北京市清华附中2020-2021学年第一学期高一10月考数学试题
北京市清华附中2020-2021学年高一新生分班考试数学试题含答案
P DA 清华附中高一新生分班考试数学试卷（满分150分，考试时间120分钟）题号 一 二 三 总分 得分一、选择题（每题5分，共40分） 1．化简=-2aa （ ）A ．aB ．a -C ．aD ．2a2．分式1||22---x x x 的值为0，则x 的值为 （ ）A ．21或-B ．2C ．1-D ．2-3．如图，在四边形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、AD 的中点。
若EF ＝2，BC ＝5，CD ＝3， 则tan C 等于 （ ）A ．43 B ．35 C ．34 D ．45 4．如图，P A 、PB 是⊙O 切线，A 、B 为切点，AC 是直径，∠P = 40°，则∠BAC =（ ）A ．040 B ．080 C ．020 D ．0105．在两个袋内，分别装着写有1、2、3、4四个数字的4张卡片，今从每个袋中各任取一张卡片，则所取两卡片上数字之积为偶数的概率是 （ ）A ．21 B ．165 C ．167 D ．436．如图，矩形纸片ABCD 中，已知AD =8，折叠纸片使AB 边与对角线AC 重合，点B 落在点F 处，折痕为AE ，且EF =3，则AB 的长为 ( ) A . 6 B .4 C .5D . 37．如图，正方形ABCD 的边长为4，P 为正方形边上一动点，运动(4题图) O C B A P (6题图) AB CDF E (3题图)D CB A 路线是A →D →C →B →A ,设P 点经过的路程为x ，以点A 、P 、D 为顶点的三角形的面积是y .则下列图象能大致反映y 与x 的函数关系的是 ( )8.若直角坐标系内两点P 、Q 满足条件①P 、Q 都在函数y 的图象上②P 、Q 关于原点对称，则称点对（P ，Q ）是函数y 的一个“友好点对”（点对（P ，Q ）与（Q ，P ）看作同一个“友好点对”）。
已知函数⎪⎩⎪⎨⎧>≤++=02101422x xx x x y ，，,则函数y 的“友好点对”有（ ）个A ．0 B.1 C. 2 D.3注意：请将选择题的答案填入表格中。
北京市人大附中2020-2021学年高一(10月份)月考数学试题
【解析】
【分析】由韦恩图可以看出，阴影部分中的元素满足“是A的元素且是B的元素，或是C的元素”，由韦恩图与集合之间的关系易得答案．
【详解】解：由已知中阴影部分所表示的集合元素满足
“是A的元素且是B的元素，或是C的元素”，
故阴影部分所表示的集合是
故选：A
5．C
【解析】
【分析】举反例可排除ABD，至于C由不等式的性质平方可证．
得 ，即 ，
故 ， 时满足题意，故 ， ，
故只持有B股票的股民人数是7，故选A．
9．
【解析】
【分析】求出集合A的补集 ，结合 ，即可确定实数a的取值范围．
【详解】 ， ，
与B必有公共元素，即 ．
10．必要不充分
【解析】
【分析】通过举反例可得充分性不成立，根据 可得必要性成立，从而得出结论
【详解】解：由 不能推出 ，如 时，故充分性不成立，
A．7B．6C．5D．4
二、填空题
9．己知全集 ，集合 ， ，若 ，则实数a的取值范围是________．
10．集合 ，集合 ，那么“ ”是“ ”的________条件．（用“充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件”填空）．
11．方程 解集为________．
12．一元二次不等式 的解集是 ，则 的值是________．
（1）若两根的平方和比两根之积大21，求实数m的值；
（2）若两根均大于1，求实数m的取值范围．
17．已知关于x的方程 的两根为 ， ，试问：是否存在实数m，使得 ， 不等式 都成立？若存在，求实数m的取值范围，若不存在，说明理由．
18．已知集合 ．求该集合具有下列性质的子集个数：每个子集至少含有2个元素，且每个子集中任意两个元素的差的绝对值大于1．
北京市清华大学附属中学2019-2020学年高三年级第一学期10月考数学试卷
清华附中高三2019年10月月考试卷数学一、选择题1.已知集合{}2A x x =>，()(){}130B x x x =--<，则A B =( )A .{}1x x >B .{}23x x <<C .{}13x x <<D .{}21x x x ><或2.若角θ的终边过点()3,4P -，则()tan θπ+=( ) A .34B .34-C .43 D .43-3.已知函数a y x =，log b y x =的图象如图所示，则( )A .1b a >>B .1b a >>C .1a b >>D .1a b >>4.设函数()y f x =的定义域为R ，则“()00f =”是“函数()f x 为奇函数”的( ) A .充分而不必要条件 B .必要而不充分条件 C .充分必要条件 D .既不充分也不必要条件5.已知3cos 4α=，,02πα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则sin 2α的值为( )A .36 B .38- C D .6.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯( ) A .1盏 B .3盏 C .5盏 D .9盏 7.某校象棋社团组织中国象棋比赛，采用单循环赛制，即要求每个参赛选手必须且只须和其他选手各比赛一场，胜者得2分，负者得0分，平局两人各得1分.若冠军获得者得分比其他人都多，且获胜场次比其他人都少，则本次比赛的参赛人数至少为( ) A .4 B .5 C .6 D .78.已知定义在R 上的函数()()2,0ln ,0xa x f x x a x ⎧+≤⎪=⎨+>⎪⎩，若方程()12f x =有两个不相等的实数根，则a 的取值范围是( ) A .1122a -≤≤B .102a ≤<C .01a ≤<D .102a -<≤二、填空题9.已知函数()y f x =的导函数有且仅有两个零点，其图象如图所示，则函数()y f x =在x =___________处取得极值.10.32-，123，2log 5三个数中最大的数是_____________. 11.在ABC △中，13cos 14A =，73a b =，则B =____________. 12.去年某地的月平均气温y (℃)与月份x (月)近似地满足函数sin 6y a b x πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭(a 、b为常数，0πϕ<<)，其中三个月份的月平均气温如表所示：则该地2月份的月平均气温约为_______℃，ϕ=__________.13.在等腰梯形ABCD 中，已知AB DC ∥，2AB =，1BC =，60ABC =︒∠，点E 和点F 分别在线段BC 和CD 上，且23BE BC =，16DF DC =，则AE AF ⋅的值为_____________.14.如图，线段8AB =，点C 在线段AB 上，且2AC =，P 为线段CB 上一动点，点A 绕点C 旋转后与点B 绕点P 旋转后重合于点D .设CP x =，CPD △的面积为()f x ，则()f x 的定义域为_________，()'f x 的零点是__________.三、解答题15.已知函数()()cos f x A x ωϕ=+0,0,02A πωϕ⎛⎫>><< ⎪⎝⎭的图象过点10,2⎛⎫⎪⎝⎭，最小正周期为23π，且最小值为1-. (1)求函数()f x 的解析式；(2)若,6x m π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()f x 的值域是1,⎡-⎢⎣⎦，求m 的取值范围.16.数列{}n a 的前n 项和记为n S ，若数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为9，公差为1-的等差数列.(1)求数列{}n a 的通项公式n a ；(2)若n n b a =，且数列{}n b 的前n 项和记为n T ，求415T T +的值.17.已知ABC △的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，()8sin 17A C +=，且角B 为锐角. (1)求cos B 的值；(2)若6a c +=，ABC △的面积为2，求边长b .18.已知函数()1xax f x e-=. (1)当1a =时，求函数()f x 的单调区间；(2)当0a <时，求函数()f x 在区间[]0,1上的最小值.19.已知函数()39f x x x =-，函数()23g x x a =+.(1)若曲线()y f x =与曲线()y g x =在它们的交点处且有公共切线，求a 的值； (2)若存在实数b 使不等式()()f x g x <的解集为(),b -∞，求实数a 的取值范围.20.设满足以下两个条件的有穷数列12,,,n a a a …为()2,3,4,n n =…阶“期待数列”： ①1230n a a a a ++++=…； ②1231n a a a a ++++=…；(1) 分别写出一个单调递增的3阶和4阶“期待数列”；(2) 若某2013阶“期待数列”是等差数列，求该数列的通项公式； (3) 记n 阶“期待数列”的前k 项和为()1,2,3,,k S k n =…，试证：12k S ≤.。
2020-2021学年北京市清华附中高一(上)段考数学试卷(10月份)
2020-2021学年北京市清华附中高一（上）段考数学试卷（10月份）试题数：21.满分：1501.（单选题.4分）命题p：∀x∈N.x3≥1.则￢p为（）A.∀x∈N.x3＜1B.∀x∉N.x3≥1C.∃x∉N.x3≥1D.∃x∈N.x3＜12.（单选题.4分）已知全集U={1.2.3.4.5}．集合A={1.2.3}.B={2.4.5}.则B∩（∁U A）=（）A.{2.4}B.{1.3}C.{4.5}D.{2}3.（单选题.4分）若实数x.y满足2x+y=1.则x•y的最大值为（）A.1B. 14C. 18D. 1164.（单选题.4分）“x=1”是“x2=1”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件5.（单选题.4分）若b＜0＜a.d＜c＜0.则（）A.ac＞bdB. ac ＞bdC.a+c＞b+dD.a-c＞b-d6.（单选题.4分）若a.b∈R.且ab＞0.则下列不等式中.恒成立的是（）A.a2+b2＞2abB. a+b≥2√abC. ba +ab≥2D. 1a +1b≥2√ab7.（单选题.4分）若关于x的不等式ax+b＜0的解集为（2.+∞）.则bx+a＜0的解集是（）A. (−∞，12)B. (12，+∞)C. (−∞，−12)D. (−12，+∞)8.（单选题.4分）加工爆米花时.爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”.在特定条件下.可食用率p与加工时间t（单位：分钟）满足函数关系p=at2+bt+c（a.b.c是常数）.如图记录了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据.可以得到最佳加工时间为（）A.3.50分钟B.3.75分钟C.4.00分钟D.4.25分钟9.（单选题.4分）若关于x的不等式kx2-kx＜1的解集为R则实数k的取值范围是（）A.（-4.0）B.（-4.0]C.[-4.0]D.（-∞.-4]∪[0.+∞）10.（单选题.4分）已知非空集合A.B满足以下两个条件（i）A∪B={1.2.3.4.5.6}.A∩B=∅；（ii）若x∈A.则x+1∈B．则有序集合对（A.B）的个数为（）A.12B.13C.14D.1511.（填空题.5分）集合{0.1}的子集的个数为___ ．12.（填空题.5分）已知集合A={x|y= √m−x }.B=（2-m.+∞）．若A∪B=R.且A∩B=∅.则m=___ ．13.（填空题.5分）若集合{x∈N*|x2+mx＜0}恰有3个元素.则实数m的取值范围是___ ．14.（填空题.5分）已知集合A={x|x2-2x+a≥0}.B={x|x2-2x+a+1＜0}.若A∪B=R.则实数a的取值范围为___ ．15.（填空题.5分）已知a＞0.b＞0.a+b＞2.有下列4个结论：① ab＞1. ② a2+b2＞2. ③ 1a和1 b 中至少有一个数小于1. ④ 1+ab和1+ba中至少有一个小于2.其中.全部正确结论的序号为___ ．16.（问答题.14分）求下列关于x的不等式的解集：（1）x2-3x-4≥0；（2）-x2+x-1＜0；（3）x2≤a．17.（问答题.14分）已知集合A={x|x2-（a+1）x-a＞0}．（1）若1∈A.求实数a的取值范围；（2）若集合B={2.3}.且A∩B中恰好只有1个元素.求实数a的取值范围．18.（问答题.14分）已知x+y=1.x.y∈R+．（1）求x2+y2+xy的最小值；（2）求√x+√y的最大值；（3）求x（1-3y）的最小值．19.（问答题.14分）在平面直角坐标系xOy中.函数y=x2+mx+n的图象经过点（1.0）.且对于任意的x∈R.总有y≥0．（1）求m.n的值；（2）若直线y=kx+2与函数y=x2+mx+n的图象交于不同的两点A（x1.y1）.B（x2.y2）.且x13+x23=14.求实数k的值．20.（问答题.14分）已知集合A.B为非空数集.定义A-B={x∈A且x∉B}．（1）已知集合A=（-1.1）.B=（0.2）.求A-B.B-A；（直接写出结果即可）（2）已知集合P={x|x2-ax-2a2≥0}.Q=[1.2].若Q-P=∅.求实数a的取值范围．21.（问答题.15分）已知x.y∈（-1.1）．定义x*y= x+y1+xy．（1）求0* 13及12* 13的值；（2）求证：∀x.y∈（-1.1）.x*y∈（-1.1）；（3）若{x1.x2.x3.x4.x5.x6}= {−57，−16，−14，12，13，14} .求x1*x2*x3*x4*x5*x6的所有可能值构成的集合．2020-2021学年北京市清华附中高一（上）段考数学试卷（10月份）参考答案与试题解析试题数：21.满分：1501.（单选题.4分）命题p：∀x∈N.x3≥1.则￢p为（）A.∀x∈N.x3＜1B.∀x∉N.x3≥1C.∃x∉N.x3≥1D.∃x∈N.x3＜1【正确答案】：D【解析】：根据全称命题的否定方法.根据已知中的原命题.写出其否定形式.可得答案．【解答】：解：∵命题p：∀x∈N.x3≥1.∴￢p：∃x∈N.x3＜1.故选：D．【点评】：本题考查的知识点是全称命题.命题的否定.熟练掌握全（特）称命题的否定方法是解答的关键．2.（单选题.4分）已知全集U={1.2.3.4.5}．集合A={1.2.3}.B={2.4.5}.则B∩（∁U A）=（）A.{2.4}B.{1.3}C.{4.5}D.{2}【正确答案】：C【解析】：由全集U及A.求出A的补集.找出B与A补集的交集即可．【解答】：解：∵全集U={1.2.3.4.5}.集合A={1.2.3}.B={2.4.5}.∴∁U A={4.5}.则B∩（∁U A）={4.5}．故选：C．【点评】：此题考查了交、并、补集的混合运算.熟练掌握各自的定义是解本题的关键．3.（单选题.4分）若实数x.y满足2x+y=1.则x•y的最大值为（）A.1B. 14C. 18D. 116【正确答案】：C【解析】：根据xy=x（1-2x）=-2（x- 14）2+ 18≤ 18.即可求出最大值．【解答】：解：∵实数x.y满足2x+y=1. ∴y=1-2x.∴xy=x（1-2x）=-2x2+x=-2（x- 14）2+ 18≤ 18.当x= 14 .y= 12时取等号.故选：C．【点评】：本题考查了二次函数的性质.考查了运算和转化能力.属于基础题．4.（单选题.4分）“x=1”是“x2=1”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【正确答案】：A【解析】：先判断由x=1能否推出“x2=1”.再判断由“x2=1”成立能否推出“x=1“成立.利用充要条件的定义判断出结论．【解答】：解：当x=1成立则“x2=1”一定成立反之.当“x2=1”成立则x=±1即x=1不一定成立∴“x=1”是“x2=1”的充分不必要条件故选：A．【点评】：判断一个条件是另一个条件的什么条件.首先弄清哪一个是条件；再判断前者是否推出后者.后者成立是否推出前者成立.利用充要条件的定义加以判断．5.（单选题.4分）若b＜0＜a.d＜c＜0.则（）A.ac＞bdB. ac ＞bdC.a+c＞b+dD.a-c＞b-d【正确答案】：C【解析】：根据不等式的性质依次验证每个选项是否正确.即可判断【解答】：解：A：由b＜0＜a.d＜c＜0可知.bd＞0.ac＜0.则bd＞ac.故A不正确B：由d＜c＜0可知1c ＜1d＜0 .又b＜0＜a∴ a c ＜0，bd＞0∴ a c ＜bd.故B不正确C：∵b＜a.d＜c∴a+c＞b+d.故C正确D∵d＜c∴-d＞-c.又a＞b∴a-d＞b-c.故D不正确故选：C．【点评】：本题考查不等式的性质.要求熟练掌握不等式的性质．属于基础试题6.（单选题.4分）若a.b∈R.且ab＞0.则下列不等式中.恒成立的是（）A.a2+b2＞2abB. a+b≥2√abC. ba +ab≥2D. 1a +1b≥√ab【正确答案】：C【解析】：利用基本不等式的使用法则“一正二定三相等”即可判断出结论．【解答】：解：A．∵（a-b）2≥0.∴a2+b2≥2ab.当且仅当a=b时等号成立.因此不正确．B．取a.b＜0时.a+b≥2 √ab不成立．C．∵ab＞0.∴ ab . ba＞0.∴ ba+ab≥2 √ba•ab=2.当且仅当a=b时取等号.正确．D．取a.b＜0时. 1a + 1b≥√ab故选：C．【点评】：本题考查了基本不等式的使用法则“一正二定三相等”.考查了推理能力与计算能力.属于基础题．7.（单选题.4分）若关于x的不等式ax+b＜0的解集为（2.+∞）.则bx+a＜0的解集是（）A. (−∞，12)B. (12，+∞)C. (−∞，−12)D. (−12，+∞)【正确答案】：A【解析】：由题意知.x=2是方程ax+b=0的根.且a＜0.推出b=-2a.再代入bx+a＜0.解之即可．【解答】：解：由题意知.x=2是方程ax+b=0的根.且a＜0.所以b=-2a.所以不等式bx+a＜0可化为-2ax+a＜0.解得x＜12.故选：A．【点评】：本题考查一元一次不等式的解法.灵活运用不等式的逆向思维是解题的关键.考查学生的逻辑推理能力和运算能力.属于基础题．8.（单选题.4分）加工爆米花时.爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”.在特定条件下.可食用率p与加工时间t（单位：分钟）满足函数关系p=at2+bt+c（a.b.c是常数）.如图记录了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据.可以得到最佳加工时间为（）A.3.50分钟B.3.75分钟C.4.00分钟D.4.25分钟【正确答案】：B 【解析】：由提供的数据.求出函数的解析式.由二次函数的图象与性质可得结论．【解答】：解：将（3.0.7）.（4.0.8）.（5.0.5）分别代入p=at 2+bt+c.可得{0.7=9a +3b +c 0.8=16a +4b +c 0.5=25a +5b +c.解得a=-0.2.b=1.5.c=-2.∴p=-0.2t 2+1.5t-2.对称轴为t=- 1.52×(−0.2) =3.75．故选：B ．【点评】：本题考查了二次函数模型的应用.考查利用二次函数的图象与性质求函数的最值问题.确定函数模型是关键．9.（单选题.4分）若关于x 的不等式kx 2-kx ＜1的解集为R 则实数k 的取值范围是（ ）A.（-4.0）B.（-4.0]C.[-4.0]D.（-∞.-4]∪[0.+∞）【正确答案】：B【解析】：对系数k 分类讨论.利用判别式即可求出结论．【解答】：解：当k=0时.不等式化为0＜1.对任意实数x 恒成立.所以k=0时满足条件；当k≠0时.不等式为kx 2-kx-1＜0的解集是R.所以 {k ＜0△=k 2+4k ＜0.解得-4＜k ＜0； 综上知.实数k 的取值范围是（-4.0]．故选：B ．【点评】：本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题.也考查了分类讨论思想.是基础题．10.（单选题.4分）已知非空集合A.B 满足以下两个条件（i ）A∪B={1.2.3.4.5.6}.A∩B=∅；（ii ）若x∈A .则x+1∈B ．则有序集合对（A.B ）的个数为（ ）A.12B.13C.14D.15【正确答案】：A【解析】：对集合A 的元素个数分类讨论.利用条件即可得出．【解答】：解：由题意分类讨论可得：若A={1}.则B={2.3.4.5.6}；若A={2}.则B={1.3.4.5.6}；若A={3}.则B={1.2.4.5.6}；若A={4}.则B={1.2.3.5.6}；若A={5}.则B={2.3.4.1.6}；若A={6}.则B={2.3.4.5.1}.舍去．若A={1.3}.则B={2.4.5.6}；若A={1.4}.则B={2.3.5.6}；若A={1.5}.则B={2.3.4.6}；若A={2.4}.则B={1.3.5.6}；若A={2.5}.则B={1.3.4.6}；若A={3.5}.则B={1.2.4.6}；若A={1.3.5}.则B={2.4.6}．综上可得：有序集合对（A.B ）的个数为12．故选：A ．【点评】：本题考查了元素与集合之间的关系、集合运算、分类讨论方法.考查了推理能力与计算能力.属于中档题．11.（填空题.5分）集合{0.1}的子集的个数为___ ．【正确答案】：[1]4【解析】：集合{0.1}的子集是指属于集合的部分或所有元素组成的集合.包括空集．【解答】：解：集合{0.1}的子集有：∅.{0}.{1}.{0.1}共4个．故答案为：4．【点评】：本题考查集合的子集个数问题.对于集合M的子集问题一般来说.若M中有n个元素.则集合M的子集共有2n个.此题是基础题．12.（填空题.5分）已知集合A={x|y= √m−x }.B=（2-m.+∞）．若A∪B=R.且A∩B=∅.则m=___ ．【正确答案】：[1]1【解析】：先求出A.根据条件得到B=C R A即可求解结论．【解答】：解：∵集合A={x|y= √m−x }=（-∞.m].B=（2-m.+∞）．又∵A∪B=R.且A∩B=∅.∴B=C R A=（m.+∞）.∴m=2-m⇒m=1.故答案为：1．【点评】：本题考查了交集及其运算.是基础题．13.（填空题.5分）若集合{x∈N*|x2+mx＜0}恰有3个元素.则实数m的取值范围是___ ．【正确答案】：[1]{m|-4≤m＜-3}【解析】：分情况解二次不等式.结合已知条件即可求解结论．【解答】：解：当m＞0时.x2+mx＜0⇒-m＜x＜0.∵{x∈N*|x2+mx＜0}恰有三个元素.此时没有正根.故舍去.当m＜0时.x2+mx＜0⇒0＜x＜-m.∵{x∈N*|x2+mx＜0}恰有三个元素.∴3＜-m≤4⇒-4≤m＜-3. 当m=0时.x2+mx＜0⇒x不存在.综上可得：实数m的取值范围为：{m|-4≤m＜-3}．【点评】：本题主要考查不等式的求解以及分类讨论思想的应用.属于中档题目．14.（填空题.5分）已知集合A={x|x2-2x+a≥0}.B={x|x2-2x+a+1＜0}.若A∪B=R.则实数a的取值范围为___ ．【正确答案】：[1][1.+∞）【解析】：求出集合A.B.由A∪B=R.能求出实数a的取值范围．【解答】：解：∵当a＜1时.集合A={x|x2-2x+a≥0}={x|x≤1- √1−a或x≥1+ √1−a }.当a≥1时.集合A的解集为R.当△=4-4（a+1）≤0时.即a≥0时.集合B的解集为∅.当a＜0时.集合B={x|x2-2x+a+1＜0}={x|1- √−a＜x＜1+ √−a }.若A∪B=R.则有1- √1−a≥1- √−a .且 1+ √−a≥1+ √1−a .解得不存在使不等式成立的实数a.故实数a的取值范围是[1.+∞）．故答案为[1.+∞）．【点评】：本题主要考查集合关系中参数的取值范围问题.两个集合的并集的定义.属于基础题．15.（填空题.5分）已知a＞0.b＞0.a+b＞2.有下列4个结论：① ab＞1. ② a2+b2＞2. ③ 1a和1 b 中至少有一个数小于1. ④ 1+ab和1+ba中至少有一个小于2.其中.全部正确结论的序号为___ ．【正确答案】：[1] ② ③ ④【解析】：取特殊值法可判断① ；利用基本不等式可判断② ；利用反证法.推出a+b≤2.与已知a+b＞2矛盾.从而可判断③ ④ ；．【解答】：解：已知a＞0.b＞0.a+b＞2.取a=2.b= 18 .则ab= 14＜1.故① 错误；a2+b2=（a+b）2-2ab≥（a+b）2-2 (a+b2)2= (a+b)22＞2.故② 正确；假设1a 和1b都不小于1.则1a≥1. 1b≥1.所以0＜a≤1.0＜b≤1.所以0＜a+b≤2.与a+b＞2矛盾.所以假设不成立.所以1a 和1b中至少有一个数小于1.故③ 正确；假设1+ab . 1+ba都不小于2.则1+ab≥2. 1+ba≥2.∵a＞0.b＞0.∴1+a≥2b.1+b≥2a.两式相加得：2+a+b≥2（a+b）.解得a+b≤2.这与已知a+b＞2矛盾.故假设不成立.∴ 1+ab . 1+ba中至少有一个小于2.故④ 正确．故正确结论的序号为② ③ ④ ．故答案为：② ③ ④ ．【点评】：本题主要考查基本不等式的应用.反证法的应用.考查逻辑推理能力以及计算能力．16.（问答题.14分）求下列关于x的不等式的解集：（1）x2-3x-4≥0；（2）-x2+x-1＜0；（3）x2≤a．【正确答案】：【解析】：（1）不等式化为（x+1）（x-4）≥0.求出解集即可；（2）不等式化为x2-x+1＞0.利用判别式求出不等式的解集；（3）讨论a的取值.从而求出不等式x2≤a的解集．【解答】：解：（1）不等式x2-3x-4≥0可化为（x+1）（x-4）≥0.解得x≤-1或x≥4.所以不等式的解集为{x|x≤-1或x≥4}；（2）不等式-x2+x-1＜0可化为x2-x+1＞0.△=（-1）2-4×1×1=-3＜0.所以不等式的解集为R；（3）当a≥0时.解不等式x2≤a.得- √a≤x≤ √a；当a＜0时.不等式x2≤a无解；所以.a≥0时.不等式x2≤a的解集为-x|- √a≤x≤ √a }；a＜0时.不等式x2≤a的解集为∅．【点评】：本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题.也考查了运算求解能力.是基础题．17.（问答题.14分）已知集合A={x|x2-（a+1）x-a＞0}．（1）若1∈A.求实数a的取值范围；（2）若集合B={2.3}.且A∩B中恰好只有1个元素.求实数a的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）将1代入x2-（a+1）x-a＞0.解得即可.（2）集合B={2.3}.且A∩B中恰好只有1个元素.当x=2满足.x=3不满足时.或当x=2不满足.x=3满足时.解不等式组可得．【解答】：解：（1）1∈A .将1代入x 2-（a+1）x-a ＞0得1-（a+1）-a ＞0.解得a ＜0. 即a 的范围为（-∞.0）（2）集合B={2.3}.且A∩B 中恰好只有1个元素. 则说明x 2-（a+1）x-a ＞0有1个元素是2或3. 则当x=2满足.x=3不满足时.∴ {22−2(a +1)−a ＞032−3(a +1)−a ≤0 .即 {a ≥32a ＜23.此时解集为∅. 则当x=2不满足.x=3满足时.∴ {22−2(a +1)−a ≤032−3(a +1)−a ＞0 .解得 23 ≤a ＜ 32 . 综上所述a 的取值范围为[ 23 . 32 ）．【点评】：本题考查了元素和集合的关系.属于基础题． 18.（问答题.14分）已知x+y=1.x.y∈R +． （1）求x 2+y 2+xy 的最小值； （2）求 √x +√y 的最大值； （3）求x （1-3y ）的最小值．【正确答案】：【解析】：（1）x 2+y 2+xy=（x+y ）2-xy=1-xy.然后利用基本不等式即可求解； （2）（ √x + √y ）2=x+y+2 √xy =1+2 √xy .然后利用基本不等式即可求解； （3）由x （1-3y ）=（1-y ）（1-3y ）=3y 2-4y+1.然后结合二次函数的性质可求解．【解答】：解：（1）x 2+y 2+xy=（x+y ）2-xy=1-xy≥1-（ x+y 2 ）2= 34.当且仅当x=y= 12 时.取得最小值 34 ；（2）因为x+y=1.x.y∈R +.所以（ √x + √y ）2=x+y+2 √xy =1+2 √xy ≤1+x+y=2.当且仅当x=y 时取等号.此时取得最大值2；（3）∵x.y∈R+.x+y=1.∴x（1-3y）=（1-y）（1-3y）=3y2-4y+1.结合二次函数的性质可知.当y= 23时取得最小值- 13．【点评】：本题主要考查了基本不等式及二次函数的性质在求解最值中的应用.属于基础题．19.（问答题.14分）在平面直角坐标系xOy中.函数y=x2+mx+n的图象经过点（1.0）.且对于任意的x∈R.总有y≥0．（1）求m.n的值；（2）若直线y=kx+2与函数y=x2+mx+n的图象交于不同的两点A（x1.y1）.B（x2.y2）.且x13+x23=14.求实数k的值．【正确答案】：【解析】：（1）由已知函数过定点可得一个关于m.n的等式.再利用二次函数恒成立问题可再建立一个关于m.n的关系式.两式结合即可求解.（2）联立直线方程和二次函数方程可得一个关于x的二次方程.而x1.x2为该方程的根.则可由根与系数的关系得x1.x2的和与积.再利用立方和公式展开x 13+x23 .进而可以求解．【解答】：解：（1）由已知函数过点（1.0）可得：m+n+1=0… ① .又对任意x∈R.总有y≥0.则△=m2-4n≤0… ② .由① 得n=-1-m.代入② 得：m2+4m+4≤0.即（m+2）2≤0.所以m+2=0.则m=-2.n=1.故m.n的值分别为-2.1；（2）由（1）可得y=x2-2x+1.与y=kx+2联立方程可得：x2-（k+2）x-1=0.则方程的根为x1.x2.由根与系数的关系可得：{x1+x2=k+2 x1x2=−1 .所以x 13+x23 =（x1+x2）（x 12 -x1x2+x 22）=（k+2）[（x1+x2）2-3x1x2] =（k+2）[（k+2）2+3]=14.令k+2=t.则t3+3t-14=0.即t3-8+3t-6=（t-2）（t2+2t+4）+3（t-2）=（t-2）（t2+2t+7）=0.显然t-2=0.即t=2.所以k+2=2.即k=0.故实数k的值为0．【点评】：本题考查了二次函数的性质.涉及到恒成立问题以及立方和公式和高次方程求解等问题.考查了学生的运算转化能力.属于中档题．20.（问答题.14分）已知集合A.B为非空数集.定义A-B={x∈A且x∉B}．（1）已知集合A=（-1.1）.B=（0.2）.求A-B.B-A；（直接写出结果即可）（2）已知集合P={x|x2-ax-2a2≥0}.Q=[1.2].若Q-P=∅.求实数a的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）根据定义A-B={x∈A且x∉B}．即可求解A-B.B-A；（2）由Q-P=∅.结合定义A-B={x∈A且x∉B}．即可求解实数a的取值范围．【解答】：解：（1）由定义A-B={x∈A且x∉B}．集合A=（-1.1）.B=（0.2）.∴A-B=（-1.0].B-A=[1.2）．（2）已知集合P={x|x2-ax-2a2≥0}={x|（x-2a）（x+a）≥0}.Q=[1.2].由Q-P=∅.可得Q⊆P.当a=0时.P=R.满足Q⊆P；当a＜0时.P={x|x≤2a或x≥-a}.由Q⊆P.可得{a＜0−a≤1.解得-1≤a＜0.当a＞0时.P={x|x≤-a或x≥2a}.由Q⊆P.可得{a＞02a≤1.解得0＜a≤ 12.综上可得.实数a的取值范围[-1. 12]．【点评】：本题考查对新定义的理解和应用.是基础题.解题时要认真审题．21.（问答题.15分）已知x.y∈（-1.1）．定义x*y= x+y1+xy．（1）求0* 13及12* 13的值；（2）求证：∀x.y∈（-1.1）.x*y∈（-1.1）；（3）若{x1.x2.x3.x4.x5.x6}= {−57，−16，−14，12，13，14} .求x1*x2*x3*x4*x5*x6的所有可能值构成的集合．【正确答案】：【解析】：（1）直接由新定义可求解；（2）等价转化为-1＜x+y1+xy＜1求证；（3）先判断x*y满足交换律和结合律.得到所要求解的式子结果唯一.再利用定义求解．【解答】：解：（1）0* 13 = 0+131+0•13=13. 12∗13=12+131+12•13=57；（2）证明：∵-1＜x＜1.-1＜y＜1.∴-1＜xy＜1.x-1＜0.y-1＜0.∴1+xy＞0.（x-1）（y-1）＞0.∴xy-（x+y）+1＞0.∴1+xy＞x+y.∴ x+y1+xy＜1．同理：（x+1）（y+1）＞0.即xy+（x+y）+1＞0.∴（x+y）＞-（1+xy）.∴ x+y1+xy＞−1 .∴ −1＜x+y1+xy＜1 .∵ x∗y=x+y1+xy.∴∀x.y∈（-1.1）.都有x*y∈（-1.1）成立．（3）由已知可得x*y=y*x.满足交换律．∵（x*y）*z= x+y1+xy ∗z =x+y1+xy+z1+x+y1+xy×z=x+y+z+xyz1+xy+xz+yz.x*（y*z）=x* y+z1+yz =x+y+z1+yz1+x×y+z1+yz=x+y+z+xyz1+xy+xz+yz.∴（x*y）*z=x*（y*z）.满足结合律．∴x1*x2*x3*x4*x5*x6有唯一值．∴x1*x2*x3*x4*x5*x6= (−57)∗(−16)∗(−14)∗12∗13∗14=(−57)+(−16)1+(−57)×(−16)* (−14)+121+(−14)×12*13+141+13×14= (−3747)∗27∗713=(−3747)+271+(−3747)×27∗713=(−1117)∗713=−(1117)+7131+(−1117)×713=−16 ．∴x 1*x 2*x 3*x 4*x 5*x 6的所有可能值构成的集合为{ −16}．【点评】：本题考查对新定义的理解.属于中档题．。
北京市清华大学附属中学2020_2021学年高一数学10月考试题含解析
【详解】 恰有三个元素，
，
，即 .
故答案为： 。
【点睛】本题考查根据集合元素个数求参数，其中涉及一元二次不等式的求解，属于基础题.
14。 已知集合A={x｜x2—2x+a≥0）,B={x｜x2-2x+a+1<0｝，若 ，则实数a的取值范围为______。
【答案】
【解析】
【分析】
【详解】因为 x, 的否定为 x,
因此命题p： x∈N,x3>1的 p为： x∈N，x3 1,
故选：D
【点睛】本题考查全称命题的否定，考查基本求解能力，属基础题。
2。 已知全集U=｛1,2,3，4，5}。集合A=｛1，2，3｝,B={2，4,5}，则 （ )
A。 {2,4}
B. ｛1，3}
C。 ｛4,5｝
2，3，4,5， , ；
若 ，则 ．
则有序集合对 的个数为
A. 12B。13C。 14D. 15
【答案】A
【解析】
【分析】
对集合A的元素个数分类讨论,利用条件即可得出．
【详解】解：由题意分类讨论可得:若 ，则 3，4，5， ；若 ，则 3，4，5， ;若 ，则 2,4,5， ；若 ，则 2，3，5， ；若 ，则 3，4,1， ；
即xy的最大值为
故选：B
【点睛】本题考查基本不等式求最值，考查基本分析求解能力,属基础题。
4. 设 ,则“ "是“ ”的( ）
A。 充分而不必要条件B。 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】
利用定义法判断即可。
【详解】当 时， ,充分性成立；反过来,当 时，则 ，不一定有 ，
2020-2021学年北京市清华大学附属中学高一上学期期末考试数学试卷含答案
2020-2021学年北京市清华附中高一（上）期末数学试卷一、选择题：（共10道小题，每小题4分，共40分）1．（4分）已知α为第三象限角，则π﹣α为（）A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角2．（4分）已知集合{x|x≥a}与{1，2}的交集为∅，则a的值可以为（）A．0B．1C．2D．33．（4分）已知a＞b＞c，a，b，c∈R，则下列不等式一定成立的是（）A．ac＞bc B．c﹣a＜c﹣bC．a﹣b＞a﹣c D．c（b﹣a）＜a（b﹣c）4．（4分）已知点P（3，﹣4）是角α终边上一点，则＝（）A．B．C．D．5．（4分）“α＝2kπ+，k∈Z”是“sinα＝”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件6．（4分）若0.3x＞0.3y＞1，则（）A．x＞y＞0B．y＞x＞0C．x＜y＜0D．y＜x＜07．（4分）函数的图像关于直线x＝t对称，则t的值可以为（）A．B．C．D．8．（4分）已知函数f（x）＝x2﹣4x在[0，m]上的值域为[﹣4，0]，则实数m的取值范围是（）A．（0，2]B．[2，4]C．（0，4]D．[2，+∞）9．（4分）某食品保鲜时间y（单位：小时）与储藏温度x（单位：℃）满足函数关系y＝e kx+b（e＝2.718…为自然对数的底数，k，b为常数）．若该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在22℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33℃的保鲜时间是（）A．16小时B．20小时C．24小时D．28小时10．（4分）已知函数，若函数F（x）＝f（x）﹣f（﹣x）在[﹣2，0）∪（0，2]上有四个不同的零点，则实数a的取值范围为（）A．（0，2）B．（0，1]C．（﹣2，1）D．（﹣1，2]二、填空题（共5道小题，每小题5分，共25分）11．（5分）函数f（x）＝cos（2x﹣）最小正周期为．12．（5分）已知函数f（x）＝a sin x+bx+1，若f（﹣1）＝2，则f（1）＝．13．（5分）函数f（x）＝2sin（2x+）在上单调递增，则实数m的最大值为．14．（5分）某种药在病人血液中的含量不低于2克时，它才能起到有效的治疗作用，已知服用m（1≤m≤4，m∈R）个单位的药剂，药剂在血液中的含量y（克）随着时间x（小时）变化的函数关系式近似为y＝m•f（x），其中f（x）＝．（1）若病人一次服用3个单位的药剂，则有效治疗时间可达小时．（2）若病人第一次服用2个单位的药剂，6个小时后再服用m个单位的药剂，要使接下来的2小时中能够持续有效治疗，则m的最小值为．15．（5分）如果函数f（x）的图像可以通过g（x）的图像平移得到，称函数f（x）为函数g（x）的“同形函数”．在①y＝cos2x；②y＝2sin x cos x；③y＝sin4x﹣cos4x；④y＝sin2x•tan x中，为函数y＝cos2x的“同形函数”的有.（填上正确选项序号即可）三、解答题（共6道小题，第16～20题每题14分，第21题15分）16．（14分）（Ⅰ）计算求值：（1）log93＝；（2）＝；（Ⅱ）解关于x的不等式：（1）x2﹣3x﹣4≤0；（2）x2≥ax（a∈R）．17．（14分）已知α为第二象限角，且sinα＝﹣2cosα．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的值．18．（14分）已知函数f（x）＝log a（x+a），a＞0且a≠1．（Ⅰ）若f（2）＝2，求a的值．（Ⅱ）若f（x）在[1，3]上的最大值与最小值的差为1，求a的值．19．（14分）已知函数．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求函数f（x）在上的最大值及最小值．20．（14分）已知函数，a，b∈R，且该函数的图像经过点（﹣1，0），．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）已知直线y＝kx+m（k≠1）与x轴交于点T，且与函数f（x）的图像只有一个公共点．求|OT|的最大值．（其中O为坐标原点）21．（15分）已知n为不小于3的正整数，记Ωn＝{（x1，x2，⋯，x n）|0≤x1≤x2≤⋯≤x n≤1}，对于Ωn中的两个元素X＝（x1，x2，⋯，x n），Y＝（y1，y2，⋯，y n），定义d（X，Y）为|x1﹣y1|，|x2﹣y2|，…，|x n﹣y n|中的最小值．（Ⅰ）当n＝3时，，，，求d（X，Y）+d（Y，Z）的值；（Ⅱ）若，为Ω3中的两个元素，且，求实数b的所有可能取值构成的集合．（Ⅲ）若，且对于任意的X∈Ωn，均有d（A，X）≤L，求L的最小值．2020-2021学年北京市清华附中高一（上）期末数学试卷参考答案与试卷解析一、选择题：（共10道小题，每小题4分，共40分）1．（4分）已知α为第三象限角，则π﹣α为（）A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角【答案】D【分析】由α的范围求出π﹣α的范围，进而看可确定π﹣α的范围．【解答】解：因为×3，k∈Z，所以﹣＜π﹣α＜﹣2kπ，k∈Z，所以π﹣α为第四象限．故选：D．2．（4分）已知集合{x|x≥a}与{1，2}的交集为∅，则a的值可以为（）A．0B．1C．2D．3【答案】D【分析】根据题意可得a＞2，即可判断正确的选项．【解答】解：∵集合{x|x≥a}与{1，2}的交集为∅，∴a＞2，∴a的值可以为3．故选：D．3．（4分）已知a＞b＞c，a，b，c∈R，则下列不等式一定成立的是（）A．ac＞bc B．c﹣a＜c﹣bC．a﹣b＞a﹣c D．c（b﹣a）＜a（b﹣c）【答案】B【分析】根据不等式的性质判断即可．【解答】解：由a＞b＞c，当c＝0时，故A不成立；∵a＞b，∴﹣a＜﹣b，∴c﹣a＜c﹣b，故B成立；∵b＞c，∴﹣b＜﹣c，∴a﹣b＜a﹣c，故C不成立；例如a＝1，b＝0，c＝﹣1，则c（b﹣a）＝1，a（b﹣c）＝1，故D不成立．故选：B．4．（4分）已知点P（3，﹣4）是角α终边上一点，则＝（）A．B．C．D．【答案】B【分析】直接利用任意角的三角函数的定义可求sinα，cosα的值，进而根据两角和的余弦公式即可得到结论．【解答】解：因为点P（3，﹣4）是角α终边上一点，所以sinα＝＝﹣，cosα＝＝，所以＝cosαcos﹣sinαsin＝（cosα﹣sinα）＝（+）＝．故选：B．5．（4分）“α＝2kπ+，k∈Z”是“sinα＝”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】先利用特殊角的三角函数值，求出sinα＝，再利用充分条件与必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：sinα＝等价于或，所以“α＝2kπ+，k∈Z”是“sinα＝”的充分不必要条件．故选：A．6．（4分）若0.3x＞0.3y＞1，则（）A．x＞y＞0B．y＞x＞0C．x＜y＜0D．y＜x＜0【答案】C【分析】结合指数函数为y＝0.3x的单调性即可比较x，y的大小．【解答】解：因为y＝0.3x在R上单调递减，且0.3x＞0.3y＞0.30，所以x＜y＜0．故选：C．7．（4分）函数的图像关于直线x＝t对称，则t的值可以为（）A．B．C．D．【答案】B【分析】由正弦函数的对称性可令2t﹣＝kπ+，k∈Z，解得t，再通过k的取值可得结论．【解答】解：由正弦函数的对称性可得2t﹣＝kπ+，k∈Z，解得t＝+，k∈Z，当k＝0时，t＝，故选：B．8．（4分）已知函数f（x）＝x2﹣4x在[0，m]上的值域为[﹣4，0]，则实数m的取值范围是（）A．（0，2]B．[2，4]C．（0，4]D．[2，+∞）【答案】B【分析】先求函数的对称轴，然后结合函数取得最大于最小值的位置即可求解．【解答】解：∵f（x）＝x2﹣4x的开口向上，对称轴x＝2，且f（0）＝f（4）＝0，f（2）＝﹣4，∵函数f（x）在[0，m]内的值域为[﹣4，0]，则实数2≤m≤4故选：B．9．（4分）某食品保鲜时间y（单位：小时）与储藏温度x（单位：℃）满足函数关系y＝e kx+b（e＝2.718…为自然对数的底数，k，b为常数）．若该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在22℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33℃的保鲜时间是（）A．16小时B．20小时C．24小时D．28小时【答案】C【分析】由已知中保鲜时间与储藏温度是一种指数型关系，由已知构造方程组求出e k，e b的值，运用指数幂的运算性质求解e33k+b即可．【解答】解：y＝e kx+b（e＝2.718…为自然对数的底数，k，b为常数）．当x＝0时，e b＝192，当x＝22时e22k+b＝48，∴e22k＝＝e11k＝e b＝192当x＝33时，e33k+b＝（e11k）3•（e b）＝（）3×192＝24故选：C．10．（4分）已知函数，若函数F（x）＝f（x）﹣f（﹣x）在[﹣2，0）∪（0，2]上有四个不同的零点，则实数a的取值范围为（）A．（0，2）B．（0，1]C．（﹣2，1）D．（﹣1，2]【答案】A【分析】根据该分段函数的性质，由函数零点问题转化为函数图像交点问题，由F（x）＝f（x）﹣f（﹣x）的奇函数的性质，转化为x∈（0，2]时有两解，结合函数图像即可得解．【解答】解：由F（﹣x）＝f（﹣x）﹣f（x）＝﹣[f（x）﹣f（﹣x）]＝﹣F（x），所以F（x）为奇函数，根据对称性可得x∈（0，2]时有两个零点即可，令F（x）＝f（x）﹣f（﹣x）＝0，可得f（x）＝f（﹣x），若x∈（0，2]则﹣x∈[﹣2，0），即有两解，结合对称性可得：如图所示可得：，所以0＜a＜2．故选：A．二、填空题（共5道小题，每小题5分，共25分）11．（5分）函数f（x）＝cos（2x﹣）最小正周期为π．【答案】见试卷解答内容【分析】根据三角函数的周期公式即可得到结论．【解答】解：根据三角函数的周期公式可得函数的周期T＝，故答案为：π12．（5分）已知函数f（x）＝a sin x+bx+1，若f（﹣1）＝2，则f（1）＝0．【答案】0．【分析】首先计算f（x）+f（﹣x）的和为常数，再由已知条件可得所求值．【解答】解：函数f（x）＝a sin x+bx+1，则f（﹣x）+f（x）＝a sin（﹣x）+b（﹣x）+1+a sin x+bx+1＝（﹣a sin x+a sin x）+（﹣bx+bx）+2＝2，所以f（1）+f（﹣1）＝f（1）+2＝2，解得f（1）＝0．故答案为：0．13．（5分）函数f（x）＝2sin（2x+）在上单调递增，则实数m的最大值为．【答案】．【分析】由正弦函数的单调性，求得f（x）的增区间，再由集合的包含关系，解不等式可得所求最大值．【解答】解：函数f（x）＝2sin（2x+），可令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈Z，解得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，由题意可得[﹣，m]⊆[kπ﹣，kπ+]，k∈Z，即有kπ﹣≤﹣且m≤kπ+，k∈Z，即k≤，可得k＝0时，m取得最大值，故答案为：．14．（5分）某种药在病人血液中的含量不低于2克时，它才能起到有效的治疗作用，已知服用m（1≤m≤4，m∈R）个单位的药剂，药剂在血液中的含量y（克）随着时间x（小时）变化的函数关系式近似为y＝m•f（x），其中f（x）＝．（1）若病人一次服用3个单位的药剂，则有效治疗时间可达小时．（2）若病人第一次服用2个单位的药剂，6个小时后再服用m个单位的药剂，要使接下来的2小时中能够持续有效治疗，则m的最小值为．【答案】；【分析】（1）由题意可得m＝3，则可得y＝3f（x）的解析式，求解3f（x）≥2，即可得答案．（2）先分析有效治疗末端时间点，由此列出满足再服用m个单位药剂后，接下来2个小时能㫃持续有效的不等式，利用恒成立求得m的范围，即可得答案．【解答】解：（1）若病人一次服用3个单位的药剂，则m＝3，所以当0≤x＜6时，，当6≤x≤8时，令，解得，当6≤x≤8时，令，解得，所以若病人一次服用3个单位的药剂，则有效治疗时间可达小时．（2）若病人第一次服用2个单位的药剂，则m＝2，所以，此时，所以治疗时间末端为第6小时结束，因为在治疗时间末端再服用m个单位药剂，所以6≤x≤8，所以，所以对于任意x∈[6，8]恒成立，所以对于任意x∈[6，8]恒成立，设，为开口向上，对称轴为x＝4的抛物线，所以g（x）在[6，8]上单调递增，所以，故，所以m的最小值为．15．（5分）如果函数f（x）的图像可以通过g（x）的图像平移得到，称函数f（x）为函数g（x）的“同形函数”．在①y＝cos2x；②y＝2sin x cos x；③y＝sin4x﹣cos4x；④y＝sin2x•tan x中，为函数y＝cos2x的“同形函数”的有②③.（填上正确选项序号即可）【答案】②③．【分析】利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式，根据三角函数图像和图像的变换即可求解．【解答】解：①y＝cos2x＝cos2x+，其可由y＝cos2x先纵坐标缩小一半，再向上平移得到，二者不是同形函数，故①错误；②y＝2sin x cos x＝sin2x＝cos（2x﹣），可由y＝cos2x向右平移个单位得到，故②正确；③y＝sin4x﹣cos4x＝（sin2x2）（sin2x﹣cos2x）＝sin2x+cos2x＝﹣cos2x＝cos（2x+π），可由y＝cos2x向左平移个单位得到，故③正确；④y＝sin2x•tan x＝2sin x cos x•＝2sin2x＝1﹣cos2x＝cos（2x+π）+1，因为y＝sin2x•tan x的定义域不是R，而cos2x的定义域是R，所以不可能平移得到．故④错误；综上所述，②③正确．故答案为：②③．三、解答题（共6道小题，第16～20题每题14分，第21题15分）16．（14分）（Ⅰ）计算求值：（1）log93＝；（2）＝﹣；（Ⅱ）解关于x的不等式：（1）x2﹣3x﹣4≤0；（2）x2≥ax（a∈R）．【答案】（Ⅰ）（1）；（2）﹣；（Ⅱ）（1）[﹣1，4]；（2）当a＝0时，原不等式解集为R；a＞0时，原不等式解集为（﹣∞，0]∪[a，+∞）；当a＜0时，原不等式解集为（﹣∞，a∪[0，+∞）．【分析】（Ⅰ）（1）根据对数定义计算即可；（2）根据诱导公式计算即可；（∐）（1）根据一元二次不等式运算即可；（2）根据一元二次不等式解法对a进行讨论运算即可．【解答】解：（Ⅰ）（1）log93＝；（2）＝﹣cos＝﹣；（Ⅱ）（1）一元二次方程x2﹣3x﹣4的解为﹣1，4，结合二次函数y＝x2﹣3x﹣4的图像可得一元二次不等式x2﹣3x﹣4≤0的解集为[﹣1，4]；（2）关于x的不等式x2≥ax即为x（x﹣a）≥0，当a＝0时，原不等式解集为R；a＞0时，原不等式解集为（﹣∞，0]∪[a，+∞）；当a＜0时，原不等式解集为（﹣∞，a∪[0，+∞）．17．（14分）已知α为第二象限角，且sinα＝﹣2cosα．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的值．【答案】（Ⅰ）．（Ⅱ）1．【分析】（Ⅰ）由已知利用同角三角函数基本关系式可求tanα的值，进而根据两角和的正切公式即可求解的值．（Ⅱ）由题意利用同角三角函数基本关系式，二倍角公式即可求解．【解答】解：（Ⅰ）因为α为第二象限角，且sinα＝﹣2cosα，所以tanα＝﹣2，所以＝＝＝﹣．（Ⅱ）因为α为第二象限角，所以∈（kπ+，kπ+），k∈Z，是第一或第三象限角，所以＝﹣＝＝＝＝＝1．18．（14分）已知函数f（x）＝log a（x+a），a＞0且a≠1．（Ⅰ）若f（2）＝2，求a的值．（Ⅱ）若f（x）在[1，3]上的最大值与最小值的差为1，求a的值．【答案】（I）a＝2；（II）a＝或a＝．【分析】（I）由已知f（2）＝2（II）结合对数函数的单调性对a进行分类讨论，结合对数的运算性质可求．【解答】解：（I）因为f（2）＝log a（2+a）＝2，所以a2﹣a﹣2＝0，解得a＝2或a＝﹣1（舍），（II）当a＞1时，f（x）在[1，3]上单调递增，由题意得，，解得，a＝，当0＜a＜1时，f（x）在[1，3]上单调递减，由题意得，，解得，a＝，综上，a＝或a＝．19．（14分）已知函数．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求函数f（x）在上的最大值及最小值．【答案】（Ⅰ）2．（Ⅱ）最大值为2+，最小值为0．【分析】（Ⅰ）利用两角和差的正弦公式以及辅助角公式进行转化求解即可．（Ⅱ）求出角的范围，根据三角函数的最值性质进行求解即可．【解答】解：（Ⅰ）f（x）＝4（sin x+cos x）cos x＝2sin x cos x+2cos2x＝sin2x+（1+cos2x）＝sin2x+cos2x+＝2sin（2x+）+，则＝2sin（2×+）+＝2sin+＝2×＝2．（Ⅱ）当x∈时，2x∈[0，π]，2x+∈[，]，则sin（2x+）∈[sin，sin]，即sin（2x+）∈[﹣，1]，则2sin（2x+）∈[﹣，2]，2sin（2x+）+∈[0，2+]，即f（x）的最大值为2+，最小值为0．20．（14分）已知函数，a，b∈R，且该函数的图像经过点（﹣1，0），．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）已知直线y＝kx+m（k≠1）与x轴交于点T，且与函数f（x）的图像只有一个公共点．求|OT|的最大值．（其中O为坐标原点）【答案】（I）a＝1，b＝﹣1；（II）1．【分析】（1）把已知点的坐标直接代入即可求解a，b；（II），由题意可得相应方程只有一个解，然后结合二次方程根的存在条件可得m，k的关系，再结合二次函数的性质可求．【解答】解：（I）由题意得，，解得，a＝1，b＝﹣1；（II）由题意得，T（﹣，0），k≠0，由x﹣＝kx+m只有一个解，即（k﹣1）x2+mx+1＝0只有一个解，因为k≠1，所以Δ＝m2﹣4（k﹣1）＝0，所以|OT|2＝＝＝﹣4（）＝﹣4[（）2﹣，根据二次函数的性质得，当k＝2时，上式取得最大值1，此时|OT|取得最大值1．21．（15分）已知n为不小于3的正整数，记Ωn＝{（x1，x2，⋯，x n）|0≤x1≤x2≤⋯≤x n≤1}，对于Ωn中的两个元素X＝（x1，x2，⋯，x n），Y＝（y1，y2，⋯，y n），定义d（X，Y）为|x1﹣y1|，|x2﹣y2|，…，|x n﹣y n|中的最小值．（Ⅰ）当n＝3时，，，，求d（X，Y）+d（Y，Z）的值；（Ⅱ）若，为Ω3中的两个元素，且，求实数b的所有可能取值构成的集合．（Ⅲ）若，且对于任意的X∈Ωn，均有d（A，X）≤L，求L的最小值．【答案】（I）；（II）；（III）．【分析】（I）（II）根据定义和条件得到不等式组，求解即得；（III）先找一特例，使得，然后证明不可能更大即可．【解答】解：（I），，；（II）若，∴，或，解得或，即实数b的所有可能取值构成的集合；（III）若，且对于任意的X∈Ωn，均有d（A，X）≤L，当时，，所以．若存在X＝{x1，x2，…，x n}∈Ωn，使得，则，∴，∴，∴，矛盾．所以L的最小值．。
北京市海淀区清华大学附属中学2020届高三数学上学期10月月考试题(含解析)
温约为______________ C, ______________
.
【答案】 (1). 5 【解析】
π
(2).
6
由 题 意 ， 得 当 x 5 11 8 时 ， sin( π 8 ) 1 ， 又 因 为 0 π ， 所 以
2
6
2
π 4π 11π ， 即 4π 3π ， π ， 即 y a b sin( π x π ) ， 则
下一层灯数是上一层灯数的 2 倍，则塔的顶层共有灯
A. 1 盏
B. 3 盏
C. 5 盏
D. 9 盏
【答案】B
【解析】
【详解】设塔顶的 a1 盏灯， 由题意{an}是公比为 2 的等比数列，
3
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∴S7= a1 1 27 =381，
1 2
解得 a1=3．
故选：B．
7.某校象棋社团组织中国象棋比赛,采用单循环赛制,即要求每个参赛选手必须且只须和其
求出结果。
3.已知函数 y xa , y logb x 的图像如图所示,则
1
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A. b 1 a
B. b a 1
C. a 1 b
D.
a b 1
【答案】A
【解析】
由图象，得 y logb x 在 (0, ) 上单调递增，即 b 1， y xa 在 [0, ) 上单调递增，且 增加得越来越慢，即 0 a 1，则 b 1 a .故选 A.
5 分，此时成立．综上 C 正确．
对于 D，由于 7 大于 6，故人数不是最少．所以 D 不正确．
故选 C．
点睛：本题考查推理问题，考查学生的分析问题和应用所学知识解决问题的能力．解题时要
2020-2021北京清华大学附属中学高中必修一数学上期中试题含答案
2020-2021北京清华大学附属中学高中必修一数学上期中试题含答案一、选择题1．设集合{}1,2,4A =，{}240B x x x m =-+=．若{}1A B ⋂=，则B =( ) A ．{}1,3-B ．{}1,0C ．{}1,3D ．{}1,52．函数()2312x f x x -⎛⎫=- ⎪⎝⎭的零点所在的区间为（ ）A ．()0,1B ．()1,2C ．()2,3D ．()3,43．函数tan sin tan sin y x x x x =+--在区间（2π，32π）内的图象是( ) A ． B ．C ．D ．4．关于函数()sin |||sin |f x x x =+有下述四个结论：①f (x )是偶函数 ②f (x )在区间（2π,π）单调递增 ③f (x )在[,]-ππ有4个零点 ④f (x )的最大值为2其中所有正确结论的编号是 A ．①②④B ．②④C ．①④D ．①③5．函数()sin lg f x x x =-的零点个数为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．36．设集合{1,2,3},{2,3,4}A B ==，则A B =UA ．{}123,4，，B ．{}123，，C ．{}234，，D ．{}134，，7．已知函数()245fx x x +=++，则()f x 的解析式为( )A ．()21f x x =+ B ．()()212f x x x =+≥C ．()2f x x =D ．()()22f x xx =≥8．设x 、y 、z 为正数，且235x y z ==，则 A ．2x <3y <5z B ．5z <2x <3y C ．3y <5z <2xD ．3y <2x <5z9．函数223()2xx xf x e +=的大致图像是（ ）A ．B ．C ．D ．10．定义在R 上的奇函数()f x 满足()1(2)f x f x +=-，且在()0,1上()3x f x =，则()3log 54f =（ ）A ．32B ．23-C ．23D ．32-11．已知定义在R 上的函数()21()x mf x m -=-为实数为偶函数,记0.5(log 3),a f =2b (log 5),c (2)f f m ==,则,,a b c ,的大小关系为（ ）A ．a b c <<B ．c a b <<C ．a c b <<D ．c b a <<12．设函数3()f x x x =+ ，. 若当02πθ<<时，不等式(sin )(1)0f m f m θ+-> 恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．1(,1]2B ．1(,1)2C ．[1,)+∞D ．(,1]-∞二、填空题13．已知函数()(0,1)x f x a b a a =+>≠的定义域和值域都是[]1,0-，则a b += . 14．已知函数()(),y f x y g x ==分别是定义在[]3,3-上的偶函数和奇函数，且它们在[]0,3上的图象如图所示，则不等式()()0f x g x ≥在[]3,3-上的解集是________.15．函数()1x f x +=的定义域是______． 16．若函数()6,23log ,2a x x f x x x -+≤⎧=⎨+>⎩（0a >且1a≠）的值域是[)4,+∞，则实数a 的取值范围是__________．17．用max{,,}a b c 表示,,a b c 三个数中的最大值，设{}2()max ln ,1,4(0)f x x x x x x =--->，则()f x 的最小值为_______.18．关于下列命题：①若函数2xy =的定义域是{|0}x x ≤，则它的值域是{|1}y y ≤；② 若函数1y x =的定义域是{|2}x x >，则它的值域是1|2y y ⎧⎫≤⎨⎬⎩⎭； ③若函数2y x =的值域是{|04}y y ≤≤，则它的定义域一定是{|22}x x -≤≤；④若函数2log y x =的值域是{|3}y y ≤，则它的定义域是{|08}x x <≤.其中不正确的命题的序号是_____________( 注：把你认为不正确的命题的序号都填上). 19．若4log 3a =，则22a a -+= ． 20．若关于的方程有三个不相等的实数根，则实数的值为_______.三、解答题21．已知满足(1)求的取值范围； (2)求函数的值域．22．某医药研究所开发的一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测：服药后每毫升血液中的含药量y(微克)与时间t(小时)之间近似满足如图所示的曲线．(1)写出第一次服药后，y 与t 之间的函数关系式y ＝f(t)；(2)据进一步测定：每毫升血液中含药量不少于0.25微克时，治疗有效．求服药一次后治疗有效的时间是多长？23．已知集合A ＝{x|2a ＋1≤x≤3a －5}，B ＝{x|x ＜－1，或x ＞16}，分别根据下列条件求实数a 的取值范围．（1）A∩B ＝∅；（2）A ⊆（A∩B ）．24．小张经营某一消费品专卖店，已知该消费品的进价为每件40元，该店每月销售量（百件）与销售单价x （元/件）之间的关系用下图的一折线表示，职工每人每月工资为1000元，该店还应交付的其它费用为每月10000元.（1）把y 表示为x 的函数；（2）当销售价为每件50元时，该店正好收支平衡（即利润为零），求该店的职工人数； （3）若该店只有20名职工，问销售单价定为多少元时，该专卖店可获得最大月利润？（注：利润=收入-支出）25．2018年1月8日，中共中央､国务院隆重举行国家科学技术奖励大会，在科技界引发热烈反响，自主创新正成为引领经济社会发展的强劲动力.某科研单位在研发新产品的过程中发现了一种新材料，由大数据测得该产品的性能指标值y 与这种新材料的含量x （单位：克）的关系为：当06x ≤<时，y 是x 的二次函数；当6x ≥时，13x ty -⎛⎫= ⎪⎝⎭测得数据如下表（部分）： x （单位：克） 0129…y74319…（1）求y 关于x 的函数关系式()y f x =；（2）当该产品中的新材料含量x 为何值时，产品的性能指标值最大. 26．围建一个面积为360m 2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修），其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m 的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为45元/m ，新墙的造价为180元/m ，设利用的旧墙的长度为x （单位：元）．（Ⅰ）将y 表示为x 的函数；（Ⅱ）试确定x ，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【解析】∵ 集合{}124A ，，=，{}2|40B x x x m =-+=，{}1A B ⋂= ∴1x =是方程240x x m -+=的解，即140m -+= ∴3m =∴{}{}{}22|40|43013B x x x m x x x =-+==-+==，，故选C2．B解析：B 【解析】 【分析】判断函数()2312x f x x -⎛⎫=- ⎪⎝⎭单调递增，求出f （0）=-4，f （1）=-1，f （2）=3＞0，即可判断． 【详解】∵函数()2312x f x x -⎛⎫=- ⎪⎝⎭单调递增，∴f（0）=-4，f （1）=-1，f （2）=7＞0，根据零点的存在性定理可得出零点所在的区间是()1,2， 故选B ． 【点睛】本题考查了函数的单调性，零点的存在性定理的运用，属于容易题．3．D解析：D 【解析】解：函数y=tanx+sinx-|tanx-sinx|=2tan ,tan sin {2sin ,tan sin x x x x x x<≥分段画出函数图象如D 图示， 故选D ．4．C解析：C 【解析】 【分析】化简函数()sin sin f x x x =+，研究它的性质从而得出正确答案． 【详解】()()()()sin sin sin sin ,f x x x x x f x f x -=-+-=+=∴Q 为偶函数，故①正确．当2x ππ<<时，()2sin f x x =，它在区间,2π⎛⎫π ⎪⎝⎭单调递减，故②错误．当0x π≤≤时，()2sin f x x =，它有两个零点：0,π；当0x π-≤<时，()()sin sin 2sin f x x x x =--=-，它有一个零点：π-，故()f x 在[],-ππ有3个零点：0-π,,π，故③错误．当[]()2,2x k k k *∈ππ+π∈N时，()2sin f x x =；当[]()2,22x k k k *∈π+ππ+π∈N 时，()sin sin 0f x x x =-=，又()f x 为偶函数，()f x ∴的最大值为2，故④正确．综上所述，①④ 正确，故选C ．【点睛】画出函数()sin sin f x x x =+的图象，由图象可得①④正确，故选C ．5．D解析：D 【解析】 【分析】画出函数图像，根据函数图像得到答案. 【详解】如图所示：画出函数sin y x =和lg y x =的图像，共有3个交点. 当10x >时，lg 1sin x x >≥，故不存在交点. 故选：D .【点睛】本题考查了函数的零点问题，画出函数图像是解题的关键.6．A解析：A 【解析】由题意{1,2,3,4}A B =U ，故选A. 点睛:集合的基本运算的关注点：(1)看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提．(2)有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决．(3)注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn 图．7．B解析：B 【解析】 【分析】利用换元法求函数解析式，注意换元后自变量范围变化. 【详解】 2x t =,则2t ≥，所以()()()()2224t 251,2,f t t t t =-+-+=+≥即()21f x x =+ ()2x ≥.【点睛】本题考查函数解析式，考查基本求解能力.注意换元后自变量范围变化.8．D解析：D 【解析】令235(1)x y zk k ===>，则2log x k =，3log =y k ，5log =z k∴22lg lg 3lg 913lg 23lg lg8x k y k =⋅=>，则23x y >， 22lg lg5lg 2515lg 25lg lg32x k z k =⋅=<，则25x z <，故选D. 点睛:对于连等问题，常规的方法是令该连等为同一个常数，再用这个常数表示出对应的,,x y z ，通过作差或作商进行比较大小.对数运算要记住对数运算中常见的运算法则，尤其是换底公式以及0与1的对数表示.9．B解析：B 【解析】由()f x 的解析式知仅有两个零点32x =-与0x =，而A 中有三个零点，所以排除A ，又()2232xx x f x e-++'=，由()0f x '=知函数有两个极值点，排除C ，D ，故选B ． 10．D解析：D 【解析】 【分析】由题意结合函数的性质整理计算即可求得最终结果. 【详解】由题意可得：()354f log =()3log 23f +， 则()354f log =()31log 21f -+，且()()331log 21log 21f f +=--， 由于()3log 211,0-∈-，故()()31log 2333log 211log 232f f --=--=-=-，据此可得：()()3312log 21log 213f f +=-=-，()354f log =32-.本题选择D 选项. 【点睛】本题主要考查函数的奇偶性，函数的周期性及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.11．B解析：B 【解析】由()f x 为偶函数得0m =,所以0,52log 3log 32121312,a =-=-=-=2log 521514b =-=-=,0210c =-=,所以c a b <<,故选B.考点：本题主要考查函数奇偶性及对数运算.12．D解析：D 【解析】 【分析】 【详解】易得()f x 是奇函数，2()310()f x x f x '=+>⇒在R 上是增函数，不等式(sin )(1)0f m f m θ+-> 恒成立. 可得11(sin )(1)sin 1,0sin 111sin 1sin f m f m m m m m θθθθθ>-⇒>-⇒<<<⇒⇒≤--， 故选D.二、填空题13．【解析】若则在上为增函数所以此方程组无解；若则在上为减函数所以解得所以考点：指数函数的性质解析：32-【解析】若1a >，则()f x 在[]1,0-上为增函数,所以11{10a b b -+=-+=，此方程组无解；若01a <<，则()f x 在[]1,0-上为减函数,所以10{11a b b -+=+=-，解得1{22a b ==-，所以32a b +=-.考点：指数函数的性质.14．【解析】【分析】不等式的解集与f （x ）g(x)0且g （x ）0的解集相同观察图象选择函数值同号的部分再由f （x ）是偶函数g （x ）是奇函数得到f （x ）g （x ）是奇函数从而求得对称区间上的部分解集最后两部 解析：(]()(]3,21,01,2--⋃-⋃【解析】 【分析】 不等式()()f x 0g x ≥的解集，与f （x ）⋅g(x)≥0且g （x ）≠0的解集相同，观察图象选择函数值同号的部分，再由f （x ）是偶函数，g （x ）是奇函数，得到f （x ）⋅g （x ）是奇函数，从而求得对称区间上的部分解集，最后两部分取并集即可. 【详解】 将不等式()()f x 0g x ≥转化为f （x ）⋅g(x)≥0且g （x ）≠0，如图所示：满足不等式的解集为：（1,2]∵y=f （x ）是偶函数，y=g （x ）是奇函数∴f （x ）⋅g （x ）是奇函数, 故在y 轴左侧，满足不等式的解集为(-3,-2]U (-1,0) 故不等式()()0f x g x ≥在[]3,3-上的解集是(-3,-2]U (-1,0)U （1,2]【点睛】本题考查了函数的奇偶性在解不等式中的应用，考查了数形结合，转化，分类讨论等思想方法，根据函数奇偶性的性质以及数形结合是解决本题的关键.15．【解析】【分析】由根式内部的代数式大于等于0且分式的分母不等于0联立不等式组求解x 的取值集合得答案【详解】由得且函数的定义域为：；故答案为【点睛】本题考查了函数的定义域及其求法是基础的会考题型 解析：[)()1,00,∞-⋃+【解析】 【分析】由根式内部的代数式大于等于0且分式的分母不等于0联立不等式组求解x 的取值集合得答案． 【详解】由{100x x +≥≠，得1x ≥-且0x ≠．∴函数()f x x=的定义域为：[)()1,00,-⋃+∞； 故答案为[)()1,00,-⋃+∞． 【点睛】本题考查了函数的定义域及其求法，是基础的会考题型．16．【解析】试题分析：由于函数的值域是故当时满足当时由所以所以所以实数的取值范围考点：对数函数的性质及函数的值域【方法点晴】本题以分段为背景主要考查了对数的图象与性质及函数的值域问题解答时要牢记对数函数 解析：(]1,2【解析】试题分析：由于函数()()6,2{0,13log ,2a x x f x a a x x -+≤=>≠+>的值域是[)4,+∞，故当2x ≤时，满足()64f x x =-≥，当2x >时，由()3log 4a f x x =+≥，所以log 1a x ≥，所以log 2112a a ≥⇒<<，所以实数a 的取值范围12a <≤. 考点：对数函数的性质及函数的值域.【方法点晴】本题以分段为背景主要考查了对数的图象与性质及函数的值域问题，解答时要牢记对数函数的单调性及对数函数的特殊点的应用是解答的关键，属于基础题，着重考查了分类讨论的思想方法的应用，本题的解答中，当2x >时，由()4f x ≥，得log 1a x ≥，即log 21a ≥，即可求解实数a 的取值范围.17．0【解析】【分析】将中三个函数的图像均画出来再分析取最大值的函数图像从而求得最小值【详解】分别画出的图象取它们中的最大部分得出的图象如图所示故最小值为0故答案为0【点睛】本题主要考查数形结合的思想与解析：0 【解析】 【分析】将{}2()max ln ,1,4(0)f x x x x x x =--->中三个函数的图像均画出来,再分析取最大值的函数图像,从而求得最小值. 【详解】分别画出ln y x =-,1y x =-,24y x x =-的图象,取它们中的最大部分,得出()f x 的图象如图所示,故最小值为0.故答案为0 【点睛】本题主要考查数形结合的思想与常见函数的图像等,需要注意的是在画图过程中需要求解函数之间的交点坐标从而画出准确的图像,属于中等题型.18．①②③【解析】【分析】通过定义域和值域的相关定义及函数的增减性即可判断①②③④的正误【详解】对于①当时故①不正确；对于②当时则故②不正确；对于③当时也可能故③不正确；对于④即则故④正确【点睛】本题主解析：①②③【解析】 【分析】通过定义域和值域的相关定义，及函数的增减性即可判断①②③④的正误. 【详解】对于①，当0x ≤时，01y <≤，故①不正确；对于②，当2x >时，则1102x <<，故②不正确；对于③，当04y ≤≤时，也可能02x ≤≤，故③不正确；对于④，即2log 3x ≤，则08x <≤，故④正确.【点睛】本题主要考查定义域和值域的相关计算，利用函数的性质解不等式是解决本题的关键，意在考查学生的计算能力.19．【解析】【分析】【详解】∵∴∴考点：对数的计算 解析：433【解析】 【分析】 【详解】∵4log 3a =，∴4323a a =⇒=，∴24223333a -+=+=. 考点：对数的计算20．3【解析】令fx=x2-2x-2则由题意可得函数y=fx 与函数y=m 的图象有三个公共点画出函数fx=x2-2x-2的图象如图所示结合图象可得要使两函数的图象有三个公共点则m=3答案：3解析：3 【解析】 令，则由题意可得函数与函数的图象有三个公共点．画出函数的图象如图所示，结合图象可得，要使两函数的图象有三个公共点，则．答案：3三、解答题21．(1) (2)【解析】试题分析（1）先将不等式化成底相同的指数，再根据指数函数单调性解不等式（2）令，则函数转化为关于 的二次函数，再根据对称轴与定义区间位置关系确定最值，得到值域. 试题解析： 解：(1) 因为由于指数函数在上单调递增(2) 由（1）得令，则，其中因为函数开口向上，且对称轴为函数在上单调递增的最大值为，最小值为函数的值域为. 22．（1）0.8)4,015(,1t t t y t ≤≤⎧=⎨⋅>⎩n ； （2）服药一次后治疗有效的时间是5－＝小时.【解析】 【分析】（1）由函数图象的奥这是一个分段函数，第一段为正比例函数的一段，第二段是指数函数的一段，由于两端函数均过点(1,4)，代入点(1,4)的坐标，求出参数的值，即可得到函数的解析式；（2）由（1）的结论将函数值0.25代入函数的解析式，构造不等式，求出每毫升血液中函数不少于0.25微克的起始时刻和结束时刻，即可得到结论. 【详解】（1）由题意，根据给定的函数的图象，可设函数的解析式为1)2,01(,1t a kt t y t -≤<⎧⎪=⎨⎪≥⎩n ，又由函数的图象经过点(1,4)，则当1t =时，14k ⨯=，解得4k =， 又由1t =时，11()42a-=，解得3a =，所以函数的解析式为1)324,01(,1t t t y t -≤<⎧⎪=⎨⎪≥⎩n . （2）由题意，令0.25y ≥，即当01t ≤<时，40.25t ≥，解得116t ≥， 当1t ≥时，31()0.252t -≥，解得15t ≤≤，综上所述，可得实数t 的取值范围是1516t ≤≤， 所以服药一次后治疗有效的时间是17951616-=小时. 【点睛】本题主要考查了一次函数与指数函数模型的应用，解答中认真审题，合理设出函数的解析式，代入求解是解答的关键，同时应用指数函数模型应注意的问题：(1)指数函数模型的应用类型.常与增长率相结合进行考查，在实际问题中有人口增长、银行利率、细胞分裂等增长问题可以利用指数函数模型来解决.(2)应用指数函数模型时的关键.关键是对模型的判断，先设定模型，再将已知有关数据代入验证，确定参数，从而确定函数模型. 23．（1）{a|a≤7}；（2）{a|a ＜6或a ＞152} 【解析】 【分析】（1）根据A∩B=∅，可得-1≤2a+1≤x≤3a -5≤16，解不等式可得a 的取值范围；（2）由A ⊆（A ∩B ）得A ⊆B ，分类讨论，A ＝∅与A≠∅，分别建立不等式，即可求实数a 的取值范围 【详解】（1）若A ＝∅，则A∩B ＝∅成立． 此时2a ＋1＞3a －5， 即a ＜6．若A≠∅，则2135{2113516a a a a +≤-+≥--≤解得6≤a≤7．综上，满足条件A∩B ＝∅的实数a 的取值范围是{a|a≤7}． （2）因为A ⊆（A∩B ），且（A∩B ）⊆A ， 所以A∩B ＝A ，即A ⊆B ． 显然A ＝∅满足条件，此时a ＜6．若A≠∅，则2135{351a a a +≤--<-或2135{2116a a a +≤-+> 由2135{351a a a +≤--<-解得a ∈∅；由2135{2116a a a +≤-+>解得a ＞152．综上，满足条件A ⊆（A∩B ）的实数a 的取值范围是{a|a ＜6或a ＞152}． 考点：1．集合关系中的参数取值问题；2．集合的包含关系判断及应用24．（1）()()2140,4060150,60802x x y x x ⎧-+≤≤⎪=⎨-+<≤⎪⎩（2）30名员工（3）销售单价定为55或70元时，该专卖店月利润最大 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法分别求出当4060x ≤≤和6080x <≤时的解析式，进而可得所求结果；（2）设该店有职工m 名，根据题意得到关于m 的方程，求解可得所求；（3）由题意得到利润的函数关系式，根据分段函数最值的求法可得所求． 【详解】（1）当4060x ≤≤时，设y ax b =+， 由题意得点()()40,60,60,20在函数的图象上，∴40606020a b a b +=⎧⎨+=⎩，解得2140a b =-⎧⎨=⎩，∴当4060x ≤≤时，2140y x =-+． 同理，当6080x <≤时，1502y x =-+． ∴所求关系式为()()2140,4060150,6080.2x x y x x ⎧-+≤≤⎪=⎨-+<≤⎪⎩（2）设该店有职工m 名，当x=50时，该店的总收入为()()()4010010021404040000y x x x -⨯=-+-=元， 又该店的总支出为1000m+10000元， 依题意得40000=1000m+10000, 解得：m=30.所以此时该店有30名员工． （3）若该店只有20名职工，则月利润()()()()()21404010030000,40601504010030000,60802x x x S x x x ⎧-+-⨯-≤≤⎪=⎨⎛⎫-+-⨯-<≤ ⎪⎪⎝⎭⎩①当4060x ≤≤时，()225515000S x =--+， 所以x=55时，S 取最大值15000元； ②当6080x <≤时，()2170150002S x =--+，所以x=70时，S 取最大值15000元； 故当x=55或x=70时，S 取最大值15000元， 即销售单价定为55或70元时，该专卖店月利润最大． 【点睛】解决函数应用问题重点解决以下几点：（1）阅读理解、整理数据：通过分析快速弄清数据之间的关系，数据的单位等等； （2）建立函数模型：关键是正确选择自变量将问题表示为这个变量的函数，建立函数的模型的过程主要是抓住某些量之间的相等关系列出函数式，注意不要忘记函数的定义域； （3）求解函数模型：主要是研究函数的单调性，求函数的值域、最大(小)值； （4）回答实际问题结果：将函数问题的结论还原成实际问题，结果明确表述出来．25．（1）()2712,0641,63x x x x f x x -⎧-+≤<⎪⎪=⎨⎛⎫⎪≥ ⎪⎪⎝⎭⎩（2）4x = 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法，结合所给数据可求函数关系式()y f x =； （2）分段求解函数的最大值，比较可得结果. 【详解】（1）当06x ≤<时，由题意，设()2f x ax bx c =++（0a ≠），由表格数据得()()()007142423f c f a b c f a b c ⎧==⎪⎪=++=⎨⎪=++=⎪⎩，解得1420a b c ⎧=-⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩，所以，当06x ≤<时，()2124f x x x =-+， 当6x ≥时，()13x tf x -⎛⎫= ⎪⎝⎭，由表格数据可得()911939tf -⎛⎫==⎪⎝⎭， 解得7t =，所以当6x ≥时，()713x f x -⎛⎫= ⎪⎝⎭，综上，()2712,0641,63x x x x f x x -⎧-+≤<⎪⎪=⎨⎛⎫⎪≥ ⎪⎪⎝⎭⎩. （2）当06x ≤<时，()()221124444f x x x x =-+=--+，可知4x =时，()()max 44f x f ==，当6x ≥时，()713x f x -⎛⎫= ⎪⎝⎭单凋递减，可知6x =时，()()67max1633f x f -⎛⎫=== ⎪⎝⎭.综上可得，当4x =时，产品的性能指标值最大. 【点睛】本题主要考查函数解析式的求解及最值，待定系数法是求解析式的常用方法，根据函数的类型设出解析式，结合条件求解未知系数，侧重考查数学抽象26．（Ⅰ）y =225x +2360360(0)x x-〉n（Ⅱ）当x =24m 时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440元． 【解析】试题分析：（1）设矩形的另一边长为am ，则根据围建的矩形场地的面积为360m 2，易得360a x=，此时再根据旧墙的维修费用为45元/m ，新墙的造价为180元/m ，我们即可得到修建围墙的总费用y 表示成x 的函数的解析式；（2）根据（1）中所得函数的解析式，利用基本不等式，我们易求出修建此矩形场地围墙的总费用最小值，及相应的x 值 试题解析：（1）如图，设矩形的另一边长为a m 则45x+180（x-2）+180·2a=225x+360a-360由已知xa=360,得a=,所以y=225x+（2）．当且仅当225x=时，等号成立．即当x=24m 时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440元． 考点：函数模型的选择与应用。
北京中学2023-2024学年高一上学期10月月考数学试题含解析
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三、解答题（本大题共 4 小题，共 45 分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）
16. 已知全集U R ，集合 A {x R | 2x 1 1} ，集合 B {x R | 1 x 2} ．
（1）求集合 A B 及 (ðU A) B ；
（2）若集合 C {x R | a x 2a, a 0} ，且 C B ，求实数 a 的取值范围． 【答案】（1） A B (1,1] ， ðU A B (1, ) ；
故选：D
8.
设集合 M
x | x
k 3
1 6
,
k
Z
,
N
x | x k 61 3,k
Z
，则（
）
A. M = N
B. M N
C. N M
D. M N
【答案】B
【解析】
【分析】根据集合 M , N 的表达式，可求出集合 M 是 1 的奇数倍， N 是 1 的整数倍，即可得出 M , N 的关
由 B (1, 2]，所以 A B (1,1] ， ðU A B (1, ) ．
3x y 2 11. 方程组 2x 3y 27 的解集用列举法表示为______________.
【答案】3, 7
【解析】
【分析】首先根据方程组求出其解，然后运用列举法表示出对应的解集即可（以有序数对 a, b 的形式表示
元素）.
3x y 2
x 3
【详解】因为
2
x
3
y
27
，所以
对于 C.原式 x 2 x 3 ，符合题意；
对于 D.原式 x 2 42 x 2 2 ，不符合题意.
故选：C.
4. 若集合 A {x∣x 3}, B x∣x 2n 1, n Z ，则 A B （ ）
北京市顺义区2024-2025学年高一上学期10月月考数学试题含答案
2024-2025学年北京市顺义高一（上）月考数学试卷（10月份）一､单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.（答案在最后）1.已知集合{}210A x x =-=∣，下列式子错误的是（）A.1A∈ B.A∅⊆ C.{}1A -∈ D.{}1,1A =-【答案】C 【解析】【分析】先求出集合A ，再利用元素与集合之间的关系依次判断各选项即可得解.【详解】{}2{|10}1,1A x x =-==- ，{}1,1,A A A ∴∈-⊆∅⊆，故ABD 正确；而{}1-与A 是两个集合，不能用“∈”表示它们之间的关系，故C 错误.故选：C2.命题“2,220x x x ∃∈++≤R ”的否定是A.2,220x x x ∀∈++>R B.2,220x R x x ∀∈++≤C.2,220x x x ∃∈++>R D.2,220x x x ∃∈++≥R 【答案】A 【解析】【分析】根据特称命题的否定是全称命题的知识，选出正确选项.【详解】特称命题的否定是全称命题，注意到要否定结论，故A 选项正确.故选A.【点睛】本小题主要考查全称命题与特称命题的否定，属于基础题.3.下列各组函数表示同一函数的是（）A.()()211,1x f x x g x x -=+=- B.()()01,f x g x x==C.()()2f xg x == D.()()00x x f x g t t x x ≥⎧==⎨-<⎩，，，【答案】D 【解析】【分析】由相同函数定义可判断各选项正误；【详解】A 选项，()f x 定义域为R ，()g x 定义域为()(),11,-∞+∞ ，故不是同一函数，A 错误；B 选项，()f x 定义域为R ，()g x 定义域为()(),00,-∞+∞ ，故不是同一函数，B 错误；C 选项，()f x 定义域为R ，()g x 定义域为[)0,+∞，故不是同一函数，C 错误；D 选项，两函数定义域相同，解析式也相同，故为同一函数，故D 正确.故选：D4.已知x R ∈，则“11x>”是“1x <”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据充分条件和必要条件的定义分析判断即可【详解】由11x>，得10xx ->，解得01x <<，因为当01x <<时，1x <成立，而当1x <时，01x <<不一定成立，所以“11x>”是“1x <”的充分不必要条件，故选：A5.已知{}min ,a b 表示,a b 中较小的数，设()()(){}min ,h x f x g x =，若()f x x =，()2g x x =，则函数()h x 的大致图象是（）A. B.C.D.【答案】D 【解析】【分析】根据已知条件及分段处理的原则，结合绝对值函数和幂函数的图象即可求解.【详解】当()()f x g x ≤时，即2x x ≤，解得1x ≤-或1x ≥或0x =，所以()(]}[){()()2,,101,,1,00,1x x h x x x ∞∞⎧∈--⋃⋃+⎪=⎨∈-⋃⎪⎩，故图象为D.故选：D.6.若关于x 的不等式()210x a x a -++<的解中，恰有3个整数，则实数a 应满足（）A .45a << B.32a -<<-或45a <<C.45a <≤ D.32a -≤<-或45a <≤【答案】D 【解析】【分析】解不等式，讨论()()10x a x --<中a 与1的大小求解集，再判断解集中含3个整数时参数a 的范围即可【详解】由()210x a x a -++<，得()()10x a x --<由解中恰有3个整数∴当1a <时，1<<a x ，得32a -≤<-；当1a >时，1x a <<，得45a <≤，综上所述，32a -≤<-或45a <≤故选：D【点睛】本题考查了由不等式解集的取值情况求参数范围，注意讨论不等式的参数求解集，按题意求满足要求的参数范围7.如图，OAB △是边长为2的正三角形，记OAB △位于直线()02x t t =≤≤左侧的图形的面积为()f t ．则函数()y f t =的图象大致为（）A.B.C.D.【答案】A 【解析】【分析】结合图形，分类讨论01t <≤与12t <≤，求得()f t 的解析式，从而得解.【详解】依题意，当01t <≤时，可得直角三角形的两条直角边分别为3t t ，从而可以求得213()322t f t t t ==，当12t <≤时，阴影部分可以看做大三角形减去一个小三角形，可求得223(2)3()323322t f t t t -=-=-+，所以223(01)2()3233(12)2t t f t t t t <≤⎪⎪=⎨⎪-+<≤⎪⎩，从而可知选项A 的图象满足题意.故选：A.8.今年某地因天气干旱导致白菜价格不稳定，假设第一周、第二周的白菜价格分别为a 元/斤、b 元/斤()a b ≠，王大妈每周购买10元的白菜，李阿姨每周购买8斤白菜，王大妈和李阿姨两周买白菜的平均价格分别记为1m ，2m ，则1m 与2m 的大小关系为（）A.12m m =B.12m m >C.12m m <D.无法确定【答案】C 【解析】【分析】由题意可知12abm a b=+，22a b m +=，再利用作差法比较大小即可．【详解】由题意可得，0a >，0b >，a b ≠，12021010abm a b a b==++，288162a b a bm ++==，()()221224()()0222ab a b ab a b a b m m a b a b a b +-+---=-==<+++ ，12m m ∴<．故选：C ．9.对于集合M ，N ，定义{},M N x x M x N -=∈∉且，()()M N M N N M ⊕=-- ，设94A y y ⎧⎫=≥-⎨⎬⎩⎭，{}0B y y =<，则A B ⊕=A.9,04⎛⎤-⎥⎝⎦B.9,04⎡⎫-⎪⎢⎣⎭C .[)9,0,4⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭ D.()9,0,4⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭ 【答案】C 【解析】【分析】由根据定义先求出集合A B -和集合B A -，再求这两个集合的并集可得A B ⊕，得解.【详解】因为94A y y ⎧⎫=≥-⎨⎬⎩⎭，{}0B y y =<，{|0}A B y y ∴-=≥,9{|}4B A y y -=<-,所以()(){}[)990|,0,44A B A B B A y y y y ⎧⎫⎛⎫⊕=-⋃-=≥⋃<-=-∞-⋃+∞⎨⎬ ⎪⎩⎭⎝⎭故选C ．【点睛】本题考查集合的交、并、补集的运算，解题时注意理解A B -和B A -的含义，属于基础题.10.已知函数288,0()24,0x x x f x x x ⎧-+≥=⎨+<⎩．若互不相等的实根123,,x x x 满足()()()123f x f x f x ==，则123x x x ++的范围是（）A.(2,8) B.(8,4)- C.(6,0)- D.(6,8)-【答案】A 【解析】【分析】根据函数图象有三个实数根的函数值在()8,4-之间，第一段函数关于4x =对称，即可求出238x x +=，再根据图象得到1x 的取值范围，即可得到答案.【详解】根据函数的解析式可得如下图象若互不相等的实根123,,x x x 满足()()()123f x f x f x ==，根据图象可得2x 与3x 关于4x =，则238x x +=，当1248x +=-时，则16x =-是满足题意的1x 的最小值，且1x 满足160x -<<，则123x x x ++的范围是(2,8).故选：A.二､填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分.11.已知函数()241,011,0x x f x x x⎧-≤⎪=⎨-+>⎪⎩，则15f f ⎡⎤⎛⎫= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦______．【答案】63【解析】【分析】先计算145f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再计算()4f -的值即可.【详解】因为1114155f ⎛⎫=-+=- ⎪⎝⎭，所以()144161635f f f ⎡⎤⎛⎫=-=⨯-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦．故答案为：63．12.集合{}220A x x px =+-=，{}20B x x x q =-+=，若{}2,0,1A B =- ，则p =_________，q =_________.【答案】①.1②.0【解析】【分析】根据一元二次方程韦达定理以及集合并集的定义求得结果.【详解】因为{}220A x x px =+-=，{}20B x x x q =-+=，{}2,0,1A B =- ，设方程220x px +-=的两根为12,x x ，则1212,2x x p x x +=-=-，因为{}12,2,0,1x x ∈-，所以220x px +-=的两根为2,1-，所以()211p =--+=，所以集合{}20B x x x q =-+=中一定有元素0，所以0q =，故答案为：1；0.13.已知0x>，则42+3x x+的最小值等于_________.【答案】2+【解析】【详解】42322x x ++≥+=+，当且仅当3x =时取等号，故最小值为2+，故答案为2+14.若对任意实数x k 的取值范围是__________.【答案】[]0,8【解析】【分析】由题意得，220kx kx -+≥恒成立，然后对k 的取值进行分类讨论，结合二次函数的性质可求．【详解】对任意实数x 都有意义，即220kx kx -+≥恒成立，当0k =时，20≥恒成立，符合题意；故0k ≠，则2Δ80k k k >⎧⎨=-≤⎩，解得08k <≤，综上：k 的取值范围是[]0,8.故答案为：[]0,8.15.已知函数()22xf x x=+，则()()()()1111220222023202320222f f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭__________.【答案】40454【解析】【分析】先观察分析得()112f x f x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，再利用分组求和法即可得解.【详解】因为()22xf x x =+，则()114f =，而1112222xf x x x⎛⎫==⎪+⎝⎭+，则()()111212x f x f x x +⎛⎫+== ⎪+⎝⎭，则()()()()1111220222023202320222f f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++++⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()()()1112023202221202320222f f f f f f f ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎣⎦1140452022244=⨯+=.故答案为：40454.三､解答题：本题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16.已知不等式20x ax b ++<(,R)a b ∈的解集{}12A x x =-<<.（1）求实数a ，b 的值；（2）若集合{}0B x x =<，求A B ⋂，()R A B ⋃ð.【答案】（1）a =-1，b =-2（2）{}10A B x x ⋂=-<<，(){}R 1A B x x ⋃=>-ð【解析】【分析】可根据题意条件，此一元二次不等式的解集转化成此一元二次方程的两个跟，然后利用根与系数的关系，即可完成求解；可根据集合A 、B 的范围分别求解出A B ⋂，()R A B ⋃ð即可.【小问1详解】因为不等式的解集为{}12A x x =-<<，所以11x =-，22x =是方程20x ax b ++=的两个实数根.则有10,420,a b a b -+=⎧⎨++=⎩解得a =-1，b =-2.【小问2详解】因为{}12A x x =-<<，{}0B x x =<，所以{}10A B x x ⋂=-<<，{}R 0B x x =≥ð，(){}R 1A B x x ⋃=>-ð17.已知集合{}2560A x x x =--<，{}121,B x m x m m R =+≤≤-∈.（1）若4m =，求集合R A ð，集合R A B U ð；（2）若A B A = ，求实数m 的取值范围.【答案】（1）{}16R A x x x =≤-≥或ð，{}67R A B x x x ⋃=或ð；（2）7,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭.【解析】【分析】（1）首先解一元二次不等式求出集合A ，再根据补集的定义求出R A ð、B R ð，最后根据并集的定义计算可得；（2）由A B A = ，可得B A ⊆，即可得到不等式组，解得即可.【详解】解：（1）因为{}2560A x x x =--<，所以{}16A x x =-<<，{|1R A x x =≤-ð或6}x ≥.当4m =时，{}57B x x =≤≤所以{|5R B x x =<ð或7}x >.所以{|6R A B x x ⋃=<ð或7}x >.（2）因为A B A = ，所以B A ⊆.当B =∅时，121m m +>-，则2m <；当B ≠∅时，由题意得21121611m m m m -≥+⎧⎪-<⎨⎪+>-⎩，解得272m ≤<.综上，实数m 的取值范围是7,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭.【点睛】求集合的基本运算时，要认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合，这是正确求解集合运算的两个先决条件．18.解关于x 的不等式：()()2220ax a x a +--≥∈R ．【答案】答案见解析【解析】【分析】分0a =，0a >和0a <三种情况，在0a <时，再分三种情况，求出不等式解集.【详解】①当0a =时，原不等式化为10x +≤，解得1x ≤-．②当0a >时，原不等式化为()210x x a ⎛⎫-+≥ ⎪⎝⎭，解得2x a ≥或1x ≤-．③当0a <时，原不等式化为()210x x a ⎛⎫-+≤ ⎪⎝⎭.当21a >-，即2a <-时，解得21x a -≤≤；当21a =-，即2a =-时，解得1x =-满足题意；当21a<-，即20a -<<时，解得21x a ≤≤-．综上所述，当0a =时，不等式的解集为{}1x x ≤-；当0a >时，不等式的解集为21x x x a ⎧⎫≥≤-⎨⎬⎩⎭或；当20a -<<时，不等式的解集为21x x a ⎧⎫≤≤-⎨⎬⎩⎭；当2a =-时，不等式的解集为{}1-；当2a <-时，不等式的解集为21x x a ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭．19.根据下列条件，求()f x 的解析式：（1）已知()f x 满足()2141f x x x +=++；（2）已知()f x 是一次函数，且满足()()3129f x f x x +-=+.【答案】（1）()222f x x x +=-（2）()3f x x =+【解析】【分析】（1）令1t x =+，则1x t =-，利用换元法计算可得；（2）设()f x kx b =+()0k ≠，即可得到方程组，解得k 、b ，即可得解.【小问1详解】解：因为()2141f x x x +=++，令1t x =+，则1x t =-，故()()()22141122f t t t t t =-+-+=+-，所以()222f x x x +=-；【小问2详解】解：设()f x kx b =+()0k ≠，因为()()3129f x f x x +-=+，所以()31329k x b kx b x ++--=+，即23229kx k b x ++=+，所以22329k k b =⎧⎨+=⎩，解得13k b =⎧⎨=⎩，所以()3f x x =+；20.经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量y （千辆/小时）与汽车的平均速度v （千米/小时）之间的函数关系为：2920(0)31600v y v v v =>++.（1）若要求在该时间段内车流量超过10千辆/小时，则汽车的平均速度应在什么范围内？（2）该时段内，当汽车的平均速度v 为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？（精确到0.1千辆/小时）【答案】（1）大于25km/h 且小于64km/h（2）40km/h v =，11.1千辆/时【解析】【分析】（1）只需要解不等式29201031600v v v >++即可.(2)把函数变形为92016003()y v v =++再根据基本不等求解.【小问1详解】由题意得29201031600v v v >++，整理得28916000v v -+<，即(25)(64)0v v --<.解得2564v <<.所以如果要求在该时段内车流量超过10千辆/时，则汽车的平均速度应大于25/km h 且小于64/km h .【小问2详解】由题意得9209201600833(y v v =≤=++，当且仅当1600v v =，即40v =时取等号，所以max 92011.183y =≈（千辆/时）.故当40/v km h =时，车流量最大，最大车流量约为11.1千辆/时.21.对于集合A ，定义()1,1,A x A g x x A ∉⎧=⎨-∈⎩.对于两个集合A 、B ，定义运算()(){}*1A B A B x g x g x =⋅=-．（1）若{}1,2,3A =，{}2,3,4,5B =，写出()1A g 与()1B g 的值，并求出*A B ；（2）证明：()()*()A B A B g x g x g x =⋅；【答案】（1）()11A g =-，()11B g =，{}*1,4,5A B =；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据题中定义可求得()11A g =-，()11B g =-，进一步可求得*A B ；（2）分x A ∈且x B ∈、x A ∈且x B ∉、x A ∉且x B ∈三种情况讨论，计算出()A g x 、()B g x 、()A B g x *的值，验证()()*()A B A B g x g x g x =⋅成立，即可证得结论成立.【详解】（1）因为{}1,2,3A =，{}2,3,4,5B =，则()11A g =-，()11B g =，根据定义可得()()()()()()1144551A B A B A B g g g g g g ⋅=⋅=⋅=-，()()()()22331A B A B g g g g ⋅=⋅=，()()331A B g g ⋅=，故{}*1,4,5A B =；（2）①当x A ∈且x B ∈时，()()1A B g x g x ==-，则x A B ∉*，则()1A B g x *=，所以，()()()*A B A B g x g x g x =⋅；②当x A ∈且x B ∉时，()1A g x =-，()1B g x =，x A B ∈*，则()*1A B g x =-.所以()()()*A B A B g x g x g x =⋅；③当x A ∉且x B ∈时，()1A g x =，()1B g x =-，所以，x A B ∈*，则()*1A B g x =-.综上所述，()()*()A B A B g x g x g x =⋅.。
北京市2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题含答案
北京市2024～2025学年第一学期期中考试高一学科：数学（答案在最后）2024年10月（考试时间120分钟满分150分）提示：试卷答案请一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效.在答题卡上，选择题用2B 铅笔作答，其他试题用黑色签字笔作答.一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）1.已知集合{}1,0,1,2,3U =-，{}13,N A x x x =-<<∈，则U A =ð（）A.{}1,3-B.{}1,2C.{}1,0,3- D.{}0,1,2【答案】A 【解析】【分析】首先求解集合A ，再根据补集的定义即可得出答案.【详解】因为{}{}13,N 0,1,2A x x x =-<<∈=，{}1,0,1,2,3U =-，所以{}1,3U A =-ð.故选：A.2.下列函数中是偶函数的是（）A.4(0)y x x =<B.221y x =+C.31y x =- D.1y x =+【答案】B 【解析】【分析】根据奇偶性的定义对各个选项逐一判断即可得出答案.【详解】解：对于A ，因为函数4(0)y x x =<的定义域不关于原点对称，所函数不具有奇偶性，故A 不符题意；对于B ，函数()221y f x x ==+的定义域为R ，()()221f x f x x -==+，所以函数为偶函数，故B 符合题意；对于C ，函数()31y f x x ==-的定义域为R ，()()31f x x f x -=--≠，所以函数不是偶函数，故C 不符题意；对于D ，函数()1y f x x ==+的定义域为R ，因为()()1012f f -=≠=，所以函数不是偶函数，故D 不符题意.故选：B.3.已知,,a b c ∈R ，且a b >，则下列不等式正确的是（）A.ac bc >B.22a b >C.33a b > D.11a b<【答案】C 【解析】【分析】根据特值法可排除A ，B ，D ，根据3y x =在R 上单调递增，可判断C 项.【详解】当0c =时，ac bc =，故A 错误；当1a =-，2b =-时，22a b <，故B 错误；因为3y x =在R 上单调递增，且a b >，所以33a b >，故C 正确；当1a =，1b =-时，11a b>，故D 错误.综上，正确的为C .故选：C .4.函数3xy =的大致图象是（）A. B.C. D.【答案】B 【解析】【分析】根据函数的值域，以及指数函数的图象特征，即可判断选项.【详解】0x ≥，所以31x≥，排除AC ，且3,033,0x xx x x -⎧≥=⎨<⎩，排除D.故选：B5.若奇函数()f x 在区间[]3,7上是增函数，且最小值为5，则它在区间[]7,3--上是（）A.增函数且有最大值5-B.增函数且有最小值5-C.减函数且有最大值5-D.减函数且有最小值5-【答案】A 【解析】【分析】根据奇偶函数的性质直接得出结果.【详解】因为函数()f x 在区间[3,7]上是增函数，且有最小值5，所以(3)5f =，又()f x 为奇函数，所以函数()f x 在区间[7,3]--上是增函数，且有最大值(3)(3)5f f -=-=-.故选：A6.随着我国经济的不断发展，2023年年底某地区农民人均年收入为7000元，预计该地区今后农民的人均年收入将以每年6％的年平均增长率增长，那么2030年年底该地区的农民人均年收入为（）A.70001.067⨯⨯元B.770001.06⨯元C.70001.068⨯⨯元D.870001.06⨯元【答案】B 【解析】【分析】根据指数增长模型计算即可.【详解】设经过x 年，该地区的农民人均年收入为y 元，根据题意可得7000 1.06x y =⨯，从2023年年底到2030年年底共经过了7年，所以2030年年底该地区的农民人均年收入为770001.06⨯元．故选：B.7.已知0a >，则41a a++的最小值为（）A.1-B.3C.4D.5【答案】D【解析】【分析】根据基本不等式求解即可.【详解】因为0a >，根据基本不等式可得441115a a a a ++=++≥+=，当且仅当4a a=，即2a =时，等号成立；所以41a a++的最小值为5，故选：D.8.如图，已知全集U =R ，集合{}2340A x x x =-->，{}0B x x =>，则图中阴影部分表示的集合为（）A.{}0x x ≤ B.{}1x x ≥- C.{}10x x -≤≤ D.{}04x x x 或【答案】C 【解析】【分析】解不等式化简集合A ，再结合韦恩图求出阴影部分表示的集合.【详解】依题意，集合{|1A x x =<-或}4x >，而{}0B x x =>，则|1{A B x x =<- 或}0x >，由韦恩图知，图中阴影部分表示的集合为(){|10}U A B x x =-≤≤ ð.故选：C.9.“01a <≤”是“关于x 的不等式2210ax ax -+≥对R x ∀∈恒成立”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】首先求不等式恒成立时a 的取值范围，再根据集合的关系，即可判断.【详解】不等式2210ax ax -+≥对R x ∀∈恒成立,当0a =时，10≥恒成立，当0a ≠时，2Δ440a a a >⎧⎨=-≤⎩，得01a <≤，所以01a ≤≤，所以“01a <≤”是“关于x 的不等式2210ax ax -+≥对R x ∀∈恒成立”的充分不必要条件.故选：A10.已知函数()25,1,1x ax x f x a x x⎧-+≤⎪=⎨>⎪⎩满足对任意实数12x x ≠，都有()()21210f x f x x x -<-成立，则a 的取值范围是（）A.(]0,3 B.[)2,+∞ C.()0,∞+ D.[]2,3【答案】D 【解析】【分析】由题意可知函数()f x 在R 上递减，结合分段函数单调性列式求解即可.【详解】因为函数()f x 满足对任意实数12x x ≠，都有2121()()0f x f x x x -<-成立，不妨假设12x x <，则210x x ->，可得()()210f x f x -<，即()()12f x f x >，可知函数()f x 在R 上递减，则1206a a a a ⎧≥⎪⎪>⎨⎪-+≥⎪⎩，解得：23a ≤≤，所以a 的取值范围是[]2,3.故选：D.11.函数()221,21,2x x f x x x ⎧-<-=⎨-≥-⎩的值域为（）A.31,4⎛⎫--⎪⎝⎭B.[)1,-+∞C.(),-∞+∞ D.31,4⎡⎫--⎪⎢⎣⎭【答案】C 【解析】【分析】由指数函数与二次函数的图象与性质即可得到函数的值域【详解】当2x -＜时，()21xf x =-因为函数2x y =在(),2-∞-上单调递增，所以函数21x y =+在(),2-∞-上单调递增，又20x >所以()31,4f x ⎛⎫∈--⎪⎝⎭；当2x ≥-时，()()[]21,1,f x x f x =-∈-+∞，所以，()f x 的值域为[)1,-+∞.故选：B.12.由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪，直到1872年，德国数学家戴德金提出了“戴德金分割”才结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机.所谓戴德金分割，是指将有理数集Q 划分为两个非空的子集M 与N ，且满足M N ⋃=Q ，M N ⋂=∅，M 中的每一个元素都小于N 中的每一个元素，则称(),M N 为戴德金分割.试判断，对于任一戴金德分割(),M N ，下列选项中一定不成立的是（）A .M 没有最大元素，N 有一个最小元素B.M 没有最大元素，N 也没有最小元素C.M 有一个最大元素，N 有一个最小元素D.M 有一个最大元素，N 没有最小元素【答案】C 【解析】【分析】本题目考察对新概念的理解，举具体的实例证明成立即可，A,B,D 都能举出特定的例子，排除法则说明C 选项错误【详解】若{},0M x Q x =∈<，{},0N x Q x =∈≥；则M 没有最大元素，N 有一个最小元素0；故A 正确；若{,M x Q x =∈<，{,N x Q x =∈≥；则M 没有最大元素，N 也没有最小元素；故B 正确；若{},0M x Q x =∈≤，{},0N x Q x =∈>；M 有一个最大元素，N 没有最小元素，故D 正确；M 有一个最大元素，N 有一个最小元素不可能，故C 不正确.故选：C二、填空题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）13.函数()0f x -=的定义域为______.【答案】11,,222⎛⎫⎛⎫-∞⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【解析】【分析】根据函数的形式，列不等式，即可求解.【详解】函数的定义域需满足 ㌴㌴ ，得2x <且12x ≠，所以函数的定义域为11,,222∞⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故答案为：11,,222∞⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭14.关于a 的不等式的220a -<解集是______.【答案】{a a <<【解析】【分析】因式分解后，即可求解不等式.【详解】(2200a a a -<⇔+-<，得a <<，所以不等式的解集为{a a <<.故答案为：{a a <<15.计算：()33log 927+-=______.【答案】19681-【解析】【分析】根据对数公式和指数运算公式，即可求解.【详解】()33log 92721968319681+-=-=-.故答案为：19681-16.命题“∀x ＞0，x 2+2x -3＞0”的否定是______．【答案】∃x 0＞0，x 02+2x 0-3≤0【解析】【分析】根据含有量词的命题的否定即可得到结论．【详解】命题为全称命题，则命题“∀x ＞0，x 2+2x -3＞0”的否定是为∃x 0＞0，x 02+2x 0-3≤0，故答案为∃x 0＞0，x 02+2x 0-3≤0．【点睛】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．17.已知()21g x x =-，当[]2,6x ∈时，函数()g x 的最小值是______，最大值是______.【答案】①.25##0.4②.2【解析】【分析】先判断函数单调性，再根据单调性求最值.【详解】[]12,2,6x x ∀∈，且12x x <，()()()()()211212122221111x x g x g x x x x x --=-=----，因为[]2,6x ∈，12x x <，所以21120,10,10x x x x ->->->，所以()()120g x g x ->，即()()12g x g x >，所以()g x 在[]2,6上为减函数，则()()()()min max 26,225g x g g x g ====，故答案为：25，2.18.如图是一份纸制作的矩形的宣传单，其排版面积（矩形ABCD ）为P ，两边都留有宽为a 的空白，顶部和底部都留有宽为2a 的空白.若2cm a =，2800cm P =，则当AB =______时，才能使纸的用量最少，最少的纸的用量是______.【答案】①.20cm②.21152cm 【解析】【分析】首先设cm AB x =，再根据条件，用x 表示用纸的用量，列式后再用基本不等式，即可求解.【详解】设cm AB x =，纸的用量为S ，则800cm AD x=，所以()()8008002448S x a a x x x ⎛⎫⎛⎫=++=++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，232003200832883281152cm x x x x=++≥+⋅，当32008x x=时，即20cm x =，所以当20cm AB =时，最少的纸的用量为21152cm .故答案为：20cm ；21152cm 19.函数()2f x x x =-+的单调递增区间是______.【答案】1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦和10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】首先去绝对值，将函数写成分段函数的形式，再结合二次函数的单调性，即可求解.【详解】()22,0,0x x x f x x x x ⎧-+≥=⎨--<⎩，当0x ≥时，221124y x x x ⎛⎫=-+=--+ ⎪⎝⎭，10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦是函数的单调递增区间，当0x <时，221124y x x x ⎛⎫=--=-++ ⎪⎝⎭，1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦是函数的单调递增区间，所以函数的单调递增区间是1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦和10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故答案为：1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦和10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦20.函数10.52x y =+的值域是______.【答案】10,2⎛⎫⎪⎝⎭【解析】【分析】利用指数函数的值域可得0.522x +>，再利用不等式的性质即可求解.【详解】因为函数10.52xy =+定义域为R ，又0.50x >，所以0.522x +>，所以1100.522x <<+，即10,2y ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故答案为：10,2⎛⎫⎪⎝⎭.21.已知函数()243f x x x =-+，()32g x mx m =+-，若对任意[]10,4x ∈，总存在[]20,4x ∈，使()()11220f x x g x +-=成立，则实数m 的取值范围为______.【答案】(][),44,-∞-⋃+∞【解析】【分析】由题意可得两个函数的值域的包含关系，进而可列关于m 的不等式，求解即可.【详解】因为对任意[]10,4x ∈，总存在[]20,4x ∈，使()()11220f x x g x +-=成立，即()()2112g x f x x =+成立，设()()()2222312h x f x x x x x -+=-+=+=，因为[]0,4x ∈，所以()[]2,11h x ∈，当0m =时，()3g x =，不符合题意；当0m >时，可得()[]32,23g x m m ∈-+，则3222311m m -≤⎧⎨+≥⎩，解得4≥m ；当0m <时，可得()[]23,32g x m m ∈+-，则2323211m m +≤⎧⎨-≥⎩，解得4m ≤-；综上所述，实数m 的取值范围为(][),44,-∞-⋃+∞.故答案为：(][),44,-∞-⋃+∞.22.已知函数()()f x x ∈R 满足()()2f x f x -=-，若函数1x y x+=与()y f x =图象的m 个交点为()()()1122,,,,,,m m x y x y x y ⋅⋅⋅，则()()()1122m m x y x y x y ++++⋅⋅⋅++的值是______.【答案】m【解析】【分析】首先判断两个函数的对称性，再根据对称性，确定交点的对称性，即可求解.【详解】由条件()()2f x f x -=-得，()()2f x f x -+=，所以()y f x =关于点()0,1对称，111x y x x +==+关于点()0,1对称，所以函数1x y x+=与()y f x =图象的m 个交点有2m 对关于点()0,1对称，所以123...0m x x x x ++++=，12...22m m y y y m +++=⨯=，所以()()()1122m m x y x y x y m ++++⋅⋅⋅++=.故答案为：m三、解答题：本大题有5小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.23.记全集U =R ，集合{}221,A x a x a a =-≤≤+∈R ，{}37B x x x =≤≥或.（1）若2a =，求A B ⋂，U B ð；（2）若A B ⋃=R ，求a 的取值范围；（3）若A B A = ，求a 的取值范围.【答案】（1）{}|03A B x x ⋂=≤≤，{}|37U B x x =<<ð（2）{}|35a a ≤≤（3）{|1a a ≤或}9a ≥【解析】【分析】（1）根据交集和补集的运算即可求解；（2）根据题意可得到有关a 的一个方程组，求解即可；（3）分A =∅和A ≠∅两种情况求解即可.【小问1详解】若2a =，则{}05A x x =≤≤，又{3B x x =≤或7}x ≥，则{}|03A B x x ⋂=≤≤，{}|37U B x x =<<ð；【小问2详解】集合{}221,A x a x a a =-≤≤+∈R ，{3B x x =≤或7}x ≥，A B ⋃=R ，所以23217a a -≤⎧⎨+≥⎩，解得35a ≤≤，所以a 的取值范围为{}|35a a ≤≤；【小问3详解】因为A B A = ，则A B ⊆，{}221,A x a x a a =-≤≤+∈R ，{3B x x =≤或7}x ≥，当A =∅时，221a a ->+，解得3a <-；当A ≠∅时，221213a a a -≤+⎧⎨+≤⎩或22127a a a -≤+⎧⎨-≥⎩，解得31a -≤≤或9a ≥，综上,若A B A = ，求a 的取值范围为{|1a a ≤或}9a ≥.24.已知函数()22f x x mx =-（1）当[]0,1x ∈，()f x 的最大值为3，求实数m 的值.（2）当11t -≤≤时，若不等式()22f t t >-恒成立，求实数m 的取值范围.【答案】（1）1m =-（2）51|22m m ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭【解析】【分析】（1）根据二次函数的性质，分情况讨论即可；（2）先根据不等式得到()22220t m t -++>在[]1,1t ∈-上恒成立，令()()2222h t t m t =-++，分析该函数对称轴与区间的关系，只需让区间上最小值大于零即可.【小问1详解】已知()()2222f x x mx x m m =-=--，当0m ≤时，函数()f x 在[]0,1x ∈上递增，所以()()max 1123f x f m ==-=，解得1m =-；当1m ≥时，函数()f x 在[]0,1x ∈上递减，所以()()max 003f x f ==≠，矛盾；当01m <<时，函数()f x 在[)0,x m ∈上递减，在[],1m 上递增，所以()()max 003f x f ==≠或()()max 1123f x f m ==-=，解得1m =-，均不符合题意；综上1m =-；【小问2详解】当11t -≤≤时，若不等式()22f t t >-恒成立，即2222t mt t ->-在[]1,1t ∈-上恒成立，即()22220t m t -++>在[]1,1t ∈-上恒成立，令()()2222h t t m t =-++，该函数对称轴为1t m =+，①当11m +≥，即0m ≥时，函数()h t 在[]1,1t ∈-上递减，只需让()()min 10h t h =>即可，则()()112220h m =-++>，解得12m <，即102m ≤<；②当111m -<+<，即20m -<<时，此时()()()()()2min 1122120h t h m m m m =+=+-+++>，解得11m -<<-，即20m -<<；③当11m +≤-，即2m ≤-时，函数()h t 在[]1,1t ∈-上递增，此时()()112220h m -=+++>，解得52m >-，即522m -<≤-；综上m 的取值范围为51|22m m ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭.25.为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民实行“阶梯水价”，计费方法如下表：每户每月用水量水价不超过123m 的部分3元/3m 超过123m 但不超过183m 的部分6元/3m 超过183m 的部分9元/3m （1）求出每月用水量和水费之间的函数关系；（2）若某户居民某月交纳的水费为54元，则此月此户居民的用水量为多少？【答案】（1）3,012636,1218990,18x x y x x x x ⎧⎪=-<⎨⎪->⎩（2）153m 【解析】【分析】（1）先分别求出每一段的函数解析式，再写成分段函数的形式即可；（2）由（1）分012x ，1218x <，18x >三种情况讨论即可的解．【小问1详解】解：当012x 时，3y x =，当1218x <时，3126(12)636y x x =⨯+⨯-=-，当18x >时，312669(18)990y x x =⨯+⨯+⨯-=-，y ∴关于x 的函数解析式为：3,012636,1218990,18x x y x x x x ⎧⎪=-<⎨⎪->⎩；【小问2详解】解：当012x 时，354y x ==，解得18x =舍去，当1218x <时，63654y x =-=，解得15x =，当18x >时，99054y x =-=，解得16x =舍去，综上所述，若某户居民某月交纳的水费为54元，则此月此户居民的用水量为153m .26.已知函数()21ax b f x x +=+是定义在 上的奇函数，且1225f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.（1）求函数()f x 的解析式以及零点.（2）判断并用函数单调性的定义证明()f x 在 t 的单调性.（3）根据前面所得的结论在所给出的平面直角坐标系上，作出()f x 在定义域 上的准确示意图.【答案】（1）()21x f x x =-+，零点为0（2）函数()21x f x x =-+在[]1,0x ∈-上单调递减，证明见详解；（3）图象见详解.【解析】【分析】（1）根据奇函数的性质和1225f ⎛⎫=-⎪⎝⎭可解得a ，b 的值，即可得函数的解析式；令()0f x =可解得函数的零点；（2）利用函数单调性的定义证明即可；（3）根据函数的性质画出函数的图象即可.【小问1详解】因为函数()21ax b f x x +=+是定义在 上的奇函数，所以()00f =，解得0b =，又1225f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，即21225112a =-⎛⎫+ ⎪⎝⎭，解得1a =-，所以()21x f x x =-+，令()0f x =得201x x -=+，解得0x =，即函数的零点为0；【小问2详解】函数()21x f x x =-+在[]1,0x ∈-上单调递减；证明：设1210x x -≤<≤，则()()()()()()121212122222121211111x x x x x x f x f x x x x x ---=-+=++++，因为1210x x -≤<≤，所以120x x -<，1210x x -<，㌴㌴ ，所以 ㌴ ㌴，即()()12f x f x >，所以函数()21x f x x =-+在[]1,0x ∈-上单调递减；【小问3详解】函数()f x 的图像如下：27.设集合A 为非空数集，定义{}|,,A x x a b a b A +==+∈，{}|,,A x x a b a b A -==-∈．（1）若{}1,1A =-，写出集合A +、A -；（2）若{}1234,,,A x x x x =，1234x x x x <<<，且A A -=，求证：1423x x x x +=+；（3）若{}|02021,N A x x x ⊆≤≤∈，且AA +-=∅ ，求集合A 元素个数的最大值．【答案】（1）{}2,0,2A +=-，{}0,2A =（2）证明见解析（3）1348【解析】【分析】（1）根据定义{}|,,A x x a b a b A +==+∈，{}|,,A x x a b a b A -==-∈，直接求解即可，（2）由题意利用集合A 中的元素间的关系及可证明，（3）由题意建立集合间的关系，并列出不等式求k 的范围，即可求出最大值．【小问1详解】由题意，得{}2,0,2A +=-，{}0,2A =，【小问2详解】证明：因为{}1234,,,A x x x x =，1234x x x x <<<，且A A -=，所以集合A -也有四个元素，且都为非负数，因为12||0x x A --=∈，又因为A A -=，所以0A ∈且10x =，所以集合A -中其他元素为220x x -=，330x x -=，440x x -=，即{}2131410,,,}A x x x x x x -=---，剩下的324321x x x x x x -=-=-，因为1324240x x x x x x =<-<-<，所以322x x x -=，423x x x -=即4231x x x x -=-，即1423x x x x +=+，所以1423x x x x +=+【小问3详解】设{}123,,,,k A a a a a = ，满足题意，其中123k a a a a <<<< ，因为11213123122k k k k k k a a a a a a a a a a a a a a -<+<+<<+<+<+<<+< ，所以21A k +≥-，因为1121311k a a a a a a a a -<-<-<<- ，所以||A k -≥，因为A A +-=∅ ，所以31A A A A k +-+-⋃=+≥-，A A +- 中最小的元素为0，最大的元素为2k a ，所以*21,31214043(N ),1348k k A A a k a k k +-⋃≤+-≤+≤∈≤，实际当{}674,675,676,,2020A = ，时满足题意，证明如下：设{},1,2,2021A m m m =++ ，N m ∈，则{}2,21,22,4040A m m m +=++ ，{}0,1,2,2020A m -=- ，由题意得20202m m -<，即16733m >，故m 的最小值为674．即{}674,675,676,,2021A = 时，满足题意，综上所述，集合A 中元素的个数为202167411348-+=（个)．【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是能够结合题意得到*21,31214043(N ),1348k k A A a k a k k +-⋃≤+-≤+≤∈≤，进而证明{}674,675,676,,2021A = 符合题意.。
2021学年北京市高一(上)10月月考数学试卷(有答案)
2021学年北京市高一（上）10月月考数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 设集合A ＝{1, 2, 4, 6}，B ＝{2, 3, 5}，则韦恩图中阴影部分表示的集合（ ）A.{2}B.{3, 5}C.{1, 4, 6}D.{3, 5, 7, 8}2. 下列函数中与函数y =x 表示同一函数的是( )A.y =(√x)2B.y =√x 2C.y =√x 33D.y =x 2x3. 下列给出的函数中，既不是奇函数也不是偶函数的是（ ）A.y =2xB.y ＝x 3C.y ＝−x 2D.y =√x4. 设集合A ={x|0≤x ≤6}，B ={y|0≤y ≤2}，从A 到B 的对应法则f 不是映射的是( )A.f:x →y =12xB.f:x →y =13xC.f:x →y =14xD.f:x →y =16x5. 函数y =|x|x +x 的图象是( )A. B.C.D.6. 已知函数f(x)=[x +32]（取整函数），g(x)={1,x ∈Q 0,x ∉Q，则f （g(π)）的值为（ ） A.1B.0C.2D.π7. 已知函数f(x)＝−x 2+6x +a 2−1，那么下列式子中正确的是（ ）A.f(√2)<f(3)<f(4)B.f(3)<f(√2)<f(4)C.f(√2)<f(4)<f(3)D.f(3)<f(4)<f(√2)8. 将进货单价为80元的商品按90元出售时，能卖出400个．若该商品每个涨价1元，其销售量就减少20个，为了赚取最大的利润，售价应定为每个（ ）A.115元B.105元C.95元D.85元9. 已知函数f(x)＝kx +1在区间(−1, 1)上存在零点，则实数k 的取值范围是（ ）A.−1<k <1B.k >1C.k <−1D.k <−1或k >110. 函数f(x)＝−|x −1|，g(x)＝x 2−2x ，定义F(x)={f(x)，f(x)≥g(x)，g(x)，f(x)<g(x)， 则F(x)满足( )A.既有最大值，又有最小值B.只有最小值，没有最大值C.只有最大值，没有最小值D.既无最大值，也无最小值二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上.函数f(x)=x 2x 2+1的定义域为{0, 1}，则值域为________．若{(x,y)|{x +y −2=0x −2y +4=0}⊆{(x,y)|y =3x +c}，则c ＝________．已知偶函数f(x)在[0, +∞)上是单调函数，且图象经过A(0, −1)，B(3, 1)两点，f(x)<1的解集为________．函数f(x)＝x 2−2bx +3在x ∈[−1, 2]时有最小值1，则实数b ＝________−32或√2 ．已知函数y ＝f(x)是定义在[a, b]上的增函数，其中a ，b ∈R ，且0<b <−a ．设函数F(x)＝[f(x)]2−[f(−x)]2，且F(x)不恒等于0，则对于F(x)有如下说法：①定义域为[−b, b]②是奇函数③最小值为0④在定义域内单调递增其中正确说法的序号是________．三、解答题：本大题共5小题，共56分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．已知集合A＝{a2, a+1, −3}，B＝{−3+a, 2a−1, a2+1}，若A∩B＝{−3}，求实数a的值及A∪B．设全集是实数集R，A={x|x2−4x+3≤0}，B={x|x2−a<0}．(1)当a=4时，求A∩B和A∪B；(2)若B⊆∁R A，求实数a的取值范围．已知函数f(x)=√x−1（1）求函数f(x)的定义域；（2）判断函数f(x)在定义域上的单调性，并用单调性的定义证明．已知函数f(x)＝x⋅|x|−2x．（1）判断函数f(x)的奇偶性，并证明；（2）求函数f(x)的零点；（3）画出y＝f(x)的图象，并结合图象写出方程f(x)＝m有三个不同实根时，实数m的取值范围；（4）写出函数f(x)的单调区间．如果函数f(x)满足：在定义域D内存在x0，使得对于给定常数t，有f(x0+t)＝f(x0)⋅f(t)成立，则称f(x)为其定义域上的t级分配函数．研究下列问题：是否为1级分配函数？说明理由；（1）判断函数f(x)＝2x和g(x)=2x(a>0)能否成为2级分配函数，若能，则求出参数a的取值（2）问函数φ(x)＝）√ax+1范围；若不能请说明理由；(a>0)都是其（3）讨论是否存在实数a，使得对任意常数t(t∈R)函数φ(x)=√ax2+1定义域上的t级分配函数，若存在，求出参数a的取值范围，若不能请说明理由．参考答案与试题解析2021学年北京市高一（上）10月月考数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.【答案】B【考点】Venn图表达集合的关系及运算【解析】根据题意，分析可得，阴影部分的元素为属于B但不属于A的元素，根据已知的A、B，分析可得答案．【解答】根据题意，分析可得，阴影部分的元素为属于B但不属于A的元素，即阴影部分表示(∁U A)∩B，又有A＝{1, 2, 4, 6}，B＝{2, 3, 5}，则(∁U A)∩B＝{3, 5}，2.【答案】C【考点】判断两个函数是否为同一函数【解析】确定函数的三要素是：定义域、对应法则和值域，据此可判断出答案．【解答】3=x，与已知函数y=x的定义域和对应法则完全一样，解：∵y=√x3∴二者是同一函数．故选C．3.【答案】D【考点】函数奇偶性的性质与判断【解析】满足定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件，在由f(x)与f(−x)的关系判定．【解答】对于A、B，满足定义域关于原点对称，f(−x)＝−f(x)是奇函数，排除A、B；对于C，满足定义域关于原点对称，f(−x)＝f(x)是偶函数，排除C；对于D，定义域不关于原点对称既不是奇函数，也不是偶函数，符合题意；f4.【答案】A【考点】映射【解析】通过举反例，按照对应法则f，集合A中的元素6，在后一个集合B中没有元素与之对应，故选项A不是映射，从而选出答案．【解答】解：A不是映射，按照对应法则f，集合A中的元素6，在后一个集合中没有元素与之对应，故不满足映射的定义．B，C，D是映射，因为按照对应法则f，集合A中的每一个元素，在后一个集合B中都有唯一的一个元素与之对应，故B，C，D满足映射的定义.故选A．5.【答案】D【考点】函数的图象【解析】本题考查的知识点是分段函数图象的性质，及函数图象的作法，由绝对值的含义化简原函数式，再分段画出函数的图象即得．【解答】解：函数y=|x|x+x可化为：当x>0时，y=1+x；它的图象是一条过点(0, 1)的射线；当x<0时，y=−1+x．它的图象是一条过点(0, −1)的射线；对照选项，故选D．6.【答案】A【考点】函数的求值求函数的值【解析】先求出g(π)＝0，从而f（g(π)）＝f(0)，由此能求出结果．【解答】∵函数f(x)=[x+32]（取整函数），g(x)={1,x∈Q0,x∉Q，∴g(π)＝0，f（g(π)）＝f(0)＝[32]＝1．7.【答案】C【考点】二次函数的性质二次函数的图象【解析】f(x)＝−x2+6x+a2−1＝−(x−3)2+a2−10，对称轴为x＝3，开口向下，即可得出结论．【解答】f(x)＝−x2+6x+a2−1＝−(x−3)2+a2−10，对称轴为x＝3，开口向下，∴f(√2)<f(4)<f(3)，8.【答案】C【考点】根据实际问题选择函数类型【解析】根据题意，设售价定为(90+x)元，由利润函数＝（售价-进价）×销售量可得关于x的函数方程，由二次函数的性质可得答案．【解答】设售价定为(90+x)元，卖出商品后获得利润为：y＝(90+x−80)(400−20x)＝20(10+x)(20−x)＝20(−x2+10x+200)；∴当x＝5时，y取得最大值；即售价应定为：90+5＝95（元）；9.【答案】D【考点】函数零点的判定定理【解析】讨论k是否为0，根据零点的存在性定理列不等式解出．【解答】当k≠0时，f(x)为单调函数，∵f(x)＝kx+1在区间(−1, 1)上存在零点，∴f(−1)f(1)<0，即(−k+1)(k+1)<0，解得k<−1或k>1．故选：D．10.【答案】B【考点】分段函数的应用函数最值的应用【解析】作出f(x)和g(x)的函数图象即可得出F(x)的函数图象，根据图象判断最值．【解答】解：由题意，作出f(x)与g(x)的函数图象如图所示：∵F(x)={f(x)，f(x)≥g(x)，g(x)，f(x)<g(x)，∴F(x)的函数图象如下：由图象可知，F(x)只有最小值，没有最大值．故选B.二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上. 【答案】{0, 1 2 }【考点】函数的值域及其求法【解析】根据x的取值，求出对应的f(0)，f(1)的值即可．【解答】f(x)=x2x2+1=1−1x2+1，若f(x)的定义域为{0, 1}，x＝0时，f(0)＝0，x＝1时，f(1)=12，故函数的值域是{0, 12}，故答案为：{0, 12}．【答案】2【考点】集合的包含关系判断及应用【解析】由题意，方程组的解为(0, 2)，代入y＝3x+c，可得c的值．【解答】由题意，方程组的解为(0, 2)，代入y＝3x+c，可得c＝2．【答案】(−3, 3)【考点】奇偶性与单调性的综合【解析】根据函数f(x)的图象经过A(0, −1)，B(3, 1)两点可知f(0)＝−1，f(3)＝1，根据函数f(x)为偶函数则f(−3)＝f(3)＝1，函数f(x)在(−∞, 0]上是减函数，然后讨论x的正负，根据函数单调性解不等式即可．【解答】∵函数f(x)的图象经过A(0, −1)，B(3, 1)两点∴f(0)＝−1，f(3)＝1设x≥0，则f(x)<1＝f(3)∵函数f(x)在[0, +∞)上是增函数∴0≤x<3∵函数f(x)为偶函数∴f(−3)＝f(3)＝1，函数f(x)在(−∞, 0]上是减函数设x<0，则f(x)<1＝f(−3)∴−3<x<0综上所述：f(x)<1的解集为(−3, 3)；【答案】√2−3 2【考点】二次函数的性质二次函数的图象【解析】讨论f(x)的对称轴与区间[−1, 2]的关系，判断f(x)的单调性，根据最小值为1列方程计算b．【解答】f(x)的对称轴为x＝b，（1）若b≤−1，则f(x)在[−1, 2]上单调递增，∴f min(x)＝f(−1)＝1，即4+2b＝1，∴b=−32．（2）若b>2，则f(x)在[−1, 2]上单调递减，∴f min(x)＝f(2)＝1，即7−4b＝1，∴b=32（舍）．（3）若−1<b<2，在f(x)在[−1, 2]上先减后增，∴f min(x)＝f(b)＝1，即−b2+3＝1，解得b=√2或b=−√2（舍）．综上，b=−3或b=√2．2．故答案为：√2−32【答案】①②【考点】函数单调性的性质与判断【解析】对于①，根据F(x)的解析式以及f(x)的定义域，可得a≤x≤b，a≤−x≤b，又由0<b<−a，可得F(x)定义域，可得①正确；对于②，先求出F(−x)，可得F(−x)＝−F(x)，再结合F(x)的其定义域，可得F(x)为奇函数，②正确；对于③，举出反例，当f(x)>1时，可得F(x)的最小值不是0，故③错误；对于④，由于F(x)是奇函数，结合奇函数的性质，可得④错误；综合可得答案．【解答】根据题意，依次分析4个命题：对于①，对于F(x)＝f2(x)−f2(−x)，有a≤x≤b，a≤−x≤b，而又由0<b<−a，则F(x)＝f2(x)−f2(−x)中，x的取值范围是−b≤x≤b，即其定义域是[−b, b]，则①正确；对于②，F(−x)＝f2(−x)−f2(x)＝−F(x)，且其定义域为[−b, b]，关于原点对称，则F(x)为奇函数，②正确；无最小值，对于③，由y＝f(x)无零点，假设f(x)＝2x，F(x)＝22x−2−2x＝22x−122x故③错误；对于④，由于F(x)是奇函数，则F(x)在[−b, 0]上与[0, b]上的单调性相同，故F(x)在其定义域内不一定单调递增，④错误；三、解答题：本大题共5小题，共56分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．【答案】∵A＝{a2, a+1, −3}，B＝{−3+a, 2a−1, a2+1}，且A∩B＝{−3}，B中a2+1≥1，∴a−3＝−3或2a−1＝−3，解得：a＝0或a＝−1，①当a＝0时，A＝{0, 1, −3}，B＝{−3, −1, 1}，不满足题意舍去；②当a＝−1时，A＝{1, 0, −3}，B＝{−4, −3, 2}，满足题意，综上所述：实数a的值为−1，A∪B＝{−4, −3, 0, 1, 2}．【考点】并集及其运算交集及其运算【解析】由A，B，以及A与B的交集确定出a的值，进而求出A与B的并集即可．【解答】∵A＝{a2, a+1, −3}，B＝{−3+a, 2a−1, a2+1}，且A∩B＝{−3}，B中a2+1≥1，∴a−3＝−3或2a−1＝−3，解得：a＝0或a＝−1，①当a＝0时，A＝{0, 1, −3}，B＝{−3, −1, 1}，不满足题意舍去；②当a＝−1时，A＝{1, 0, −3}，B＝{−4, −3, 2}，满足题意，综上所述：实数a的值为−1，A∪B＝{−4, −3, 0, 1, 2}．【答案】解：(1)根据题意，由于A={x|x2−4x+3≤0}={x|1≤x≤3}，B={x|x2−a<0}．当a=4时，B=(−2, 2)，而A=[1, 3]，所以A∩B=[1, 2), A∪B=(−2, 3]．(2)∵B⊆∁R A，若B=⌀，则a≤0，若B≠⌀，则B=(−√a,√a)⊆∁R A=(−∞, 1)∪(3, +∞)，∴√a≤1，∴0<a≤1，综上，a≤1．【考点】集合关系中的参数取值问题补集及其运算交集及其运算并集及其运算【解析】(1)先化简集合A，B，然后利用集合的运算求A∩B和A∪B．(2)利用B⊆∁R A，求实数a的取值范围．【解答】解：(1)根据题意，由于A={x|x2−4x+3≤0}={x|1≤x≤3}，B={x|x2−a<0}．当a=4时，B=(−2, 2)，而A=[1, 3]，所以A∩B=[1, 2), A∪B=(−2, 3]．(2)∵B⊆∁R A，若B=⌀，则a≤0，若B≠⌀，则B=(−√a,√a)⊆∁R A=(−∞, 1)∪(3, +∞)，∴√a≤1，∴0<a≤1，综上，a≤1．【答案】要使函数f(x)=√x−1有意义，需使x≥1，所以函数f(x)=√x−1的定义域为[1, +∞)；函数f(x)=√x−1在定义域[1, +∞)上为增函数，证明：任取x1，x2∈[1, +∞)，且△x＝x2−x1>0，则△y=f(x2)−f(x1)=√x2−1−√x1−1=(√x−1−√x−1)(√x−1+√x−1)x2−1+x1−1=√x2−1+√x1−1=21x−1+x−1；因为x2−x1>0且√x2−1+√x1−1>0，所以△y＝f(x2)−f(x1)>0，所以函数f(x)在[1, +∞)上是增函数．【考点】函数单调性的性质与判断函数的定义域及其求法【解析】（1）根据二次根式的被开方数大于或等于0，求出f(x)的定义域；（2）利用单调性的定义即可证明函数f(x)在定义域上为增函数．【解答】要使函数f(x)=√x−1有意义，需使x≥1，所以函数f(x)=√x−1的定义域为[1, +∞)；函数f(x)=√x−1在定义域[1, +∞)上为增函数，证明：任取x1，x2∈[1, +∞)，且△x＝x2−x1>0，则△y=f(x2)−f(x1)=√x2−1−√x1−1=(√x−1−√x−1)(√x−1+√x−1)x2−1+x1−1=(x−1)−(x−1) x2−1+x1−1=21x−1+x−1；因为x2−x1>0且√x2−1+√x1−1>0，所以△y＝f(x2)−f(x1)>0，所以函数f(x)在[1, +∞)上是增函数．【答案】函数f(x)为奇函数，证明：对于函数f(x)＝x⋅|x|−2x，其定义域为R，关于原点对称；任取x∈R，−x∈R，有f(−x)＝−x⋅|−x|+2x＝−x⋅|x|+2x，而−f(x)＝−x⋅|x|+2x，f(−x)＝−f(x)，函数f(x)为奇函数；令f(x)＝0，x⋅|x|−2x＝0，所以x(|x|−2)＝0，解得x＝0或|x|＝2所以函数的零点为−2，0，2；f(x)＝x⋅|x|−2x$${\{}$ ${= \, }$\${left}$\{ \${begin\{matrix\}\, \{x\}}$^${\{2\}\, -\, 2x,\, x\, }$\${geq\, 0\, }$\\ ${-\, \{x\}}$^${\{2\}\, -\, 2x,\, x}$<0 \\ \end{matrix} \right.\ }$，其图象如图：若方程${f(x)}$＝${m}$有三个不同实根，则函数${f(x)}$的图象与直线${y}$＝${m}$有三个不同的交点，由图象可得实数${m}$的取值范围为${(-1,\, 1)}$；f(x)的单调递增区间为(−∞, −1)，(1, +∞)，f(x)的单调递减区间为(−1, 1)．【考点】函数奇偶性的性质与判断函数零点的判定定理分段函数的应用函数的图象与图象的变换函数的零点与方程根的关系【解析】（1）对于函数f(x)，先分析其定义域，进而分析可得f(−x)＝−f(x)，即可证明函数f(x)为奇函数；（2）令f(x)＝0，x⋅|x|−2x＝0，解可得x的值，由函数零点的定义，即可得答案；（3）将f(x)的解析式变形可得f(x)＝x⋅|x|−2x$${\{}$ ${=\, }$\${left}$\{ \${begin\{matrix\}\, \{x\}}$^${\{2\}\, -\, 2x,\, x\, }$\${geq\,0\, }$\\ ${\{x\}}$^${\{2\}\, + \, 2x,\, x}$<0 \\ \end{matrix} \right.\ }$，据此作出函数的图象；若方程f（x）＝m有三个不同实根，则函数f（x）的图象与直线y＝m有三个不同的交点，由图象可得实数m的取值范围；（4）由图象，分析可得函数的单调区间，即可得答案．【解答】函数f(x)为奇函数，证明：对于函数f(x)＝x⋅|x|−2x，其定义域为R，关于原点对称；任取x∈R，−x∈R，有f(−x)＝−x⋅|−x|+2x＝−x⋅|x|+2x，而−f(x)＝−x⋅|x|+2x，f(−x)＝−f(x)，函数f(x)为奇函数；令f(x)＝0，x⋅|x|−2x＝0，所以x(|x|−2)＝0，解得x＝0或|x|＝2所以函数的零点为−2，0，2；f(x)＝x⋅|x|−2x$${\{}$ ${= \, }$\${left}$\{ \${begin\{matrix\}\, \{x\}}$^${\{2\}\, -\, 2x,\,x\, }$\${geq\, 0\, }$\\ ${-\, \{x\}}$^${\{2\}\, -\, 2x,\, x}$<0 \\ \end{matrix} \right.\ }$，其图象如图：若方程${f(x)}$＝${m}$有三个不同实根，则函数${f(x)}$的图象与直线${y}$＝${m}$有三个不同的交点，由图象可得实数${m}$的取值范围为${(-1,\, 1)}$；f(x)的单调递增区间为(−∞, −1)，(1, +∞)，f(x)的单调递减区间为(−1, 1)．【答案】若f(x)=2x 是1级分裂函数，则存在非0实数x0，使得1x0+1=1x0⋅2，即x0＝−2，所以函数f(x)=2x是1级分裂函数．若f(x)＝2x是1级分裂函数，即存在实数x0，使得2(x0+1)＝2x0⋅2，解得x0＝1，故f(x)＝2x是1级分裂函数由题意，a>0，D＝R．存在实数x0，使得√a(x0+2)2+1=√ax02+1⋅√a5，所以a(x0+2)2+1=a25(x02+1)化简得(a−5)x02+4ax0+5a−5=0当a＝5时，x0＝−1，符合题意；当a>0且a≠5时，由△≥0得16a2−4(a−5)(5a−5)≥0，化简得a2−30a+25≤0，解得a∈[15−10√2,5)∪(5,15+10√2]．综上，实数a的取值范围是[15−10√2,15+10√2]．存在，a＝1当t＝0时，满足条件的a＝1，若存在实数a满足题意，a只能取1．下面验证a＝1是否满足条件．∵f(x0+t)＝f(x0)⋅f(t)，∴(x+t)2+1＝(x2+1)(t2+1)⇒t＝0或t=2x，故t可取任意实数，故a＝1满足条件．【考点】抽象函数及其应用【解析】（1）若f(x)=2x 是1级分裂函数，则存在非0实数x0，使得1x0+1=1x0⋅2，得x0若f(x)＝2x是1级分裂函数，即存在实数x0，使得2(x0+1)＝2x0⋅2，解得x0，（2）由题意，a>0，D＝R．存在实数x0，使得√a(x0+2)+1=√ax02+1⋅√a5，所以a(x0+2)2+1=a25(x02+1)化简得(a−5)x02+4ax0+5a−5=0（5分）当a＝5时，x0＝−1，符合题意当a>0且a≠5时，由△≥0得16a2−4(a−5)(5a−5)≥0，化简得a2−30a+25≤0，解得实数a的取值范围（3）当t＝0时，满足条件的a＝1，若存在实数a满足题意，a只能取1．再验证a＝1是否满足条件．【解答】若f(x)=2x 是1级分裂函数，则存在非0实数x0，使得1x0+1=1x0⋅2，即x0＝−2，所以函数f(x)=2x是1级分裂函数．若f(x)＝2x是1级分裂函数，即存在实数x0，使得2(x0+1)＝2x0⋅2，解得x0＝1，故f(x)＝2x是1级分裂函数由题意，a>0，D＝R．存在实数x0，使得√a(x0+2)2+1=√ax02+1⋅√a5，所以a(x0+2)2+1=a25(x02+1)化简得(a−5)x02+4ax0+5a−5=0当a＝5时，x0＝−1，符合题意；当a>0且a≠5时，由△≥0得16a2−4(a−5)(5a−5)≥0，化简得a2−30a+25≤0，解得a∈[15−10√2,5)∪(5,15+10√2]．综上，实数a的取值范围是[15−10√2,15+10√2]．存在，a＝1当t＝0时，满足条件的a＝1，若存在实数a满足题意，a只能取1．下面验证a＝1是否满足条件．∵f(x0+t)＝f(x0)⋅f(t)，∴(x+t)2+1＝(x2+1)(t2+1)⇒t＝0或t=2x，故t可取任意实数，故a＝1满足条件．。
2023-2024学年北京市清华大学附中高一(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年北京市清华大学附中高一（上）期中数学试卷一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．已知集合A ＝{﹣1，0}，B ＝{x |﹣1＜x ＜1}，则A ∩B ＝（ ） A ．{﹣1}B ．{0}C ．{﹣1，0}D ．{﹣1，0，1}2．命题∀x ∈（﹣1，0），x 2+x ＜0的否定是（ ） A ．∀x ∈（﹣1，0），x 2+x ＞0 B ．∀x ∈（﹣1，0），x 2+x ≤0 C ．∃x ∈（﹣1，0），x 2+x ＞0D ．∃x ∈（﹣1，0），x 2+x ≥03．下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）上单调递增的是（ ） A ．y ＝﹣|x |B ．y ＝x 2C ．y ＝x 3D ．y =−1x4．已知f （x ）为R 上的奇函数，当x ＞0时，f （x ）＝x 3+1x，则f （﹣1）+f （0）＝（ ） A ．﹣2B ．0C ．2D ．45．已知a ＞b ＞c ，a +b +c ＝0，则下列结论一定正确的是（ ） A ．a +c ＞0B ．a +b ＜0C ．ab ＞0D ．ac ＜06．函数f （x ）＝x 2﹣2x ，x ∈[﹣2，2]的值域是（ ） A ．[﹣1，0]B ．[0，8]C ．[1，8]D ．[﹣1，8]7．已知正数x ，y 满足x +y ＝1，则12x+1y的最小值是（ ）A ．√2B ．2√2C ．32+√2D ．2+√28．若函数f （x ）＝﹣x 2+2ax 与函数g(x)=ax 在区间[1，2]上都是减函数，则a 的取值范围是（ ） A ．（﹣1，0）∪（0，1） B ．（﹣1，0）∪（0，1] C ．（0，1）D ．（0，1]9．对∀x ∈R ，[x ]表示不超过x 的最大整数，我们把f （x ）＝[x ]，x ∈R 称为取整函数，以下关于“取整函数”的性质叙述错误的是（ ） A ．∃x ∈R ，[4x ]＝4[x ]+2 B ．∀x ∈R ，[x]+[x +12]=[2x]C ．∀x ，y ∈R ，[x +y ]≤[x ]+[y ]D ．∀x ，y ∈R ，[x ]＝[y ]，则|x ﹣y |＜110．已知集合M ＝{x ∈N |1≤x ≤15}，集合A 1，A 2，A 3满足： ①每个集合都恰有5个元素；②A 1∪A 2∪A 3＝M ．集合A i 中元素的最大值与最小值之和称为集合A i 的特征数，记为X i （i ＝1，2，3），则X 1+X 2+X 3的最大值与最小值的和为（ ）A ．56B ．72C ．87D ．96二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
北京市2025届高三上学期10月月考数学试题含答案
北京市2024-2025学年高三上学期10月月考数学试题（答案在最后）(清华附中朝阳望京学校)2024.10.10姓名____________一、选择题共10小题,每小题4分,共40分．在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项．1.已知全集{}0U x x =>，集合{}23A x x =≤≤，则U A =ð（）A.(][)0,23,+∞B.()()0,23,+∞ C.(][),23,-∞⋃+∞ D.()(),23,-∞⋃+∞【答案】B 【解析】【分析】由补集定义可直接求得结果.【详解】()0,U =+∞ ，[]2,3A =，()()0,23,U A ∴=+∞ ð.故选：B.2.若等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足11a b =，222a b ==，48a =，则{}n b 的公比为（）A.2B.2- C.4D.4-【答案】B 【解析】【分析】根据等差数列的基本量运算可得111a b ==-，然后利用等比数列的概念结合条件即得.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ，则242822a a d d +=+==，所以3d =，∴22123b a a ===+，111a b ==-，所以212b q b ==-.故选：B.3.在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于直线y x =对称．若3sin 5α=，则cos β=（）A.45-B.45C.35-D.35【答案】D 【解析】【分析】根据对称关系可得()22k k παβπ+=+∈Z ，利用诱导公式可求得结果.【详解】y x = 的倾斜角为4π，α\与β满足()22242k k k ππαβππ+=⨯+=+∈Z ，3cos cos 2cos sin 225k ππβπααα⎛⎫⎛⎫∴=+-=-==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：D.4.若点()1,1M 为圆22:40C x y x +-=的弦AB 的中点，则直线AB 的方程是（）A.20x y --=B.20x y +-=C.0x y -=D.0x y +=【答案】C 【解析】【分析】由垂径定理可知MC AB ⊥，求出直线AB 的斜率，利用点斜式可得出直线AB 的方程.【详解】圆C 的标准方程方程为()2224x y -+=，()221214-+< ，即点M 在圆C 内，圆心()2,0C ，10112MC k -==--，由垂径定理可知MC AB ⊥，则1AB k =，故直线AB 的方程为11y x -=-，即0x y -=.故选：C.5.已知D 是边长为2的正△ABC 边BC 上的动点，则AB AD ⋅的取值范围是（）A.B.2]C.[0,2]D.[2,4]【答案】D 【解析】【分析】根据向量数量积的几何意义可得||cos [1,2]AD DAB ∠∈ ，再由||||cos AD AB D A A B AD B =∠⋅即可求范围.【详解】由D 在边BC 上运动，且△ABC 为边长为2的正三角形，所以03DAB π≤∠≤，则[]cos 1,2AB DAB ∠∈ ，由||||cos [2,4]AD AB D D B A A A B =∠⋅∈.故选：D6.若0a b >>，则①11b a >；②11a ab b +>+>的序号是（）A.①②B.①③C.②③D.①②③【答案】A 【解析】【分析】对①，由a b >两边同除ab 化简即可判断；对②，由a b >得a ab b ab +>+，两边同除()1b b +化简即可判断；>>【详解】对①，0a b a b ab ab>>⇒>，即11b a >，①对；对②，由()()011a b a ab b ab a b b a >>⇒+>+⇒+>+，则()()()()111111a b b a a a b b b b b b +++>⇒>+++，②对；对③，由>，>，与0a b >>矛盾，③错；故选：A7.若命题“2,20x x x m ∃∈++≤R ”是真命题，则实数m 的取值范围是（）A.1m < B.1m ≤ C.1m > D.1m ≥【答案】B 【解析】【分析】不等式能成立，等价于方程有实数解，用判别式计算求参数即可.【详解】由题可知，不等式220x x m ++≤在实数范围内有解，等价于方程220x x m ++=有实数解，即440m ∆=-≥，解得1m ≤.8.“1a =”是“函数()22x x af x a+=-具有奇偶性”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据充分、必要性的定义，及奇偶性的定义求参数a ，判断题设条件间的关系即可.【详解】当1a =时21()21x x f x +=-，则定义域为{|0}x x ≠，211221()()211221x x x x xx f x f x --+++-===-=----，故()f x 为奇函数，充分性成立；若2()2x x af x a+=-具有奇偶性，当()f x 为偶函数，则212()()212x x x xa a f x f x a a --++⋅-===--⋅，所以212212x xx xa a a a ++⋅=--⋅恒成立，可得0a =；当()f x 为奇函数，则212()()212x x x xa a f x f x a a --++⋅-===---⋅，所以212212x xx xa a a a ++⋅-=--⋅恒成立，可得1a =或=−1；所以必要性不成立；综上，“1a =”是“函数()22x x af x a+=-具有奇偶性”的充分而不必要条件.故选：A9.已知函数()32x x f x =-，则（）A.()f x 在R 上单调递增B.对R,()1x f x ∀∈>-恒成立C.不存在正实数a ，使得函数()xf x y a=为奇函数D.方程()f x x =只有一个解【答案】B【分析】对()f x 求导，研究()f x '在0x ≥、0x <上的符号，结合指数幂的性质判断()f x '零点的存在性，进而确定单调性区间、最小值，进而判断A 、B 的正误；利用奇偶性定义求参数a 判断C ；由(0)0f =、(1)1f =即可排除D.【详解】由3ln 3ln 22[(ln 3ln ()322]2x x x xf x =-'=-，而20x >，当0x ≥时()0f x '>，即(0,)+∞上()f x 递增，且(30)2x x f x =->恒成立；而0x <，令()0f x '=，可得3ln 2()2ln 3x=，所以00x x ∃=<使03ln 2(2ln 3x =，综上，0(,)x -∞上()0f x '<，()f x 递减；0(,)x +∞上()0f x '>，()f x 递增；故在R 上不单调递增，A 错误；所以0x x =时，有最小值0000002()323()3ln 3[1]3(1)ln 2x x x x xf x ===---，而0031x <<，ln 310ln 2<-，所以0ln 3ln 4111ln 2()ln 2f x >-->=-，故R,()1x f x ∀∈>-恒成立，B 正确；令()()x f x y g x a ==为奇函数且0a >，则3232()()x x x x x xg x g x a a ------==-=-恒成立，所以6(23)23x x x x x xxaa --=恒成立，则a =满足要求，C 错误；显然000)20(3f -==，故0x =为一个解，且(1)321f =-=，即1x =为另一个解，显然不止有一个解，D 错误.故选：B【点睛】关键点点睛：A 、B 判断注意分类讨论()f x '的符号，结合指数幂的性质确定导函数的零点位置，C 、D 应用奇偶性定义得到等式恒成立求参、特殊值法直接确定()f x x =的解.10.如图为某无人机飞行时，从某时刻开始15分钟内的速度()V x （单位：米/分钟）与时间x （单位：分钟）的关系．若定义“速度差函数”()v x 为无人机在时间段[]0,x 内的最大速度与最小速度的差，则()v x 的图像为（）A. B.C. D.【答案】C 【解析】【分析】根据速度差函数的定义，分[0,6],[6,10],[10,12],[12,15]x x x x ∈∈∈∈四种情况，分别求得函数解析式，从而得到函数图像.【详解】由题意可得，当[0,6]x ∈时，无人机做匀加速运动，40()603V x x =+，“速度差函数”40()3v x x =；当[6,10]x ∈时，无人机做匀速运动，()140V x =，“速度差函数”()80v x =；当[10,12]x ∈时，无人机做匀加速运动，()4010V x x =+，“速度差函数”()2010v x x =-+；当[12,15]x ∈时，无人机做匀减速运动，“速度差函数”()100v x =，结合选项C 满足“速度差函数”解析式，故选：C.二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11.函数()1ln 1f x x x =+-的定义域是____________.【答案】()()0,11+，⋃∞.【解析】【分析】根据分母不为零、真数大于零列不等式组，解得结果.【详解】由题意得，10x x -≠⎧⎨>⎩故答案为：()()0,11,+∞ .【点睛】本题考查函数定义域，考查基本分析求解能力，属基础题.12.直线:1l x y +=截圆22220x y x y +--=的弦长=___________.【答案】【解析】【分析】由圆的弦长与半径、弦心距的关系，求直线l 被圆C 截得的弦长．【详解】线l 的方程为10x y +-=，圆心(1,1)C 到直线l 的距离2d ==．∴此时直线l 被圆C 截得的弦长为=．.13.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PA ⊥底面ABCD ，2PA AB ==，E 为线段PB 的中点，F 为线段BC 上的动点，平面AEF 与平面PBC ____________（填“垂直”或“不垂直”）；AEF △的面积的最大值为_____________．【答案】①.垂直②.【解析】【分析】根据线面垂直的的性质定理，判定定理，可证AE ⊥平面PBC ，根据面面垂直的判定定理，即可得证.分析可得，当点F 位于点C 时，面积最大，代入数据，即可得答案.【详解】因为PA ⊥底面ABCD ，⊂BC 平面ABCD ，所以PA BC ⊥，又底面ABCD 为正方形，所以AB BC ⊥，又AB PA A = ，,AB PA ⊂平面PAB ，所以⊥BC 平面PAB ，因为AE ⊂平面PAB ，所以BC AE ⊥，又2PA AB ==，所以PAB 为等腰直角三角形，且E 为线段PB 的中点，所以AE PB ⊥，又BC PB B ⋂=，,BC PB ⊂平面PBC ，所以AE ⊥平面PBC ，因为AE ⊂平面AEF ，所以平面AEF ⊥与平面PBC .因为AE ⊥平面PBC ，EF ⊂平面PBC ，所以AE EF ⊥，所以当EF 最大时，AEF △的面积的最大，当F 位于点C 时，EF 最大且EF ==，所以AEF △的面积的最大为12⨯⨯=.14.设函数()221,,x x af x x a x a⎧-<=⎨+≥⎩①若2a =-，则()f x 的最小值为__________.②若()f x 有最小值，则实数a 的取值范围是__________.【答案】①.2-②.1a ≤-【解析】【分析】对①，分别计算出每段的范围或最小值即可得；对②，由指数函数在开区间内没有最小值，可得存在最小值则最小值一定在x a ≥段，结合二次函数的性质即可得.【详解】①当2a =-时，()221,22,2x x f x x x ⎧-<-=⎨-≥-⎩，则当2x <-时，()3211,4xf x ⎛⎫=-∈--⎪⎝⎭，当2x ≥-时，()222f x x =-≥-，故()f x 的最小值为2-；②由()221,,x x a f x x a x a⎧-<=⎨+≥⎩，则当x a <时，()()211,21x af x =-∈--，由()f x 有最小值，故当x a ≥时，()f x 的最小值小于等于1-，则当1a ≤-且x a ≥时，有()min 1f x a =≤-，符合要求；当1>-a 时，21y x a a =+≥>-，故不符合要求，故舍去.综上所述，1a ≤-.故答案为：2-；1a ≤-.15.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，10a >，21(R)n n n a a a λλ+-=∈．给出下列四个结论：①{}n a 是递增数列；②{}R,n a λ∀∈都不是等差数列；③当1λ=时，1a 是{}n a 中的最小项；④当14λ≥时，20232022S >．其中所有正确结论的序号是____________．【答案】③④【解析】【分析】利用特殊数列排除①②，当0λ≠时显然有0n a ≠，对数列递推关系变形得到1n n na a a λ+=+，再判断③④即可.【详解】当数列{}n a 为常数列时，210n n n a a a +-=，{}n a 不是递增数列，是公差为0的等差数列，①②错误；当1λ=时，211n n na a a +-=，显然有0n a ≠，所以11n n na a a +=+，又因为10a >，所以由递推关系得0n a >，所以110n n na a a +-=>，故数列{}n a 是递增数列，1a 是{}n a 中的最小项，③正确；当14λ≥时，由③得0n a >，所以由基本不等式得11n n n a a a λ+=+≥=≥，当且仅当n na a λ=时等号成立，所以2320232022a a a ++⋅⋅⋅+≥，所以20232022S >，④正确.故选：③④.三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16.在ABC V 中，角,,A B C 所对的边分别为,,,a b c 已知222b c a bc +=+.（1）求A 的大小；（2）如果cos 2B b ==，求ABC V 的面积.【答案】（1）3π；（2）2【解析】【分析】（1）利用余弦定理的变形：222cos 2b c a A bc+-=即可求解.（2）利用正弦定理求出3a =，再根据三角形的内角和性质以及两角和的正弦公式求出sin C ，由三角形的面积公式即可求解.【详解】（1）222b c a bc +=+。
北京市2020版高一上学期数学10月月考试卷C卷
北京市2020版高一上学期数学10月月考试卷C卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分） (2018高三上·沧州期末) 已知全集，，，则（）A .B .C .D .2. （2分） (2018高二下·南宁月考) 已知集合，，那么（）A .B .C .D .3. （2分）(2017·宝鸡模拟) 如图，已知R是实数集，集合A={x|log （x﹣1）＞0}，B={x| ＜0}，则阴影部分表示的集合是（）A . [0，1]B . [0，1）C . （0，1）D . （0，1]4. （2分） (2018高一上·邢台月考) 下列函数中与具有相同图象的一个函数是（）．A .B .C .D .5. （2分）设f（x）＝2x−3，g（x）＝f（x+2），则g（x）等于（）A . 2x＋1B . 2x－1C . 2x－3D . 2x＋76. （2分）(2017·成都模拟) 设f（x）是定义在R上周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f（x）=x2﹣x，则 =（）A .B .C .D .7. （2分）在给定的映射：的条件下，象3的原象是（）A . 8B . 2或-2C . 4D . -48. （2分）(2017·湖北模拟) 已知函数f（x）是奇函数，且满足f（2﹣x）=f（x）（x∈R），当0＜x≤1时，f（x）=lnx+2，则函数y=f（x）在（﹣2，4]上的零点个数是（）A . 7B . 8C . 9D . 109. （2分）设集合A={x|x＞a}，集合B={x|x2﹣2x﹣15＜0}，若B∩（∁RA）≠∅，则实数a的取值范围是（）A . a≤﹣3B . a＞﹣3C . ﹣3＜a＜5D . a≥510. （2分）已知a= ，b= ，c=cos50°cos10°+cos140°sin170°，则实数a，b，c的大小关系是（）A . a＞c＞bB . b＞c＞aC . a＞b＞cD . c＞b＞a11. （2分） (2016高二下·重庆期末) 设二次函数f（x）=x2﹣x+a（a＞0），若f（m）＜0，则f（m﹣1）的值为（）A . 正数B . 负数C . 非负数D . 正数、负数和零都有可能12. （2分） (2017高二上·景德镇期末) 若关于x的不等式m＜有且仅有两个整数解，则实数m 的取值范围为（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）集合{1，a， }={0，a2 ， a+b}，则a2013+b2014的值为________．14. （1分）(2020·汨罗模拟) 2019年1月1日起新的个人所得税法开始实施，依据《中华人民共和国个人所得税法》可知纳税人实际取得工资、薪金（扣除专项、专项附加及依法确定的其他）所得不超过5000元（俗称“起征点”）的部分不征税，超出5000元部分为全月纳税所得额.新的税率表如下：2019年1月1日后个人所得税税率表全月应纳税所得额税率（%）不超过3000元的部分3超过3000元至12000元的部分10超过12000元至25000元的部分20超过25000元至35000元的部分25个人所得税专项附加扣除是指个人所得税法规定的子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息、住房租金和赡养老人等六项专项附加扣除.其中赡养老人一项指纳税人赡养60岁（含）以上父母及其他法定赡养人的赡养支出，可按照以下标准扣除：纳税人为独生子女的，按照每月2000元的标准定额扣除；纳税人为非独生子女的，由其与兄弟姐妹分摊每月2000元的扣除额度，每人分摊的额度不能超过每月1000元.某纳税人为独生子，且仅符合规定中的赡养老人的条件，如果他在2019年10月份应缴纳个人所得税款为390元，那么他当月的工资、薪金税后所得是________元.15. （1分）设α={﹣1，1， }，则使函数y=xα的定义域为R且为奇函数的所有α的值为________．16. （1分） (2017高一上·长春期中) 若x1 ， x2是方程2x2﹣4x+1=0的两个根，则 =________．三、解答题 (共6题；共65分)17. （10分） (2019高一上·黑龙江月考) 已知函数，（1）求其定义域和值域；（2）判断奇偶性；（3）判断其周期性，若是周期函数，求其最小正周期；（4）写出其单调减区间.18. （10分） (2019高一上·松原月考) 求下列函数的定义域（1）（2）19. （10分） (2019高一上·台州期中) 已知集合A＝｛x｜a＜x＜1｝，集合．（1）当a＝－3时，求；（2）若A∩B＝A，求实数的取值范围．20. （10分） (2019高一上·拉萨期中) 已知函数的图象过点（1）求与的值;（2）当时，求的值域.21. （10分） (2017高一上·天津期中) 已知函数 f（x）= （a＞0且a≠1）（1）若a=2，解不等式f（x）≤5；（2）若函数f（x）的值域是[4，+∞），求实数a的取值范围．22. （15分） (2017高二下·杭州期末) 设函数f（x）= ，g（x）=a（x+b）（0＜a≤1，b≤0）．（1）讨论函数y=f（x）•g（x）的奇偶性；（2）当b=0时，判断函数y= 在（﹣1，1）上的单调性，并说明理由；（3）设h（x）=|af2（x）﹣ |，若h（x）的最大值为2，求a+b的取值范围．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共65分) 17-1、17-2、17-3、17-4、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、22-3、第11 页共11 页。