理论力学-第三章刚体力学3资料

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第3章刚体力学基础讲解

第3章刚体力学基础讲解

的转动惯量。
z
解:
dJ x2dm
dm o
dm dx m dx
x dx
x
l
J l x2 m dx 1 m x3 l
0l
3l 0
J 1 ml2 3
例3-2 一质量为 m ,半径为 R 的均匀圆盘,求通过盘中心并 与盘面垂直的轴的转动惯量。
解:dJ r 2dm
dm 2 rdr
J 2 R r3dr 0
第三章 刚体力学基础
§3-1 刚体定轴转动 运动学
一. 刚体
内部任意两点的距离在运动过程中始终保持不变的物 体,即运动过程中不发生形变的物体。
• 刚体是实际物体的一种理想的模型
二. 刚体的运动
刚体的任意运动都可视为某一点的平动和绕通过该点 的轴线的转动 1.平动 运动过程中刚体内任意一条直线在运动过程中始终保
F外力ri sin i F内力ri sin i miri2
相加
F外力ri sin i F内力ri sin i miri2
i
i
i
F内力ri sini 0 令 F外力ri sini M
i
J miri2 i
i
M J
转动定律
刚体作定轴转动时,刚体的角加速度与它所受合 外力矩成正比,与刚体的转动惯量成反比。
三. 刚体定轴转动的描述
1.角坐标 (t)
从上往下看,逆时针为正,顺时针为负
2.角速度 d 单位: rad s 1或 s 1
dt
刚体定轴转动:转动方向用正负表示
刚d体非0 定轴0转逆动时z:r针用转矢v动量;
d0 表示
0 P
0
顺时针转动
参考平面
x 参考轴
3.角加速度

理论力学第三章刚体力学 ppt课件

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正常转动,赝张量的变换多出一个负号。
对于张量,可定义如下运算:
1)相等。
设A和B为两个同阶张量,如果它们的所有分量相等,

A ... B ... ,则称它们相等,记为A = B.
2)加法。
两个同阶张量A和B的和定义为 C ...=A ...+B ... 它仍为一个张量,记为 C=A+B

L
a

L
a AL L )(a L
a L
a

B L
L

)

a L aa L a AL L BL L (a a )
a L aa L a ( AL L BL L )
nr nr nr nr
1)转动前: rr 2)转动nr 后:rr nr rr
3)再rr 转动nr rrnr后nr:rr nr rr
不计二阶微量,则有
rr rr nr rr nrrr
交换转动次序,则有
rr rr nrrr nr rr 已知对线位移,有 rr rr rr rr 可得 nr rr nrrr nrrr nr rr
§3.1 刚体运动的分析 §3.2 角速度矢量 §3.3 欧勒角 §3.4 刚体运动方程与平衡方程 §3.5 转动惯量 §3.6 刚体的平动与绕固定轴的转动
§3.7 刚体的平面平行运动 §3.8 刚体绕固定点的运动 §3.9 重刚体绕固定点转动的解 §3.10 拉莫尔进动
§3.1 刚体运动的分析
1. 描写刚体位置的独立变量
将两个矢量Av和Bv按顺序并在一起,不作任何运算
得到的量称为并矢,记为
vv AB

A
B ev ev

理论力学第三章刚体力学

理论力学第三章刚体力学
d dt
线量和角量的对应
dr
dr v dt
d
d dt
dv a dt
d dt
6.欧勒角
1).欧勒角 章动 角 自转 角 Z轴位置由 θ,φ角决 定 进动 角
节线ON
0 0 2 0 2
2).欧勒运动学方程
在直角坐标系
x i y j z k
理 论 力 学
第三章 刚体运动
概述
1.刚体是一个理想模型,它可以看作是一种特
殊的质点组,这个质点组中任何两个质点之间
的距离不变.这使得问题大为简化,使我们能 更详细地研究它的运动性质,得到的结果对实 际问题很有用。 2.一般刚体的自由度为6.如果刚体运动受到约束, 自由度相应减少.
3.刚体的两种基本运动
刚体上任一点p的坐标分别为
v r ra a ra 而在系 a xy z r r ( r b a a b ra ) rb ra (rb ra )

r ra ra
2
drci (rci mi Jc ) dt i 1 n (e) (rci Fi ) Mc
n
i 1
简表为:
d Mc Jc dt
(6个方程正好确定刚体的6个独立变量)
刚体的动量矩 (角动量) n n ) 简表为: J J c J ci (ri mi vi ) rc mvc (rci mi vci
三.刚体的平衡
刚体平衡条件

(e) Fi 0
n i
n (e) Fi ) 0 (rci Mc i 1

理论力学第三章

理论力学第三章

Fx 0 Fy 0
Mz 0
五、力偶
; 两个大小相等,方向相反且不共线的平行力,就叫做力偶。
a、力偶不存在合力。 力偶作用的效果不能改变刚体平动,只能改变刚体转动。 b、力偶矩 力偶对力偶面内任一点的力矩。
M r2 F2 r1 F1 (r2 r1 ) F r F
x0 ( x)
(a)
x0
(b)

初始时刻
z0 z2
:进动角,
y2
z0
:进动角,
:章动角,


z
y
确定刚体绕这轴线所转过 的角度
:自转角。
y0
O
O

y0
x2 ( N )
x0

N (d)
x
x0
(c)

:章动角,
:自转角。
欧勒动力学方程
k0 k
x i y j z k '
这里只是把 n 看成一个有方向的量,并不确定它是矢量。
O
假设刚体相继完成两次无限小的转动,先绕瞬时轴L1 转过一微小角位移n1

相继绕 L2 瞬时轴再转过一角位移n2 , 看一下P点的位移
第一次转过后 第二次转过后
r1 n1 r
r2 n2 (r n1 r ) n2 r
P点的总位移
r1 r2 (n1 n2 ) r
表明P点经两个分转动而产生的位移之和等价于一个合转动产生的位移, n n 而这个合转动的角位移是两个分转动的角位移之和 1 。 2
将转动的次序换一下,用同样道理可以得到

理论力学周衍柏第三章

理论力学周衍柏第三章
一、基础知识 1. 力系:作用于刚体上里的集合. 平衡系:使静止刚体不产生任何运动的力系. 等效系:二力系对刚体产生的运动效果相同. 二、公理: 1)二力平衡原理:自由刚体在等大、反向、共线二力作 用下必呈平衡。 2)加减平衡力学原理:任意力系加减平衡体系,不改变原 力系的运动效应。 3)力的可传性原理:力沿作用线滑移,幵不改变其作用 效果,F与F’等效。 注:1)以上公理适用于刚体, 2) 力的作用线不可随便平移
(e) dT Fi dri
(e) 若 Fi dri dV 则 T V E
为辅助方程,可代替上述6个方程中任何一个
§3.5 转动惯量
一、刚体的动量矩 1. 某时刻刚体绕瞬轴OO’转动,则pi点的速度为
vi rii
动量矩为 2. 坐标表示
R Fi Fi 0 M M i ri Fi 0
2. 几种特例 1)汇交力系(力的作用线汇交于一点):取汇交点为 简化中心,则
Fix 0 R Fi 0 Fiy 0 Fiz 0
三、力偶力偶矩 1. 力偶:等大、反向、不共线的两个力组成的利系。
力 偶 所在平面角力偶面. 2. 力偶矩: 对任意一点O M rA F rB F (rA rB ) F r F M Fd
方向 : 右手法则 上式表明:
J z x mi zi xi y mi zi yi z mi ( xi2 yi2 )
I yy mi ( zi2 源自xi2 ) I zy mi zi yi I yz mi yi zi I xz mi xi zi
I zz mi ( xi2 yi2 )

第3章 刚体力学.PPT

第3章  刚体力学.PPT
Q ∑ Fit ri = M 外 合外力矩) (合外力矩)

i
Fit ri + ∑ f it ri = β ∑ ∆ m i ri 2
i i
J = ∑∆ mi ri 2 定义:转动惯量—— 定义:转动惯量
i
注意: 是质元至转轴的垂直距离) (注意:ri 是质元至转轴的垂直距离)
则可得刚体定轴转动的 转动定律为: M 外 = Jβ
难点:角动量定理、角动量守恒及其应用 难点:角动量定理、
刚体是一种特殊 的质点系统,无论在 的质点系统, 多大外力作用下, 多大外力作用下,系 统内任意两质点间的 距离始终保持不变。 距离始终保持不变。 物体的形状、大小都 物体的形状、 不变的固体称为刚体。 不变的固体称为刚体。 刚体是可以忽略由于受力而引起的形状和 刚体是可以忽略由于受力而引起的形状和 体积的改变的理想模型 体积的改变的理想模型 演示动画 刚体的平动
演示实验 角速度矢量合成
转动物体的线速度和加速度 (1)线速度
r r r r r v =ω × R =ω ×r
v = ωR sin α = ω r
在与转轴垂直的平面上 (2)加速度 v2 an = = ω 2r r dω aτ = r = rβ dt o
α
练习:在高速旋转的微型电动机里,有一圆柱形转子 练习:在高速旋转的微型电动机里,
0
ri
∆ mi r et
v fi
上式两边同乘 ri 得: Fit ri + f it ri = ∆ m i ri 2 β
应用于所有的质元有:
r Fi
∆ mi
o
2
ri
∑F r +∑
it i i i
f it ri = β ∑ ∆ m i ri

大学物理第三章刚体力学

大学物理第三章刚体力学

第三节 定轴转动的动能定理
1. 力矩的功
dA F dl F cos dl F cos rd Frsin d Md
A Md
1 2
d
dl
r

F

dA d M M 功率为: P dt dt
2.转动动能
刚体中任一质元 mi 动能:
1 1 2 2 2 mi vi mi ri 2 2
因此,刚体的转动动能:
ri
vi
1 1 2 2 2 2 Ek mi ri mi ri 2 2
1 2 Ek J 2
3.刚体做定轴转动时的动能定理
d dA Md J d J d d t 2 1 1 2 2 A dA J d J 2 J 1 1 2 2 1 2 1 2 A J 2 J 1 2 2
刚体各质元的角量相同,线量一般不同。 对刚体的运动描述,要注意角量、线量的特点。 对于定轴转动任意一点线速度与角速度、线加速度与角加 速度的关系:
v r
at r an r 2
刚体作匀变速转动时, 0 t 有以下的运动方程: 1 2 0 0t t 2 2 2 0 2 0
定轴转动角动量定理:作定轴转动的刚体所受的对轴的的 冲量矩等于系统角动量的增量。
对于绕固定点的转动,可以做如下变化
dL M dt
t2 dL Mdt L2 L1 M t1 dt t2 是力矩在t1 到t2时间内的冲量矩。 M d t
t1
3.角动量守恒定律 ������ = 0 , ������������ = 0 , ������ = const. ������������ ������2 = ������1 ������2 ������ 2 = ������1 ������ 1 若系统合外力矩为零,则系统的角 动量守恒。 ——自然界重要的普遍规律

第3章 大学物理刚体力学ppt课件

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M2 0
z F // M1 M r d
A
M2 F 2
F
对定轴转动,力矩用正负表示方向。 F1
F
M 1 0
3.合力矩
M M M M 1 2 3
M 对同一定轴的合力矩等于各分力矩的代数和 M i
与正方向相同的力矩取 正值,相反的取负值.
若力对刚体的转动状态有影响,称该力有力矩。若两个 力对刚体的转动状态影响相同,称为力矩相同。
力矩的影响因素分析,请选择: 1力矩与哪些因素有关? A 力的大小; B 力的方向; C 力的大小和方向; D力的大小、力的方向、力的作用点; 2 如果一个垂直于门面的力分别作用在门的中心①与边 缘② ,两种方式中哪个更容易推动一个静止的门? A ①容易;
3.1.2 角速度和角加速度
圆周运动,因此前面关于质点圆周运动的全套描述方 法,此处全部可用。此处注意方向性。 角速度的正负表示方向. 定轴转动: 可沿转轴设正方向,
dω z 2 角加速度: α 方向:右手螺旋拇指方向.
3 角量与线量的关系 2 法向加速度 an r 切向加速度
dt
3若 t 2 ,圆盘半径为r,其边缘加速度为 (E) 2 r(2 t)2r (F)
2r
(G) r(2t )
2
2 r e ( 2 t )r e (H) 2 t n
力矩为零的情况: 对定轴:
当力的作用线与轴平行或相交时, 该力对刚体转动状态不影响,相对于该 轴的力矩为零。
F1
F2
z 方向沿转轴
dv 0 0 r a t dt


A


v ωr
v
r

刚体力学基础 ppt课件

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k
O
F1
F

F2
F 对转轴的力矩
M rF2 sin
r
17
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第三章 刚体力学
17
§3.2 刚体定轴转动的转动定律 二、转动定律 质点绕轴作圆周运 动,根据牛顿第二定律沿 切线方向的分量式
O
z
ri
Fii
mi
i
i
Fie
Fie sin i Fii sin i mi ait mi ri
z
O
r *
P
F
M Fr sin
0 π
π 2π
sin 0 力矩为正.
sin 0 力矩为负.
15
15
0 或 π sin 0 力矩为零. PPT课件 第三章 刚体力学
§3.2 刚体定轴转动的转动定律
力臂: 点 O 至力 F
的作用线的垂直距离.
3
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第三章 刚体力学
3
教学基本要求
四 了解力矩的功和刚体转动动能的概念。
五 理解刚体对定轴的角动量概念,理解 刚体定轴转动的角动量定理,理解角动量守 恒定律。 六 了解经典力学的适用范围。
4
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第三章 刚体力学
4
§3.1
刚体 刚体定轴转动的描述
一、刚体的平动和定轴转动 刚体:在力的作用下,大小和形状都保持不变的物体. 刚体最基本的运动形式是平动和定轴转动.
n n
18
18
§3.2 刚体定轴转动的转动定律
n 2 Fie ri sin i Fii ri sin i mi ri i 1 i 1 i 1

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M F2d F2r sin
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5
若F位于转动平面内,则上式简化为
M Fd Frsin
力矩是矢量,在定轴转动中, 力矩的方向沿着转轴,其指向 可按右手螺旋法则确定:右手 四指由矢径r的方向经小于的 角度转向力F方向时,大拇指的 指向就是力矩的方向。根据矢 量的矢积定义,力矩可表示为:
或 L 常矢量
dt
如果对于某一固定点,质点所受的合外力矩为零, 则质点对该固定点的角动量矢量保持不变—角动量守 恒定律 。
角动量守恒定律是自然界普遍适用的一条基本规律。
力矩M = 0的条件:(1)力臂 r = 0 (有心力作用),
(2)力F = 0,(3) r 与F 相互平行。
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29
例9 行星运动的开普勒第二运动定律:行星对太阳 的位矢在相等的时间内扫过相等的面积。
d
C
JC 、 JD 分别是刚体对过质心轴, 和与之相平行的另一转轴的转动 惯量。两转轴间距为d
z ▪薄板的正交轴定理:
Jz Jx Jy
o
y
x
X,Y 轴在薄板面上,Z轴与薄板垂直。
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14
例3、质量m,长为l 的四根均匀细棒, O
组成一正方形框架,绕过其一顶点O
并与框架垂直的轴转动,求转动惯量。
解:行星在太阳引力(有心力) 作用下沿椭圆轨道运动,因而 行星在运行过程中,它对太阳 的角动量守恒不变。
L rmv sin 常量
因而掠面速度:
dS r dr sin 1 rv sin 常 量 dt 2dt 2
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30
例10 发射一宇宙飞船去考察一质量为m1,半径为R 的行星。当飞船静止于空间中距行星中心r=4R时,以

力学课件 刚体3

力学课件  刚体3
▲ 牛顿第二定律对保守系统时间反演不变, 对非保守系统则不具有时间反演不变性。
▲ 统计规律(如扩散)没有对时间反演的不变性。 研究系统时间反演的性质要区分宏观和微观。
3. 联合操作与对称性 有的系统对某种操作可能不具有对称性,
但对几种操作的联合却可能具有对称性。 例如:
对绕中心转180°和 黑白置换的联合操作 具有对称性。
对转动操作状态不变的系统具有转动对称性。 对绕空间一固定点作任意旋转都不变的系
统具有球对称性。
③镜象反射:相当于“照镜子”的变换。
左右反

· 上

·面
反射面 (a)
上下、左右均对称
· 左 右
x′ x
左手
右手
坐标
坐标
z′ y′··y z
反射面
反射面
(c)
(b) 坐标系反射
只左右对称
④空间反演:
r
伽里略变换是一种时空联合操作,牛顿定律 对此联合操作是不变的。
同样,洛仑兹变换也是一种时空联合操作, 但牛顿定律对此联合操作就不是不变的了。
物理学中除上述的时间、空间操作外, 还涉 及到一些其它的操作, 例如:电荷共轭变换 (粒子与反粒子间的变换), 规范变换,全同 粒子置换等等。它们也和系统的某些对称性 相联系。
二. 基本操作与对称性的分类
1. 空间操作与空间对称性
①平移:r
r
r0
的操作。
y
d
x ·······
(a) 平移对称
d (b) 平移 d 对称
(c) 无平移对称
(d)
宏观上平 移对称
对平移操作状态不变的系统具有平移对称性。
②转动:绕某个定轴旋转一个角度的操作。

理论力学第3章刚体力学

理论力学第3章刚体力学

§3.2 角速度矢量
1 有限转动与无限小转动
▪在普通物理学中处理定轴转动时,曾直接把 角速度 作为一个矢量,这样处理在逻辑上 其实是不够严谨的。 ▪但在定轴转动中角速度方向始终不变,所以 它是不是矢量关系不大。
▪ 但在刚体绕固定点转动时,转动轴方向随 时改变,因而角速度的方向也随时改变, 所以必须首先证明角速度是一个矢量。 ▪ 并不是有量值有方向的量就一定是矢量。 它还必须遵守平行四边形加法所应遵守的 对易律,即:
§3.1 刚体运动的分析
1 什么是刚体?
▪刚体是一种理想化的特殊的质点组,质点组 中任意两点之间的距离保持不变。 ▪在处理实际问题时,当物体的大小和形状的 变化可以忽略不计时,可以把它当作刚体看 待。
2 确定刚体的空间位置需要几个独立变量?
▪在空间确定一个质点的位置需要三个独立变 量。那么由 n个质点组成的质点组需要 3n 个
亦即矢量
r
经 n 微小转动后的线位移为
r
现在来看两个微小转动n 和n 的合成是不是遵
守对易律?
▪ 转动前,P 的位矢:r ▪ 转动 n后: r n r ▪ 再转动 n 后:r n r n (r n r )
有限转动角位移不是矢量,因它不遵守 对易律
考查无限小转动时角位移是否是矢量?
▪ 如图可见,若r 为无限小量 则 r 必与包含 r 及n 的平面
垂直,且 r PM
▪ 但 PM r sin
▪ 因此 r r sin r n sin ▪ 即 r n r
▪ 定轴转动。 如果刚体运动时,其中有两个点始终不动, 因为两点可以决定一条直线,整个刚体就绕 着这条直线转动,叫定轴转动。只要知道刚 体绕这条轴线转了多少角度,就能确定刚体 的位置。因此刚体作定轴转动时只有一个独 立变量。

理论力学第三章 刚体力学-3

理论力学第三章 刚体力学-3

3、求 a1 (转动加速度 ) d总 a1 r dt d总 d di 其中, (ctgi ) ctg
dt
h h 2 ctg cos 2k ctg sin 2i cos cos 2h (cos2k sin 2i ) sin
1
1 I mR 2 2
平行轴定理
I I c md
2
叙述:刚体对某一轴线的转动惯量,等于对通过质 心的平行轴的转动惯量加上刚体的质量与两 轴间垂直距离平方的乘积。
2、对定点转动惯性的大小,由于转轴的方向不断变 化,要用一个张量才能描述。 z
I xx 1 惯量张量: I yx I zx I xy I yy I zy I xz I yz I zz


N
O
y

x
§3.7 转动惯量
一、定点转动刚体的动量矩 动坐标系oxyz
z
i
设 Pi 为刚体上任一质点,该质点对定点 o的动量矩为

i
ri mii
整个刚体对同一点o的动量矩为
n J ri mii
i 1 n
o
x
ri
y
mi ri ri
2
h 2 h 2 2 大小: a1 ( ) [cos 2 sin 2 ] sin sin
2 2
2h 所以: a1 sin
3、求 a2(向轴加速度 )
a2 总 (总 r )
h h 其中,总 r ctgi ( cos 2i sin 2k ) cos cos h ctg sin 2j cos cos h 2 sin cosj sin cos 2h cosj a2 总 (总 r ) (ctgi ) (2h cosj ) 2 2 cos 2 h k sin 2 cos 2 所以: a2 a2 2 h sin

理论力学三-PPT精品

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q q qq qq q 1 q 2 1 e 1 d1 e 2 d2 d1 d2(e 1 e 2) d1 d2 e 1e 2 q q q q 1 e 1 d1 e 2 d2 q 2 q 1 2 (e 1 d1 e 2 d2)
• 因此,无穷小角度旋转是可交换的,且能表示为 转轴方向的大小为dq的矢量,并满足合成法则。
ω j θψ

R(y
,
e(3) z
)R(q
,
e(2) x
)[je(z1)
]

R(y
,
e(3) z
)[qe(x2)
]

[y
e(3) z
]
cosy


siny
0
siny cosy
0
0 1 0 ( 0 1 0
0
cosq sinq
0 0 q 0
四元数表示旋转
• 转动可以用一个归一化的4元数来表示。 r xiyjzk, eexiey jezk, ee* 1
qcosqesinq, q* cosqesinq, qq* 1 rqrq* (rq2sinqer)q* r2sinq(er)q* r2sinq[cosqer(er)esinq] rsin2qer(cos2q1)[r(re)e] cos2q(r(re)e)ersin2q(re)e
sinq

0



0
)


0

cosq j 0 y
r(rez)ezco sq(r(rez)ez)sinqez r
zez(xco sqysinq)ex(xsinqyco sq)ey
• 变换矩阵为
cosq sinq 0x

理论力学03刚体力学

理论力学03刚体力学

刚体的动量矩和转动惯量
令:
n
n
n
理 论
I xx mi ( yi2 zi2 ) I yy mi (zi2 xi2 ) I zz mi (xi2 yi2 )
i 1
i 1
i 1

以上为轴转动惯量

n
n
n
I yz I zy mi yi zi I zx I xz mi zi xi I xy I yx mi xi yi
理 当棍子与地面的角度为最小值 0 时,棍子在上述位置仍
论 处于平衡状态,求棍子与地面的摩擦系数 。

学 解:根据题意画出受力图,
在如图所示的坐标系中,有
平衡方程: 刚
体 力
Fx 0; Fy 0; M z 0
学 即: N1 sin 0 f 0
(1)
N1 cos0 N2 P 0 (2)
Pi
z ri C
x
y
rc
y
xO
刚体在质心动系中的动量矩定理:


质心系中对质心的总
力 学
dJ dt
M
动量矩
n
i 1
ri
F (e)
i
六个独立变量
六个运动微分 方程
对质心的 主矩
刚体运动可唯一描述!
刚体运动微分方程2
由前面结果可知,对于自由刚体,假如在多 个外力作用下在空间运动,则有:
n (n r )
体 力 学
2:先发生微小转动 n,再发生微小转动 n。
线位移:
r
r
r r nr nr
忽略了二阶小量:
n (n r )
理 论 力 学
有限转动与无限小转动4
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vi
ω Ri
θi ri
动力学方程:
取转动轴为z轴
k
dJ
M
dt
dJ z dt
Mz
d dt
I zz
M
z
I zz
d
dt
Mz
定轴转动动能:
T
i
1 2
mivi2
i
1 2
mi 2 Ri2
1 2
i
mi Ri2
2
1 2
I zz 2
平动动能:
T
i
1 2
mivi2
i
1 2
mivC2
1 2
§3.6 刚体的平动与绕固定轴的转动
一、 刚体的平动(Translation of Rigid Body) 平动的特点:
各质点的运动情况完全相同
(位移、速度、加速度、轨迹等)
可以用一个点的运动来代表整个刚体(一般取质心)
运动学方程: rC
rC
t
动力学方程:
mrC
F
注意:M 0
例如:讨论平动汽车在刹车时受到的地面支持力。
a2 a2 3g 2
C
Cn
(3)求未知约束力:质心运动定理
tg1 aCn aC 60
maCn maC
Rx
Rx
3
Ry mg Ry mg
3mg 4
4
R R2 R2 1.32mg
x
y
tg1 Ry Rx 11
与x轴负向夹角
作业:P174 (3.7) (3.8)(3.11)
y
vAx
(2)几何法:
取瞬心为基点(瞬心法)刚体上任意一点速度为:
v
r
r
v
C
P
v r
vA rAC vB rBC
vA rAC vB rBC
已知薄片上任意两点的速度方向,就可求瞬心
vA
C vB
vA
vA
vB
C
vA vB
C
vB
vA vB
无瞬心,刚体平面平动
(3)观察法:
凡滚而不滑的刚体与另一物体的接触点就是瞬心
d dt
vA
r
dvA dt
d
r
dr
dt
dt
aA
d
dt
r
v
aA
d
dt
r
r
(利用 :r • r r2 r2 )
绝对加速度
a
aA
d
dt
r
r
2
相对向心 加速度
牵连加速度
相对切向 加速度
二、转动瞬心
1、定义:平面平行运动的刚体在角速度不为零时,在任一时刻 薄片上恒有一点的瞬时速度为零,该点称为转动瞬心,记为C
l
2 d 3g sin d 2 d 3g sin d
dt l
dt
l
y
Ry θ mg
Rx
x
I zz
1 ml 2 3
d 2
3g d cos 2 3g cos C
l
l
2 3g cos 3 3g
l
2l
利用初始条件θ=30o, 0 可得:C 3 3g
2l
2 3g cos 3 3g
定轴转动的特点:
各质点在垂直于转轴的平面内作圆周运动, 其角量相同(角位移、角速度、角加速度等)
运动学方程:
角量和线量的关系
t
vi
d ,
dt
ri
d
dt
d 2
dt 2
vi ri sini Ri
ai
dvi dt
d Ri
dt
Ri
Ri
ain
vi2 Ri
Ri 2
Ri
2Ri
Note: (1)瞬心是转动瞬时轴在薄片上的投影点
(2)瞬心的速度为零,加速度一般不为零 如果加速度为零,则刚体做定轴转动。
C
(3)瞬心不一定在刚体上,但一定在薄片所在的平面上
(4)确定时刻有确定瞬心,不同时刻瞬心不同
(5)若取瞬心为基点(瞬心法)刚体上任意一点速度为:
v
vA
r
v
r
2、瞬心的确定 (1)解析法:
【例】用瞬心法求椭圆规尺M点的速度、加速度,并求本体极迹和空间极迹
方程。已知B点速度为c,并设 MA a, MB b, OBA
解:用瞬心法求解,即利用瞬心速度为零的特
点,取瞬心速度为基点来求任意点速度。如图
所示,在空间建立一个定系O-xyz,和一个固定
l
2l
即: 3g 3 2cos 2l
所以当杆转到水平时 3 3g , 3g
/ 2
2l
/ 2
/ 2 2l
(2)求质心加速度:ai Ri , ain 2Ri
acn
对于水平时的质心 aC RC 3g / 4
aCn 2RC 3 3g 4
ac
ac
总加速度:aC
§3.7 刚体的平面平行运动
一、平面平行运动运动学
平面平行运动 刚体任一点始终在平行于某固定平面的平面 内运动
运动特点 垂直于固定平面的直线上各点的运动状态相同
刚体→薄片(一般含质心的薄片)
平面平行运动 = 随基点平动 + 绕基点的转动
Note:
① 基点的选取是任意的,选择不同的基点有不同的平动位移, 常取质心为基点。
②基点的选取对角量无影响。
x xt
运动学方程
y
yt
t
x, y
刚体上任一点的速度、加速度
r
r0
r
v vA
或者即::vvvvAArr
r0
v
动系: 定系:
vx vAx vy vAy
vx vAx
y
y x
y0
牵连速度
相对速度
vy
vAy
x
x0
牵连 相对
a
dv dt
y
vA
r
C
x
根据: v
vA
r
v
vA
r
ห้องสมุดไป่ตู้ r0
瞬心:v 0
A
η r0
r
对实验室坐标系 设C ( x , y )
vx vAx y y0 vy vAy x x0
x
x0
vAy
y
y0
vAx
ξ
对固着刚体坐标系
vx vAx y vy vAy x
设C
(
x’
,
y‘
)x
vAy
假设刹车后前后轮都停止转动,受力如图
f1 f2 ma
N1 N2 mg
h
f1 N1 f2 N2
还缺少一个方程!
f1 f2 h N1l N2l 0
l
N2
f2
联立可解: a g
mg l h
N1
2l
mg l h
N2
2l
v
l
G N1 f1
二、 刚体的定轴转动(Fixed-axis Rotation of Rigid Body)
3、瞬心的轨迹 C
(1)空间极迹(空间瞬心迹): 瞬心在定系中(固定平面上)形成的轨迹
(2)本体极迹(本体瞬心迹): 瞬心在固定在刚体的动系中(截面上/薄片上)形成的轨迹
定理:如果本体极迹和空间极迹都是连续曲线,则刚体在 平面运动时,本体极迹将沿着空间极迹作无滑滚动,两轨迹 的公共切点就是此时的转动瞬心。
i
mi
vC2
1 2
MvC2
【例】一根质量为m,长为 l的匀质细杆,一端用铰链固定在 桌角O点。求此杆自θ=30o处由静止转动到水平位置时的角速 度、角加速度、质心加速度及约束力。
(1)由转动方程求运动规律
I zz
d
dt
Mz
1 ml2 mg l sin 3g sin
3
2
2l
两边同乘2 : 2 3g sin
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