人教新课标版数学高二-2-2导学案 变化率问题 导数的概念

1.1．1 变化率问题 1．1.2 导数的概念
（结合配套课件、作业使用，效果更佳）
周；使用时间16 年 月 日 ；使用班级 ；姓名
【学习目标】
1.了解导数概念的实际背景.
2.会求函数在某一点附近的平均变化率. `
3.会利用导数的定义求函数在某点处的导数． 重点：会利用导数的定义求函数在某点处的导数 难点：会求函数在某一点附近的平均变化率
【检查预习】预习课本，完成导学案“自主学习”部分，准备上课回答. 【自主学习】
知识点一 函数的平均变化率
假设如图是一座山的剖面示意图，并建立如图所示平面直角坐标系．A 是出发点，H 是山顶．爬山路线用函数y ＝f (x )表示．
自变量x 表示某旅游者的水平位置，函数值y ＝f (x )表示此时旅游者所在的高度．设点A 的坐标为(x 1，y 1)，点B 的坐标为(x 2，y 2)．
思考1 若旅游者从点A 爬到点B ，自变量x 和函数值y 的改变量分别是多少？
思考2 怎样用数量刻画弯曲山路的陡峭程度？
思考3 观察函数y ＝f (x )的图象，平均变化率Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)
x 2－x 1表示什么？
(1)定义式：Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)
x 2－x 1
.
(2)实质： 的增量与 增量之比． (3)作用：刻画函数值在区间[x 1，x 2]上变化的快慢．
(4)几何意义：已知P 1(x 1，f (x 1))，P 2(x 2，f (x 2))是函数y ＝f (x )的图象上两点，则平均变化率Δy Δx
＝f (x 2)－f (x 1)
x 2－x 1表示割线P 1P 2的
知识点二 瞬时速度
思考1 物体的路程s 与时间t 的关系是s (t )＝5t 2.试求物体在[1,1＋Δt ]这段时间内的平均速度．
思考2 当Δt 趋近于0时，思考1中的平均速度趋近于几？怎样理解这一速度？ (1)物体在 的速度称为瞬时速度．
(2)一般地，设物体的运动规律是s ＝s (t )，则物体在t 0到t 0＋Δt 这段时间内的平均速度为Δs
Δt ＝
s (t 0＋Δt )－s (t 0)Δt .如果Δt 无限趋近于0时，Δs
Δt 无限趋近于某个常数v ，我们就说当Δt 趋近于0
时，Δs Δt 的 是v ，这时v 就是物体在时刻t ＝t 0时的瞬时速度，即瞬时速度v ＝li m Δt →0 Δs Δt ＝li m Δt →0
s (t 0＋Δt )－s (t 0)
Δt
.
知识点三 导数的概念
函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率是li m Δx →0
Δy
Δx ＝li m Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx
，我们称它为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作 ，即f ′(x 0)＝li m Δx →0
Δy
Δx ＝li m Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx
【合作探究】
类型一 求函数的平均变化率 例1 已知函数f (x )＝2x 2＋3x －5.
(1)求当x 1＝4，x 2＝5时，函数增量Δy 和平均变化率Δy
Δx ；
(2)求当x 1＝4，x 2＝4.1时，函数增量Δy 和平均变化率
Δy Δx
； (3)若设x 2＝x 1＋Δx .分析(1)(2)题中的平均变化率的几何意义．
跟踪训练1 (1)如图，函数y ＝f (x )在A ，B 两点间的平均变化率等于( ) A ．1 B ．－1 C ．2 D ．－2
(2)过曲线y ＝f (x )＝x 2－x 上的两点P (1,0)和Q (1＋Δx ，Δy )作曲线的割线，已知割线PQ 的斜率为2，求Δx 的值．
类型二 求平均速度与瞬时速度
例2 若一物体运动方程如下：(位移单位：m ，时间单位：s)
s ＝⎩
⎪⎨⎪⎧
3t 2＋2， t ≥3，29＋3(t －3)2， 0≤t <3. 求：(1)物体在t ∈[3,5]内的平均速度； (2)物体的初速度v 0；
(3)物体在t ＝1时的瞬时速度．
跟踪训练2 一质点M 按运动方程s (t )＝at 2＋1做直线运动(位移单位：m ，时间单位：s)，若质点M 在t ＝2 s 时的瞬时速度为8 m/s ，求常数a 的值．
类型三 求函数在某一点处的导数
例3 (1)设函数y ＝f (x )在x ＝x 0处可导，且li m Δx →0
f (x 0－3Δx )－f (x 0)
Δx
＝a ，则f ′(x 0)＝________.
(2)利用导数的定义求函数f (x )＝x 在x ＝1处的导数．
跟踪训练3 已知f (x )＝3x 2，f ′(x 0)＝6，求x 0.
【学生展示】探究点一、二
【教师点评】探究点三及【学生展示】出现的问题 【当堂检测】
1．如果质点M 按规律s ＝3＋t 2运动，则在一小段时间[2，2.1]中相应的平均速度是( ) A ．4 B ．4.1 C ．0.41
D ．3
2．物体自由落体的运动方程为s (t )＝1
2gt 2，g ＝9.8 m/s 2，若v ＝li m Δt →0 s (1＋Δt )－s (1)Δt ＝9.8 m/s ，那么下列说法中正确的是( )
A ．9.8 m/s 是物体从0 s 到1 s 这段时间内的速率
B ．9.8 m/s 是1 s 到(1＋Δt )s 这段时间内的速率
C ．9.8 m/s 是物体在t ＝1 s 这一时刻的速率
D ．9.8 m/s 是物体从1 s 到(1＋Δt )s 这段时间内的平均速率
3．已知函数f (x )＝2x 2－1的图象上一点(1,1)及邻近一点(1＋Δx,1＋Δy )，则Δy
Δx 等于( )
A ．4
B ．4x
C．4＋2Δx D．4＋2(Δx)2
4．如图，函数y＝f(x)在[x1，x2]，[x2，x3]，[x3，x4]这几个区间内，平均变化率最大的一个区间是________．
5．已知函数f(x)＝1
x
，则f′(1)＝________.
【小结作业】
小结：
作业：对应限时练。