理论力学-第三章刚体力学3资料

l
2l
即： 3g 3 2cos 2l
所以当杆转到水平时 3 3g , 3g
/ 2
2l
/ 2
/ 2 2l
（2）求质心加速度：ai Ri , ain 2Ri
acn
对于水平时的质心 aC RC 3g / 4
aCn 2RC 3 3g 4
ac
ac
总加速度：aC
3、瞬心的轨迹 C
（1）空间极迹（空间瞬心迹）： 瞬心在定系中（固定平面上）形成的轨迹
（2）本体极迹（本体瞬心迹）： 瞬心在固定在刚体的动系中（截面上/薄片上）形成的轨迹
定理：如果本体极迹和空间极迹都是连续曲线，则刚体在 平面运动时，本体极迹将沿着空间极迹作无滑滚动，两轨迹 的公共切点就是此时的转动瞬心。
Note： (1)瞬心是转动瞬时轴在薄片上的投影点
(2)瞬心的速度为零，加速度一般不为零 如果加速度为零，则刚体做定轴转动。
C
(3)瞬心不一定在刚体上，但一定在薄片所在的平面上
(4)确定时刻有确定瞬心，不同时刻瞬心不同
(5)若取瞬心为基点（瞬心法）刚体上任意一点速度为：
v
vA
r
v
r
2、瞬心的确定 （1）解析法：
y
vA
r
C
x
根据： v
vA
r
v
vA
r
r0
瞬心：v 0
A
η r0
r
对实验室坐标系 设C ( x , y )
vx vAx y y0 vy vAy x x0
x
x0
vAy
y
y0
vAx
ξ
对固着刚体坐标系
vx vAx y vy vAy x
设C
(
x’
,
y‘
)x
vAy
假设刹车后前后轮都停止转动，受力如图
f1 f2 ma
N1 N2 mg
h
f1 N1 f2 N2
还缺少一个方程！
f1 f2 h N1l N2l 0
l
N2
f2
联立可解： a g
mg l h
N1
2l
mg l h
N2
2l
v
l
G N1 f1
二、 刚体的定轴转动（Fixed-axis Rotation of Rigid Body）
i
mi
vC2
1 2
MvC2
【例】一根质量为m，长为 l的匀质细杆，一端用铰链固定在 桌角O点。求此杆自θ=30o处由静止转动到水平位置时的角速 度、角加速度、质心加速度及约束力。
（1）由转动方程求运动规律
I zz
d
dt
Mz
1 ml2 mg l sin 3g sin
3
2
2l
两边同乘2 : 2 3g sin
§3.7 刚体的平面平行运动
一、平面平行运动运动学
平面平行运动 刚体任一点始终在平行于某固定平面的平面 内运动
运动特点 垂直于固定平面的直线上各点的运动状态相同
刚体→薄片（一般含质心的薄片）
平面平行运动 = 随基点平动 + 绕基点的转动
Note:
① 基点的选取是任意的，选择不同的基点有不同的平动位移， 常取质心为基点。
定轴转动的特点：
各质点在垂直于转轴的平面内作圆周运动， 其角量相同（角位移、角速度、角加速度等）
运动学方程：
角量和线量的关系
t
vi
d ,
dt
ri
d
dt
d 2
dt 2
vi ri sini Ri
ai
dvi dt
d Ri
dt
Ri
Ri
ain
vi2 Ri
Ri 2
Ri
2Ri
l
2 d 3g sin d 2 d 3g sin d
dt l
dt
l
y
Ry θ mg
Rx
x
I zz
1 ml 2 3
d 2
3g d cos 2 3g cos C
l
l
2 3g cos 3 3g
l
2l
利用初始条件θ=30o， 0 可得：C 3 3g
2l
2 3g cos 3 3g
【例】用瞬心法求椭圆规尺M点的速度、加速度，并求本体极迹和空间极迹
方程。已知B点速度为c，并设 MA a, MB b, OBA
解：用瞬心法求解，即利用瞬心速度为零的特
点，取瞬心速度为基点来求任意点速度。如图
所示，在空间建立一个定系O-xyz,和一个固定
a2 a2 3g 2
C
Cn
（3）求未知约束力：质心运动定理
tg1 aCn aC 60
maCn maC
Rx
Rx
3
Ry mg Ry mg
3mg 4
4
R R2 R2 1.32mg
x
y
tg1 Ry Rx 11
与x轴负向夹角
作业：P174 （3.7） （3.8）（3.11）
§3.6 刚体的平动与绕固定轴的转动
一、 刚体的平动（Translation of Rigid Body） 平动的特点：
各质点的运动情况完全相同
（位移、速度、加速度、轨迹等）
可以用一个点的运动来代表整个刚体（一般取质心）
运动学方程： rC
rC
t
动力学方程：
mrC
F
注意：M 0
例如：讨论平动汽车在刹车时受到的地面支持力。
d dt
vA
r
dvA dt
d
r
dr
dt
dt
aA
d
dt
r
v
aA
d
dt
r
r
（利用 ：r • r r2 r2 ）
绝对加速度
a
aA
d
dt
r
r
2
相对向心 加速度
牵连加速度
相对切向 加速度
二、转动瞬心
1、定义：平面平行运动的刚体在角速度不为零时，在任一时刻 薄片上恒有一点的瞬时速度为零，该点称为转动瞬心，记为C
vi
ω Ri
θi ri
动力学方程：
取转动轴为z轴
k
dJ
M
dt
dJ z dt
Mz
d dt
I zz
M
z
I zz
d
dt
Mz
定轴转动动能：
T
i
1 2
mivi2
i
1 2
mi 2 Ri2
1 2
i
mi Ri2
2
1 2
I zz 2
平动动能：
T
i
1 2
mivi2
i
பைடு நூலகம்
1 2
mivC2
1 2
②基点的选取对角量无影响。
x xt
运动学方程
y
yt
t
x, y
刚体上任一点的速度、加速度
r
r0
r
v vA
或者即：：vvvvAArr
r0
v
动系： 定系：
vx vAx vy vAy
vx vAx
y
y x
y0
牵连速度
相对速度
vy
vAy
x
x0
牵连 相对
a
dv dt
y
vAx
（2）几何法：
取瞬心为基点（瞬心法）刚体上任意一点速度为：
v
r
r
v
C
P
v r
vA rAC vB rBC
vA rAC vB rBC
已知薄片上任意两点的速度方向，就可求瞬心
vA
C vB
vA
vA
vB
C
vA vB
C
vB
vA vB
无瞬心，刚体平面平动
（3）观察法：
凡滚而不滑的刚体与另一物体的接触点就是瞬心