高三数学一轮复习二倍角的三角函数课件
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6.化简 2+cos2-sin21的结果是__________.
[答案] 3cos1 [解析] 原式= 2+2cos21-1-sin21 = 2cos21+1-sin21= 3cos21= 3cos1.
7.已知函数f(x)=cos4x-2sinxcosx-sin4x. (1)求f(x)的最小正周期; (2)求f(x)的最大值、最小值. [解析] (1)f(x)=cos4x-sin4x-2sinxcosx =(cos2x+sin2x)(cos2x-sin2x)-sin2x =cos2x-sin2x= 2cos2x+π4, ∴f(x)的最小正周期 T=22π=π. (2)当 cos2x+4π=1 时,f(x)max= 2; 当 cos2x+π4=-1 时,f(x)min=- 2.
考纲解读 能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式以及二倍 角的正弦、余弦和正切公式进行简单的恒等变换(对半角 公式不要求记忆).
考向预测 1.灵活运用三角公式特别是倍角公式进行三角恒等 变换,进而考查三角函数的图像和性质是高考的热点内 容. 2.以三角函数为背景、向量为载体考查恒等变形能 力以及运用正、余弦定理判定三角形的形状,求三角形的 面积等问题是在知识交汇点处命题的一个热点问题. 3.多以解答题的形式呈现,属中、低档题.
[点评] 对一个题目的解题方法,由于侧重角度不同, 出发点不同,化简的方法也不惟一.对于三角函数式化简 的目标是:
(1)次数尽可能低; (2)角尽可能少; (3)三角函数名称尽可能统一; (4)项数尽可能少.
计算:cos27π·cos47π·cos67π.
[分析] 构造运用二倍角公式,由诱导公式、恒等式 求解.
2.(2010·福建文)计算 1-2sin222.5°的结果等于( )
1 A.2
3 C. 3
2 B. 2
3 D. 2
[答案] B [解析] 本题主要考查二倍角公式.
1-2sin2225°=cos45°=
2 2.
3.(2010·江西理)E,F是等腰直角△ABC斜边AB上的 三等分点,则tan∠ECF=( )、
)
1
2
A.2
B. 2
C.2 [答案] [解析]
3 D. 2
C 原式=2-3-1+sinc2o7s02°0°=33--cs2oins7200°°
=2·33- -ssiinn7700°°=2,故选 C.
5.(2010·浙江理)函数 f(x)=sin(2x-π4)-2 2sin2x 的最 小正周期是________.
[例 1] 化简:sin2αsin2β+cos2αcos2β-12cos2αcos2β. [分析]观察可见:有角的二倍关系,可考虑应用倍角 公式;有幂次关系可考虑降幂;函数名称有正弦、余弦, 可异名化同名等等.
[解析]解法 1:(从“角”入手,复角化单角) 原式=sin2α·sin2β+cos2α·cos2β-12·(2cos2α-1)(2cos2β -1)
[答案] π [解析] f(x)=sin(2x-π4)-2 2sin2x =sin(2x-4π)- 2(1-cos2x) =sin(2x-4π)+ 2cos2x- 2 =sin2xcos4π-cos2xsin4π+ 2cos2x- 2
= 22sin2x+ 22cos2x- 2=sin(2x+π4)- 2, 所以 T=2ωπ=22π=π.
基础自测
1.(2011·新乡模拟)函数f(x)=cos2x+2sinx的最小值
和最大值分别为( )
A.-3,1
B.-2,2
C.-3,32
D.-2,32
[答案] C
[解析] f(x)=1-2sin2x+2sinx=-2sinx-122+32, ∴sinx=12时,f(x)max=32, sinx=-1 时,f(x)min=-3,故选 C.
知识梳理
1.二倍角的正弦、余弦、正切公式
S2α:sin2α= 2sinαcosα ;
C2α:cos2α= cos2αsin2α
= 1-2sin2α
=
2cos2α-1 ;
T2α:tan2α=
2.半角公式
3.升、降幂公式主要用于化简、求值和证明. 其形式为: 升幂公式1+cos2α= 2cos2α , 1-cos2α= 2sin2α .
16
2
A.27
B.3
3
3
C. 3
D.4
[答案] D
[解析] 如图,设 CB=AC=1,则 AB= 2,又取 AB 的中点为 H,连 CH,则 CH⊥ AB,由题意知 EH= 62, CH= 22,得 tan∠ECH=13.
故 tan∠ECF=tan2∠ECH=34, 选 D.
4.23--csoins27100°°=(
解法 2:(从“名”入手,异名化同名)
原
式
=
sin2α·sin2β
+
(1
-
sin2α)·cos2β
-
1 2
cos2α·cos2β
=
cos2β-sin2α(cos2β-sin2β)-12cos2α·cos2β
=cos2β-cos2β·sin2α+12cos2α =1+c2os2β-cos2βsin2α+121-2sin2α =1+c2os2β-12cos2β=12.
解法 3:(从“幂”入手,利用降幂公式先降次)
原
式
=
1-cos2α 2
1-cos2β ·2
+
1+cos2α 2
1+cos2β ·2
-
1 2
cos2α·cos2β
=
1 4
(1
+
cos2α·cos2β
-
cos2α
-
cos2β)
+
1 4
(1
+
cos2α·cos2β+cos2α+cos2β)-12·cos2α·cos2β=14+14=12.
=
sin2α·sin2β
+
ห้องสมุดไป่ตู้
cos2α·cos2β
-
1 2
·(4cos2α·cos2β
-
2cos2α
-
2cos2β+1)
=sin2α·sin2β-cos2α·cos2β+cos2α+cos2β-12
=sin2α·sin2β+cos2α·sin2β+cos2β-12
=sin2β+cos2β-12=1-12=12.
[解析]
2π 4π 6π cos 7 ·cos 7 ·cos 7
2π 2π 4π 6π
2sin =
7
·cos
7
·cos 2π
7
·cos
7
2sin 7
4π 4π 6π 8π 6π
sin =
7
cos
7 cos 2π