大一上学期高等数学A1综合检测2试题及答案

0，3 1，2
2 ⎡t3 ⎤ t2 +1 20 2 原式= ∫ 2tdt = 2 ∫ (t + 1)dt = 2 ⎢ + t ⎥ = . t ⎣ 3 ⎦1 3 1 1 1 ⎧1 + x 2 , x ≤ 0 3. 设 f ( x) = ⎨ x ，求 ∫ f ( x )dx . −1 x>0 ⎩ e , 1 1 1 解： ∫ f ( x)dx = ∫ (1 + x 2 )dx + ∫ e x dx = (1 + ) + (e − 1) = + e. −1 3 3 −1 0 0 1
=e
ห้องสมุดไป่ตู้
1 f ′′(0) 2
= e2 .
2
2
2
x5 32 （2） V = ∫ π x dx = π = π. 5 0 5 0
4
2
2
sin x + C . x 6. 求微分方程 y′′ − 5 y ′ + 6 y = ( x + 1)e4 x 的通解. 解：对应齐次方程的特征方程： r 2 − 5r + 6 = 0 ；特征根： r = 2,3. 对应齐次方程的通解为： y = C1e 2 x + C2 e3 x y′′ − 5 y ′ + 6 y = ( x + 1)e4 x 特解形式： y* = (ax + b)e 4 x , 代入原方程得， 1 1 ⎛ x 1⎞ 2ax + 2b + 3a = x + 1, 解得， a = , b = − ，原方程的特解为： y* = ⎜ − ⎟ e 4 x . 2 4 ⎝2 4⎠ 解： ( xy )′ = cos x, ⇒ xy = sin x + C ，即 y =
∫ 3. lim
x
sin x 2 1 = . x →0 x →0 3 x 2 x3 3 4. 设 f (u ) 为可导函数，且 y = f (sin x ) + sin f ( x ), 求 y′. x 解： y′ = f ′(sin x ) cos x + f ′( x) cos f ( x). dy 5. 设 y = x sin x ( x > 0), 求 . dx dy sin x ⎞ ⎛ 解： = ( esin x ln x )′ = xsin x ⎜ cos x ln x + ⎟. dx x ⎠ ⎝ 3 6. 求函数 f ( x) = x3 + x 2 − 6 x + 2 的极值. 2 2 解： f ′( x) = 3 x + 3 x − 6 = 3( x 2 + x − 2) = 3( x − 1)( x + 2), f ′′( x) = 6 x + 3, 驻点： x = −2, 1. f ′′( −2) = −9, f ′′(1) = 9, 3 于是，极小值 f (1) = − ; 极大值 f (−2) = 12. 2 7. 设点 A(1,0,1), B(1,1,1), C (2,1,3) ,求三角形 ABC 的面积.
1 lim ln⎜ 1+ f ( x) ⎞ x ⎛ lim ⎜ 1 + = e x →0 x ⎝ ⎟ x →0 x ⎠ ⎝ 1 ⎛
f ( x) ⎞ ⎟ x ⎠
=
e x →0 x
lim
1 f ( x) • x
lim =
e x →0
f ( x) x2
=e
f ′( x ) lim x →0 2 x
=e
1 f ′ ( x )− f ′ (0) lim 2 x →0 x
高等数学 A（1）综合检测 2 参考解答
一、填空、选择题（18%） 1. lim (1 + 2 x ) x =
x →0
1
e2
.
1 −1
2. 设 f ( x) 在闭区间 [0, 1] 上连续,则 ∫ f ( x 2 ) sin xdx = 3.
0 .
1 dx = 1 . 1 x2 4. 设 y = sin x 2 ，则 dy = 2 x cos x 2 dx. 5. 设 F ( x) 是 f ( x) 的一个原函数,则下列结论中不正确的是( B)
− ln( x + 1 + x 2 ) + C.
1
1+ x
f ( x) f ( x) ⎞ x ⎛ 2. 设函数 f ( x) 在 x = 0 处有二阶导数,且 lim = 0, f ′′(0) = 4, 求 f (0), f ′(0), lim ⎜ 1 + . x →0 x →0 x x ⎟ ⎝ ⎠ f ( x) f ( x ) − f (0) f ( x) 解： f (0) = lim f ( x ) = lim x = 0 × 0 = 0, f ′(0) = lim = lim = 0, x →0 x →0 x → 0 x → 0 x x x
三、解答下列各题（36%） 1 dx 1 x +1 1. ∫ 2 dx = ∫ = arctan + C. 2 x + 2x + 5 4 + ( x + 1) 2 2
1
2.
x+2 dx ， 0 x +1 解：令 t = x + 1, 则 x = t 2 − 1, dx = 2tdt ,
∫
3
x t
2
0
sin t 2 dt
= lim
解：作向量 AB = (0,1,0), AC = (1,1,2) ,则 AB × AC = 2i − k 三角形 ABC 的面积 S∆ABC =
� ���� 1 1 ��� 5 AB × AC = 2i − k = . 2 2 2
��� �
����
��� � ����
⎞ 4x 原方程的通解： y = C1e 2 x + C2 e3 x + ⎛ ⎜ − ⎟e . 2 4 ⎝ ⎠
x
1
四、解答下列各题（11%） 1.设函数 f ( x) 的一个原函数是 ln( x + 1 + x 2 ) ,求
∫ xf ′( x)dx.
x
2
解： ∫ xf ′( x)dx = ∫ xdf ( x) = xf ( x) − ∫ f ( x)dx =
2
【思考】计算 F ( x) = ∫ f (t )dt .
−1
x
4. 求由抛物线 y = x ，直线 x = 2 以及 x 轴所围成的平面图形面积,并求该图形绕 x 轴旋转一周 所成旋转体的体积.
2
8 解：（1） A = ∫ x dx = ; 3 0 5.求微分方程 xy′ + y = cos x 的通解.
∫
+∞
(A) F ′( x ) = f ( x ) ； (C)
(B) (D)
∫ F ′( x)dx = f ( x) + C ；
d [ f ( x)dx] = f ( x ). dx ∫
∫ f ′( x)dx = f ( x) + C ；
6.微分方程 y′′ + y = 0 的通解为( D ) (A) C cos x; (B) C sin x; (C) sin x + cos x; (D) C1 cos x + C2 sin x. 二、解答下列各题（35%） ex −1 x 1. lim = lim = 1 x →0 sin x x →0 x x − sin x x − sin x 1 − cos x sin x 1 2. lim = lim = lim = lim = . 3 2 x →0 ln(1 + x 3 ) x →0 x → 0 x → 0 x 3x 6x 6