常微分方程期末考试试卷(6)
常微分方程试题库
常微分方程试题库二、计算题（每题6分）1. 解方程：0cot tan =-xdy ydx ；2. 解方程：x y xye 2d d =+； 3. 解方程：；4. 解方程：t e x dtdx23=+； 5. 解方程：0)2(=+---dy xe y dx e y y ；6. 解方程：0)ln (3=++dy x y dx xy；7. 解方程：0)2()32(3222=+++dy y x x dx y x xy ；8. 解方程：0485=-'+''-'''x x x x ； 9. 解方程：02)3()5()7(=+-x x x ； 10. 解方程：02=-''+'''x x x ； 11. 解方程：1,0='-'='+'y x y x ；12. 解方程：y y dx dyln =； 13. 解方程：y x e dxdy-=；14. 解方程：02)1(22=+'-xy y x ；15. 解方程：x y dxdycos 2=；16. 解方程：dy yx x dx xy y )()(2222+=+；17. 解方程：x xy dx dy42=+；18. 解方程：23=+ρθρd d ；19. 解方程：22x y xe dxdy+=；20. 解方程：422x y y x =-'；选题说明：每份试卷选2道题为宜。
二、计算题参考答案与评分标准：（每题6分） 1. 解方程：0cot tan =-xdy ydx解： ,2,1,0,2,±±=+==k k x k y πππ是原方程的常数解， （2分）当2,πππ+≠≠k x k y 时，原方程可化为：0cos sin sin cos =-dx xxdy y y ，（2分） 积分得原方程的通解为：C x y =cos sin . （2分）2. 解方程：x y xye 2d d =+ 解：由一阶线性方程的通解公式⎰⎰+⎰=-),)(()()(dx e x f C e y dxx p dxx p （2分）x xx xdxx dx e Cedx e C edx e e C e 31)()(23222+=+=⎰+⎰=---⎰⎰分）（分）（223. 解方程：解：由一阶线性方程的通解公式⎰⎰+⎰=-))(()()(dx e x f C e y dxx p dx x p （2分）=⎰⎰+⎰-)sec (tan tan dx xe C e xdxxdx（2分）⎰+=)sec (cos 2xdx C xx x C sin cos +=. （2分）4. 解方程：t e x dtdx23=+ 解：由一阶线性方程的通解公式⎰⎰+⎰=-))(()()(dt e t f C e x dtt p dt t p （2分）=⎰⎰+⎰-)(323dt e e C e dtt dt （2分）⎰+=-)(53dt e C e t t t t e Ce 2351+=-. （2分） 5. 解方程：0)2(=+---dy xe y dx e y y解：原方程可化为：02=+---y y xde ydy dx e ， （2分） 即 0)(2=--y xe d y ， （2分） 原方程的通解为：C y xe y =--2. （2分）6. 解方程：0)ln (3=++dy x y dx xy解：原方程可化为：0ln )(ln 3=++xdy dy y x yd ， （2分） 即 0)41ln (4=+y x y d ， （2分） 原方程的通解为：C y x y =+441ln . （2分）7. 解方程：0)2()32(3222=+++dy y x x dx y x xy解：因为xNx x y M ∂∂=+=∂∂62，所以原方程为全微分方程， （2分） 由 02323222=+++ydy x dy x dx y x xydx ， （1分） 得: 0)()(232=+y x d y x d ， （2分） 故原方程的通解为：C y x y x =+232. （1分）8. 解方程：0485=-'+''-'''x x x x 解：其特征方程为：0)2)(1(485223=--=-+-λλλλλ， （1分） 特征根为2=λ为2重根，1=λ. （2分） 所以其基本解组为： t t t e te e ,,22， （2分） 原方程的通解为： t t t e C te C e C x 32221++=. （1分）9. 解方程：02)3()5()7(=+-x x x 解：其特征方程为：0)1()1(2223357=+-=+-λλλλλλ， （1分） 特征根为：0=λ为3重根，1=λ，为2重根，1-=λ为2重根.（2分） 所以其基本解组为： 2,1t t ，t t t t te e te e --,,,， （2分） 原方程的通解为：t t t t te C e C te C e C t C t C C x --++++++=76542321. （1分）10. 解方程：02=-''+'''x x x 解：其特征方程为：0)22)(1(2223=++-=-+λλλλλ， （1分） 特征根为：i ±-==11321，，λλ. （2分） 所以其实基本解组为： t e t e e t t t s i n ,c o s ,--，（2分） 原方程的通解为： t e C t e C e C y t t t sin cos 321--++=. （1分）11. 解方程：1,0='-'='+'y x y x ； 解：原方程可化为：21,21-='='y x ， （2分）积分得通解为：212,2c t y c t x +-=+=. （4分）12. 解方程：y y dxdyln = 解：原方程可化为：0ln 1=-dx dy yy ， （3分）积分得原方程的通解为：C y x =ln ln . （3分）13. 解方程：y x e dxdy-= 解：原方程可化为： dx e dy e x y =， （3分） 积分得原方程的通解为：c x y +=. （3分）14. 解方程：02)1(22=+'-xy y x解：0=y 是原方程的常数解， （1分） 当0≠y 时，原方程可化为：012122=-+dx x xdy y ， （2分）积分得原方程的通解为：c x y +-=-1ln 21. （3分） 15. 解方程：x y dxdycos 2= 解：0=y 是原方程的常数解， （1分） 当0≠y 时，原方程可化为：xdx dy ycos 12=， （2分） 积分得原方程的通解为：x c y sin 1-=-. （3分）16. 解方程：dy yx x dx xy y )()(2222+=+解：0=y ，0=x 是原方程的常数解， （1分） 当,0≠x 0≠y 时，原方程可化为：dx xx dy y y )11()11(22+=+，（2分） 积分得原方程的通解为：c x x y y +-=---11ln ln . （3分）17. 解方程：x xy dxdy42=+ 解：分析可知2=y 是其特解. （2分）对应齐方程的02=+xy dxdy通解为：2x ce y -=， （2分） 故原方程的通解为：22+=-x ce y . （2分）18. 解方程：23=+ρθρd d 解：分析可知32=ρ是其特解. （2分）对应齐方程03=+ρθρd d 的通解为：θρ3-=ce ， （2分）故原方程的通解为：323+=-θρce . （2分）19. 解方程：22x y xe dxdy+= 解：原方程可化为： dx xe dy e x y 22=-， （3分） 积分得原方程的通解为：c e e x y =+-22. （3分）20. 解方程：422x y y x =-' 解：分析可知4x y =是其特解. （2分） 又对应齐方程02=-'y y x 的通解为：2cx y =， （2分） 故原方程的通解为：42x cx y +=. （2分）。
大学常微分方程习题试卷
一、选择1. 方程22()30dy dy x y dx dx +-=/(1)m dN N r N dt N =-/223sin d y dy x xy y dx dx +-=是 （ ）（1）一阶线性的 （2）二阶线性的 （3）一阶非线性的 （4）二阶非线性的2. 方程2223t d x dx x e dt dt---=的通解形如 （ ） （A ）312t t t x c e c e te --=++ （B ）312t t t x c e c e ate --=++（C ）312t t t x c e c e ae --=++ （D ）312()t t t x c e c e at b e --=+++ 方程2223t d x dx x e dt dt---=的通解形如 （ ） （A ）312t t t x c e c e te --=++ （B ）31214t t t x c e c e te --=+- （C ）312t t t x c e c e ae --=++ （D ）312()t t t x c e c e at b e --=+++3. '()X AX f t =+的满足初始条件0()t ϕη=的解为 （ ）（A ）00exp[()]exp[()]()t t t t A t s A f s ds η-+-⎰ （B ）0exp exp()()tt At As f s ds -⎰ （C ）0exp exp exp()()tt At At As f s ds η⋅+-⎰ （D ）0exp[()]exp exp()()t t A At At f t dt η-+-⎰'()X AX f t =+的满足初始条件(0)ϕη=的解为 （ ）（A ）0exp exp[()]()t At t s A f s ds η⋅+-⎰ （B ）0exp exp()()t At As f s ds -⎰ （C ）0exp exp()()t At As f s ds η⋅+-⎰ （D ）exp exp exp()()At At At f t dt η⋅+-⎰ 二、填空1．如果方程 (,,,,)0n n dy d y F x y dx dx =的左端为y 及,,n n dy d y dx dx的 ，则称此方程为n 阶线性方程。
常微分方程1
常 微 分 方 程试卷（一至十） 试 卷（一）一、填空题（3′×10＝30′）1、以y 1＝e 2x ，y 2=e x sinx ，y 3=e x cosx 为特解的最低阶常系数齐次线性微分方程是 。
2、微分方程4x 3y 3dx+3x 4y 2dy=0的通积分是 。
3、柯西问题x dxdy=，y （0）=1的解是 。
4、方程ydx-xdy=0的积分因子可取 。
5、证明初值问题的毕卡定理所构造的毕卡序列是 。
6、微分方程F(x ，y ，p)=0若有奇解y=ϕ (x)，则y=ϕ (x) 满足的P-判别式是 。
7、线性微分方程组Y x A dxdY)(=的解组Y 1（x ），Y 2（x ）…，Y n （x ）在某区间上线性无头的充分必要条件是。
8、设A ，则矩阵指数函数e xA ＝ 。
9、方程0=+'+''y y y 的通解是 。
10、由方程033=+'+''+'''y y a y a y 的通解是 。
二、解下列各方程（7′×4＝28） 1、求方程31-++-=y x y x dx dy 的通解： 23、621y x y xdx dy =+ 4、x e x y y y 2)53(23+=+'-''三、求单参数曲线族xy=c 的正交轨线族（10′）12′）=dxdYY五、设二阶方程0442=-'+''y y x y x 有特解y 1(x)=x ，求此方程的通解（8′）六、有一容积为10000m 3的车间。
车间的空气含有0.12%的CO 2，今用一台风量为1000m 3/min 的鼓风机通入新鲜空气，新鲜空气中含有0.04%的CO 2，向鼓风机开动10min 后，车间内CO 2的百分比降到多少？（12′）试卷（二）一、填空题（31、微分方程组的阶数是 。
2、以y 1＝e x ,y 2=xe x ,y 3=e 2x xin2x 为特解的最低阶实常系数齐次线性微分方程是 。
常微分方程期末试题答案
一、填空题（每空2 分，共16分）。
1、方程满足解的存在唯一性定理条件的区域是 xoy 平面 ．22d d y x x y+=2. 方程组的任何一个解的图象是 n+1 维n x x xR Y R Y F Y∈∈=,),,(d d 空间中的一条积分曲线.3．连续是保证方程初值唯一的 充分 条件．),(y x f y '),(d d y x f xy=4．方程组的奇点的类型是 中心⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=x ty y txd d d d )0,0( 5．方程的通解是2)(21y y x y '+'=221C Cx y +=6．变量可分离方程的积分因子是()()()()0=+dy y q x p dx y N x M ()()x P y N 17．二阶线性齐次微分方程的两个解,成为其基本解组的充要)(1x y ϕ=)(2x y ϕ=条件是 线性无关8．方程的基本解组是440y y y '''++=x x x 22e ,e--二、选择题（每小题 3 分，共 15分）。
9．一阶线性微分方程的积分因子是（ A ）．d ()()d yp x y q x x+=（A ）（B ）（C ）（D ）⎰=xx p d )(e μ⎰=xx q d )(e μ⎰=-xx p d )(e μ⎰=-xx q d )(e μ10．微分方程是（ B ）0d )ln (d ln =-+y y x x y y （A ）可分离变量方程（B ）线性方程（C ）全微分方程（D ）贝努利方程11．方程x (y 2－1)d x+y (x 2－1)d y =0的所有常数解是（ C ）．(A)(B)1±=x 1±=y (C ), (D ), 1±=y 1±=x 1=y 1=x12．阶线性非齐次微分方程的所有解（ D ）．n （A ）构成一个线性空间（B ）构成一个维线性空间1-n（C ）构成一个维线性空间（D ）不能构成一个线性空间1+n 13．方程（ D ）奇解．222+-='x y y （A ）有一个 （B ）有无数个 （C ）只有两个（D ）无三、计算题（每小题8分，共48分）。
《常微分方程》期末模拟试题
《常微分方程》模拟练习题及参考答案一、填空题（每个空格4分，共80分）1、n 阶线性齐次微分方程基本解组中解的个数恰好是 n 个。
2、一阶微分方程2=dyx dx的通解为 2=+y x C （C 为任意常数） ，方程与通过点（2，3）的特解为 21=-y x ，与直线y=2x+3相切的解是 24=+y x ，满足条件33ydx =⎰的解为 22=-y x 。
3、李普希兹条件是保证一阶微分方程初值问题解惟一的 必要 条件。
4、对方程2()dyx y dx=+作变换 =+u x y ，可将其化为变量可分离方程，其通解为 tan()=+-y x C x 。
5、方程21d d y x y -=过点)1,2(π共有 无数 个解。
6、方程''21=-y x的通解为 4212122=-++x x y C x C ，满足初始条件13|2,|5====x x y y 的特解为421912264=-++x x y x 。
7、方程x x y xy+-=d d 无 奇解。
8、微分方程2260--=d y dyy dx dx 可化为一阶线性微分方程组 6⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩dyz dx dz z y dx。
9、方程y xy=d d 的奇解是 y=0 。
10、35323+=d y dy x dx dx是 3 阶常微分方程。
11、方程22dyx y dx=+满足解得存在唯一性定理条件的区域是 xoy 平面 。
12、微分方程22450d y dy y dx dx--=通解为 512-=+x xy C e C e ，该方程可化为一阶线性微分方程组45⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩dy z dxdz z y dx。
13、二阶线性齐次微分方程的两个解12(),()y x y x ϕϕ==成为其基本解组的充要条件是 线性无关 。
14、设1342A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则线性微分方程组dXAX dt =有基解矩阵 25253()4φ--⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦t t t t e e t ee 。
常微分方程期末选择题题库
..选 择 题1、下列方程中为常微分方程的是（ ）(A) 2-210x x += (B) 2' y xy =(C) 2222u u u t x y∂∂∂=+∂∂∂ (D) 2 y x c =+(c 为常数）2、下列微分方程是线性的是（ ）(A)22 ' y x y =+ (B)2 " xy y e += (C)2"0 y x += (D)2'-y y xy =3、方程2-2 "3' 2xy y y x e++=特解的形状为( )(A)2-2 1 x y ax ey = (B) 2-21 () x y ax bx c e =++ (C)22-21 ()x y x ax bx c e =++ (D) 22-21 ()x y x ax bx c e =++4、下列函数组在定义域内线性无关的是（ ）(A) 4, x (B) 2,2, x x x (C)225,cos ,sin x x (D) 21,2,,x x5、微分方程2-yxdy ydx y e dy =的通解是( )(A)(-) yx y c e = (B)()yx y e c =+ (C)()xy x e c =+ (D) (-)yy x c e =6、下列方程中为常微分方程的是（ ）(A)20 t dt xdx += (B)sin 1x =(C) 1 y x c =++(c 为常数） (D) 22220u ux y ∂∂+=∂∂7、下列微分方程是线性的是（ ）(A)2'1y y =+ (B)11dy dx xy=+ (C)2 ' y by cx += (D) 4'0y xy += 8、方程 "-2' 2(cos 2sin )xy y y e x x x +=+特解的形状为( )(A) 1[()cos sin ]x y e Ax B x C x =++ (B) y e Ax x C x x1=+[cos sin ](C)y e Ax B x Cx D x x1=+++[()cos ()sin ] (D)y xe Ax B x Cx D x x1=+++[()cos ()sin ]9、下列函数组在定义域内线性无关的是（ ）(A)31, , x x (B)222,,x x x(C)21,sin ,cos 2x x (D)225,sin (1),cos (1)x x ++10、微分方程2-ydx xdy y exdx =的通解是( )(A)() xy x e c =+ (B)( ) xx y e c =+ (C)(-) xx y c e = (D)(-)xy x e c =11、下列方程中为常微分方程的是（ ）(A)22-10 x y += (B) 2' x y y=(C) 222222u u u x y∂∂∂=+∂∂∂ (D) 2x y c +=(c 为常数）12、下列微分方程是线性的是（ ）(A) dy dx y x = (B)2y '+6y '=1 (C) y '=y 3+sin x (D)y '+y =y 2cos x13、方程y ''+y =2sin x 特解的形状为( )(A) )sin cos (1x B x A x y += (B) y Ax x 1=sin (C)y Bx x 1=cos (D)y Ax x x 12=+(cos sin )14、下列函数组在定义域内线性无关的是（ ）(A) 0,1, t (B) e t ，2e t ,e -t (C)e t e t t t --3322sin ,cos (D)t t t t ,||,242+15、微分方程ydx-xdy=x 2e x dx 的通解是( )(A) y=x(c+e x ) (B) x=y(c+e x ) (C) x=y(c-e x ) (D) y=x(c-e x )16、下列方程中为常微分方程的是（ ）(A) x 2+y 2-z 2=0 (B) y ce x=(C) ∂∂∂∂u t u x =22(D) y=c 1cost+c 2sint (c 1,c 2为常数） 17、下列微分方程是线性的是（ ）(A) )(t x ' -x=f(t) (B)3y '+y=cos x (C) x +2y '=y '' (D) y '+(1/3)y =y 418、方程y ''-2y '+3y =e -x cos x 特解的形状为( )(A)y A x B x 1=+cos sin (B) y Ae x1=-(C)y e A x B x x1=+-(cos sin ) (D)y Axe x x1=-cos19、下列函数组在定义域内线性无关的是（ ）(A)23,,t t t e e e (B) 20,, t t(C) )22cos(),1(sin 12++t t ，(D) 4-t,2t-3,6t+820、微分方程xdx-ydy=y 2e y dy 的通解是( )(A) x=y(e y + c) (B) x=y(c-e y ) (C) y=x(e x +c) (D) y=x(c-e y )21、下列方程中为常微分方程的是（ ）(A) x 3+1=0 (B) y ce x= (C)∂∂∂∂u t ux=22 (D) ''+=y y e x 2'22、下列微分方程是线性的是（ ）(A)y ''+y 2=1+x (B)y '2+y=cosx (C) y '-2y=2x 2 (D) xdx+ydy=023、方程''-+=-y y y e x69163'特解的形状为( )(A) 31x y Ae = (B)y Ax e x123=(C) y Axe x 13= (D) y e A x B x x1333=+(sin cos )24、下列函数组在定义域内线性无关的是（ ）(A)2,,xxxe xe x e (B) 222,cos , cos x x (C) 2 1,2,x (D) 5420,,x x e x e x25、微分方程ydx-xdy=2x 2e x dx 的通解是( )(A) y=x(c-2e x ) (B) x=y(c+2e x ) (C) x=y(c-2e x ) (D) y=x(c+2e x ) 26、微分方程dy dx y x tg yx=+的通解为（ ） (A) 1sin y xcx = (B) sin y x =x +c (C) sin yx =c x (D) sin x y =c x27、微分方程2y y ''=(y ')2的通解（）(A) (x-c )2 (B) c 1(x -1)2+c 2(x +1)2 (C) c 1+(x -c 2)2 (D) c 1(x -c 2)228、微分方程xdy-ydx=y 2e y dy 的通解为（）(A) y=x(e x +c) (B) x=y(e y +c) (C) y =x(c-e x ) (D) x=y(c-e y )29、微分方程y ''-2y '-3y =0的通解*y 为（）(A) c x c x 123+ (B) c x cx123+ (C) c e c e x x 123+- (D) c e c e x x 123-+30、微分方程y ''-3y '+2y =2x -2e x 的特解y *的形式是（）(A) (ax+b)e x (B) (ax+b)xe x (C) (ax+b)+ce x (D) (ax+b)+cxe x31、通过坐标原点且与微分方程dydxx =+1的一切积分曲线均正交的曲线方程是( ) (A) e x y -=+1 (B) e x y ++=10 (C) e x y =+1 (D) 222y x x =+32、设y(x)满足微分方程(cos 2x)y ¹+y=tgx 且当x=π/4时y=0，则当x =0时y =( )(A) π/4 (B) -π/4 (C) -1 (D) 133、已知y=y(x) 的图形上点M(0,1)处的切线斜率k=0，且y(x)满足微分方程''=+y y 12(')，则y(x)=( )(A) sin x (B)cos x (C) shx (D) chx34、微分方程y ''-2y '-3y =0的通解是y =( )(A)33x x ++ (B) c x c x123+(C) c e c e x x 123+- (D) c e c e x x123-+ 35、设y x y x y x 123(),(),()是线性非齐次方程d y dxa x dydx b x y f x 22++=()()()的特解， 则y c c y x c y x c y x =--++()()()()11211223(A) 是所给微分方程的通解 (B) 不是所给微分方程的通解 (C) 是所给微分方程的特解(D) 可能是所给微分方程的通解 也可能不是所给微分方程的通解，但肯定不是特解36、设 y(x)满足 y 'sinx=yLny ，且y (π/2)=e ，则y (π/4)=（ ）(A) e /2 (B)-1e (C) e21- (D) e 23-37、微分方程2cos 0yn ytgx y x -+=的通解是（ ）(A) arctgx c + (B)1x ()arctgx c + (C) 1arctgx c x + (D) 1arctgx c x++38、微分方程(1+y 2)dx=(arctgy-x)dy 的通解为（ ）(A) x arctgy ce arctgy =-+-1 (B) x arctgy cearctgy=-++1(C) x arctgy cec arctgy=-++ (D) x arctgy ce c arctgy =-+39、微分方程''+=y y x 4212cos 的通解为y=（ ） (A) e c x c x c x +++1223 (B) c x c x c 1223++ (C) c e c x c x 123++ (D) c x c x c 13223++40、微分方程''-''+=y y y x 76sin 的通解是 y =（ ）(A) e x x x-++574774sin cos (B) c e c x c e c x x x 1234+++-sin cos(C) ()()c c x e c c x e x x1233+++- (D) ()sin ()cos c c x x c c x x 1233+++41、通过坐标原点且与微分方程dydxx =+1的一切积分曲线均正交的曲线方程是( ) (A) e x y-=+1 (B) e x y ++=10 (C) e x y =+1 (D) 222y x x =+42、设y(x)满足微分方程xy ¹+y-y 2Lnx=0且当y(1)=1,则y(e)=( )(A) 1/e (B) 1/2 (C) 2 (D) e43、已知()y y x =满足()()x xy y dx y xy x dy 2222220+-++-=，且(1)1y =则y 122+⎛⎝ ⎫⎭⎪=( ) (A) 1 (B) 1/2 (C) 22 (D) 122+ 44、微分方程''=+y xy x 212'满足初始条件y x ==01, y x '==03的特解是y=( )(A)x x 33++ (B) x x 331++ (C) x x 23++ (D) x x 231++45、微分方程''++=y y y 6130'的通解是y=( )(A) ec x c x x -+31222(cos sin ) (B) e c x c x x 21233(cos sin )-(C) e c x c x x31222(cos sin )- (D) e c x c x x-+21233(cos sin )46、微分方程y yxc '++=20满足y x ==20的特解y =（ ）(A) 4422x x - (B)x x 2244- (C))2ln (ln 2-x x (D))2ln (ln 12-x x47、微分方程y ytgx y x 'cos -+=20的通解是（ ）(A)1()cos x c x y =+ (B) ()cos y x c x =+ (C) 1cos x x c y=+ (D) cos y x x c =+48、微分方程(y 2-6x )y ' +2y=0的通解为（ ）(A) 2x-y 2+cy 3=0 (B) 2y-x 3+cx 3=0 (C) 2x-cy 2+y 3=0 (D) 2y-cx 3+x 3=049、微分方程''+=y y x 4212cos 的特解的形式是y=（ ） (A) cos2a x (B) cos2ax x(C)sin2cos2 a x b x + (D)sin2cos2 ax x bx x +50、满足微分方程''-''+=y y y x 76sin 的一个特解 y*=（ ）(A)e x x x -++574774sin cos (B)e x x x ++574774sin cos(C)e x x x-++6574774sin cos (D)e e x x x x --+++6574774sin cos51、初值问题"40,(0)0,'(0)1y y y y +===的解是()y x =（ ）（其中其通解为1212()sin 2cos2,,y x c x c x c c =+为任意常数）(A)1sin 23x (B)1sin 22x (C)1sin33x （D ）1sin32x52、下列方程中为常微分方程的是（ ）(A)42310x x x +-+= (B) 2"'y y x +=(C) 2222u u u t x y∂∂∂=+∂∂∂ (D)2u v w =+53、下列微分方程是线性的是（ ）(A)2"'y xy y x ++= (B)22'y x y =+ (C)2"()y xy f x -= (D)3"'y y y -=54、已知(,)F x y 具有一阶连续偏导，且(,)()F x y ydx xdy +为某一函数的全微分，则（ ）(A) F F x y ∂∂=∂∂ (B)F F x y x y ∂∂=∂∂ (C)F F x y x y ∂∂-=∂∂ (D)F Fy x x y∂∂=∂∂55、设123(),(),()y x y x y x 是二阶线性非齐次微分方程"()'()()y P x y Q x y f x ++=的三个线性无关解，12,c c 是任意常数，则微分方程的解为( )(A)11223c y c y y ++ (B)1122123(1)c y c y c c y ++-- (C)1122123()c y c y c c y +-+ (D)1122123(1)c y c y c c y +--- 56、若连续函数()f x 满足关系式20()ln 22xt f x f dt ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭⎰，则()f x 为（ ） (A)2x e ln (B)22x e ln (C)2x e ln + (D)22xe ln +57、若3312,x xy e y xe ==，则它们所满足的微分方程为（ ）(A)"6'90y y y ++= (B)"90y y -= (C)"90y y += (D)"6'90y y y -+=58、设123,,y y y 是二阶线性微分方程"()'()()y p x y q x y r x ++=的三个不同的特解，且1223y y y y --不是常数，则该方程的通解为（ ）(A)11223c y c y y ++ (B)1122231()()c y y c y y y -+-+ (C)11232c y c y y ++ (D)112223()()c y y c y y -+- 59、设()f x 连续，且满足方程()1()()f tx dt nf x n N =∈⎰，则()f x 为（ ）(A)1n ncx - (B)(c c 为常数） (C)sin c nx (D)s cco nx60、设12,y y 是方程"()'()0y p x y q x y ++=的两个特解，则1122y c y c y =+（12,c c 为任意常数）（ ）(A)是此方程的通解 (B)是此方程的特解 (C)不一定是该方程的解 (D)是该方程的解61、方程22(2)"(2)'(22)0x x y x y x y ---+-=的通解为（ ）(A)12x y c e c =+ (B)12x x y c e c e -=+ (C)212x y c e c x =+ (D)12xy c e c x =+62、微分方程"'1xy y e -=+的一个特解形式为（ ）(A)x ae b + (B)x axe bx + (C)x ae bx + (D)xaxe b + 63、方程22()(2)0pxy y dx qxy x dy --+=是全微分的充要条件是（ ）(A)4,2p q == (B)4,2p q ==- (C)4,2p q =-= (D)4,2p q =-=-64、表达式22[cos()][cos()3]x y ay dx by x y x dy +++++是某函数的全微分，则（ ）(A)2,2a b == (B)3,2a b == (C)2,3a b == (D)3,3a b ==65、方程"'"'xy y y y xe -+++=是特解形式为（ ）(A)()xax b e-+ (B)()xx ax b e -+(C)2()xx ax b e -+ (D)[()cos 2()sin 2]xe ax b x cx d x +++66、方程"2'xy y y xe -+=的特解*y 的形式为（ ）(A) xaxe (B)()x ax b e + (C)()x x ax b e + (D)2()xx ax b e + 67、已知1cos y wx =与23cos y wx =是微分方程2"0y w y +=的解，则1122y c y c y =+是（ ）(A) 方程的通解 (B)方程的解，但不为通解 (C)方程的特解 (D)不一定是方程的解68、方程"3'232xy y y x e -+=-的特解*y 的形式为（ ）(A) ()x ax b e + (B)()x ax b xe + (C)()x ax b ce ++ (D)()xax b cxe ++69、方程22"3'2xy y y x e-++=特解的形式为（ ）(A) 22x y ax e -= (B)22()xy ax bx c e-=++(C)22()xy x ax bx c e -=++ (D)222()xy x ax bx c e-=++70、下列函数在定义域内线性无关的是（ ）(A) 4x (B)22x x x ⋅⋅ (C)225cos sin x x ⋅⋅ (D)212x x ⋅⋅⋅71、微分方程2yxdy ydx y e dy -=的通解是（ ）(A)()yx y c e =- (B)()yx y e c =+ (C)()xy x e c =+ (D)()yy x c e =- 72、方程5,3dx dyx y x dt dt=-+-=-的奇点为（ ） (A)（0,0） (B) (0,5) (C) (5,5) (D) (5,0)73、（0,0）为系统,23dx dyy x y dt dt==--的（ ） (A) 鞍点 (B) 结点 (C) 中心 (D) 焦点 74、方程dx dy dz xz yz xy==的首次积分是（ ） (A)2xy z c -= (B)2x c y= (C)2x yz c -= (D)2xz x c -=75、方程22222dx dy dzx y z xy xz==--的首次积分是（ ） (A) 2x y z c x ++= (B)222x y z cy++= (C)y c x = (D)z c x =76、系统22dxx y dtdy x y dt⎧=-+⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩的奇点类型为（ ）(A) 稳定结点 (B) 不稳定结点 (C) 稳定焦点 (D) 不稳定焦点77、系统3474dxx y dt dy x y dt⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩的奇点类型为（ ）(A) 鞍点 (B) 焦点 (C) 中心 (D) 结点78、方程"xy y xe-+=有形如（ ）特解(A)xy Axe -= (B)21()x y Ax Bx c e -=++(C)1()x y Ax B e -=+ (D)xAe -79、方程2"6'13(512)t x x x e t t ++=-+特解形状为（ ）(A)21()t x At Bt c e =++ (B)1()tx At B e =+（C)1t x Ate = (D)1tx Ae =80、方程"2'2cos xy y y e x --+=的特解形状为（ ）(A)1cos x y A xe -= (B)1sin xy A xe -= (C)1(cos sin )x y e A x B x -=+ (D)1xy Ae -=81、方程"2'2cos tx x x te t -+=的特解形状为（ ）(A)21()cos tx At Bt c e t =++ (B)21()sin t x At Bt c e t =++(C)1(cos sin )t x e A t B t =+ (D)221()cos ()sin t tx At Bt c e t Dt Et F e t =++++82、微分方程()()0xyyx ye e dx xee dy ---++=的通解为（ ）(A)xyye xe c -= (B)yxye xe c -= (C)x y ye xe c --= (D)x yye xe c --=83、微分方程(sin 2sin )(cos 2cos )0xxe y y x dx e y x dy -++=的通解为（ ）(A)sin 2cos xe y y x c += (B)s 2cos xe co y y x c += (C)sin cos xe y y x c += (D)s 2cos xe co y y x c +=84、微分方程(2)0yye dx x xy e dy -+=的通解为（ ）(A)2yxe y c += (B)2y e y c x += (C)y xe xy c += (D)y y e c x+=85、方程2(3)20xe y dx xydy ++=的通解为（ ）(A)32x xe x y c += (B)232(2)xx x e x y c -+=(C)232(22)x x x e x y c --+= (D)232(2)x x e x y c -+=86、下列方程为常微分方程的是（ ）(A)2220x y z ++= (B)22u u ux y y∂∂∂+=∂∂∂ (C)sin sin y A t B t =+ (D)'x y Ae =87、方程432422(22)(3)0y y xy e xy y dx x y e x y x dy +++--=的积分因子为（ ）(A)21()x x μ=(B)1()x xμ= (C)41()y y μ= (D)21()y y μ= 88、方程(2)0yye x xy e dy -+=的积分因子为（ ）(A)21()x x μ=(B) 1()x xμ= (C)21()y y μ= (D) 1()y y μ= 89、方程2(3)20xe y dx xydy ++=的积分因子为（ ）(A) 1()x xμ=(B)2()x x μ= (C) 1()y y μ= (D) 2()y y μ=90、方程(1)0y xy dx xdy --+=的积分因子为（ ）(A)()x x e μ= (B)()x x eμ-= (C)()y y e μ= (D)()y y e μ-=91、方程23(225)(22)0x y y dx x x dy ++++=的积分因子为（ ） (A) 1()x x μ=(B)21()1x x μ=+ (C) 1()y y μ= (D)21()1y y μ=+ 92、方程3222(1)0xy dx x y dy +-=的积分因子为（ ） (A) 1()x x μ=(B) 21()x x μ= (C) 1()y y μ= (D) 21()y y μ= 93、方程(2cos )0x x e dx e ctgx y y dy ++=的积分因子为（ ）(A)()sin x x μ= (B)()s x co x μ= (C)()sin y y μ= (D)()s y co y μ=94、方程22()0ydx x y x dy -++=的积分因子为（ ） (A) 21()x x μ=(B) 21()y y μ= (C)221(,)x y x y μ=+ (D)1(,)x y x y μ=+95、方程3222()0y dx x xy dy +-=的积分因子为（ ） (A) 21x μ=(B)1xy μ= (C)221x y μ= (D)21x y μ= 96、方程36330x y x dx dy y y x ⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的积分因子为（ ） (A)x μ= (B)y μ= (C)xy μ= (D)2x y μ=97、下列方程中为常微分方程的是（ ）(A) 2-210x x += (B) 2' y xy = (C) 2222u u u t x y∂∂∂=+∂∂∂ (D) 2 y x c =+(c 为常数）98、下列微分方程是线性的是（ ）(A)22 ' y x y =+ (B)2 " x y y e += (C)2"0 y x += (D)2'-y y xy =。
常微分方程期末选择题题库
常微分方程期末选择题题库选 择 题1、下列方程中为常微分方程的是（ ）(A) 2-210x x += (B) 2' y xy =(C) 2222u u u t x y∂∂∂=+∂∂∂ (D) 2y x c =+(c 为常数）2、下列微分方程是线性的是（ ）(A)22' y x y =+ (B)2" xy y e += (C)2"0 y x += (D)2'-y y xy =3、方程2-2 "3' 2xy y y x e ++=特解的形状为( )(A)2-21x y ax ey = (B) 2-21() x y ax bx c e =++(C)22-21()x y x ax bx c e =++ (D) 22-21()xy x ax bx c e =++4、下列函数组在定义域内线性无关的是（ ）(A) 4, x (B) 2,2, x x x (C)22 5,cos ,sin x x (D) 21,2,,x x5、微分方程2-yxdy ydx y e dy =的通解是( )(A)(-) y x y c e = (B)()y x y e c =+ (C)()xy x e c =+ (D) (-)yy x c e =(A)20 t dt xdx += (B)sin 1x =(C) 1 y x c =++(c 为常数） (D) 22220u ux y∂∂+=∂∂ 7、下列微分方程是线性的是（ ） (A)2'1y y =+ (B)11dy dx xy=+(C)2' y by cx += (D) 4'0y xy +=8、方程 "-2' 2(cos 2sin )xy y y e x x x +=+特解的形状为( )(A) 1[()cos sin ]xy e Ax B x C x =++ (B) y e Ax x C x x1=+[cos sin ](C)y e Ax B x Cx D x x1=+++[()cos ()sin ] (D)y xe Ax B x Cx D x x1=+++[()cos ()sin ]9、下列函数组在定义域内线性无关的是（ ）(A)31, , x x (B)2 22,,x x x(C)21,sin ,cos2x x (D)225,sin (1),cos (1)x x ++10、微分方程2-ydx xdy y exdx =的通解是( )(A)() x y x e c =+ (B)( ) x x y e c =+ (C)(-) xx y c e = (D)(-)xy x e c =(A)22-10 x y += (B) 2' xy y= (C)222222u u ux y∂∂∂=+∂∂∂ (D)2x y c +=(c 为常数）12、下列微分方程是线性的是（ ）(A) dy dx yx= (B)2y '+6y '=1 (C) y '=y3+sin x (D)y '+y =y 2cos x13、方程y ''+y =2sin x 特解的形状为( )(A) )sin cos (1x B x A x y += (B) y Ax x 1=sin(C)y Bx x 1=cos (D)y Ax x x 12=+(cos sin )14、下列函数组在定义域内线性无关的是（ ）(A) 0,1, t (B) e t ，2e t ,e -t (C)e t e t tt--3322sin ,cos (D) t t t t ,||,242+15、微分方程ydx-xdy=x 2e x dx 的通解是( )(A) y=x(c+e x ) (B) x=y(c+e x ) (C) x=y(c-e x ) (D) y=x(c-e x )(A) x 2+y 2-z 2=0 (B) y ce x=(C) ∂∂∂∂u t u x=22(D) y=c 1cost+c 2sint (c 1,c 2为常数）17、下列微分方程是线性的是（ ）(A) )(t x ' -x=f(t) (B)3y '+y=cos x (C) x +2y '=y '' (D) y '+(1/3)y =y 418、方程y ''-2y '+3y =e -x cos x 特解的形状为( )(A)y A x B x 1=+cos sin (B) y Ae x1=-(C)y e A x B x x1=+-(cos sin ) (D)y Axe x x1=-cos19、下列函数组在定义域内线性无关的是（ ）(A) 23,,t t t e e e (B) 20,, t t(C) )22cos(),1(sin 12++t t ，(D) 4-t,2t-3,6t+820、微分方程xdx-ydy=y 2e y dy 的通解是( )(A) x=y(e y + c) (B) x=y(c-e y ) (C) y=x(e x +c) (D) y=x(c-e y )(A) x 3+1=0 (B) y ce x= (C)∂∂∂∂u t u x=22(D) ''+=y y e x2'22、下列微分方程是线性的是（ ）(A)y ''+y 2=1+x (B)y '2+y=cosx (C) y '-2y=2x 2 (D) xdx+ydy=023、方程''-+=-y y y e x69163'特解的形状为( )(A) 31xy Ae = (B)y Ax e x123=(C) y Axe x13= (D) y e A x B x x1333=+(sin cos )24、下列函数组在定义域内线性无关的是（ ）(A)2,,x x x e xe x e (B) 222,cos , cos x x (C) 21,2,x (D) 5420,,x x e x e x25、微分方程ydx-xdy=2x 2e x dx 的通解是( )(A) y=x(c-2e x ) (B) x=y(c+2e x ) (C) x=y(c-2e x ) (D) y=x(c+2e x )26、微分方程dy dx y x tg yx=+的通解为（ ） (A)1sin yxcx= (B) sin yx =x +c (C)sin y x =c x (D) sin x y=c x 27、微分方程2y y ''=(y ')2的通解（）(A) (x-c )2 (B) c 1(x -1)2+c 2(x +1)2 (C) c 1+(x -c 2)2 (D) c 1(x -c 2)228、微分方程xdy-ydx=y 2e y dy 的通解为（）(A) y=x(e x +c) (B) x=y(e y +c) (C) y =x(c-e x ) (D) x=y(c-e y )29、微分方程y ''-2y '-3y =0的通解*y 为（）(A) c x c x 123+ (B) c x c x123+ (C) c e c e x x123+- (D)c e c e x x123-+30、微分方程y ''-3y '+2y =2x -2e x 的特解y *的形式是（）(A) (ax+b)e x (B) (ax+b)xe x (C) (ax+b)+ce x (D) (ax+b)+cxe x31、通过坐标原点且与微分方程dy dxx =+1的一切积分曲线均正交的曲线方程是( )(A) e x y-=+1 (B) e x y++=10 (C) e x y=+1 (D) 222y x x =+32、设y(x)满足微分方程(cos 2x)y ¹+y=tgx 且当x=π/4时y=0，则当x =0时y =( )(A) π/4 (B) -π/4 (C) -1 (D) 133、已知y=y(x) 的图形上点M(0,1)处的切线斜率k=0，且y(x)满足微分方程''=+y y 12(')，则y(x)=( )(A) sin x (B)cos x (C) shx (D) chx34、微分方程y ''-2y '-3y =0的通解是y =( )(A)33x x ++ (B) c x c x123+ (C) c e c e x x123+- (D) c e c e xx123-+35、设y x y x y x 123(),(),()是线性非齐次方程d y dxa x dydx b x y f x 22++=()()()的特解， 则y c c y x c y x c y x =--++()()()()11211223(A) 是所给微分方程的通解 (B) 不是所给微分方程的通解(C) 是所给微分方程的特解(D) 可能是所给微分方程的通解 也可能不是所给微分方程的通解，但肯定不是特解36、设 y(x)满足 y 'sinx=yLny ，且y (π/2)=e ，则y (π/4)=（ ）(A) e /2 (B)-1e (C) e 21- (D) e 23-37、微分方程2cos 0yn ytgx y x -+=的通解是（ ）(A) arctgx c + (B)1x ()arctgx c + (C) 1arctgx c x+ (D)1arctgx c x++38、微分方程(1+y 2)dx=(arctgy-x)dy 的通解为（ ）(A) x arctgy ce arctgy=-+-1 (B) x arctgy ce arctgy=-++1(C) x arctgy ce c arctgy=-++ (D) x arctgy ce c arctgy=-+39、微分方程''+=y y x 4212cos 的通解为y=（ ）(A) e c x c x c x+++1223(B) c x c x c 1223++(C) c e c x c x 123++ (D) c x c x c 13223++40、微分方程''-''+=y y y x 76sin 的通解是 y =（ ）(A) e x x x-++574774sin cos (B) c e c x c e c x x x1234+++-sin cos(C) ()()c c x e c c x e x x1233+++- (D) ()sin ()cos c c x x c c x x 1233+++41、通过坐标原点且与微分方程dy dx x =+1的一切积分曲线均正交的曲线方程是( )(A) e x y-=+1 (B) e x y++=10 (C) e x y=+1 (D) 222y x x =+42、设y(x)满足微分方程xy ¹+y-y 2Lnx=0且当y(1)=1,则y(e)=( )(A) 1/e (B) 1/2 (C) 2 (D) e43、已知()y y x =满足()()x xy y dx y xy x dy 2222220+-++-=，且(1)1y =则y 122+⎛⎝ ⎫⎭⎪=( ) (A) 1 (B) 1/2 (C) 22 (D) 122+ 44、微分方程''=+y xy x 212'满足初始条件yx ==01,y x '==03的特解是y=( )(A)x x 33++ (B) x x 331++ (C) x x 23++ (D) x x 231++45、微分方程''++=y y y 6130'的通解是y=( )(A) e c x c x x-+31222(cos sin ) (B) e c x c x x21233(cos sin )-(C)e c x c x x 31222(cos sin )- (D)e c x c x x -+21233(cos sin )46、微分方程y y x c '++=20满足y x ==20的特解y =（ ）(A) 4422xx -(B)x x2244-(C))2ln (ln 2-x x(D))2ln (ln 12-x x47、微分方程y ytgx yx 'cos -+=2的通解是（ ）(A) 1()cos x c x y=+ (B) ()cos y x c x =+(C)1cos x x c y=+(D) cos y x x c =+48、微分方程(y 2-6x )y ' +2y=0的通解为（ ）(A) 2x-y 2+cy 3=0 (B) 2y-x 3+cx 3=0 (C) 2x-cy 2+y 3=0 (D) 2y-cx 3+x 3=049、微分方程''+=y y x 4212cos 的特解的形式是y=（ ）(A) cos2a x (B) cos2ax x (C)sin2cos2 a x b x + (D)sin2cos2 ax x bx x +50、满足微分方程''-''+=y y y x 76sin 的一个特解 y*=（ ）(A)e x xx -++574774sin cos (B)ex xx++574774sin cos(C)e x xx -++6574774sin cos(D)e e x x xx--+++6574774sin cos51、初值问题"40,(0)0,'(0)1y y y y +===的解是()y x =（ ）（其中其通解为1212()sin 2cos2,,y x c x c x c c =+为任意常数）(A)1sin 23x (B)1sin 22x (C)1sin33x （D ）1sin32x52、下列方程中为常微分方程的是（ ）(A)42310x x x +-+= (B) 2"'y y x +=(C) 2222u u ut x y∂∂∂=+∂∂∂ (D)2u v w =+53、下列微分方程是线性的是（ ）(A)2"'y xy y x ++= (B)22'y x y =+ (C)2"()y xy f x -= (D)3"'y y y -=54、已知(,)F x y 具有一阶连续偏导，且(,)()F x y ydx xdy +为某一函数的全微分，则（ ）(A) F F x y ∂∂=∂∂ (B)F F x y x y ∂∂=∂∂ (C)F F x y x y∂∂-=∂∂ (D)F Fy x x y∂∂=∂∂55、设123(),(),()y x y x y x 是二阶线性非齐次微分方程"()'()()y P x y Q x y f x ++=的三个线性无关解，12,c c 是任意常数，则微分方程的解为( )(A)11223c y c y y ++ (B)1122123(1)c y c y c c y ++--(C)1122123()c y c y c c y +-+ (D)1122123(1)c y c y c c y +---56、若连续函数()f x 满足关系式20()ln 22xt f x f dt ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭⎰，则()f x 为（ ）(A)2xe ln (B)22xe ln (C)2xe ln + (D)22xe ln +57、若3312,xxy e y xe ==，则它们所满足的微分方程为（ ）(A)"6'90y y y ++= (B)"90y y -= (C)"90y y += (D)"6'90y y y -+=58、设123,,y y y 是二阶线性微分方程"()'()()y p x y q x y r x ++=的三个不同的特解，且1223y yy y--不是常数，则该方程的通解为（ ）(A)11223c y c y y ++ (B)1122231()()c y y c y y y -+-+(C)11232c y c y y ++(D)112223()()c y y c y y -+- 59、设()f x 连续，且满足方程()10()()f tx dt nf x n N =∈⎰，则()f x 为（ ）(A)1n n cx - (B)(c c 为常数） (C)sin c nx (D)s cco nx60、设12,y y 是方程"()'()0y p x y q x y ++=的两个特解，则1122y c y c y =+（12,c c 为任意常数）（ ）(A)是此方程的通解 (B)是此方程的特解 (C)不一定是该方程的解 (D)是该方程的解61、方程22(2)"(2)'(22)0x x y x y x y ---+-=的通解为（ ）(A)12xy c e c =+ (B)12xxy c e c e -=+ (C)212xy c e c x =+ (D)12xy c e c x =+62、微分方程"'1xy y e -=+的一个特解形式为（ ）(A)x ae b + (B)x axe bx + (C)xae bx + (D)xaxe b +63、方程22()(2)0pxy y dx qxy x dy --+=是全微分的充要条件是（ ）(A)4,2p q == (B)4,2p q ==- (C)4,2p q =-= (D)4,2p q =-=-64、表达式22[cos()][cos()3]x y ay dx by x y x dy +++++是某函数的全微分，则（ ）(A)2,2a b == (B)3,2a b == (C)2,3a b == (D)3,3a b ==65、方程"'"'xy y y y xe -+++=是特解形式为（ ）(A)()xax b e -+ (B)()xx ax b e -+(C)2()xx ax b e -+ (D)[()cos 2()sin 2]xe ax b x cx d x +++66、方程"2'xy y y xe -+=的特解*y 的形式为（ ）(A) x axe (B)()xax b e + (C)()x x ax b e + (D)2()xx ax b e +67、已知1cos y wx =与23cos y wx =是微分方程2"0y w y +=的解，则1122y c y c y =+是（ ）(A) 方程的通解 (B)方程的解，但不为通解 (C)方程的特解 (D)不一定是方程的解68、方程"3'232x y y y x e -+=-的特解*y 的形式为（ ）(A) ()x ax b e + (B)()x ax b xe + (C)()xax b ce ++ (D)()xax b cxe ++69、方程22"3'2xy y y x e -++=特解的形式为（ ）(A)22xy ax e -= (B)22()xy ax bx c e -=++(C)22()xy x ax bx c e -=++(D)222()xy x ax bx c e -=++70、下列函数在定义域内线性无关的是（ ）(A) 4x (B)22x x x ⋅⋅ (C)225cos sin x x ⋅⋅ (D)212x x ⋅⋅⋅71、微分方程2yxdy ydx y e dy -=的通解是（ ）(A)()yx y c e =- (B)()yx y e c =+ (C)()xy x e c =+ (D)()yy x c e =-72、方程5,3dx dyx y x dt dt=-+-=-的奇点为（ ） (A)（0,0） (B) (0,5) (C) (5,5) (D) (5,0)73、（0,0）为系统,23dx dyy x y dt dt ==--的（ ） (A) 鞍点 (B) 结点 (C) 中心 (D) 焦点74、方程dx dy dz xz yz xy==的首次积分是（ ） (A)2xy z c-= (B)2x c y= (C)2xyz c-=(D)2xz xc-=75、方程22222dx dy dzxy z xy xz==--的首次积分是（ ）(A)2x y zc x ++= (B)222x y z c y++= (C)y c x=(D)z c x =76、系统22dxx y dt dy x y dt⎧=-+⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩的奇点类型为（ ）(A) 稳定结点 (B) 不稳定结点(C) 稳定焦点 (D) 不稳定焦点 77、系统3474dx x y dt dy x y dt⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩的奇点类型为（ ）(A) 鞍点 (B) 焦点(C) 中心 (D) 结点78、方程"xy y xe -+=有形如（ ）特解(A)xy Axe -= (B)21()xy Ax Bx c e -=++(C)1()xy Ax B e -=+ (D)xAe -79、方程2"6'13(512)t x x x e t t ++=-+特解形状为（ ）(A)21()tx At Bt c e =++ (B)1()tx At B e =+（C)1tx Ate =80、方程"2'2cos xy y y e x --+=的特解形状为（ ）(A)1cos xy A xe -= (B)1sin xy A xe -=(C)1(cos sin )x y e A x B x -=+ (D)1xy Ae -=81、方程"2'2cos tx x x te t -+=的特解形状为（ ）(A)21()cos t x At Bt c e t =++ (B)21()sin tx At Bt c e t =++(C)1(cos sin )tx e A t B t =+ (D)221()cos ()sin t tx At Bt c e t Dt Et F e t =++++82、微分方程()()0x y y xye e dx xe e dy ---++=的通解为（ ）(A)x y ye xe c -= (B)y x ye xe c -= (C)x yye xe c --= (D)x yye xe c --=83、微分方程(sin 2sin )(cos 2cos )0x xe y y x dx e y x dy -++=的通解为（ ）(A)sin 2cos xe y y x c += (B)s 2cos xe co y y x c +=(C)sin cos xe y y x c += (D)s 2cos xe co y y x c +=84、微分方程(2)0y ye dx x xy e dy -+=的通解为（ ）(A)2y xe y c += (B)2ye y c x += (C)yxe xy c +=x85、方程2(3)20xe y dx xydy ++=的通解为（ ）(A)32xxe x y c += (B)232(2)xx x e x y c -+=(C)232(22)xx x e x y c --+= (D)232(2)xx e x y c -+=86、下列方程为常微分方程的是（ ）(A)2220x y z ++= (B)22u u ux y y∂∂∂+=∂∂∂ (C)sin sin y A t B t =+ (D)'xy Ae = 87、方程432422(22)(3)0yyxy e xy y dx x y e x y x dy +++--=的积分因子为（ ）(A)21()x x μ= (B)1()x xμ= (C)41()y y μ= (D)21()y y μ=88、方程(2)0yye x xy e dy -+=的积分因子为（ ）(A)21()x x μ= (B) 1()x xμ= (C)21()y y μ= (D)1()y yμ=89、方程2(3)20xe y dx xydy ++=的积分因子为（ ）(A) 1()x xμ= (B)2()x x μ= (C) 1()y yμ=(D)2()y y μ=90、方程(1)0y xy dx xdy --+=的积分因子为（ ）(A)()xx e μ= (B)()xx e μ-= (C)()yy e μ= (D)()yy e μ-=91、方程23(225)(22)0x y y dx x x dy ++++=的积分因子为（ ）(A) 1()x x μ= (B)21()1x xμ=+ (C) 1()y y μ= (D)21()1y y μ=+92、方程3222(1)0xy dx x y dy +-=的积分因子为（ ）(A) 1()x x μ= (B) 21()x xμ=(C) 1()y yμ=(D)21()y y μ=93、方程(2cos )0xxe dx e ctgx y y dy ++=的积分因子为（ ）(A)()sin x x μ= (B)()s x co x μ= (C)()sin y y μ= (D)()s y co y μ=94、方程22()0ydx x y x dy -++=的积分因子为（ ）(A) 21()x x μ= (B) 21()y y μ=(C)221(,)x y x y μ=+ (D)1(,)x y x yμ=+95、方程3222()0y dx x xy dy +-=的积分因子为（ ）(A) 21x μ= (B)1xy μ=(C)221x y μ= (D)21x y μ=《常微分方程》选择题及答案 1996、方程36330x y x dx dy y y x ⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的积分因子为（ ）(A)x μ= (B)y μ=(C)xy μ= (D)2x y μ=97、下列方程中为常微分方程的是（ ） (A)2-210x x += (B) 2 ' y xy =(C) 2222u u ut x y ∂∂∂=+∂∂∂(D) 2 y x c =+(c 为常数）98、下列微分方程是线性的是（） (A)22 ' y x y =+ (B)2 " x y y e +=(C)2"0 y x += (D)2 '-y y xy =。
(完整版)常微分方程试题及答案
第十二章 常微分方程(A)一、是非题1．任意微分方程都有通解。
( X )2．微分方程的通解中包含了它所有的解。
( X )3．函数x x y cos 4sin 3-=是微分方程0=+''y y 的解。
( O )4．函数x e x y ⋅=2是微分方程02=+'-''y y y 的解。
( X )5．微分方程0ln =-'x y x 的通解是()C x y +=2ln 21(C 为任意常数)。
(O ) 6．y y sin ='是一阶线性微分方程。
( X )7．xy y x y +='33不是一阶线性微分方程。
( O )8．052=+'-''y y y 的特征方程为0522=+-r r 。
( O )9．221xy y x dx dy+++=是可分离变量的微分方程。
( O )二、填空题1．在横线上填上方程的名称①()0ln 3=-⋅-xdy xdx y 是可分离变量微分方程。
②()()022=-++dy y x y dx x xy 是可分离变量微分方程。
③x yy dx dyx ln ⋅=是齐次方程。
④x x y y x sin 2+='是一阶线性微分方程。
⑤02=-'+''y y y 是二阶常系数齐次线性微分方程。
2．x x y x y cos sin =-'+'''的通解中应含 3 个独立常数。
3．x e y 2-=''的通解是21241C x C e x ++-。
4．x x y cos 2sin -=''的通解是21cos 2sin 41C x C x x +++-。
5．124322+=+'+'''x y x y x y x 是 3 阶微分方程。
6．微分方程()06='-''⋅y y y 是 2 阶微分方程。
(完整版)常微分方程期末试题答案
一、填空题（每空2 分，共16分）。
1、方程22d d y x xy +=满足解的存在唯一性定理条件的区域是 xoy 平面 ． 2. 方程组n x x x R Y R Y F Y ∈∈=,),,(d d 的任何一个解的图象是 n+1 维空间中的一条积分曲线.3．),(y x f y '连续是保证方程),(d d y x f xy =初值唯一的 充分 条件． 4．方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=x ty y t x d d d d 的奇点)0,0(的类型是 中心 5．方程2)(21y y x y '+'=的通解是221C Cx y += 6．变量可分离方程()()()()0=+dy y q x p dx y N x M 的积分因子是()()x P y N 1 7．二阶线性齐次微分方程的两个解)(1x y ϕ=,)(2x y ϕ=成为其基本解组的充要条件是 线性无关8．方程440y y y '''++=的基本解组是x x x 22e ,e-- 二、选择题（每小题 3 分，共 15分）。
9．一阶线性微分方程d ()()d y p x y q x x +=的积分因子是（ A ）． （A ）⎰=xx p d )(e μ （B ）⎰=x x q d )(e μ （C ）⎰=-x x p d )(e μ （D ）⎰=-x x q d )(e μ 10．微分方程0d )ln (d ln =-+y y x x y y 是（ B ）（A ）可分离变量方程 （B ）线性方程（C ）全微分方程 （D ）贝努利方程11．方程x (y 2－1)d x+y (x 2－1)d y =0的所有常数解是（ C ）．(A) 1±=x (B)1±=y(C )1±=y , 1±=x (D )1=y , 1=x12．n 阶线性非齐次微分方程的所有解（ D ）．（A ）构成一个线性空间 （B ）构成一个1-n 维线性空间（C ）构成一个1+n 维线性空间 （D ）不能构成一个线性空间13．方程222+-='x y y （ D ）奇解．（A ）有一个 （B ）有无数个 （C ）只有两个 （D ）无三、计算题（每小题8分，共48分）。
常微分方程练习题及答案
常微分方程练习题及答案(复习题)(总7页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--常微分方程练习试卷一、23210d x x dt +=()x dyf xy y dx=_______3230d yy x dx--=(0)1,(0)2y y '== x y y y e αβγ'''++=*2()x x xy x e e xe =++α=β=γ=()0W t ≡12(),(),,()n x t x t x t a x b ≤≤22(2320)0xydx x y dy ++-=y()X A t X '=()t Φ()A t =20'05⎡⎤=⎢⎥⎣⎦x x251y y y y ''''''+++=20y y y '''''-+=二、13dy x y dx x y +-=-+222()0d x dxx dt dt +=sin y y x'=+22(cos sin )(1)0x x xy dx y x dy -+-=3124A -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=11ηX A dtdX =)(t ΦX A dt dX=η=)0(x 2213dyx y dx=--(1,0)x Ax '=(),t ϕ12(0),ηϕηη⎡⎤==⎢⎥⎣⎦(),()t t Φψ()X A t X '=C ()()t t C ψ=Φ),()(0βαϕ≤≤x x x],[,,])([)(0200βαξξξξ∈++=⎰x x d y y x y xx)}({x n ϕ],[βα)(x ψ],[βα],[βα)()(x x ϕψ≡)(t ϕAX dtdX=ηϕ=)(0t ηϕ)(exp )(0t t A t -=u xy =11(()1)du dx u f u x=+3,2,1αβγ=-==-3y1()()t t -'ΦΦ25 00t Att e e e ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦2114A ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦32()480dy dyxy y dx dx-+=13dy x y dx x y +-=-+10,30x y x y +-=⎧⎨-+=⎩1,2x y =-=1,2,x y ξη=-⎧⎨=+⎩.d d ηξηξξη+=-z ηξ=2(1)1z dz d z ξξ-=+21arctan ln(1)ln ||2z z C ξ-+=+ 222arctanln (1)(2)1y x y C x -=++-++222()0d x dxx dt dt+=sin y y x'=+y y '=x y ce =()x y c x e =()()()sin x x x c x e c x e c x e x '+=+()sin x c x e x -'=1()(sin cos )2x c x e x x c -=-++1(sin cos )2x y ce x x =-+22(cos sin )(1)0x x xy dx y x dy -+-=22(,)cos sin ,(,)(1)M x y x x xy N x y y x =-=-2M Nxy y x∂∂=-=∂∂22cos sin ()0x xdx xy dx yx dy ydy -++=2222111(sin )()()0222d x d x y d y ++=2222sin x x y y C -+=3124A -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=11ηX A dt dX =)(t ΦX A dt dX=η=)0(x 31det()(2)(5)0,24A E λλλλλ---==++=--122,5λλ=-=-122,5λλ=-=-1211,,(,0).12V V αβαβ⎡⎤⎡⎤==≠⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦2525().2tt tt e e t ee ----⎡⎤Φ=⎢⎥-⎣⎦1211(0)113-⎡⎤Φ=⎢⎥-⎣⎦=ΦΦ=-ηϕ)0()()(1t t 2525211111132tt tt e e ee ----⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦25252134t t t t e e e e ----⎡⎤+=⎢⎥-⎣⎦2213dyx y dx=--(1,0)0()0x ϕ=221001()[213()],xx y x x dx x x ϕϕ=+--=-⎰223452011133()[213()],1025xx y x x dx x x x x x ϕϕ=+--=-+-+-⎰3284dy y dx x dy y dx ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=dyp dx=3284p y x yp +=322322(4)(8)4dpy p y p y p y p dy-+-=32(4)(2)0dp p y y p dy --=20dp y p dy -=12p cy =2()p y c=2224c p x c =+22224()c p x c p y c ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩3240p y -=123(4)py =3427y x =x Ax '=(),t ϕ12(0),ηϕηη⎡⎤==⎢⎥⎣⎦221()69014p λλλλλ--==-+=-1,23λ=12n =12v ηηη⎡⎤==⎢⎥⎣⎦111123322120()()(3)()!it i t i t t t e A E e t i ηηηηϕηηηη=⎡⎤+-+⎡⎤⎡⎤=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥+-+⎣⎦⎣⎦⎣⎦∑10()!in tii t e A E i λλ-=-∑[]33310111exp (3)01111ttt t t At e E t A E e t e t t ⎧-⎫-⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+-=+=⎨⎬⎢⎥⎢⎥⎢⎥--+⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎩⎭(),()t t Φψ()X A t X '=C ()()t t C ψ=Φ32()480dy dyxy y dx dx-+=2114A ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦()t Φ1()t -Φ1()()()X t t t -=Φψ()X t det ()0X t ≠()()()t t X t ψ=Φ()()()()()t t X t t X t '''ψ=Φ+Φ()()()()()A t t X t t X t '=Φ+Φ()()()()A t t t X t '=ψ+Φ()()()t A t t 'ψ=ψ()()0t X t 'Φ=()0,X t '=()X t C =()()t t C ψ=Φ),()(0βαϕ≤≤x x x],[,,])([)(0200βαξξξξ∈++=⎰x x d y y x y xx)}({x n ϕ],[βα)(x ψ],[βα],[βα)()(x x ϕψ≡⎰++≡xx d y x 0,])([)(20ξξξψξψ,)(00y x =ϕ⎰∈++≡-xx n n x x d y x 0],[,,])([)(0120βαξξξϕξϕ),2,1( =nβ≤≤x x 00x x ≤≤α),()|||)(|(|)()(|0200x x M d x x xx -≤+≤-⎰ξξξψξϕψ|}||)(|{max 2],[x x x M x +=∈ψβα221000|()()|(|()()|)()(),2!xxx x MLx x d L M x d x x ψϕξψξϕξξξξ-≤-≤-=-⎰⎰ }{max 2],[x L x βα∈=n n n n x x n ML x x )(!|)()(|011-≤---ϕψ21xn n x |(x )(x )|(|()()|)d ψφξψξφξξ--≤-⎰,)(!)1()(!10010+--+=-≤⎰n xx n nn x x n ML d x n ML L ξξk1110|()()|()()!!k k kk k ML ML x x x x k k ψϕβα----≤-≤-k →∞0→)}({x n ϕβ≤≤x x 0)(x ψ)()(x x ϕψ≡β≤≤x x 0)(t ϕAX dtdX=ηϕ=)(0t ηϕ)(exp )(0t t A t -=At t exp )(=ΦAX dtdX=)(t ϕC (t )exp At C φ=⋅ 0t t =C At 0exp =ηη10)(exp -=At C1000(t )exp At (exp At )exp At exp(At )exp A(t t )φηηη-=⋅=⋅-=-。
《常微分方程》期末考试试题库
《常微分方程》期末考试试题目录《常微分方程》期末考试题（一） (1)《常微分方程》期末考试题（二） (6)《常微分方程》期末考试题（三） (13)《常微分方程》期末考试题（四） (18)《常微分方程》期末考试题（五） (24)《常微分方程》期末考试题（六） (31)《常微分方程》期末考试题库 (36)《常微分方程》期末考试题（一）一、填空题（每空2 分，共16分）。
1、方程22d d y x x y+=满足解的存在唯一性定理条件的区域是 xoy 平面 ． 2. 方程组n x x xR Y R Y F Y∈∈=,),,(d d 的任何一个解的图象是 n+1 维空间中的一条积分曲线.3．),(y x f y '连续是保证方程),(d d y x f xy=初值唯一的 充分 条件． 4．方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=x ty y txd d d d 的奇点)0,0(的类型是 中心5．方程2)(21y y x y '+'=的通解是221C Cx y +=6．变量可分离方程()()()()0=+dy y q x p dx y N x M 的积分因子是()()x P y N 17．二阶线性齐次微分方程的两个解)(1x y ϕ=,)(2x y ϕ=成为其基本解组的充要条件是 线性无关8．方程440y y y '''++=的基本解组是x x x 22e ,e -- 二、选择题（每小题 3 分，共 15分）。
9．一阶线性微分方程d ()()d yp x y q x x+=的积分因子是（ A ）． （A ）⎰=xx p d )(e μ （B ）⎰=xx q d )(e μ （C ）⎰=-x x p d )(e μ （D ）⎰=-xx q d )(e μ10．微分方程0d )ln (d ln =-+y y x x y y 是（ B ）（A ）可分离变量方程 （B ）线性方程 （C ）全微分方程 （D ）贝努利方程11．方程x (y 2－1)d x+y (x 2－1)d y =0的所有常数解是（ C ）．(A) 1±=x (B)1±=y (C)1±=y , 1±=x (D)1=y , 1=x12．n 阶线性非齐次微分方程的所有解（ D ）．（A ）构成一个线性空间 （B ）构成一个1-n 维线性空间 （C ）构成一个1+n 维线性空间 （D ）不能构成一个线性空间 13．方程222+-='x y y （ D ）奇解．（A ）有一个 （B ）有无数个 （C ）只有两个 （D ）无三、计算题（每小题8分，共48分）。
常微分方程练习题及答案
常微分方程练习试卷一、23210d x x dt += ()x dy f xy y dx=_______ 3230d y y x dx--=(0)1,(0)2y y '== x y y y e αβγ'''++=*2()x x x y x e e xe =++α=β=γ=()0W t ≡12(),(),,()n x t x t x t L a x b ≤≤22(2320)0xydx x y dy ++-=y()X A t X '=()t Φ()A t =20'05⎡⎤=⎢⎥⎣⎦x x251y y y y ''''''+++=20y y y '''''-+=二、13dy x y dx x y +-=-+ 222()0d x dx x dt dt+=sin y y x '=+22(cos sin )(1)0x x xy dx y x dy -+-=3124A -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=11ηX A dt dX =)(t ΦX A dt dX =η=)0(x2213dyx y dx =--(1,0)(),t ϕ12(0),ηϕηη⎡⎤==⎢⎥⎣⎦expAt(),()t t Φψ()X A t X '=C ()()t t C ψ=Φ),()(0βαϕ≤≤x x x],[,,])([)(0200βαξξξξ∈++=⎰x x d y y x y xx )}({x n ϕ],[βα)(x ψ],[βα],[βα)()(x x ϕψ≡)(t ϕAX dt dX=ηϕ=)(0t ηϕ)(ex p )(0t t A t -=u xy =11(()1)du dx u f u x =+3,2,1αβγ=-==-3y 1()()t t -'ΦΦ25 00tAt t e e e ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦13dy x y dx x y +-=-+ 10,30x y x y +-=⎧⎨-+=⎩1,2x y =-=1,2,x y ξη=-⎧⎨=+⎩ .d d ηξηξξη+=-z ηξ=2(1)1z dz d z ξξ-=+21arctan ln(1)ln ||2z z C ξ-+=+2arctanln 1y C x -=+ 222()0d x dx x dt dt+= ，直接计算可得，于是原方程化为 ，故有或，积分后得，即，所以 就是原方程的通解，这里为任意常数。
常微分方程练习试卷及答案
常微分方程练习试卷及答案常微分方程练试卷一、填空题。
1.方程d2x/dt2+1=是二阶非线性微分方程。
2.方程xdy/ydx=f(xy)经变换ln|x|=g(xy)可以化为变量分离方程。
3.微分方程d3y/dx3-y2-x=0满足条件y(0)=1,y'(0)=2的解有一个。
4.设常系数方程y''+αy'+βy=γex的一个特解y(x)=e-x+e2x，则此方程的系数α=-1，β=2，γ=1.5.朗斯基行列式W(t)≠0是函数组x1(t),x2(t)。
xn(t)在[a,b]上线性无关的条件。
6.方程xydx+(2x2+3y2-20)dy=0的只与y有关的积分因子为1/y3.7.已知X'=A(t)X的基解矩阵为Φ(t)，则A(t)=Φ(t)-1dΦ(t)/dt。
8.方程组x'=[2,5;1,0]x的基解矩阵为[2e^(5t),-5e^(5t);e^(5t),1]。
9.可用变换将伯努利方程y'+p(x)y=q(x)化为线性方程。
10.方程y''-y'+2y=2e^x的通解为y(x)=C1e^x+C2e^2x+e^x。
11.方程y'''+2y''+5y'+y=1和初始条件y(0)=y'(0)=y''(0)=0的唯一解为y(x)=e^-x/2[sin(5^(1/2)x/2)-cos(5^(1/2)x/2)]。
12.三阶常系数齐线性方程y'''-2y''+y=0的特征根是1，1，-1.二、计算题1.设曲线方程为y(x)=kx/(1-k^2)，则曲线上任一点处的斜率为y'(x)=k/(1-k^2)，切点为(0,0)，切线方程为y=kx，点(1,0)的连线斜率为-1/k，因此k=-1，曲线方程为y=-x/(1+x)。
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常微分方程期末考试试卷(6)
学院 ______ 班级 _______ 学号 _______ 姓名 _______ 成绩 _______
一． 填空题 （共30分，9小题，10个空格，每格3分）。
1.当_______________时，方程M(x,y)dx+N(x,y)dy=0称为恰当方程，或称全
微分方程。
2、________________称为齐次方程。
3、求dx
dy =f(x,y)满足00)(y x =ϕ的解等价于求积分方程____________________的连续解。
4、若函数f(x,y)在区域G 内连续，且关于y 满足利普希兹条件，则方程),(y x f dx dy = 的解 y=),,(00y x x ϕ作为00,,y x x 的函数在它的存在范围内是__________。
5、若)(),...(),(321t x t x t x 为n 阶齐线性方程的n 个解，则它们线性无关的充要条件是__________________________________________。
6、方程组x t A x )(/=的_________________称之为x t A x )(/=的一个基本解组。
7、若)(t φ是常系数线性方程组Ax x =/的基解矩阵，则expAt =____________。
8、满足___________________的点（**,y x ），称为方程组的奇点。
9、当方程组的特征根为两个共轭虚根时，则当其实部________时，零解是稳定
的，对应的奇点称为___________。
二、计算题（共6小题，每题10分）。
1、求解方程：dx dy =3
12+++-y x y x
2.解方程： (2x+2y-1)dx+(x+y-2)dy=0
3、讨论方程23=dx dy 31
y 在怎样的区域中满足解的存在唯一性定理的条件，并求通过点（0，0）的一切解
4、求解常系数线性方程：t e x x x t cos 32///-=+-
5、试求方程组Ax x =/的一个基解矩阵，并计算⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛3421,为其中A e At 6、试讨论方程组cy dt
dy by ax dt
dx =+=, （1）的奇点类型，其中a,b,c 为常数，且ac ≠0。
三、证明题（共一题，满分10分）。
试证：如果Ax x t =/）是（ϕ满足初始条件ηϕ=)(0t 的解，那么
=)(t ϕ[]
η)(0t t A e -
常微分方程期末考试答案卷
一、填空题。
（30分）
1、
x y x N y y x M ∂∂=∂∂),(),( 2、)(x
y f dx dy = 3、y=0y +dx y x f x
x ⎰0),(
4、连续的
5、w []0)(),...,,(),(21≠t x t x t x n
6、n 个线性无关解
7、)0()(1-ΦΦt
8、X(x,y)=0,Y(x,y)=0
9、为零 稳定中心
二、计算题。
（60分）
1、解： (x-y+1)dx-(x+2y +3)dy=0
xdx-(ydx+xdy)+dx-2y dy-3dy=0
即
21d 2x -d(xy)+dx-33
1dy -3dy=0 所以C y y x xy x =--+-33
12132
2、解：2
)(1)(2-+-+-=y x y x dx dy ，令z=x+y 则dx
dy dx dz +=1 ,212121+-+=---=z z z z dx dz dx dz z z =++-1
2 所以 –z+3ln|z+1|=x+1C ， ln 3|1|+z =x+z+1C
即y x Ce y x +=++23)1(
3、解： 设f(x,y)= 2331y ,则)0(2132
≠=∂∂-y y y f 故在0≠y 的任何区域上y
f ∂∂存在且连续， 因而方程在这样的区域中满足解的存在唯一性定理的条件，
显然，0≡y 是通过点（0，0）的一个解；
又由23=dx dy 31y 解得，|y|=23
)(c x - 所以，通过点（0，0）的一切解为0≡y 及 |y|=⎪⎩⎪⎨⎧≥>-≤是常数0),()()(023c c x c x c x
4、解： (1)i 21,0322,12±==+-λλλ
齐次方程的通解为x=)2sin 2cos (21t c t c e t +
(2)i ±-=1λ不是特征根，故取t e t B t A x -+=)sin cos (
代入方程比较系数得A=
415，B=-414 于是t e t t x --=)sin 41
4cos 415( 通解为x=)2sin 2cos (21t c t c e t ++
t e t t --)sin 4cos 5(411
5、解： det(A E -λ)=0543421
2=--=----λλλλ
所以，5,121=-=λλ
设11-=λ对应的特征向量为1v
由0110442211≠⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛----ααv v 可得 取⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=211121v v 同理取 所以，)(t Φ= []=-251v e v e t t ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛---t t t t e e e e 552 ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+--+=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=ΦΦ=----------t t t t t t t
t t t t t
t t t t At e e e e e e e e e e e e e e e e t e 5555551551222231111223121112)0()(
6、解： 因为方程组（1）是二阶线性驻定方程组，且满足条件 00≠=ac c b
a ，故奇点为原点（0，0）
又由det(A-λE)=
0)(02=++-=--ac c a c b a λλλλ
得 c a ==21λλ
所以，方程组的奇点（0，0）可分为以下类型：
a ，c 为实数⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧>><<⎭⎬⎫=≠=⎪⎩⎪⎨⎧<⎩⎨⎧>><<>≠不稳定结点，稳定结点奇点为奇结点奇点为退化结点奇点为鞍点（不稳定）不稳定结点稳定结点奇点为结点,0,00,0,0,00,0,0,0,00c a c a b b c a ac c a c a ac c a 三、证明题。
（10分）
证明： 设)(t ϕ的形式为)(t ϕ=C e At （1）
（C 为待定的常向量）
则由初始条件得)(0t ϕη==C e At 0
又1)(0-At e =0At e - 所以，C=1)(0-At e η=0At e -η 代入（1）得)(t ϕ=ηη)(00t t A At At e e e --=
即命题得证。