线性代数模拟题1含答案

（A）若 m n ，则 Ax b 有无穷多解；
（B）若 m n ，则 Ax 0 有非零解，且基础解系含有 n m 个线性无关解；
（C）若 A 有 n 阶子式不为零，则 Ax b 有唯一解；
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（D）若 A 有 n 阶子式不为零，则 Ax 0 仅有零解.
5．若 n 阶矩阵 A，B 有共同的特征值，且各有 n 个线性无关的特征向量，则（ ）.
.
二、单项选择题（每小题 3 分，共 15 分）
1．下列矩阵中，（
）不是初等矩阵.
0 0 1
1 0 0
1 0 0
1 0 0
（A） 0 1 0 （B） 0 1 2 （C） 0 2 0 （D） 0 0 0
1 0 0
0 0 1
0 0 1
0 1 0
2．设向量组1,2 ,3 线性无关，则下列向量组中线性无关的是（ ）.
5.(11 分) 设二次型 f (x1, x2 , x3 ) 5x12 5x22 3x32 2x1x2 6x1x3 6x2 x3 ，
（1）写出 f 对应的对称矩阵 A ；（2）求一个正交变换，化二次型为标准型.
四、证明题(13 分)
1.(6 分)向量组 A :1＝(0,1,1)T, 2＝(1,1, 0)T; 向量组 B : 1＝(1, 0,1)T ,
（2） A E 1 5 3 4 5 3 3 3 5 0 3 3
= (-4)(-9) ….. ……. ….. ……. ……. ……. ….. ……. ……. ……...(3 分)
3. n 元齐次线性方程组 Ax 0 有非零解的充要条件是______ .
4.设 B 可逆，矩阵 C 的秩 R C 3 , A BC ，则矩阵 A 的秩 R A
.
5.设 1,2,3 是三阶矩阵 A 的特征值，则 | A2 5A | ___________ .
1 2 2
6. A 1
1
B.
2 0 0
2 0 0
３.(9 分) 已知矩阵 A 0 0 1 与 B 0 y
0
相似.求
x
与
y
.
0 1 x
0 0 1
4.(10 分)求非齐次线性方程组的通解及其对应的齐次线性方程组的基础解系．
x1 5x2 5x1 3x2
4x3
3x4 11 x4 1
2x1 4x2 2x3 x4 6
2
，则
A12
A22
A32
___________.
1 2 1
7.设 1 ,2,, s 是非齐次线性方程组 Ax b 的解，若 C11 +C22 ++Cs s 也是
Ax b 的一个解，则 C1+C2 ++Cs =
8.若1,2 ,3,4 线性无关,则1 2 ,2 3 ,3 4 ,4 1 线性
（A）A 与 B 相似
（B） A B ，但|A-B|=0
（C）A=B
（D）A 与 B 不一定相似，但|A|=|B|
三、计算题 (48 分)
4111
1.(9 分)计算行列式 D 1
4
1
1 .
1141
1114
2 1 -3
1 1
2.(9 分)
设
A
1 1
2 3
2 2
，B
2 2
0 5
,
求解矩阵方程 AX
1 2 0
,
c1,
c2
R
x4 0 1 0
……..(4 分)
齐次线性方程组的基础解系为
1
（37，5 7，1，0）T ,2
（
1 2
，12
，0，1）T
……..(3 分)
5 1 3
5.解：（1）二次型所对应的矩阵
A
1
5
3 ……..(2 分)
3 3 3
5 1 3 4 1 3
由 trA trB ,即 2 x 2 y 1, 因此 x 0 ….. ……. ……. ……. (4 分)
1 5 4 3 11 1 5 4 3 11
4.解:
B
5
2
3 4
0
1
1
:
0
28
20
14
2 1 6 0 14 10 7
56 28
………(2
分)
1 5
4
3 11
1 0
3 7
1 2
1
:
0
1
5 7
1 2
2
…………..(2
分)
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
R( A) R(B) ,方程组有解
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通解为
x1 x2 x3
c1
3 7
5 7
1
c2
1 2
1 2
0
7. 1 8.相关. BBCDA
1111 1111 1. 解：D 7 1 4 1 1 7 0 3 0 0 189 …………(9 分)
11 41 0030 111 4 0003
2 1 3 1 1 1 2 2 2 0
2.
(
A,
B)
1
2 2
2
0
0
3
1
3 1
1 3 2 2 5 0 5 0 0 5
2＝(1, 2,1)T , 3＝(3, 2, 1)T .证明 A 组与 B 组等价.
2.(7 分) 已知 A 为 n 阶正交矩阵，证明伴随矩阵 A 是正交矩阵.
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《线性代数》模拟题一答案
一、填空题
1. 108. 2.3. 3. R A n . 4. 3.
5.-144 6. 0. 二、单项选择题 三、
《线性代数》模拟题一
考试方式：闭卷 学分：2.5 考试时间：110 分 一、填空题(每空 3 分，共 24 分)
1.设 A 为三阶方阵, A* 为其伴随矩阵, | A | 2, 则 | 3A* | ______.
2.四元线性方程组 x1 x2 x3 x4 0 的基础解系含有 个线性无关的解向量.
1 0 2 2 2 1 0 0 2 2
0 0
0 1
1 0
3 0
2 1
0 0
1 0
0 1
0 3
1 2
………………(7
分)
4
即x
A1B
0
3
2
1
……………………………………(2
分)
2
3.解: 矩阵 A 与矩阵 B 相似，则 | A || B |, 即 2 2 y, y 1 …..(5 分)
（A）1 2 ,2 3 ,3 1
（B）1,2 ,3 1
（C）1,2 , 21 32
（D）2 ,3, 22 3
3．设 A 为 n 阶方阵，且 A2 A 5E 0 .则 A 2E 1 为（）
(A) A E (B) E A (C) 1 A E (D) 1 A E
3
3
4．设 A 为 m n 矩阵，则有（ ）.