范里安《微观经济学(高级教程)》课后习题详解(成本最小化)

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第 4 章 成本最小化
1．严格证明利润最大化意味着成本最小化。 Prove rigorously that profit maximization implies cost minimization.
证明：令 x* 为价格 p, w 下利润最大化的一个投入向量。这意味着，对于所有可允许的
y
x1b
x 1b 2
。该技术的成本函数是什么？
A firm has two plants. One plant produces output according to the production
function
x1a x21a .The other plant has a production function
是什么？该技术的成本函数是什么？对什么样的要素价格，成本函数是丌可微的？
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Suppose that the firm has two possible activities to produce output. Activity a uses a1 units of good 1 and a2 units of good 2 to produce 1 unit of output. Activity b uses b1 units of good 1 and b2 units of good 2 to produce 1 unit of output. Factors can only be used in these fixed proportions. If the factor prices are
f x* wj x j
这个丌等式意味着用 xj 代替 xi 时，可以降低成本，然而由于企业已经用完了它可以得 到的 xj 的所有数量，所以继续降低成本是丌可能的。
3．一个厂商有两个车间，它们各自的成本函数为 C1 y1 y12 / 2 和 C2 y2 y2 。该厂商
的成本函数是什么？
A firm has two plants with cost functions C1 y1 y12 / 2 and C2 y2 y2 .What is
x ， x* 必须满足
pf x* wx* pf x wx 。 假设对于产出 f x* ， x* 没有使成本最小化，即存在一个向量 x** 满足 f x** f x* 不
w x** x* 0 ，因而在 x** 下所取得的利润必须大于在 x* 下所取得的利润： pf x** wx** pf x* wx** pf x* wx*
aw2
a
w1
a
y
将要素需求函数代入到目标函数中：
c w1, , w2 , y w1, x1 w1, , w2 , y w2, x2 w1, , w2 , y
w1,
y
1
aw2
a
w1
1a
w2
y
1
aw2
a
w1
a
w2 1 a
1
aw2
a
w1
a
y
Ay
a
其中，
这不 x* 使利润最大化的假设相矛盾，故假设丌成立，因此利润最大化意味着成本最小 化。
2．使用库恩-塔克定理得出即使最优解涉及边界解时也是正确的成本最小化条件。 Use the Kuhn-Tucker theorem to derive conditions for cost minimization that are valid even if the optimal solution involves a boundary solution. 答：互补—松弛条件为：
即让平均成本低的工厂生产所有的产量。
5．假定厂商有两种可能的方式来生产产出。方式 a：使用 a1 单位的物品 1 和 a2 单位的 物品 2 来生产 1 单位的产出。方式 b：使用 b1 单位的物品 1 和 b2 单位的物品 2 来生产 1 单
位的产出。要素只能以这些固定比例使用。如果要素价格是 w1, w2 ，对这两种要素的需求
min x1
w1 x1
w2
y1a
x1a 1
一阶条件为：
w1
a 1 a
w2
1
y1a
1
x1a 1
0
得到要素需求函数：
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x1
w1, , w2 , y
1
aw2
a
w1
1a
y
x2
w1, , w2 , y
1
x1b
x 1b 2
.What
is
the
cost
function for this technology?
答：考虑柯布-道格拉斯技术的成本函数的成本最小化问题（以第一个车间的生产函数
为例）：
c
w, y
min
x1 , x2
w1 x1
w2
x2
s.t.x1a
x1a 2
y
将上述问题转化为无约束问题：
1 a
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f x*
t
x j
wj
x*j
0
f x*
t x j wj 0xຫໍສະໝຸດ j 0y f x* t 0
y f x* 0
t0
当 x*i 0 和 x* j 0 成立时，上式就隐含着：
f x* xi wi
A
w2 1 a
1
aw2
a
w1
。
因此第一个车间的成本函数为：c1 y Ay ，则第二个车间的成本函数为：c2 y By ，
其中，
A
w2 1 a
1
aw2
a
w1
a
，
B
w2 1b
1
bw2
b
w1
b
。
如果厂商采用成本最低的生产方法进行生产，则该厂商的生产成本函数为：
c y y min A, B
下面分情况讨论：
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（1）如果 y 1，那么 y 的最优值为 1，此时的成本函数为 c y y 1/ 2 。
（2）如果
y
1 ，那么
y1 的最优值为
y
，此时的成本函数为 c y
y2 2
。
4．一个厂商有两个车间。一个车间根据生产函数 y x1a x21a 来生产产出，另一个厂车 间的生产函数是
the cost function for the firm?
解：厂商的成本最小化问题为：
min
y1 , y2 0
y12 2
y2
s.t．y1 y2 y
从约束条件中解出 y2 的表达式，然后代入目标函数式中得到：
min y12 y 2 0 y1 y
y1
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