偏微分方程分类与标准型

一．写出二阶常系数线性齐次微分方程的特征方程与特 征根。
二. 简述二阶常系数线性齐次微分方程的求解步骤。 三. 写出二阶线性偏微分方程的辨别式及其分类原则。 四. 解释何谓自变量非奇异变换。 五. 简述二阶线性偏微分方程简化的基本步骤。 六. 书习题2：1（1）（2）；2（2）（3）；7 七. 课堂练习：P41:2（1）
，则A22=
0
偏微分方程转
a11 (
zx zy
)2
2a12 (
zx zy
)
为常微分方程
a22 0
a11
(
dy dx
)
2
dy 2a12 ( dx )
a22
0
5. 特征方程与特征曲线
1.特征方程：
a11 (
dy dx
)2
2a12 (
dy dx
)
a22
0
2.解：
dy a12 a122 a11a22
解 (1)特征方程为 r2 4r 3 0 解得 r1 3, r2 1
所以方程的通解为
y C1e3x C2e x C1 ,C2为任意常数
(2)特征方程为 r 2 2 2r 2 0
解得 r1 r2 2 所以方程的通解为
y C1 C2 xe 2x C1 ,C2为任意常数
(3)特征方程为 r2 2r 3 0 解得 r1,2 1 2i
dy dx
3
或
dy dx
1
故有 y 3x C1 或 y x C2
取新变量 3x y x y 则
例2(续)
u 3 u u
x
，u u u
y
2u 2u 2u 2u
x 2
9 2
6
2
2u 2u
2u 2u
y2
2
2
2
代入原方程得： 16 2u 12 u 4 u 0
dy a12 dx a11
它只能给出一个实的特征线， (x, y) c 。取与
(x, y) 函数无关的 (x, y) 作为另一个新的变量
则有：
u
1 A22
[B1u
B2u
Cu F ]
3.椭圆型方程：
当 a122 a11a22 0 时，给出一族复特征线
(x, y) (x, y)
即：
2u 3 u 1 u
4 4
例3. 判断偏微分方程的类型并化简：
uxx 2cos xuxy (3 sin2 x)uyy yuy 0
解： a11 1, a12 cos x, a22 ( 3 sin2 x)
cos2 x 3sin2 x 4 0 双曲型方程
特征方程 ( dy )2 2cos x dy (3 sin2 x) 0
取 (x, y) (x, y) 则 A11 A22 0
1
方程变为 u 2A12 [B1u B2u Cu F ] 若再作 , 则上述方程变为：
1 u u A12 [(B1 B2 )u (B1 B2 )u 2Cu F ]
2.抛物型方程：
当 a122 a11a22 0 时，只有一个解
两个线性无关的特解 y1 e r1x , y2 er2x ,
得齐次方程的通解为
y
C e r1x 1
C2e r2x ;
(2)有两个相等的实根时 ( p2 4q 0)
特解为： y1 e r1x , y2 xer1x
齐次方程的通解为： y (C1 C2 x)er1x ;
(3)有一对共轭复根时 ( p2 4q 0)
dx
dx
特征方程的解： dy cos x 2, dy cos x 2
dx
dx
特征线：y sin x 2x C1, y sin x - 2x C2
令： y sin x 2x, y sin x - 2x
u
32
(u
u
)
0
s , t ξ-η
第二章： 复习思考题与作业
第2章 二阶线性偏微分方程的分类与标准型
§2.1 常微分方程的解(复习) §2.2 二阶线性偏微分方程分类 §2.3 二阶线性偏微分方程简化 §2.4 三类方程的简化形式
§2.1 常微分方程的解(复习)
一. 二阶常系数线性方程的标准形式
y py qy f ( x)
定义：设 y1( x), y2( x) 为定义在 (a,b)内的两个函数， 如果存在非零常数 k,使得 y1( x) ky2( x),则称y1( x), y2( x) 线性相关，否则称 y1( x), y2( x) 线性无关. 定理 设 y1( x), y2( x)是方程 y py qy 0 的两个 线性无关的解，则
特征方程的解： dy 3, dy 1
dx
dx
特征线： y 3x C1 , y x C2
令：
y 3x, y x
u
1 2
u
0
例2.1.3 设常数A,B,C满足 B2 4AC 0
m1、m2是如下方程的两个根
Am2 Bm C 0
证明二阶线性偏微分方程 Auxx Buxy Cuyy 0
(2) a122 a11a22 0,
u Au Bu Cu D (3) a122 a11a22 0
u u Au Bu Cu D
例题1：分类并标准化方程：
解：该方程的 特征方程：
故该方程是抛物型的。
特征的解：
从而得到方程的一族特征线为：
自变量代换
(由于ξ和η必须函数无关,所以η宜取最简 单的函数形式,即η=x 或η=y)
特征根为： r1 i , r2 i ,
特解为： y1 ex cosx, y2 ex sin x,
齐次方程的通解为 y ex (C1 cosx C2 sinx).
小结：二阶常系数线性齐次微分方程解
齐次方程： y py qy 0
特征方程： r 2 pr q 0
特征根：
p p2 4q
A22
a11
2 x
2a12 x y
a22
2 y
B1 a11 xx 2a12 xy a22 yy b1 x b2 y
B2
a11 xx
2a12 xy
a22 yy
b1 x
b2 y
C c, F f
注：变量替换必须为非奇异变换
(x, y) (x, y)
非奇异变换：雅克比(Jacobi)行列式在点(x0, y0) 不等于零，即：
0
双曲型 抛物型 椭圆型
思考：判断下列方程的类型
2u t 2
a2
2u x2
x
2u x 2
a2
2u t 2
u
2u x 2
源自文库
a2
u t
xu
1
u
1
2
2u
2
0
§3. 方程简化
1.线性二阶偏微分方程的一般形式(2个自变量)
a11uxx 2a12uxy a22uyy b1ux b2uy cu f
r1,2
, 2
特征根的情况
通解的表达式
实根 r1 r2 实根 r1 r2
复根 r1,2 i
y C1e r1 x C2e r2 x y (C1 C2 x)er2 x
y ex (C1 cos x C2 sin x)
利用了欧拉公式
例: 求下列方程的通解
(1) y 4 y 3 y 0 (2) y 2 2 y 2 y 0 (3) y 2 y 3 y 0
J ( , ) x (x, y) x
y y
x y y x 0
则：在点(x0, y0)附近变换是可逆的。
3. 方程简化
构造一阶偏微分方程：a11z
2 x
2a12zx zy
a22
z
2 y
0
求一个特解 ，则：
a11
2 x
2a12x y
a22
2 y
0
(即：A11 0)
4.
再求另一个特解 求特解
其中，a11, a12 , a22 ,b1,b2 , c, f 都是区域 上的实函数， 并假定它们是连续可微的。
n个自变量：
n
i 1
n
aij
j 1
2u xix j
n
bi
i 1
u xi
cu
f
0
其中 aij , bi , c, f 是自变量 x1, x2 , , xn 的函数
2. 变量替换与方程转型
y C1e x C2e5x
对上式求导,得
y C1e x 5C2e5x
将 y(0) 1 y(0)、 2 代入以上二式,得
1 C1 2 C1
C2 5C2
解此方程组，得
C1
1 2
,C2
1 2
所以所求特解为
y 1 ex 1 e5x 22
三. 二阶常系数非齐次线性方程
(1)非齐次线性方程通式：y py qy f ( x)
a11uxx 2a12uxy a22uyy b1ux b2uy cu f
其中，a11, a12 , a22 ,b1,b2 , c, f 都是区域 上的实函数，
并假定它们是连续可微的。
2.二阶主部为： a11uxx 2a12uxy a22uyy
3.判别式及分类：
0
a122 a11a22 = 0
(2)对应齐次方程为： y py qy 0,
(3)通解结构: 如果 y*( x) 是方程 y py qy f ( x) 的一个特解， Y ( x) 是方程对应的齐次方程的通解，则方程的通解 为
y( x) Y ( x) y*( x),
§2. 二阶线性偏微分方程分类
1.一般形式及分类判别
原方程化简后的标准形式为：
例2. 判断偏微分方程类型并化简：
uxx 2uxy 3uyy 2ux 6uy 0
解：∵ a11 1 a12 1 a22 3 故 a122 a11a22 4 0 故该方程为双曲型偏微分方程，其特征方程
( dy)2 2 dy 3 0 dx dx
解为
所以方程的通解为
y ex C1 cos 2x C2 sin 2x C1,C2为任意常数
例:求 y 4 y 5 y 0 满足初始条件
y(0) 1 y(0) 2 的特解.
解 特征方程为 2 4 5 0
即
( 1)( 5) 0
特征方程有两个不相等的实数根 1 1, 2 5
所以所求方程的通解为
在该变换下： A11 0, A22 0 且方程化为：
1 u 2 A12 [B1u B2u Cu F ]
令 i , i
则有：
u
u
1 A12
[( B1
B2 )u
i(2
1 )u
2Cu F ]
小结：三种方程的标准型式：
(1) a122 a11a22 0 u u Au Bu Cu D
dx
a11
3.特征曲线： ( x, y) c1 ( x, y) c2
例2.1.1 判断偏微分方程类型并化简：
uxx 2uxy 3uyy 6uy 0
解：
a11 1, a12 1, a22 3
a
2 12
a11a22
4
0
双曲型方程
特征方程
( dy )2 2 dy 3 0
dx dx
的通解为： u f (m1 x y) g(m2 x y)
证明：设 m1 x y, m2 x y
则：
1 (4AC A
B2 )u
0
u 0
§4 三类方程的简化形式 1.双曲方程型方程：
当 a122 a11a22 0 时，给出一族实的特征曲线
(x, y) c1 (x, y) c2
变量替换是研究偏微分方 程的有效手段，适当的变 换，可简化方程、易求解。
(1)变量代换： (x, y) (x, y)
(2)一般式转为：
A11u 2A12u A22u B1u B2u Cu F 0
A11
a11
2 x
2a12 x
y
a22
2 y
系数为： A12 a11 xx a12 ( x y yx ) a22 y y
y( x) C1 y1( x) C2 y2( x) 是方程的通解，其中 C1, C2 为任意常数.
二. 二阶常系数线性齐次微分方程的解
齐次方程： y py qy 0
特征方程： r 2 pr q 0
特征根：
r1,2 p
p2 4q ,
2
(1)有两个不相等的实根 ( p2 4q 0) r1 , r2
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