线性代数模拟题1含答案

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线性代数试题库(1)答案

线性代数试题库（1）答案一、选择题：（3×7=21分）1.n 阶行列式D 的元素a ij 的余子式M ij 与a ij 的代数余子式A ij 的关系是（ C ） A ． A ij =M ij B 。

A ij =(-1) n M ij C 。

A ij =(-1)j i +M ij D 。

A ij =-M ij2．设A 是数域F 上m x n 矩阵，则齐次线性方程组AX=O （ A ） A ．当m < n 时，有非零解 B ．当m > n 时，无解C ．当m=n 时，只有零解D ．当m=n 时，只有非零解 3．在n 维向量空间V 中，如果σ，τ∈L （V ）关于V 的一个基{n αα,,1 }的矩阵分别为A ，B.那么对于a ，b ∈F ，a σ+b τ关于基{n αα,,1 }的矩阵是（ C ） A ．A+B B ．aA+B C ．aA+bB D ．A+Bb 4．已知数域F 上的向量321,,ααα 线性无关，下列不正确的是（ D ）A 1α，2α线性无关B ．32,αα线性无关C ．13,αα线性无关D ．321,,ααα中必有一个向量是其余向量的线性组合。

5．R n 中下列子集，哪个不是子空间（ C ） A ．RnB ．∑===∈ni i i n a n i R a a a 11}0,,1,|),,{(且C ．∑===∈ni i i n a n i R a a a 11}1,,1,|),,{(且 D ．{0}6．两个二次型等价当且仅当它们的矩阵（ A ）A 。

相似B ．合同C ．相等D ．互为逆矩阵 7．向量空间R 3的如下变换中，为线性变换的是（ C ）A ．)1,1|,(|),,(1321x x x x =σB ．),,1(),,(321321x x x x x x +=σC ．)0,,(),,(32321x x x x x =σD ．),,(),,(232221321x x x x x x =σ二．填空题（3X10=30分）1．当且仅当k=（-1或3）时，齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=+-=++09030322132`1321x k x x kx x x x x x 有非零解2．设A=()0,,,0321321≠=≠⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛b b b B a a a ,则秩（AB ）为（1）。

考研数学一(线性代数)模拟试卷1(题后含答案及解析)

考研数学一（线性代数）模拟试卷1(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．设A是三阶矩阵，B是四阶矩阵，且｜A｜=2，｜B｜=6，则为( )．A．24B．一24C．48D．一48正确答案：D解析：知识模块：线性代数部分2．设A为二阶矩阵，且A的每行元素之和为4，且｜E+A｜=0，则｜2E+A2｜为( )．A．0B．54C．-2D．-24正确答案：B解析：因为A的每行元素之和为4，所以A有特征值4，又｜E+A｜=0，所以A有特征值一1，于是2E+A2的特征值为18，3，于是｜2E+A2｜=54，选(B)．知识模块：线性代数部分3．设n维行向量，A=E—αTα，B=E+2αTα，则AB为( )．A．0B．一EC．ED．E+αTα正确答案：C解析：知识模块：线性代数部分4．设A，B为n阶矩阵，则下列结论正确的是( )．A．若A，B可逆，则A+B可逆B．若A，B可逆，则AB可逆C．若A+B可逆，则A—B可逆D．若A+B可逆，则A，B都可逆正确答案：B解析：若A，B可逆，则｜A｜≠0，｜B｜≠0，又｜AB｜=｜A｜｜B｜，所以｜AB｜≠0，于是AB可逆，选(B)．知识模块：线性代数部分5．设A，B为n阶对称矩阵，下列结论不正确的是( )．A．AB为对称矩阵B．设A，B可逆，则A-1+B-1为对称矩阵C．A+B为对称矩阵D．kA为对称矩阵正确答案：A解析：由(A+B)T=AT+BT=A+B，得A+B为对称矩阵；由(A-1+B-1)T=(A-1)T+(B-1)T=A-1+B-1，得A-1+B-1为对称矩阵；由(ka)T=kAT=kA，得kA为对称矩阵，选(A)．知识模块：线性代数部分6．设A，B皆为n阶矩阵，则下列结论正确的是( )．A．AB=0的充分必要条件是A=0或B=0B．AB≠0的充分必要条件是A≠0且B≠0C．AB=0且r(A)=n，则B=0D．若AB≠0，则｜A｜≠0或｜B｜≠0正确答案：C解析：知识模块：线性代数部分7．n阶矩阵A经过若干次初等变换化为矩阵B，则( )．A．｜A｜=｜B｜B．｜A｜≠｜B｜C．若｜A｜=0则｜B｜=0D．若｜A｜＞0则｜B｜＞0正确答案：C解析：因为A经过若干次初等变换化为B，所以存在初等矩阵P1，Ps，Q1，…，Qt，使得B=Ps…P1AQ1…Qt，而P1，…，Ps，Q1，…，Q都是可逆矩阵，所以r(A)=r(B)，若｜A｜=0，即r(A)＜n，则r(B)＜n，即｜B｜=0，选(C)．知识模块：线性代数部分8．设A为m×n阶矩阵，C为n阶矩阵，B=AC，且r(A)=r，r(B)=r1，则( )．A．r＞r1B．r＜r1C．r≥r1D．r与r1的关系依矩阵C的情况而定正确答案：C解析：因为r1=r(B)=r(AC)≤r(A)=r，所以选(C)．知识模块：线性代数部分9．设A为m×n阶矩阵，B为n×m阶矩阵，且m＞n，令r(AB)=r，则( )．A．r＞mB．r=mC．r＜mD．r≥m正确答案：C解析：显然AB为m阶矩阵，r(A)≤n，r(B)≤n，而r(AB)≤min{r(A)，r(B))≤n＜m，所以选(C)．知识模块：线性代数部分10．设A为四阶非零矩阵，且r(A*)=1，则( )．A．r(A)=1B．r(A)=2C．r(A)=3D．r(A)=4正确答案：C解析：因为r(A*)=1，所以r(A)=4—1=3，选(C)．知识模块：线性代数部分11．设A，B都是n阶矩阵，其中B是非零矩阵，且AB=0，则( )．A．r(B)=nB．r(B)＜nC．A2一B2=(A+B)(A—B)D．｜A｜=0正确答案：C解析：因为AB=0，所以r(A)+r(B)≤n，又因为B是非零矩阵，所以r(B)≥1，从而r(A)＜n，于是｜A｜=0，选(D)．知识模块：线性代数部分12．设A，B分别为m阶和n阶可逆矩阵，则的逆矩阵为( )．A．B．C．D．正确答案：D解析：知识模块：线性代数部分13．A．B=P1P2AB．B=P2P1AC．B=P2AP1D．B=AP2P1正确答案：D解析：P1=E12，P2=E23(2)，显然A首先将第2列的两倍加到第3列，再将第1及第2列对调，所以B=AE23(2)E12=AP2P1，选(D)．知识模块：线性代数部分14．A．B=P1AP2B．B=P2AP1C．B=P2-1AP1D．B=P1-1AP2-1正确答案：D解析：知识模块：线性代数部分填空题15．正确答案：23解析：按行列式的定义，f(x)的3次项和2次项都产生于(x+2)(2x+3)(3x+1)，且该项带正号，所以x2项的系数为23．知识模块：线性代数部分16．设A为三阶矩阵，A的第一行元素为1，2，3，｜A｜的第二行元素的代数余子式分别为a+1，a一2，a一1，则a=_________．正确答案：1解析：由(a+1)+2(a一2)+3(a一1)=0得a=1．知识模块：线性代数部分17．设A是m阶矩阵，B是n阶矩阵，且=_________.正确答案：(-1)mnab解析：将B的第一行元素分别与A的行对调m次，然后将B的第二行分别与A的行对调m次，如此下去直到B的最后一行与A的行对调m次，则知识模块：线性代数部分18．设A=(α1，α2，α3)为三阶矩阵，且｜A｜=3，则｜α1+2α2，α2—3α3，α3+2α1｜=________．正确答案：-33解析：｜α1+2α2，α2—3α3，α3+2α1｜=｜α1，α2—3α3，α3+2α1｜+｜2α2，α2—3α3，α3+2α1｜=｜α1，α2-3α3，α3｜+2｜α2，-3α3，α3+2α1｜=｜α1，α2，α3｜一6｜α2，α3，α3+2α1｜=｜α1，α2，α3｜一6｜α2，α3，2α1｜=｜α1，α2，α3｜一12｜α2，α3，α1｜=｜α1，α2，α3｜一12｜α1，α2，α3｜=一33 知识模块：线性代数部分19．设三阶矩阵A=(α，γ1，γ2)，B=(β，γ1，γ2)，其中α，β，γ1，γ2是三维列向量，且｜A｜=3，｜B｜=4，则｜5A一2B｜=________．正确答案：63解析：由5A一2B=(5α，5γ1，5γ2)一(2β，2γ1，2γ2)=(5α一2β，3γ1，3γ2)，得｜5A一2B｜=｜5α一2β，3γ1，3γ2｜=9｜5α一2β，γ1，γ2｜=9(5｜α，γ1，γ2｜一2｜β，γ1，γ2｜)=63 知识模块：线性代数部分20．设α=(1，一1，2)T，β=(2，1，1)T，A=αβT，则An=_________．正确答案：解析：知识模块：线性代数部分21．正确答案：0解析：由A2=2A得An=2n-1A，An-1=2n-2A，所以An一2An-1=0．知识模块：线性代数部分22．正确答案：解析：知识模块：线性代数部分23．A2一B2=(A+B)(A—B)的充分必要条件是_________．正确答案：AB=BA解析：A2一B2=(A+B)(A一B)=A2+BA—AB一B2的充分必要条件是AB=BA．知识模块：线性代数部分24．设A是三阶矩阵，且｜A｜=4，则=__________正确答案：2解析：知识模块：线性代数部分25．正确答案：解析：知识模块：线性代数部分26．正确答案：8解析：因为A为四阶矩阵，且｜A*｜=8，所以｜A*｜=｜A｜3=8，于是｜A｜=2．又AA*=｜A｜E=2E，所以A*=2A-1，故知识模块：线性代数部分27．设A为三阶矩阵，且｜A｜=3，则｜(一2A)*｜=_________．正确答案：576解析：因为(一2A)*=(一2)2A*=4A*，所以｜(一2A)*｜=｜4A*｜=43｜A｜2=64×9=576．知识模块：线性代数部分28．正确答案：解析：知识模块：线性代数部分29．正确答案：解析：知识模块：线性代数部分30．正确答案：解析：知识模块：线性代数部分31．正确答案：解析：知识模块：线性代数部分32．设A为n阶可逆矩阵(n≥2)，则[(A*)*]-1=_________(用A*表示)．正确答案：解析：知识模块：线性代数部分33．正确答案：解析：知识模块：线性代数部分34．设n维列向量α=(a，0，…，0，a)T，其中a＜0，又A=E-ααT，，且B为A的逆矩阵，则a=________．正确答案：-1解析：知识模块：线性代数部分35．设三阶矩阵A，B满足关系A-1BA=6A+BA，且，则B=__________．正确答案：解析：由A-1BA=6A+BA，得A-1B=6E+B，于是(A-1-E)B=6E，知识模块：线性代数部分36．设A是4×3阶矩阵且r(A)=2，B=，则r(AB)=__________．正确答案：2解析：因为｜B｜=10≠0，所以r(AB)=r(A)=2．知识模块：线性代数部分37．正确答案：2解析：因为AB=0，所以r(A)+r(B)≤3，又因为B≠0，所以r(B)≥1，从而有r(A)≤2，显然A有两行不成比例，故r(A)≥2，于是r(A)=2．知识模块：线性代数部分38．正确答案：解析：知识模块：线性代数部分解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

专升本模拟题答案-水利水电工程-线性代数代数-参考答案1-325

线性代数模拟题1一．单选题.1.下列（ A ）是4级偶排列．（A ） 4321； (B) 4123； (C) 1324； (D) 2341． 2. 如果1333231232221131211==a a a a a a a a a D ，3332313123222121131211111324324324a a a a a a a a a a a a D ---=，那么=1D （ B ）．（A ） 8； (B) 12-； (C) 24； (D) 24-． 3. 设A 与B 均为n n ⨯矩阵，满足O AB =，则必有（ C ）．（A ）O A =或O B =；（B ）O B A =+；（C ）0=A 或0=B ；（D ）0=+B A ． 4. 设A 为n 阶方阵)3(≥n ，而*A 是A 的伴随矩阵，又k 为常数，且1,0±≠k ，则必有()*kA 等于（ B ）．（A ）*kA ；（B ）*1A kn -；（C ）*A k n ；（D ）*1A k -．5.向量组s ααα,....,,21线性相关的充要条件是（ C ）（A ）s ααα,....,,21中有一零向量(B)s ααα,....,,21中任意两个向量的分量成比例(C) s ααα,....,,21中有一个向量是其余向量的线性组合 (D)s ααα,....,,21中任意一个向量都是其余向量的线性组合6. 已知21,ββ是非齐次方程组b Ax =的两个不同解，21,αα是0=Ax 的基础解系，21,k k 为任意常数，则b Ax =的通解为（ B ） (A) 2)(2121211ββααα-+++k k ; (B) 2)(2121211ββααα++-+k k(C) 2)(2121211ββββα-+++k k ; (D) 2)(2121211ββββα++++k k7. λ＝2是A 的特征值，则（A 2/3）－1的一个特征值是（ B ）(a)4/3 (b)3/4 (c)1/2 (d)1/48. 若四阶矩阵A 与B 相似，矩阵A 的特征值为1/2,1/3,1/4,1/5，则行列式|B -1-I|=( B )(a)0 (b)24 (c)60 (d)1209. 若A 是（ A ），则A 必有A A ='．（A ）对角矩阵； (B) 三角矩阵； (C) 可逆矩阵； (D) 正交矩阵． 10. 若A 为可逆矩阵，下列（ A ）恒正确．（A ）()A A '='22； (B) ()1122--=A A ； (C) [][]111)()(---''='A A ； (D) [][]'=''---111)()(A A ．二．计算题或证明题 1. 设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=3241223k kA (1)当k 为何值时，存在可逆矩阵P ，使得P －1AP 为对角矩阵？(2)求出P 及相应的对角矩阵。

四川大学网络教育学院线性代数1 模拟题和答案。汇编

《线性代数》模拟试题１１.解释下列概念（１）向量组的秩答：一个向量组的极大线性无关组所含向量的个数（２）线性方程组的解的结构答：齐次线性方程组Ax=0的通解非齐次线性方程组Ax=b的通解（３）克拉默法则答：若线性方程组⑴的系数矩阵可逆（非奇异），即系数行列式D≠0。

有唯一解，其解为（４）方阵的特征值和特征向量答：设A为n阶方阵，若数λ和n维的非零列向量x，使关系式Ax=λx成立，则称数λ为方阵A 的特征值，非零向量x称为A的对应与特征值λ的特征向量。

２.已知下列矩阵和向量,,,(a)计算下列表达式（１）Ａ-Ｂ答：（２）｜Ｂ｜答：（３）ＡＢ答：（４）Ｂ-１答：(b)用克拉默法则求方程组AX=b,其中X=(X1,X2,X3)答：(c)求C的特征值和特征向量《线性代数》模拟试题21.解释下列概念（１）矩阵的转置答：它将矩阵的每一行变成列，那么原先的每一列就会变成行，简单点说就是行列互换。

（２）Ｎ维向量答：N 个有次序的数a 1,a 2..a n 所组成的数组称为N 维向量（３）向量线性相关的条件：答：向量组a 1,a 2..，a s (s>=2)线性相关的充要条件是a 1,a 2..，a s 中至少有一个向量可由其余向量线性表示（４）矩阵的相似条件答：对于矩阵A、B，如果能找到n 阶可逆矩阵P，使得：P^(-1)AP=B，则A、B 矩阵相似２.计算行列式答：３.计算下列矩阵的乘法答：４.计算矩阵的逆答：５.用克拉默法则求方程组答：６.求下列矩阵的特征值和特征向量答：《线性代数》模拟试题3１.解释下列概念（１）总结齐次和非齐次线性方程组有解的条件答：非齐次线性方程组有解的条件：系数矩阵的柣等于增广矩阵的柣；齐次方程组有唯一零解的条件：系数行列式的值为0，不为0就有无穷多解（２）向量线性无关的条件答：满秩是向量组线性无关的充要条件（３）伴随矩阵答：n阶方阵A的元素的代数余子式组成的矩阵称为A的伴随矩阵A*（４）矩阵的转置答：它将矩阵的每一行变成列，那么原先的每一列就会变成行，简单点说就是行列互换。

线性代数模拟试卷及答案

线性代数(文)模拟试卷(一)参考答案一。

填空题(每小题3分，共12分）1.设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=333222111c b a c b a c b a A ，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=333222111d b a d b a d b a B ，2=A ,3=B ，则B A -2=1. 解 B A -2=3332221113332221113333222211112222d b a d b a d b a c b a c b a c b a d c b a d c b a d c b a -=---=12=-B A .2。

已知向量)3,2,1(=α，)31,21,1(=β,设βαT A =，其中T α是α的转置，则n A =A n 13-.解注意到3321)31,21,1(=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=T βα,故n A =βαβαβαβαT n T T T 个)())((=ββαβαβααβαTn T T T T 个)1()())((-=A n T n 1133--=βα。

注若先写出A ，再求2A ,…,n A 将花比前更多的时间.3。

若向量组T )1,0,1(1-=α，T k )0,3,(2=α，T k ),4,1(3-=α线性相关，则k =3-.解由1α,2α,3α线性相关，则有321,,ααα=k k 0143011--=1043011--k k k =04)1(3143=--=-k k k k 。

由此解得3-=k .4。

若4阶矩阵A 与B 相似，矩阵A 的特征值为21，31，41,51,则行列式E B --1 =24.解因为A 与B 相似,所以A ,B 有相似的特征值，从而E B --1有特征值1，2，3,4。

故2443211=⋅⋅⋅=--E B . 注本题解答中要用到以下结论:(1)若A 可逆,A 的特征值为λ,则1-A 的特征值为λ1。

(2)若λ是A 的特征值，则)(A f 的特征值为)(λf ，其中)(x f 为任意关于x 的多项式。

线性代数模拟题1

一、选择题1.设向量()()()=-1,0,1=2,-3,=,3,1T T Tx y αβγ-，，，且2αβγ+=，则x =（）..1A - .0B .2C .1D 2.已知()11=1,2,3=1,,=23TT T A αβαβ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，,则n A =（） 111213212223212223111213313233311132123313123.,010100100,010,001101a a a a a a A a a a B a a a a a a a a a a a a P P ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+++⎣⎦⎣⎦⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭设则（）A. 12APP B =B. 21AP P B =C. 12PP A B =D. 21P PA B =4.排列2413的逆序数()τ=5.如果方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=-=-+0404033232321kx x xx x kx x 有非零解,则 k =（）A.-2B.-1C.1D.26.若3阶行列式1023145x x 的代数余子式121A =-，则代数余子式21A =（）.1A - B ．4 C ．-2 D ．27．设A 、B 为同阶可逆矩阵，则以下结论正确的是（）A ．|AB|=|BA|B ．|A+B|=|A|+|B|C ．（AB ）-1=A -1B -1D ．（A+B ）2=A 2+2AB+B 28．设A 为3阶方阵，且|A |＝2，则|2A -1|=（）A ．-4B ．-1C ．1D ．49.若矩阵A 满足()12,A A E A E -+=+=则（）.A A E - .B A E + .2C A E -+ .D A10.设123,,,,αααβγ均为4维列向量，且4阶行列式321,,,2,αααβ=-123,,,1,βγααα+=-则4阶行列式1232,,,γααα=（）A ．0B ．2C ．1D ．-111.设A 为三阶矩阵，且|A |=2，则|（A *）-1|=（） A.41B.1C.2D.412．设A 为5×4矩阵，若秩（A ）=4，则秩（5A T ）为（）A ．2B ．3C ．4D ．513.设α1=[1，2，1]，α2=[0，5，3]，α3=[2，4，2]，则向量组α1，α2，α3的秩是（）A ．0B ．1C ．2D ．314．若向量组α1=（1，t+1，0），α2=（1，2，0），α3=（0，0，t 2+1）线性相关，则实数t=（）A ．0B ．1C ．2D ．315．设3元非齐次线性方程组Ax=b 的两个解为α=（1，0，2）T ， β=（1，-1，3）T ，且系数矩阵A 的秩r(A )=2，则对于任意常数k , k 1, k 2, 方程组的通解可表为（）A ．k 1(1,0,2)T +k 2(1,-1,3)TB ．(1,0,2)T +k (1,-1,3)TC ．(1,0,2)T +k (0,1,-1)TD ．(1,0,2)T +k (2,-1,5)T16．对非齐次线性方程组A m ×n x =b ，设秩（A ）=r ，则（）A ．r =m 时，方程组Ax =b 有解B ．r =n 时，方程组Ax =b 有唯一解C ．m =n 时，方程组Ax =b 有唯一解D ．r <n 时，方程组Ax =b 有无穷多解17．若A=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡10001000210100002B x 与相似，则x=（） A ．-1 B ．0 C ．1 D ．218.设()21,103T a A ξ⎛⎫== ⎪⎝⎭是的特征向量，则a =（） A ．1 B ．0 C ．-1D ．2 19．设λ=2是可逆矩阵A 的一个特征值，则矩阵（A 2）-1必有一个特征值等于（）A ．41B ．21C ．2D ．420.设A 为3阶方阵，其特征值分别为2,1,0则| A +2E |=( )A.0B.2C.3D.2421.若向量α=（1，-2,1）与β=(2，3，t )正交，则t =( )A.-2B.0C.2D.422.三元二次型f （x 1，x 2，x 3）=233222312121912464x x x x x x x x x +++++的矩阵为（）A.⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡963642321B.⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡963640341C.⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡960642621D.⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡9123042321 23．若实对称矩阵A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛a a a 000103为正定矩阵，则a 的取值应满足().0A a <<.0B a <<.C a <<.1D a <<二、计算题1.已知矩阵A=011110124⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭，B=101332⎛⎫⎪- ⎪ ⎪⎝⎭，（1）判断A 是否可逆，如可逆，求A 的逆矩阵A -1以及秩；（2）解矩阵方程AX=B.2．求行列式01121102(1)12102110-----(2)a b b b a bb b a的值.3. .已知矩阵A=111011002⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭，B=121011-⎛⎫⎪-⎝⎭，（1）求A 的逆矩阵A -1；（2）解矩阵方程XA=B.4．求线性方程组123412341234221245224x x x x x x x x x x x x -++=⎧⎪+++=⎨⎪---+=-⎩（1）求导出组的基础解系；（2）求方程组的一般解。

线性代数模拟题一及参考答案

《线性代数》模拟题（一）及参考答案一、填空题1. 行列式3465202081001000D == .2. 若行列式1112132122233132332a a a a a a a a a =，则111112132121222331313233623623623a a a a a a a a a a a a ++=+ . 3. 设三维向量(3,1,2)T α=-，(3,1,4)T β=，若向量γ满足23αγβ+=，则γ= .4. 设A 是三阶方阵，将A 的第一行与第二行交换得到矩阵B ，则||A B -= .5. 三阶方阵A 的逆矩阵的行列式的值为6，则行列式|2|A -= .6. 设200020102A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，矩阵X 满足关系式2AX E A X +=+，则X = .7. 设4阶方阵520021000012011A ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪- ⎪⎝⎭，则A 的逆阵1A -= .8. 设A 是43⨯矩阵，且A 的秩()2R A =，又102020103B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，则()R AB = .9. 设n 阶矩阵A 中所有元素都为(0)a a ≠，则()R A = .10. 已知1(1,4,3)T α=，2(2,,1)T t α=-，3(2,3,1)T α=-线性相关，则t = .11. 设P 是n 阶正交阵，x 是n 维单位向量，则向量y Px =的长度||||Px = .12. 设1(1,1,1)T α=，2(1,0,1)T α=-，3α是正交向量组，则3α= . 13. 若λ是n 阶方阵A 的特征值，则23A E -的特征值是 .14.设三阶方阵A 有三个不同的特征值，其中两个特征值分别为2,3，已知||48A =，则A 的第三个特征值为 . 15. 已知四阶矩阵A 与B 相似，A 的特征值为2,3,4,5，E 为四阶单位矩阵，则||B E -= .16. 设二阶实对称矩阵A 的特征值为2,2-，则2A = .17.设A 为三阶实对称矩阵，1(1,2,3)T α=和2(2,2,)T k α=分别为A 的对应于不同特征值的特征向量，则数k = . 18.已知三阶实对称矩阵A 的特征多项式为||(1)(2)(5)E A λλλλ-=-+-，则二次型123(,,)T f x x x x Ax =的正惯性指数为 . 19. 二次型222(,,)(1)2f x y z x a y z yz =+++-为正定，则a 应满足条件 .20. 设三阶实对称矩阵A 满足22A A O +=，且()2R A =，若kE A +为正定矩阵，则数k 应满足的条件是 . 二、单项选择题1. 设A 为n 阶方阵，则下列方阵中为对称矩阵的是()A T A A -. ()B (T CAC C 为任意n 阶方阵). ()C T AA . ()D ()(T AA B B 为n 阶方阵). 答【】2. 设,A B 是两个n 阶方阵，则下列结论中正确的是()A ()k k k AB A B =. ()B ||||A A -=. ()C ()T T T BA B A =. ()D 22()()E A E A E A -=-+. 答【】3. 设齐次线性方程组55510A x ⨯⨯=有非零解，则必有()A ()1R A =. ()B ()5R A =. ()C ||0A =. ()D ||0A ≠. 答【】 4.设向量组123,,ααα线性无关，则下列向量组中线性无关的是()A 123,2,3ααα. ()B 122331,,αααααα---.()C 1123,2,αααα-. ()D 1223123,,2ααααααα+-+-. 答【】 5.设向量组1(1,2,3)T α=，2(0,1,2)T α=，3(0,0,1)T α=，(1,3,6)T β=，则下列结论中正确的是()A 123,,,αααβ线性无关. ()B β不能由123,,ααα线性表示.()C β能由123,,ααα线性表示，且表示法唯一. ()D β能由123,,ααα线性表示，但表示法不唯一. 答【】 6. 设有向量组1(1,1,2,4)T α=-，2(0,3,1,2)T α=，3(3,0,7,14)T α=，4(1,2,2,0)T α=-，5(2,1,5,10)T α=，则该向量组的最大无关组是()A 123,,ααα. ()B 124,,ααα. ()C 125,,ααα. ()D 1245,,,αααα. 答【】7. 设A 是正交矩阵，j α是A 的第j 列，则j α与j α的内积等于()A 0. ()B 1. ()C 2. ()D 3. 答【】 8. 设三维列向量组123,,ααα线性无关，则123(,,)A ααα=是()A 奇异矩阵. ()B 对称矩阵. ()C 正交矩阵. ()D 可逆矩阵. 答【】 9. 设二阶矩阵A 满足|2|0E A +=，|3|0A E -=，则||A =()A 32-. ()B 23-. ()C 23. ()D 32. 答【】 10. 设矩阵10000101A x ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭与对角阵10000001y ⎛⎫⎪Λ= ⎪ ⎪-⎝⎭相似，则参数,x y 的值分别为()A 0,1x y ==. ()B 1,0x y ==. ()C 0,1x y ==-. ()D 1,0x y =-=. 答【】 11. 设11012021A a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭是正定矩阵，则a 的取值范围是()A 5a <. ()B 5a >. ()C 5a <-. ()D 5a >-. 答【】12. 设111111111A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则有一个非零特征值为()A 1. ()B 2. ()C 3. ()D 4. 答【】 13.设202A ⎛= ⎝⎭，则行列式2|22|A A E --的值为()A 0. ()B 4. ()C 16. ()D 32. 答【】14. 设2λ=是非奇异矩阵A 的一个特征值，则矩阵211()3A -有一个特征值等于()A43. ()B 34. ()C 12. ()D 14. 答【】 15. 设222123123121323(,,)224f x x x x x x x x x x x x =+-+--，令123P ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则f 经线性变换x Py =后所得到的二次型为 ()A 222123121323494624y y y y y y y y y +-+--. ()B 2221231323264y y y y y y y +---. ()C 22121213446y y y y y y ++-. ()D 222123132349624y y y y y y y +---. 答【】二、计算题：1. 计算下列四阶行列式：(1) 101221010101142D --=--. (2) x a a aax a a D a ax a a a ax=.2. 已知矩阵(2,1,0)A =，(1,2,3)B =，2()51f x x x =-+，求T A B 及()T f A B .3. 设B 为三阶矩阵，且满足2AB A B =+，又301030103A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，求矩阵B .4. 求解齐次线性方程组12341234123420,3630,51050.x x x x x x x x x x x x ++-=⎧⎪+--=⎨⎪++-=⎩5. 设有非齐次线性方程组123412342341,23,3,x x x x x x x x t x x x +++=⎧⎪+++=⎨⎪-++=⎩问t 取何值时，方程组有解？在方程组有解时，求其通解.6. 已知向量组:A 1(1,2,3)T α=-，2(0,2,5)T α=-，3(1,0,2)T α=-，（1）求该向量组的秩，判别向量组的线性相关性，并求一个最大无关组.（2）将3α表为12,αα的线性组合. 7.设三阶方阵A 的特征值为11λ=，20λ=，31λ=-，所对应的特征向量分别为1(1,2,2)T p =，2(2,2,1)T p =-，3(2,1,p =-- 2)T ，求A .8. 设011101110A -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，(1) 求一个可逆矩阵P ，使1P AP -=Λ为对角阵. (2) 写出A 对应的二次型123(,,)f x x x .9. 设二次型22212312323(,,)4332f x x x x x x x x =+++. (1) 用矩阵记号写出二次型f ； (2) 求一个正交变换，把二次型化为标准形；(3) 判别二次型的正定性.10. 已知2221231231213(,,)4222f x x x x x x tx x x x =+++-为正定二次型， (1) 确定t 的取值范围； (2) 写出f 的规范形.11. 求二次型2212312121323(,,)3222f x x x x x x x x x x x =--++的规范形. 四、证明题：1. 设123,,ααα是齐次线性方程组0Ax =的一个基础解系，证明：122331,,αααααα+++也是该方程组的一个基础解系.2. 证明：三维向量空间3R 中向量集合{(,,)|0}TV x y z x y z =++=是向量空间，并求出它的维数和一个基. 3. 设α是n 阶矩阵A 的属于特征值λ的特征向量，证明：1P α-一定是1P AP -的属于特征值λ的特征向量.《线性代数》模拟题（一）参考答案一、填空题1.10.2.36.3.(3,5,8)T .4.0.5.43-.6.300030103⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.7.12002500001230011-⎛⎫ ⎪-⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭. 8.2. 9.1. 10.3-. 11.1. 12.(1,2,1)(0)T k k -≠. 13.23λ-. 14.8. 15.24. 16.4004⎛⎫⎪⎝⎭. 17.2-. 18.1. 19.0a >. 20.2k >.二、单项选择题1.C .2.D .3.C .4.A .5.C .6.B .7.B .8.D .9.B . 10.A . 11.B . 12.C . 13.B . 14.B . 15.A . 二、计算题：1.解(1) （法一）（展开法则）221210121121122101221(1)202202(1)(1)22200256142506142D ++-----==⨯--=-=-⨯-=---.(法二)（上三角）10121012101210120125012501250125222112201010026001300130054005400540011D --------=====⨯=-------.(2) 333003000(3)00(3)()300003000x a a a a x a a a a x a x ax a a x a D x a x a x a x a x a ax a x a a x ax a a axx a++-+-===+-=+-+--+-.2.解 22461(1,2,3)1230000T A B ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.记T C A B =，则2()()5T f A B f C C C E ==-+，其中2()()()T T T T C A B A B A BA B === ()44T T T BA A B A B C ==，故100246146()45010123113001000001T f A B C C E E C ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=-+=-=-=--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.3.解（法一）由题设，得2AB B A -=，即(2)A E B A -=，其中1012010101A E ⎛⎫⎪-= ⎪ ⎪-⎝⎭，220A E -=≠，知1(2)A E --存在，则1(2)B A E A -=-.又*101(2)020101A E -⎛⎫ ⎪-= ⎪ ⎪⎝⎭，从而1*10111(2)(2)02022101A E A E A E --⎛⎫ ⎪-=-= ⎪- ⎪⎝⎭.故 10130120110200300302101103102B --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪== ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭.（法二）由题设，得2AB B A -=，即(2)A E B A -=，其中1012010101A E ⎛⎫ ⎪-= ⎪ ⎪-⎝⎭.由101301101301101301100201(2,)010030~010030~010030~010030101103002204001102001102A E A -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，知2A E -可逆，且1201(2)030102B A E A --⎛⎫⎪=-= ⎪ ⎪⎝⎭.4.解 1211121112013613~0040~00105101500400000---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则124223442,,0,,x x x x x x x x =-+⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩故通解为12122110(,)0001x c c c c R -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪=+∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 5.解 111111111111111(,)2311~01112~01112011130111300001B A b t t t t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪==------ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当1t =时，()()2R A R B ==，方程组有无穷多解.此时1111110224~01113~011130000000000B ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪------ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则1342343344224,3,,,x x x x x x x x x x =--+⎧⎪=+-⎪⎨=⎪⎪=⎩故通解为1212224113(,)100010x c c c c R --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪=++∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.6.解（1）设123101(,,)220352A ααα-⎛⎫ ⎪==- ⎪ ⎪-⎝⎭，则101101~022~011055000A --⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，知()23R A =<，故该向量组的秩为2，123,,ααα线性相关.由于12(,)2R αα=，即12,αα线性无关，故12,αα即为所求的一个最大无关组.（2）若令31122k k ααα=+，则由101~011000A -⎛⎫⎪- ⎪ ⎪⎝⎭，知121,1k k =-=.故所求的表示式为312ααα=-+.7.解因A 的特征值互不相等，所以A 与对角阵101⎛⎫⎪Λ= ⎪⎪-⎝⎭相似，即有可逆矩阵P ，使1P AP -=Λ，其中123(,,)P p p p = 122221212-⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪⎝⎭.故1122112210212210211122102212012210129932121212202212220A P P ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪=Λ=---=-= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 8.解 (1)由22111101001111111(1)(2)(1)(2)111112A E λλλλλλλλλλλλλλλλ------=--=--=---=-+-=--+---，求得A 的特征值为12λ=-，231λλ==.当12λ=-时，解(2)0A E x +=.由2111012121~011112000A E -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得基础解系为1111ξ-⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭.当231λλ==时，解()0A E x -=.由111111111~000111000A E ---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，得基础解系为2110ξ-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，3101ξ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.故所求的一个可逆矩阵为123111(,,)110101P ξξξ--⎛⎫ ⎪==- ⎪ ⎪⎝⎭，并使1211P AP --⎛⎫ ⎪=Λ=⎪ ⎪⎝⎭. (2) 123121323(,,)222f x x x x x x x x x =-++. 9.解 (1) 112323400(,,)031013T x f x Ax x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎪⎪== ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.(2) 2240031031(4)(4)(68)(2)(4)13013A E λλλλλλλλλλλλ---=-=-=--+=-----，求得A 的特征值为12λ=，234λλ==.当12λ=时，解(2)0A E x -=.由2001002011~011011000A E ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得基础解系为1011ξ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，将1ξ单位化，得1011p ⎛⎫⎪=-⎪⎪⎭. 当234λλ==时，解(4)0A E x -=.由0000114011~000011000A E -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，得基础解系为2100ξ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，3011ξ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，将23,ξξ单位化，得2(1,0,0)T p =，3T p =.故正交矩阵为123010(,,)00P p p p ⎛⎫ ==- ⎝，并使1244P AP -⎛⎫⎪=Λ= ⎪ ⎪⎝⎭.所求的一个正交变换为11223301000x y x y x y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝，标准形为222123244f y y y =++. (3) 由于f 的标准形的三个系数全为正（或f 的矩阵A 的特征值全为正），故f 为正定二次型. 10.解 (1) f 的矩阵1140102t A t -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，则21404t t t =->，211111||404242042102100t t t A t t t t t -===-=->--，即有 22t -<<及t <<t的取值范围为t <<(2) 由于三元二次型f 为正定二次型，所以f 的正惯性指数为3，f 的规范形为222123f y y y =++. 11.解 222222221231231223123232231232233(,,)2()32[()]()32[()]44f x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x =---+=-----+=---+- 2212323()(2)x x x x x =-+--，据此知原二次型的规范形为2212f y y =-.注本题中二次型的标准形（即合同标准形）也是2212f y y =-.四、证明题：1. 证明（法一）设有数123,,k k k ，使112223331()()()0k k k αααααα+++++=，即131122233()()()0k k k k k k ααα+++++=.因123,,ααα线性无关，所以1312230,0,0.k k k k k k +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩ 此方程组的系数行列式为10111020011=≠，则方程组只有零解，即1230k k k ===.因此122331,,αααααα+++线性无关.依题设知123,,ααα是0Ax =的三个线性无关的解向量，则依解向量的性质知12,αα+2331,αααα++也是该方程组的三个解向量.因122331,,αααααα+++是0Ax =的三个线性无关的解向量，故1223,αααα++31,αα+是该方程组的一个基础解系.（法二）122331123101(,,)(,,)110011ααααααααα⎛⎫⎪+++= ⎪ ⎪⎝⎭，记为B AK =.因20K =≠，知K 可逆，所以()()R B R A =.因矩阵A 的列向量组123,,ααα线性无关，则()3R A =，从而()3R B =.故B 的列向量组122331,,αααααα+++线性无关. 依题设知123,,ααα是0Ax =的三个线性无关的解向量，则依解向量的性质知122331,,αααααα+++也是该方程组的三个解向量.因122331,,αααααα+++是0Ax =的三个线性无关的解向量，故122331,,αααααα+++是该方程组的一个基础解系. 2.解证明：因齐次线性方程组0x y z ++=的系数矩阵的秩()13R A =<，知0x y z ++=有非零解，所以集合V 是由x y ++0z =的所有解向量构成的非空集合.又根据齐次线性方程组的解向量的性质知，对,a b V ∀∈，有a b V +∈；k R ∀∈，有ka V ∈，即集合V 对向量的加法及乘数封闭，故集合V 是向量空间.因为0x y z ++=的系数矩阵的秩()1R A =，所以0x y z ++=的基础解系中有312-=个线性无关的解向量，即向量空间V 的基中含有2个向量，故向量空间V 的维数dim 2V =.由此知0x y z ++=的任两个线性无关的解向量都是V 的基.3.证明依题设，有A αλα=，则11P A P αλα--=，即111P APP P αλα---=，111()()P AP P P αλα---=，故依特征值和特征向量的定义，1P α-一定是1P AP -的属于特征值λ的特征向量.。

线性代数练习题及答案10套

1 0 1 14．设矩阵 A= 0 2 0 ，矩阵 B A E ，则矩阵 B 的秩 r(B)= __2__． 0 0 1 0 0 1 B A E = 0 1 0 ，r(B)=2． 0 0 0
15．向量空间 V={x=(x1,x2,0)|x1,x2 为实数}的维数为__2__． 16．设向量 (1,2,3) ， (3,2,1) ，则向量，的内积 ( , ) =__10__． 17．设 A 是 4×3 矩阵，若齐次线性方程组 Ax=0 只有零解，则矩阵 A 的秩 r(A)= __3__． 18 ．已知某个 3 元非齐次线性方程组 Ax=b 的增广矩阵 A 经初等行变换化为：
三、计算题（本大题共 6 小题，每小题 9 分，共 54 分）
Ibugua
交大打造不挂女神的领跑者
123 23 3 21．计算 3 阶行列式 249 49 9 ． 367 67 7 123 23 3 100 20 3 解： 249 49 9 200 40 9 0 ． 367 67 7 300 60 7
线代练习题及答案（一）
一、单项选择题（本大题共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分）
1．设 A 为 3 阶方阵，且 | A | 2 ，则 | 2 A 1 | （ D A．-4 B．-1 C． 1 ） D．4
| 2 A 1 | 2 3 | A | 1 8
1 4． 2
）
1 2 3 1 2 2．设矩阵 A= （1， 2）， B= C= 则下列矩阵运算中有意义的是（ B 4 5 6 ， 3 4 ，
行成比例值为零．
a1b2 a 2 b2 a 3 b2

线性代数模试题试题库(带答案)

,
A= 2−1
1 1
−2 −1
1
=
13

−1
3
2 3
1
3

解：
= A−1
= A01−1 A02−1
1

−2
0
0
−2 5 0 0
0 0 13 −1 3
0
0

2 3
1 3
四、证明题(每小题 5 分，共 10 分)
19、设 n 阶方阵 A 满足 ( A + E )3 = 0 ，证明矩阵 A 可逆，并写出 A 逆矩阵的表达式。
即行列式 D 的每一行都有一个(-1)的公因子，所以 D = (−1)n D 。
3、设
A
=

1 0
1 1 ,
则
A100
=

1 0
100
1
。
= A2

1 0
= 11 10 11
= 10 12 , A3

1 0
= 12 10 11
因为： A∗ =A A−1 =−2A−1 ⇒ 4A−1 + A∗ =4A−1 − 2A−1 =2A−1 =8 A−1 =−4 。
1 0 2 2、 A 为 5×3 矩阵,秩( A )=3, B = 0 2 0 ,则秩( AB )= 3 。
0 0 3 因为 B 可逆， AB 相当于对 A 作列初等变换，不改变 A 的秩。
C.5
D.6
1 2 1 0 1 2 1 0
通过初等变换，由秩为 2 可得： 3
−1 0
2

0
−7
−3

线性代数自考题分类模拟1

答案：D [解答]
故D判断错误．答案为D．
16. 设A为三阶方阵且
则|-2A|= A.-4 B.4 C.-1 D.1
答案：A [解答]
答案为A．
17.
A.6d B.-6d C.2333d D.-2333d 答案：B [解答]
答案为B． 18. 行列式
A.a+b+c+d B.0 C.abcd D.1 答案：B [解答]
则A41+A42+A43+A44= A.10 B.0 C.4 D.2 答案：B [解答] 令
则A41+A42+A43+A44=D'=0．答案为B．
13. 已知四阶行列式D中第三列元素依次为-1，2，0，1，它们的余子式依次分别为5，3，-7，4，则 D= A.-15 B.15 C.0 D.1
答案：A [解答] 利用拉普拉斯定理：一个行列式等于它的任一行(或行)的各元素与其对应的代数余子式乘积的和．应用时切记元素aij的余子式Mij与其代数余子式Aij的区别：
A.0 B.21 C.42 D.-42 答案：D [解答] 行列式展开性质，
答案为D． 10. 行列式
A.a4-b4 B.(a2-b2)2 C.b4-a4 D.a4·b4
答案：B [解答] 利用行列式性质展开
答案为B． 11. 设A是一个n阶行列式，余子式与代数余子式分别为Mij和Aij，则 A.Aij=Mij B.Aij=-Mij C.Aij=(-1)i+jMij D.Aij=(-1)ijMij 答案：C [解答] 由代数余子式的定义知，Aij=(-1)i+jMij．答案为C． 12.
[解答]
故根为±1，±2．答案为C． 24.

线性代数模拟试题及答案(三套)

第一套线性代数模拟试题解答一、填空题(每小题4分，共24分)1、若12335544i j a a a a a 是五阶行列式中带正号的一项，则,12i j ==。

令1,2i j ==，(12354)(13524)134τπ+=+=，取正号。

2、若将n 阶行列式D 的每一个元素添上负号得到新行列式D ，则D =(1)n D- 。

即行列式D 的每一行都有一个(-1)的公因子，所以D =(1)n D-。

3、设1101A ⎛⎫=⎪⎝⎭, 则100A =110001⎛⎫ ⎪⎝⎭。

23111112121113,,010*********A A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭可得4、设A 为5 阶方阵，5A =，则5A =15n +。

由矩阵的行列式运算法则可知：1555n n A A +==。

5、A 为n 阶方阵,TAA E =且=+<E A A 则,0 0 。

由已知条件：211,1T T TAA E AA A A A E A A =⇒====⇒=±⇒=-，而：0TTA E A AA A E A A A E A E A E +=+=+=+=-+⇒+=。

6、设三阶方阵2000023A x y ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭可逆，则,x y 应满足条件32x y ≠。

可逆，则行列式不等于零：2002(32)032023A x y x y x y ==⨯-≠⇒≠。

二、单项选择题(每小题4分，共24分) 7、设0333231232221131211≠=M a a a a a aa a a ，则行列式=---------232221333231131211222222222a a a a a a a a a A 。

A ．M 8 B ．M 2 C ．M 2- D ．M 8-由于 ()()111213111213111213331323331323321222321222321222331323322222228(1)8222a a a a a a a a a a a a a a a a a a M a a a a a a a a a ------=-=--=---8、设n 阶行列式n D ，则0n D =的必要条件是 D 。

线性代数模拟试题

四、（10分）求解矩阵方程、（分 1 2 3 6 6 6 X 2 3 1 = 5 4 3 3 1 2 3 1 2 取何实值时，、（15分五、（分） λ 取何实值时，线性方程组 λ x1 − x 2 = λ λ − =λ x2 x3 λ x 3 − x4 = λ − x1 + λ x 4 = λ 有唯一解，无穷多解，无解？有唯一解，无穷多解，无解？在有无穷多解的
α在基 β 1 , β 2 , β 3 下的坐标 . 、（15分五、（分） λ取何值时线性方程组取何值时,
( 2λ + 1) x 1 − λ x 2 + (λ + 1) x 3 = λ − 1 (λ − 2) x 1 + (λ − 1) x 2 + (λ − 2) x 3 = λ ( 2λ − 1) x + (λ − 1) x + ( 2λ − 1) x = λ 1 2 3
β 1 = 2α 1 + 3α 2 + 3α 3 , β 2 = 2α 1 + α 2 + 2α 3 , β 3 = α 1 + 5α 2 + 3α 3 .
1．证明 β 1 , β 2 , β 3 也是 R 3 的一个基; 2．求由基 β 1 , β 2 , β 3 到基 α 1 ,α 2 ,α 3 的过渡矩阵; 3．若向量 α在基 α 1 ,α 2 ,α 3 下的坐标为 (1,−2,0), 求
(1)由基(ΙΙ )到基(Ι )的过渡矩阵; ( 2)向量α在基(ΙΙ )下的坐标 .
模拟试题（模拟试题（一）参考答案
1( 一、．B ); 2. ( B ); 3. (对 ); 4. (对 ); 5. (对 ). 1 2 二、．; ( −1) 2. ; 3. x = 0, y = −2; 4. t < 2 . 2

线性代数模拟试卷及答案4套

线性代数模拟试卷（一）一、填空题（每小题3分，共6小题，总分18分）1、四阶行列式44434241343332312423222114131211a a a a a a a a a a a a a a a a 展开式中，含有因子3214a a 且带正号的项为___________2、设A 为n 阶可逆方阵，将A 的第i 行和第j 行对换后得到的矩阵记为B ，则AB -1=_________3、已知向量组)2- 5, 4,- ,0( , )0 t,0, ,2( , )1 1,- 2, ,1(321'='='=ααα线性相关，则t =_________4、设三阶方阵) , ,(B ), , ,(2121γγβγγα==A ，其中 , ,,21γγβα都是三维列向量且2B 1, ==A ，则=- 2B A _________5、A 为n 阶正交矩阵， , ,,21n ααα 为A 的列向量组，当i ≠j 时，)21 ,31(j i αα=_________ 6、三阶方阵A 的特征值为1，-2，-3，则 A =_______; E+A -1的特征值为______ 二、单项选择题（每小题2分，共6小题，总分12分） 1、设齐次线性方程组AX=0有非零解，其中A=()nn ija ⨯，A ij 为a ij (i,j=1,2,…n) 的代数余子式，则（） (A)0111=∑=ni i i A a(B)0111≠∑=ni i i A a(C)n A ani i i =∑=111(D)n A ani i i ≠∑=1112、若A -1+ E, E+A, A 均为可逆矩阵，E 为单位矩阵，则(A -1+ E)-1=( ) (A) A+E (B) (A+E)-1 (C) A -1+ E (D) A(A+E)-13、设A, B 为n 阶方阵，A*,B*分别为A, B 对应的伴随矩阵，分块矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=B 00 A C ，则C 的伴随矩阵C* =( )(A) ⎪⎪⎭⎫⎝⎛*A B 0 0 *B A (B) ⎪⎪⎭⎫⎝⎛*B A 0 0 *A B(C) ⎪⎪⎭⎫⎝⎛*B B 0 0 *A A (D) ⎪⎪⎭⎫⎝⎛*A A 0 0 *B B 4、若向量组 , ,,21m ααα 的秩为r ，则（）(A) 必有 r<m (B)向量组中任意小于 r 个向量的部分组线性无关 (C) 向量组中任意 r 个向量线性无关(D) 向量组中任意 r+1个向量必线性相关5、已知 ,,321ααα是四元非齐次线性方程组AX=B 的三个解，且r(A)=3, 已知)3 2, 1, ,0( , )4 3, 2, ,1(321'=+'=ααα，C 为任意常数，则AX=B 通解X=( )(A) ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛11114321C (B)⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛32104321C(C) ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛54324321C (D) ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛65434321C6、设A 为三阶方阵，有特征值λ1=1，λ2= -1， λ3=2，其对应的特征向量分别为 ,,321ααα，记P=(132 ,ααα)，则P -1AP=( )(A) ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛1 2 1- (B)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛1- 1 2(C) ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛2 1- 1 (D) ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛2 1 1-三、计算下列行列式（12分）1、 D=1- 3 3- 131 1 41- 3 0 5-21- 1 3 2、D n = n1 1 1 1.....................1 1 3 1 111 12 111 1 1 1四、已知A 、B 同为3阶方阵，且满足AB=4A+2B (12分) （1）证明：矩阵A-2E 可逆（2）若B=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛2 0 00 2 10 2- 1 ，求A五、求向量组 )1 1, 1,- ,1( , )3 2, 1, ,1(21'='=αα， , )6 5, 2,- ,4( , )1 3, 3, ,1( 43'='=αα)7- 4,- 1,- ,3(5'-=α的一个极大无关组，并将其余向量用该极大无关组线性表示（10分）六、已知线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=---=+++-=+-=+-+bx x x x x ax x x x x x x x x x 432143214314321 6 - 17231 4 032 ，讨论参数a 、b 为何值方程组有解，在有解时，求出通解（12分）七、用正交变换化二次型323121232221321222333),,(x x x x x x x x x x x x f ---++=为标准形，并写出相应的正交变换（16分）八、已知 ,,,4321αααα是AX = 0的一个基础解系，若322211,ααβααβt t +=+=，144433,ααβααβt t +=+=,讨论t 为何值， ,,,4321ββββ是AX = 0的一个基础解系（8分）线性代数模拟试卷(二)三、填空题（每小题3分，共5小题，总分15分）1、j i a a a a a 53544231是五阶行列式展开式中带正号的一项，则i=_____, j=_____2、设n 阶方阵A 满足A 2 =A ，则A+E 可逆且（A+E ）-1=_______________(E 为n 阶单位阵)3、已知向量组)0 6, 1,- ,1( , )2k - k,- ,3 ,1( , )2- 2, 1, ,1(321'='='=ααα 若该向量组的秩为2，则k =_________4、已知四阶方阵A 相似于B ，A 的特征值为2，3，4，5，E 是单位阵，则=- E B _________5、向量α=（4，0，5）′在基)1 ,1- ,1(,)0 ,1 ,1( ,)1 ,2 ,1(321'='='=ηηη下的坐标为_________四、单项选择题（每小题2分，共5小题，总分10分）1、设 A 是三阶方阵A 的行列式，A 的三个列向量以γβα ,,表示，则 A =（） (A)αβγ (B) γβα---(C)αγγββα+++ (D) γβαβαα+++2、设A, B ，C 为n 阶方阵, 若 AB = BA, AC = CA, 则ABC=( ) (A) BCA (B) ACB (C) CBA (D) CAB3、 A, B 均为n 阶方阵, A*为A 的伴随矩阵， 3B 2, -==A ，则21-*B A = ( )(A) 32 12--n (B) 32 1--n (C) 23 12--n (D) 23 1--n4、已知向量组 , ,,4321αααα线性无关，则向量组（） (A)14433221 , , ,αααααααα++++线性无关(B)14433221 , , ,αααααααα----线性无关(C)14433221 , , ,αααααααα-+++线性无关 (D)14433221 , , ,αααααααα--++线性无关5、若A ～ B ，则有 ( )(A) A 、B 有相同的特征矩阵 (B) B =A(C) 对于相同的特征值λ，矩阵A 与B 有相同的特征向量 (D) A 、B 均与同一个对角矩阵相似三、计算下列行列式（13分）2、 D=2- 3 0 112 1 - 121 0 331- 2 1 4、D n = 11 1 111 x 1 1 (1)1 1 1 x 1 1 1 1 x x ++++a)设B= ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1 0 0 01- 1 0 00 1- 1 00 0 1- 1 ，C=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2 0 0 01 2 0 03 12 043 12 ,且矩阵A 满足 E C B C E A =''--)(1, 试将关系式化简并求A (12分)b)求向量组, )4 1,- 2, ,1(1'=α )2 3, 1, ,0( 2'=α， , )14 0, 7, 3,(3'=α , )10 1, 5, 2,( 4'=α)0 2,- 2, ,1(5'=α的一个极大无关组，并将其余向量用该极大无关组线性表示（13分）六、k 为何值时，线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=++---=+++=+++kx x x x x k x x x x x x x x x x x 9 10 5 - 3)5(2 31 6 3 13 2 4321432143214321 有无穷多个解并求出通解（14分）七、用正交变换化二次型31232221321422),,(x x x x x x x x f +-+=为标准形，并写出相应的正交变换（16分）八、若矩阵A=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0y 10 1- 01 x0 有三个线性无关的特征向量，证明：x – y = 0线性代数模拟试卷(三)一、填空题（每小题3分，共18分）1、A 是三阶方阵，且|A|＝6，则 |(3A)-1|＝。

线性代数模拟题及答案

模拟试题一一. 填空题（将正确答案填在题中横线上。

每小题2分，共10分）1．n 阶行列式D 的值为c, 若将D 的所有元素改变符号, 得到的行列式值为 .2．设矩阵A = ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛101020101 ，矩阵X 满足 E AX + = X A +2 ，则X = ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2010301023．设n 阶矩阵A 满足 E A A 552+- = 0 ，其中E 为n 阶单位阵，则 1)2(--E A =4．设A ，B 均为3阶方阵，A 的特征值为 1，2，3，则EA +*= .5．当 λ 满足条件时线性方程组 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+--=-++-=-++-=+--00004321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x λλλλ 只有零解．二、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案, 将正确答案题号填入括号内。

每小题2分，共20分)1．131211232221333231333231232221131211222333 d a a a a a a a a a a a a a a a a a a ---=则=( ).① 6d ② ―6d ③ 4d ④ ―4d 2. 向量组 s ααα,,,21 的秩为s 的充要条件是（）。

① 向量组不含零向量② 向量组没有两个向量的对应分量成比例 ③ 向量组有一个向量不能由其余向量线性表示 ④向量组线性无关3. 当t =（）时，向量组 ),4,5( , )5,2,3( , )0,1,2(321t ===ααα线性相关。

① 5 ② 10③ 15 ④ 204．已知向量组α1，α2，α3线性无关，则向量组（）线性无关。

① α1+2α2+α3, 2α1+4α2+α3, 3α1+6α2 ② α1, α1+α2, α1+α2+α3 ③ α1+α2, α2+α3, α1+2α2+α3 ④ α1-α2, α2-α3, α3-α15. 已知⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=63322211t A , B 为三阶非零矩阵且AB = 0, 则( ). ① 当t = 4时,B 的秩必为1 ② 当t = 4时,B 的秩必为2 ③ 当t ≠ 4时,B 的秩必为1 ④ 当t ≠ 4时,B 的秩必为26．设非齐次线性方程组A X = b 中未知量个数为n ，方程个数为m ，系数矩阵A 的秩为r ，则．① r = m 时，方程组A X = b 有解 ② r = n 时，方程组A X = b 有唯一解 ③ m = n 时，方程组A X = b 有唯一解 ④ r ＜ n 时，方程组A X = b 有无穷多解7．设矩阵A 和B 等价，A 有一个k 阶子式不等于零，则B 的秩（）k.① < ② = ③ ≥ ④ ≤8. 一个向量组的极大线性无关组（）. ① 个数唯一 ② 个数不唯一③ 所含向量个数唯一 ④ 所含向量个数不唯一9. 下列关于同阶不可逆矩阵及可逆矩阵的命题正确的是( ). ① 两个不可逆矩阵之和仍是不可逆矩阵 ② 两个可逆矩阵之和仍是可逆矩阵 ③ 两个不可逆矩阵之积仍是不可逆矩阵 ④ 一个不可逆矩阵与一个可逆矩阵之积必是可逆矩阵10．已知任一n 维向量均可由n ααα,,,21 线性表示，则n ααα,,,21（）。

线性代数考试题库及答案(一)

线性代数考试题库及答案(一)1.下面是线性代数考试题库及答案的第一部分专项同步练第一章行列式的格式正确版本：一、单项选择题1.下列排列是5阶偶排列的是(A) (B) (C) (D) .2.如果n阶排列j1j2…jn的逆序数是k，则排列jn…j2j1的逆序数是(B) n-k。

3.n阶行列式的展开式中含a11a12的项共有(D) (n-1)。

项。

4.1/1 = (D) 2.5.1/(-1) = (B) -1.6.在函数f(x) = (2x-1)/(2-x^3)中x^3项的系数是(A) 0.7.若D = |a11 a12 a13| |a21 a22 a23| |1 a32 a33|，则D1 =2a11a33 - 4a13a31 - 2a12a32.8.若 |a11 a12| |a21 a22| = a，则 |a12 a11| |ka22 ka21| = (-k^2)a。

9.已知4阶行列式中第1行元依次是-4.0.1.3，第3行元的余子式依次为-2.5.1.x，则x = 3.10.若D = |4 3 1 5| |-1 3 4 1| |2 -1 6 3| |-2 1 3 4|，则D中第一行元的代数余子式的和为(B) -2.11.若D = |-1 5| |3 -2|，则D = (A) -1.12.k等于下列选项中哪个值时，齐次线性方程组x1 + kx2 + x3 = 0，kx1 + x2 + x3 = 0，x2 + x3 = 0有非零解。

(B) -2.二、填空题1.2n阶排列24…(2n)13…(2n-1)的逆序数是n(2n-1)。

2.在六阶行列式中项a32a41a25a13a56a64的符号为-。

改写后的文章：线性代数考试题库及答案第一部分专项同步练第一章行列式一、单项选择题1.下列排列是5阶偶排列的是(A) (B) (C) (D) .2.如果n阶排列j1j2…jn的逆序数是k，则排列jn…j2j1的逆序数是(B) n-k。

线性代数模拟试题及答案

...《线性代数期末模拟试题一》一、填空（本题20分每小题2分） 1．设)det(ij a 为四阶行列式,若23M 表示元素23a 的余子式，23A 表示元素23a 的代数余子式，则23M +23A = 。

2．三阶行列式3331221311000a a a a a 中只有位于两条对角线上的元素均不为零，则该三阶行列式的所有项中有项不为零，这一结论对n 阶行列式（填成立或不成立）。

3．设321,,ααα均为3维列向量，记矩阵),,,(321ααα=A 记矩阵),,2(313221αααααα-+-=B ，若6=B ，则=A 。

4．设矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=458271,131027241,213012C B A ，则=-C B A T2。

5．设矩阵A 可逆，且矩阵AB C =，所以矩阵C 一定可以由矩阵B 经过（填行或列）初等变换而得到。

6．设向量组43,21,,,αααα，若,3),,(,2),,(432321==ααααααR R 则1α一定可以由向量唯一的线性表示。

得分阅卷人...7．非齐次线性方程组b Ax =有唯一的解是对应的齐次方程组0=Ax 只有零解的充分但不必要条件。

8．设3阶矩阵A 的行列式0=A ，则矩阵A 一定有一个特征值。

9．n 阶矩阵A 有n 个特征值1，2，, n ，n 阶矩阵B 与A 相似，则=B 。

10．向量组：[][]1,121,1,12121-==p p（填是或不是）向量空间2R 一个规范正交基。

二、单项选择（本题10分，每小题2分）注意：请务必将你的选择题的答案按要求填入下表，否则答案无效！1．设矩阵A 为n 阶方阵，则关于非齐次线性方程组b Ax =的解下列说法（）不正确（A ）若方程组有解，则系数行列式0≠A ; （B ）若方程组无解，则系数行列式0=A ;（C ）若方程组有解，则或者有唯一解或者有无穷多解;...（D ）系数行列式0≠A 是方程组有唯一解的充分必要条件. 2. 设A 为n 阶可逆矩阵，下列正确的是（）（A ） (2)2T T A A =； (B) 11(2)2A A --=； (C) 111[()][()]T T A A ---=；(D) 111[()][()]T T T A A ---=。

大一线性代数试卷1含答案

111
3. 设 A 为方阵,满足 A2 A 2E 0 ,则 A1 _________。 4. A, B,C 同阶方阵, A 0 ,若 AB AC ,必有 B C ,则 A 应为_______矩阵。
5. 设 A 为 n 阶方阵, Ax 0 有非零解,则 A 必有一个特征值为_________。
2 2 4
3 1 3
X
2 5
13
1 2 3
3 0 1
求X ?
四. (10 分)设向量组 A:
1 1,4,1,0,2 2,1,1,3,3 1,0,3,1,4 0,2,6,3
求向量组 A 的秩及一个最大无关组.
五. 12 分)讨论方程组的解的情况
x1 x1
x2 x2
x3 x3
9. 二次型 f 5x2 6 y2 4z2 4xy 4xz 的正定性为________。
1 10.若 A 2
0 2
1 3 ,且
RA
3
,则 t
_________。
1 3 t
二. (8 分)计算 2n 阶行列式
a
b
a
0
b
0
ab
0
D2n
cd
c
0
d
c
d
三. (8 分)解矩阵方程
1 2 3
1 (1, 1, 0)T 2
3
3
3, 2 2,2
2
(0,
1, 1)T
，标准化3
1 (0, 1, 1)T 2
因而 P (1 ,2 ,3 ) ，且 f 3 y22 3 y32
九. 令
1
2
3
n
1 1 1 1
2 2
2

线性代数练习题及答案解析(一)

线性代数练习题及答案解析（一）一、行列式1、排列25341的逆序数为 7 ；2、排列643125的逆序数是 9 ；3、方程211123049x x =的根为 2,3 ；（范德蒙行列式） 4、行列式D=162021304---中，元素－3的代数余子式是（ A ）（A ）10 （B ）2 （C ）－10 （D ）－2 考点：代数余子式定义5、(1)三阶行列式det()ij D a =中含有因子1322a a 的项为 132231-a a a ，含有因子1223a a 的项为 122331a a a . 考点：行列式展开式的定义规则(2)四阶行列式det()ij D a =中含有因子1123a a 的项为 12233144a a a a 或12233441-a a a a .6、设n 阶行列式60D =，且D 中的每列的元素之和为6，则D 中的第三行的代数余子式之和为 10 .考点：行列式的性质6，行列式按行（列）展开7、(1)设n 阶行列式det()ij D a =，j i A 是D 中元素j i a 的代数余子式，则下列各式中正确的是（ C ）. 考点：行列式按自己的行（列）展开等于行列式，如行（列）与代数余子式的行（列）不一致则等于零。

A 、10nijij i aA ==∑；B 、10nijij j aA ==∑； C 、1nijij j aA D ==∑； D 、121ni i i aA D==∑(2)若4阶行列式D 中第2行的元素212223242,1,3,0,a a a a ====余子式212M =,2223241,3,0M M M ===则D= -12 .注意：代数余子式与余子式的区别。

行列式的展开只与代数余子式有关。

(3)若3阶行列式D 中第1行的元素1112133,2,5,a a a ===代数余子式114A =,12131,2,A A =-=则D= 20 .8、行列式112233440000000a b a b b a b a =（ B ）。

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（A）若 m n ，则 Ax b 有无穷多解；
（B）若 m n ，则 Ax 0 有非零解，且基础解系含有 n m 个线性无关解；
（C）若 A 有 n 阶子式不为零，则 Ax b 有唯一解；
模一第 1 页共 2 页
（D）若 A 有 n 阶子式不为零，则 Ax 0 仅有零解.
5．若 n 阶矩阵 A，B 有共同的特征值，且各有 n 个线性无关的特征向量，则（）.
.
二、单项选择题（每小题 3 分，共 15 分）
1．下列矩阵中，（
）不是初等矩阵.
0 0 1
1 0 0
1 0 0
1 0 0
（A） 0 1 0 （B） 0 1 2 （C） 0 2 0 （D） 0 0 0
1 0 0
0 0 1
0 0 1
0 1 0
2．设向量组1,2 ,3 线性无关，则下列向量组中线性无关的是（）.
5.(11 分) 设二次型 f (x1, x2 , x3 ) 5x12 5x22 3x32 2x1x2 6x1x3 6x2 x3 ，
（1）写出 f 对应的对称矩阵 A ；（2）求一个正交变换，化二次型为标准型.
四、证明题(13 分)
1.(6 分)向量组 A :1＝(0,1,1)T, 2＝(1,1, 0)T; 向量组 B : 1＝(1, 0,1)T ,
（2） A E 1 5 3 4 5 3 3 3 5 0 3 3
= (-4)(-9) ….. ……. ….. ……. ……. ……. ….. ……. ……. ……...(3 分)
3. n 元齐次线性方程组 Ax 0 有非零解的充要条件是______ .
4.设 B 可逆，矩阵 C 的秩 R C 3 , A BC ，则矩阵 A 的秩 R A
.
5.设 1,2,3 是三阶矩阵 A 的特征值，则 | A2 5A | ___________ .
1 2 2
6. A 1
1
B.
2 0 0
2 0 0
３.(9 分) 已知矩阵 A 0 0 1 与 B 0 y
0
相似.求
x
与
y
.
0 1 x
0 0 1
4.(10 分)求非齐次线性方程组的通解及其对应的齐次线性方程组的基础解系．
x1 5x2 5x1 3x2
4x3
3x4 11 x4 1
2x1 4x2 2x3 x4 6
2
，则
A12
A22
A32
___________.
1 2 1
7.设 1 ,2,, s 是非齐次线性方程组 Ax b 的解，若 C11 +C22 ++Cs s 也是
Ax b 的一个解，则 C1+C2 ++Cs =
8.若1,2 ,3,4 线性无关,则1 2 ,2 3 ,3 4 ,4 1 线性
（A）A 与 B 相似
（B） A B ，但|A-B|=0
（C）A=B
（D）A 与 B 不一定相似，但|A|=|B|
三、计算题 (48 分)
4111
1.(9 分)计算行列式 D 1
4
1
1 .
1141
1114
2 1 -3
1 1
2.(9 分)
设
A
1 1
2 3
2 2
，B
2 2
0 5
,
求解矩阵方程 AX
1 2 0
,
c1,
c2
R
x4 0 1 0
……..(4 分)
齐次线性方程组的基础解系为
1
（37，5 7，1，0）T ,2
（
1 2
，12
，0，1）T
……..(3 分)
5 1 3
5.解：（1）二次型所对应的矩阵
A
1
5
3 ……..(2 分)
3 3 3
5 1 3 4 1 3
由 trA trB ,即 2 x 2 y 1, 因此 x 0 ….. ……. ……. ……. (4 分)
1 5 4 3 11 1 5 4 3 11
4.解:
B
5
2
3 4
0
1
1
:
0
28
20
14
2 1 6 0 14 10 7
56 28
………(2
分)
1 5
4
3 11
1 0
3 7
1 2
1
:
0
1
5 7
1 2
2
…………..(2
分)
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
R( A) R(B) ,方程组有解
线代模 1 答案第 1 页共 3 页
通解为
x1 x2 x3
c1
3 7
5 7
1
c2
1 2
1 2
0
7. 1 8.相关. BBCDA
1111 1111 1. 解：D 7 1 4 1 1 7 0 3 0 0 189 …………(9 分)
11 41 0030 111 4 0003
2 1 3 1 1 1 2 2 2 0
2.
(
A,
B)
1
2 2
2
0
0
3
1
3 1
1 3 2 2 5 0 5 0 0 5
2＝(1, 2,1)T , 3＝(3, 2, 1)T .证明 A 组与 B 组等价.
2.(7 分) 已知 A 为 n 阶正交矩阵，证明伴随矩阵 A 是正交矩阵.
模一第 2 页共 2 页
《线性代数》模拟题一答案
一、填空题
1. 108. 2.3. 3. R A n . 4. 3.
5.-144 6. 0. 二、单项选择题三、
《线性代数》模拟题一
考试方式：闭卷学分：2.5 考试时间：110 分一、填空题(每空 3 分，共 24 分)
1.设 A 为三阶方阵, A* 为其伴随矩阵, | A | 2, 则 | 3A* | ______.
2.四元线性方程组 x1 x2 x3 x4 0 的基础解系含有个线性无关的解向量.
1 0 2 2 2 1 0 0 2 2
0 0
0 1
1 0
3 0
2 1
0 0
1 0
0 1
0 3
1 2
………………(7
分)
4
即x
A1B
0
3
2
1
……………………………………(2
分)
2
3.解: 矩阵 A 与矩阵 B 相似，则 | A || B |, 即 2 2 y, y 1 …..(5 分)
（A）1 2 ,2 3 ,3 1
（B）1,2 ,3 1
（C）1,2 , 21 32
（D）2 ,3, 22 3
3．设 A 为 n 阶方阵，且 A2 A 5E 0 .则 A 2E 1 为（）
(A) A E (B) E A (C) 1 A E (D) 1 A E
3
3
4．设 A 为 m n 矩阵，则有（）.