数学建模论文野兔生长问题
兔子繁殖数学建模斐波那契原型
兔子繁殖数学建模斐波那契原型今天咱们来讲一个特别有趣的关于兔子繁殖的事儿。
在一个美丽的大草地里，住着一对可爱的小兔子。
这对小兔子是刚刚出生的，它们呀，还没有长大呢。
这个草地就像一个大大的家，有好多新鲜的青草可以吃。
过了一个月呀，这对小兔子长大了一些，不过还不能生小兔子呢。
又过了一个月，这对长大了的兔子就变成了大兔子，这个时候它们就有能力生小兔子啦。
然后呢，这对大兔子就生出了一对小兔子。
现在草地上就有原来的那对大兔子和新出生的一对小兔子啦，一共是两对兔子。
再过一个月呢，新出生的小兔子还没长大，可是原来的那对大兔子又生了一对小兔子。
这个时候呀，最早出生的那对小兔子长大了。
现在草地上就有最早的那对大兔子，它们生的两对小兔子，还有新长大的那对兔子，一共是三对兔子啦。
又过了一个月呢，最早的那对大兔子又生了一对小兔子，之前长大的那对兔子也生了一对小兔子，新出生的小兔子还没长大。
这样算下来呀，草地上就有最早的那对大兔子，它们生的三对小兔子，之前长大的兔子生的一对小兔子，还有两对新长大的兔子，一共是五对兔子了。
咱们这样一个月一个月地数下去，就会发现兔子的数量是这样变化的：1、1、2、3、5……这个数列就是按照一种很有趣的规律在增长呢。
就像我们数自己的手指头一样，一个一个很清楚。
这个规律就和一个很有名的数学东西有关，它叫斐波那契数列。
斐波那契发现了这个规律，就像他发现了一个藏在兔子世界里的秘密。
想象一下，如果这个草地超级大，兔子可以一直这样繁殖下去，那兔子的数量就会按照这个规律变得越来越多。
比如说，如果我们再往后算几个月，按照这个规律，下一个月兔子的对数就是前面两个月兔子对数的和。
像前面是3对和5对，那下一个月就会有8对兔子啦。
这个兔子繁殖的故事就像一个魔法一样，让我们看到了数学在生活里的影子。
我们可以把这个当成一个好玩的游戏，每个月去数一数兔子的数量，然后发现这个神奇的规律。
这样我们就会发现数学不是那么枯燥，而是像这个兔子的故事一样，充满了乐趣。
兔子问题_精品文档
兔子问题简介兔子作为一种常见的小动物，其繁殖能力极强，因此兔子问题也成为了数学领域中的经典问题之一。
该问题涉及到兔子的繁殖规律，以及在特定的时间段内兔子的数量变化情况。
本文将从数学的角度探讨兔子问题，并分析其数学模型与解法。
数学模型假设一对刚出生的兔子在一个月后成熟，并从第二个月开始每个月都可以繁殖一对新兔子。
根据这个规律，我们可以建立以下递推关系式： - 第一个月，兔子的数量为1对； - 第二个月，兔子的数量为1对； - 第三个月，兔子的数量为前两个月兔子数量之和； - 第四个月，兔子的数量为前两个月兔子数量之和再加上前一个月兔子的数量； - 第五个月，兔子的数量为前两个月兔子数量之和再加上前一个月兔子的数量； - 依此类推…以此得到兔子数量的递推关系：Fn = Fn-1 + Fn-2解法根据兔子问题中的递推关系，我们可以通过递归或迭代的方式求得兔子在特定时间段内的数量。
递归解法递归解法是一种简单直观的方法，基于递归的思想。
递归函数可以通过调用自身来求解问题。
对于兔子问题，我们可以定义一个函数来递归地计算兔子数量。
def fibonacci(n):if n ==0:return0elif n ==1:return1else:return fibonacci(n-1) + fibonacci(n-2)通过调用fibonacci(n)函数，可以得到第n个月兔子的数量。
迭代解法迭代解法通过循环的方式来依次计算兔子的数量，相较于递归解法，迭代解法更加高效。
我们可以使用一个循环来计算兔子的数量，并利用两个变量来记录前两个月兔子的数量。
def fibonacci(n):if n ==0:return0elif n ==1:return1else:a, b =0, 1for _ in range(2, n+1):a, b = b, a+breturn b通过调用fibonacci(n)函数，同样可以得到第n个月兔子的数量。
离散生物模型兔子生长模型模型假设与模型建立假设第n年的生物
离散生物模型：兔子生长模型：模型假设与模型建立：假设第n 年的生物数量为n P ，每过一年生物数量是原来的a 倍，则有：n n aP P =+1，这是最简单的一种一阶差分模型；解为 0P a P n n = . 如果进一步分析，由于受到环境资源的限制, 生物的总数是有限的，故增长倍率应改为：)/1(1K P aP P n n n -=+, 其中 K > 0 是常数.当 Pn ≥K, 时， 生物将灭绝。
令 K P x n n /=， 可化成如下典型的logistic 模型：)(:)1(1n n n n x f x ax x =-=+, 当 ]4,0(∈a 时 ]1,0[∈n x 时, ]1,0[1∈+n x这是一个非线性差分方程. a 称为控制参数. 方程没有解析的解 . 我们来看它的不动点(即)(x f x =的点)的稳定性.容易算出它有两个不动点: x ' = 0和x '' =1－1/a . 我们将看到，随着a 的值的不同，它们有着完全不同的稳定性质.兹分几种情况加以讨论.对于任何 a>0, x '=0 是不动点 , 当0 < a ≤1 时 , 对于任何]1,0(0∈x , 都有 n n x x <≤+10, 所以 0lim =∞→n n x , 即 0 是个稳定的不动点. 这说明这生物最终将绝灭. 当 a >1 时, 因为1|)0(|>='a f , 所以x '= 0是不稳定不动点. 而且只要开始时 x 0 在区间 (0,1) 中, 以后的点也在区间 (0,1) 中，即生物永远不会绝灭.再考虑另一个不动点x ''=1－1/a ，.（1） 因为 |2||)(|a x f -=''', 所以当 1<a <3时 x '' 是稳定不动点. a >3 时x '' 是不稳定不动点.而且从 )1)((1n n n ax x x x x -''-=''-+可看出, 当 1< a ≤ 2时 , x x n ''→是单调的; 而 2 < a ≤3 时 x x n ''→在x ''左右两边振荡地趋向x ''. 所以 a = 3时, x '' 也是稳定不动点.(3) 设3 < a <16+≈3.449898743….这时已知x' , x'' 都是不稳定不动点，因此从它们近傍出发的数经迭代后都离它们远去，不再回到x ' 或x ''. 但进一步的计算发现，迭代值并未离得很远，而是在x ''两旁交替地趋向两个特殊的数p 与q ! 这两个数分别是函数f (x )的（周期为二的）周期点. 即满足 n n x x =+2, 但 n n x x ≠+1的点. 解方程x x ax x x a =---)]1(1)[1(2.已知它有根0, 及1－1/a (即不动点), 可将它化为一个二次方程, 实际上， 利用MATLAB 可以很快求出， 命令如下syms a x pp=a^2*x*(1-x)*(1-a*x*(1-x))-x ;factor(p)就得出 因子-x(a*x+1-a)* (a^2*x^2-a*(1+a)*x+(1+a))从而得出不动点以外的两个正根p 与q = aa a a 2)3)(1()1(-+±+且p < x'' < q. 当a从3开始增大时, 考察2周期点的表达式，可以看出这两个2周期点是从不动点x''分离出来的. (不动点可以看成1周期点)换句话说，在现在的a的范围下，不但有两个不动点x' 及x''，而且还有两个稳定的2周期点p, q. 这种情形称之为周期倍化现象. 周期点的稳定性可以从))f在f((x周期点的导数a2(1-2x)[1-2ax(1-x)] 的绝对值小于 1 得知.（4）1+6< a < 3.544090359….有人仔细算出了这种情形的迭代过程，我们只写出结论如下.这时从二个2周期点各分出1对周期点，得出四个周期点 (周期为4).(5) 当a再变大时，函数f(x)的周期点的个数（和周期）也不断地增加，例如当3.564407266…> a >3.544090359时将有八个周期点（周期为8），当3.568759420…>a >3.564407266时，将出现十六个周期点（周期为16），等等. 随着a的继续增大, 不断产生周期倍化现象. 最后，当a趋向一个特殊的数3.569945672… 时，将不断地产生倍周期点，而且周期趋向无穷大！而当a大于这个特殊的数3.569945672… 时, 时间序列像是分布在区间[0,1]上的随机数, 这种现象称为混沌现象.模型2 兔子繁殖问题已知一对兔子每个月生一对兔子，而每1对兔子出生后第二个月开始生兔子，问一对兔子一年后共有几对兔子？解：记开始时兔子数是F0=1，第1个月初的兔子数是F1=1，第二个月初的兔子数是F2=1，设第n个月初的兔子数是F n, 则F n - F n-1 = F n-2, , 是一个差分方程. 表示新出生的兔子数是二个月前的兔子数. 其中F0=1， F1=1称为初始条件，用来确定差分方程的解. {F n}就是以著名的意大利数学家Fibonacci提出并解决的数列. 1，1，2，3，5，8，13.,…称为Fibonacci数列。
狐狸与兔子数学模型的论文
狐狸与野兔(捕食者与被捕食者)问题摘要在生态系统中，捕食与被捕食的关系无处不在，它们相互依存，相互制约，在自然选择的条件下，只要经过足够长的时间，物种的数量关系就会达到动态的平衡，而这种平衡与初始状态下各物种的数量无关。
本文研究的是狐狸与野兔两个物种的关系，题目中已经给出了两个物种的变化率之间的关系，直接解出即可看出狐狸与野兔两个物种的数量关系，但已知的微分方程组不能直接解出解析解，因此，我们用“组合的2/3阶龙格-库塔-芬尔格算法”求给定微分方程的数值解，在给出初值：狐狸300只，野兔800只的情况下，用MATLAB 软件进行计算，然后通过狐狸和野兔数量的图像确定狐狸和野兔的数量关系：狐狸的数量随着野兔数量的增加而增加，而野兔的数量又随着狐狸的增加而减少，经过自然界的反馈作用，狐狸的数量又随着野兔数量的减少而减少，进一步，野兔的数量又会随着狐狸的减少而增加，它们的关系就这样循环，最后直至平衡，达到稳定状态。
在平衡状态下，狐狸和野兔的数量保持不变，因而它们的变化率应该为0，所以直接令微分方程等于0，解得平衡状态下：狐狸200只，野兔900只。
在没有人类捕猎的条件下，野兔数量的变化率为xy x dtdx 02.04-=，可见狐狸对野兔的捕捉量与狐狸和野兔的数量乘积成正比，比例系数为0.02。
同理，如果考虑人类对野兔的捕猎，可假设“人类对野兔的捕捉量与人类和野兔的数量乘积成正比，比例系数为a ”，在这种情况下，达到平衡时野兔的数量没有变化，狐狸的数量有所减少。
根据以上思路，如果考虑人类对狐狸进行捕猎，可假设“人类对狐狸的捕捉量与人类和狐狸的数量乘积成正比，比例系数为b ”，在这种情况下，达到平衡时狐狸的数量没有变化，野兔的数量有所增加。
关键词：组合的2/3阶龙格-库塔-芬尔格算法 滞后 反馈作用 MATLAB 自然平衡一、问题重述在一个封闭的大草原里生长着狐狸和野兔。
在大自然的和谐的坏境中，野免并没有因为有狐狸的捕食而灭绝。
数学建模狐狸野兔问题Word版
狐狸野兔问题摘要：封闭自然环境中的狐狸和野兔存在捕食与被捕食关系，本题旨在通过对自然状态下两物种数量变化规律的分析，推测加入人类活动（即人工捕获）时两物种数量的变化，进而得出人类活动对自然物种的影响，为人类活动提供参考，使其在自然允许的范围内，促进人与自然和谐相处。
对于问题一，首先建立微分方程，描述两物种数量随时间变化的Volterra 模型()0,0,0,021212211>>>>⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=-=r r k k xyr y k dtdy xy r x k dtdx并用解析法求得狐狸与野兔数量的关系 ()()2211k r xk r yxeyec --=为直观反映两物种数量随时间的变化规律，选取三组有代表性的初值，利用Matlab 软件绘图。
在狐狸和野兔随时间的变化图像中，大致得出其数量呈周期变化，为进一步检验周期性，再用 Matlab 绘图做出狐狸与野兔数量的关系图，得到封闭曲线，因此分析结果为：狐狸和野兔的数量都呈现周期性的变化，但不在同一时刻达到峰值。
对于问题二，利用数值解法，令模型中两式皆为0，即求得狐狸和野兔数量的平衡状态。
且由问题一中狐狸与野兔数量的关系图知野兔和狐狸的平衡量恰为他们在一个周期内的平均值。
对于问题三，在Volterra 模型基础上引入人工捕获系数。
只捕获野兔时，野兔的自然增长率降低，狐狸自然死亡率增加，改进后模型同问题二处理方式一样，求得平衡状态，得出结论：捕获野兔时，狐狸数量减少，野兔数量反而增加，即Volterra 原理：为了减少强者，只需捕获弱者。
只捕获狐狸时，分析方法与只捕获野兔时相同，并得出野兔狐狸数量皆增加的结论。
问题三为自然界人类捕获生物提供了新的思路，即可以在正常允许范围内，为了达到减少某一种群数量的目的，相应的捕获其食饵，或适度地捕获捕食者使捕食者与被捕食者的数量都有所增加。
关键词：Volterra 模型 Matlab 软件 解析法 周期性一、问题重述在一个封闭的大草原里生长着狐狸和野兔。
数学建模--野兔
数学建模--野兔数学建模2辽宁工程技术大学数学建模课程成绩评定表学期2014-2015学年1学期姓名高显利李浩申李金胜专业工程管理班级14-工中职一班课程名称数学建模论文题目航空机票超订票问题评定标准评定指标分值得分知识创新性20理论正确性20内容难易性15结合实际性10知识掌握程度15书写规范性10工作量10总成绩100评语:任课教师林清水时间2015年11月15日备注摘要当需要从定量的角度分析和研究一个实际问题时，人们就要在深入调查研究、了解对象信息、作出简化假设、分析内在规律等工作的基础上，用数学的符号和语言，把它表述为数学式子，也就是数学模型，然后用通过计算得到的模型结果来解释实际问题，并接受实际的检验。
这个建立数学模型的全过程就称为数学建模。
关键词种群繁殖野兔数学建模稳定收获异常现象 Logistic模型生态学 MATLAB程序根据题目：在某地区野兔数量在连续十年统计数量(单位十万)如下：分析该数据，得出野兔的生长规律。
并指出在哪些年内野兔的增长有异常现象。
对于这种种群生态学问题，我们可以用Logistic（逻辑斯蒂方程）模型来模拟。
Logistic 模型是种群生态学的核心理论之一。
它可以用来描述种群生长规律，利用它可以表征种群的数量动态。
之所以选择该模型来研究野兔生长问题，是因为，该模型考虑并概括了，种群发展所遇到的各种外界条件，也就是说，它模拟了真实情况。
通过建立Logistic模型，我们小组得出T=10时，野兔数量为9.84194（十万）只。
该结果比较符合客观规律。
利用Logistic模型可以表征种群的数量动态；如鱼类种群的增长，收获与时间关系的确定。
实习目的学会用logistic模型来表达,用logistic模型来表达增长性问题。
问题重述1、兔子的自然死亡。
2、兔子天敌的种群变化。
3、各种疾病的蔓延。
4、人类的捕杀与破坏问题剖析野兔生长问题。
野兔在自然条件不变下，野兔的种群应该保持不变。
基于logistic数学模型的种群增长规律
B ：达到最大捕食系数时的时间； N ：环境所能供养的最大野兔数目； N0 ：初始野兔的数量；
e (t ) ：相对捕食系数； Q (t ) ： t 时刻野兔的实际数量； X (t ) ：在不考虑捕食情况下， t 时刻野兔的数目。
5．模型的建立与求解
1.在不考虑被捕食，也不考虑种内竞争（即生存竞争）的情况下对野兔增长模型的分析[1]： 在一段时间内，野兔数目变化的情况可表示为：
（4）
图 5-3 野兔增长曲线 现在对模型的正确性进行分析：
此模型较好的反映了现实中的情况，它不仅对野兔的增长有一定限制，而且达到此限制， 即野兔数量在达到自然所能供养的最大野兔数目（饱和值 N）之后，就会以此为轴在一定范 围内呈现上下波动的波浪形式。此模型很好地解决了第二个模型所不能解决的问题，换言之， 符合了生物学的观点，野兔的增长是循环往复的波浪形式。 4. 对以上模型代入数据求值
由此式可见，当 t
→
+∞
时，
X
(t)
→
r r
。综上所述：不论初值
X0
如何，野兔群体的
总数在 t → +∞ 时，恒趋于定值 r ，此值称为饱和值。饱和值可以认为是环境所能供养的最 r
大野兔数目，设之为 N。则有：
N= r r
再对该结果进行分析，当 0
<
X0
<
r r
时（这是有实际意义的情况），r
−
rX 0
2r
dt 2
曲线。上述函数 X = X (t ) 的形状呈 S 型，如图 5-2 所示：
5
图5-2 种群的S型增长曲线
此S型增长曲线与Logistic模型是等同的，是种群在有限环境条件下连续增长的一种最简
数学建模论文野兔生长问题
野兔生长问题摘要本文根据已知的野兔连续十年的统计情况，探讨野兔的合理的存活率并推测当前的发展趋势，针对不同情况给出方法推算出野兔数量的走向的目的。
首先，充分利用给出的前两年来野兔的数量变化，分析近两年来的野兔群落的情况，建立一个线性方程组的数学模型，通过求解方程组得出不同年份野兔的数量的数学关系，并且求出了平均增长率为：1.718%；所以通过一些比例之间的关系得到这个野兔群落的T＝10的数量（见表1）。
然后，建立一个种群增长的差分方程模型，求出的野兔生长规律。
求解当前野兔对应的Leslie矩阵的特征根，发现该特征根大于1，根据Leslie矩阵的稳定性理论知道：如果不进行避孕注射该野兔种群将无限增长（如果环境允许）；据此，利用Leslie矩阵稳定的充要条件求出应该保持多大的繁殖率才能使种群保持稳定，求解的主要思路是：特征根取为1、把繁殖率当成未知数，将此时的各年龄段的存活率代入方程⑥即可。
最后，只需将野兔的存活率代入那个以繁殖率为未知数的方程（方程⑥），求出在哪些年内野兔的增长有异常现象，。
考虑到求解的数据比较多，采取计算机模拟的方法来确定移走野兔后所需要进行避孕的母兔头数为了检验计算机模拟的正确性，用理论去验证。
问题重述位于某国的国家公园中栖息着近10000头野兔。
管理者要求有一个健康自由的环境以便观察这个10000头野兔的数量变化情况。
管理者逐年统计了野兔的数量，发现在过去的10年中，野兔的生长变化并不稳定，呈现波浪式起伏，根据这些信息我们需要解决以下问题：1. 探讨年龄在1岁到10岁之间的野兔的合理的存活率的模型，推测这个野兔群落的当前的年龄结构。
2. 知道哪些环境和内部因素对野兔生长数量的影响，并测算出各个影响的程度如何。
3. 探求偶然突发事件对野兔生长数量的巨大影响和它的规律性。
4. 根据野兔的生长变化，对野兔的生长特点进行分析。
问题假设1、假设野兔的性别比近似认为1：1，并且采用措施维持这个性别比；2、假设母兔可以怀孕的年龄为1岁—6岁、最高年龄为10岁，10岁的死亡率为100%，并且6—10岁的野兔的只数呈线性递减；3、假设野兔在各年龄段中的分布率不变，即年龄结构不变，并采用各种措施维持这一结构；4、假设兔子的内部因素对其生存率的影响不大5、假设0岁野兔能够活到1岁的比例为75%；6、假设各个环境因素对野兔生长的影响是互不影响的。
数学建模野兔生长问题完整论文
一、问题重述和分析（二）野兔生长问题预测T=10 时野兔的数量。
根据数据中野兔生长数量增长规律， 对于生物增长模型， 我们可以考虑到logistic 模型，因为此种模型曲线是单调递增的，但是表格中明显不是单调的，于是可以分三段讨论，由统计数据可以客观得到如下结果：T=0、1、2、3时种群数量单调上升，对于生物增长模型可考虑到logistic 模型 T=3、4、5、6时种群数量单调递减，是一种反常现象，仍可考虑logistic 模型 T=6、7、8、9时种群数量单调上升，对于生物增长模型可考虑到logistic 模型野兔在自然条件不变下，野兔的种群应该保持不变。
然而通过读数据的观察发现。
野兔的数量并不是单一地增长，T=3，6.90568；T=4，6.00512；T=5，5.56495；T=6，5.32807。
第三年到第六年野兔的增长有异常现象，这四年野兔的数量不增反降，说明其间有影响野兔生长的因素存在。
我们探讨了其中的因素：1、兔子的内部矛盾，兔子之间因为食物的减少而引发争斗2、天敌大量地捕食使野兔生存受到威胁3、疾病的侵扰，在野兔种群中蔓延并流行疾病4、人类的捕杀与破坏。
二、模型的假设上述野兔生长问题，我们作出以下假设：1.假设各个环境因素对野兔生长的影响是互不影响的2.假设兔子没有受到传染性疾病的影响3.假设它使处于自然的情况（没有人的作用）,人类活动对其生存不产生影响4.假设野兔性别比接近1：1，且采用措施维持这个比列三、符号说明：)(1t x 连续三年中第一年兔子的数量：)(2t x 连续三年中第二年兔子的数量：)(3t x 连续三年中第二年兔子的数量x ： 表示兔子的数量 a ： 表示兔子的出生率b: 表示兔子的死亡率t ： 表示年份模型的分析与建立对于生物模型，首先考虑的是logistic 模型，考虑到logistic 模型的增长曲线是单调的，而题目所给的数据中有一段是下降的，这是反常的情况，而正常情况应当是单调上升的。
第2节 种群数量的变化
用达尔文的观点分析“J”型“S”型曲线 种群数量
“J”型曲线指生物具有什么特性？
图中阴影部分表示什么？
时间 1． “J”型曲线用达尔文的观点分析指：生物具有过度繁殖的 特性。
2．图中阴影部分表示环境阻力，用达尔文的观点分析指通过 生存斗争被淘汰的个体数量。
三、种群数量的波动和下降 影响种群数量变化的因素 直接因素：出生率、死亡率、迁入率、迁出率
1.通过对本节的学习，掌握种群数量变化的“J”型曲 线和“S”型曲线。 2．尝试建立数学模型解释种群的数量变动及培养解决 实际生产问题的能力。
一、种群增长的“J”型曲线 思考：在食物和空间条件充裕、气候适宜、没有敌 害等理想条件下，种群的数量变化是怎样的呢？
菌
在营养和生存空间没 有限制的情况下，某 种细菌每20 min就通 过分裂增殖一次。
种 群 增 长 速 率
O
K K/2
（种群数量）
D: 出生率＝死亡率，即
种 群
种群数量处于K值。
数
量
B: 出生率与死亡率之差 增
最大，即种群数量处于 长
K/2值。
速 率
0
种 群 数 量 “S” 型 增 长 曲 线
时间
种群数量变化曲线与种群增长速率曲线的关系
de
g
K/2
c
b a
甲
f
h
乙
⑴图乙的fg段相当于图甲的ac段。
种群增长曲线在生产生活中的应用：
①有害动物的防治，应通过降低其环境
⑵图乙的g点相当于图甲的c点。 容纳量（K值）
②受保护动物的拯救和恢复，应通过改
⑶图乙的gh段相当于图甲的cd段。 善其栖息环境，提高K值。
模型建立与求解
模型建立与求解正如我们所知道的，模型的建立是能否求出答案的重要步骤，是不可缺少的一步，模型的建立与求解是非常关键的一步，我们根据模型的合理假设，在这基础上做出合理的模型建立，进一步求出模型，我们根据模型的合理假设做出了一下的模型建立:对于种群的解决方法，我们一般采用LOGISTIC方法，这种模型方法也是对生物种群求解的普遍方法，不仅科学而且求出得答案也较准确。
我们知道LOGISTIC模型的曲线是单调增长的曲线，而从图表中，我们可以看出事实并不是这样的，在后面几年野兔的增长，却出现了下滑的趋势，所以我们应该根据事实并结合LOGISTIC模型来求解，求得T=10时的野兔数量。
野兔的数量的增长变化并不是太符合LOGISTIC模型，所以我们不能在整个时间进行拟合，分开时间来进行拟合，所以我们应该选取每个单调区间，进行分析。
第一区间为T=0 时1，T=1 时2.31969，T=2时4.50853，T=3 时6.90568。
（从T=0到3，我们可以看出此区间为单调增区间）我们称为第一单调增区间。
第二区间为T=3时6.90568 ，T=4时6.00512，T=5 时5.56495 T=6 时5.32807（从T=3-6时，我们可以看出此区间为单调的减区间）我们称为第一单调减区间。
第二单调增区间T=6 时5.32807 ，T=7时7.56101，T=8时8.9392 T=9 9.5817（从T=6-9时的数据我们可以看出此区间为单调增区间）我们称为第二单调增区间。
于是我们将T=0-9分成了3个大的区间，对每个区间进行模拟拟合，于是我们可以对每个区间进行LOGISTIC分析，从而得到结论。
建立野兔生长的LOGISTIC模型。
我们先假设在一个小的单位时间间隔内新出生的兔子百分比为b，类似的兔子死亡率的百分比为c。
换句话，新的兔子数P(t+Δ t)是原有兔子数P(t)加上在Δ t 时间内新增兔子数减去死亡兔子数，即P(t+Δ t)=P(t)+bP(t)Δ t-cP(t)Δ t有上述假设可知，在一个时间段内兔子数的平均变化率与兔子的数量成正比例。
数学建模案例分析2生态系统--差分方程方法建模.
§2生态系统一、一阶常系数线性差分方程其通解是对应齐次方程的通解加上原方程的一个特解。
的算法是待定系数法。
（1）次多项式（2）指数函数二、应用举例设想在一个长满了青草的小荒岛上栖息繁衍着一群野兔。
开始时共有野兔只，我们来研究其数目随时间变化的规律。
假设第年野兔的数目用表示。
记第0年的野兔数为。
（1）先作如下的假设：下一年野兔的净增加数目和上一年的数目成正比，且比例系数是一个常数，记为。
这种假设是很合理的，因为在野兔的食物——青草非常充足的条件下，一年内新出生的野兔数和成年母兔数成正比，而成年母兔数又和野兔总数成正比，因而一年内新出生的野兔数和野兔总数成正比。
另一方面，一年内死亡的野兔数大体也和野兔总数成正比。
这样，第年野兔的净增加数（出生数减去死亡数）和上一年野兔的数目成正比，即可以列出方程：移项整理后得到方程（1）这里。
这是一阶常系数齐次线性差分方程。
可以计算出第年的野兔总数为。
这个描述野兔数目的模型是否合理呢？假设，，计算对应的值列表如下：0 1 2 3 4 8 10 15 20 50100 140 196 274 384 1 475 2 893 15 576 83 668 20(亿这是一个按指数增长的量，由表中数据我们发现，50年后野兔的总数为20亿！也许有人会认为太大，但是对于一年可以生育2~3次的兔子来说不应该算太大。
问题可能出在这个小岛上青草是否能够支持这么多的野兔生存下来？其实，这个模型最严重的缺陷就是没有反映野兔生存资源对野兔种群的约束。
于是我们要改进模型。
（2）进一步的模型设想小荒岛上的青草最多可以养活只野兔。
是自然资源所能承担的野兔的最大容量。
我们修改关于野兔数目的假设如下：下一年野兔的数目和上一年的数目成正比，比例数，即与上一年的野兔数目有关。
这样我们得到方程（2）我们先来看看假设的合理性。
方程（2）等价于（3）方程左端是前后两年野兔数目的比值。
当与之差是一个较大的数时，说明自然资源还有较大的能力支持野兔种群的扩大，下一年的野兔总数可以有一个较大的增长。
狐狸与兔子数学模型的论文
狐狸与野兔(捕食者与被捕食者)问题摘要在生态系统中，捕食与被捕食的关系无处不在，它们相互依存，相互制约，在自然选择的条件下，只要经过足够长的时间，物种的数量关系就会达到动态的平衡，而这种平衡与初始状态下各物种的数量无关。
本文研究的是狐狸与野兔两个物种的关系，题目中已经给出了两个物种的变化率之间的关系，直接解出即可看出狐狸与野兔两个物种的数量关系，但已知的微分方程组不能直接解出解析解，因此，我们用“组合的2/3阶龙格-库塔-芬尔格算法”求给定微分方程的数值解，在给出初值：狐狸300只，野兔800只的情况下，用MATLAB 软件进行计算，然后通过狐狸和野兔数量的图像确定狐狸和野兔的数量关系：狐狸的数量随着野兔数量的增加而增加，而野兔的数量又随着狐狸的增加而减少，经过自然界的反馈作用，狐狸的数量又随着野兔数量的减少而减少，进一步，野兔的数量又会随着狐狸的减少而增加，它们的关系就这样循环，最后直至平衡，达到稳定状态。
在平衡状态下，狐狸和野兔的数量保持不变，因而它们的变化率应该为0，所以直接令微分方程等于0，解得平衡状态下：狐狸200只，野兔900只。
在没有人类捕猎的条件下，野兔数量的变化率为xy x dtdx 02.04-=，可见狐狸对野兔的捕捉量与狐狸和野兔的数量乘积成正比，比例系数为0.02。
同理，如果考虑人类对野兔的捕猎，可假设“人类对野兔的捕捉量与人类和野兔的数量乘积成正比，比例系数为a ”，在这种情况下，达到平衡时野兔的数量没有变化，狐狸的数量有所减少。
根据以上思路，如果考虑人类对狐狸进行捕猎，可假设“人类对狐狸的捕捉量与人类和狐狸的数量乘积成正比，比例系数为b ”，在这种情况下，达到平衡时狐狸的数量没有变化，野兔的数量有所增加。
关键词：组合的2/3阶龙格-库塔-芬尔格算法 滞后 反馈作用 MATLAB 自然平衡一、问题重述在一个封闭的大草原里生长着狐狸和野兔。
在大自然的和谐的坏境中，野免并没有因为有狐狸的捕食而灭绝。
野兔生长问题
数学建模一周论文（论文题目）姓名1：学号：姓名2：学号：姓名3：学号：专业：班级：指导教师：年月日摘要：根据某地区野兔连续十年统计量的曲线分布和野兔增长的一般规律，先找出野兔增长中的异常点，然后排除异常点，建立野兔增长的理论模型，然后应用理论于实际，基于现实问题进行运用和对t=10的推测。
首先，利用三次样条插值做出其原始图像，在假设条件下，遵循自然规律分析图像，找出并去除t=4,t=5,t=6这三个异常点；然后，利用微分方程分析法，先对t 到tt∆+年兔子增量和增长率a的关系进行分析，列出其微分方程，考虑到自然因素对野兔增长的影响，在前模型的基础上增加竞争项2bx-，重新建立模型；对其进一步分析并用原始值与理论之进行比较，进一步发现其中的问题：曲线不能很好地反映断层后野兔的增长趋势；最后，为了更好地反映t=7以后的野兔的增长规律，提出分段表示其增长趋势的思路：把异常点所在的年份作为“断层”，在其两侧分别采用微分方程对其建模，在异常点采用了多次连续“断层”的拟合方法对其求解，即先用三次多项式拟合其断层，并进一步对其函数，特别是其两端进行修正，以保证整个函数的连续性。
从而画出分段函数的图像，得出该地区野兔的生长规律，并以此预测第十年野兔的数量。
最后，函数以分段形式表示如下：()()(())771555.09688.235624.09949.1)3402.09285.2(4439.00255.030971.02885.15059.10234586.40<<⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥+++-++≤≤+=--ttexxxtet ytt并由此计算出t=10年时野兔的数量为y= 10.6864万只。
关键字：微分方程分析法竞争项多次连续“断层”的拟合1问题的重述测T=10 时野兔的数量。
2问题的分析在自然界中野兔的增长受很多因素的影响，水、食物、或是自然灾害等都会对其产生一定的影响，这其中水和食物会对其产生恒久的制约作用，但不会影响其大体的增长趋势，它会使野兔增长到一定数量之后因为彼此的竞争而使其数量趋于一个稳定值；自然灾害则有可能对其产生致命的打击，导致其增长产生异常现象，而我们在研究其生长问题时应将其排除在外。
兔子增长模型
野兔生长问题在某地区野兔的数量在连续十年的统计数量(单位十万)如下T=0T=1 T=2 T=3 T=4 T=5 T=6 T=7 T=8 T=91 2.31969 4.508536.905686.005125.564955.328077.561018.93929.5817分析该数据，得出野兔的生长规律。
并指出在哪些年内野兔的增长有异常现象，预测T=10 时野兔的数量。
二．问题分析年份T=0T=1 T=2 T=3 T=4 T=5 T=6 T=7 T=8 T=9数量1 2.319694.508536.905696.005125.564955.328077.561018.93929.5817增长量\ 1.139692.188832.39715-0.90056-0.44017-0.236882.232941.378190.6425增长率\ 31.97%94.36%53.17%-13.04%-7.33%-4.26%41.91%18.23%7.19%地球上有限的资源和环境条件下使野兔总数受到限制。
而有图表可知增长率随着野兔数量的增加而减小，设m N 表示自然资源和环境条件下所能容许的最大野兔数，假设野兔的增长速度与现有野兔数成正比，但增长的比例N(t)的增加而减小。
四． 符号说明m N ————自然资源和环境条件下所能容许的最大野兔数 0r ————T 属于[0,3]时的增长率 1r ————T 属于[4,6]时的增长率 2r ————T 属于[7,9]时的增长率五． 模型建立由于在T=4，T=5，T=6出现反常情况，所以我们将年份分为三段[0,3],[4,6],[7,9]满足 )())(1()(t N N t N r dtt dN m-= （其中r 为常数） (1)将（1）式改写为 r d t dN N N N m =⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-11 两边积分得 c rt NN Nm +=-ln 即rt m Ae NN N=- （其中A 为待定常数）当t 属于[0,3]时,设N(0)=0N 代入上式可得 N(t)=tr m me N NN )0(00)1(1+--+ 。
数学建模实验项目八狐狸与野兔问题
数学建模实验项目八狐狸与野兔问题数学建模实验项目八狐狸与野兔问题一、实验目的：1、认识微分方程的建模过程；2、认识微分方程的数值解法。
二、实验要求：1、熟练应用Matlab 的符号求解工具箱求解常微分方程；2、掌握机理分析建立微分方程的方法和步骤；3、提高Matlab 的编程应用技能。
三、实验内容及要求（狐狸与野兔问题）在一个封闭的大草原里生长着狐狸和野兔，设t 时刻它们的数量分别为y(t)和x(t)，已知满足以下微分方程组 0.0010.940.02dy xy y dt dx x xy dt =-=- （1）建立上述微分方程的轨线方程；（2）在什么情况下狐狸和野兔数量出现平衡状态？（3）建立另一个微分方程来分析人们对野兔进行捕猎会产生什么后果？对狐狸进行捕猎又会产生什么后果？四、实验步骤及过程1.建立一个名为“0*级计算第08次作业*******”（********表示自己的学号）的文件夹。
2. 打开Matlab 软件，练习实验指定的内容。
3. 将所得结果保存到文件夹中，并上存到天空教室。
莆田学院期末考试试卷2011 ——2012 学年第 2学期课程名称：数学建模适用年级/专业： 09数学试卷类别开卷（√ ）闭卷（）学历层次本科考试用时《考生注意：答案要全部抄到答题纸上，做在试卷上不给分》．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．答题正文要求：（1）写清建模分析过程、建立的模型、模型求解及其结果、并对结果给予简单的分析；（2）要求每人独立完成一份；（3）试卷打印格式参照教务处有关规定执行；（4）在下列二题中选做一题。
一、借贷问题某地银行对个人住房25年贷款期限的贷款条件通常为：年利率为0.12，而且是月均等额还款。
小叶夫妇要买房还缺6万元，正在考虑到银行去错6万元。
正在这时，小叶夫妇看到一个借贷公司的针对银行贷款条件的广告，说他们可以在年利率0.12的前提下，帮你提前三年还清借款，但是，（1）每半个月还一次款（2）由于每半个月就要开一张收据，文书工作多了，要求顾客预付三个月的还款。
兔子的数量 建模
数学建模一周论文论文题目：野兔生长问题姓名1：李坤鹏学号：1020560132姓名2：方扬学号：1020560113姓名3：谭小丁学号：1020560114专业：材料化学班级：10205601指导教师：樊健秋2012年06年08 日摘要本题研究的是某地区的野兔生长问题，题目已给出连续十年的统计数据，分析数据可得野兔的生长规律。
题目要求指出哪些年野兔的增长有异常现象并预测T=10时野兔的数量。
假设野兔生长的条件是在无外界干扰的完美条件下（即不考虑外界因素对野兔繁殖的影响），该种群的成长曲线应该为对数型增长。
但依题意可知，野兔增长先是成对数增长后来趋于平缓，变化幅度不断降低，这说明野兔生长并不是处于理想的情况下的，考虑到自然的各种原因，诸如，环境条件因为兔群激增而变得恶劣，天气的变化，天敌的增多等等。
对于这种种群生态学问题，我们可以用Logistic（逻辑斯蒂方程）模型来模拟。
Logistic模型是种群生态学的核心理论之一，它可以很好的表示生物种群的生长规律，动态的表示生物种群的增减情况，例如兔子。
由于野兔生长问题相对简单，其涉及的内容和有求也相对较少，并且该问题概过了种群在生态中生长问题。
根据逻辑斯蒂方程，以及建立一只双曲线右支可以预测出在T=10时，野兔数量为10.8156十万只。
关键字：logistic生物模型预测生长规律预测数量一、问题的重述在某地区野兔的数量在连续十年的统计数量(单位十万)如下分析该数据，得出野兔的生长规律。
并指出在哪些年内野兔的增长有异常现象，预测T=10 时野兔的数量。
首先，野兔是生长在自然环境中的。
自然很复杂，存在着许多影响种群发展的因素。
我们知道，假如给野兔一个理想的环境，野兔数量是呈对数增长的。
现实情况中，种群一般是呈S型增长的，从题中表格看出，野兔的数量并不是单一地增长，T=1,2.31969；T=3，6.90568；T=4，6.00512；T=5，5.56495，呈类J 型增长，说明兔子数量不多受内外因素的因数影响不明显。
xiuguo第2章 系统建模与仿真技术-2
典型模型介绍
最短路径实现实例
(1,2)
2
2
2
3
(0)
2
4
2
6
4
2
6
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5 3
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3
3
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6
(a) (1)给顶点v1标号(0)，标号点集为V1={v1}，未标号点集为V2={v2, v3, v4, v5, v6, v7,} (2)在集合V2中找到点 v2, v3 与V1中的v1有弧连接。： (3)确定最接近 v1的 vk ： L min , min2,5 2 所以l=1， vk = v2 ， L12=2，故在第2点旁标号(1,2)，如图4.2a所示。 V1={v1 , v2 } V2={v3, v4, v5, v6, v7,} 终点 v7仍未标号，继续执行第二步
典型模型介绍
最短路径实现实例
(1,2)
2
(0) 1
2
2
2
Hale Waihona Puke 6(1,2) 4 (3,6) 5
2
3
2
6
(2,8) 4 (3,6) 5
2
3
4
1
7
1
2
(6,8) 4
1
7
4
3 (2,4)
3
(3,7) 6
4
(d) (8) V2中的 v4, v7与V1中的V1 有弧相连 确定最接近 的第五个 vk
L1k minL12 24 , L13 34 , L15 57 , L16 67
论文赏析
2）兔子在每个月均死亡1/3时兔子数量变化的规律
3）兔子在每个月均死亡d时兔子数量变化 的规律
进一步的推广
兔子出生后总共存活12月，从第7个 月后就开始生小兔,在第7、8这两个月中 每月每一对兔子恰好生1对小兔，从9、 10两个月月内每一对兔子恰好生2对小 兔，然后停止生育，在第12月末死亡问 第k月有多少对兔子？
一月先计算从上一月存活下来的白鼠，当某月从上一月存活 下来的白鼠的数量超过100对时，该月出生的小白鼠将被转 移到别的实验室。设开始时有1对刚出生的小白鼠，问第k月 有多少对白鼠(0<k<３７, 为自然数)？例如，当n=10、m=1, k=11时，第1至6月白鼠的对数均为1，也就是原来的这一 对，第7月2对：原来的1对加上这一对在第7月生育的1对， 第8月3对：原来的1对加上7月生育的1对，再加上8月生育的 一对，第9月5对：原来的一对，加上7月生育的1对，加上8 月生育的1对，再加上9月生育的2对，第10月5对，与第9月 相同，第11月4对（因为最初的这一对白鼠死亡）。
该问题在理论状态下完全解决！
2. 兔子数量增长的推广 兔子能长生不老吗？
1） 兔子的寿命均为6个月，试讨论兔子数量变化的 规律。
2） 所有兔子在每个月均死亡1/3，试讨论兔子数量 变化的规律。
3） 所有兔子在每个月死亡的比例均是d，试讨论兔 子 数量变化的规律，并探讨兔子数量稳定时d的 值。
1）兔子的寿命为6个月时论兔子数量变化
直接推算
先直接推算，在第1月只有1对兔子;第2月 也只有一对兔子;在第3月这对兔子生了1对 小兔子,共有2对兔子;在第4月,老兔子又生了 1对小兔子,共有3对小兔子;在第5个月,老兔 子生1对小兔子,且在第3月出生的小兔也生 育1对小兔子,故共有5对小兔子,在第6个月, 老兔子、在第3、第4月出生的小兔子各生1 对小兔子,故共有8对小兔子.如此类推,不难 得到月份和小兔对数的关系如表1所示.
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野兔生长问题摘要本文根据已知的野兔连续十年的统计情况，探讨野兔的合理的存活率并推测当前的发展趋势，针对不同情况给出方法推算出野兔数量的走向的目的。
首先，充分利用给出的前两年来野兔的数量变化，分析近两年来的野兔群落的情况，建立一个线性方程组的数学模型，通过求解方程组得出不同年份野兔的数量的数学关系，并且求出了平均增长率为：1.718%；所以通过一些比例之间的关系得到这个野兔群落的T＝10的数量（见表1）。
然后，建立一个种群增长的差分方程模型，求出的野兔生长规律。
求解当前野兔对应的Leslie矩阵的特征根，发现该特征根大于1，根据Leslie矩阵的稳定性理论知道：如果不进行避孕注射该野兔种群将无限增长（如果环境允许）；据此，利用Leslie矩阵稳定的充要条件求出应该保持多大的繁殖率才能使种群保持稳定，求解的主要思路是：特征根取为1、把繁殖率当成未知数，将此时的各年龄段的存活率代入方程⑥即可。
最后，只需将野兔的存活率代入那个以繁殖率为未知数的方程（方程⑥），求出在哪些年内野兔的增长有异常现象，。
考虑到求解的数据比较多，采取计算机模拟的方法来确定移走野兔后所需要进行避孕的母兔头数为了检验计算机模拟的正确性，用理论去验证。
问题重述位于某国的国家公园中栖息着近10000头野兔。
管理者要求有一个健康自由的环境以便观察这个10000头野兔的数量变化情况。
管理者逐年统计了野兔的数量，发现在过去的10年中，野兔的生长变化并不稳定，呈现波浪式起伏，根据这些信息我们需要解决以下问题：1. 探讨年龄在1岁到10岁之间的野兔的合理的存活率的模型，推测这个野兔群落的当前的年龄结构。
2. 知道哪些环境和内部因素对野兔生长数量的影响，并测算出各个影响的程度如何。
3. 探求偶然突发事件对野兔生长数量的巨大影响和它的规律性。
4. 根据野兔的生长变化，对野兔的生长特点进行分析。
问题假设1、假设野兔的性别比近似认为1：1，并且采用措施维持这个性别比；2、假设母兔可以怀孕的年龄为1岁—6岁、最高年龄为10岁，10岁的死亡率为100%，并且6—10岁的野兔的只数呈线性递减；3、假设野兔在各年龄段中的分布率不变，即年龄结构不变，并采用各种措施维持这一结构；4、假设兔子的内部因素对其生存率的影响不大5、假设0岁野兔能够活到1岁的比例为75%；6、假设各个环境因素对野兔生长的影响是互不影响的。
符号说明X ： 表示一年中野兔的头数（i=0表示0岁野兔的头数，i=1表示1--10岁大象头数，i=2表示1—10岁野兔的头数）；p ： 表示存活率（0p 表示0岁野兔的存活率，1p 表示1—60岁野兔的存活率，p表示61岁—70岁野兔的存活率）；2x k：表示时段k第i年龄组的野兔数量；()b：第i年龄组每个（母兔）个体在1个时段内平均繁殖的数量；s：第i年龄组的存活率；L： Leslie矩阵；：L矩阵的那个唯一正特征根；1n：表示移出野兔的头数；问题分析对于问题一，利用给出的近两年来运出的野兔的数量统计表，可以分析近十年来的野兔群落的变化情况，比如各个年龄段的野兔占总的野兔的头数的比例是多少，还可以根据十年野兔总数的不规则变化来建立方程，用于求解野兔生存规律。
对于问题二，因为考虑的是公园在未来很长一段时间的野兔生长变化问题，所以可以建立一个按年龄分组的种群增长的差分方程模型，根据差分方程的Leslie矩阵的特征根，结合 Leslie矩阵的稳定性理论对当前野兔种群的情况进行分析。
为了保持野兔种群的稳定，必须使得Leslie矩阵的最大特征根为1，而这样，特征根取为1、把繁殖率当成未知数，将此时的各年龄段的存活率代入方程特征方程，求解这个以繁殖率为未知数的方程可以得到野兔在某一年的繁殖率的取值；根据一条件建立方程来求解野兔在哪些年数量变化有异常情况。
对于问题三，可以建立一个按年龄分组的种群增长的差分方程模型结合Leslie矩阵的稳定性理论对当前野兔种群的情况进行分析，然后求解这个以繁殖率为未知数的方程可以得到野兔在T=10年的繁殖率的取值，接着把取值代入线性方程求出野兔在这一年的数量。
探讨野兔的存活率和当前野兔的年龄结构下面将根据给出的近两年来运出的野兔的数量与性别统计表，分析近两年来的野兔群落的情况，建立一个线性方程组数学模型，通过求解方程组得到年龄在1岁到10岁之间的野兔的存活率，并给出野兔各年龄所占的比例，进而得到这个野兔群落的当前的年龄结构。
1、线性方程组模型的建立（1）首先，计算一年中野兔的只数。
野兔群是由0岁，1—0岁，10岁—12岁组成 ,且稳定在10000头。
设0岁的头数为X 0，1—10岁野兔头数为X 1，10岁—12岁野兔头数为X 2。
所以得到第一个方程：X 0+X 1+X 2=10000 ①（2）其次，考虑到前一年野兔的总数等于前两年存活下来的野兔加上新生的幼儿再减去运出的野兔数。
设0岁野兔的存活率为0p ，1—10岁野兔的存活率为1p ，10岁—12岁野兔的存活率为2p 。
则经过一年后，新生的野兔存活下来的头数为X 0⨯0p ；1到10岁的野兔存活下来的头数为X 11p ⨯；10岁——12岁的野兔能存活下来的头数为X 22p ⨯，因此得到第二个方程：（X 0⨯0p + X 11p ⨯+ X 22p ⨯）+ X 0-622=10000 ②联立①②得到方程组：0120011220X +X +X =11000X + X + X + X -622=11000 p p p ⎧⎨⨯⨯⨯⎩⑴ 2、模型的求解根据近两年来运出的野兔的数量与性别统计表，得到如下分析结果： （1）计算0岁的野兔头数由表中统计，1岁—3岁的野兔占1岁—10岁的野兔比例为：（67/620+169/876）/2=15.05%所以得到：3岁—10岁能生小野兔的母野兔占1岁—10岁的野兔比例为：（1-15.032%）⨯0.5 =42.48%因为能生小野兔的母野兔每3个月生一头小野兔，且十胞胎的机会为1.35%，相当于每年生126头 ，所以0岁的野兔占1岁—10岁的野兔比例为：0.4248⨯0.2896=0.12303这样0岁的野兔共有： 0X=0.12303⨯1 X ③（2）计算10岁—12岁的野兔头数从表中计算运出的9岁的野兔占运出的总野兔比率为：（14/622+22/876）/2=0.0238由于运出的野兔都是1岁—10岁的，所以0.0238也可看为9岁的野兔占1—10岁的野兔的头数比例，得到10岁的野兔占的比例为0.02381p ⨯，由假设可以知道：10岁—12岁的野兔头数为：2X=1/2⨯10⨯0.02381p ⨯⨯X 1 ④10岁——12岁的野兔经过一年能存活下来的头数为：2 211X =(1/2)90.0238X p p ⨯⨯⨯⨯⨯ ⑤ （3）、将③⑤和④两个式子代入上面方程组⑴得：111110111110.12303X +X +(1/2 )100.0238 X =110000.12303X + X + (1/2)90.0238X +0.12303X -622=11000 p p p p ⨯⨯⨯⨯⨯⎧⎨⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎩又由假设知道，0岁野兔的存活率为0p =75%代入上述方程组，然后用Mathematica 解之得：110.9897198864.85p X =⎧⎨=⎩ 再依次将1X 、s 代入③⑤和④求得：201044.07X 1090.66X =⎧⎨=⎩所以， 0岁野兔的总头数为1091（头）；1—10岁的野兔的存活率为98.9719%，总头数为8865（头）；10岁—12岁的野兔头数为1091（头）。
把0—10岁的野兔分为八个年龄段，由假设知道，各个年龄段占总数可以用各个年龄段移出的头数除以移出的总头数来衡量。
下面以1—10年龄段的野兔头数计算为例：前一年总共移出622头，其中1—10岁移出为67头；前两年总共移出876头，其中1—10岁移出169头。
故1—10年龄段的野兔头数可以这样计算：11X =671698865 [()/2]622 876⨯+=1332（头）3、结果分析（1）由结果可以知道，2—10岁野兔的存活率为98.9718%，这与题目给出的大于95%是相一致的，所以可以认为结果是合理的；（2）从图1可以看出，各个年龄段的野兔所占的比例基本上是一样的，2—3岁和4—7岁的野兔比例相对比较大，因为这段大象正处于年龄的黄金时期。
由此，可以认为求出的野兔年龄也是合理的。
估计注射避孕药后野兔数量的变化首先建立一个按年龄分组的种群增长的差分方程模型；然后用Leslie 矩阵稳定的充要条件分析如果不进行避孕注射种群的增长情况；最后仍然利用Leslie 矩阵稳定的充要条件求出应该保持多大的繁殖率才能使种群保持稳定，进而利用一个方程求出每年注射避孕药的母野兔头数。
1、按年龄分组的种群增长的差分方程模型的建立记时段k 第i 年龄组的野兔数量为()i x k ，k=0，1，2，…，i=1，2，…n,第i 年龄组的繁殖率为b ，即第i 年龄组每个（母野兔）个体在1个时段内平均繁殖的数量，第i 年龄的存活率为s ，我们这里假设b 和s 不随时段k 变化，在稳定的环境下这个假设是合理的。
b 和s 可由统计资料获得。
()i x k 的变化规律由以下的基本事实得到：时段k+1第1年龄组种群数量是时段k 各年龄组繁殖数量之和，即11(1)()ni i i x k bx k =+=∑ 时段k+1第i+1年龄组的种群数量是时段k 第i 年龄组存活下来的数量，即 1(1)(),1,2,,1i ii x k s x k i n ++==⋯- 记时段k 种群按年龄组的分布向量为12()[(),(),()]Tnx k x k x k x k =⋯ 由繁殖率b 和存活率s 构成的矩阵为010116061697001910110...0.........0...000......00...000...000......00...0000...000......00...0000...00......00...0000...00......00...00.........00......00...00.........000......00...000b b b b b b b s s s s L s =606159...000......00...0000...000......0...0000...000......0...0000...000......00 (000)............0s b b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦根据Leslie 矩阵的性质可以得到如下的定理：定理1：L 矩阵有唯一的正特征根1λ，且它是单重根的，1λ对应正特征向量*12111221111...1,,,...,Tn n s s s s s s x λλλ--⎡⎤=⎢⎥⎣⎦L 矩阵的其他n-1个特征根k λ都是满足 1,2,3,...,k k n λλ≤= 该定理表明L 矩阵的特征方程121211122121(.........)0n n n n n n n b b s b s s sb s s s λλλλ-----+++++= 只有一个正根，并且易知，**1Lxx λ=2、如果不进行避孕注射种群的增长情况（1）建立Leslie 矩阵首先，由第一问的求解知道，0岁的野兔的存活率为0.75；1—10岁野兔的存活率为0.989718；根据假设10—12岁野兔头数是线性递减的，而且到70岁所有的野兔都死完了，所以很容易求出存活率为（1-0.1）1s ⨯=0.9⨯0.989718=0.8907；9—10岁野兔的繁殖率为0.1448。