电磁场能量转换关系

12E
•
D
1B 2
•
H
E
•
J
1
1
令 w we wm 2 E • D 2 B • H ，
表示电磁场能量密度，得
• E H w E • J
t
上式两边对任意区域V 进行体积分，得
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工程电磁场
•E H dV
主讲人： 王泽 忠
V
V
w t
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工程电磁场
主讲人： 王泽
忠
剩余的能量从区域表面传播出去。
可见，电磁场的变化总是伴随着能量的传播。
闭合面积分中的矢量 E H 相当于
功率流的面密度， 即垂直于功率流动方向单位面积上 流过的电磁场功率。
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工程电磁场
dV
V
E
•
JdV
式中： J J C 或v ， E ET Ee ，
ET 是包括局外电场强度的总的电场强度，
Ee 是局外电场强度，代入上式得
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工程电磁场
主讲人： 王泽
忠
对最后一项体积分应用散度定理，得
Ee
•
JdV
w t
dV
ET
•JCdV
V
V
V
v •ETdV E H •dS
• E H E • D H • B E • J
t
t
对于线性媒质，有
E
•
D t
1E 2
•
D t
1D 2
•
E t
t
12
D
• E
H
•
B t
1H 2
•
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B 1 B • t 2
H t
t
12
B
•
H
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工程电磁场
因此，可得
主讲人： 王泽 忠
•
E
H
t
工程电磁场
主讲人： 王泽 忠
工程电磁场
王泽 忠
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工程电磁场
主讲人： 王泽 忠
8.4 时变电磁场的能量
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工程电磁场
主讲人： 王泽
忠
1．坡印亭定理
电磁场具有能量。 电磁场能量分布在场域中。 电磁场能量密度等于 电场能量密度和磁场能量密度之和。 电磁场满足能量守恒与转换定律。 下面从麦克斯韦方程出发推导
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工程电磁场
主讲人： 王泽
3．辐射功率的计算忠
电磁波的传播必然伴随着能量的传播。
自由空间中没有损耗，
所以从辐射子辐射出的功率应等于 包围辐射子的闭合面上坡印亭矢量的积分。
在辐射区，以辐射子为球心、
取半径为r 的球面作为积分曲面。
与面的法线方向垂直，
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工程电磁场
主讲人： 王泽
对应的上下两截面面积分忠为零。
因此
SP • dS SP • dS
S
S
I2 22a 3
2al
I
2
l a 2
I
2R
上式表明，导线内消耗的功率是 由导线侧表面传播进来的。
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V
S
上式称为坡印亭定理。
坡印亭定理反映了
电磁场中能量守恒与转换的规律。
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工程电磁场
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等式左侧为V 内电源局外忠力提供的功率；
等式右侧第一个体积分表示单位时间
V 内电磁场能量的增量，
第二个体积分表示V 内传导电流引起
的
功率损耗，
第三项体积分表示存在运流电流时，
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E
B
忠
的两边,可得
t
H • ( E) H • B t
利用矢量恒等式
• a b b • a a • b，
将 a E ， b H 代入，得
• E H H • E E • H
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工程电磁场
代入上式，得
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S
V
在电源以外的区域
S
E
H•
dS
VJC2
dV
上式表明，在恒定场的无源区域内，
通过 S 面流入V 内的功率等于V 内损耗的功率。
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工程电磁场
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例 求示载有直流电流 I忠的长直圆导线
表面的坡印亭矢量，并由坡印亭矢量
计算电阻为 R 的一段导线消耗的功率。
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单位时间作用于电荷上的力
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工程电磁场
主讲人： 王泽
忠
等式右侧最后一项的闭合面积分表示
从闭合面上流出的电磁功率。
坡印亭定理表明，
外源提供的能量， 一部分用于增加电磁场能量， 一部分由于发热损失掉，
还有一部分用于增加电荷的动能，
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工程电磁场
主讲人： 王泽 忠
电磁场能量的转换规律：
以电场强度 E 点乘麦克斯韦第一方程
H
J
D t
的两边，可得
E • H E • J E • D
t 以磁场强度 H 点乘麦克斯韦第二方程
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工程电磁场
在某些特殊情况下（静电场中永磁材料），
坡印亭矢量并无明显的物理意义。
恒定场是时变场的特例， 因此恒定场的能量也应满足坡印亭定理。
对于恒定场，假定无运流电流，
由于 w 0 ，坡印亭定理可写成 t
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工程电磁场
主讲人： 王泽 忠
E H • dS J C • EdV
解 设导线半径为a ，
导线内的电场强度
与磁场强度分别为
EJ I e ； a 2 z
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工程电磁场 rI
H 2a2 e
在导线侧表面，
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电场强度和磁场强度分别为
E J I e ；H I e
a 2 z
2a
导线侧表面的坡印亭矢量为
主讲人： 王泽
矢量 E H 叫做为坡印忠亭矢量，
记为 SP E H
S
P
的单位是瓦／米
2
（W
2
m ）。
在坡印亭矢量上加上一个散度为零的矢量，
仍然满足坡印亭定理。
因此，一般情况下坡印亭矢量可以表示
电磁功率流的面密度；
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工程电磁场
主讲人： 王泽 忠
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工程电磁场
主讲人： 王泽
I 2
忠
I2
SP E H 22 a 3 ez e 22 a3 er
将 SP 在包围导线段的闭合面上积分，可得
SP • dS SP • dS SP • dS SP • dS
S
S1
S2
S
在 S1 和 S2 上坡印亭矢量的方向