8.5一阶电路的全响应 三要素法
一阶电路的全响应与三要素
§5.4 一阶电路的全响应与三要素在上两节中分别研究了一阶电路的零输入响应和零状态响应，电路要么只有外激励源的作用，要么只存在非零的初始状态，分析过程相对简单。
本节将讨论既有非零初始状态，又有外激励源共同作用的一阶电路的响应，称为一阶电路的全响应。
5.4.1 RC 电路的全响应电路如图5-9所示，将开关S 闭合前，电容已经充电且电容电压0)0(U u c =-，在t=0时将开关S 闭合，直流电压源S U 作用于一阶RC 电路。
根据KVL ，此时电路方程可表示为：C u图 5-19 一阶RC 电路的全响应S C CU u tu RC=+d d （5-19） 根据换路原则，可知方程（5-19）的初始条件为 0)0()0(U u u C C ==-+令方程（5-9）的通解为 C CC u u u ''+'= 与一阶RC 电路的零状态响应类似，取换路后的稳定状态为方程的特解，则S CU u =' 同样令方程（5-9）对应的齐次微分方程的通解为τtCAe u -=''。
其中RC =τ为电路的时间常数，所以有τtS C AeU u -+=将初始条件与通解代入原方程，得到积分常数为 S U U A +=0所以电容电压最终可表示为τtS S c e U U U u --+=)(0 （5-20）电容充电电流为etS C R U U t u C i τ--==0d d这就是一阶RC 电路的全响应。
图5-20分别描述了s U ，0U 均大于零时，在0U U s >、0=s U 、0U U s <三种情况下c u 与i 的波形。
(a) (b)图5-20C u ，i 的波形图将式（5-20）重新调整后，得)1(0ττtS tC e U eU u ---+=从上式可以看出，右端第一项正是电路的零输入响应，第二项则是电路的零状态响应。
显然，RC 电路的全响应是零输入响应与零状态响应的叠加，即 全响应 = 零输入响应 + 零状态响应研究表明，线性电路的叠加定理不仅适用于RC 电路，在RC 电路的分析过程中同样适用，同时，对于n 阶电路也可应用叠加定理进行分析。
一阶动态电路的全响应及三要素法
1 2
高阶动态电路的全响应研究
本文主要研究了一阶动态电路的全响应，未来可 以将研究扩展到高阶动态电路，探讨其全响应的 特点和求解方法。
复杂电路系统的分析方法研究
针对更复杂的电路系统，需要研究更为有效的分 析方法，以提高电路分析的准确性和效率。
3
非线性电路的动态响应研究
在实际应用中，非线性电路的动态响应也是一个 重要的问题，未来可以开展相关的研究工作。
结果讨论与误差分析
结果讨论
根据求解出的全响应表达式，分析电 路在不同时间点的响应情况，讨论电 路的工作特性。
误差来源
分析在求解过程中可能出现的误差来 源，如元件参数的测量误差、计算误 差等。
误差影响
讨论误差对求解结果的影响程度，以 及如何通过改进测量方法、提高计算 精度等方式来减小误差。
实际应用中的考虑
在实际应用中，还需要考虑其他因素 对电路响应的影响，如环境温度、电 磁干扰等。
05 实验验证与仿真模拟
实验方案设计
设计思路
基于一阶动态电路的基本原理，构建实验电路并确定测量参数。
电路搭建
选用合适的电阻、电容、电感等元件，搭建一阶动态电路。
测量方法
采用示波器、电压表、电流表等仪器，测量电路中的电压、电流 等参数。
03 三要素法原理及应用
三要素法基本概念
三要素法定义
一阶动态电路的全响应由初始值、 稳态值和时间常数三个要素决定，
通过求解这三个要素可快速得到 电路的全响应。
适用范围
适用于线性、时不变、一阶动态电 路的全响应分析。
优点
简化了电路分析过程，提高了求解 效率。
初始值、稳态值和时间常数求解方法
01
02
一阶电路三要素法
R0 6 / /3 2k
uC
R0C 2
18 (5
103 2106
4
1
8
)e
t 41 0
3
4
103
18 3
s 9mA
6e250
t
R 6k
3k
恒流源除源
1）求电容电压
uC 18 (
uC;
54
1
8
)e
t 41 0
3
54V
uC
2）求电流 iC、 i;2
18V
iC
C duC dt
①确定 uC (0 ) uC (0 ) 54 V
②确定 uC ()
由换路后稳态电路求稳态值 uC ()
uC
(
)
9
10
36 63 3来自10318 V
③由换路后电路求时间常数
9mA R
6k
t=0 S
uC
+ _
iC
2F
C
i2
3k
9mA
R 6k
+
uC
(
) _
3k
换路后，储能元件两端求等效电阻R0
t∞ 电路
对一阶电路的求解，只需求出初始值 f (、0稳) 态值 要素，代入通用表达式即可直接写出电压或电流的通解
f和(换)路后的时间常数三个
——三要素法
例1：电路如图，S闭合前电路已处于稳 态。t=0时合上开关S，试求
1）电容电压 u;C
2）电流 iC 、 i;2
3）画出 uC、 iC、 i变2 化曲线。
2 、三要素法求解暂态过程要点
（1）求初始值、稳态值、时间常数
1）初始值 f (0 )的计算
一阶电路的全响应——三要素公式【PPT课件】
6A
2
Is
US 3H
(a)
u
大 学 电 路 与 系 统
(2)求解零状态响应iLf(t)和uf(t) 。
零状态响应是初始状态为零,仅由独立源所引起的 R2
响应;故 iLf(0+)=0,电感相当于开路。画出其0+等效 12V
电路,如图 (b)所示,所以
R3 US
iLf(0+) uf(0+) R4
RLiL
L1uS
(a)
(b)
制 作
若用y(t)表示响应,用f (t)表示外加激励,上述方程统一表示为
ddy(tt)1y(t)bf(t)
τ为时常数,对RC电路, τ= RC; 对RL电路, τ= L/R。
第 5-2 页
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y(t) = yh(t) + yp(t)
特征根 s = - 1/τ, yh(t) = Ke- t/τ ,
学 电 路 与
1316uL(0)13863
系 统
得uL(0+) = 6V, i(0+) = uL(0+) /6=1A
(a) 3Ω
i(0+) 3A
18V uL(0+)
6Ω
6A
(b) 0+图
3Ω
多 媒
(3)画∞等效电路,如图(c)。
i(∞) 3A
体 室
显然有 uL(∞) = 0, i(∞) = 0,
18V uL(∞) iL(∞) 6Ω
路 与
iL(0+) =iL(0-)=12/(2+1)=12/3=4(A)
系 统
uC (0+)= uC(0-)=1×iL(0-)=4(V)
三要素法求电路全响应
三要素法求电路全响应电路的全响应是指电路在初始状态和外部激励作用下的完整动态响应。
为了得到电路的全响应，我们可以使用三要素法进行分析和计算。
三要素法是一种基于电路元件特性和初始条件的计算方法，通过分析电路的零输入响应、零状态响应和强迫响应来求得电路的全响应。
我们来了解一下三要素法的基本概念。
三要素法将电路的全响应分为三个部分：零输入响应、零状态响应和强迫响应。
零输入响应是指在没有外部激励的情况下，电路元件本身的特性所引起的响应。
在零输入响应中，电路元件的初始状态起到了关键作用。
例如，一个电容器在初始时刻具有一定的电荷量，当没有外部激励时，电容器会通过内部电路元件自行放电或充电，产生一种独特的响应。
零状态响应是指在没有初始电荷或初始电流的情况下，电路在外部激励作用下产生的响应。
在零状态响应中，电路的初始状态不起作用，电路的响应完全由外部激励决定。
例如，一个电容器在初始时刻没有电荷，当外部电压施加在电容器上时，电容器会根据电压变化情况产生相应的电流响应。
强迫响应是指在有外部激励作用下，电路元件和初始条件共同引起的响应。
在强迫响应中，电路的初始状态和外部激励都对电路的响应产生影响。
例如，一个电路中同时存在电容器的初始电荷和外部电压，当外部电压变化时，电容器的初始电荷和电容器本身的特性都会对电路的响应产生影响。
根据三要素法，电路的全响应可以表示为零输入响应、零状态响应和强迫响应的叠加。
通过分别计算这三个部分的响应，然后将它们相加，我们可以得到电路的全响应。
在实际计算中，我们可以利用电路的传递函数来求得不同部分的响应。
传递函数是电路输入和输出之间的转移函数，它描述了电路对输入信号的响应特性。
通过对传递函数进行拉普拉斯变换，我们可以得到电路的传递函数表达式。
利用传递函数，我们可以将输入信号的拉普拉斯变换和输出信号的拉普拉斯变换相乘，然后进行反变换，得到相应的时间域响应。
在计算电路的全响应时，我们需要注意一些细节。
一阶电路的全响应与三要素
§5.4 一阶电路的全响应与三要素在上两节中分别研究了一阶电路的零输入响应和零状态响应，电路要么只有外激励源的作用，要么只存在非零的初始状态，分析过程相对简单。
本节将讨论既有非零初始状态，又有外激励源共同作用的一阶电路的响应，称为一阶电路的全响应。
5.4.1 RC 电路的全响应电路如图5-9所示，将开关S 闭合前，电容已经充电且电容电压0)0(U u c =-，在t=0时将开关S 闭合，直流电压源S U 作用于一阶RC 电路。
根据KVL ，此时电路方程可表示为：C u图 5-19 一阶RC 电路的全响应S C CU u tu RC=+d d （5-19） 根据换路原则，可知方程（5-19）的初始条件为 0)0()0(U u u C C ==-+令方程（5-9）的通解为 C CC u u u ''+'= 与一阶RC 电路的零状态响应类似，取换路后的稳定状态为方程的特解，则S CU u =' 同样令方程（5-9）对应的齐次微分方程的通解为τtCAe u -=''。
其中RC =τ为电路的时间常数，所以有τtS C AeU u -+=将初始条件与通解代入原方程，得到积分常数为 S U U A +=0所以电容电压最终可表示为τtS S c e U U U u --+=)(0 （5-20）电容充电电流为etS C R U U t u C i τ--==0d d这就是一阶RC 电路的全响应。
图5-20分别描述了s U ，0U 均大于零时，在0U U s >、0=s U 、0U U s <三种情况下c u 与i 的波形。
(a) (b)图5-20C u ，i 的波形图将式（5-20）重新调整后，得)1(0ττtS tC e U eU u ---+=从上式可以看出，右端第一项正是电路的零输入响应，第二项则是电路的零状态响应。
显然，RC 电路的全响应是零输入响应与零状态响应的叠加，即 全响应 = 零输入响应 + 零状态响应研究表明，线性电路的叠加定理不仅适用于RC 电路，在RC 电路的分析过程中同样适用，同时，对于n 阶电路也可应用叠加定理进行分析。
分析一阶电路全响应的三要素法
L i 图6.15 例6.3图 分析一阶电路全响应的三要素法由6-35可见，只要求出电路的初始值、稳态值和时间常数，就可方便的求出电路的零输入、零状态和全响应。
所以仿照上式，可以写出在直流电源激励下，求解一阶线性电路全响应的通式，即τte f f f t f -+∞-+∞=)]()0([)()(（6-36） 式中)(t f 代表一阶电路中任一电压、电流函数。
初始值)0(+f ，稳态值)(∞f 和时间常数τ称为一阶电路全响应的三要素。
1、求初始值)0(+f 的要点：(1)求换路前的)0()0(--L C i u 、；(2)根据换路定则得出)0()0()0()0(-+-+==L L C C i i u u ；(3)根据换路瞬间的等效电路，求出未知的)0(+u 或)0(+i 。
2、求稳态值)(∞f 的要点：(1)画出新稳态的等效电路（注意:在直流电源的作用下, C 相当于开路, L 相当于短路）；(2)由电路的分析方法，求出换路后的稳态值。
3、求时间常数τ的要点：(1)求0>t 时的τ；(2) eqeq R L C R ==ττ,； (3) 将储能元件以外的电路，视为有源一端口网络，然后应用戴维南定理求等效内阻的方法求 eq R 。
[例6.3] 图6.15所示电路原已处于稳态，0=t 时开关闭合。
已知82=s u V ，L=1.2H, R1= R2= R3=2Ω, 求电压源401=s u V 激励时的电感电流L i 。
[解]: 换路前电路为直流稳态电路，所以 2)0(322=+=-R R u i s L A 换路后电感电压为有限值，所以电感电流的初始值为=+)0(L i 2)0(=-L i A换路后电感两端的等效电阻为Ω=++=321213R R R R R R eq 所以时间常数为s R L eq4.0==τ 当401=s u V 时，电感电流的稳态值可求得为 81111)(32122113=+++⋅=∞R R R R u R u R i s s L A 由三要素法可得电感电流为 τt L L L L e i i i i -+∞-+∞=)]()0([)(t e 5.268--= A。
一阶电路暂态分析的三要素法
－t/RC
iC＝ －uC(t)／R
e t/ ＝－(US／R) － RC
ri = US / r
返回
例5、图示电路中U=20V,R=50KΩ,C=4μF,
u 1 2 1 在t=0时闭合S ,在T=0.1秒时闭合S ,试求S2闭合后的 C(t),并画出曲线,设S 闭合前 uC=0.
S1
解:S1闭合后:
u u C(0+)= C(0-)=0 uC(∞)= U = 20V
t = 6+(12－6)e－114 V t τ= [(R=16//+R62)e+－R131]4 ·CV=8.8×10－3s
返回
例4、图中电路原已稳定，求开关闭合后的 uC 和 iK 。
ir iC
r
u u 解：
( )= ( ) C 0+
C 0－ = US
iK
uC(∞)= 0
+C
uC
－US
R
τ = RC uC(t)=USe
因此将初始值、稳态值、时间常数τ 称为一阶电路的三要素。
返回
二、求解一阶电路的三要素法
全响应= 稳态分量+暂态分量
用f (t)表示电路中的某一元件的电压或电流, f (∞)表示稳态值, f (0+)表示初始值，τ
为时间常数。
f (t)=f (∞)+Ae－t／τ
e f (t)=f (∞) +[ f (0+) －f (∞)] －t／τ
R2=3kΩ，R3=1kΩ，R=5kΩ ，E=10V，换路前处于
稳态，在t 线。
=
0时将S由1打向2uC，(V试) 求uC(t)，画出曲
1 S R1
解:
一阶电路全响应和三要素法求解
第四节 一阶电路全响应和三要素法求解当一个非零初始状态的一阶电路受到激励时，电路的响应称为全响应。
一、经典法分析一阶电路全响应暂态过程下面以图5-4-1所示的一阶RC 全响应电路经典法分析为例，介绍一阶暂态电路全响应的分析的方法并以此推出三要素的分析方法。
U Su C i图5-4-1一阶RC 电路全响应电路设电容原有电压为0U ，开关s 闭合后，根据基尔霍夫电压定律（KVL ），有S C CU u dt du RC=+初始条件0)0()0(U u u C C ==-+方程的通解"+'=CC C u u u取换路后达到稳定状态的电容电压为特解，则SC U u ='"C u 为上述方程对应的齐次方程的通解τtC Ae u -="其中RC =τ为电路的时间常数，所以有τtS C Ae U u -+=根据初始条件0)0()0(U u u C C ==-+，得积分常数为S U U A -=0所以电容电压τtS S C e U U U u --+=)(0 （5-4-1）这就是电容电压在0≥t 时的全响应。
二、三要素法若将式（5-4-1）改写成 )1(0ττtS tC e U eU u ---+=上式右边的第一项正是电路的零输入响应，因为如果把电压源置零，电路的响应恰好就是τte U -0。
右边的第二项则是电路的零状态响应，因为它正好是0)0(=+C u 时的响应。
这说明一阶电路中，全响应是零输入响应和零状态响应的叠加，这是线性电路叠加性质的体现。
所以一般情况下，一阶电路的全响应可以表示为 全响应=（零输入响应）+(零状态响应)从式（5-4-1）又可以看出，右边的第一项是稳态分量，它等于外施的直流电压，而第二项则是瞬态分量，它随时间的增长而按指数规律逐渐衰减为零。
所以全响应又可以表示为全响应=（稳态分量）+(瞬态分量)无论是把全响应分解为零状态响应和零输入响应之叠加，还是分解为瞬态分量和稳态分量之叠加，都不过是不同分法，真正的响应则是全响应，是由初始值、特解和时间常数三个要素决定的。
三要素法求一阶电路的响应
r(t) 三要素公式的 r(t)
r()
响应波形曲线
r(0+) r()<r(0+)
r()>r(0+)
r(0+)
r()
t
t
可见，直流激励下一阶电路中任一响应
总是从初始值 r(0+) 开始，按照指数规
律增长或衰减到稳态值r()，响应的快
慢取决于的时间常数 。
注意：（1） 直流激励； （2）一阶电 路任一支路的电压或电流的（全）响应 ； （3）适合于求零输入响应和零状 态响应。
输出电阻，它是三个电阻的并联
3 i(t)
1A
2
+
+
uC 6 9V
-
-
时间常数为
4，将初始值、终值及时间常数代 入三要素公式，得到响应表达式：
电路与模拟电子技术
-
解：1，计算初始值uC(0+)、i(0+) 零状态电路，由换路定则得：
画0+图如右,分流解得： a + u (0+) -
2A 4
4
i(0+)
则： uC(0+)=4V 2，计算稳态值u()、i() b
+ u ( ) -
t→，电路重新达 2A 4 4 到稳定，电容开路，
终值图如右，得：
i( )
u()=0 i() =2A
3，计算时间常数 电容相连接的等效电阻：R=8Ω
时间常数为
代入三要素公式得：
例2-10 求u(t)。已知：
t=0 + u +
1A 1 0.5F u- C
1H iL
+
2
u(t)
三要素法求一阶电路全响应证明
三要素法求一阶电路全响应证明好嘞，今天咱们聊聊一阶电路的全响应，听起来有点高大上，但其实就像喝水一样简单。
先说说什么是一阶电路，简单来说，就是那些只包含一个电感或一个电容的电路。
就好比你家里的水管，要么是直的，要么有个弯头，没啥复杂的。
电路响应嘛，顾名思义，就是电路对输入信号的反应。
咱们要用三要素法来求它，听起来神秘，但其实就是记住三样东西，轻松愉快。
电路里总有个电压源，就像家里有电灯，没电源的电路就像没电的灯，啥也干不了。
我们要知道电路的初始状态，想象一下你刚起床，头发乱七八糟，睁不开眼，那时候你就像一个电路的初态。
我们得搞清楚，这时候电压和电流是什么样的。
电路的状态方程就像你做饭的配方，得先量好材料。
咱们用基尔霍夫定律，这就像你家人争抢遥控器时的规则，谁先抢到，谁就能看电视。
要把这些公式整理一下。
这里的计算过程就像是做一道数学题，心里有个谱，按部就班。
算出来的结果就是电路在某一时刻的状态。
这里面有个关键的地方，时间常数，它就像你的闹钟，一响就能把你叫醒。
时间常数越大，电路的反应越慢，仿佛你还在梦中打转，不愿意醒过来。
反之，时间常数越小，反应速度就快，像个喝了咖啡的年轻人，瞬间就清醒了。
然后，我们得用到强迫响应和自然响应。
强迫响应就像你被老板叫去加班，没得选，只能硬着头皮上班；自然响应就像放假了，终于可以自在地享受生活。
这两者结合起来，就是电路的全响应。
也就是说，我们的电路既要应对外部的电压源，又要考虑到内部的电流状态。
咱们把这两部分结合起来，得到的就是电路的全响应，这就像一盘美味的拼盘，各种口味交融在一起，才叫个美。
大家可能会想，为什么要用三要素法？这就像咱们做菜的时候，要有食材、火候和调味，缺一不可。
三要素法让我们从不同的角度看待问题，找到解决方案。
就算你是个新手，只要有这三样东西，也能做出一桌好菜。
用这个方法求电路全响应，简直是小菜一碟，谁都能搞定。
咱们回顾一下，电路的初始状态、状态方程和时间常数这三样东西，不仅能帮助你求解全响应，还能让你在电路的海洋里遨游自如。
一阶动态电路的全响应及三要素法 ppt课件
ppt课件 18
（3）求时间常数τ S打在2位时，L两端的除源等效电阻为
R1 R2 2 2 R R3 1 2 R1 R2 22
L 0 01 0 005s R 2
mA
ppt课件
13
【例14-3】
下图（a）所示电路原处于稳定状态。t = 0时开 关闭合，求t ≥0的电容电压uC（t）和电流i（t）。
ppt课件
14
解：（1）计算初始值uC（0+）
开关闭合前，图（a）电路已经稳定，电容相当 于开路，电流源电流全部流入4Ω电阻中，此时电容 电压与电阻电压相同，可求得
uC（0+）= uC（0 -）= 4Ω×2 A = 8V
（2）计算稳态值uC（∞） 开关闭合后，电路如图（b）所示，经过一段时 间，重新达到稳定状态，电容相当于开路，运用叠 加定理求得 44
u C ( ) 1 2 V 4 4 10 V 2 V 5 V 7 V 1 1 1 44 2 15 4 4 2ppt课件 44
US 12 8 i1 (0 ) mA R 2 R3 26 3 3 R1 26 R 2 R3
R3 8 2 2 i 2 (0 ) i1 (0 ) mA R2 R3 3 2 6 3
8 2 iC (0 ) i1 (0 ) i2 (0 ) 2 mA 3 3
u C (t ) u C (0 ) e u C ( )(1 e
ppt课件
t
t
）
3
上式还可写为
u C (t ) u C () [u C (0 ) u C ()] e
一阶电路的三要素分析法
后如果使用智慧盒供电连线如图6-2-17所示，使用NEWLab底座供电连接如图6-2-18所示，将st-link仿
真器的20PIN的头与M3主控模块的J1脚相连。
图6-2- 16 ST-LINK仿真器
图6-2- 17 智慧盒供电
图6-2- 18 底座供电
步骤2 打开仿真器下载软件STM32 ST-LINK Utility如右图所示。 步骤3 打开软件后，点击界面中Program verify，如下图所示。
《电路分析与实践项目化教程》
简单低通滤波电路的设计
直流激励下的一阶动态电路分析
一阶电路的三要素分析法
《电路分析与实践项目化教程》
目录
CONTENTS
1 什么是一阶电路的三要素 2 一阶电路三要素法的解题步骤 3 一阶电路三要素法的实例
一、什么是一阶电路的三要素
电路变量由初始值向新的稳态值过渡，并且按照指数规律逐渐趋向 新的稳态值，而过渡的快慢取决于时间常数。因此我们把初始值、稳 态值、时间常数称为一阶动态电路的三要素。一阶电路的全响应为：
f (t) = f (∞) + [f (0+)－f (∞) ] e -t/τ 式中f (t) -----电路中任意处的电压或电流
f (∞) -----电压或电流的稳态值 f (0+) ----换路后一瞬间电压或电流的初始值
τ-------电路的时间常数
一 二、一过阶渡电过路程三要素法的解题步骤
三要素法解题步骤如下： （1）确定电压或电流初始值f (0+)
步骤6 点击下一步
步骤7 选择STM32F1_High-density_512K，点击下一步
步 骤 8 选择download to device选项，选择需要下载的固件地址，并选择Erase necessary
一阶电路的全响应基础知识讲解
代入初值有： 6＝2＋A
A=4
例2
t=0时 ,开关K闭合，求t>0后的iC、uC及电流源两端 的电压(。uC (0 ) 1V ,C 1F )
解 这是一个RC电路全响应 问题，有：
稳态分量：uC () 10 1 11V
RC (1 1)1 2s
三要素
f (0 )
稳态解 初始值 时间常数
用t→的稳态电路求解 用0+等效电路求解
分析一阶电路问题转为求解电路的三个要素的问题
例1
1A
已知：t=0时合开关，求换路后的uC(t) 。
2 +
3F- uC 1
uc (V)
2
0.667
解 uC (0 ) uC (0 ) 2V
0
t
uC () (2 // 1)1 0.667V
Ri
uR C uc
uc1(0 ) uc1(0 ) 0 V
us
1
uc1() 1V
RC
uc1(t )
uc1 ( )
[uc1 (0
)
uc1 ( )]e
t RC
0T
t
t
uc1(t ) 1 e RC V , t 0 t
t T
us 0 t 0
uR1(t ) e RC V ,
i1(t )
1
一阶电路的全响应基础知识讲解
全响应
电路的初始状态不为零，同时又有外 加激励源作用时电路中产生的响应。
1. 全响应
以RC电路为例，非齐次方程
K(t=0) R
i
US
+ uR–
C
+
uC
–
一阶电路的三要素法公式
一阶电路的三要素法公式
其中：
- f(t)为电路中所求的响应（电压或电流）。
- f(0_+)为响应的初始值，即换路后瞬间t = 0_+时的值。
- f(∞)为响应的稳态值，即t→∞时的值。
- τ为一阶电路的时间常数，对于RC电路τ = RC，对于RL电路τ=(L)/(R)（这里R为从储能元件（电容C或电感L）两端看进去的戴维南等效电阻）。
在使用三要素法求解一阶电路时，一般按照以下步骤：
1. 求初始值f(0_+)：
- 首先根据换路前的电路（t = 0_-时的电路）求出储能元件（电容电压
u_C(0_-)或电感电流i_L(0_-)）的初始值。
- 然后根据换路定律（u_C(0_+) = u_C(0_-)，i_L(0_+)=i_L(0_-)）确定换路后瞬间电容电压和电感电流的值。
- 再根据换路后瞬间的电路（t = 0_+时的电路），利用电路的基本定律（如欧姆定律、基尔霍夫定律等）求出所求响应的初始值f(0_+)。
2. 求稳态值f(∞)：
- 画出换路后t→∞时的电路，此时电容相当于开路（i_C(∞)=0），电感相当于短路（u_L(∞)=0）。
- 利用电路的基本分析方法（如电阻的串并联化简、欧姆定律、基尔霍夫定律等）求出所求响应的稳态值f(∞)。
3. 求时间常数τ：
- 对于RC电路，τ = RC，其中R为从电容两端看进去的戴维南等效电阻。
- 对于RL电路，τ=(L)/(R)，其中R为从电感两端看进去的戴维南等效电阻。
最后将f(0_+)、f(∞)和τ代入三要素法公式f(t)=f(∞)+[f(0_+) - f(∞)]e^-(t)/(τ)中，即可求出一阶电路的响应f(t)。
一阶电路全响应的三要素公式
一阶电路全响应的三要素公式好的，以下是为您生成的关于“一阶电路全响应的三要素公式”的文章：在学习电路知识的过程中，一阶电路全响应的三要素公式就像是一把神奇的钥匙，能帮我们轻松打开电路世界的神秘大门。
咱们先来说说这一阶电路全响应到底是啥。
简单来讲，它就是在电源激励和初始储能共同作用下，电路中产生的响应。
这就好比你有一笔存款（初始储能），然后每个月还有固定的工资收入（电源激励），加起来就是你的总财富变化情况（全响应）。
那这三要素公式到底是哪三个要素呢？它们分别是初始值、稳态值和时间常数。
初始值就是电路在初始时刻的状态，就像你刚出发时站的那个起点；稳态值呢，是经过足够长时间后电路稳定下来的状态，就好比你经过长途跋涉最终到达的那个目的地；时间常数则反映了电路从初始状态过渡到稳态的快慢，就像是你到达目的地所花的时间。
给大家讲讲我曾经碰到的一个小例子吧。
有一次，我在实验室里调试一个一阶电路，怎么都弄不对。
我盯着那些电阻、电容和电感，脑袋都大了。
后来我静下心来，仔细分析了初始值、稳态值和时间常数，发现原来是我把一个电阻的阻值算错了，导致整个计算都出了偏差。
经过这次教训，我更加深刻地理解了三要素公式的重要性。
那这三要素公式具体怎么用呢？比如说，我们已知一个一阶 RC 电路，电容的初始电压为 U0，电源电压为 US，电阻为 R，电容为 C。
那么，电路中的电压响应 u(t) 就可以用三要素公式表示为：u(t) = U∞ + [U0 - U∞] e^(-t/τ) ，其中U∞ 就是稳态值，等于 US；τ 就是时间常数，等于 RC 。
再比如说一阶 RL 电路，电感的初始电流为 I0，电源电流为 IS，电阻为 R，电感为 L。
那么，电路中的电流响应 i(t) 就可以表示为：i(t) = I∞ + [I0 - I∞] e^(-t/τ) ，这里的I∞ 等于 IS ，时间常数τ 等于 L/R 。
总之，一阶电路全响应的三要素公式是我们解决一阶电路问题的得力工具。
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强制分量：与输入信号有关，形式与输入函数相同的分量。 自由分量：与输入信号无关的分量。 当激励为直流或正弦信号时，强制分量就是稳态分量，自由 分量也就是暂态分量。但当输入是衰减的指数函数时，则强制 分量是以相同规律衰减的指数函数，就不再有稳态分量了。
8.5 一阶电路的全响应 三要素法 二、三要素法
解： uC (t1 ) 2.528V
求时间常数： R2 R3 R 1.5k RC 1.5s 2 R2 R3
u3 (t1 ) 2.528 V uC () 0 u3 ( ) 0
uC (t ) 2.528e
t t1 τ2
2.528e
A f (0 ) f ' (0 )
f (t ) f ' (t ) [ f (0 ) f ' (0 )]e
三要素：稳态分量、初始值、时间常数。
t
8.5 一阶电路的全响应 三要素法 二、三要素法
设一阶电路全响应的稳态分量为 暂态分量为
f ' (t )
f ' ' (t )，则因为暂态分量的形式为
Ae
t
t
全响应：
f (t ) f ' (t ) [ f (0 ) f ' (0 )]e
三要素：稳态分量、初始值、时间常数。
三要素法对任一线性一阶电路中的任一变量都适用。 在直流激励下，稳态分量是恒定的，常用 f ( ) 表示， 且
f ' (0 ) f ' (t ) f ()
8.5 一阶电路的全响应 三要素法 一、R、C 电路的全响应 t RC u U ( U U )e 2、全响应的分解 C S 0 S
1）全响应
= 稳态分量 + 暂态分量
稳态分量：达到新稳定状态时的响应分量。 2）全响应
暂态分量：随着时间的推移趋于0的分量，形式为：Ae
t
= 强制分量 + 自由分量
6.67105 t t1
V
t t1
u3 (t ) 2.528e
6.67105 t t1
V t t1
0 t t1 : uC (t ) 4(1 e
5105 t
t t1 : uC ( t ) 2.528e
6.67105 t t1
(3) f () 可通过换路后，达到新的稳态的电路来求, 此时，C开路，L短路。
8.5 一阶电路的全响应 三要素法 例8-7 如图8-28(a)所示的电路中，U S 10V
I S 2A
i R S
+ a
R 2
L 4H
Ri
a
试求开关S闭合后电路中的电流iL、i。
(t 0)
iL
L
设一阶电路全响应的稳态分量为 暂态分量为
f ' (t )
f ' ' (t ) ，则因为暂态分量的形式为
Ae
t
t
所以
f (t ) f ' (t ) f ' ' (t ) f ' (t ) Ae
f (0 ) f ' (0 ) A
其中积分常数A根据初始条件确定： 因为 所以
u
(2) C
+
i ( 2)
-C
(2) uC (0 ) U 0
8.5 一阶电路的全响应 三要素法 一、R、C 电路的全响应
S +
R
(t 0)
(1) uC
1、全响应的求解
+
i
(1)
-
Us
- C
uC
(1)
U S (1- e
t RC
)
t RC
(1) uC (0 ) 0
S
+R
(t 0)
uC U S (U 0 U S )e
uC
2
t RC
duC U S RC U 0 RC i C e e dt R R
i
1 o
t
t
Us
1
3
3
2
t
o
(1) U S U 0
(2) U S U 0
t
(3) U S U 0
含储能元件的电路在换路后并不一定都出现过渡过程!
例8-8已知 U S 12V
R1 R2 R3 3k
C 1000pF uC (0 ) 0
+
R1
S
C +u C
R2
(t 0)
U s (t t ) 1 -
+ R3 u3 -
开关S在t=0时断开，经 t1 2s又合上，求u C、u 3。 解：求时间常数： uC (0＋) 0 uC ( ) 4V R1 R3 R2 R 2 u3 (0 ) 6V u3 () 4V R1 R2 R3
(t 0)
S 1 2
10
+ 10V -
2A
+ uC 0 .5 F -
解：(1) uC (0 ) uC (0 ) 10V
2 如图所示电路，t<0时S在“1”位置，电路已 达稳态，现于t = 0时刻将S扳到“2”位置。 试求t ≥ 0时的u C(t)。
30
i3
30 20
+ 10V
－
i2
t→∞电路
( 3)求 R 30 // 30 20 35 L 1 s R 35
i3 ( t ) i3 ( ) [i3 (0 ) i3 ( )]e 0.143 + (0.2 0.143) e
1 RC 2 10 1000 10 s 2s
3 12
uC (t ) 4 (0 4)e u3 (t ) 4 (6 4)e
t 1
t 1
4(1 e 4 2e
5105 t
) V 0 t t1 V 0 t t1
t 2
3 5e
0.5t
A
8.5 一阶电路的全响应 三要素法
例8-7 如图8-28(a)所示的电路中，U S 10V
I S 2A
i R S
+ -
R 2
a
L 4H
试求开关S闭合后电路中的电流iL、i。
(t 0)
iL
L
b
5
Us
Is
0.5t
3
i
iL 3 5e
iL
u3 (t1 ) uC (t1 ) 2.528 V
u3 () 0
例8-8已知 U S 12V
R1 R2 R3 3k
C 1000pF uC (0 ) 0
+
R1
S
C +u C
R2
(t 0)
U s (t t ) 1 -
+ R3 u3 -
开关S在t=0时断开，经 t1 2s又合上，求u C、u 3。
b
换路后
Us
Is
+ U oc -
iL
b
L
iL (0 ) iL (0 ) I S 2A
U OC 6 iL () 3A Ri 2
L 4 2s Ri 2
8.5 一阶电路的全响应 三要素法 例8-7 如图8-28(a)所示的电路中，U S 10V
I S 2A
t (s )
A
0.5t
o
i I S iL 5 5e
A
2
8.5 一阶电路的全响应 三要素法 例8-8 如图8-31所示的电路中，已知 U S 12V R1 R2 R3 3k C 1000pF uC (0 ) 0
开关S在t=0时断开，经 t1 2s 又合上，求u C、
所以
f (t ) f () [ f (0 ) f ()]e
t
要记！
f (t ) f () [ f (0 ) f ()]e
三要素怎么求？
t
L C RC、 L (1) 通过换路后的电路结构求得： R (2) f (0 ) 通过换路定理或0+等效电路来求；
(2) uC
uC
+
i ( 2)
( 2)
U 0e
t RC
u C U S (1 e
t RC
) U 0e
U0 e R
-C
u
(2) C
(0 ) U 0
duC U S i C e dt R
t RC
t RC
8.5 一阶电路的全响应 三要素法 一、R、C 电路的全响应
i R S
+ a
R 2
L 4H
试求开关S闭合后电路中的电流iL、i。
iL (0 ) iL (0 ) I S 2A
iL
L
Us
(t 0)
Is
b
U OC 6 iL () 3A Ri 2
iL 3 (2 3)e
t 2
L 4 2s Ri 2
3 5e
0.5t
A
8.5 一阶电路的全响应 三要素法 例8-7 如图8-28(a)所示的电路中，U S 10V
I S 2A
i R S
+ -
R 2
a