九年级下华东师大版反证法教案
九年级下华东师大版反证法教案
教学内容反证法课型新授课课时执教教学目标通过具体例子，使学生体会反证法证明命题的方法，了解反证法的步骤，能初步应用反证法证明一些简单的命题。
教学重点体会反证法证明命题的思路方法，用反证法证明简单的命题.教学难点体会反证法证明命题的思路方法，用反证法证明简单的命题教具准备投影仪，胶片．教学过程教师活动学生活动（一）情境导入思考：在△ABC中，已知AB＝c，BC＝a，CA＝b，且∠C≠90°。
求证；a2＋b2≠c2。
有些命题想从已知条件出发，经过推理，得出结论是很困难的，因此，人们想出了一种证明这种命题的方法，即反证法。
假设a2＋b2＝c2，则由勾股定理的逆定理可以得到∠C＝90°，这与已知条件∠C≠90°产生矛盾，因此，假设a2＋b2＝c2是错误的。
所以a2＋b2≠c2是正确的。
学生自主探究,发现用以前的证明方法不能很好的说明问题，激发探究热情。
并通过该例，初步感知反证法的基本步骤。
(二)归纳反证法的步骤1．假设命题的结论的反面是正确的；2．从这个假设出发，经过逻辑推理，推出与公理、巳证的定理、定义或已知条件矛盾；3．由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论是正确的。
对照上面的问题归纳三个步骤。
(三)例题探究例1．已知：如图，设点A、B、C在同一条直线l上。
求证：经过A、B、C三点不能作一个圆。
分析：按照反证法的步骤，先假设过A、B、C三点可以作一个圆，然后由这个假设出发推下去，得出矛盾．证明：假设过A、B、C三点可以作圆，设这个圆的圆心为O，显然A、B、C三点在这个圆上，所以OA＝OB＝OC，由线段的垂直平分线的判定定理可以知道，O点既在线段AB的垂直平分线l1上，又在线段BC的垂直平分线l2上，也就是说，O点是l1和l2的交点，这与“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”相矛盾。
所以，过同一条直线上的三点不能作圆。
例2．求证；在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°。
〖2021年整理〗《反证法》参考优秀教案
反证法教案【教学目标】1了解反证法的含义2了解反证法的基本步骤3会利用反证法证明简单命题4了解定理“在同一平面内，如果一条直线和两条平行直线中的一条相交，那么和另一条也相交”“在同一平面内，如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行”【教学重点和难点】本节教学的重点是反证法的含义和步骤课本“”合作学习”要求用两种方法完成平行线的传递性的证明，有较高难度，是本节教学的难点【教学准备】课件【教学设计】一、情境导入故事引入“反证法”：中国古代有一个叫《路边苦李》的故事:王戎7岁时，与小伙伴们外出游玩，看到路边的李树上结满了果子小伙伴们纷纷去摘取果子，只有王戎站在原地不动有人问王戎为什么王戎回答说:“树在道边而多子,此必苦李”小伙伴摘取一个尝了一下,果然是苦李王戎是怎样知道李子是苦的他运用了怎样的推理方法我们不得不佩服王戎，小小年纪就具备了反证法的思维反证法是数学中常用的一种方法人们在探求某一问题的解决方法而正面求解又比较困难时，常常采用从反面考虑的策略，往往能达到柳暗花明又一村的境界那么什么叫反证法呢？（板书课题）二、探究新知（一）整体感知在证明一个命题时,人们有时先假设命题不成立,从这样的假设出发,经过推理得出和已知条件矛盾,或者与定义,公理,定理等矛盾,从而得出假设命题不成立是错误的,即所求证的命题正确这种证明方法叫做反证法用反证法证明命题实际上是这样一个思维过程：我们假定“结论不成立”，结论一不成立就会出毛病，这个毛病是通过与已知条件矛盾，与公理或定理矛盾的方法暴露出来的这个毛病是怎么造成的呢？推理没有错误，已知条件，公理或定理没有错误，这样一来，唯一有错误的地方就是一开始的假定既然“结论不成立”有错误，就肯定结论必然成立了你能说出下列结论的反面吗⊥b2 d是正数3 a≥04 a∥b（二）师生互动例求证：四边形中至少有一个角是钝角或直角（引导学生独立解决）1、求证:在同一平面内,如果一条直线和两条平行直线中的一条相交,那么和另一条也相交把本题改编成填空题：已知: 直线1,2,3在同一平面内,且1∥2,3与1相交于点P求证: 3与2相交证明: 假设____________,即_________∵_________（已知）,∴过直线2外一点P有两条直线和2平行,这与“____________________________________”矛盾∴假设不成立,即求证的命题正确∴3与2相交教师简单引导学生小结：证明两直线相交的又一判定方法2、根据上述填空，请同学们归纳一下用反证法证题的步骤（教师板书步骤）生：①假定结论不成立（即结论的反面成立）；②从假设出发，结合已知条件，经过推理论证，推出与已知条件或定义、定理、公理相矛盾；③由矛盾判定假设不正确；④肯定命题的结论成立明确用反证法证题的基本思路及步骤（三）学以致用，完善新知1、课内练习1明确在运用反证法的过程，往往要仔细分析结论的反面，特别要注意语句的转换及表达2、合作学习求证:在同一平面内,如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行（1）你首选的是哪一种方法？（2）如果你选择反证法，先怎样假设？结果和什么产生矛盾？（3）能不用反证法吗？你准备怎样证明？教师在例后要引导学生比较体会反证法的优点：当正面证明比较繁杂或较难证明时，用反证法证明是一种证明的思路，并指出本题的结论是判定两直线平行的又一判定定理三、实践应用，知识迁移1、课内练习22、链接生活反证法的思想也时常体现在人们的日常交流中，下面是有关的一个例子：妈妈:小华,听说邻居小芳全家这几天下在外出旅游小华:不可能,我上午还在学校碰到了她和她妈妈呢!上述对话中,小华要告诉妈妈的命题是什么（小芳全家没外出旅游）他是如何推断该命题的正确性的在你的日常生活中也有类似的例子吗请举一至两个例子3、议一议：甲、乙、丙、丁、戊五人在运动会上分获一百米、二百米、跳高、跳远和铅球冠军，有四个人猜测比赛结果：A说：乙获铅球冠军，丁获跳高冠军；B说：甲获百米冠军，戊获跳远冠军；C说：丙获跳远冠军，丁获二百米冠军；D说：乙获跳高冠军，戊获铅球冠军其中每个人都只说对一句，说错一句你知道五人各获哪项冠军吗？四、学习小结同学们，学了这节课，你们有何收获与体会？（1）引导学生作知识总结，学习了反证法证题的思路与步骤（2）教师扩展：在直接法无法证明或很难证明的情况选用反证法五、课后作业1 书本作业题A组必做2课外活动：收集反证法在生活中应用的例子，在班上交流【板书设计】【资料：数学小故事】反证法也称为归谬法，英国数学家哈代（，1877－1947•）对于这种证法给过一个很有意思的评估在棋类比赛中，经常采用一种策略，叫“弃子取势”，即牺牲一些棋子以换取优势哈代指出，归谬法是远比任何棋术更为高超的一种策略棋手可以牺牲的是几个棋子，而数学家可以牺牲整个一盘棋归谬法就是作为一种可以想象的最了不起的策略而产生的。
反证法[下学期]--华师大版
![反证法[下学期]--华师大版](https://img.taocdn.com/s3/m/6342077325c52cc58bd6be5f.png)
注意:用反证法证题时,应注意的事项 :
（1）周密考察原命题结论的否定事项，防止 否定不当或有所遗漏； （2）推理过程必须完整，否则不能说明命题 的真伪性； （3）在推理过程中，要充分使用已知条件， 否则推不出矛盾，或者不能断定推出的结果是 错误的。
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一、什么是反证法
所谓反证法，就是从要证明的结论的否定面 出发，以有关的定义、公理、定理为依据，结合 原命题的条件进行推理，直到得出矛盾，从而断 定原命题结论否定面不能成立，也就断定了原命 题成立，这种证题方法就叫反证法。
二、反证法的步骤
(1) 从命题的结论的否定面出发； (2) 根据正确的逻辑推理，推出矛盾（与已知矛 盾；与已知定义、公理、定理等矛盾；出现与临 时假设矛盾；在证明过程中出现自相矛盾等等） 则否定假设； (3)肯定原命题的结论是正确的。简记：否定结 论――推出矛盾――否定结论――肯定结论，其 中推出矛盾是关键。
三、应用反证法的原则 :
如果一个命题的结论难以直接证明时， 可考虑用反证法，简记：正难则反
例1：求证：在一个三角形中，至少 有一个内角小于或等于600。 已知：△ABC 求证：△ABC中至少有一个内角小 于或等于600
例
3、如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，E、F分别是AD、 BC的中点，连结EF．求证：EF∥AB
(
说明：本例中“是锐角(小于90°)”的反面有“是直角(等于 90°)”和“是钝角（大于90°)”两种情况，这时，必须分别证 明命题结论反面的每一种情况都不可能成立，最后才能肯定 命题的结论一定正确.此题是对反证法的进一步理解.
归纳: 宜用反证法证明的题型
（1）以否定性判断作为结论的命题； （2）某些定理的逆命题； （3）以“至多”、“至少”或“不多于”等形式 陈述的命题； （4）关于“唯一性”结论的命题； （5）解决整除性问题； （6）一些不等量命题的证明； （7）有些基本定理或某一知识体系的初始阶段； （8）涉及各种“无限”结论的命题等等。
2022年华师大版《反证法》公开课教案
【根本目标】1.理解反证法.2.会用反证法证明较简单的题.【教学重点】用反证法证明几何命题.【教学难点】反证法中渗透“正难那么反〞的思想.一、创设情景，导入新课出示多媒体，展示《路旁苦李》的故事的动画场景，引入反证法的课题.二、师生互动，探究新知活动1反证法的步骤.教师给出问题：如果你当时也在场，你会怎么办？五戎是怎么判断李子是苦的？你认为他的判断正确吗？学生讨论交流，选代表发言.如果李子不是苦的，路旁的人很多，早就没有这么多李子.教师出示，假设a2+b2≠c2〔a≤b≤c〕,那么△ABC不是直角三角形，你能按照刚刚五戎的方法推理吗？∠C是直角，那么a2+b2=c2，而a2+b2≠c2，这是不可能的，即△ABC不是直角三角形.【教师归纳】先假设结论的反面是正确的；然后经过演绎推理，推出与根本领实、已证定理、定义或条件相矛盾；从而说明假设不成立，进而得出原命题正确.即：一、反设；二、推理得矛盾；三、假设不成立，原命题正确.活动2用反证法证明.教材P116例5.【教师活动】原命题结论的反向是什么？按照假设可以得到矛盾吗？【学生活动】独立完成，交流成果，发言展示.教材P116例6.【教师活动】△ABC至少有一个内角小于或等于60°的反向是什么？按照假设可以推出矛盾吗？【学生活动】独立完成，交流成果，发言展示.【教学说明】在几何命题中涉及到有“至少〞“至多〞“唯一〞时，直接不易证明，可考虑反证法.三、随堂练习，稳固新知完成练习册中本课时对应的课后作业局部,教师巡视并及时点评，主要是证明格式是否标准.四、典例精析，拓展新知例求证：在同一平面内，如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.【教师活动】〔1〕你首选的是哪一种证明方法？〔2〕如果你选择反证法，先怎样假设？结果和什么产生矛盾？〔3〕能不用反证法证明吗？你准备怎样证明？要求按问题解决的四个步骤进行：理解题意〔画出图形，写出求证〕；制订方案〔选择证明方法，找出证明思路〕；执行方案〔写出证明过程〕.【学生活动】讨论交流后独立完成.五、运用新知，深化理解.完成教材P117练习第1、2题.六、师生互动，课堂小结这节课你学习了什么？有何收获？有何困惑？与同伴交流，在学生交流发言的根底上，教师总结.完成练习册中本课时对应的课后作业局部.反证法是一种重要的证题方法，也是初中数学的难点，如何突破这一难点，并为学生更好地理解和掌握是需要教师精心设计的.在教学时应注意三个思维障碍：1.思维方向的转换，不能总用直接法；2.证明步骤存在障碍；3.归谬起点推证存在障碍.为使学生更好地理解并掌握反证法，应积极引导学生克服上述思维上的障碍，并通过有关题目训练，使学生掌握反证法.教师在教学中应强调当结论的反面不止一种情况时，应穷举；“归谬〞这一步应包含“归导〞与“揭谬〞两个层次.第1课时变量与函数【知识与技能】了解变量与常量，初步理解函数的概念.【过程与方法】经历函数概念的探索过程，感悟变量.【情感与态度】鼓励探索方式的多样化，培养激发学生学习的兴趣.【教学重点】重点是理解函数的意义，并会根据具体问题探究相应的函数关系式.【教学难点】难点是对函数意义的准确理解.一、创设情境，导入新知活动一：乘热气球探测高空气象用热气球探测高空气象，热气球从海拔1800 m处的某地升空，在一段时间内，它匀速上升.它上升过程中到达的海拔高度h(m)与上升时间t(min)的关系记录如下表：观察上表：〔1〕这个问题中，有哪几个量？〔2〕热气球在升空过程中平均每分钟上升的高度是多少？〔3〕你能求出上升3min\,6min时气球到达的海拔高度吗？【教学说明】学生通过思考问题，为新知识建立铺垫.活动二：用电负荷曲线图S市某日自动测量仪记下的用电负荷曲线如以下图.看图答复〔1〕这个问题中，涉及哪几个量？〔2〕任意给出这天中的某一时刻x，能找到这一时刻的负荷y〔×103兆瓦〕是多少吗？〔3〕这一天的用电顶峰、用电低谷时负荷各是多少？它们是在什么时刻到达的？活动三：汽车刹车距离汽车在行驶过程中，由于惯性的作用刹车后仍将滑行一段距离才能停住，刹车距离是分析事故原因的一个重要因素.某型号的汽车在平整路面上的刹车距离s〔m〕与车速v〔km/h〕之间有以下经验公式：s＝v2/256〔1〕式中涉及哪几个量？〔2〕当刹车时速v分别是40、80、120km/h时，相应的滑行距离s分别是多少？【教学说明】教师在学生答复的根底上，进一步引导学生从中发现数学问题：哪些是常量，哪些是变量.从而为引出函数概念做铺垫.二、达成共识，构建新知新知探究：函数的概念［交流］：在活动一至三中，哪些量是常量？哪些量是自变量？哪些变量是因变量？与同伴交流.一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数.如果当x=a时，y=b,那么b叫做当自变量为a时的函数值.引导发现：热气球上升后到达的海拔高度h是自变量时间t的函数；用电负荷y是自变量时间t的函数；制动距离s是自变量车速v的函数.引导练习：1.说出以下各个过程中的变量与常量：〔1〕铁的质量m〔g〕与体积V〔cm3〕之间的关系式是m＝ρV.〔ρ是铁的密度〕〔2〕长方形的长为2cm，它的面积为S〔cm2〕与宽a〔cm〕的关系式是S=2a.2.函数y=3x-5，当x=2时，y= 1 .三、运用新知，深化理解1.寄一封质量在20g以内的市内平信，需邮资0.80元，那么寄x封这样的信所需邮资y 〔元〕.试用含x的式子表示y，并指出其中的常量和变量.2.在一根弹簧的下端悬挂重物，改变并记录重物的质量，观察并记录弹簧长度的变化，探索它们的变化规律.如果弹簧原长10 cm，每1 kg重物使弹簧伸长0.5 cm，怎样用含有重物质量m〔kg〕的式子表示受力后的弹簧长度y〔cm〕？【教学说明】通过新课的讲解以及学生的练习，充分做到讲练结合，让学生更好地稳固新知识.通过本环节的讲解与训练，让学生对利用新知识解决一些简单问题有更加明确的认识，同时也尽量让学生明白知识点不是孤立的，需要前后联系，才能更好地处理一些新问题.【参考答案】1.解：根据题意，得y=0.8x，所以0.8是常量，x、y是变量.2.y=0.5m+10四、师生互动，课堂小结掌握函数的概念，能根据问题背景确定函数关系式，会确定自变量的取值范围.一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数.如果当x=a时，y=b,那么b叫做当自变量为a时的函数值.【教学说明】引导学生自己小结本节课的知识要点及数学方法，从而将本节知识点进行很好的回忆以加深学生的印象，同时使知识系统化.1.课本第23页练习1、2.2.完成练习册中相应的作业.函数第一课时主要讲的是函数及其有关概念，它是所有函数的根底.这节课是通过三个活动理解函数这一概念，在上课过程中对三个问题进行分析，分析问题中的变化过程，进而得知常量、变量、自变量、因变量，通过观察和计算发现因变量与自变量之间的对应关系，从而理解函数概念.情景设置激发学生学习兴趣，表达学生是数学学习的主人，教师是组织者、引导者与合作者.。
反证法教案
《反证法》教案课题：反证法教材分析反证法又称归谬法。
用它来证明命题的基本过程分以下三个步骤：(1）做待证命题的否命题；（2）根据所做出的否命题，结合已知条件或已知的其他的真命题，推导出和已知条件或已知的真命题相矛盾的地方；（3）否定所做的否命题，也就是肯定原命题的正确性。
反证的批判思想有助于学生正确的认识客观世界。
中学阶段，是一个人形成价值观的重要阶段。
这些信息在学生头脑中留下各种是或非的印象，如何取其精华，去其糟粕？学生可以利用反证法。
我们现行的教材中，许多的内容可以说是矛盾的，学生如果能正确的分析问题，不是被动的接受书本或是教师的灌输，对其今后的学习、工作，无疑将有很大的帮助。
在教学过程中，我们重视的不是学生如何解决矛盾，而是非常高兴地看到学生利用反证法对客观世界的认识提出了自己的问题，正是反证法教学所要教给学生的。
这些正是学生学习数学应该学会的能力.教学目标(1)结合实例了解“反证法”，明确反证法证明命题的思路和步骤．(2)能应用反证法证明一些简单的数学命题。
（3）知道证明一个命题除用直接证法外，还有间接证法，开拓学生的视野，发展逻辑思维能力。
教学重点和难点重点：对反证法的概念和三个步骤的理解与掌握．难点：反证法证题中在推理过程中发现矛盾．教学过程设计（一）故事导入3个古希腊哲学家，由于争论和天气炎热感到疲倦了，于是在花园里一棵大树下躺下来休息一会儿，结果都睡着了．这时一个爱开玩笑的人用炭涂黑了他们的前额．三个人醒来以后，彼此看了看，都笑了起来．但这并没有引起他们之中任何一个人的担心，因为每个人都以为是其他两人在互相取笑．其中有一个人突然不笑了，因为他发觉自己的前额也给涂黑了．他是怎样觉察到的呢？你能想出来吗？为了方便用甲、乙、丙代表这三个哲学家，并不妨设甲已经发觉自己的脸给涂黑了．那么甲这样想，“我们三个人都可以认为自己的脸没被涂黑．如果我的脸没给涂黑，那么乙能看到（当然对于丙也是一样），乙既然看到了我的脸没给涂黑，同时他又认为他的脸也没给涂黑，那么乙就应该对丙的发笑而感到奇怪．因为在这种情况下（甲、乙的脸都是干净的），丙是没有可笑的理由了．然而现在的事实是乙对丙的发笑并不感到奇怪，可见乙是在认为丙在笑我．由此可知，我的脸也给涂黑了”．这里应着重指出的是，甲并没有直接看到自己的脸是否给涂黑了，他是根据乙、丙两人的表情进行分析、思考，而说明了自己的脸给涂黑了．因此，这是一种间接的证明方法．这就是本节我们学习的“反证法”．仔细分析甲的思考过程，不难看出它分4个步骤：1．假设自己的脸没被涂黑；2．根据这个假设进行推理，推得一个与乙对丙的笑不感到奇怪的这个事实相矛盾的结果——乙应对丙的笑感到奇怪；3．根据这个矛盾，说明原来假设自己的脸没涂黑是错误的．4．根据原来的假设脸没被涂黑是错误的，便可做出没被涂黑的反面——涂黑了是对的结论．简单地说，甲是通过说明脸被涂黑了的反面——没被涂黑是错误的，从而觉察了自己的脸被涂黑了．(二)复习回顾问题（1）：.如果√2是一个分数，那么√2可以表示为m/n(m、n是正整数，且没有大于1的公约数），即√2=m/n.根据平方根的意义，（m/n)的平方等于2，即m平方/n平方等于2，2*n的平方=m平方。
九年级数学下册第29章几何的回顾292反证法课件华东师大版
5.已知一个数小于它的绝对值,求证这个数必是负数． 【解析】设这个数为a,假设a不是负数,则有两种情况：a为正数 或a为0.当a为正数时,a的绝对值等于本身,与题设矛盾.当a=0 时,0的绝对值等于0,这与题设相矛盾,所以假设不成立,故原结论 是正确的．
【解题探究】
1.试说明MN和PQ的关系.
答：平行且相等.理由如下：
如图,连结AC，BD.∵PQ为△ABC的中位线, ∴PQ _A12__C_._同理MN A_12 _C_._∴_ MN PQ ． 2.由①知MN PQ,∴四边形PQMN为平行四边形．
3.AC和BD相等吗？为什么？ 答：AC和BD相等, 在△AEC和△DEB中, ∵∠AED=∠CEB=60°, ∴∠AED+∠DEC=∠CEB+∠DEC, 即∠AEC=∠DEB.又∵AE=DE,EC=EB, ∴△AEC≌△DEB，∴AC＝BD．
【解析】根据中位线定理易证中点四边形EFGH是平行四边形， 因为等腰梯形的对角线相等，即AC=BD，同时可推证EF=FG，所 以四边形EFGH是菱形.已知菱形EFGH的周长为40 m，所以边 EF=10 m.所以AC=2EF=20 m . 答案：20
3.已知命题“在△ABC中,若AC2+BC2≠AB2,则∠C≠90°”,要证 明这个命题是真命题,可用反证法,其步骤为：假设________,根 据________,一定有__________,但这与已知________相矛盾,因 此假设是错误的,于是可知原命题是真命题. 【解析】∠C≠90°的反面是∠C=90°,在直角三角形ABC中,依 据勾股定理可知AC2+BC2=AB2,这与已知AC2+BC2≠AB2相矛盾. 答案：∠C=90°勾股定理 AC2+BC2=AB2 AC2+BC2≠AB2
《反证法》 教学设计
《反证法》教学设计一、教学目标1、知识与技能目标学生能够理解反证法的概念，掌握反证法的证明步骤，能够运用反证法证明一些简单的命题。
2、过程与方法目标通过对反证法的学习，培养学生的逻辑思维能力、推理能力和分析问题、解决问题的能力。
3、情感态度与价值观目标让学生感受数学的严谨性，激发学生对数学的兴趣，培养学生勇于探索和创新的精神。
二、教学重难点1、教学重点反证法的概念和证明步骤，以及如何正确地提出反设和推出矛盾。
2、教学难点理解反证法的逻辑原理，如何在证明过程中寻找矛盾，以及反证法的应用。
三、教学方法讲授法、讨论法、练习法四、教学过程1、导入通过一个有趣的推理故事引入反证法的概念。
例如：有一天，一个小偷被警察抓住了。
警察问小偷：“你偷东西了吗？”小偷说：“我没偷。
”警察说：“那好，假设你没偷，但是我们在现场发现了你的脚印和指纹，这怎么解释？”小偷无言以对。
这个故事中，警察就是运用了一种特殊的推理方法——反证法。
2、讲解反证法的概念反证法是一种间接证明的方法，先假设命题的结论不成立，然后通过推理，得出矛盾，从而证明原命题成立。
3、反证法的证明步骤（1）提出反设：假设命题的结论不成立。
（2）推出矛盾：从反设出发，通过推理，得出与已知条件、定理、公理等相矛盾的结果。
（3）得出结论：由于推出了矛盾，所以反设不成立，从而原命题的结论成立。
以“在一个三角形中，最多只能有一个直角”为例进行讲解。
假设在一个三角形中有两个直角，设∠A ＝∠B ＝ 90°，则∠A ＋∠B ＋∠C ＝ 90°＋ 90°＋∠C ＞ 180°，这与三角形内角和为 180°相矛盾，所以假设不成立，即在一个三角形中，最多只能有一个直角。
4、反证法的应用（1）证明“根号 2 是无理数”假设根号 2 是有理数，设根号 2 ＝ p ／ q（p、q 为互质的正整数），则 2 ＝ p^2 ／ q^2，即 p^2 ＝ 2q^2。
初中数学初三数学下册《反证法》优秀教学案例
在讲授新知环节，我首先详细解释反证法的定义，并通过具体实例演示反证法的步骤。在讲解过程中，注重让学生理解反证法的核心思想——通过假设命题不成立，从而推导出矛盾，进而证明原命题成立。
（三）学生小组讨论
在学生小组讨论环节，我将设计几个具有挑战性的问题，让学生分组进行讨论。这些问题涵盖反证法在不同类型的数学题目中的应用，旨在培养学生的逻辑推理能力和团队协作能力。
（三）情感态度与价值观
1.激发学生对数学学习的兴趣，培养他们勇于探索、积极进取的学习态度。
2.使学生认识到反证法在数学学习中的重要性，体会数学的严谨性和美妙，增强学生的数学素养。
3.通过反证法的学习，培养学生面对困难时，勇尝试、坚持不懈的品质。
4.引导学生学会尊重他人意见，善于合作交流，培养良好的团队精神和沟通能力。
在本章节的教学过程中，教师将始终关注学生的全面发展，注重知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观的有机结合，使学生在轻松愉快的氛围中学习数学，提高他们的数学素养和综合素质。通过本章节的学习，学生将更加深入地理解反证法的内涵，为今后的数学学习和人生发展奠定坚实基础。
三、教学策略
（一）情景创设
为了让学生更好地理解和掌握反证法，我将创设贴近学生生活的情景，激发他们的学习兴趣。例如，可以通过讲述一个侦探故事，让学生扮演侦探，寻找线索，解决问题。在这个过程中，引导学生体会反证法在推理过程中的作用，使他们在情景体验中自然地接纳反证法。
3.小组合作，促进交流
案例中注重小组合作，让学生在互动交流中共同解决问题。这种教学策略有助于培养学生的团队协作能力、沟通能力，以及尊重他人意见的良好品质。
4.反思与评价，提高自我认知
在教学过程中，引导学生进行反思与评价，使他们在总结经验教训的基础上，不断提高自我认知。此外，实施多元化的评价方式，关注学生的全面发展，激发他们的学习信心。
华师大版九下29.2《反证法》ppt课件之一
例1.求证：在一个三角形中，至少有一个内ABC中至少有一个内角小于或等于60°. 证明：
假设⊿ABC中没有一个内角小于或等于60°. 即 ∠A＞60°, ∠B＞60°,∠C＞60°. 于是∠A＋∠B＋∠C＞60°+60°+60°= 180° 与三角形的内角和等于180°矛盾 所以⊿ABC中至少有一个内角小于或等于60°.
证明：
假设 a2 b2 c2
根据勾股定理的逆定理有∠C＝90°
这与已知条件∠C ≠90°矛盾
因此假设 于是可知
a2 是错b误2 的 c2 a2 b2 c2
反证法的一般步骤为：
先假设结论的反面是正确的，然后通过逻辑 推理，推出与公理、以证的定理、定义或已知条 件相矛盾，说明假设不成立，从而得到原结论正 确。
课堂练习
1.求证：在一个三角形中，如果两条边不等，那 么它们所对的角也不等。
2.在一个梯形中，如果同一条底边上的两个内角 不相等，那么这个梯形是等腰梯形吗？请证明你 的猜想。
1.反证法的概念： 2.用反证法证明的一般步骤：
想一想
“在⊿ABC中，如果AB=c，BC=a，CA=b,且∠C
=90°，那么
a”2是真命b题2 吗？c2
是真命题！
“在⊿ABC中，如果AB=c，BC=a，CA=b,且∠C
≠90°，那么
a”2是真命b题2 吗？c2
“在⊿ABC中，如果AB=c，BC=a，CA=b,且∠C
≠90°，那么
a”2是真命b题2 吗？c2
29.2(第一课时)反证法的概念及其证题步骤课件 华东师大版课件
例3：若a，b，c是实数， A=2a-2b+ ，B=2b-2c+ ，C=2c-2a+ 。 3 6 2 求证：A、B、C中至少有一个的值大于0。 证明：假设A，B，C没有一个的值大于0； 则：A≤0，B≤0，C≤0； ∴A+B+C≤0············································ “至少有一个”的意思是：有一个或两个或三 · · · · ① 但 A+ B+C=2a-2b+ 2 +2b-2c+ 3 +2c-2a+ 6 个，而它的反面是“一个都没有”
B
A
C
于是∠ A+∠B+ ∠C= ∠ A +180°＞180°,
这与三角形的内角和等于180°相矛盾; ②当∠B是钝角，即∠B ＞ 90°时, ∠B+ ∠C ＞ 90° +90°=180°, 于是ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ A+∠B+ ∠C ＞ ∠ A +180°＞180°,
综合① 和②知假设不成立,
所以∠B一定是锐角.
这与三角形的内角和等于180° 相矛盾;
2.反证法证明命题的步骤
例：垂直于同一条直线的两直线平行。 已知：如图，直线a⊥l，b⊥l，求证：a∥b。 证明：（反证法） a b 假设直线 a不平行b，那么 在平面内，a和b就应该 l 相交，设交点为P。 ∵a⊥l，b⊥l，而a和b相交于点 · P，那么经过一点P就有两条直 P 线和直线l垂直，这与“经过 一点有且只有一条直线和已知 直线垂直”相矛盾，故a和b相 交是错误的。 ∴ a∥ b
反设
、
归谬
结论
“趁热打铁”
九年级数学下册第29章几何的回顾29.2反证法课题学习：中点四边形课件华东师大版
于是∠A+∠B+∠C>60°+60°+60°=180°.
与三角形的三个内角和等于180°矛盾.
所以△ABC中至少有一个内角小于或等于60°.
点拨：至少的反面是没有！
例5.求证:在同一平面内,如果一条直线和两条平行线中 的一条相交,那么和另一条也相交.
已知:直线l1,l2, l3在同一平面内, 且l1∥l2,l3与l1相交于点P.
问题情境 小华睡觉前，地上是干的，早晨起来，看见地上全湿了.小 华对婷婷说：“昨天晚上下雨了.”
你能对小华的判断说出理由吗？ 小华的理由：
假设昨天晚上没有下雨，那么地上应是干的，这与早 晨地上全湿了相矛盾，所以说昨晚下雨是正确的. 我们可以把这种说理方法应用到数学问题上.
如图，在△ABC中，AB=c，BC=a， AC=b,如果∠C=90°，a,b,c三边有何关 系？为什么？
求证：a//b.
a
证明：如图假设a与b不平行，b
A
则可设它们相交于点A.
c
那么过点A 就有两条直线a、b与直线c平行，这
与“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平
行”矛盾,所以假设不成立.
∴a//b.
小结：根据假设推出的结论除了可以与已知条件.
例4.求证：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于 60°. 已知：△ABC. 求证：△ABC中至少有一个内角小于或等于60°. 证明：假设△ABC中没有一个内角小于或等于60°.
4.已知：如图,△ABC中，D,E两点分别在AB和
A
AC上. 求证：CD、BE不能互相平分.
D E
证明：假设CD,BE互相平分,
福建省泉州市泉港三川中学九年级数学下册 29.2反证法教案 华东师大版
教学目标：1.使学生初步掌握反证法的概念及反证法证题的基本方法.2.培养学生用反证法简单推理的技能，从而发展学生的思维能力.教学重点：反证法证题的步骤.教学难点：理解反证法的推理依据及方法.教学方法：讲练结合教学.教学过程：一、提问：师：通过预习我们知道反证法，什么叫做反证法？生：从命题结论的反面出发，引出矛盾，从而证明原命题成立，这样的证明方法叫做反证法.师：本节将进一步研究反证法证题的方法，反证法证题的步骤是什么？生：共分三步：（1）假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立；（2）从假设出发，经过推理，得出矛盾；（3）由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确.师：反证法是一种间接证明命题的基本方法。
在证明一个数学命题时，如果运用直接证明法比较困难或难以证明时，可运用反证法进行证明。
例如：在△ABC中，AB=c，BC=a，AC=b,如果∠C=90°，a、b、c三边有何关系？为什么？解析：由∠C=90°可知是直角三角形，根据勾股定理可知a2 +b2 ＝c2二、探究问题：若将上面的条件改为“在△ABC中，AB=c，BC=a，AC=b,∠C≠90°”，请问结论a2 +b2 ≠ c2 成立吗？请说明理由。
探究：假设a2 +b2 ＝c2，由勾股定理可知三角形ABC是直角三角形，且∠C=90°，这与已知条件∠C ≠90°矛盾。
假设不成立，从而说明原结论a2 +b2 ≠ c2 成立。
这种证明方法与前面的证明方法不同，它是首先假设结论的反面成立，然后经过正确的；逻辑推理得出与已知、定理、公理矛盾的结论，从而得到原结论的正确。
象这样的证明方法叫做反证法。
三、应用新知例１：在△ABC中，AB≠AC,求证：∠B ≠∠ C证明：假设，∠B ＝∠C则AB＝AC这与已知AB≠AC矛盾．假设不成立．∴∠B ≠∠ C小结：反证法的步骤：假设结论的反面不成立→逻辑推理得出矛盾→肯定原结论正确例2已知：如图有a、b、c三条直线，且a//c,b//c. 求证：a//b证明：假设a与b不平行，则可设它们相交于点A。
反证法初中教案
反证法初中教案教学目标：1. 让学生了解反证法的概念和基本步骤。
2. 培养学生运用反证法解决问题的能力。
3. 提高学生逻辑思维能力和创新意识。
教学重点：1. 反证法的概念和基本步骤。
2. 运用反证法解决问题的方法。
教学难点：1. 反证法的逻辑推理过程。
2. 灵活运用反证法解决实际问题。
教学准备：1. 反证法的课件和教学素材。
2. 练习题和案例分析。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引导学生回顾已学过的证明方法，如直接证明、综合法、演绎法等。
2. 提问：有没有同学听说过反证法？反证法是什么？二、新课讲解（20分钟）1. 介绍反证法的概念：反证法是一种从反面出发，通过假设结论不成立，然后推理出矛盾，从而证明结论成立的证明方法。
2. 讲解反证法的基本步骤：（1）假设结论不成立。
（2）从假设出发，推理出矛盾。
（3）由矛盾得出结论不成立，从而证明原结论成立。
三、案例分析（15分钟）1. 给出一个简单的案例，让学生运用反证法进行解答。
案例：证明：对任意正整数n，都有n²+n+41是质数。
证明：（1）假设存在一个正整数n，使得n²+n+41不是质数。
（2）那么n²+n+41至少有一个大于1且小于n²+n+41的因数。
（3）设这个因数为k，则1<k<n²+n+41。
（4）将k代入n²+n+41，得到n²+n+41=k。
（5）将n²+n+41=k代入原式，得到n²+n+41=n²+n+41-k。
（6）化简得到k=41。
（7）但41是质数，与假设矛盾。
（8）因此，假设不成立，原结论成立。
四、练习与讨论（10分钟）1. 让学生独立完成练习题，巩固反证法的应用。
2. 组织学生进行讨论，分享解题心得和经验。
五、总结与拓展（5分钟）1. 总结反证法的概念和基本步骤。
2. 强调反证法在数学研究和实际问题中的应用价值。
初三数学29. 1 几何问题的处理方法;29. 2 反证法知识精讲华东师大版
初三数学29. 1 几何问题的处理方法；29. 2 反证法知识精讲华东师大版【本讲教育信息】一. 教学内容：§29. 1 几何问题的处理方法§29. 2 反证法二. 重点、难点：1. 重点：⑴进一步了解证明的含义，理解证明的必要性，掌握证明的书写格式，能灵活地应用所学的公理、定理、定义进行逻辑推理，提高演绎推理的能力．⑵掌握运用等腰三角形的判定和性质定理．⑶理解和掌握平行四边形、特殊平行四边形以及等腰梯形的性质定理和判定定理．会用逻辑推理的方法进行证明．⑷了解反证法的概念，掌握反证法证明几何命题的思想和步骤．2. 难点：⑴有些命题可以通过观察和实验得到，但也有些命题仅仅通过观察和实验是不够的，从而说明证明的必要性．所以理解证明的必要性和能够证明一个命题是本单元的重难点．⑵在证明过程中，如何添加适当的辅助线也是本单元的难点之一．三. 知识梳理：1. 研究几何图形性质的方法前面我们已经学习了许多几何图形的性质，在认识这些图形的性质时，常常采用量一量、算一算、猜一猜等方法，这是研究几何图形性质的一种基本方法．而本章是用逻辑推理的方法来推导图形的性质，逻辑推理的方法是研究数学的一个重要的基本方法．逻辑推理需要依据，常用的依据有公理、定理（如经过两点有且只有一条直线）、定义、性质（如等式性质、不等式性质）、等量代换等．2. 逻辑推理的依据－－－－公理、定理⑴公理：数学中有些命题的正确性是人们在长期的实践中总结出来的，并把它们作为判断其他命题真假的原始依据，我们把这样的真命题叫做公理．公理是不需要证明的．⑵定理：一些命题从公理或其他真命题出发，用逻辑推理的方法判断它们是正确的，并且可以进一步作为判断其他命题真假的依据，我们把这样的真命题叫做定理．3. 证明⑴一个命题是否正确，要经过逻辑推理，这个推理的过程叫做证明．⑵证明的一般步骤：①根据题意，画出图形，图形要具有一般性，不能特殊化，并且在图形上标出必要的字母和符号；②根据题设、结论，结合图形，写出已知、求证．③经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程．4. 用推理方法研究三角形三角形中需要证明的定理很多，而定理的证明方法各有不同，学习时要注意以下方法：⑴通过图形的运动，将三角形拼在一起，找到证明斜边，直角边定理的途径；⑵通过对角平分线的两条定理的类比得出线段垂直平分线的两定理；⑶证明勾股定理逆定理时可用构造法证明；⑷学习概念时需用概念辨析法．在解答有关等腰三角形的问题时，需运用分类思想，不要出现漏解现象．5. 用推理方法研究四边形⑴学习平行四边形的判定和性质，可按边的关系、角的关系以及对角线的关系进行分类，在证明有关平行四边形问题时，要根据已知条件的特点，正确合理地使用平行四边形的判定和性质定理，可以用平行四边形知识证明的问题，不要再倒退到用三角形的全等来证明．⑵将矩形和菱形放在一起进行类比，可以更好地掌握矩形和菱形的特殊性质、学习三角形、等腰梯形的中位线时也要用类比的方法．⑶证明一个问题时，要从已知条件与求证结论两头入手，探索解题途径，建立沟通已知与求证的桥梁，最后用综合法写出证题过程，研究四边形时，一般通过作辅助线把它转化为三角形的有关问题来解决，同时要注意四边形知识的直接应用．由于各种特殊平行四边形概念交错，容易混淆，所以在判断时常常因为概念不清而出错．学习时要对平行四边形与特殊的平行四边形之间的从属关系等基本知识进行整理，弄清演变过程，使之结构化、系统化，并通过针对性的训练，加深理解内在关系，在应用中得到巩固．6. 反证法⑴反证法的概念：从命题结论的反面出发，引出矛盾，从而肯定命题成立，这样的证明方法叫做反证法．⑵反证法证明命题的一般步骤：①假设命题的结论的反面是正确的；②从这个假设出发，通过逻辑推理，推出与公理、已证的定理、定义或已知条件相矛盾；③由矛盾说明假设不成立，从而得到原命题的结论正确．反证法是当有的命题从已知条件出发，经过推理，很难得出结论时，从而想出的从问题的反面出发给出证明的一种方法．这里总结了反证法的一般步骤，要注意的是，若结论的反面不止一种情况，必须把各种可能情况全部列举出来，并逐一加以否定．【典型例题】例1. 已知：如图，点D在AC上，点E在AB上，BD和CE相交于点O，AB=AC，∠B=∠C．求证：BE=CD．分析：BE和CD分别在△BOE与△COD中，由已知条件不能直接证明△BOE≌△COD，但已知AB=AC，AB、BE及AC、CD分别在一条直线上，如果能证明AE=AD，就可得BE=CD．而AE、AD分别在△AEC和△ADB中，可由已知条件证得△AEC≌△ADB．∴△AEC≌△ADB（ASA）．∴AE=AD（全等三角形的对应边相等）．又∵AB=AC，∴BE=CD．例2. 等腰三角形一边上的高是另一边的一半，则顶角的度数为 ．分析：一般会填30°或120°，这是不完整的，原因是没有充分考虑一切可能的情形，出现漏解现象．我们遇到多解问题时，一定要分类讨论，要充分考虑一切可能的情形，避免出现漏解现象．正确解法：⑴如图，当底边上的高是腰长的一半时，CD=21AC ，∴∠ACB=120°．⑴ ⑵ ⑶ ⑷⑵如图，当一腰上的高是底边的一半时，BD=21AB ，可得∠ACB=120°． ⑶如图，当一腰上的高是另一腰的一半，且高在△ABC 的外部，即DB=21BC ，可得∠ACB=150°．⑷如图，当一腰上的高是另一腰的一半，且高在△ABC 的内部，DB=21BC ，∴∠C=30°． ∴正确解为30°、150°、120°．例3. 求证：等腰三角形腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半．分析：根据证明文字命题的一般步骤，先找出条件和结论，再画图写出已知和求证，最后写出证明．证明文字命题的一般步骤：⑴理解题意，找出命题的条件和结论；⑵根据题意正确画出图形；⑶根据条件结论，结合图形写出已知和求证；⑷探索证明思路，运用数学符号和数学语言条理清晰地写出证明过程．已知：如图，在△ABC 中，AB=AC ，BD ⊥AC ．求证：∠DBC=21∠A ． 证法一：用折半法，找出或作出较大角的一半的角，证明它与较小的角相等．作顶角平分线AE ．∵AE ⊥BC （等腰三角形“三线合一”）．∴∠EAC+∠C=180°－90°=90°．∴BD ⊥AC （已知），∴∠DBC+∠C=180°－∠BDC=180°－90°=90°．∴∠DBC+∠C=∠EAC+∠C ． ∴∠DBC=∠EAC ．∵∠EAC=21∠A ，∴∠DBC=21∠A ． 证法二：用加倍法，找出或作出等于较小角的两倍的角，证明它与较大的角相等． 如图，作∠DBF=∠DBC ，BF 交AC 于F ．由作法得∠FBC=2∠DBC ，即∠DBC=21∠FBC ．∴△BFD ≌△BCD （ASA ）． ∴∠BFD=∠C ．∴∠FBC=180°－∠BFD －∠C=180°－2∠C ．又∵∠C=∠B ，∴∠A=180°－∠B －∠C=180°－2∠C ．∴∠FBC=∠A （等量代换）．∵∠DBC=21∠FBC （已证），∴∠DBC=21∠A ．例4. 等腰三角形的两边长分别为4cm 和9cm ，则它的周长是 cm ．分析：要求三角形的周长，只要求出第三边的长即可，由于题目中的三角形是等腰三角形，第三边也就只能在4cm 和9cm 中选取，由三角形三边的关系可知，第三边不能为4cm ，故其周长即可确定．解：设第三边长为xm ，则9－4﹤x ﹤9+4，即5﹤x ﹤13．由于此三角形是等腰三角形，所以第三边的长为9cm ，即周长为22cm ．点拨：本题主要考查了等腰三角形的一些性质以及三角形中的有关概念，需要注意的是有关等腰三角形的问题往往需要进行讨论，但本题需要考虑到三角形三边的关系，4cm 只能作底边．例5. 如图，在△ABC 中，已知∠ABC 、∠ACD 的平分线交于点P ．求证：点P 到AB 、AC 的距离相等．分析：欲证点P 到AB 、AC 的距离相等，只需证PE=PF 即可．证明：如图，过点P 作PE ⊥AB 交BA 延长线于E ，过点P 作PF ⊥AC 于F ，过点P 作PG ⊥CD 于G ．∵点P 在∠ABC 的角平分线上，∴PE=PG ．∵点P 在∠ACD 的角平分线上，∴PF=PG ．∴PE=PF ．∴点P 到AB 、AC 的距离相等．例6. 已知：如图，□ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，EF 过点O ，且与AB 、CD 分别相交于点F 、E ．求证OE=OF ．分析：本题证法不惟一，但不论用何种证法，主要途径是平行四边形的性质．证法一：∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AB ∥CD ，OA=OC ，∠ECO=∠FAO ． 又∵∠AOF=∠COE ，∴△AOF ≌△COE ．∴OE=OF ．证法二：∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AB ∥CD ，OA=OC ． ∴OEOF OC OA ． ∴OE=OF ． 点拨：本题还可以用平行四边形的中心对称性来证明，请读者自己试一试．例7. 如图，在平行四边形ABCD 中CE 是∠DCB 的平分线，F 是AB 的中点，AB=6，BC=4，则AE ：EF ：FB 为（ ）A. 1：2：3B. 2：1：3C. 3：2：1D. 3：1：2分析：如图，应利用平行四边形的性质及其他图形的性质求解，由∠1=∠2，∠1=∠3，可得∠2=∠3．所以BE=BC=4．而AB=6，所以AE=2．故可求得AE=2，EF=1，BF=3．解：选B例8. 如图，已知正方形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于O 点，E 是AC 上一点，过点A 作AG ⊥EB ，垂足为G ，AG 交BD 于点F ．求证：OE=OF ．证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴∠BOE=∠AOF=90°，BO=AO ．又∵AG ⊥EB ，∴∠1+∠3=90°=∠2+∠3．∴∠1=∠2．∴Rt △BOE ≌Rt △AOF ．∴OE=OF ．变式题：对上述命题，若点E 在AC 的延长线上，AG ⊥EB ，交EB 的延长线于点G ，AG 的延长线交DB 的延长线于点F ，其他条件不变（如下图），则结论“OE=OF ”还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由．分析：结论“OE=OF ”仍成立，可通过证Rt △AOF ≌Rt △BOE 来证OE=OF ．解：结论“OE=OF ”仍成立，证明如下：∵四边形ABCD 是正方形，∴∠AOF=∠BOE=90°，OA=OB ．∴在Rt △AFO 中，有∠F=90°－∠FAO ．又∵AG ⊥BE ，则在Rt △AGE 中，有∠E=90°－∠GAE ．∵∠FAO=∠GAE ，∴∠E=∠F ．∴Rt △AOF ≌Rt △BOE ．∴OE=OF ．例9. 如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，中位线EF 分别与BD 、AC 交于点G 、H ．若AD=6，BC=10，则GH= ．分析：灵活运用梯形及三角形的中位线性质，是解决此题的关键．EF 是梯形的中位线，则EG 是△BAC 的中位线，CF 是△DBC 的中位线，HF 是△DAC 的中位线，根据中位线的性质可解决此题．解：EG=21AD ，GF=21BC ，FH=21AD ， CH=EF －2EG=21（AD+BC ）－AD=21（BC －AD ）=2．例10. 如图，正方形ABCD 中，E 是BC 边上的点，F 是CD 边上的点，且AE=AF ，AB=4．设△AEF 的面积为y ，EC 为x ，求y 与x 之间的函数关系式，并画出这个函数的图象．分析：求△AEF 的面积有多种方法，我们要由题目的条件出发，寻求一种既易于求出这个三角形的面积，又易于与EC 建立联系的方法．由于四边形ABCD 是正方形，它的边长都为4，EC 为x ，那么BE 是容易用x 的代数式表示的，这样，△ABE 、△ECF 的面积都容易用x 的代数式表示，而△ABE 与△ADF 是全等的，这样由正方形的面积减去上述三个三角形的面积求△AEF 的面积是较好的方法．解：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB=AD ，∠B=∠D=90°．又∵AE=AF ，∴△ABE ≌△ADF ．∴BE=DF ．∵BC ＝CD ，∴EC ＝FC ＝x ，BE ＝DF ＝4－x ．由图形可知，S △AEF =AB 2－2S △ABE －S △ECF =42－2×21×4×（4－x ）－21x 2， ∴y=－21x 2+4x ． ∵E 点在BC 边上，且与E 与C 重合时△AEF 不存在，∴x 的取值范围为0﹤x ≤4，它的图象如下．点拨：x 的取值要保证有合理的实际意义，由于x 的取值范围为0﹤x ≤4，所以，它的图象是抛物线的一部分，并且点（0，0）是空心圆点，点（4，8）是实心原点．例11. 用反证法证明：四边形中至少有一个角是钝角或直角．分析：根据题设与结论，写出已知、求证，然后按反证法的步骤进行证明．已知：四边形ABCD ．求证：四边形ABCD 中至少有一个角是钝角或直角．证明：假设四边形ABCD 中没一个角是钝角或直角，则∠A ＜90O ，∠B ＜90O ，∠C ＜90O ，∠D ＜90O ，于是∠A+∠B+∠C+∠D ＜90O ×4=360O ．这与四边形内角和是360O 相矛盾，所以四边形ABCD 中至少有一个角是钝角或直角．【模拟试题】（答题时间：60分钟）一、填空题（每题3分，共30分）1. 一个多边形的每个外角都等于72°，这个多边形是 边形，它的每个内角是 ．2. 等腰三角形一腰上的中线将这个三角形的周长分为15cm 和13cm 两部分，则此三角形的腰长 cm ，底边长 cm ．3. 命题“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的逆命题为 ．4. n 边形的外角和与内角和的度数之比为2：9，则边数为 ．5. 平行四边形ABCD 的两条对角线相交于点O ，其周长为50cm ，且△AOB 的周长比△COB 的周长大9cm ，则AB= cm ，BC= cm ．6. 正方形的边长为5cm ，以它的对角线为边长的等边三角形的高为 cm ．7. 三角形的一条中位线将这个三角形分成的一个小三角形与一个梯形的面积之比等于 ．8. 等腰梯形的腰与上底相等，且等于下底的一半，这个等腰梯形的周长为50cm，则它的中位线长cm．9. 若菱形的边长为1cm，其中一内角为60°，则它的面积为．10. 兴威公园的一段甬路是用型号相同的五边形地砖拼铺而成的，是拼铺图案的一部分．如果每个五边形有3个内角相等，那么这3个内角都等于．二、选择题（每题3分，共24分）11. 如图，EA⊥AB，BC⊥AB，EA=AB，DE=AC，有下列判断：①BC=AD，②DE⊥AC，③∠C=45°，其中结论正确的是（）A. ①②B. ①③C. ②③D. ①②③12. 下列命题中，正确的是（）A. 对角线相等的四边形是矩形B. 一组对边平行且有一个角是直角的四边形是矩形C. 对角线互相垂直的四边形是菱形D. 一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形13. 如果顺次连结四边形各边中点组成的四边形是菱形，那么原来四边形的对角线（）A. 互相平分B. 相等C. 互相垂直D. 互相垂直平分14. 等腰梯形ABCD的对角线AC、BD相交于O，那么图形中全等三角形有（）A. 1对B. 2对C. 3对D. 4对15. □ABCD中，AB=AC=6cm，P是BC边上一点，过点P，作PE∥CA，交AB于E，PF∥BA，交AC于F点，则四边形AEPF的周长为（）A. 8cmB. 10cmC. 12cmD. 14cm16. 平行四边形ABCD中，两条对角线AC、BD的长分别是12和8，则边AB的取值（）A. 0＜AB＜2B. 2＜AB＜10C. 4＜AB＜10D. 4＜AB＜2017. 矩形、菱形、正方形、等腰梯形、直角梯形中，是中心对称图形的个数是（）A. 5个B. 4个C. 3个D. 2个18. 如图，四边形ABED与四边形AFCD都是平行四边形，AF和DE相交成直角，AG=3cm，DG=4cm，□ABED的面积是36cm2，则四边形ABCD的周长为（）A. 49cmB. 43cmC. 41cmD. 46cm三、解答题（22题10分，23题12分，其余每题8分，共46分）19. 如图，点E是正方形ABCD的边BC上的一点，延长AB到F，使BF=BE，连结并延长AE，交CF于G．求证：AG⊥CF．20. 已知：四边形ABCD 中，∠B=∠D=90°，∠A=135°，AD=23，BC=6，求四边形ABCD 的面积．21. 求证：对角线相等的平行四边形是矩形．22. 已知：如下图，AB=CD ，AD=BC ，DE ⊥AC 于E ，BF ⊥AC 于F ．（1）根据以上条件，你能得出哪些等式（如可以得出DE=BF ）？至少写出可得等式中的任意三个；（不同于DE=BF ）（2）证明你写出的关于线段相等的一个结论．23. 如下图，在平面直角坐标系中，点A 是动点且纵坐标为4，点B 是线段OA 上的一个动点，过点B 作直线MN 平行x 轴，设MN 分别交射线OA 与x 轴形成的两个角的平分线于点E 、F ．⑴求证：EB=BF ； ⑵当OAOB 为何值时，四边形AEOF 为矩形？并证明你的结论； ⑶是否存在点A 、B ，使四边形AEOF 为正方形？若存在，求点A 与点B 的坐标；若不存在，说明理由．参考答案 http://一、填空题：1. 五，108°2. 10；8（或332;326） 3. 如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形4. 115. 17；86.625 7. 31 8. 18 9. 23cm 2 10. 120°二、选择题：11. A 12. D 13. B 14. C15. C 点拨：不妨取P 为BC 的中点．16. B 17. C 18. D三、解答题：19. 点拨：证Rt △FBC ≌Rt △EBA ，得∠F=∠BEA ．而∠BAE+∠BEA=90°，故∠BAE+∠F=90°．∴AG ⊥CF ．20. 点拨：作如图所示的辅助线，把四边形补成矩形，用矩形面积减去两个等腰直角△ADE 和△CDF 的面积．由题意，得ED=6232==AE ． 过D 作DG ∥BC 于G ，则有DG=GC=BC －BG ．又BG=6，∴DG=6－6． 则有S 四边形ABCD =6×（6－6）－)66(216621--⨯⨯2=12． ∴四边形ABCD 的面积为12．21. 已知：在□ABCD 中，AC=DB （如图）．求证：□ABCD 是矩形．证明：∵AC=DB ，BC=CB ，AB=DC ，∴△ABC ≌△DCB ．∴∠ABC=∠DCB ．又AB ∥DC ，∴∠ABC+∠DCB=180°．∴∠ABC=90°． ∴□ABCD 是矩形．22. 点拨：AE=CF ，AF=CE ，∠ADE=∠CBF 等．证明略．23. ⑴证明：如图．∵OF 是∠AOx 的角平分线，∴∠1=∠2．∵MN 平行于x 轴，∴∠3=∠2．∴∠1=∠3．∴BO=BF ．同理可证BO=BE ．所以EB=BF ．⑵解：当21=OA OB 时，四边形AEOF 是矩形． ∴21=OA OB ，∴OB=AB ． 又∵BE=BF ，∴四边形AEOF 是平行四边形．∵OE 、OF 是角平分线，∴∠EOF=90°．∴四边形AEOF 是矩形．⑶解：存在点A 、B 使四边形AEOF 为正方形，如下图．∵MN 平行于x 轴，∴当A 点在y 轴时，即A 点坐标为（0，4）时，有OA ⊥EF ． 此时，取OA 的中点B （0，2），由（2）知四边形AEOF 是矩形．∴四边形AEOF 是正方形．∴存在A （0，4），B （0，2），使四边形AEOF 为正方形．。
14.反证法PPT课件(华师大版)
反证法的第一步假设，假设时要特别注意命题 的反面成立，当反面不止一种情形时，应把所有可 能情形都列出来，然后再分类证明列举出来的各种 情形均不成立，从而肯定原命题成立．
1 用反证法证明命题：“如图，如果AB∥CD， AB∥EF，那么CD∥EF”，证明的第一步是( ) A．假设CD∥EF B．已知AB∥EF C．假设CD不平行于EF D．假设AB不平行于EF
知识点 2 反证法的假设
易错警示：若结论的反面只有一种情况，则反设 单一，只需驳倒这种情况，即可到达反证的目的； 若结论的反面不止一种情况，那么要各种情况一 一驳倒，才能肯定原命题正确．
运用反证法证明命题时，常见的结论词的否定情势有：
结论 词
是
都是
大(小) 于
能
至少 至少 至多 相等 有一 有n 有一 负数
解： 已知：在△ABC中 ，AB＝AC，求证：∠B，∠C一定是锐角． 证明：假设∠B，∠C不是锐角，则∠B，∠C是直角或钝角． 若∠B，∠C是直角，即∠B＝∠C＝90°， 故∠A＋∠B＋∠C＞180°，这与三角形的内角和定理矛盾． 所以∠B，∠C不是直角． 若∠B，∠C是钝角，即∠B＝∠C＞90°， 故∠A＋∠B＋∠C＞180°，这与三角形的内角和定理矛盾． 所以∠B，∠C不是钝角． 综上所述，∠B，∠C不是直角，也不是钝角，即∠B，∠C是 锐角． 所以等腰三角形的底角一定是锐角．
反证法证明命题的一般步骤：反设——归谬——结论， 即： 假设命题的结论不成立； 从这个假设出发，经过推理论证，得出与公理、定
理、定义或已知条件相矛盾； 由矛盾断定所作假设不正确，从而得出原命题成立．
读一读 反证法是数学证明的一种重要方法，历史上许多著
名的命题都是用反证法证明的.一个命题，当正面证明有 困难或者不可能 时，就可以尝试运用反证法，有时该问 题竟能轻易地被解决，此即所谓“正难则反”.因此，牛 顿就说过：“反证法是数学家最精良的 武器之一.”用反 证法不是直接证明结论，而是间接地去否定与结论相反 的一面，从而得出事物真实的一面.反证法是一种间接的 证明方法.
初中数学九年级《反证法》公开课教学设计
24.2.1反证法【教学目标】1.使学生初步掌握反证法的概念及反证法证题的基本方法2.培养学生用反证法简单推理的技能，从而发展学生的思维能力【教学重点】：反证法证题的步骤【教学难点】理解反证法的推理依据及方法【教学方法】讲练结合教学【教学过程】情景小故事《路边苦李》引出本节课王戎7岁时,与小伙伴们外出游玩,看到路边的李树上结满了果子.小伙伴们纷纷去摘取果子,只有王戎站在原地不动.王戎回答说:“树在路边而多子,此必苦李.”小伙伴摘取一个尝了一下果然是苦李.王戎是怎样知道李子是苦的呢?他运用了怎样的推理方法?王戎的推理方法是:假设李子不苦,则因树在“路”边,李子早就被别人采摘了,这与“多子”产生矛盾.所以假设不成立,即李为苦李.师：通过小故事我们知道了反证法，什么叫做反证法？生：从命题结论的反面出发，引出矛盾，从而证明原命题成立，这样的证明方法叫做反证法师：本节将进一步研究反证法证题的方法一，复习引入：二，例题讲解例1：在三角形ABC中，AB≠AC.求证：∠B ≠∠ C小结：反证法的步骤：假设结论的反面不成立→逻辑推理得出矛盾→肯定原结论正确试一试已知：如图，直线a,b被直线c所截，∠1 ≠ ∠2求证：a∥b Array这种证明方法与前面的证明方法不同，它是首先假设结论的反面成立，然后经过正确的；逻辑推理得出与已知、定理、公理矛盾的结论，从而得到原结论的正确。
象这样的证明方法叫做反证法。
三、应用新知例１：在△ABC中，AB≠AC 求证：∠B ≠∠C证明：假设，∠B ＝∠C，则AB＝AC这与已知AB≠AC矛盾．假设不成立．∴∠B ≠∠C小结：反证法的步骤：假设结论的反面不成立→逻辑推理得出矛盾→肯定原结论正确例2：求证：两条直线相交只有一个交点。
已知：如图两条直线a、b相交与点A。
求证：a与b只有一个交点:小结：反证法步骤：一，提出假设二，推理论证三.得出矛盾四，结论成立练习：1、写出下列各结论的反面：（1）a//b（2）a≥0（3）b是正数（4）a⊥b( 5 )至（最）多有一个（6）至（最）少有一个变式训练1,2练习：求证：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°。
《反证法》 教学设计
《反证法》教学设计一、教学目标1、知识与技能目标学生能够理解反证法的概念，掌握反证法的证明步骤，能运用反证法证明一些简单的命题。
2、过程与方法目标通过对反证法的学习，培养学生的逻辑思维能力和推理能力，提高学生分析问题和解决问题的能力。
3、情感态度与价值观目标让学生感受数学的严谨性和逻辑性，激发学生对数学的兴趣和探索精神，培养学生的创新意识和批判性思维。
二、教学重难点1、教学重点理解反证法的概念，掌握反证法的证明步骤，能运用反证法证明简单命题。
2、教学难点如何正确地提出反设，以及如何通过推理得出矛盾。
三、教学方法讲授法、讨论法、练习法四、教学过程1、导入新课通过一个有趣的故事引入反证法。
故事：有一个人被指控偷了邻居的钱，他宣称自己没有偷。
法官问他：“如果不是你偷的，那钱怎么会在你的口袋里？”这个人无法回答。
提问学生：法官的这种推理方法有什么特点？2、讲解概念（1）给出反证法的定义：先假设命题的结论不成立，然后通过推理得出矛盾，从而证明原命题成立的方法叫做反证法。
（2）强调反证法的关键在于“反设”和“归谬”。
3、示例讲解（1）例 1：证明“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°”。
分析：假设三角形的三个内角都大于 60°，然后推出矛盾。
证明过程：假设三角形的三个内角都大于 60°，则三角形的内角和大于 180°，这与三角形内角和定理矛盾。
所以，原命题成立。
（2）例 2：证明“根号 2 是无理数”。
分析：假设根号 2 是有理数，设根号 2 ＝ m ／ n（m、n 为互质的正整数），然后推出矛盾。
证明过程：假设根号 2 是有理数，设根号 2 ＝ m ／ n（m、n 为互质的正整数），则 2 ＝ m²／ n²，即 m²＝ 2n²。
因为 2n²是偶数，所以m²是偶数，从而 m 是偶数。
设 m ＝ 2k（k 为正整数），则 4k²＝ 2n²，即 2k²＝ n²，所以 n 也是偶数，这与 m、n 互质矛盾。
初中数学初三数学下册《反证法》教案、教学设计
1.通过教师引导，让学生自主探究反证法的原理和步骤，培养学生的学习兴趣和自主学习能力。
2.通过小组讨论、合作学习，让学生在讨论和实践中掌握反证法的应用，提高学生团队协作能力和沟通能力。
3.设计不同难度层次的例题和练习题，让学生在解决问题的过程中，逐步掌握反证法，提高问题解决能力。
（三）情感态度与价值观
1.必做题：
a.请学生运用反证法证明勾股定理。
b.选取课本中一道几何证明题，要求学生使用反证法进行证明。
c.结合本节课的案例，自选一个数学问题，运用反证法求解，并详细说明解题过程。
2.选做题：
a.探索反证法在代数问题中的应用，如求解不等式、方程等，并给出至少两个例题的解答过程。
b.阅读相关数学资料，了解反证法在数学发展史上的重要地位和作用，撰写一篇简短的阅读心得。
1.教学内容：反证法的定义、步骤和注意事项。
2.教学方法：采用讲解、演示、举例等方式，让学生理解并掌握反证法的基本知识。
3.教学过程：
a.教师讲解反证法的定义，解释其基本原理。
b.教师通过具体例题，演示反证法的步骤，强调注意事项。
c.学生跟随教师思路，学习反证法的应用。
（三）学生小组讨论，500字
1.教学活动设计：将学生分成小组，针对几个典型的数学问题，讨论如何运用反证法进行求解。
3.关注学生个体差异，实现因材施教，提高教学质量。
4.激发学生对数学学习的兴趣，树立正确的数学观念，为学生的终身学习奠定基础。
四、教学内容与过程
（一）导入新课，500字
1.教学活动设计：以一个与学生生活息息相关的问题导入新课，如“一个数字谜语：一个三位数，它的百位数是3，十位数是它的一半，个位数是十位数的两倍。这个三位数是什么？”
29.2.2反证法 课件 华师大版数学九年级下册
自学检测2：
已知：如图，直线a,b被直线c所截， ∠1 ≠ ∠2
c
1
a b
求证：a∥b
2
证明：假设结论不成立，则a∥b
∴∠1=∠2 (两直线平行,同位角相等)
这与已知的∠1≠∠2矛盾
∴假设不成立 ∴ a∥ b
反证法证题的一般步骤： 1.假设 2.推出矛盾 3.否定假设 4.肯定原结论
自学检测3：
大英实验学校九年级数学组
路边苦李
王戎7岁时,与小 伙伴们外出游玩,看 到路边的李树上结满 了果子.小伙伴们纷 纷去摘取果子,只有 王戎站在原地不动. 有人问王戎为什么?
王戎回答说:“树在道边而多子,此必苦李.” 小伙伴摘取一个尝了一下果然是苦李.
王戎是怎样知道李子是苦的呢?他运用了怎样 的推理方法?
假设李子不是苦的，即李子是甜的， 那么这长在人来人往的大路边的李子会不会被 过路人摘去解渴呢？
那么，树上的李子还会这么多吗？ 这与事实矛盾吗？ 说明李子是甜的这个假 设是错的还是对的？ 所以，李子是苦的
学习目标
1、了解几何证明的另一种方法---反证法，以 及反证法的证题的步骤。 2、初步学会用反证法证明简单的几何命题。
（3）四边形中，至少有一个内角的度数不大于90o
假设四边形中四个内角都大于90o （4）三角形中必有一个内角不小于60o 假设每个内角都小于60o （5）在平面内，若a⊥c，b⊥c，则a∥b
假设a与b相交
分别阅读例1、例2、例3，讨论是怎 样假设结论反面的？
自学检测1：
填一填
1、用反证法证明：在三角形的内角中，至少有一个角大于或 等于６０° 已知：如图， ∠Ａ，∠Ｂ，∠Ｃ是△ＡＢＣ的内角 求证： ∠Ａ，∠Ｂ，∠Ｃ中至少有一个角大于 Ｂ 或等于６０度. Ａ
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九年级下华东师大版反
证法教案
Standardization of sany group #QS8QHH-HHGX8Q8-GNHHJ8-HHMHGN#
(三)例题探究
例1．已知：如图，设点
A、B、C在同一条直线l
上。
求证：经过A、B、C三
点不能作一个圆。
分析：按照反证法的步骤，先假设过A、B、
C三点可以作一个圆，然后由这个假设出发推下
去，得出矛盾．
证明：假设过A、B、C三点可以作圆，设这个
圆的圆心为O，显然A、B、C三点在这个圆上，
所以OA＝OB＝OC，由线段的垂直平分线的判定
定理可以知道，O点既在线段AB的垂直平分线
l
1
上，又在线段BC的垂直平分线l2上，也就是
说，O点是l1和l2的交点，这与“过一点有且
只有一条直线与已知直线垂直”相矛盾。
所以，过同一条直线上的三点不能作圆。
例2．求证；在一个三角形中，至少有一个
内角小于或等于60°。
师生共同研
究证法，如
何反设，如
何归谬，如
何下结论。
学生独立完
成。