单叶双曲面

4．5 双曲面 1． 1． 单叶双曲面
方程：)0,,(122
222
2>=−+c b a c
z b y a x 性质：
（1）关于坐标原点、坐标轴、坐标面都对称。

（2）有四个顶点)0,,0(,)0,0,(b a ±±。

（3）形状：与xOy 的交线 ==+0
122
22
z b y a x （1）是一个椭圆。

与xOz 的交线 ==−0
122
22y c z a x （2）是双曲线。

与yOz 的交线
==−0
122
22x c z b y （3）是双曲线。

与平行于xOy 的平面h z =的交线
=−=+h z c h b y a x 2222221 （4）是一个椭圆。

与平行于xOz 的平面h y =的交线
=−=−h y b h c z a x 2222221 （5）是双曲线。

容易知道图形（4）的两对顶点分别在双曲线（2）与（3）上。

因此，单叶双曲面可以看成是由一个椭圆的变动（大小位置都改变）而产生的，这个椭圆在变动中保持所在平面与xOy
面平行，且两对顶点分别沿着两个定双曲线（2）与（3）上滑动。

（插图演示）
与平行于xOz 的平面h y =的交线
=−=−h y c h c z a x 2222221是双曲线。

考虑h 的范围（插图演示）
特例
若b a =，)0,(122
222
2>=−+c a c
z a y a x 是一个单叶旋转双曲面。

2． 2． 双叶双曲面
方程：
)0,,(122
2222>−=−+c b a c
z b y a x
性质：
（1）关于坐标原点、坐标轴、坐标面都对称。

（2）只与z 轴相交，有两个顶点),0,0(c ±。

（3）形状：与xOz 的交线 =−=−0
122
22
y c z a x （6）是双曲线。

与yOz 的交线
=−=−0
122
22x c z b y （7）是双曲线。

与平行于xOy 的平面h z =的交线 ≥=+−=+c h h
z c h b y a x 2222221 （8）是一个椭圆或一个点。

容易知道图形（8）的两对顶点分别在双曲线（6）与（7）上。

因此，双叶双曲面可以看成是由一个椭圆的变动（大小位置都改变）而产生的，这个椭圆在变动中保持所在平面与xOy 面平行，且两对顶点分别沿着两个定双曲线（6）与（7）上滑动。

（插图演示）
特例
若b a =，)0,(122
222
2>−=−+c a c
z a y a x 是一个双叶旋转双曲面。