不同的点21,ξξ，使.0)()(21==ξξf f （提示：设⎰=xdxx f x F 0)()(）解答一、单项选择题(本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1、D 2、A 3、C 4、C二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）5. 6e . 6.c x x +2)cos (21 .7. 2π. 8.3π.三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 解：方程两边求导(1)cos()()0x y e y xy xy y +''+++= cos()()cos()x y x ye y xy y x e x xy +++'=-+0,0x y ==，(0)1y '=-10. 解：767u x x dx du == 1(1)112()7(1)71u du duu u u u -==-++⎰⎰原式 1(ln ||2ln |1|)7u u c =-++ 7712ln ||ln |1|77x x C =-++11. 解：1033()x f x dx xe dx ---=+⎰⎰⎰03()x xd e --=-+⎰⎰0232cos (1sin )x x xe e d x πθθθ----⎡⎤=--+-=⎣⎦⎰ 令3214e π=--12. 解：由(0)0f =，知(0)0g =。
2017级第一学期《高等数学》期末考试试卷(A类)
2017级第一学期《高等数学》期末考试试卷 (A 类)一、单项选择题（本题共15分，每小题3分）1. 下列曲线中必有渐近线的是 （ ）（A ）cos =+y x x ； （B ）2cos =+y x x ；（C ）1cos =+y x x ； （D ）21cos =+y x x。
2. 平面221x y z +-=与直线212122x y z ---==-的夹角是 （ ） （A ）8arcsin 9； （B ）8arccos 9； （C ）4arcsin 9； （D ）4arccos 9。
3. 若21()|1|2()d f x x f x x -=-+⎰，则()f x 等于 （ ） （A ）1()|1|2f x x =-+； （B ）()|1|1f x x =--； （C ）3()|1|5f x x =-+； （D ）3()|1|5f x x =--。
4. 下列选项中，肯定不是某个二阶常系数线性微分方程的一组解的是 （ ）（A ）e x x +，22e x x --，2e x x -+；（B ）e e x x x -+，2+e x x xe x -，e e x x x x -+；（C ）e 1x x -+，2x -，e x x -； （D ）(e 1)x x +，e 2e x x x --，+2+2e x x xe x -。
5. 对于命题：① 设函数f 在R 上可积，则f 在R 上连续的充要条件是变上限积分 0()()d xx f t t Φ=⎰在R 上可导； ② 若R 上的单调函数f 有原函数，则对于任意取定的常数a 和b ，必存在 ξ∈R ， 使得()d ()()ba f x x fb a ξ=-⎰， 下述选项正确的是 （ ）（A ）①错误，②正确； （B ）①正确，②错误；（C ）①和②均正确； （D ）①和②均错误。
二、填空题（每小题3分，共15分）6. 设可导函数()=y f x 由方程cos()ln 1+-=xy y x 确定，则2lim [()1]n n f n→∞-=___________。
大一(第一学期)高数期末考试题及答案
大一上学期高数期末考试一、单项选择题 （本大题有4小题, 每小题4分， 共1６分） 1. )(0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f .(Ａ）(0)2f '= (B)(0)1f '=（C)(0)0f '= (D)()f x 不可导。
2. ）时（ ，则当，设133)(11)(3→-=+-=x x x x xx βα．（A ）()()x x αβ与是同阶无穷小,但不是等价无穷小； (B ）()()x x αβ与是等价无穷小；(Ｃ)()x α是比()x β高阶的无穷小; （D)()x β是比()x α高阶的无穷小。
3. 若()()()02xF x t x f t dt=-⎰，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且'>()0f x ,则( )。
(A)函数()F x 必在0x =处取得极大值； (B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值;（C ）函数()F x 在0x =处没有极值,但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点; (D)函数()F x 在0x =处没有极值,点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。
4.)()( , )(2)( )(1=+=⎰x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设(A ）22x (Ｂ）222x+(C ）1x - (D)2x +.二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共1６分) 5.=+→xx x sin 2)31(l i m ． 6.,)(cos 的一个原函数是已知x f x x =⋅⎰x x x x f d cos )(则。
7.lim(cos cos cos )→∞-+++=22221n n nnnnππππ。
8. =-+⎰21212211arcsin －dx xx x ． 三、解答题(本大题有５小题,每小题8分，共40分）9. 设函数=()y y x 由方程sin()1x ye xy ++=确定,求'()y x 以及'(0)y 。
2016-2017学年第一学期高等数学A试卷A卷-修改
2016 — 2017学年第一学期《高等数学A 》期末试题（A ）答案一、单选题(每小题3分，共15分) (要求把答案填在答题纸上)1．当0→x 时，2(1cos )ln(1)x x -+是比sin nx x 高阶的无穷小,而sin n x x 是比(21x e -)高阶的无穷小,则正整数n 等于（ B ）A. 1B. 2C. 3D. 42. 设1()arctan f x e x=+，则0=x 是)(x f 的（ A ）A. 跳跃间断点B. 可去间断点C. 振荡间断点D. 无穷间断点3. 若函数32y ax bx cx d =+++满足230b ac -<，则此函数 ( B ). A. 有极值 B. 无极值 C. 不单调 D. 无法判断4. 设()f x 为函数2sin x x +的原函数，则下列为()f x 的原函数是（ D ）A. 2cos 1x x -+ B. 2cos 3x x +C.2cos x x + D.3sin 3x x x -- 5．下列反常积分收敛的是( C )A.21dx x +∞⎰B. 1+∞⎰C. 10⎰D. 201(1)dx x +∞-⎰. 二、填空(每小题3分，共15分) (要求把答案填在答题纸上)1．2ln ln 23limsin()22x x x x →---= ____11sin 22_______.2.设()(),1,02≠>=a a a x f x 则()()=x f n ____()x na a 2ln 2_____.3．ln(21)y x =+的铅直渐近线是12x =-.4．设()f x 的一个原函数为sin xx，那么()xf x dx '=⎰2sin cos x x C x -+.5．曲线32213y x =+上相应于01x ≤≤的一段弧的长度为21)3.三、计算题(每题8分，共48分)1. 求极限21cos 2limsin ln(1)t xx xe dtx x -→+⎰解: 原式=2211cos cos 23limlimsin ln(1)t t x xx x x e dtx e dtx x x--→→=+⎰⎰21cos 2limt xx e dtx -→=⎰22cos cos 00(sin )sin lim lim 22x xx x e x x e xx --→→--==2cos01lim22xx e e-→==2. 设21arctan (tan )x x e x y x π+-=，求y '.解：2222211111arctan 2arctan ()'2arctan 111()'x x x x x x x x x x x=+⋅=-++()2ln tan ln tan ln tan sec tan ()ln tan ln tan 2cs t n )2a (c ()xx x x x x x x x e e x x e x x x x '⎛⎫'=+=+= ⎪⎝⎭()'0e π=()2ln tan 212arctan +ln tan 2csc 21'x xx x e x y x x x x-+=+所以.3. 求椭圆322=+-y xy x 上纵坐标最大和最小的点. 解：两边同时对x 求导，得()022''=++-yy xy y x ，则xy xy y --=22' 当0'=y 时，x y 2=，代入椭圆方程得点()2,1和()2,1-- 当'y 不存在时，y x 2=，代入椭圆方程得点()1,2和()1,2-- 综述，椭圆上纵坐标最大的点是()2,1，最小的点()2,1--.4. 计算不定积分 解：令sin [,]cos 22x t t dx tdt ππ=∈-⇒=，，则 222cos =cot sin tdt tdt t=⎰⎰原式 2(csc 1)t dt =-⎰=cot arcsin t t C x C --+=--+ 5. 计算不定积分22cos x e xdx ⎰2221cos 211cos 2222xx x x e dx e dx e xdx +==+⎰⎰⎰解：原式 221cos 242x xe e xdx =+⎰又222111cos 2cos 22(sin 2cos 2)248x x xe xdx e xd x e x x c ==++⎰⎰ 综上22221cos (sin 2cos 2)48x xxe e xdx e x x c =+++⎰ 6．求211.-⎰11-=0-⎰[1,1]上是连续的奇函数，则22111==2-⎰⎰原式11=221=⎰⎰=22π-四、应用题（10分）记抛物线22(0)y px p =>及其在点(,)2pp 处的法线所围成的平面图形为D .(1) 求D 的面积S ； (2) 记D 位于y 轴和2px =部分为D ，求D 绕x 轴旋转所得旋转体的体积 V . 解 过点(,)2p p 的法线方程为302x y p +-=，该直线与抛物线的交点为(,)2p p 和9(,3)2pp -(1) 233()22pp p y S y dy p-=--⎰ 2163p =(2) 220p V dx π=⎰ 34p π=五、（6分）证明不等式：当1x <时，1x x e --≤.证明：要证明原不等式等价于证明：当1x <时，10x x e ---≤令()1x f x x e -=--()1x f x e -'=-+ ，令()0f x '=，得0x =.当0x <时，()0f x '>；当01x <<时，()0f x '<.()f x 在(,1)-∞上有最大值(0)0f =，从而当1x <时，()(0)f x f ≤ 即1x x e --≤.六、（6分） 设()f x 在[0,1] 上连续，在(0,1)内可导，且(0)0,(1)1f f ==，证明：（1）存在ξ∈(0,1)使得()1f ξξ=-， （2）存在η∈(0,1)使得()1f η'=.证明：(1)令=+-()()1F x f x x ，则()F x 在[0,1]上连续，且=-=-<(0)(0)110F f ，==>(1)(1)10F f ，由零点定理知存在ξ∈(0,1)使得ξ=()0F ，即ξξ=-()1f .（2）令=-()()G x f x x ，则()G x 在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且==(0)(1)0G G ，根据微分中值定理存在(0,1)η∈使得η'=()0G .即有η'=()1f。
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高等数学I
1. 当0x x →时，()(),x x αβ都是无穷小，则当0x x →时（ D ）不一定是
无穷小. (A) ()()x x βα+
(B) ()()x x 2
2βα+
(C)
[])()(1ln x x βα⋅+
(D) )()
(2x x βα
2. 极限
a
x a x a x -→⎪⎭⎫ ⎝⎛1sin sin lim 的值是（ C ）. （A ） 1
（B ） e
（C ） a
e
cot （D ） a
e
tan
3.
⎪⎩⎪
⎨⎧=≠-+=001
sin )(2x a x x
e x x
f ax 在0x =处连续，则a =（ D ）. （A ） 1
（B ） 0
（C ） e （D ） 1-
4. 设)(x f 在点x a =处可导，那么=
--+→h h a f h a f h )2()(lim 0（ A ）. （A ） )(3a f ' （B ） )(2a f '
(C) )(a f ' （D ） )
(31
a f '
二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）
5. 极限)
0(ln )ln(lim 0>-+→a x a a x x 的值是 a 1.
6. 由x x y e y
x 2cos ln =+确定函数y (x )，则导函数='y x
xe ye x y
x xy
xy ln 2sin 2+++
- . 7. 直线l 过点M (,,)123且与两平面x y z x y z +-=-+=202356,都平行，则直
线l 的方程为 13
1211--=--=-z y x . 8. 求函数2
)4ln(2x x y -=的单调递增区间为 （－∞，0）和（1，+∞ ） .
三、解答题（本大题有4小题，每小题8分，共32分）
9. 计算极限10(1)lim
x
x x e
x →+-.
解：1
1
ln(1)120
00(1)1
ln(1)lim
lim lim
2x x x
x x x x e e
x x e
e e x x
x +-→→→+--+-===-
10. 设)(x f 在[a ，b ]上连续，且
]
,[)()()(b a x dt
t f t x x F x
a
∈-=⎰，试求出)(x F ''。
解：
⎰⎰-=x
a
x
a
dt
t tf dt t f x x F )()()(
⎰⎰=-+='x
a
x
a
dt
t f x xf x xf dt t f x F )()()()()( )()(x f x F =''
11. 求
3
cos .sin x
x
dx x ⎰
解
：2
3c o s i
s i
x
x
d x -=-⎰⎰2
2
11s i
22
x x --=-
⎰
四、解答题（本大题有4小题，每小题8分，共32分）
12. 求
⎰
-2
3
2
21
x x dx .
令
1x t =
⎰
--=21
2
322)1
(11
11dt t t t
原式
=-⎰d t
t 121
2
3
2
=arcsin t
12
3
2=
π
6
13. 求函数
212x x y +=
的极值与拐点. 解：函数的定义域（－∞，+∞）
22)1()1)(1(2x x x y ++-=' 322)1()3(4x x x y +--=
''
令0='y 得 x 1
= 1, x 2
= -1
0)1(<''y x 1 = 1是极大值点，0)1(>-''y x 2
= -1是极小值点
极大值1)1(=y ，极小值1)1(-=-y
0=''y 33
故拐点（-3，-23），（0，0）（3，23
）
14. 求由曲线43
x y =与2
3x x y -=所围成的平面图形的面积. 解 :,,
x x x x x x 3
232431240=--+=
x x x x x x ()(),,,.+-==-==620602123
S x x x dx x x x dx
=-++---⎰⎰()()3260
2
3024334 =-++---()()x x x x x x 423602340
21632332316
=+=4521347
1
3 15. 设抛物线2
4x y -=上有两点(1,3)A -，(3,5)B -，在弧 A B 上，求一点(,)P x y 使ABP ∆的面积最大.
AB y x AB P AB x y x x x ABP 连线方程： 点到的距离 的面积
+-==+-=-++-≤≤2104521
5
235
132()
∆
S x x x x x ()()=
⋅⋅-++=-++12452352232
2
当 '=-+='=S x x x S x ()()4410 当时取得极大值也是最大值''=-<=S x x S x ()()401 此时 所求点为，y =313()
另解：由于的底一定故只要高最大而过点的抛物线
的切线与平行时高可达到最大值问题转为求，使 解得所求点为∆ABC AB C AB C x x f x x x C ,,,()
,(),,(,)
002
0004253312113-'=-=--+=-=
六、证明题（本大题4分）
16. 设0x >，试证x x e x +<-1)1(2.
证明：设
0),1()1()(2>+--=x x x e x f x
1)21()(2--='x e x f x ，x xe x f 24)(-=''，0)(,
0≤''>x f x ，因此)(x f '在（0，
+∞）内递减。
在（0，+∞）内，)(,0)0()(x f f x f ='<'在（0，+∞）内递减，在（0，+∞）
内，),0()(f x f <即0)1()1(2<+--x x e x 亦即当 x >0时，
x x e x +<-1)1(2 试证x x e x +<-1)1(2.。