第五章 时域离散系统的网络结构
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第5章 时域离散系统的基本网络结构09-10-1
1 p z 1 q z 1 q z
1 1 r r 1 r r 1 r 1
r 1 N1
r
1 r
r 1 N2
H ( z ) A H j ( z )
j 1
K
0 j 1 j z 1 2 j z 2 H j ( z) 1 2 1 1 j z 2 j z
IIR数字滤波器的系统函数H(z)为
8 4 z 1 11z 2 2 z 3 H ( z) 5 1 3 2 1 3 1 z z z 4 4 8
画出该滤波器的级联型结构。 解 ： 由H(z)写出差分方程如下
y n 8 xn 4 xn 1 11xn 2 2 xn 3 5 3 1 y n 1 y n 2 y n 3 4 4 8
系统函数H(z)展开成部分分式之和的形式，就可 以得到滤波器的并联型结构。 当N=M时，展开式为
H ( z ) A0 H1 ( z ) H 2 ( z ) H N ( z ) Ai A0 1 d i z i i 1
N
共轭复根两两合并得到实系数的二阶网络，
F Ai 0i 1i z 1 H ( z ) A0 1 1 pi z 1 1i z 1 2i z 2 i 1 i 1 E
成程序让计算机来执行， 这也就是用软件来实现数字滤波器。
时域离散系统可以用差分方程、单位脉冲响应以及 系统函数进行描述。系统输入、输出服从N阶差分方程
y n bi xn i ai yn i
i 0 i 1
M
N
其系统函数为
H ( z)
bi z i 1 ai z i
第五章 时域离散系统的基本网络结构
数字滤波器和FFT一样，是数字信号处理 的重要内容。
本章的主要内容就是描述数字滤波器的基 本网络结构。（IIR、FIR）
引言
时域离散系统或网络可以用差分方程、单 位脉冲响应以及系统函数进行描述。
M
N
y(n) bi x(n i) ai y(n i)
i0
i 1
系统函数H(z)为
M
H (z)
(2) 流图环路中必须存在延时支路；
(3) 节点和支路的数目是有限的。
信号流图表达的系统含义
每个节点连接的有输入支路和输出支路，节点变 量等于所有输入支路的输出之和.
根据信号流图可以求出系统函数（节点法、梅逊 公式法）。
1(n) 2 (n 1) 2 (n) 2 (n 1) 2 (n) x(n) a12 (n) a21n y(n) b21(n) b12 (n) b02(n)
画出H(z)的直接型结构和级联型结构。
级联型
解： 将H(z)进行因式分解，得到： H(z)=(0.6+0.5z-1)(1.6+2z-1+3z-2)
其直接型结构和级联型结构如图所示。
x(n)
0.6
z－ 1 0.5
1.6 z－ 1
2 z－ 1
3
y(n) x(n)
z－ 1
z－ 1
z－ 1
0.96 2
2.8 1.5 y(n)
0 j
y(n)
1 j
z－ 1 1j
1 j
z－ 11 j
(a)
2 j
z－
1
2
j
(b)
一阶和二阶直接型网络结构 (a)直接型一阶网络结构；(b)直接型二阶网络结构
IIR的级联型例题
本章的主要内容就是描述数字滤波器的基 本网络结构。（IIR、FIR）
引言
时域离散系统或网络可以用差分方程、单 位脉冲响应以及系统函数进行描述。
M
N
y(n) bi x(n i) ai y(n i)
i0
i 1
系统函数H(z)为
M
H (z)
(2) 流图环路中必须存在延时支路；
(3) 节点和支路的数目是有限的。
信号流图表达的系统含义
每个节点连接的有输入支路和输出支路，节点变 量等于所有输入支路的输出之和.
根据信号流图可以求出系统函数（节点法、梅逊 公式法）。
1(n) 2 (n 1) 2 (n) 2 (n 1) 2 (n) x(n) a12 (n) a21n y(n) b21(n) b12 (n) b02(n)
画出H(z)的直接型结构和级联型结构。
级联型
解： 将H(z)进行因式分解，得到： H(z)=(0.6+0.5z-1)(1.6+2z-1+3z-2)
其直接型结构和级联型结构如图所示。
x(n)
0.6
z－ 1 0.5
1.6 z－ 1
2 z－ 1
3
y(n) x(n)
z－ 1
z－ 1
z－ 1
0.96 2
2.8 1.5 y(n)
0 j
y(n)
1 j
z－ 1 1j
1 j
z－ 11 j
(a)
2 j
z－
1
2
j
(b)
一阶和二阶直接型网络结构 (a)直接型一阶网络结构；(b)直接型二阶网络结构
IIR的级联型例题
第5章_时域离散系统的网络结构
b0 x(n) w 2′ z－ 1 w2 －a 1 －a2 b1 z－ 1 w1 b2 y(n)
(5.2.1) 1 (n) 2 (n 1) (n 1) 2 (n) 2 (n ) x(n ) a1 2 (n ) a21n 2 (n) y (n ) b21 (n ) b12 (n) b02
ZT
w2(n) =w1(n)
w3(n) =w2(n-1)
W2(z)=W1(z)
W3(z)=z-1W2(z)
W4(z)=b0W2(z)+b1W3(z)
w4(n) =b0w2(n)+b1w3(n)
y(n)=w4(n)
Y(z)=W4(z)
Y ( z ) b0 b1 z 1 11 H ( z) 1 X ( z ) 1 az
6
第5章 时域离散系统的网络结构
3. 基本信号流图
信号流图由连接节点的一些有方向性的支路构成
流图中每一个节点都用一个节点变量表示，x(n) 称为 输入节点变量， y(n) 表示输出节点变量， w1(n), w2(n), 和 w’2(n) 也是节点变量。和每个节点连接的有输入支路和 输出支路，节点变量等于所有输入支路的输出之和。 节点变量和其他节点变量之间的关系用下式表示：
2
5.1 引言
及系统函数进行描述。 (1) 系统单位取样响应 (2) 传输函数 频率响应
H(ej)
第5章 时域离散系统的网络结构
一般时域离散系统或网络可以用差分方程、单位脉冲响应以
h(n)
H (e j ) DTFT [h(n)]
j n h ( n ) e
n
输出：
一个对输入x(n)的M阶延 时链结构，每节延时抽 头后加权相加，构成一 个横向结构网络。
(5.2.1) 1 (n) 2 (n 1) (n 1) 2 (n) 2 (n ) x(n ) a1 2 (n ) a21n 2 (n) y (n ) b21 (n ) b12 (n) b02
ZT
w2(n) =w1(n)
w3(n) =w2(n-1)
W2(z)=W1(z)
W3(z)=z-1W2(z)
W4(z)=b0W2(z)+b1W3(z)
w4(n) =b0w2(n)+b1w3(n)
y(n)=w4(n)
Y(z)=W4(z)
Y ( z ) b0 b1 z 1 11 H ( z) 1 X ( z ) 1 az
6
第5章 时域离散系统的网络结构
3. 基本信号流图
信号流图由连接节点的一些有方向性的支路构成
流图中每一个节点都用一个节点变量表示，x(n) 称为 输入节点变量， y(n) 表示输出节点变量， w1(n), w2(n), 和 w’2(n) 也是节点变量。和每个节点连接的有输入支路和 输出支路，节点变量等于所有输入支路的输出之和。 节点变量和其他节点变量之间的关系用下式表示：
2
5.1 引言
及系统函数进行描述。 (1) 系统单位取样响应 (2) 传输函数 频率响应
H(ej)
第5章 时域离散系统的网络结构
一般时域离散系统或网络可以用差分方程、单位脉冲响应以
h(n)
H (e j ) DTFT [h(n)]
j n h ( n ) e
n
输出：
一个对输入x(n)的M阶延 时链结构，每节延时抽 头后加权相加，构成一 个横向结构网络。
5 时域离散系统的网络结构
误差， 误差，运算速度以及系统的 复杂程度和成本
表示方法： 表示方法：网络结构
5.2 用信号流图表示网络结构
1、数字信号处理中的三种基本算法： 数字信号处理中的三种基本算法：
y(n) = ∑ b x(n − i) + ∑ ai y(n − i) i
i =0 i= 1 M N
方框图表示法 延时单元 x(n) 加法单元 x1(n) z
1 2 3 4 信号流图 Z -1 Z -1
a1y(n −1) + a2y(n − 2)
6 5
无限长脉冲响应(IIR) (IIR)基本网络结构 5.3 无限长脉冲响应(IIR)基本网络结构 流图结构： 流图结构： 节点 -源节点 -吸收节点 -网络节点 支路 -输入支路
6 5 1 2 3 4 Z -1 Z -1
1 1−
∑
N
i =1
ai z − i
x(n)
H1(z) y1(n)
H2(z)
y(n)
x(n)
H1(z) y1(n)
H2(z)
2 ( z ) =
y(n)
1 1−
H 1( z) =
∑
M
i=0
bi z − i
H
∑
N
y1 (n) = ∑ bi x(n − i )
i =0
M
i =1
ai z −i
y (n) = y1 (n) + ∑ ai y (n − i )
Y(z) = ∑bi X (z) ⋅ z + ∑aa j(z(z) ⋅−z ,iH(z) = Y Y) ⋅ z j − ∑j i
−i i=0 j =1 i=1 M
N N
=
Y(z) H(z) = = X (z)
信号与系统课件--第五章 时域离散系统的基本网络结构
1
用网络结构表示具体的算法，网络结构实际表示的是一种 运算结构
§ 5.2 用信号流图表示网络结构
一、数字信号处理中有三种基本算法：乘法、加法和单 位延迟，如下：
结构框图 加法
x1 ( n ) x1 ( n ) x 2 ( n ) x2 (n )
信号流图
•
a
乘法
x1 ( n )
a
a x1 ( n )
形成一个二阶网络
H (z) H 1(z)H 2 (z) H k (z)
H j (z)
0 j 1 j z
11jz
1
1
2jz
2
2jz
2
式中 H j ( z ) 表示一个一阶或二阶的数字网络的系统函数， 采用直接型网络结构
x (n ) •
y (n ) • j0 •
一，直接型（卷积型,横截型） 由 H (z)
∴
N 1
h(n ) z
n
n 0
y (n)
N 1
k 0
h(k ) x(n k )
h ( 0 ) x ( n ) h (1) x ( n 1) ....
) n(x
)0( h
•
1
z
•
1
z
•
1
z •
•
•
)1( h
•
输出端的噪声功率最小。
缺点：调整零点不方便，当H ( z )有多阶极点时，部分
分式展开较麻烦
§5.4 有限长脉冲响应基本网络结构
FIR网络结构的特点：没有反馈支路，h(n)有限长度
H (z)
N 1
h(n ) z
试分别画出系统的直接型、级联型和并联型结构。式中x(n)和y
4
4
w3(n) y(n 1)
（1） （2） （3） （4）
第5章 时域离散系统的网络结构
每个方程进行Z变换，得：
X (z) sin 3 w3(z) cos 3 w2(z) w1(z)
4
4
w2(z) w1(z)z1
Y (z) sin 3 w2(z) cos 3 w3(z)
4
4
w3(z) Y (z)z1
x(n)
a
z-1
y(n)
系统函数为：
b
z-1
(d)
1
1
2 (a b)z1
H (z) 1 az1 1 bz1 1 (a b)z1 abz2
差分方程为：
y(n)＝(a b) y(n 1)- aby(n 2) 2x(n) (a b)x(n 1)
第5章 时域离散系统的网络结构
H(z) Y(z)
sin 3 4
X (z) (1 cos 3 z1 )(z cos 3 ) sin2 3 z1
4
4
4
sin 3
sin 3 z1
4
4
z 2 cos 3 z1 1 2 cos 3 z1 z2
4
4
差分方程为：
y(n) 2 cos 3 y(n 1) y(n 2) sin 3 x(n 1)
（1）（2）（3）联立可解得：
X (z) sin 3 Y (z)z1 (z cos 3 )w2(z)
4
4
（3）（4）联立可解得：
Y (z)(1 cos 3 z1 ) sin 3 w2(z)
4
4
（1） （2） （3） （4）
（5）
（6）
第5章 时域离散系统的网络结构
5.1-5.3时域离散系统的基本网络结构域状态变量分析法
对 H (z )实施以下部分分式展开：
M N
H ( z)
Bk z
k 0
k
k 1
L
Ak 1 zk z
1
k 1
P
0 k 1k z
1
1 2
1 a1k z a2 k z
可以写成：
H ( z ) H 1 ( z ) H 2 ( z ) .... H n ( z )
10
例5.3.1 设IIR数字滤波器的系统函数H(z)为
H (z) 8 4z 1 5 4 z
1
11 z 3 4 z2源自 2z 1 8 z3
1
2
3
画出该滤波器的直接型结构 解： 有H(z)写出差分方程如下： y(n)=5/4y(n-1)-3/4y(n-2)+1/8y(n-3) +8x(n)- 4x(n-1) +11x(n-2)-2x(n-3)
级联型
并联型
7
一、直接型
1、IIR数字滤波器的直接（I）型结构 采用信号流图所定义的符号，直接画出差分方程对 应系统的信号流图结构称为直接（I）型结构。
y ( n)
M=N
a
k 1
N
k
y ( n k ) bk x( n k )
k 0
M
8
2、IIR数字滤波器的直接（Ⅱ） 将“ IIR 数字滤波器的直接 （I）型结构”中的延时 单元 尽可能减少的一种流图结构，称为直接（Ⅱ ）型结构。 分母延时
1 z 1 0.4 z 1
由此得到级联型结构的流图
21
③ 将H(z)进行部分分式展开得：
H ( z ) 0.1 0.6 1 0.4 z
M N
H ( z)
Bk z
k 0
k
k 1
L
Ak 1 zk z
1
k 1
P
0 k 1k z
1
1 2
1 a1k z a2 k z
可以写成：
H ( z ) H 1 ( z ) H 2 ( z ) .... H n ( z )
10
例5.3.1 设IIR数字滤波器的系统函数H(z)为
H (z) 8 4z 1 5 4 z
1
11 z 3 4 z2源自 2z 1 8 z3
1
2
3
画出该滤波器的直接型结构 解： 有H(z)写出差分方程如下： y(n)=5/4y(n-1)-3/4y(n-2)+1/8y(n-3) +8x(n)- 4x(n-1) +11x(n-2)-2x(n-3)
级联型
并联型
7
一、直接型
1、IIR数字滤波器的直接（I）型结构 采用信号流图所定义的符号，直接画出差分方程对 应系统的信号流图结构称为直接（I）型结构。
y ( n)
M=N
a
k 1
N
k
y ( n k ) bk x( n k )
k 0
M
8
2、IIR数字滤波器的直接（Ⅱ） 将“ IIR 数字滤波器的直接 （I）型结构”中的延时 单元 尽可能减少的一种流图结构，称为直接（Ⅱ ）型结构。 分母延时
1 z 1 0.4 z 1
由此得到级联型结构的流图
21
③ 将H(z)进行部分分式展开得：
H ( z ) 0.1 0.6 1 0.4 z
第5章 时域离散系统的网络结构
有限长单位脉冲响应网络，简称FIR（Finite Impulse Response）网络，FIR网络中一般不存在
输出对输入的反馈支路，因此差分方程为：
y(n)
M
bi x(n i)
i0
单位脉冲响应
h(n) b0n
0nM 其它n
无限长单位脉冲响应网络，简称IIR（Infinite Impulse Response）网络。 IIR网络结构存在输出 对输入的反馈支路，这类网络的单位脉冲响应是无限
将每一部分用直接型结构实现，其并联型网络结构
24
5.4 有限长脉冲响应基本网络结构
FIR网络结构特点是没有反馈支路，即没 有环路，其单位脉冲响应是有限长的。
设单位脉冲响应h(n)长度为N，其系统函 数H(z)和差分方程分别为：
N 1
H (z) h(n)z n n0 N 1
Y (z) b2W1(z) b1W2 (z) b0W2 '(z)
经过联立求解得到：
H (z)
Y (z) X (z)
b0 b1z1 b2 z2 1 a1z1 a2z2
当结构比较复杂时，此方法较麻烦，不如用梅逊(Masson)公 式直接写出H(z)方便。
10
网络结构的分类
图5.2.2 信号流图
9
【例 5.2.1】求图 5.2.2(a)信号流图决定的系统函数H(z)。
解：图5.2.2(a)信号流图的节点变量方程为式(5.2.1),对其 进行z变换，得：
W1 ( z ) W2 (z)
W2 (z)z1 W2 '(z)z1
W2 '(z) X (z) a1W2 (z) a2W1(z)
数字信号处理 第五章 时域离散系统的基本网络结构与状态变量分析法
448
画出该滤波器的直接型结构。
解：由H (z)写出差分方程：
y(n) 5 y(n 1) 3 y(n 2) 1 y(n 3) 8x(n) 4x(n 1)
4
4
8
11x(n 2) 2x(n 3)
H (z) 8 4z1 11z2 2z3 1 5 z1 3 z2 1 z3 448
(二) 级联型结构
M
(1 cr z1)
H (z)
A
r0 N
(1 dr z1)
r 1
H j(z)
0 j 1 j z1 1 1 j z1 2 j z2 1 1 j z1 2 j z2
H (z)
L
A
j 1
0 j 1 j z1 1 1 j z1
L j 1
i0
i1
系统函数H (z)为
M
H (z)
Y (z) X (z)
bi zi
i0 N 1 ai zi
i1
H1(
z)
1
0.8z
1 1
0.15z
2
H2(z)
1
1.5 0.3z1
1
2.5 0.5 z 1
H3(z)
1
1 0.3 z 1
1
1 0.5 z 1
H1(z) H2(z) H3(z)
end
§5.2 用信号流图表示网络结构
y(n)
直接II型结构
M
bi zi
H(z)
i0 N
1 ai zi
i1
x(n)
b0
y(n)
a1
z1 b1
a2
z 1 b2
z 1
aN z1 bN
优缺点：
时间离散系统网络结构
8
IIR数字网络的特点：
M
N
差分方程： y(n) bi x(n i) ak y(n k)
i0
k 1
M
bi Z i
系统函数： H (z)
i0 N
h(n) Z n
1 ak Z k n0
k 1
1.单位脉冲响应h(n)为无限长（存在无限多个n，使h(n)不为零）
2.存在输出到输入的反馈，即信号流图中含有环路
N 1
H (z) h(n)zn
n0 N 1
y(n) h(m)x(n m)
m0
按照系统函数或者差分方程直接画出它的 结构图如图所示。
23
2 FIR级联型网络结构 将系统函数因式分解，如果有虚根可以将共轭成对 的根放在一起，形成具有实系数的二阶网络。
例 5.4.1 设FIR网络系统函数如下式： H(z)=0.96+2z-1+2.8z-2+1.5z-3 画出它的直接型结构和级联型结构图。
2
如果系统输入和输出服从N阶差分方程：
M
N
y(n) bi x(n i) ak y(n k)
i0
k 1
则系统函数H(z)用下式表示：
M
H (z)
Y (z) X (z)
bi zi
i0
N
1 ak zk
k 1
基本运算：加法，乘法（乘以常数），移位（时延）
3
两种图形表示方法介绍(方框图，信号流图)： 加法：
2.流图中可能出现由某个节点出发，经过一定的路径后又回 到该出发节点的路径，这样的首尾相连的通路称为环路。
环路增益等于：环路上所有增益的乘积。
3.从输入节点x(n)到输出节点y(n)的路径，称为前向通路 （前向通路可能有多条，前向通路中不能包含环路）。 某条前向通路增益等于：该通路上所有增益的乘积。
IIR数字网络的特点：
M
N
差分方程： y(n) bi x(n i) ak y(n k)
i0
k 1
M
bi Z i
系统函数： H (z)
i0 N
h(n) Z n
1 ak Z k n0
k 1
1.单位脉冲响应h(n)为无限长（存在无限多个n，使h(n)不为零）
2.存在输出到输入的反馈，即信号流图中含有环路
N 1
H (z) h(n)zn
n0 N 1
y(n) h(m)x(n m)
m0
按照系统函数或者差分方程直接画出它的 结构图如图所示。
23
2 FIR级联型网络结构 将系统函数因式分解，如果有虚根可以将共轭成对 的根放在一起，形成具有实系数的二阶网络。
例 5.4.1 设FIR网络系统函数如下式： H(z)=0.96+2z-1+2.8z-2+1.5z-3 画出它的直接型结构和级联型结构图。
2
如果系统输入和输出服从N阶差分方程：
M
N
y(n) bi x(n i) ak y(n k)
i0
k 1
则系统函数H(z)用下式表示：
M
H (z)
Y (z) X (z)
bi zi
i0
N
1 ak zk
k 1
基本运算：加法，乘法（乘以常数），移位（时延）
3
两种图形表示方法介绍(方框图，信号流图)： 加法：
2.流图中可能出现由某个节点出发，经过一定的路径后又回 到该出发节点的路径，这样的首尾相连的通路称为环路。
环路增益等于：环路上所有增益的乘积。
3.从输入节点x(n)到输出节点y(n)的路径，称为前向通路 （前向通路可能有多条，前向通路中不能包含环路）。 某条前向通路增益等于：该通路上所有增益的乘积。
丁玉美《数字信号处理》笔记和课后习题(时域离散系统的网络结构)
图 5-10 FIR 滤波器频域采样结构
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三、FIR 系统的基本网络结构 FIR 网络结构特点是没有反馈支路，其单位脉冲响应是有限长的。设单位脉冲响应 h（n） 长度为 N，其系统函数 H（z）和差分方程分别为：
1．直接型 按照 H（z）或者卷积公式直接画出的结构图，称为直接型网络结构或者称为卷积型结 构。
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图 5-2 信号流图 3．网络结构分类 一般将网络结构分成两类，一类称为有限长单位脉冲响应网络，简称 FIR 网络，另一类 称为无限长单位脉冲响应网络，简称 IIR 网络。 （1）FIR 网络中一般丌存在输出对输入的反馈支路，因此，差分方程用下式描述： 单位脉冲响应 h（n）是有限长的，表示为： （2）IIR 网络结构存在输出对输入的反馈支路，信号流图中存在反馈环路。这类网络 的单位脉冲响应是无限长的。
3．并联型 （1）系统函数和流图形式 ①将级联形式的 H（z）展成部分分式形式，则得到：
对应的网络结构为这 k 个子系统并联。Hi（z）通常为一阶网络或二阶网络，网络系数 均为实数。二阶网络的系统函数一般为：
式中，β0j、β1j、α1i 和 α2i 都是实数。如果 β1j＝α2i＝0，则构成一阶网络。
图 5-3 IIR 网络直接型结构 2．级联型 （1）系统函数和流图形式 ①将直接型表达式中分子、分母多项式分别迚行因式分解得到：
上式中，A 是常数，cr 和 dr 分别表示 H（z）的零点和极点。cr 和 dr 是实数或者是共轭
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三、FIR 系统的基本网络结构 FIR 网络结构特点是没有反馈支路，其单位脉冲响应是有限长的。设单位脉冲响应 h（n） 长度为 N，其系统函数 H（z）和差分方程分别为：
1．直接型 按照 H（z）或者卷积公式直接画出的结构图，称为直接型网络结构或者称为卷积型结 构。
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图 5-2 信号流图 3．网络结构分类 一般将网络结构分成两类，一类称为有限长单位脉冲响应网络，简称 FIR 网络，另一类 称为无限长单位脉冲响应网络，简称 IIR 网络。 （1）FIR 网络中一般丌存在输出对输入的反馈支路，因此，差分方程用下式描述： 单位脉冲响应 h（n）是有限长的，表示为： （2）IIR 网络结构存在输出对输入的反馈支路，信号流图中存在反馈环路。这类网络 的单位脉冲响应是无限长的。
3．并联型 （1）系统函数和流图形式 ①将级联形式的 H（z）展成部分分式形式，则得到：
对应的网络结构为这 k 个子系统并联。Hi（z）通常为一阶网络或二阶网络，网络系数 均为实数。二阶网络的系统函数一般为：
式中，β0j、β1j、α1i 和 α2i 都是实数。如果 β1j＝α2i＝0，则构成一阶网络。
图 5-3 IIR 网络直接型结构 2．级联型 （1）系统函数和流图形式 ①将直接型表达式中分子、分母多项式分别迚行因式分解得到：
上式中，A 是常数，cr 和 dr 分别表示 H（z）的零点和极点。cr 和 dr 是实数或者是共轭
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课后习题及答案_第5章 时域离散系统的网络结构--习题
第4章 时域离散系统的网络结构习题1. 已知系统用下面差分方程描述:)1(31)()2(81)1(43)(−+−−n x n x n y n y n y ＋－＝试分别画出系统的直接型、 级联型和并联型结构。
式中x (n )和y (n )分别表示系统的输入和输出信号。
2． 设数字滤波器的差分方程为)2(41)1(31)1()()(−+−+−+=n y n y n x n x n y试画出系统的直接型结构。
3. 设系统的差分方程为y (n )=(a +b )y (n －1)－aby (n －2)+x (n －2)+(a +b )x (n －1)+ab式中, |a |<1， |b |<1, x (n )和y (n )分别表示系统的输入和输出信号, 试画出系统的直接型和级联型结构。
4. 设系统的系统函数为)81.09.01)(5.01()414.11)(1(4)(211211−−−−−−++−+−+=z z z z z z z H试画出各种可能的级联型结构， 并指出哪一种最好。
5． 题 5图中画出了四个系统， 试用各子系统的单位脉冲响应分别表示各总系统的单位脉冲响应， 并求其总系统函数。
题 5图6． 题6图中画出了10种不同的流图， 试分别写出它们的系统函数及差分方程。
题6图7. 假设滤波器的单位脉冲响应为h (n )=a n u (n ) 0＜a ＜1求出滤波器的系统函数， 并画出它的直接型结构。
8. 已知系统的单位脉冲响应为h (n )=δ(n )+2δ(n －1)+0.3δ(n －2)+2.5δ(n －3)+0.5δ(n －5)试写出系统的系统函数， 并画出它的直接型结构。
9. 已知FIR 滤波器的系统函数为)9.01.29.01(101)(4321−−−−++++=z z z z z H试画出该滤波器的直接型结构和线性相位结构。
10． 已知FIR 滤波器的单位脉冲响应为:(1) N=6h(0)=h(5)=15h(1)=h(4)=2h(2)=h(3)=3(2) N=7h(0)=h(6)=3h(1)=－h(5)=－2h(2)=－h(4)=1h(3)=0试画出它们的线性相位型结构图，并分别说明它们的幅度特性、相位特性各有什么特点。
数字信号处理第五章 时域离散系统的网络结构
i 0 i 1
M
N
b0
w(n)
z-1
y(n)
z-1 bM-1
z-1 -aN-1
z-1
bM -aN
z-1
共需(N+M)级延时单元
先对调：
x(n) b0 Z-1 b1 Z-1 Z-1 b2 bM -a1 -a2 -a N-1 -aN 第一部分 对调 y(n) Z-1 对调 Z-1 Z-1 Z-1 x(n) -a1 -a2 -a N-1 -aN Z-1 Z-1 Z-1 b0 Z-1 b1 Z-1 b2 Z-1 bM y(n)
i 0 i 1
M
N
Y ( z) H ( z) X ( z)
b z
i
M
i
1 ai z i
i 1
i 0 N
若给定一个差分方程，不同的算法有很多，例如 对于差分方程：
y(n) 0.8y(n 1) 0.15y(n 2) x(n)
1 H 1 (z ) 1 0.8z 1 0.15z 2 1.5 2.5 H 2 (z ) 1 1 0.3z 1 0.5z 1 1 1 H 3 (z ) 1 1 0.3z 1 0.5z 1
直接型结构特点：
(1) 有反馈的N阶延时网络实现极点； 横向结构M节延时网络实现零点。
b0 -a1 Z b1 -a2Z-1 b2
-1
y(n
(2) 实现N阶滤波器（一般N>=M)只需N级 -a N-1 - bM Z 1 延时单元,所需延时单元最少。 Z-1 (3) 系数ai,bi不是直接决定单个零极点， -aN 因而不能很好地进行滤波器性能控制。 (4) 直接型实现的滤波器零极点调节不便 M ,容易出现不稳定现象 i
M
N
b0
w(n)
z-1
y(n)
z-1 bM-1
z-1 -aN-1
z-1
bM -aN
z-1
共需(N+M)级延时单元
先对调：
x(n) b0 Z-1 b1 Z-1 Z-1 b2 bM -a1 -a2 -a N-1 -aN 第一部分 对调 y(n) Z-1 对调 Z-1 Z-1 Z-1 x(n) -a1 -a2 -a N-1 -aN Z-1 Z-1 Z-1 b0 Z-1 b1 Z-1 b2 Z-1 bM y(n)
i 0 i 1
M
N
Y ( z) H ( z) X ( z)
b z
i
M
i
1 ai z i
i 1
i 0 N
若给定一个差分方程，不同的算法有很多，例如 对于差分方程：
y(n) 0.8y(n 1) 0.15y(n 2) x(n)
1 H 1 (z ) 1 0.8z 1 0.15z 2 1.5 2.5 H 2 (z ) 1 1 0.3z 1 0.5z 1 1 1 H 3 (z ) 1 1 0.3z 1 0.5z 1
直接型结构特点：
(1) 有反馈的N阶延时网络实现极点； 横向结构M节延时网络实现零点。
b0 -a1 Z b1 -a2Z-1 b2
-1
y(n
(2) 实现N阶滤波器（一般N>=M)只需N级 -a N-1 - bM Z 1 延时单元,所需延时单元最少。 Z-1 (3) 系数ai,bi不是直接决定单个零极点， -aN 因而不能很好地进行滤波器性能控制。 (4) 直接型实现的滤波器零极点调节不便 M ,容易出现不稳定现象 i
第5章时域离散系统的基本网络结构
第五章 时域离散系统的基本网络结构§ 引言一个时域离散系统或网络的表示方法有三种： 1． 差分方程 2．∑∑==---=Ni i M i i i n y a i n x b n y 1)()()( 系统函数3． ∑∑=-=-+==N i ii Mi ii za zb z X z Y z H 101)()()( 单位脉冲响应)]([)(1z H ZT n h -=上述三种表示方法实际上是一致的，在实际中，我们经常采用一种信号流图来表示一个系统，这种流图直观地反映了在实现该系统时具体的算法，如延迟单元，加法和乘法等一些基本运算单元，构成了系统转移函数实现的功能，我们称这种流图为网络结构。
网络结构实际表示的是一种运算结构。
§ 用信号流图表示网络结构一．基本运算单元的流图表示数字信号处理中有三种基本算法，即乘法、加法和单位延迟。
三种基本运算用流图表示如图所示。
(x x )(n x (n x )1)1(-n x )n )(ax 2)(2n x x (1x )(2n x +)()2n x +1-z图 三种基本运算的流图表示说明：1．1-z 与系数a 作为支路增益写在支路箭头旁边，如果箭头旁边没有标明增益符号，则认为支路增益是1。
2．箭头表示信号流动方向。
3．两个变量相加，用一个圆点表示，称为网络节点。
4．每个节点处的信号称节点变量，节点变量等于所有输入支路之和。
二．基本信号流图不同的信号流图代表不同的运算方法，而对于同一个系统函数可以有很多种信号流图与之相对应。
从基本运算考虑，满足以下条件，称为基本信号流图(Primitive Signal Flow Graghs)。
（1）信号流图中所有支路都是基本的，即支路增益是常数或者是1-z ； （2）流图环路中必须存在延迟支路； (3)节点和支路的数目是有限的。
例1：根据下图的网络结构，写出该系统的传输函数。
2a -)(n y )(z H )(n )(n y )(a )(b (a)基本信号流图； (b)非基本信号流图图6.1.2 信号流图⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=--=-=-=)n (w b )n (w b )n (w b )n (y )n (w a )n (w a )n (x )n (w )n (w )n (w )n (w )n (w '''20211212212222111 （）对式进行Z 变换，得到：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=--===--)z (W b )z (W b )z (W b )z (Y )z (W a )z (W a )z (X )z (W z )z (W )z (W z )z (W )z (W '''20211212212122121经过联立求解得到：2211221101----++++==z a z a z b z b b )z (X )z (Y )z (H图是基本信号流图，图中有两个环路，环路增益分别为11--z a 和22--za ，且环路中都有延时支路，而图不是基本信号流图，它不能决定一种具体的算法，不满足基本信号流图的条件。
数字信号处理时域离散系统的基本网络结构与状态变量分析法培训课件
给定一种差分方程，不同旳算法有诸多种，例如：
H1
(
z
)
1
0.8
z
1 1
0.15z
2
H2(z)
1.5 1 0.3z1
1
2.5 0.5z 1
H3
(
z)
1
1 0.3z
1
1
1 0.5z 1
第5章 时域离散系统的基本网络 结构与状态变量分析法
5.2 用信号流图表达网络构造
观察(5.1.1)式，数字信号处理中有三种基本算法， 即乘法、加法和单位延迟，三种基本运算用流图表达 如图5.2.1所示。
将每一部分用直接型构造实现，其并联型网络结
构如图5.3.5所示。
第5章 时域离散系统的基本网络 结构与状态变量分析法
x(n)
16
y(n)
0.5 － 0.5
8 z－ 1
－ 16 z－ 1
20 z－ 1
图5.3.5 例5.3.3图
第5章 时域离散系统的基本网络 结构与状态变量分析法
5.4 有限长脉冲响应基本网络构造
第5章 时域离散系统的基本网络 结构与状态变量分析法
5.3 无限长脉冲响应基本网络构造
1.直接型
对N阶差分方程重写如下：
M
N
y(n) bi x(n i) ai y(n i)
i0
i 1
（a ） （b ） （c ）
第5章 时域离散系统的基本网络 结构与状态变量分析法
x(n) x(n－ 1) x(n－ 2)
x(n)
b0 z－ 1
b1 z－ 1
b2
H1(z) w1
a1 z－ 1
a2 z－ 1
a1 z－ 1 a2 z－ 1
H1
(
z
)
1
0.8
z
1 1
0.15z
2
H2(z)
1.5 1 0.3z1
1
2.5 0.5z 1
H3
(
z)
1
1 0.3z
1
1
1 0.5z 1
第5章 时域离散系统的基本网络 结构与状态变量分析法
5.2 用信号流图表达网络构造
观察(5.1.1)式，数字信号处理中有三种基本算法， 即乘法、加法和单位延迟，三种基本运算用流图表达 如图5.2.1所示。
将每一部分用直接型构造实现，其并联型网络结
构如图5.3.5所示。
第5章 时域离散系统的基本网络 结构与状态变量分析法
x(n)
16
y(n)
0.5 － 0.5
8 z－ 1
－ 16 z－ 1
20 z－ 1
图5.3.5 例5.3.3图
第5章 时域离散系统的基本网络 结构与状态变量分析法
5.4 有限长脉冲响应基本网络构造
第5章 时域离散系统的基本网络 结构与状态变量分析法
5.3 无限长脉冲响应基本网络构造
1.直接型
对N阶差分方程重写如下：
M
N
y(n) bi x(n i) ai y(n i)
i0
i 1
（a ） （b ） （c ）
第5章 时域离散系统的基本网络 结构与状态变量分析法
x(n) x(n－ 1) x(n－ 2)
x(n)
b0 z－ 1
b1 z－ 1
b2
H1(z) w1
a1 z－ 1
a2 z－ 1
a1 z－ 1 a2 z－ 1
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1.系统的单位脉冲响应h(n)有限长（只存在有限多个n，使h(n)不为零） 2.不存在输出到输入的反馈，即信号流图中不含有环路，系统函数H(z)的分母 多项式等于1，系统只有一个极点 Z=0，为 M阶极点。 3.无论差分方程的系数取任何有效的值，系统都是因果稳定的。 4.单位脉冲响应的值等于差分方程系数： h(n)=bn n=0,1,·····,M 5.基本网络结构有四种：直接型，级联型，线性相位型，频率采样型
2
如果系统输入和输出服从N阶差分方程：
M
N
y(n) bi x(n i) ak y(n k)
i0
k 1
则系统函数H(z)用下式表示：
M
H (z)
Y (z) X (z)
bi z i
i0
N
1 ak zk
k 1
基本运算：加法，乘法（乘以常数），移位（时延）
3
两种图形表示方法介绍(方框图，信号流图)： 加法：
i
L'i L'j 表示流图中两两互不接触的环路的环路增益之乘积
i, j
L'i' L''j L'k' 表示流图中三个互不接触的环路的环路增益之乘积
i, j,k
Tk
表示流图中从输入节点到输出节点的第k条前向通路的增益
k 表示流图中与第k条前向通路不接触的流图特征式，它是除去
与k 条前向通路相接触的环路外，余下子图的特征式。
w1(n) = x(n)+aw3(n) w2(n) = w1(n) w3(n) = w2(n-1) w4(n) = b0w2(n)+b1w3(n)
y(n) = w4(n)
1.输入x(n) 称为输入节点变量，y(n)表示输出节点变 量，w1(n), w2(n), w3(n)和w4(n)也是节点变量。这些 节点变量和其他节点变量之间的关系可以表示为：
5
二者的相 互转换
实际系统的描述
信号流图
系统的数学描述
系统函数H(z)
6
按照梅森公式, 系统函数公式为
Tk k
H(z) k
式中，Δ称为流图特征式，其计算公式如下：
1 Li L'i L'j L'i' L''j L'k' ...
i
i, j
i, j,k
Li 表示流图中出现的所有环路的环路增益
2
2
y(n) bi x(n i) ak y(n k)
i0
k 1
11
将H1(z)和H2(z)交换次序， 得到H(z)=H2(z)H1(z) 。 另外, 节点变量w1等于节点变量w2，即w1=w2 ，同时, 前后两部分经过延时, 对应的节点变量 也相等，可以将前。
2.流图中可能出现由某个节点出发，经过一定的路径后又回 到该出发节点的路径，这样的首尾相连的通路称为环路。
环路增益等于：环路上所有增益的乘积。
3.从输入节点x(n)到输出节点y(n)的路径，称为前向通路 （前向通路可能有多条，前向通路中不能包含环路）。 某条前向通路增益等于：该通路上所有增益的乘积。
12
例 5.3.1 已 知 系 统 用 下 面 差 分 方 程 描 述 ： y(n)=0.9y(n-1)+0.8y(n-2)+x(n)-1.4x(n-1) 试画出它的直接型网络结构。 先画反馈部分，即0.9y(n-1)+0.8y(n-2); 再画前向通路部分，这里的延时支路要和反馈环路的 延时支路共用，这样就得到最后的流图。
13
例5.3.1 设IIR数字滤波器的系统函数H(z)为
H
(
z)
8 4 z1 1 5 z1
11z 2 3 z2
2 z 3 1 z3
448
试画出该滤波器的直接型网络结构。
解： 根据系统函数表达式可见，流图含有四个前
向通路和三个反馈环路（相互有接触），前向通 路和反馈环路公用延时支路
由系统函数画信号流图，注意环路增益
举例：用梅森公式写出下面系统的系统函数H(z)
b0 b1
x(n)
w′
z－1 w
z－1 w
2
2
1
y(n)
－a1
b2
－a2
FIR数字网络的特点：
差分方程：
M
y(n) b0x(n) b1x(n 1) b2x(n 2) bM x(n M ) h(k) x(n k) k 0
M
系统函数： H (z) h(n) Z n b0 b1Z 1 b2Z 2 bM Z M n0
9
IIR数字网络的特点：
M
N
差分方程： y(n) bi x(n i) ak y(n k)
i0
k 1
M
bi Z i
系统函数： H (z)
i0 N
h(n) Z n
1 ak Z k n0
k 1
1.单位脉冲响应h(n)为无限长（存在无限多个n，使h(n)不为零）
2.存在输出到输入的反馈，即信号流图中含有环路
3.有N个极点和M个零点。为了保持系统稳定，所有极点应在单位 圆内
4.基本网络结构有三种：直接型，级联型，并联型.
10
5.3 无限长脉冲响应（IIR）的基本网络结构
1 直接型网络结构
将N阶差分方程重写如下：
M
N
y(n) bi x(n i) ak y(n k)
i0
k 1
为简单起见, 假设M=N=2，差分方程为
14
2 级联型网络结构
将系统函数分子分母分别因式分解，分解成简单的一 阶或者二阶的形式，这些简单分式用直接型结构实现 ，然后级联形成级联型结构的系统
数乘：
移位：
信号流图由基本支路构成，基本支路的表示方法： 1.基本支路箭头表示信号流向，两个圆点表示输入输出节点，箭头旁边的符号 表示增益（缺省为1）。 2.输出节点变量等于输入节点变量乘以增益，增益等于z-1 表示移位。 3.输出节点对应多个输入支路时，输出节点变量等于所有输入节点变量之和。
4
认识信号流图
第五章 时域离散系统的基本网络结构
作业：9
1
本章思路
时域离散系统或者网络一般可以用三种描述方法： 差分方程 单位脉冲响应h(n) 系统函数H(z) 但是要用计算机对输入的时域离散序列进行处理，必须要体 现为一种算法。同一个离散时间系统可能有很多不同的算法 来实现，这些算法就表现为系统的不同结构。网络结构的不 同对运算速度、误差、成本等都有很大影响 1.网络结构的表示方法－－信号流图 2.无限脉冲响应（IIR）基本网络结构 3.有限脉冲响应（FIR）基本网络结构 4.线性相位结构 5.频率采样型结构
2
如果系统输入和输出服从N阶差分方程：
M
N
y(n) bi x(n i) ak y(n k)
i0
k 1
则系统函数H(z)用下式表示：
M
H (z)
Y (z) X (z)
bi z i
i0
N
1 ak zk
k 1
基本运算：加法，乘法（乘以常数），移位（时延）
3
两种图形表示方法介绍(方框图，信号流图)： 加法：
i
L'i L'j 表示流图中两两互不接触的环路的环路增益之乘积
i, j
L'i' L''j L'k' 表示流图中三个互不接触的环路的环路增益之乘积
i, j,k
Tk
表示流图中从输入节点到输出节点的第k条前向通路的增益
k 表示流图中与第k条前向通路不接触的流图特征式，它是除去
与k 条前向通路相接触的环路外，余下子图的特征式。
w1(n) = x(n)+aw3(n) w2(n) = w1(n) w3(n) = w2(n-1) w4(n) = b0w2(n)+b1w3(n)
y(n) = w4(n)
1.输入x(n) 称为输入节点变量，y(n)表示输出节点变 量，w1(n), w2(n), w3(n)和w4(n)也是节点变量。这些 节点变量和其他节点变量之间的关系可以表示为：
5
二者的相 互转换
实际系统的描述
信号流图
系统的数学描述
系统函数H(z)
6
按照梅森公式, 系统函数公式为
Tk k
H(z) k
式中，Δ称为流图特征式，其计算公式如下：
1 Li L'i L'j L'i' L''j L'k' ...
i
i, j
i, j,k
Li 表示流图中出现的所有环路的环路增益
2
2
y(n) bi x(n i) ak y(n k)
i0
k 1
11
将H1(z)和H2(z)交换次序， 得到H(z)=H2(z)H1(z) 。 另外, 节点变量w1等于节点变量w2，即w1=w2 ，同时, 前后两部分经过延时, 对应的节点变量 也相等，可以将前。
2.流图中可能出现由某个节点出发，经过一定的路径后又回 到该出发节点的路径，这样的首尾相连的通路称为环路。
环路增益等于：环路上所有增益的乘积。
3.从输入节点x(n)到输出节点y(n)的路径，称为前向通路 （前向通路可能有多条，前向通路中不能包含环路）。 某条前向通路增益等于：该通路上所有增益的乘积。
12
例 5.3.1 已 知 系 统 用 下 面 差 分 方 程 描 述 ： y(n)=0.9y(n-1)+0.8y(n-2)+x(n)-1.4x(n-1) 试画出它的直接型网络结构。 先画反馈部分，即0.9y(n-1)+0.8y(n-2); 再画前向通路部分，这里的延时支路要和反馈环路的 延时支路共用，这样就得到最后的流图。
13
例5.3.1 设IIR数字滤波器的系统函数H(z)为
H
(
z)
8 4 z1 1 5 z1
11z 2 3 z2
2 z 3 1 z3
448
试画出该滤波器的直接型网络结构。
解： 根据系统函数表达式可见，流图含有四个前
向通路和三个反馈环路（相互有接触），前向通 路和反馈环路公用延时支路
由系统函数画信号流图，注意环路增益
举例：用梅森公式写出下面系统的系统函数H(z)
b0 b1
x(n)
w′
z－1 w
z－1 w
2
2
1
y(n)
－a1
b2
－a2
FIR数字网络的特点：
差分方程：
M
y(n) b0x(n) b1x(n 1) b2x(n 2) bM x(n M ) h(k) x(n k) k 0
M
系统函数： H (z) h(n) Z n b0 b1Z 1 b2Z 2 bM Z M n0
9
IIR数字网络的特点：
M
N
差分方程： y(n) bi x(n i) ak y(n k)
i0
k 1
M
bi Z i
系统函数： H (z)
i0 N
h(n) Z n
1 ak Z k n0
k 1
1.单位脉冲响应h(n)为无限长（存在无限多个n，使h(n)不为零）
2.存在输出到输入的反馈，即信号流图中含有环路
3.有N个极点和M个零点。为了保持系统稳定，所有极点应在单位 圆内
4.基本网络结构有三种：直接型，级联型，并联型.
10
5.3 无限长脉冲响应（IIR）的基本网络结构
1 直接型网络结构
将N阶差分方程重写如下：
M
N
y(n) bi x(n i) ak y(n k)
i0
k 1
为简单起见, 假设M=N=2，差分方程为
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2 级联型网络结构
将系统函数分子分母分别因式分解，分解成简单的一 阶或者二阶的形式，这些简单分式用直接型结构实现 ，然后级联形成级联型结构的系统
数乘：
移位：
信号流图由基本支路构成，基本支路的表示方法： 1.基本支路箭头表示信号流向，两个圆点表示输入输出节点，箭头旁边的符号 表示增益（缺省为1）。 2.输出节点变量等于输入节点变量乘以增益，增益等于z-1 表示移位。 3.输出节点对应多个输入支路时，输出节点变量等于所有输入节点变量之和。
4
认识信号流图
第五章 时域离散系统的基本网络结构
作业：9
1
本章思路
时域离散系统或者网络一般可以用三种描述方法： 差分方程 单位脉冲响应h(n) 系统函数H(z) 但是要用计算机对输入的时域离散序列进行处理，必须要体 现为一种算法。同一个离散时间系统可能有很多不同的算法 来实现，这些算法就表现为系统的不同结构。网络结构的不 同对运算速度、误差、成本等都有很大影响 1.网络结构的表示方法－－信号流图 2.无限脉冲响应（IIR）基本网络结构 3.有限脉冲响应（FIR）基本网络结构 4.线性相位结构 5.频率采样型结构