8.5一阶电路的全响应 三要素法

Ae
t

t

全响应：
f (t ) f ' (t ) [ f (0 ) f ' (0 )]e
三要素：稳态分量、初始值、时间常数。

三要素法对任一线性一阶电路中的任一变量都适用。 在直流激励下，稳态分量是恒定的，常用 f ( ) 表示， 且
f ' (0 ) f ' (t ) f ()
强制分量：与输入信号有关，形式与输入函数相同的分量。 自由分量：与输入信号无关的分量。 当激励为直流或正弦信号时，强制分量就是稳态分量，自由 分量也就是暂态分量。但当输入是衰减的指数函数时，则强制 分量是以相同规律衰减的指数函数，就不再有稳态分量了。
8.5 一阶电路的全响应 三要素法 二、三要素法
u
(2) C
+
i ( 2)
-C
(2) uC (0 ) U 0
8.5 一阶电路的全响应 三要素法 一、R、C 电路的全响应
S +
R
(t 0)
(1) uC
1、全响应的求解
+
i
(1)
-
Us
- C
uC
(1)
U S (1- e

t RC
)
t RC
(1) uC (0 ) 0
S
+R
(t 0)
第8章 线性动态电路的时域分析
8.1 动态电路及其方程 8.2 初始条件和初始状态 8.3 一阶电路的零输入响应 8.4 一阶电路的零状态响应 8.5 一阶电路的全响应 三要素法 8.7-8 阶跃函数与一阶电路的响应 8.9-10 二阶电路的响应 8.13 状态方程
8.5 一阶电路的全响应 三要素法
(3) f () 可通过换路后，达到新的稳态的电路来求, 此时，C开路，L短路。
8.5 一阶电路的全响应 三要素法 例8-7 如图8-28(a)所示的电路中，U S 10V
I S 2A
i R S
+ a
R 2
L 4H
Ri
a
试求开关S闭合后电路中的电流iL、i。
(t 0)
iL
L
3 5e
0.5t
A
8.5 一阶电路的全响应 三要素法 例8-7 如图8-28(a)所示的电路中，U S 10V
I S 2A
i R S
+ -
R 2
a
L 4H
(A) iL
试求开关S闭合后电路中的电流iL、i。
iL
L
b
Us
(t 0)
3
Is
o
t (s)
2
iL 3 (2 3)e
(2) uC
uC
+
i ( 2)
( 2)
U 0e

t RC
u C U S (1 e
t RC
) U 0e
U0 e R

-C
u
(2) C
(0 ) U 0
duC U S i C e dt R
t RC
t RC
8.5 一阶电路的全响应 三要素法 一、R、C 电路的全响应
(t 0)
S 1 2
10
+ 10V -
2A
+ uC 0 .5 F -
解：(1) uC (0 ) uC (0 ) 10V
2 如图所示电路，t<0时S在“1”位置，电路已 达稳态，现于t = 0时刻将S扳到“2”位置。 试求t ≥ 0时的u C(t)。
30
i3
30 20
+ 10V
－
i2
t→∞电路
( 3)求 R 30 // 30 20 35 L 1 s R 35
i3 ( t ) i3 ( ) [i3 (0 ) i3 ( )]e 0.143 + (0.2 0.143) e
0.2 0.143
35 t t τ
30 30
i3 i2
20
1H
求
- 35 t
R
= 0.143 + 0.057e
A ( t 0)
波形: i3 (t ) ( A)
t
0
练习2 如图所示电路，t<0时S在“1”位置， 电路已达稳态，现于t = 0时刻将S扳到“2”
位置。试求：t ≥ 0时的u C(t)。
i R S
+ a
R 2
L 4H
试求开关S闭合后电路中的电流iL、i。
iL (0 ) iL (0 ) I S 2A
iL
L
Us
(t 0)
Is
b
U OC 6 iL () 3A Ri 2
iL 3 (2 3)e
t 2
L 4 2s Ri 2
所以
f (t ) f () [ f (0 ) f ()]e

t

要记！
f (t ) f () [ f (0 ) f ()]e
三要素怎么求？

t

L C RC、 L (1) 通过换路后的电路结构求得： R (2) f (0 ) 通过换路定理或0+等效电路来求；
开关S在t=0时断开，经 t1 2s又合上，求u C、u 3。 零 解： ① 0 t t1 : S断开 uC (0＋) uC (0 ) 0 状 R3 态 求初始值：0 等效 电路 ： u3 (0 ) U S 6V 响 R1 R3 应 R2 uC ( ) U S 4V 求稳态值： R1 R2 R3 R3 u3 () U S 4V R1 R2 R3
全响应：由独立电源和初始状态共同引起的响 应。对于线性电路，全响应等于零输入响应和零 状态响应之和。
一、R、C 电路的 全响应
S +
S +
R
(t 0)
R
(t 0)
-
Us
u
(1) C
+
i (1)
- C
-
Us
uC
+
i
(1) uC (0 ) 0
- C
=
S
+
(t 0)
R
uC (0 ) U 0
t 2
3 5e
0.5t
A
8.5 一阶电路的全响应 三要素法
例8-7 如图8-28(a)所示的电路中，U S 10V
I S 2A
i R S
+ -
R 2
a
L 4H
试求开关S闭合后电路中的电流iL、i。
(t 0)
iL
L
b
5
Us
Is
0.5t
3
i
iL 3 5e
iL
u3 (t1 ) uC (t1 ) 2.528 V
u3 () 0
例8-8已知 U S 12V
R1 R2 R3 3k
C 1000pF uC (0 ) 0
+
R1
S
C +u C
R2
(t 0)
U s (t t ) 1 -
+ R3 u3 -
开关S在t=0时断开，经 t1 2s又合上，求u C、u 3。
) V, u3 (t ) 4 2e
5105 t
V
V V
u3 ( t ) 2.528e
6.67105 t t1
uC (t )、u3 (t ) 波形：
uC (t ) u3 (t ) (V) 6
4 2.528
0
u3
uC
uC u3
t ( s)
t1
-2.528
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练习1：如图，求：i3 (t ) ? (t 0)
设一阶电路全响应的稳态分量为 暂态分量为
f ' (t )
f ' ' (t ) ，则因为暂态分量的形式为
Ae
t

t

所以
f (t ) f ' (t ) f ' ' (t ) f ' (t ) Ae
f (0 ) f ' (0 ) A

其中积分常数A根据初始条件确定： 因为 所以
u 3。
R1
+ S
C +u C
R2
(t 0)
U s (t t ) 1 -
+ R3 u3 -
例8-8已知 U S 12V
R1 R2 R3 3k
C 1000pF uC (0 ) 0
+
R1
S
C +u C
R2
(t 0)
U s (t t ) 1 -
+ R3 u3 -
b
换路后
Us
Is
+ U oc -
iL
b
L
iL (0 ) iL (0 ) I S 2A
U OC 6 iL () 3A Ri 2
L 4 2s Ri 2
8.5 一阶电路的全响应 三要素法 例8-7 如图8-28(a)所示的电路中，U S 10V
I S 2A
8.5 一阶电路的全响应 三要素法 一、R、C 电路的全响应 t RC u U ( U U )e 2、全响应的分解 C S 0 S
1）全响应
= 稳态分量 + 暂态分量
稳态分量：达到新稳定状态时的响应分量。 2）全响应
暂态分量：随着时间的推移趋于0的分量，形式为：Ae

t

= 强制分量 + 自由分量
1 RC 2 10 1000 10 s 2s
3 12
uC (t ) 4 (0 4)e u3 (t ) 4 (6 4)e

t 1

t 1
4(1 e 4 2e
5105 t
) V 0 t t1 V 0 t t1
6.67105 t t1
V
t t1
u3 (t ) 2.528e
6.67105 t t1
V t t1
0 t t1 : uC (t ) 4(1 e
5105 t
t t1 : uC ( t ) 2.528e
6.67105 t t1
A f (0 ) f ' (0 )
f (t ) f ' (t ) [ f (0 ) f ' (0 )]e
三要素：稳态分量、初始值、时间常数。

t

8.5 一阶电路的全响应 三要素法 二、三要素法
设一阶电路全响应的稳态分量为 暂态分量为
f ' (t )
f ' ' (t )，则因为暂态分量的形式为
uC U S (U 0 U S )e
uC
2
t RC
duC U S RC U 0 RC i C e e dt R R
i
1 o
t
t
Us
1
3
3
2
t
o
(1) U S U 0
(2) U S U 0
t
(3) U S U 0
含储能元件的电路在换路后并不一定都出现过渡过程!
解： uC (t1 ) 2.528V
求时间常数： R2 R3 R 1.5k RC 1.5s 2 R2 R3
u3 (t1 ) 2.528 V uC () 0 u3 ( ) 0
uC (t ) 2.528e

t t1 τ2
2.528e
t (s )
A
0.5t
o
i I S iL 5 5e
A
2
8.5 一阶电路的全响应 三要素法 例8-8 如图8-31所示的电路中，已知 U S 12V R1 R2 R3 3k C 1000pF uC (0 ) 0
开关S在t=0时断开，经 t1 2s 又合上，求u C、
30
i3
20
30 1H
解： (1)求i3 (0 )
10 i3 (0 ) 0.2A 20 30
+ 10V
－
S(t 0)
i2
由换路定理,可得： i3 (0 ) i3 (0 ) 0.2A
(2)求i3 ()
10 30 i3 ( ) 30 20 30 20 30 30 20 0.143A
5105 t
开关S在t=0时断开，经 t1 2s又合上，求u C、u 3。
) V 0 t t1
510 5 t1
uC ( t1 ) uC ( t1 ) 4(1 e 4(1 e
求稳态值：uC () 0
510 5 210 6
)
) 2.528V
例8-8已知 U S 12V
R1 R2 R3 3k
C 1000pF uC (0 ) 0
+
R1
S
C +u C
R2
(t 0)
U s (t t ) 1 -
+ R3 u3 -
开关S在t=0时断开，经 t1 2s又合上，求u C、u 3。 解：求时间常数： uC (0＋) 0 uC ( ) 4V R1 R3 R2 R 2 u3 (0 ) 6V u3 () 4V R1 R2 R3
5105 t
例8-8已知 U S 12V
R1 R2 R3 3k
C 1000pF uC (0 ) 0
+
R1
S
C +u C
R2
(t 0)
U s (t t ) 1 -
+ R3 u3 -
解：② t t1 ， S 又闭合 零输入响应
求初始值： uC (t ) 4(1 e