正定矩阵的判定、性质及其应用
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关键词：实对称；正定矩阵；判定；性质
Abstract
We have studied the concept of quadratic form and the definition of positive-definite matrix is introduced.Infact,positive definite matrix is a kind of very important matrixinalgebra, itcan be applied to the value of extreme and eigenvalue,the prove of inequality and stability analysis of system.This paper firstlyintroducedthe definition of real symmetric matrices,and 7 theorems are given to determine positive definite matrix,then the related properties of positive definite matrixwere summarized, the positive definite matrix inthe application ofproving inequality,function extremeand so on were illustrated finally.
矩阵论中正定矩阵有着十分重要的地位。[3]历史上，在对于二次型和Hermite型的探究中最早出现了对正定矩阵的详细探究。二次齐次多项式是代数研究中另外一种非常重要的多项式，二次齐次多项式在数学的大多数分支中都有重要的应用，而且在解答与物理问题相关的内容中大家也会经常碰到需要运用正定二次型作解。正定二次型在二次型中占有及其特殊的地位，并且由正定二次型的系数可以直接写出正定矩阵。因此，无论是在研究中还是实际的应用中正定二次型和正定矩阵都有重要的意义。[4]如今，矩阵已经成为了处理有限空间和数量关系的重要的工具。
1.2 正定矩阵的定义
定义2：若实二次型 正定，则称实对称阵 正定;若实二次型 半正定，则称实对称阵 半正定；若实二次型 负定，则称实对称阵 负定；若实二次型 半负定，则称实对称阵 半负定；若实二次型 不定，则称实对称阵 不定。
事实上，正定二次型与元数有关系，例如 当作为二元实二次型时正定（取任何不为零的数即可）；但当作为三元实二次型时不正定（取 ， ， 则结果不满足[6]）。
（2）假设当 时，命题成立。
（3）下面证明 元时的情形：
令 ，
于是矩阵 可以写成
因为 的顺序主子式全大于零，从而 的顺序主子式也全大于零。
由假设 是正定矩阵，则存在一个可逆的 阶矩阵 ，使得
令 ，于是
再令 ，有
=
令 ， 就有 ，进而有
由条件， ，因此 。显然：
=
即矩阵 合同于单位矩阵，从而得出 是正定矩阵，进一步可得 实二次型 是正定的。
定理2[8]： 元实二次型 是正定的充要条件是它的正惯性指数为 。
证：因为 是正定的，所以矩阵 是正定矩阵，则
那么 可化为 ，且 由此可得，正惯性指数为 。
反之，若该 元实二次型 的正惯性指数为 ，且 为对称矩阵，根据定理1可得矩阵 为正定矩阵。
推论：实对称矩阵 正定的充要条件是 的正惯性指数等于 的级数。
定理3： 阶实对称矩阵 是正定的充要条件是二次型 的秩与符号差均为 。
证：必要性 因为 是实对称正定矩阵，所以实对称矩阵 所对应的实二次型的正惯性指数为 、负惯性指数0，从而可得实二次型符号差为 。
因为矩阵 的主对角线上的元素对应 元实二次型 的系数，又矩阵 为正定矩阵，所以正定矩阵 的主对角线上的所有数全部大于零，进而可推出正定矩阵 的秩为 。
例1 证明：
证：由原题可设
=
=
易得： 的各级顺序主子式均大于零，即 为正定矩阵，进而 。又因为 均不等于零，所以 ，则命题得证。例2 设 是 阶正定矩阵，证明
证：设矩阵 的特征值为 ，由 正定可知 。又由 可知其特征值为 ，所以 。
4.2 正定矩阵在数学分析中的应用
定理[13]： 元实函数 的一阶偏导数等于零的点为 ,且在点 处具有二阶连续偏导数,
4.3正定矩阵的其他应用
例4 证明： 是正定矩阵的充要条件是存在 阶正定矩阵 使得 。
证：充分性 因为矩阵 是正定矩阵，所以存在正交矩阵 ，使得 ,其中
则： ,其中 其中 ，易得 为正定矩阵。
必要性 已知 ，其中 是正定矩阵。由于 ,所以矩阵 是实对称矩阵。设 的特征值为 , …… ，由上矩阵 为正定矩阵知 而 的特征值为 ，故矩阵 是正定矩阵。
2 正定矩阵的判定
定理1[7]： 元实二次型 是正定的充要条件是它的标准形的系数全为正。
证: 因为 = 对 作合同变换，即
取 作非线性退化 ，则实二次型的标准形为
又因为 为正定矩阵且正定矩阵作非退化线性替换其正定型不变，即 也是正定矩阵。则 ， ，…… 即 ， ，…… ，所以实二次型的标准形的系数全为正。
学 科 门 类：
指 导 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 师：
提交论文日期：2014年5月
成 绩 评 定:
摘 要
在高等代数的学习中，我们详细学习了二次型的相关知识，并且从中引出了正定矩阵的概念。事实上，正定矩阵是代数中一类非常重要的矩阵，它在不等式证明、极值求解、特征值求解、系统稳定性判定中都有着非常重要的应用。本文首先介绍了实对称矩阵的定义，然后给出了判定正定矩阵的7条定理，接着总结归纳了正定矩阵的相关性质，最后通过举例说明了正定矩阵在证明不等式、判断函数极值等方面的应用。
注：类似可证得正定矩阵 的伴随矩阵 *也为正定矩阵。
性质5：若 是可逆矩阵，则对任意 阶可逆矩阵 ， 是正定矩阵。
性质6：若正定矩阵 为 阶正定矩阵，则 也为正定矩阵。
证：由 正定，故 ,所以 是对称矩阵。对于任意非零列向量 ,有 ， ,从而 ,故 正定,所以 为正定矩阵。
4 正定矩阵的应用
4.1 正定矩阵在证明不等式中的应用
又因为实对称矩阵的特征值为实数，所以根据上式可得 的特征值为1和3，又1和3均为大于零的数，从而矩阵 是正定矩阵。
3正定矩阵的性质
性质1[12]：正定矩阵主对角线上的元素全大于零。
证：设正定矩阵为 ，得对任一非零向量 ，都有 。取 ，则有 ，所以正定矩阵 的主对角线上元素全大于零。
性质2：正定矩阵的行列式必大于零且正定矩阵一定可逆。
学校代码：10722学号：1006024112
分类号：O151.21密级：公开
题 目：正定矩阵的判定、性质及其应用
Discussion on Determinant,Positive and Application of Positive Definite Matrix
作 者 姓 名：
专 业 名 称：
注：（1）正定矩阵必须为对称矩阵。所以在判定一个矩阵是否为正定矩阵的时候必须先判定该矩阵是否为对称阵，若不是则一定不是正定矩阵，若是则可继续对其进行判定。（2）在题目若给出的是一个含有具体数字的实对称矩阵 ，那么要判断矩阵 是否为正定矩阵，则要验证 的各阶顺序主子式是否都大于零。若均大于零，则为正定矩阵，否则不是正定矩阵。（3）在题目中若给出的是一个不含具体数值的抽象矩阵，则证明矩阵是否正定通常使用以下两种方法：方法1 利用定义：即对任意列向量 ，恒有二次型 ,则矩阵 为正定矩阵。方法2 利用特征值：如果矩阵 的特征值全部大于零则可得出矩阵 为正定矩阵[11]。
在古代，西尔维斯特为了将数字矩形阵列和行列式区别开来，他便创立了“矩阵”，而后由凯莱第一个明确了“矩阵”这个术语的确切意思。事实上，早在我国古代就已经对矩阵有所研究了。[1]在公元前1世纪，在《九章算术》中矩阵形式解方程组已经非常成熟了，但是在那个时代矩阵只是被人们看做是一种解题的方法，而“矩阵”这一概念并没有被独立起来，形成一个统一完整的体系。矩阵在求解线性方程组和行列式计算等问题中得以广泛应用是在18世纪末的时候，并且从那时起矩阵思想才得到进一步的发展。[2]
性质3：若 是正定矩阵，则 (其中 是主对角线上元素全大于零的上三角形矩阵)。
证：因为正定矩阵 可以写为 ，其中 为可逆矩阵。
再设 其中 为正交矩阵 为主对角线上元素全大于零的矩阵，所以 。
性质4：若 是正定矩阵，则 的逆矩阵、伴随矩阵及 、各阶主子矩阵均为正定矩阵。
证：因为 正定，则 。又 为存在的一个可逆实矩阵，使得 ，则 即 。所以 是正定矩阵
由于 ,所以 是实对称矩阵。又对任意实 维列向量 ，由 可逆知 ，从而
即：矩阵 为正定矩阵，由此可得矩阵 的全部特征值都大于零，进而 的特征值大于零，所以 为正定矩阵。
例7 设 阶实对称矩阵 满足 ，且 ,又 的正惯性指数为 ，其中 ，求 的值。
解：设 = ，即 的特征值是 ， 的特征向量 是由 ， 得 。
Keywords:properties,determinant,real symmetric, positive-definite matrix.
引言
在数学学科的研究中具有极其重要的地位的是矩阵，它不仅仅是数学研究的一个分支和高等代数的主要研究对象，而且还是理科研究中不可缺少的具有最实用价值的工具，如系数矩阵和增广矩阵的很多性质都是由线性方程组的部分性质所反映的。
充分性 因为二次型 的秩与符号差均为 ，所以 正惯性指数为 ，从而由定理2可得矩阵 为正定矩阵。
定理4[9]： 阶实对称矩阵 是正定的充要条件是 与单位矩阵 合同，即存在实可逆矩阵 ，使的 。
证： 阶实对称矩阵 正定的充要条件是 元实二次型 正定，当且仅当 的正惯性指数为 ，当且仅当 与单位矩阵 合同。
则黑塞矩阵 = 为正定矩阵时， 为 的极小值；当 为负定矩阵时， 为 的极大值；当 为不定矩阵时， 不是 的极值。
例3 求函数 = 的极
解： ， ，
令 = = =0，则 = ， = ， ，即驻点 。
又由 ， ， ， ， ， 知 有二阶连续偏导数，所以 = 且易得 的各阶顺序主子式全大于零，即 为正定矩阵，故而 在 处有极小值且 。
定理5： 阶实对称矩阵 是正定的充要条件是 的顺序主子式
证：必要性 设实二次型 是正定的。将任意一组不全为零的实数 代入实二次型 ,有 。因此， 是正定二次型的。由此， 的矩阵的行列式 , 。这就证明了矩阵 的顺序主子式全大于0。
充分性 对 作第二数学归纳法
（1）设当 时， = ，由题可得 ,则易得 是正定的。
定理6[10]： 阶实对称矩阵 是正定的充要条件是 的特征值都大于零。
证：因为矩阵 为正定矩阵，所以存在一个正交矩阵 ，使得 ，进而有 其中 均为矩阵 的特征值。那么 所对应的二次型为 ，其中令 。则有 又因为 即其为正定二次型。所以 均大于零，即 的特征值均大于零。
定理7： 阶实对称矩阵 是正定的充要条件是该矩阵对角线上各个元素均大于零。
例5 设
证：必要性 因为 ，所以 为对称矩阵。若 ，则 存在，令 ，则：
，
由此可知 正定。
充分性 已知 正定，则对 且 有
，由上式可知 ，从而 仅有零解，故 。
例6 设 都是 阶正定矩阵且 ，证明： 是正定矩阵。
证：因为 ，所以 为对称矩阵。
又因为 是正定矩阵，由例4知存在正定矩阵 使得 ， 。于是， 得： 与 相似。
例1：当 取何值时， 为正定二次型？
解：设二次型 的矩阵 ，则
， ，
由二次型正定的充要条件可知当 ， 时 正定。
由 得 ；由 得 。于是， 当且仅当 为正定二次型。
例2：设 阶实对称矩阵为 ，且满足 ，证明矩阵 是正定矩阵。
证:设 ,即 是 的特征值， 是 的特征向量，由题可以得出：
由 得
显见，原式的特征值为 ， ，
正定矩阵在矩阵的研究中占有十分重要的地位，对于正定矩阵的研究有利于我们日后更加详尽的研究二次型、线性空间和线性变换。
下面我首先介绍正定矩阵的定义。
1 正定矩阵的定义
1.1 正定二次型的定义
定义1[5]：在实二次型 中若对于任意一组不全为零的实数 都有 ，则称该二次型为正定的;若 ，则称 为半正定二次型；若 ，则称 为负定二次型；若 ，则称 为半负定二次型；若实二次型既不是半正定又不是半负定的则称为不定二次型。
Abstract
We have studied the concept of quadratic form and the definition of positive-definite matrix is introduced.Infact,positive definite matrix is a kind of very important matrixinalgebra, itcan be applied to the value of extreme and eigenvalue,the prove of inequality and stability analysis of system.This paper firstlyintroducedthe definition of real symmetric matrices,and 7 theorems are given to determine positive definite matrix,then the related properties of positive definite matrixwere summarized, the positive definite matrix inthe application ofproving inequality,function extremeand so on were illustrated finally.
矩阵论中正定矩阵有着十分重要的地位。[3]历史上，在对于二次型和Hermite型的探究中最早出现了对正定矩阵的详细探究。二次齐次多项式是代数研究中另外一种非常重要的多项式，二次齐次多项式在数学的大多数分支中都有重要的应用，而且在解答与物理问题相关的内容中大家也会经常碰到需要运用正定二次型作解。正定二次型在二次型中占有及其特殊的地位，并且由正定二次型的系数可以直接写出正定矩阵。因此，无论是在研究中还是实际的应用中正定二次型和正定矩阵都有重要的意义。[4]如今，矩阵已经成为了处理有限空间和数量关系的重要的工具。
1.2 正定矩阵的定义
定义2：若实二次型 正定，则称实对称阵 正定;若实二次型 半正定，则称实对称阵 半正定；若实二次型 负定，则称实对称阵 负定；若实二次型 半负定，则称实对称阵 半负定；若实二次型 不定，则称实对称阵 不定。
事实上，正定二次型与元数有关系，例如 当作为二元实二次型时正定（取任何不为零的数即可）；但当作为三元实二次型时不正定（取 ， ， 则结果不满足[6]）。
（2）假设当 时，命题成立。
（3）下面证明 元时的情形：
令 ，
于是矩阵 可以写成
因为 的顺序主子式全大于零，从而 的顺序主子式也全大于零。
由假设 是正定矩阵，则存在一个可逆的 阶矩阵 ，使得
令 ，于是
再令 ，有
=
令 ， 就有 ，进而有
由条件， ，因此 。显然：
=
即矩阵 合同于单位矩阵，从而得出 是正定矩阵，进一步可得 实二次型 是正定的。
定理2[8]： 元实二次型 是正定的充要条件是它的正惯性指数为 。
证：因为 是正定的，所以矩阵 是正定矩阵，则
那么 可化为 ，且 由此可得，正惯性指数为 。
反之，若该 元实二次型 的正惯性指数为 ，且 为对称矩阵，根据定理1可得矩阵 为正定矩阵。
推论：实对称矩阵 正定的充要条件是 的正惯性指数等于 的级数。
定理3： 阶实对称矩阵 是正定的充要条件是二次型 的秩与符号差均为 。
证：必要性 因为 是实对称正定矩阵，所以实对称矩阵 所对应的实二次型的正惯性指数为 、负惯性指数0，从而可得实二次型符号差为 。
因为矩阵 的主对角线上的元素对应 元实二次型 的系数，又矩阵 为正定矩阵，所以正定矩阵 的主对角线上的所有数全部大于零，进而可推出正定矩阵 的秩为 。
例1 证明：
证：由原题可设
=
=
易得： 的各级顺序主子式均大于零，即 为正定矩阵，进而 。又因为 均不等于零，所以 ，则命题得证。例2 设 是 阶正定矩阵，证明
证：设矩阵 的特征值为 ，由 正定可知 。又由 可知其特征值为 ，所以 。
4.2 正定矩阵在数学分析中的应用
定理[13]： 元实函数 的一阶偏导数等于零的点为 ,且在点 处具有二阶连续偏导数,
4.3正定矩阵的其他应用
例4 证明： 是正定矩阵的充要条件是存在 阶正定矩阵 使得 。
证：充分性 因为矩阵 是正定矩阵，所以存在正交矩阵 ，使得 ,其中
则： ,其中 其中 ，易得 为正定矩阵。
必要性 已知 ，其中 是正定矩阵。由于 ,所以矩阵 是实对称矩阵。设 的特征值为 , …… ，由上矩阵 为正定矩阵知 而 的特征值为 ，故矩阵 是正定矩阵。
2 正定矩阵的判定
定理1[7]： 元实二次型 是正定的充要条件是它的标准形的系数全为正。
证: 因为 = 对 作合同变换，即
取 作非线性退化 ，则实二次型的标准形为
又因为 为正定矩阵且正定矩阵作非退化线性替换其正定型不变，即 也是正定矩阵。则 ， ，…… 即 ， ，…… ，所以实二次型的标准形的系数全为正。
学 科 门 类：
指 导 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 师：
提交论文日期：2014年5月
成 绩 评 定:
摘 要
在高等代数的学习中，我们详细学习了二次型的相关知识，并且从中引出了正定矩阵的概念。事实上，正定矩阵是代数中一类非常重要的矩阵，它在不等式证明、极值求解、特征值求解、系统稳定性判定中都有着非常重要的应用。本文首先介绍了实对称矩阵的定义，然后给出了判定正定矩阵的7条定理，接着总结归纳了正定矩阵的相关性质，最后通过举例说明了正定矩阵在证明不等式、判断函数极值等方面的应用。
注：类似可证得正定矩阵 的伴随矩阵 *也为正定矩阵。
性质5：若 是可逆矩阵，则对任意 阶可逆矩阵 ， 是正定矩阵。
性质6：若正定矩阵 为 阶正定矩阵，则 也为正定矩阵。
证：由 正定，故 ,所以 是对称矩阵。对于任意非零列向量 ,有 ， ,从而 ,故 正定,所以 为正定矩阵。
4 正定矩阵的应用
4.1 正定矩阵在证明不等式中的应用
又因为实对称矩阵的特征值为实数，所以根据上式可得 的特征值为1和3，又1和3均为大于零的数，从而矩阵 是正定矩阵。
3正定矩阵的性质
性质1[12]：正定矩阵主对角线上的元素全大于零。
证：设正定矩阵为 ，得对任一非零向量 ，都有 。取 ，则有 ，所以正定矩阵 的主对角线上元素全大于零。
性质2：正定矩阵的行列式必大于零且正定矩阵一定可逆。
学校代码：10722学号：1006024112
分类号：O151.21密级：公开
题 目：正定矩阵的判定、性质及其应用
Discussion on Determinant,Positive and Application of Positive Definite Matrix
作 者 姓 名：
专 业 名 称：
注：（1）正定矩阵必须为对称矩阵。所以在判定一个矩阵是否为正定矩阵的时候必须先判定该矩阵是否为对称阵，若不是则一定不是正定矩阵，若是则可继续对其进行判定。（2）在题目若给出的是一个含有具体数字的实对称矩阵 ，那么要判断矩阵 是否为正定矩阵，则要验证 的各阶顺序主子式是否都大于零。若均大于零，则为正定矩阵，否则不是正定矩阵。（3）在题目中若给出的是一个不含具体数值的抽象矩阵，则证明矩阵是否正定通常使用以下两种方法：方法1 利用定义：即对任意列向量 ，恒有二次型 ,则矩阵 为正定矩阵。方法2 利用特征值：如果矩阵 的特征值全部大于零则可得出矩阵 为正定矩阵[11]。
在古代，西尔维斯特为了将数字矩形阵列和行列式区别开来，他便创立了“矩阵”，而后由凯莱第一个明确了“矩阵”这个术语的确切意思。事实上，早在我国古代就已经对矩阵有所研究了。[1]在公元前1世纪，在《九章算术》中矩阵形式解方程组已经非常成熟了，但是在那个时代矩阵只是被人们看做是一种解题的方法，而“矩阵”这一概念并没有被独立起来，形成一个统一完整的体系。矩阵在求解线性方程组和行列式计算等问题中得以广泛应用是在18世纪末的时候，并且从那时起矩阵思想才得到进一步的发展。[2]
性质3：若 是正定矩阵，则 (其中 是主对角线上元素全大于零的上三角形矩阵)。
证：因为正定矩阵 可以写为 ，其中 为可逆矩阵。
再设 其中 为正交矩阵 为主对角线上元素全大于零的矩阵，所以 。
性质4：若 是正定矩阵，则 的逆矩阵、伴随矩阵及 、各阶主子矩阵均为正定矩阵。
证：因为 正定，则 。又 为存在的一个可逆实矩阵，使得 ，则 即 。所以 是正定矩阵
由于 ,所以 是实对称矩阵。又对任意实 维列向量 ，由 可逆知 ，从而
即：矩阵 为正定矩阵，由此可得矩阵 的全部特征值都大于零，进而 的特征值大于零，所以 为正定矩阵。
例7 设 阶实对称矩阵 满足 ，且 ,又 的正惯性指数为 ，其中 ，求 的值。
解：设 = ，即 的特征值是 ， 的特征向量 是由 ， 得 。
Keywords:properties,determinant,real symmetric, positive-definite matrix.
引言
在数学学科的研究中具有极其重要的地位的是矩阵，它不仅仅是数学研究的一个分支和高等代数的主要研究对象，而且还是理科研究中不可缺少的具有最实用价值的工具，如系数矩阵和增广矩阵的很多性质都是由线性方程组的部分性质所反映的。
充分性 因为二次型 的秩与符号差均为 ，所以 正惯性指数为 ，从而由定理2可得矩阵 为正定矩阵。
定理4[9]： 阶实对称矩阵 是正定的充要条件是 与单位矩阵 合同，即存在实可逆矩阵 ，使的 。
证： 阶实对称矩阵 正定的充要条件是 元实二次型 正定，当且仅当 的正惯性指数为 ，当且仅当 与单位矩阵 合同。
则黑塞矩阵 = 为正定矩阵时， 为 的极小值；当 为负定矩阵时， 为 的极大值；当 为不定矩阵时， 不是 的极值。
例3 求函数 = 的极
解： ， ，
令 = = =0，则 = ， = ， ，即驻点 。
又由 ， ， ， ， ， 知 有二阶连续偏导数，所以 = 且易得 的各阶顺序主子式全大于零，即 为正定矩阵，故而 在 处有极小值且 。
定理5： 阶实对称矩阵 是正定的充要条件是 的顺序主子式
证：必要性 设实二次型 是正定的。将任意一组不全为零的实数 代入实二次型 ,有 。因此， 是正定二次型的。由此， 的矩阵的行列式 , 。这就证明了矩阵 的顺序主子式全大于0。
充分性 对 作第二数学归纳法
（1）设当 时， = ，由题可得 ,则易得 是正定的。
定理6[10]： 阶实对称矩阵 是正定的充要条件是 的特征值都大于零。
证：因为矩阵 为正定矩阵，所以存在一个正交矩阵 ，使得 ，进而有 其中 均为矩阵 的特征值。那么 所对应的二次型为 ，其中令 。则有 又因为 即其为正定二次型。所以 均大于零，即 的特征值均大于零。
定理7： 阶实对称矩阵 是正定的充要条件是该矩阵对角线上各个元素均大于零。
例5 设
证：必要性 因为 ，所以 为对称矩阵。若 ，则 存在，令 ，则：
，
由此可知 正定。
充分性 已知 正定，则对 且 有
，由上式可知 ，从而 仅有零解，故 。
例6 设 都是 阶正定矩阵且 ，证明： 是正定矩阵。
证：因为 ，所以 为对称矩阵。
又因为 是正定矩阵，由例4知存在正定矩阵 使得 ， 。于是， 得： 与 相似。
例1：当 取何值时， 为正定二次型？
解：设二次型 的矩阵 ，则
， ，
由二次型正定的充要条件可知当 ， 时 正定。
由 得 ；由 得 。于是， 当且仅当 为正定二次型。
例2：设 阶实对称矩阵为 ，且满足 ，证明矩阵 是正定矩阵。
证:设 ,即 是 的特征值， 是 的特征向量，由题可以得出：
由 得
显见，原式的特征值为 ， ，
正定矩阵在矩阵的研究中占有十分重要的地位，对于正定矩阵的研究有利于我们日后更加详尽的研究二次型、线性空间和线性变换。
下面我首先介绍正定矩阵的定义。
1 正定矩阵的定义
1.1 正定二次型的定义
定义1[5]：在实二次型 中若对于任意一组不全为零的实数 都有 ，则称该二次型为正定的;若 ，则称 为半正定二次型；若 ，则称 为负定二次型；若 ，则称 为半负定二次型；若实二次型既不是半正定又不是半负定的则称为不定二次型。