三角函数的诱导公式(公开课)

sin
2
cos
,
c
o
s
2
sin .
y
P(x,y)
P(y,x)
α
2
O
x
y=x
.
2
2
由公式四和公式五得
公式六
sin
2
cos
,
cos
2
sin
.
.
公式五
sin
2
cos
,
cos
2
sin
.
公式六
sin
2
cos
,
c
o
s
2
sin
.
.
的正弦
2
(余弦)函数值,分 别等于α的余弦 (正弦)函数值,前 面加上一个把α 看成锐角时原函 数值的符号.
那么：（1）正弦sinα＝ y
y
（（32））正余切弦tacnoαs＝α＝yx( x 0)
x
P(x,y)
O
x
公式一：终边相同的角的同一三角
函数值相等
sin(2k ) sin cos(2k ) cos
作用：可以把任意角的三 角函数值，转化为求0到2π
tan(2k ) tan(kZ)
角的三角函数值。
.
练习：利用定义和公式一求下列角的三个三角 函数值：
(1)30 (2)750 （3）210 (4)-30
360 230
18030
观察所画的图并思考： ①（１）与（２）的角的终边有什么关系？
②（１）与（３）的角的终边有什么关系？
③（１）与（４）的角的终边有什么关系？
.
问题探究
相等
1.终边相同的角的同一三角函数值有什么关系?
2.角 -α与α的终边 有何位置关系?它们的三 个三角函数之间有什么关系？
sin(π+α)=－sinα cos(π+α)=－cosα tan(π+α)=tanα
sin(－α)=－sinα cos(－α)=cosα tan(－α)=－tanα
sin(π-α)=sinα cos(π-α)=－cosα tan(π-α)=－tanα
.
sin
2
cos
,
cos
2
sin
.
sin
３.角π+α与α的终边 有何位置关系?它们的三 个三角函数之间有什么关系？
４.角π-α与α的终边 有何位置关系?它们的三 个三角函数之间有什么关系？
.
探究1：角π＋α的终边与角α的终边有什么关系？
它们的三角函数值之间有什么关系？
siny sin ()y
c o s x co s() x
tan y x
1.3三角函数的诱导公式
.
三角函数的诱导公式（第一课时） 学习目标 :
（1）理解识记诱导公式（二、三、四）； （2）理解和掌握公式的内涵及结构特征，会 初步运用诱导公式求三角函数的值； （3）会进行简单三角函数式的化简和证明。
.
一.复习回顾
任意角三角函数的定义
设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，
3 s i n 1 6 3 ; 4 c o s 2 0 4 0 o.
1 c o s2 2 5 o c o s1 8 0 o 4 5 o c o s4 5 o 2 2
2sin11 3 sin 4 3 sin 32 3
3 s in 1 6 3 s in 1 6 3 s in 5 3 s in 3 2 3
公式一～公式六 叫到诱导公式
例3
证明
:
1
sin
3
2
cos
;
2
cos
3
2
sin .
1sin32 sin2
sin 2
sin
2
cos
.
例3
证明
:
1
sin
3
2
cos
;
2
cos
3
2
sin .
2cos32 cos2
cos
2
sin
.
例4 化简 scinos2scions3csoins2csoins19122.
y
公式四
P(-x,y) π-α P(x,y)
sin(π-α)=sinα cos(π-α)=－cosα
α
α
O
x
tan(π-α)=－tanα .
公式二 公式三
sin(π+α)=－sinα cos(π+α)=－cosα tan(π+α)=tanα
sin(－α)=－sinα cos(－α)=cosα tan(－α)=－tanα
1 tan3= ta n 2
5
5 ______________________
2tan100o21__t_a_n_7_9_o_3_9_;
ta n 5 3tan31
3 6 36
_______________________
4tan324o32__t_a_n_3_5_o2_8_;
P28练习 5
tan()yy
xx
公式三
y
P(x,y)
α
O
x
-α
P(x,-y)
sin(－α)=－sinα cos(－α)=cosα tan(－α)=－tanα
.
练习
将下列三角函数转化为锐角三角函数,并 填在题中横线上
1cos13_c_o_s_94__; 3sin95_ _s_i n__5_;
2sin1___ si_n_1_;
62
3 s i n 1 3 0 0 o si1n4 0 si4n0 0.6428
4
c
o
s
79 6
cos5cos 3
6
62
.
例2 化简
cos180o•sin360o sin180o•cos180o.
.
练习
化简 1sin180ocos sin 180o
2sin3 cos2tan
.
小结：
.
化简 1scions522•sin2•cos2;
1原式=csions22•sin•cos =cso ins •sin•cos
=sin2
.
化简 2cos2tansin360o.
原式=cos2 tan sin
=cos2 1 cos
1 co s 3 =
cos
.
P28练习 7
小结
三角函数的诱导公式
公式四
sin(π-α)=sinα cos(π-α)=－cosα tan(π-α)=－tanα
α + k ·2 π ( k ∈ Z ) ,
－α,π±α的三
角函数值,等于
α的同名函数值,
前面加上一个
把α看成锐角时
原函数值的符
号
.
简记为“函数名不变. ，符号看象限”
例1.利用公式求下列三角函数值:
1 c o s 2 2 5 o ; 2 s i n 1 1 ; 3
• （1）探究三角函数诱导公式的推导过程， 理解“函数名不变，符号看象限”。
• （2）熟悉将任意角的三角函数转化到锐角 三角函数的过程。
• （3）熟练掌握三角函数的诱导公式。
.
1.3 三角函数的诱导公式 第二课时
.
问题提出
1.诱导公式一、二、三、四分别反映了 2kπ+α（k∈Z）、π＋α、－α、 π－ α与α的三角函数之间的关系，这四组公式
任意正角的 三角函数
用公式一
锐角三 角函数
用公式 0～2π的角 二或四 的三角函数
这是一种化归与转化的数学思想
步骤：负化正
大化小
.
化到锐角是终了
练习 利用公式求下列三角函数值:
1 c o s 4 2 0 o cos60o cos60o1 2
2 sin
7 6
sin5sin 1
6
原 式 =co ssinsin cos sin sin coss5in42 2
=
sin2coscos2
cossinsinsin2
=sintan
cos
.
填表:
4
5
5
7
8
1 1
3
4
3
4
3
4
3
2
3
2
2
2
1 2
2 2
1 2
2
3 2
2
2
2
2
1
2
2
2
2
3
1
3
1
3
1
P28练习 4
.
将下列三角函数转化为锐角三角函数,并填 在题中横线上:
2
cos
,
c
o
s
2
sin .
作业
课本习题1.3A组2,3
.
(4 )co 2s0 ( ) 4c0 o 2s 0 4 c0 o 6 s 3( 6 1 0 2 ) 0 co 1s 2 () 0
co 1s 2 c 0o 1s 8 (6 0 )0 co 6 s 0 1
.
2
利用公式一～四把任意角的三角函数转 化为锐角函数,一般可按下面步骤进行:
任意负角的 用公式 三角函数 三或一
4cos70o6 _c_o_7_ s0_6_.
.
公式二
sin( ) sin
cos( ) cos
tan( ) tan
公式三
sin() sin cos() cos tan () tan
由 探究上 3面 两 组 公 式 的 推 导 方 法 ， 你 能 同 理 推 导 出
角 与 的 三 角 函 数 值 之 间 的 关 系 吗 ？