2.3 垂径定理优秀课件
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垂径定理优秀课件
思考：当非直径的弦AB与直径CD有什么位置关系 时，弦AB有可能被直径CD平分？
（（对C如D2称1⊥））图轴A你这，B垂 平是，能个A什B垂分径发图是么足弦定现形⊙？为所图是O理的E对中轴：一.有对的条垂哪称两弦直些图条，于相形弧作等吗弦直．的？的径线如直C段果D径，和是使平，分它弦的，并
弧？为什么？
A.1个 B.2个
C.3个
D.4个
双基训练
4. 如图,将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧 恰好经过圆心，则折痕AB的长为( C )
A.2cm B. 3cm C. 2 3cm D. 2 5cm
5.已知点P是半径为5的⊙O内
O
的一定点，且OP=4，则过P
点的所有弦中，弦长可能取 A
B
的整数值为（ C ）
(4)平分弦所对的优弧
D
(5)平分弦所对的劣弧
注意:当具备了(2）(3)时,应对另一
条弦增加”不是直径”的限制.
垂径定理的几个基本图形：
C
O
A
A
E
B
D
A
O
D
B
C
D
B
O
A
C
O
C
B
判断下列图形，能否使用垂径定理？
C
A
O E
B
D C
A
O E
B
( )(1)垂直于弦的直线平分这条弦, 并且平分
弦所对的两条弧.
∴四边形ADOE为矩形，
AE
1 2
AC，AD
1 2
AB
又 ∵AC=AB
C
∴ AE=AD
E
·O
∴ 四边形ADOE为正方形.
A
D
B
在直径是20cm的⊙O中，A⌒B的度数是60˙，
（（对C如D2称1⊥））图轴A你这，B垂 平是，能个A什B垂分径发图是么足弦定现形⊙？为所图是O理的E对中轴：一.有对的条垂哪称两弦直些图条，于相形弧作等吗弦直．的？的径线如直C段果D径，和是使平，分它弦的，并
弧？为什么？
A.1个 B.2个
C.3个
D.4个
双基训练
4. 如图,将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧 恰好经过圆心，则折痕AB的长为( C )
A.2cm B. 3cm C. 2 3cm D. 2 5cm
5.已知点P是半径为5的⊙O内
O
的一定点，且OP=4，则过P
点的所有弦中，弦长可能取 A
B
的整数值为（ C ）
(4)平分弦所对的优弧
D
(5)平分弦所对的劣弧
注意:当具备了(2）(3)时,应对另一
条弦增加”不是直径”的限制.
垂径定理的几个基本图形：
C
O
A
A
E
B
D
A
O
D
B
C
D
B
O
A
C
O
C
B
判断下列图形，能否使用垂径定理？
C
A
O E
B
D C
A
O E
B
( )(1)垂直于弦的直线平分这条弦, 并且平分
弦所对的两条弧.
∴四边形ADOE为矩形，
AE
1 2
AC，AD
1 2
AB
又 ∵AC=AB
C
∴ AE=AD
E
·O
∴ 四边形ADOE为正方形.
A
D
B
在直径是20cm的⊙O中，A⌒B的度数是60˙，
2.3垂径定理(第2课时)课件(共12张ppt)
D D
由 ① CD是直径 ③ AM=BM
可推得
②CD⊥AB, ④A⌒C=B⌒C,
·Ｏ
A (E)
B 推论1：
⑤A⌒D=B⌒D.
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦， C 并且平分弦所对的两条弧．
探究二：AB是⊙O的一条弦,且AM=BM。且CD⊥AB
于点M，CD与圆心有何位置关系？还有什么结论？
为什么？
C
ED F B
设圆弧的半径OA为r，OD=r-2.4 在Rt△OAD中，由勾股定理，
r
O
得: r≈3.9（m）
在Rt△ONH中，由勾股定理，得：
OH=√ON2-NH2=√3.92-1.52=3.6
∴ DH=OH-OD=3.6-1.5=2.1>2 ∴此货船能顺利通过这座拱桥.
1、判断：
⑴垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对的
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
∠ CEB=30°=∠ FEO OF=1.5
A F
O· E C
B
AF=√OA2-OF2=√62-1.52=
3√15 2
AB=2AF= 3√15
9.如图,圆O与矩形ABCD交
AH
于E、F、G、H,EF=10， HG=6，AH=4，求BE的长.
BE
BE=2
MG D
·ON F C
10、如图，在⊙O中，AB为⊙O的弦
M
B
图中相等的线段有 :AE=EB CF=FD . 图中相等的劣弧有: A⌒MC⌒=NB⌒=MN⌒D. .A⌒C=B⌒D. .
A
E
O·F
D
CN
3、如图，点P是半径为5cm的⊙O内一点，且OP=3cm,
《圆的垂径定理》课件
第四步
综合第二步和第三步的结论， 得出垂径定理。
定理的应用
01
02
03
计算弦长
已知圆的半径和弦所对的 圆心角，利用垂径定理可 以计算出弦的长度。
计算弧长
已知圆的半径和弧所对的 圆心角，利用垂径定理可 以计算出弧的长度。
计算圆心角
已知圆的半径和弦长，利 用垂径定理可以计算出圆 心角的度数。
03
垂径定理的应用
02
垂径定理在解析几何中可以用于 解决一些实际应用问题，例如计 算桥梁的承重能力、设计圆形工 件等。
垂径定理在实际问题中的应用
在实际生活中，垂径定理的应用非常 广泛，例如在建筑设计、机械制造、 航空航天等领域中，垂径定理都发挥 着重要的作用。
垂径定理在物理学中也有应用，例如 在研究光的反射和折射、地球的重力 场等。
垂径定理在几何问题中的应用
垂径定理在证明圆的性质时发挥了重要作用，例如证明圆周角定 理、圆内接四边形的性质等。
垂径定理是解决几何问题中关于圆的问题的基础，例如求圆的面 积、周长、圆心角等。
垂径定理在解析几何中的应用
01
在解析几何中，垂径定理可以与 其他数学知识结合使用，例如与 三角函数、坐标系等结合，解决 更复杂的几何问题。
详细描述
弦切角定理指出，在圆中，连接弦与切线的交点的线段与弦所夹的角等于该弦 所对应的圆心角。这个定理在解决与弦、切线和圆心角相关的问题时非常有用 。
切线长定理
总结词
切线长定理是关于圆的切线长度的重 要定理。
详细描述
切线长定理指出，过圆外一点向圆作 两条切线，则该点到两切点的线段长 度相等。这个定理在解决与圆的切线 和相关长度相关的问题时非常有用。
定理的应用
九年级数学下册 第2章 圆2.3 垂径定理课件(新版)湘教版
看看远处，要保护好眼睛哦~站起来 动一动，久坐对身体不好哦~
课堂小结
垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦， 并且平分弦所对的两条弧.
A
C
O
E B
D
结束语
九年级数学下册 第2章 圆2.3 垂径定理课件（新 版）湘教版
A
C
O
E B
D
如图，弦AB = 8 cm，CD是⊙O 的直径，CD⊥AB， 垂足为 E，DE ＝ 2 cm，求⊙O 的直径 CD 的长.【教材P59页】
解 连接 OA. 设 OA = r cm， 则 OE ＝ r - 2 （cm）. ∵ CD⊥AB，
由垂径定理得 AE AB4cm.
2
在 Rt△AEO 中， 由勾股定理得 OA2 ＝ OE2 + AE2. 即 r2 ＝ （r-2）2 + 42. 解得 r ＝ 5 . ∴ CD = 2r = 10 （cm）.
练习
如图， AB 是⊙O 的直径， C 是⊙O上一点，AC ＝ 8 cm， AB ＝ 10 cm， OD⊥BC于点 D， 求 BD 的长. 【教材P59页】 解 ∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°； ∵OD⊥BC，∴OD∥AC，又∵AO=OB， ∴OD是△ABC的中位线，即BD= 1 BC；
2
证明：圆的两条平行弦所夹的弧相等． 已知：如图， 在⊙O 中，弦 AB 与弦 CD 平行． 求证：ACBD【教材P59页】 证明： 作直径 EF⊥ AB，∴ AEBE . 又∵AB∥CD， EF ⊥ AB ， ∴ EF ⊥ CD. ∴ CEDE . 因此 A E C E B E D E. 即 ACBD.
复习课件
九年级数学下册 第2章 圆2.3 垂径定理课件（新版）湘教版
垂径定理
课堂小结
垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦， 并且平分弦所对的两条弧.
A
C
O
E B
D
结束语
九年级数学下册 第2章 圆2.3 垂径定理课件（新 版）湘教版
A
C
O
E B
D
如图，弦AB = 8 cm，CD是⊙O 的直径，CD⊥AB， 垂足为 E，DE ＝ 2 cm，求⊙O 的直径 CD 的长.【教材P59页】
解 连接 OA. 设 OA = r cm， 则 OE ＝ r - 2 （cm）. ∵ CD⊥AB，
由垂径定理得 AE AB4cm.
2
在 Rt△AEO 中， 由勾股定理得 OA2 ＝ OE2 + AE2. 即 r2 ＝ （r-2）2 + 42. 解得 r ＝ 5 . ∴ CD = 2r = 10 （cm）.
练习
如图， AB 是⊙O 的直径， C 是⊙O上一点，AC ＝ 8 cm， AB ＝ 10 cm， OD⊥BC于点 D， 求 BD 的长. 【教材P59页】 解 ∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°； ∵OD⊥BC，∴OD∥AC，又∵AO=OB， ∴OD是△ABC的中位线，即BD= 1 BC；
2
证明：圆的两条平行弦所夹的弧相等． 已知：如图， 在⊙O 中，弦 AB 与弦 CD 平行． 求证：ACBD【教材P59页】 证明： 作直径 EF⊥ AB，∴ AEBE . 又∵AB∥CD， EF ⊥ AB ， ∴ EF ⊥ CD. ∴ CEDE . 因此 A E C E B E D E. 即 ACBD.
复习课件
九年级数学下册 第2章 圆2.3 垂径定理课件（新版）湘教版
垂径定理
垂径定理精品PPT课件
圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是
它的对称轴．
二、
如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为E． （1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？
（2）你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？
C
·O
E
A
B
D
总结： 条件
结论
CD为⊙O的直径 C CD⊥AB
AE=BE ⌒⌒ AC=BC
⌒⌒ AD=BD
.O
垂径定理：
垂直于弦的直径平分弦，
A
E
B
并且平分弦对的两条弧。
D
应用垂径定理的书写步骤
定理 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.
C
A M└ ●O
∵ CD是直径,
B
CD⊥AB,
∴AM=BM,
A⌒C =B⌒C,
⌒AD
⌒
=BD.
D
在下列图形，符合垂径定理的条件吗？
练习1 D
3．半径为2cm的圆中，过半径中点且
O
垂直于这条半径的弦长是 2 3cm 。 A E
B
练习 2： 1.如图,在⊙O中,弦AB的长为8cm,圆心到AB 的距离为3cm,则⊙O的半径为5cm .
2.弓形的弦长AB为24cm，弓形的高CD为 8cm，则这弓形所在圆的半径为 13cm .
· A
4C
∟3
B
O
A
AB的距离为3cm，求⊙O的
半径。
E
B
.
O
解 A ： 1
A 2 A E B O A 2 + O 2 = A E 5 E
练习 1
1．半径为4cm的⊙O中，弦AB=4cm,
它的对称轴．
二、
如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为E． （1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？
（2）你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？
C
·O
E
A
B
D
总结： 条件
结论
CD为⊙O的直径 C CD⊥AB
AE=BE ⌒⌒ AC=BC
⌒⌒ AD=BD
.O
垂径定理：
垂直于弦的直径平分弦，
A
E
B
并且平分弦对的两条弧。
D
应用垂径定理的书写步骤
定理 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.
C
A M└ ●O
∵ CD是直径,
B
CD⊥AB,
∴AM=BM,
A⌒C =B⌒C,
⌒AD
⌒
=BD.
D
在下列图形，符合垂径定理的条件吗？
练习1 D
3．半径为2cm的圆中，过半径中点且
O
垂直于这条半径的弦长是 2 3cm 。 A E
B
练习 2： 1.如图,在⊙O中,弦AB的长为8cm,圆心到AB 的距离为3cm,则⊙O的半径为5cm .
2.弓形的弦长AB为24cm，弓形的高CD为 8cm，则这弓形所在圆的半径为 13cm .
· A
4C
∟3
B
O
A
AB的距离为3cm，求⊙O的
半径。
E
B
.
O
解 A ： 1
A 2 A E B O A 2 + O 2 = A E 5 E
练习 1
1．半径为4cm的⊙O中，弦AB=4cm,
《垂径定理》课件
答案：3cm
解析：根据垂径定理，圆心到弦的垂线段就是圆心到弦中点的距离，再根据勾股定 理求解。
习题二
题目：已知圆O的半径为5cm，弦AB的长为6cm，则圆心O到弦AB的距 离为 _______．
答案：4cm
解析：根据垂径定理，圆心到弦的垂线段就是圆心到弦中点的距离，再 根据勾股定理求解。
习题三
01
02
CATALOGUE
垂径定理的表述
定理的文字表述
垂径定理
垂直于弦的直径平分该弦，并且 平分弦所对的两条弧。
解释
如果一条直径垂直于一条弦，那 么这条直径会平分这条弦，并且 平分弦所对的两条弧。
定理的图形表述
图形示例
可以画出一个圆和经过圆心的一条弦 ，然后画一条垂直于该弦的直径，用 以展示垂径定理。
03
这种方法需要学生掌握相似三角形的 性质和判定方法，适合数学基础较好 的学生理解和掌握。
04
CATALOGUE
垂径定理的应用
在几何作图中的应用
确定圆的中心
利用垂径定理，我们可以确定一个圆 的中心，只需在圆上任取两点，然后 通过这两点作垂直平分线，两条垂直 平分线的交点即为圆心。
作圆的切线
利用垂径定理，我们可以找到一个圆 的切线。在圆上任取一点，然后通过 这一点作圆的切线，切线与过圆心的 垂线交于一点，该点即为切点。
《垂径定理》ppt课 件
目录
• 引言 • 垂径定理的表述 • 垂径定理的证明 • 垂径定理的应用 • 垂径定理的变式 • 习题与解答
01
CATALOGUE
引言
什么是垂径定理
垂径定理
垂径定理是平面几何中一个重要的定理，它描述了垂直于弦的直径与弦之间的 关系。具体来说，如果一条直径垂直于一条弦，则这条直径将该弦平分，并且 平分该弦所对的弧。
数学公开课优质课件精选《垂径定理》
解析
要证明FM垂直于FN， 只需证明角MFN等于 90度。根据抛物线的 性质可知AF = AM， BF = BN。因此，角 AFM和角BFN均为45 度。所以角MFN等于 90度，即FM垂直于FN
。
例题6
已知椭圆C： (x^2)/a^2 + (y^2)/b^2 = 1 (a > b > 0)的左、右焦点分别 为F1、F2，过F1的直 线l与椭圆C交于A、B 两点。若|AF1| = 3|F1B|，且|AB| = 4√3 ，求椭圆C的方程。
利用垂径定理求线段中点
01
通过构造以线段为直径的圆，利用垂径定理可求得线段的中点
Hale Waihona Puke 。判定线段中点的性质
02
根据垂径定理，若一条线段是某圆的直径，则该线段的中点是
圆心，从而可判定线段中点的性质。
解决与线段中点相关的几何问题
03
利用垂径定理可以解决与线段中点相关的各种问题，如求线段
的长度、证明线段的平行或垂直等。
应用场景
在解决三维几何问题中，如计算球面上两点的最短距离、 判断点到球面的位置关系等问题时，可应用三维空间中的 垂径定理。
垂径定理与其他知识点的联系
与勾股定理的联系
在直角三角形中，垂径定理可视 为勾股定理的特殊情况，当直角 三角形的两条直角边相等时，斜
边上的中线即为垂径。
与圆的性质的联系
垂径定理与圆的性质密切相关，如 圆心角、弧长、弦长等概念在证明 垂径定理时均有涉及。
解决角平分线问题
1 2 3
利用垂径定理构造角平分线
通过构造以角为顶点的圆，利用垂径定理可求得 角的平分线。
判定角平分线的性质
根据垂径定理，若一条射线是某圆的切线，且切 点是角的顶点，则该射线是角的平分线，从而可 判定角平分线的性质。
垂径定理ppt
3
在实际生活中，垂径定理也广泛应用于工程、 建筑、天文、航海等领域
02
证明垂径定理
准备知识：圆和直径的定义
圆定义总结
圆是一种几何图形，由点到点的距离等于定长的点的集合构成。
直径定义总结
直径是圆上任意两点处于圆心的一条直线，或者说是圆的一侧到另一侧的直 线距离。
证明过程概述
证明思路
通过证明圆弧的中垂线与直径的交点为直径的中点来证明垂径定理。
定理的历史背景
最早的文字记载可 以追溯到古希腊数 学家欧几里得
之后的数学家如欧 拉、高斯等也对垂 径定理进行了深入 的研究和应用
在中国，东汉时期 的数学家赵爽也有 记载
定理的重要性和应用场景
1
定理是圆几何中的基本定理之一，也是几何学 中最基本的定理之一
2
垂径定理是圆相关问题中最常用的工具之一， 也是解决许多几何问题的关键
证明步骤
根据定义和性质，将圆等分，然后证明等分点与直径的关系，最后得出结论。
证明过程详细步骤
证明步骤一
首先将圆分成两个半圆，然后分别 在半圆上任取一点，分别连接该点 与直径的两个端点，得到两条弧。
证明步骤二
证明两条弧相等。因为它们所对的 圆心角相等，所以根据圆的定义可 知它们的弧长相等。
证明步骤三
应用场景
垂径定理在几何、建筑、工程等领域都有广泛的应用。例如，在桥梁设计和 建造中，需要应用垂径定理来保证桥梁的形状和稳定性；在几何中，垂径定 理可以用于证明各种线段相等、圆周角相等等问题。
反思定理在现代数学中的地位和作用
地位
垂径定理是平面几何中的重要定理之一，也是初中数学竞赛中的热点和难点之一 。
作用
垂径定理在数学、工程、建筑等领域都有着广泛的应用，同时也是培养数学思维 和解决问题能力的重要载体。
《垂径定理》示范公开课教学PPT课件【九年级数学下册北师大】
R
OA2=AD2+OD2，即R2=18.72+(R-7.2)2．
O
解得R≈27.9(m)．
因此，赵州桥的主桥拱半径约为27.9 m．
课堂练习
1．如图，AB是⊙O的弦，半径OA=2，
∠AOB=120°，则弦AB的长是（ B ）．
A．2 2 B．2 3 C． 5 D．3 2
2．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂
探究新知
（2）发现：AM=BM，AC BC ，AD BD ．
理由：如图，连接OA，OB，则OA=OB． 在Rt△OAM和Rt△OBM中， ∵OA=OB，OM=OM， ∴Rt△OAM≌Rt△OBM． ∴AM=BM，∠AOC=∠BOC．
∴ AC BC ．
探究新知
∵∠AOD=180°-∠AOC， ∠BOD=180°-∠BOC，
A
为垂足，OC与 AB 相交于点C，连接
C
D
B
R
OA．根据垂径定理，D是AB的中点，
C是AB 的中点，CD就是拱高
O
典例精析
由题设可知AB=37.4 m，CD=7.2 m．
所以 AD 1 AB 1 37.4 18.7(m)，
2
2
A
OD=OC-CD=R-7.2．
C
D
B
在Rt△OAD中，由勾股定理，得
650
2
2
3002
125(mm)，
所以CD=OD-OC=325-125=200(mm)．
答：油的最大深度为200 mm．
课堂小结
1．垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的 两条弧．
2．垂径定理的逆定理 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平 分弦所对的弧．
《垂径定理》优秀ppt课件2024新版
判断四边形形状问题
判断平行四边形
利用垂径定理证明四边形两组对 边分别平行，从而判断四边形为
平行四边形。
判断矩形和正方形
在平行四边形基础上，利用垂径定 理证明两组对角相等或邻边相等， 进而判断四边形为矩形或正方形。
判断梯形
通过垂径定理证明四边形一组对边 平行且另一组对边不平行，从而判 断四边形为梯形。
利用垂径定理将方程转化为标准形式 判别式判断根的情况
求解根的具体数值
判断二次函数图像与x轴交点问题
利用垂径定理判断交点个数 确定交点的横坐标
结合图像分析交点性质
解决不等式组解集问题
利用垂径定理确定不 等式组的解集范围
结合图像直观展示解 集
分析解集的端点情况
05
垂径定理拓展与延伸
推广到三维空间中直线与平面关系
《垂径定理》优 秀ppt课件
目录
• 垂径定理基本概念与性质 • 垂径定理证明方法 • 垂径定理在几何问题中应用 • 垂径定理在代数问题中应用 • 垂径定理拓展与延伸 • 总结回顾与课堂互动环节
01
垂径定理基本概念与性质
垂径定义及性质
垂径定义
从圆上一点向直径作垂线，垂足 将直径分成的两条线段相等，且 垂线段等于半径与直径之差的平 方根。
在直角三角形中，利用勾 股定理和已知条件进行推 导和证明。
解析法证明
建立坐标系
以圆心为原点建立平面直角坐标系， 将圆的方程表示为$x^2+y^2=r^2$ 。
求解交点
联立垂径方程和圆的方程，求解交点 坐标，进而证明垂径定理。
垂径表示
设垂径的两个端点分别为$(x_1, y_1)$ 和$(x_2, y_2)$，则垂径的方程可表示 为$y-y_1=frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}(xx_1)$。
演示文档垂径定理课件PPT.ppt
可推得
平分弦
平分弦所对的劣 （优）弧
..........
7
在下列图形，符合垂径定理的条件吗？
练习1 D
A
B
E
A
O
O
CE
O
A
E
B
AC
B C
O
O
E
C
D
AE
B
B
D..........
D D
O
AE
B
C
8
C
O
A
A
E
B
A
O
D
B
D
B
O
D
C
A
A
O
C
B
C
C
B
D
O
..........
9
判断下列图形，能否使用垂径定理？
④⑤ ①②③ 平分弦所对的两条弧的直线经过圆心,并且垂直平分弦.
..........
14
一、判断是非：
（1）平分弦的直径，平分这条弦所对的弧。
（2）平分弦的直线，必定过圆心。
（3）一条直线平分弦（这条弦不是直径），
那么这 条直线垂直这条弦。
A
C
OD
(1) B
C
•O
A
B
(2) D
..........
拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你能求出赵州桥
主桥拱的半径吗？
37.4
C
解：如图，设半径为R，
AB=37.4,CD=7.
7.2
A
18.7
AD 1 AB2 1 37.4 18.7,
2
2
D
R
R-7.2
垂径定理ppt课件
连接OA,如图所示,则OA=OD=250,
1
AC=BC= AB=150,
2
∴OC= 2 − 2 = 2502 − 1502 =200,
∴CD=OD-OC=250-200=50,即这些钢索中最长的一根为50 m,
故选B.
数学
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2.如图,☉O的弦AB垂直于CD,点E为垂足,连接OE,若
2
∵AC垂直平分OD,垂足为E,
1
∴∠AEO=90°,OE= OD,
2
1
∴OE= OA,设OE=x,则OA=OB=2x,
2
在Rt△AEO中,AE2+EO2=AO2,
即:32+x2=(2x)2,解得x= 3.
∴BE=OE+OB=x+2x=3x=3 3.
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北师大版 九年级数学下册
4.《九章算术》是我国古代数学成就的杰出
代表作,其中《方田》章给出计算弧田
(即弓形)面积所用的公式为:弧田面积
1
= (弦×矢+矢2),弧田(如图)由圆弧和其所对弦所围成,公式中
2
“弦”指圆弧所对弦长AB,“矢”指弓形高,在如图所示的弧田中,
半径为5,“矢”为2,则弧田面积为
10
.
数学
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5.如图,已知OC是☉O的半径,点P在☉O的直径BA的延长线上,
弦的一半和圆心到弦的垂线段构成的直角三角形),利用直角
三角形的相关知识进行解题.
数学
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知识点二 垂径定理的逆定理
平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的 弧 .
1
AC=BC= AB=150,
2
∴OC= 2 − 2 = 2502 − 1502 =200,
∴CD=OD-OC=250-200=50,即这些钢索中最长的一根为50 m,
故选B.
数学
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2.如图,☉O的弦AB垂直于CD,点E为垂足,连接OE,若
2
∵AC垂直平分OD,垂足为E,
1
∴∠AEO=90°,OE= OD,
2
1
∴OE= OA,设OE=x,则OA=OB=2x,
2
在Rt△AEO中,AE2+EO2=AO2,
即:32+x2=(2x)2,解得x= 3.
∴BE=OE+OB=x+2x=3x=3 3.
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北师大版 九年级数学下册
4.《九章算术》是我国古代数学成就的杰出
代表作,其中《方田》章给出计算弧田
(即弓形)面积所用的公式为:弧田面积
1
= (弦×矢+矢2),弧田(如图)由圆弧和其所对弦所围成,公式中
2
“弦”指圆弧所对弦长AB,“矢”指弓形高,在如图所示的弧田中,
半径为5,“矢”为2,则弧田面积为
10
.
数学
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5.如图,已知OC是☉O的半径,点P在☉O的直径BA的延长线上,
弦的一半和圆心到弦的垂线段构成的直角三角形),利用直角
三角形的相关知识进行解题.
数学
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知识点二 垂径定理的逆定理
平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的 弧 .
《垂径定理》精品 课件
PPT素材：/sucai/ PPT图表：/tubiao/ PPT教程： /powerpoint/ 范文下载：/fanwen/ 教案下载：/jiaoan/ PPT课件：/kejian/ 数学课件：/kejian/shu xue/ 美术课件：/kejian/me ishu/ 物理课件：/kejian/wul i/ 生物课件：/kejian/she ngwu/ 历史课件：/kejian/lish i/
彼时才发现，面临初出茅庐的年轻人 ，自己 的体力 和脑力 都已经 拼不过 ，几年 来累积 下来的 阅历和 经验没 有转化 成核心 竞争力 。
毕业八年的她被迫重返人才市场，但 彼时的 她与毕 业时相 比毫无 长进， 面试屡 屡碰壁 。
李尚龙曾说：
真正的安稳是历经世事后的淡薄，你 还没有 见过世 界，就 想隐退 山林， 到头来 只会是 井底之 蛙。”
28.4 垂径定理*
1 ． 垂 直 于 弦 的 直 径 平 分 这 条 ____弦____ ， 并 且 平 分 这 条 弦 所 对 的 _两__条__弧___． 2．平分弦( 不是直径 )的直径垂直于弦，并且平分这条弦所对的 ___两__条__弧______．
1．(4分)(2013·上海)在⊙O中，已知半径为3，弦AB长为4，那么 圆心O到AB的距离为_____5___． 2．(4分)如图，在半径为13的⊙O中，OC垂直于弦AB交于点D， 交⊙O于点C，AB＝24，则CD的长是____8____．
3．(4 分)(2013·廊坊)如图，⊙O 的直径 AB＝12，CD 是⊙O 的弦，
CD⊥AB，垂足为 P，且 BP∶AP＝1∶5，则 CD 的长为( D )
A．4 2
B．8 2
C．2 5
D．4 5
4．(4 分)如图，以点 O 为圆心的两个圆中，大圆的弦 AB 交小圆于点
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2.3 垂径定理
赵州石拱桥
1300多年前,我国隋朝建造的赵州石拱桥(如图)的桥拱是圆 弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m,拱高(弧的中点 到弦的距离,也叫弓形高)为7.2m,求桥拱的半径(精确到 0.1m).
新课导入
把一个圆沿着它的任意一条直径对折， 重复几次，圆是轴对称图形吗？若是，对称 轴是什么？
E
A
B
D
C
典例赏析 垂径定理的应用
例1 如图，已知在⊙O中， 弦AB的长为8cm，圆心O到
A
AB的距离为3cm，求⊙O的
半径。
E
B
.
O
解 A ： 1
A 2 A E B O A 2 + O 2 = A E 5 E
运用新知
1．半径为4cm的⊙O中，弦AB=4cm,
O
那么圆心O到弦AB的距离是 2 3cm 。
再逛赵州石拱桥
赵州桥主桥拱的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m,拱高
(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你能求出赵州桥
主桥拱的半径吗？
37.4
C
解：如图，设半径为R，
AB=37.4,CD=7.
AD 1 AB 2 1 37.4 18.7,
2
2
7.2
A
18.7
R
D
R-7.2
B
OD OC DC R 7.2.
在Ｒt⊿AOD中，由勾股定理，得
O
OA2 AD2 OD2 ,
即R2 18.72 (R 7.2)2.
解得 R≈27.9（m）.
答：赵州桥的主桥拱半径约为27.9m.
课堂小结
请围绕以下两个方面小结本节课： 1、从知识上学习了什么？
圆的轴对称性；垂径定理及其推论
２、从方法上学习了什么？
（１）垂径定理和勾股定理结合。 （２）在圆中解决与弦有关的问题时常作的辅助线
——过圆心作垂直于弦的线段； ——连接半径。
写在最后
经常不断地学习,你就什么都知道。你知道得越多,你就越有力量 Study Constantly, And You Will Know Everything. The More
You Know, The More Powerful You Will Be
谢谢你的到来
学习并没有结束，希望大家继续努力
Learning Is Not Over. I Hope You Will Continue To Work Hard
演讲人：XXXXXX 时 间：XX年XX月XX日
在下列图形，符合垂径定理的条件吗？
练习1
D
A
B
E
A
O
A
E
C A
CE
O
B B
C
O
O
E
C
D
AE
B
B
D
Oቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
D D
O
AE
B
C
垂径定理的推论1:
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分
弦所对的两条弧．
CD⊥AB吗？
CD为直径 条件
CD⊥AB
结论
⌒⌒ AC=BC
C
AE=BE
A⌒D=B⌒D
D
·Ｏ
·Ｏ
A
(E)
B
AE B
2．⊙O的直径为10cm，圆心O到弦AB的
O
距离为3cm，则弦AB的长是 8cm 。 A E B
3．半径为2cm的圆中，过半径中点且
O
垂直于这条半径的弦长是 2 3cm 。 A E
B
归纳总结
1.垂径定理经常和勾股定理结合使用。 2.解决有关弦的问题时，经常 （1）连结半径； （2）过圆心作一条与弦垂直的线段等 辅助线，为应用垂径定理创造条件。
可以发现：
圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是
它的对称轴．
探索新知
如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为E． （1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？
（2）你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？
C
O
E
A
B
D
归纳总结 条件
结论
CD为⊙O的直径 C CD⊥AB
AE=BE ⌒⌒ AC=BC
⌒⌒ AD=BD
.O
垂径定理：
垂直于弦的直径(半径、弦
A
E
B 心距)平分弦，并且平分弦
对的两条弧。
D
应用垂径定理的书写步骤
定理：垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.
C
A M└ ●O
∵ CD是直径,
B
CD⊥AB,
∴AM=BM,
A⌒C =B⌒C,
⌒AD
⌒
=BD.
D
赵州石拱桥
1300多年前,我国隋朝建造的赵州石拱桥(如图)的桥拱是圆 弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m,拱高(弧的中点 到弦的距离,也叫弓形高)为7.2m,求桥拱的半径(精确到 0.1m).
新课导入
把一个圆沿着它的任意一条直径对折， 重复几次，圆是轴对称图形吗？若是，对称 轴是什么？
E
A
B
D
C
典例赏析 垂径定理的应用
例1 如图，已知在⊙O中， 弦AB的长为8cm，圆心O到
A
AB的距离为3cm，求⊙O的
半径。
E
B
.
O
解 A ： 1
A 2 A E B O A 2 + O 2 = A E 5 E
运用新知
1．半径为4cm的⊙O中，弦AB=4cm,
O
那么圆心O到弦AB的距离是 2 3cm 。
再逛赵州石拱桥
赵州桥主桥拱的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m,拱高
(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你能求出赵州桥
主桥拱的半径吗？
37.4
C
解：如图，设半径为R，
AB=37.4,CD=7.
AD 1 AB 2 1 37.4 18.7,
2
2
7.2
A
18.7
R
D
R-7.2
B
OD OC DC R 7.2.
在Ｒt⊿AOD中，由勾股定理，得
O
OA2 AD2 OD2 ,
即R2 18.72 (R 7.2)2.
解得 R≈27.9（m）.
答：赵州桥的主桥拱半径约为27.9m.
课堂小结
请围绕以下两个方面小结本节课： 1、从知识上学习了什么？
圆的轴对称性；垂径定理及其推论
２、从方法上学习了什么？
（１）垂径定理和勾股定理结合。 （２）在圆中解决与弦有关的问题时常作的辅助线
——过圆心作垂直于弦的线段； ——连接半径。
写在最后
经常不断地学习,你就什么都知道。你知道得越多,你就越有力量 Study Constantly, And You Will Know Everything. The More
You Know, The More Powerful You Will Be
谢谢你的到来
学习并没有结束，希望大家继续努力
Learning Is Not Over. I Hope You Will Continue To Work Hard
演讲人：XXXXXX 时 间：XX年XX月XX日
在下列图形，符合垂径定理的条件吗？
练习1
D
A
B
E
A
O
A
E
C A
CE
O
B B
C
O
O
E
C
D
AE
B
B
D
Oቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
D D
O
AE
B
C
垂径定理的推论1:
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分
弦所对的两条弧．
CD⊥AB吗？
CD为直径 条件
CD⊥AB
结论
⌒⌒ AC=BC
C
AE=BE
A⌒D=B⌒D
D
·Ｏ
·Ｏ
A
(E)
B
AE B
2．⊙O的直径为10cm，圆心O到弦AB的
O
距离为3cm，则弦AB的长是 8cm 。 A E B
3．半径为2cm的圆中，过半径中点且
O
垂直于这条半径的弦长是 2 3cm 。 A E
B
归纳总结
1.垂径定理经常和勾股定理结合使用。 2.解决有关弦的问题时，经常 （1）连结半径； （2）过圆心作一条与弦垂直的线段等 辅助线，为应用垂径定理创造条件。
可以发现：
圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是
它的对称轴．
探索新知
如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为E． （1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？
（2）你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？
C
O
E
A
B
D
归纳总结 条件
结论
CD为⊙O的直径 C CD⊥AB
AE=BE ⌒⌒ AC=BC
⌒⌒ AD=BD
.O
垂径定理：
垂直于弦的直径(半径、弦
A
E
B 心距)平分弦，并且平分弦
对的两条弧。
D
应用垂径定理的书写步骤
定理：垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.
C
A M└ ●O
∵ CD是直径,
B
CD⊥AB,
∴AM=BM,
A⌒C =B⌒C,
⌒AD
⌒
=BD.
D