正弦定理专题训练

《正弦定理、余弦定理、解斜三角形》

一、复习要求 ：

1． 掌握正弦、余弦定理，能运用知识解斜三角形。

2． 用正弦、余弦定理判断三角形的形状。

二、知识点回顾

（1） 正弦定理：,22sin sin sin ∆

====S abc R C c B b A a （2R 为三角形外接圆直径）， （∆S 为三角形面积），其他形式： a ：b ：c = sinA ：sinB ：sinC

a=2RsinA, b=2RsinB , c=2RsinC

(2) 余弦定理：a 2=b 2+c 2-2bccosA,(可按a,b,c,a 轮换得另二式) 余弦定理变式：bc

a c

b A 2cos 2

22-+= , (轮换得另二式)

余弦定理向量式：如图 a=b+ c , c= a – b

c 2=|c|2=|a-b |2=(a-b)2=a 2+b 2 - 2﹒a ﹒b

=a 2+b 2 - 2abcosC

(其中｜a|=a,|b|=b,|c|=c)

三、典型例题分析：

例1：在三角形ABC 中，若C=3B ，求

b

c 的范围 分析：角边比转化，可用正弦定理 解：1cos 4cos 22cos sin )2sin(sin 3sin sin sin 2-=+=+===B B B B

B B B B B

C b c A+B+C=1800 ，C=3B ， ∴４Ｂ<１８００，００<Ｂ<４５０， 1cos 22<

b c 练习1：在∆ABC 中，若sinA=2cosBsinC,则∆ABC 的形状是

例2：在∆ABC 中，已知4sinBsinC=1, B>C ,且b 2+c 2 =a 2+bc, 求A ，B ，C 。 解：2

122cosA 222==-+=bc bc bc a c b ， ∴ A=600 又 4sinBsinC=1 ∴4sinBsin(1200-B)=11sin 22sin 31)sin 2

1cos 23(sin 42=+⇒=+⇒B B B B B B con B 22sin 3=⇒ ∴332t a n =

B ∴2B=300 或2100 B>

C , ∴2B=2100 即 B=1050

∴A=600 B=1050 C=150

练习2：在∆ABC 中，2B=A+C 且tanAtanC=2+3 求（1）A 、B 、C 的大小

（2） 若AB 边上的高CD=43，求三边a 、b 、c C A B a c b

例３：如图，已知Ｐ为∆ABC 内一点，且满足∠ＰＡＢ

＝∠ＰＢＣ＝∠ＰＣＡ＝θ

求证cot θ=cotA+cotB+cotC

解：在∆ABC 中，APB c PB ∠=sin sin θ [][]θθππ+--=∠-∠-=B c ABO BAP c sin sin ＝B

c sin 同理C a C PB sin )sin(=-θ ∴C

C C a C C a B c sin )sin cos cos (sin sin )sin(sin sin θθθθ-=-= ∴sinAsinBsinCcos θ=sinAsinBcosCsin θ+sin 2C sin θ ∴C B A B

A B A B A C B A C C cot cot cot sin sin sin cos sin sin cot sin sin sin cot cot ++=++=+=θ 四：作业

１．在∆ABC 中，a+b=366+ 030=∠A 060=∠B 求边c 的长

２．在∆ABC 中，Ｓ是它的面积，a,b 是它的两条边的长度，Ｓ＝

)(4122b a + 求这个三角形的各内角．

３．已知圆Ｏ的半径为Ｒ，它的内角三角形ＡＢＣ中，２Ｒ（sin 2A-sin 2C ）=B b a sin )2(- 成立，求三角形ＡＢＣ的面积Ｓ的最大值． θ A B C P θθ