数值分析2-03PPT课件

湘潭大学数学与计算科学学院
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插值问题： 设
x0, x1 , x2 , , xn
是n +1个不相同的节点，求作次数不超过2n+1次 的代数多项式H(x)，使它满足插值条件：
H ( xi ) fi , H ( xi ) fi, i 0，1, 2, , n, (3.1)
其中
fi f ( xi ),
定理3.2 若f C 3[a,b], f (4)( x) 在 (a,b) 存在，则对
x [a,b], 两点Hermite插值问题解的误差为
被称为关于 x0 , x1 的两点Hermite插值问题的基函数. H3( x) 是一个非常重要的Hermite插值多项式， 它所刻画的曲线与 f ( x) 在点 x0 和 x1 处 不仅有相同的函数值，而且有相同的斜率.
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两点Hermite插值问题解的误差分析
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0(0) 1, 0(0) 0(1) 0(1) 0
同样若令
h1,0 ( x)
0 (
x1 h
x
)
则
h1,0
(
x0
)
0
(
x1
h
x0
)
0
(1)
0,
h1,0
(
x1
)
0 (
x1
h
x1
)
0 (0)
1,
h1,0 ( x0 )
1 h
0
(
x1
h
x0
)
1 h
0
§3 Hermite插值
一、问题的提法 二、Hermite插值公式
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一、问题的提法
前面提到的插值，仅要求插值多项式p(x) 与被插值函数f(x)在插值点处有相同的值， 这种多项式往往不能反映插值函数的变化趋势. 现在提出一个新的插值问题： • 要求构造一个多项式H(x) ，使它与函数f(x) 在插值点处不仅有相同的函数值， • 而且还有相同的导数值. 这种带导数的插值叫做Hermite插值.
(
x0
)
h0
,0
(
x1 )
0.
h0,1 ( x0 ) 1,
h0,1 (
x0
)
h0,1 (
x1
)
h0
,1
(
x1
)
0.
h1,0 ( x1 ) 1, h1,0 ( x0 ) h1,0( x0 ) h1,0( x1 ) 0.
0 (ht1),1( x(11 )t1)2,(1 h21,t1)(,x0) 1(th)1,1(tx(10 )t )h21,,1(t x1 )[0,10].
现在证明唯一性. 假设另有一个三次数多项式G(x)满足插值条件(3.2) 令R (x)=H3 (x)–G (x), 则由(3.2)有
R( xi ) R( xi ) 0, i 0,1
R(x)是次数小于等于3的代数多项式,而上式表明，
它有2个重根，除非
R( x) 0.
即：
G( x) H ( x).
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H3(x)
f0 h0,0 ( x)
f1 h1,0 ( x)
f
0
h0
,1
(
x
)
f1 h1,1( x).
(3.5)
称(3.5)式为两点Hermite插值公式， 相应的 H3( x) 为两点Hermite插值多项式；而
h0,0 ( x), h1,0 ( x), h0,1( x), h1,1( x)
h0,1 (
x)
h1 (
x
h
x0
),
则
h1,1 (
x)
h1 (
x1
h
x
),
h0,1 ( x0 ) 1,
h0,1 (
x0
)
h0,1 (
x1
)
h0
,1
(
x1
)
0.
h1,1 ( x1 ) 1, h1,1( x0 ) h1,1( x0 ) h1,1( x1 ) 0.
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(1)
0,
h1,0 ( x1 )
1 h
0
(
x1
h
x1
)
1 h
0
(0)
0,
即满足： h1,0 ( x1 ) 1, h1,0 ( x0 ) h1,0( x0 ) h1,0( x1 ) 0.
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1(0) 1, 1(0) 1(1) 1(1) 0.
类似地若令
(3.4) (3.3)
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利用(3.4)式，容易验证
H3 ( x) f0 h0,0 ( x) f1 h1,0 ( x) f0 h0,1( x) f1 h1,1( x).
满足插值条件(3.2)，从而存在性得证.
(3.5)
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综合为
h0,0
(
x
)
0
(
x
h
x0
),
h1,0 ( x)
0
(
x1
h
x ),
h0,1 (
x)
h1 (
x
h
x0
),
h1,1 (
x)
h1 (
x1
h
x
),
则 hi,k ( x) P3 , i, k 0,1, 且满足
h0,0 ( x0 ) 1,
h0,0 (
x1 )
h0
,0
1、适定性证明
2、相应的插值公式
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定理3.1 两点Hermite插值问题的解存在且唯一。 证明 首先证明存在性.
在标准单元[0,1]上构造两个特殊的三次代数多项式
0(t ), 1(t),
满足插值条件
0(0) 1, 0(0) 0(1) 0(1) 0,
f
i
f ( xi ).
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二、Hermite插值公式
本节主要讨论两点Hermite插值， 即n=1的情形.
插值问题变为：求
满足
H3 P3
H3( x0 )
f0 ,
H
3
(
x0
)
f
0
,
H3 ( x1 )
f1 ,
H
3
(
x1
)
f1
(3.2)
下面构造性地给出两点Hermite插值问题:
其中 h x1 x0 ,
h0,0 (
x0
)
0
(
x0
h
x0
)
0
(0)
1,
h0,0 (
x1
)
0
(
x1
h
x0
)
0 (1)
0,
h0
,0
(
x0
)
Biblioteka Baidu
1 h
0
(
x0
h
x0
)
1 h
0
(0)
0,
h0
,0
(
x1
)
1 h
0
(
x1
h
x0
)
1 h
0
(1)
0,
即满足：h0,0 ( x0 ) 1, h0,0 ( x1 ) h0,0( x0 ) h0,0( x1 ) 0.
1(0) 1,
容易求得
1(0) 1(1) 1(1) 0.
0(t) (1 t)2(1 2t),
1
(t
)
t(1
t )2 ,
t
[0,1]
(3.3)
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若令 则
0(0) 1, 0(0) 0(1) 0(1) 0
h0,0
(
x
)
0
(
x
h
x0
)