高等数学习题册参考答案

《高等数学》习题册参考答案

说明 本参考答案与现在的习题册中的题目有个别的不同，使用时请认真比对，以防弄错.

第一册参考答案

第一章 §1.1

1.⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧+≤≤--<≤<≤+=--. ),(2, , ,

0 , 211010101T t T T t a v T t v t at v v a v

a v

v a v v 图形为：

2.B.

3.)]()([)]()([)(2

121x f x f x f x f x f --+-+=， 其中)]()([)(21x f x f x F -+=为偶函数，而)]()([)(2

1x f x f x G --=为奇函数. 4.⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧=<≤-<≤-<≤=.6 ,0,

64 ,)4(,

42 ,)2(,

20 ,)(22

2x x x x x x x x f 5.⎩⎨⎧.)]([,)2()]([,)1(单调减单调性相反，则单调增；单调性相同，则x g f g f x g f g f 6.无界. 7.（1）否，定义域不同；（2）否，对应法则不同；（3）否，定义域不同.

§1.2

1.（1）)1 ,0()0 ,1(⋃-=D ；（2）} , ,{2

Z ∈+≠=k k k x x D πππ；（3）)1 ,0(=D . 2.1 ,4-==b a . 3.⎪⎩⎪⎨⎧>-=<=,0 ,1,0 ,0 ,

0 ,1 )]([x x x x g f ⎪⎪⎩⎪

⎪⎨⎧>=<=-.

1 ,,1 ,1 ,1 , )]([1x e x x e x f g

4.（1）]2 ,0[,)1arcsin(2

=-=D x y ； （2） ∞

=+=+=0

2

2),( , )(tan log 1k a k k D

x y πππ. 5.（1）x

x x f f 1

)]([-=

； （2）x

x f f 1

)(1][=. 6.+∞<<=-h r V r

h h

r 2 ,2312

2π.

7.（1）a x =)(ϕ； （2）h x x +=2)(ϕ； （3）h

a a h x x )

1()(-=

ϕ.

§1.9

1.1-=e a .

2.（1）1=x 和2=x 都是无穷间断点（属第Ⅱ类）；

（2）1 ,0==x x 和1-=x 是间断点，其中：1是可去间断点（极限为21）（属第Ⅰ类）； 0是跳跃间断点（左极限1-，右极限1）（属第Ⅰ类）；-1 是无穷间断点（属第Ⅱ类）； （3）0=x 为无穷间断点（属第Ⅱ类），1=x 为跳跃间断点（属第Ⅰ类）

（注意：+∞==∞

+-→-

e

e x

x

x 11

lim ，而0lim 11

==∞--→+

e e x

x x ）；

（4）)( 2

Z ∈+=k k x ππ为无穷间断点（属第Ⅱ类）； （5）⎩⎨

⎧=≠=+=∞→,

0 ,0,0 ,1lim )(12x x nx nx x f x n ∴ 0=x 为无穷间断点（属第Ⅱ类）； （6）∵ )(lim , 0)(lim 1

1

+∞==+-→→x f x f x x ， ∴ 1=x 为第Ⅱ类间断点，

（注意：这类间断点既不叫无穷间断点，也不叫跳跃间断点，不要乱叫）； ∵ 1

)(lim , 0)(lim -→→==+-e x f x f x x ， ∴ 0=x 为跳跃间断点（属第Ⅰ类）.

3.（1）1 ,0≠=b a ； （2）1 ,≠=a e b .

4.（1）21)0(=f ； （2）0)0(=f .

5.证：由)()0()0(22x f f x f +=+，得0)0(=f ，于是，再由

0)0()(lim )]()()([lim )]()([lim 0

==∆=-∆+=-∆+→∆→∆→∆f x f x f x f x f x f x x f x x x ，

∴ )(x f 在x 点连续.

§1.10

1.)(x f 在),(+∞-∞内连续，则0≥a ；又0)(lim =-∞

→x f x ，则0

2.) ,2()2 ,3()3 ,(∞+⋃-⋃--∞； 2

10)0()(lim ==→f x f x （0是连续点）， 5

85

8

2

13)

2)(3()3()3(3322

lim

lim

)(lim -==

==----→-++-+-→-→x x x x x x x x x x x f （-3是可去间断点）， ∞==

-++-+→→)2)(3()

3()3(2

2

2lim )(lim x x x x x x x x f （2是无穷间断点）.

3.（1）a

1； （2）0； （3）2e （提示：原极限x e x x

e x x x x x e e )

ln(lim

)ln(0

0lim ++→→=

=，而

=+→110 )ln(lim 加分子减x e x x x 2)1(lim )]1(1ln[lim 00==-+-++→→拆分分子等价无穷小代换

x e x x e x x x x x ）； （4）2

1

-e

（提示：原极限x

x

x e 2

sin cos ln 0

lim

→=，而

21cos 11

cos 11cos 0

cos 1)]

1(cos 1

ln[0

sin cos ln 0lim lim lim lim

222

-====

+-→--→--+→→x x x

x x x x x x

x

x ）； 注意：（3）和（4）都用到了等价无穷小代换：□0→时，ln (1+□)～□. （5）1； （6）不存在（左极限2-，右极限2）.

4.（1）0=a ，e b =； （2）a 任意，1=b .

§1.11

1.令)sin ()(b x a x x f +-=，则)(x f 在] ,0[b a +上连续，且0)0(<-=b f ，=+)(b a f 0)]sin(1[)sin(≥+-=-+-+b a a b b a a b a .若0)(=+b a f ，则b a +就是一个正根；若0)(>+b a f ，则由零点定理，)(x f 在) ,0(b a +内有一正根.总之，)(x f 在]

,0[b a +内有一正根.

2.作辅助函数x x f x F -=)()(，则)(x F 在] ,[b a 上连续，且0)()(<-=a a f a F ，)(b F

0)(>-=b b f ，由零点定理，) ,(b a ∈∃ξ，使得0)(=ξF ，即ξξ=)(f .

3.由题设：)(x f 在] ,[1n x x 上连续，设m M 、分别为)(x f 在] ,[1n x x 上的最大值和最小

值，则M x f x f x f c m n n

≤+++=≤)]()()([211 ，于是，由介值定理可知：) ,() ,(1b a x x n ⊂∈∃ξ，使得c f =)(ξ，即)]()()([)(211n n

x f x f x f f +++= ξ.