立体几何线线垂直专题史上最全

立体几何垂直总结

1线线垂直的判断：

线面垂直的定义：若一直线垂直于一平面，这条直线垂直于平面内所有直线 补充：一条直线和两条平行直线中的一条垂直，也必垂直平行线中的另一条 2、 线面垂直的判断：

（1） 如果一直线和平面内的两相交直线垂直，这条直线就垂直于这个平面。 （2） 如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面。 （3） —直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面。 （4） 如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面

3、 面面垂直的判断：

一个平面经过另一个平面的垂线，这两个平面互相垂直。 证明线线垂直的常用方法：

例1、（等腰三角形三线合一）如图，已知空间四边形ABCD 中，BC AC,AD BD ，E 是AB 例2、（菱形的对角线互相垂直、等腰三角形三线合一）已知四棱锥 P ABCD 的底面是菱 形.PB

PD ， E 为PA 的中点.（I ）求证：PC //平面BDE ; （H ）求证：平面 PAC 平

面 BDE .

证明：（1）

BC AC

CE AB 同理,

AD AE BD

BE

DE AB

AE BE

又

•••

CE DE E ••• AB 平面 CDE

(2) 由 (1)有 AB

平面 CDE

又••• AB 平面

ABC ，

•••平面 CDE 平面 ABC

的中点。求证：（1）AB 平面CDE;（2）平面CDE 平面ABC 。 C

A B

例3、（线线、线面垂直相互转化）已知ABC中ACB 90°,SA 面ABC,AD SC,求证：AD 面SBC .

证明：：ACB 90 °BC AC

又SA 面ABC SA BC BC 面SAC

BC AD 又SC AD,

SC BC C AD面SBC

例4、（直径所对的圆周角为直角）如图2所示，已知PA垂直于圆O在平面，AB是圆O的直径，C是圆O的圆周上异于A、B的任意一点，且PA AC ,点E是线段PC的中点.求证：

AE 平面PBC .

证明：••• PA eO所在平面，BC是eO的弦，二BC PA.

又••• AB是eO的直径，ACB是直径所对的圆周角，

••• BC AC .

v PAI AC A, PA 平面PAC，AC 平面PAC .

••• BC 平面PAC，AE 平面PAC，二AE BC .

v PA AC，点E是线段PC的中点.二AE PC .

v PCI BC C, PC 平面PBC，BC 平面PBC .

••• AE 平面PBC .

例5、（证明所成角为直角）在如图所示的几何体中，四边形 /

DAB= 60°, AE丄BD，CB= CD = CF.求证：BD 丄平面

AED;

证明因为四边形ABCD是等腰梯形，AB / CD，/ DAB = 60°，

所以/ ADC = / BCD = 120°.

又CB = CD，所以/ CDB = 30°,

因此/ ADB = 90°，即AD 丄BD.

又AE 丄BD，且AE G AD = A，AE，AD?平面AED，

ABCD是等腰梯形，AB // CD，

所以BD丄平面AED.

例6 （勾股定理的逆定理）如图 7-7-5所示，已知直三棱柱 ABC —A 1B 1C 1 中，△ ABC 为等

腰直角三角形，/ BAC = 90°且AB = AA i , D 、E 、F 分别为B i A 、C 1C 、BC 的中点. 求证：（1）DE //平面 ABC ; （2）B i F 丄平面 AEF.

例7、（三垂线定理）证明：在正方体 ABCD — A i B i C i D i 中，A i C 丄 平面BC i D

证明：连结AC

••• BD 丄AC AC 为A i C 在平面AC 上的射影 BD A i C 厂

A i C 平面BC i D

同理可证A C BC 练习；

i 、 如图在三棱锥 P — ABC 中，AB = AC ，D 为BC 的中点，PO 丄平面ABC ，垂足O 落在线

段AD 上.证明：AP I BC ;

D i

C i

C

B

1

2、直三棱柱ABC —A1B1C1中，AC= BC= Q AA I, D是棱AA的中点，DC i丄BD.证明：DC i丄BC。

3. 如图，平行四边形ABCD中，/ DAB = 60° AB = 2, AD = 4•将△ CBD沿BD折起到△ EBD 的位置，使平面EBD丄平面ABD.(1)求证：AB丄DE; (2)求三棱锥EABD的侧面积.

4、在正三棱柱ABC A1B1C1中，若AB=2 , AA11，求点A到平面A1BC的距离。

5、如图所示，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PA垂直于底面，E、F分别

是AB、PC的中点，PA= AD.

求证：(1)CD丄PD;

(2) EF丄平面PCD.

6、如图7-5-9(1)，在Rt A ABC中，/ C = 90°, D, E分别为AC, AB的中点，点F为线段CD上的一点，将△ ADE沿DE折起到△ A i DE的位置，使A i F丄CD，如图⑵.

(1)求证：DE//平面A i CB.

⑵求证：A i F丄BE.

⑶线段A i B上是否存在点Q,使A i C丄平面DEQ?说明理由.