完全平方公式的综合应用(讲义及答案)

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完全平方公式的综合应用

完全平方公式的综合应用例1：矩形面积最大问题假设一个菜农要栽种一片长方形菜田，如果他只有一定长度的篱笆，那么他应该怎样才能使得菜田的面积最大呢？解法：设菜田的长度为x，宽度为y，根据题意我们可以得到一个方程：2x+y=200（因为需要两条边之和等于篱笆的长度）现在我们要找到这个方程的最大值，首先将方程变形为：y=200-2x 接下来我们可以使用完全平方公式来求解最大值。

根据完全平方公式，这是一个开口向下的抛物线，所以我们可以知道最大值是在顶点处取得的。

所以矩形的长度为50，宽度为100，当且仅当菜田是一个正方形时，面积最大。

例2：解一元二次方程假设有一个一元二次方程x^2+8x+16=0，我们需要求解它的解。

解法：首先，我们观察这个方程可以发现它可以化简为一个完全平方形式。

将方程变形为：(x+4)^2=0根据完全平方公式，我们知道只有当一个数的平方等于0时，这个数才能等于0。

所以，我们可以得到：x+4=0或x=-4所以方程的解为x=-4例3：求两点之间的距离假设有两个点A(5,7)和B(9,3)，我们需要求解它们之间的距离。

解法：我们可以利用两点之间的距离公式来求解。

根据两点之间的距离公式，我们可以得到：d=√((x2-x1)^2+(y2-y1)^2)将点A的坐标代入为x1=5，y1=7，将点B的坐标代入为x2=9，y2=3，带入方程可得：d=√((9-5)^2+(3-7)^2)d=√(4^2+-4^2)d=√(16+16)d=√32所以点A和点B之间的距离为√32通过以上例子，我们可以看到完全平方公式在解决不同类型的问题时起到了非常重要的作用。

无论是求解最值问题、解一元二次方程还是求解两点之间的距离，完全平方公式都是一个非常有用的工具。

在实际生活中，完全平方公式也有很多其他应用，比如在物理学中的运动学问题、在经济学中的成本最小化问题等等。

因此，熟练掌握完全平方公式的应用是非常有价值的。

完全平方公式的综合应用

完全平方的综合应用一、公式移项变形运用：1、若3,2a b ab +=-=，则22a b += ，()2a b -=2、若x y x y 22126-=+=，，则x ＝_____________，y ＝_____________3、已知2=+n m ，2-=mn ，则=--)1)(1(n m _______ 若a 2+2a=1则(a+1)2=________.4、若1,2=-=-c a b a ,则=-+--22)()2(a c c b a5、若22a b +=7，a+b=5，则ab= 若22a b +=7，ab =5，则a+b= 6、若22a b +=7，a-b=5，则ab= 若22a b +=3，ab =-4，则a-b=7.若(x-3)2=x 2+kx+9,则k=_________. 若x 2+y 2=12,xy=4,则(x-y)2=_________. 8.已知:a+b=7,ab=-12,求 (1)a 2+b 2= (2)a 2-ab+b 2= (3)(a-b)2=9、多项式192+x 加上一个单项式后，使它能成为一个整式的完全平方，那么加上的单项式可以是10、若4x 2-Mxy+9y 2是两数和的平方,则M 的值是 ( )A.36 B.±36 C.12 D.±1211．若))(3(152n x x mx x ++=-+，则m 的值为（）（A ）－5 （B ）5 （C ）－2 （D ）213．如果m-n=15, m 2+n 2=5125,那么(mn)2005的值为 ( )A.1 B.-1 C.0 D.无法确定二、公式的组合及变形应用：1、已知(a+b)2=7,(a-b)2=3, 求: (1)a 2+b 2= (2)ab=2、若a―b=7, ab=2, 则(a+b)2的值3、已知a+b=－8,ab=12,则（a －b)2= 若x-y=3，xy=1，则（x+y ）2=________4．若3,2a b ab +=-=，则22a b += ，()2a b -= ]5、若()()a b a b -=+=22713，，则a b 22+=____________，ab =_________6. 若()()x y x y a -=++22，则a 为（） A. 0B. -2xy ;C. 2xyD. -4xy7. 如果22)()(y x M y x +=+-，那么M 等于 ( )A 、 2xy B 、－2xy C 、4xy D 、－4xy8．已知(a+b)2=m ，(a —b)2=n ，则ab 等于（）A 、()n m -21 B 、()n m --21 C 、()n m -41 D 、()n m --419．若N b a b a ++=-22)32()32(，则N 的代数式是（）A. -24ab B.12ab C.24ab D.-12ab三、公式中的特殊关系： 1、如果12a a +=,那么221a a += 2、已知51=+x x ，那么221x x +=_______ 3、已知31=-x x ，则221x x +的值是 4、若12a a += 且0<a<1,求a － a1的值是 5. 已知a 2－3a ＋1＝0．求a a 1+和a － a1和221a a +的值；6.已知242411112,1;(2);(3)x a a a x a a a+=++-求：（）7．已知a 2－7a ＋1＝0．求a a 1+、221a a +和21⎪⎭⎫ ⎝⎛-a a 的值；四、公式倒用：1.已知x 2+y 2-2x+2y+2=0,求代数式20032004x y +的值.2、练习：若x y x y 2246130++-+=，x ，y 均为有理数，求x y=3、已知a 2+b 2+6a-4b+13=0，求(a+b)2的值。

平方差公式和完全平方公式（习题及答案）

平⽅差公式和完全平⽅公式（习题及答案）平⽅差公式和完全平⽅公式（习题）例题⽰范例1：计算：23(1)(1)2(1)a a a -+---+．【操作步骤】（1）观察结构划部分：23(1)(1)2(1)a a a -+---+①②（2）有序操作依法则：辨识运算类型，依据对应的法则运算．第⼀部分：a -和a -符号相同，是公式⾥的“a ”，1和-1符号相反，是公式⾥的“b ”，可以⽤平⽅差公式；第⼆部分：可以⽤完全平⽅公式，利⽤⼝诀得出答案．（3）每步推进⼀点点．【过程书写】解：原式2223()12(21)a a a ??=---++??223(1)242a a a =----2233242a a a =----245a a =--巩固练习1. 下列多项式乘法中，不能⽤平⽅差公式计算的是（）A ．()()x y y x ---+B ．()()xy z xy z +-C ．(2)(2)a b a b --+D ．1122x y y x --- ??2. 下列各式⼀定成⽴的是（）A ．222(2)42x y x xy y -=-+B ．22()()a b b a -=-C ．2221124a b a ab b ??-=++D ．222(2)4x y x y +=+3. 若2222(23)412x y x xy n y +=++，则n =__________．4. 若222()44ax y x xy y -=++，则a =________．5. 计算：①112233m n n m --- ??；②22()()()y x x y x y -++；③22(32)4x y y ---；④2()a b c +-；⑤296；⑥2112113111-?．6. 运⽤乘法公式计算：①2(2)(2)(2)x y x y x y -+-+；②22(1)2(24)a a a +--+；③(231)(231)x y x y +--+；④3()a b -；⑤222233m m +-- ? ?；⑥2210199-．思考⼩结1. 在利⽤平⽅差公式计算时要找准公式⾥⾯的a 和b ，我们把完全相同的“项”看作公式⾥的“_____”，只有符号不同的“项”看作公式⾥的“_____”，⽐如()()x y z x y z +---，_______是公式⾥的“a”，_______是公式⾥的“b ”；同样在利⽤完全平⽅公式的时候，如果底数⾸项前⾯有负号，要把底数转为它的______去处理，⽐如22()(_______)a b --=2. 根据两⼤公式填空：+(_______)+(_______)b )22(2【参考答案】巩固练习1. C2. B3. ±34. -25. ①22149n m - ②44x y -+ ③2912x xy +④222 222a ab b bc ac c ++--+ ⑤9 216⑥1 6. ①242xy y --②267a a -+- ③224961x y y -+- ④322333a a b ab b -+- ⑤83m ⑥400 思考⼩结1. a ，b ，(x -z )，y ，相反数，a +b2. 2ab ，2ab ，4ab。

完全平方公式和平方差公式综合应用

完全平方公式和平方差公式综合应用-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One111月13日1．4a 2＋4a ＋3＝（2a ＋1）2＋_______．2．（a －b ）2＝（a ＋b ）2－________．3．（－2m －3n ）2 4. （41s ＋31t 2）25. （－2a ＋4b ）2；6. （41a －32c ）2；7.（5x －3y －2）（5x ＋3y －2）； 8.（x －2y ）（x 2+4y 2）（x ＋2y ）；9.（a ＋3）2＋（3a －5）2； 11. （2a ＋3）2＋（3a －2）2（6）（a －b ＋5c －2）（a ＋b －5c －2）；（7）（－s +2t ）（－s －2t ）－（－s －2t ）2；（8）（t －4）2（t ＋4）2（t 2＋16）2．2．用简便方法计算：（1）1982；（2）3022；（3）1992－198×200；（4）49×51－502．3．已知224,4a b a b +=+=求22a b 与2()a b -的值。

4．已知16x x -=，求221x x+的值。

5观察下列各式的规律．;)121(2)21(12222+⨯=+⨯+;)132(3)32(22222+⨯=+⨯+;)143(4)43(32222+⨯=+⨯+…（1）写出第2007行的式子；（2）写出第n 行的式子，并说明你的结论是正确的．6．试说明不论x,y 取何值，代数式226415x y x y ++-+的值总是正数。

7如图，四边形ABCD 、BEFG 均为正方形．（1）如图1，连接AG 、CE ，判断AG 和CE 的数量关系和位置关系并证明．（2）将正方形BEFG 绕点B 顺时针旋转β角（0°＜β＜180°），如图2，连接AG 、CE 相交于点M ，连接MB ，求出∠EMB 的度数．（3）若BE=2，BC=6，连接DG ，将正方形BEFG 绕点B 顺时针旋转β角（0°＜β＜180°），则在这个旋转过程中线段DG 长度的取值范围（直接填空，不写过程）．。

《完全平方公式》整式的运算

算2023-11-06CATALOGUE 目录•整式运算的基本概念•《完全平方公式》的推导与证明•《完全平方公式》在整式运算中的应用•《完全平方公式》的拓展与延伸•练习与思考01整式运算的基本概念整式单项式与多项式的统称，是基本的数学概念之一。

分类按项数可分为单项式和多项式，按次数可分为一次、二次、三次等。

整式的定义与分类加减法乘法除法多项式乘以多项式，按分配律展开，再合并同类项。

多项式除以多项式，转化为乘法，再合并同类项。

03整式的运算规则02 01合并同类项，系数相加减，字母及指数不变。

交换两个整式的顺序，结果不变。

整式的性质交换律结合两个整式的乘除法，结果不变。

结合律分配两个整式的乘除法，结果不变。

分配律02《完全平方公式》的推导与证明《完全平方公式》的推导过程运用多项式的展开与合并利用乘法分配律借助完全平方数的性质利用多项式的恒等变形拆项、分组、配方证明结论：两数平方和加上或减去两倍乘积，等于两倍乘积的和或差。

《完全平方公式》的证明方法《完全平方公式》的应用举例求解一元二次方程利用完全平方公式转化为一元一次方程求出方程的根•证明一些等式或不等式•利用完全平方公式进行恒等变形•证明等式或不等式成立•在整式的运算中，《完全平方公式》是一个非常重要的内容。

它不仅在求解一元二次方程中有着广泛的应用，还可以用于证明一些等式或不等式。

通过掌握《完全平方公式》的推导过程和证明方法，可以更好地理解整式的运算法则，提高数学运算能力。

03《完全平方公式》在整式运算中的应用完全平方公式可以简化整式乘法运算，提高计算效率。

总结词在整式乘法中，如果两个多项式相乘，我们可以通过将两个多项式的每一项分别相乘得到结果，然后合并同类项。

但是，如果使用完全平方公式，可以将两个多项式的乘积表示为另一个多项式，从而简化计算过程。

例如，$(a+b)(a^2+2ab+b^2)=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$，通过完全平方公式，我们可以快速得到结果。

平方差公式和完全平方公式(含参)(人教版)(含答案)

学生做题前请先回答以下问题问题1：已知，求的值．你是怎么思考的？问题2：已知，求的值．你是怎么思考的？以下是问题及答案，请对比参考:问题1：已知，求的值．你是怎么思考的？答：观察式子，可以先把等式左边用完全平方公式展开，然后和等式右边的式子对比，确定字母k的值．所以，所以．问题2：已知，求的值．你是怎么思考的？答：观察式子，可以先把等式左边用完全平方公式展开，然后和等式右边的式子对比，确定字母k的值．所以，所以．平方差公式和完全平方公式（含参）（人教版）一、单选题(共12道，每道8分)1.若，则的值为( )A.-2B.2C.±4D.4答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：平方差公式2.若，则的值为( )A.-4B.±4C.±4yD.4答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：平方差公式3.若，则的值为( )A.3B.-3C.±3D.±9答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：平方差公式4.若，则的值为( )A.7B.±7C.-7D.以上都不对答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：平方差公式5.若是完全平方式，则的值为( )A.2B.-2C.±2D.±1答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：完全平方公式6.若是完全平方式，则的值为( )A.36B.9C.-9D.±9答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：完全平方公式7.若是完全平方式，则的值为( )A.-6B.-12C.±6D.±12答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：完全平方公式8.若，则的值为( )A.2B.-2C.±2D.4答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：完全平方公式9.若，则的值为( )A.-1B.1C.±1D.-4答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：完全平方公式10.若，则的值分别为( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：完全平方公式11.计算的结果是( )A.0B.1C.-1D.2 004答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：平方差公式12.计算的结果为( )A.27 501B.29 501C.39 601D.49 501答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：完全平方公式。

平方差公式和完全平方公式(习题及答案)

③ (2 x + 3 y − 1)(2 x − 3 y + 1) ；
④ ( a − b)3 ；
m m ⑤ + 2 − − 2 ； 3 3
2
2
⑥ 1012 − 992 ．
2
思考小结
1. 在利用平方差公式计算时要找准公式里面的 a 和 b，我们把完全相同的 “项” 看作公式里的 “_____” ，只有符号不同的 “项” 看作公式里的“ _____” ，比如 ( x + y − z )( x − y − z ) ， _______ 是公式里的“a” ，_______是公式里的“b” ；同样在利用完全平方公式的时候，如果底数首项前面有负号，要把底数转为它的______去处理，比如 (−a − b) 2 = (_______) 2 2. 根据两大公式填空：
思考小结在利用平方差公式计算时要找准公式里面的a和b我们把完全相同的项看作公式里的只有符号不同的项看作公式里的比如是公式里的a是公式里的b
平方差公式和完全平方公式（习题）
例题示范
例 1：计算： 3(−a + 1)(−a − 1) − 2(a + 1) 2 ．【操作步骤】（1）观察结构划部分： 3(−a + 1)(−a − 1) − 2(a + 1) 2 ① ② （2）有序操作依法则：辨识运算类型，依据对应的法则运算．第一部分： −a 和 −a 符号相同，是公式里的“a” ，1 和-1 符号相反，是公式里的“b” ，可以用平方差公式；第二部分：可以用完全平方公式，利用口诀得出答案．（3）每步推进一点点．【过程书写】
若 (2 x + 3 y ) 2 =4 x 2 + 12 xy + n 2 y 2 ，则 n=__________．若 (ax − y ) 2 = 4 x 2 + 4 xy + y 2 ，则 a=________．计算：

完全平方公式及各种典型问题ok课件

在实际生活中，完全平方公式也有广泛的应用，例如在物理、工程、经济等领域都有涉及。
完全平方公式的解题思路与方法总结
完全平方公式的解题思路主要是通过将一个二次多项式转化为两个一次多项式的乘积，然后利用这两个一次多项式的值来解决原问题。
VS
在解题方法上，需要注意因式分解、配方、运算等技巧的运用，同时还要注意公式的适用范围和限制条件。
问题，如建筑、工程等领域的问题。
03 完全平方公式的典型例题
完全平方公式的简单应用
总结词
完全平方公式是数学中常用的公式之一，它可以用于解决各种与平方有关的问题。
详细描述
完全平方公式可以表示为(a+b)^2=a^2+2ab+b^2，它通常用于计算平方和、两数和的平方以及两数差的平方。例如，(2+3)^2=25，(2-3)^2=1，(2+3)(23)=-5等。
完全平方公式的变形应用
总结词
完全平方公式不仅可以用于简单的计算，还可以通过变形应用于解决更复杂的问题。
详细描述
完全平方公式的变形包括(a+b)^2=a^2+2ab+b^2，(a-b)^2=a^2-2ab+b^2， a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=(a-b)^2+2ab等。这些变形可以用于解决与平方和、两数和的平方以及两数差的平方相关的问题。
需要一定的观察和思考能力，但可以简化复杂的计算。
完全平方公式在实际问题中的应用
总结词
广泛应用于实际问题中，如几何、代数等领域
详细描述
完全平方公式不仅在代数领域有广泛的应用，在几何、三角等领域也有广泛的应用。例如，
在解决几何问题时，完全平方公式可以用于计算面积、周长等；在解决代数问题时，完全平方公式可以用于因式分解、化简等。此外，完全平方公式还可以用于解决一些实际

完全平方公式的综合应用(习题及答案)

完全平方公式的综合应用(习题) 例题示范例1:已知x = 2，求x2 ^2，x4•丄的值.x x x【思路分析】观察题目特征(已知两数之差和两数之积1x 1，所求为两数的平方和)，x判断此类题目为“知二求二”问题；1“x”即为公式中的a，“ - ”即为公式中的b,根据他们之间的关系可得:x2 1x —x1将X-— =2,x 2 2x 丄；xi 1 )=X —x1x - =1代入求解即可;x同理，X4•［二x2x4I即可求解.【过程书写】-2x2•丄，将所求的X2•厶的值及x2 x例2: 若x2 -2x + y2 +6y +10 =0，贝U x= _____ ，y= _______ .【思路分析】此题考查完全平方公式的结构，“首平方，尾平方，二倍乘积放中央”.观察等式左边，x2 -2x以及y2 6y均符合完全平方式结构，只需补全即可，根据“由两边定中间，由中间凑两边”可配成完全平方式，得到(x-1)2• (y • 3)2 = 0 . 根据平方的非负性可知：(x -1)2 =0且(y 3)^0，从而得到x=1，厂-3 .巩固练习1.若(a—2b)2=5，ab =1，则a2+4b2 =________ ，(a + 2b)2= ____ .2.已知x • y =3，xy =2，求x2 y2，x4 y4的值.1 13. 已知a2 -3a •仁0，求a2•盲,a^ —的值.a a4. (1)若x2+mxy + 9y2是完全平方式，则m= _________ .(2)若9x2-kxy+16y2是完全平方式，则k= __________ .5. 多项式4x2 4加上一个单项式后，能使它成为一个整式的平方，则可以加上的单项式共有_______ ，分别是____________2 2 a6. 若a +4b -6a-4b+10 = 0 ,贝U b = _________ .7. 当a为何值时，a2 -8a 14取得最小值，最小值为多少？8. 求x2 4y^4x 4y 8 的最值.思考小结1. 两个整数a，b (a z b)的“平均数的平方”与他们“平方数的平均数”相等吗？若不相等，相差多少？2. 阅读理解题: 若x 满足(210 _x)(x_200) =一204，试求(210 _x)2 (x — 200)2的值. 解：设210-x=a, x-200=b,则ab=- 204,且 a b = (210 _x) (x 一200) =10 ,由(a b)2 = a2 2ab b2得，a2 b2 =(a b)2 -2ab = 102 -2 (-204) =508 ,即(210 -x)2 (x-200)2的值为508.根据以上材料，请解答下题：若x满足(2015 -x)2 (2 013-x)2=4032,贝U (2 015 - x)(2 013 —x) = ____ .【参考答案】例题示范1例 1 .解：•/ x 2x --x丿=4 224 2X 2X 2 =34 1.913 2. 517 3. 747 4. ±i24 5. 52 -4x -4 8x -8x 6. 8 例2: 1 巩固练习 x 4 7. a =4时取得最小值，最小值为-28. 最小值为3思考小结1. (a -b)2 -3=36= 36-222. 2 0144。

平方差公式与完全平方公式

平方差公式与完全平方公式一、公式透析平方差公式：22))((b a b a b a -=-+特点是相乘的两个二项式中，a 表示的是完全相同的项，+b 和-b 表示的是互为相反数的两项。

所以说，两个二项式相乘能不能用平方差公式，关键看是否存在两项完全相同的项，两项互为相反数的项。

完全平方公式：2222)(b ab a b a +±=±注意不要漏掉2ab 项二、典例解析例1：下列各式可以用平方差公式的是（）)4)(4.(c a c a A -+- )2)(2.(y x y x B +- )31)(13.(a a C --- )21)(21.(y x y x D +--例2:如何用公式计算2))(1(y x --例3：已知22124,10n m mn n m +==+），求（ 2))(2(n m -三、双基过关A 组.)213)(213)(1(22n m n m -+ )46)(46)(2(n m n m ++-B 组2)21)(3(b a - (4)2)3(b a --.4184371.4._____1,51.3.____,2).(2.____ 124___,4.12222222⨯=+=+=++=+-=++=++）用简便方法计算（则则式，则是一个完全平方是完全平方公式，则xx x x M y xy x M y x m m xy x a ax x222222221295969798991002-⋅⋅⋅⋅⋅+-+-+-）（C 组)3)(31-+++b a b a ）（（ )3)(3)(2(c b a c b a --+-22)331()331)(3(b a b a --+ 2)43)(4(--y x(5))7)(7()3(+---a a a a四、综合应用1.按图中所示的方式分割正方形，你能得到什么结论2.观察下列各式,你会发现什么规律,用只含一个字母n 的式子表示出来. 1121431311163575141553222-==⨯⋅⋅⋅⋅⋅⋅-==⨯-==⨯3).1)13()13)(13(232423++⋅⋅⋅++。

完全平方公式(人教版)(含答案)

完全平方公式（人教版）一、单选题(共15道，每道6分)1.=，括号中的数为( )A.2B.-2C.4D.-4答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：完全平方公式2.计算的结果为( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：完全平方公式3.计算的结果为( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：完全平方公式（首项为负）4.计算的结果为( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：完全平方公式（首项为负）5.计算的结果为( )A. B.C. D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：完全平方公式（首项为负）6.计算的结果为( )A.27 501B.29 501C.39 601D.49 501答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：完全平方公式的应用7.计算的结果为( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：完全平方公式8.若，则的值为( )A.6B.-6C.±6D.36答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：完全平方公式9.若，则的值为( )A.1B.-1C.-2D.±1答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：完全平方公式10.若，则的值为( )A.4B.-4C.±4D.16答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：完全平方公式11.若，则的值为( )A.20B.10C.-20D.±20答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：完全平方公式12.若，则的值为( )A.2B.-2C.-4D.±2答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：完全平方公式13.若，则为( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：完全平方公式14.若，则为( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：完全平方公式15.若，则的值为( )A.28B.22C.16D.4答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：完全平方公式的应用。

9.4.1完全平方公式课课练及答案(苏科版七年级下)pfd版

七年级数学(下)９．４㊀乘法公式第１课时㊀完全平方公式㊀１．会推导完全平方公式,并能正确运用公式进行简单计算．２．通过图形面积的计算,感受完全平方公式的直观解释,了解公式的几何背景．㊀开心预习梳理,轻松搞定基础.１．(a＋b)２＝(a＋b)(a＋b)＝aˑ(㊀㊀)＋bˑ(㊀㊀)＝㊀．２．用语言叙述完全平方公式:㊀．３．填空:(１)(a－２b)２＝㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀;(２)(３－m)２＝㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀;(３)x２－x＋(㊀㊀)＝(㊀㊀)２;(４)(－２x＋５)２＝㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀;(５)２５x２＋㊀㊀㊀㊀＋y２＝(５x－y)２;(６)a２＋b２＋㊀㊀㊀㊀＝(a－b)２．㊀重难疑点,一网打尽.４．计算(a＋１)(－a－１)的结果是(㊀㊀)．A．a２－１B．－a２－１C．－a２－２a－１D．－a２＋２a－１５．下列各式错误的是(㊀㊀)．A．a２＋b２＝(a＋b)２－２a b B．(a－b)２＝(a＋b)２－４a b C．(a＋b)(－a－b)２＝－a２－b２D．(a＋b)２－(a－b)２＝４a b６．计算:(１)(－３a＋２b)２;(２)２０２２;(３)１９９２;(４)(－５y－２z)２．(a＋b)２＝a２＋２a b＋b２．７．计算:(３x＋２y)２－(３x－２y)２．８．解方程:(２x－３)２－４(x－２)(x＋２)＝１．㊀源于教材,宽于教材,举一反三显身手.９．下面各式与２m n－m２－n２相等的是(㊀㊀)．A．(m－n)２B．－(m－n)２C．－(m＋n)２D．(m＋n)２１０．化简:(a＋３)２＋a(２－a)．１１．计算:１．３４５２－０．３４５ˑ２．６９＋０．３４５２．１２．计算:(a＋１)２－a(a－１)．１３．认真观察下列式子:１５２＝２２５,２５２＝６２５,３５２＝１２２５, ,９５２＝９０２５,你能写出反映这种规律的一般结论,并说明理由吗?㊀瞧,中考曾经这么考!１４．(２０１２江苏南通)已知x２＋１６x＋k是完全平方式,则常数k等于(㊀㊀)．A．６４B．４８C．３２D．１６１５．(２０１２江西南昌)已知(m－n)２＝８,(m＋n)２＝２,则m２＋n２等于(㊀㊀)．A．１０B．６C．５D．３１６．(２０１２贵州遵义)已知x＋y＝－５,x y＝６,则x２＋y２＝㊀㊀㊀㊀．乘法公式第１课时㊀完全平方公式１．a＋b㊀a＋b㊀a２＋２a b＋b２２．两数的和的平方,等于这两数的平方和加上这两个数的积的２倍３．(１)a２－４a b＋４b２㊀(２)９－６m＋m２(３)１４㊀x－１２㊀(４)４x２－２０x＋２５(５)－１０x y㊀(６)－２a b４．C㊀提示:(a＋１)(－a－１)＝－(a＋１)２＝－(a２＋２a＋１)＝－a２－２a－１．５．C６．(１)原式＝(３a－２b)２＝９a２－１２a b＋４b２．(２)原式＝(２００＋２)２＝４００００＋８００＋４＝４０８０４．(３)原式＝(２００－１)２＝４００００－４００＋１＝３９６０１．(４)原式＝(５y＋２z)２＝２５y２＋２０y z＋４z２．７．２４x y㊀８．x＝２㊀９．B１０．原式＝a２＋６a＋９＋２a－a２＝８a＋９．１１．１㊀１２．３a＋１１３．结论:(１０a＋５)２＝１００a(a＋１)＋２５,其中１ɤaɤ９且a 为整数．理由略．１４．A㊀１５．C㊀１６．１３。

完全平方公式的综合应用(知二求二)(二)(人教版)(含答案)

完全平方公式的综合应用（知二求二）（二）（人教版）一、单选题(共10道，每道10分)1.若，，则的结果为( )A.7B.13C.94D.106答案：D解题思路：由题可知，相当于公式里的，相当于公式里的，与之间相差．题中给出，因此求出的值即可．故选D．试题难度：三颗星知识点：完全平方公式的应用2.若，，则的结果为( )A. B.19C. D.10答案：C解题思路：故选C．试题难度：三颗星知识点：完全平方公式的应用3.若，，则的结果为( )A.45B.39C.15D.21答案：A解题思路：故选A．试题难度：三颗星知识点：完全平方公式的应用4.若，，则的结果为( )A.20B.112C.-40D.80答案：D解题思路：故选D．试题难度：三颗星知识点：完全平方公式的应用5.若，，则的值为( )A.112B.12C.72D.176答案：A解题思路：故选A．试题难度：三颗星知识点：完全平方公式的应用6.若，则的结果为( )A.5B.11C.7D.1答案：C解题思路：故选C．试题难度：三颗星知识点：完全平方公式的应用7.若，则与的值分别为( )A.11；119B.11；123C.7；83D.7；47答案：A解题思路：故选A．试题难度：三颗星知识点：完全平方公式的应用8.若，则的值为( )A.21B.23C.25D.27答案：B解题思路：①分析：观察所求，可以化为，这是平方和的形式，若在的两边同时除以，可以得到，结合，可知这是一个知二求二问题．②解题过程：故选B．试题难度：三颗星知识点：完全平方公式的应用9.若，则的值为( )A.256B.196C.194D.322答案：C解题思路：故选C．试题难度：三颗星知识点：完全平方公式的应用10.若，则的结果为( )A.40B.5C.10D.20答案：B解题思路：可以把和分别当作一个整体，就是一个平方和的形式，相当于公式里的，相当于公式里的，与之间相差．故选B．试题难度：三颗星知识点：完全平方公式的应用学生做题后建议通过以下问题总结反思问题1：填空：问题2：已知，，求的值．思路分析：①观察题目特征，判断此类题目为“知二求二”问题；②“_______”即为公式中的a，“_________”即为公式中的b，根据他们之间的关系可得_________________________________；③将，代入求解即可．所以=__________．问题3：已知，求的值．思路分析：①观察题目特征，判断此类题目为“知二求二”问题；②“_______”即为公式中的a，“_________”即为公式中的b，根据他们之间的关系可得_____________________；③观察知x≠0，对其进行处理得____________，然后代入，得=__________．。

完全平方公式及答案精编版

完全平方公式及答案 GE GROUP system office room 【GEIHUA16H-GEIHUA GEIHUA8Q8-完全平方公式（一）知识点：1.完全平方公式：=+2)(b a ；=-2)(b a 2.特点：左边：右边：例1：（1）2)2(y x - （2）2)32(b a - （3）2)21(b a +- （4）)32)(23(x y y x -- 变式：1、判断正误：对的画“√”，错的画“×”.(1)(a+b)2=a 2+b 2；（） (2)(a-b)2=a 2-b 2；（）(3)(a+b)2=(-a-b)2；（） (4)(a-b)2=(b-a)2.（）2、下列等式能成立的是( ).A.(a-b)2＝a 2-ab+b 2B.(a+3b)2＝a 2+9b 2C.(a+b)2＝a 2+2ab+b 2D.(x+9)(x-9)＝x 2-93、下列计算正确的是（）A 、9124)32(22--=-x x x B 、424)22(222y xy x y x ++=+ C 、22))((b a b a b a -=--- C 、22244)2(y xy x y x +-=--4、(a+3b)2-(3a+b)2计算的结果是( ). A.8(a-b)2 B.8(a+b)2 C.8b 2-8a 2 D.8a 2-8b 25、（1）2)21(y x - （2）2)3(b a --（3）2)212(+-a （4）2)(z y x +- 例2：(1)(3a+2b)2-(3a-2b)2 (2)(x 2+x+6)(x 2-x+6) (3)(a+b+c+d)2 变式：（1）)4)(2)(2(22y x y x y x --+ （2）22)321()321(b a b a +- （3）22)2()2)(2()1(++-+-+x x x x 其中x=-2（4）化简求值：22)2()2()2)(12(+---+-x x x x ，其中23-=x 例2;(1)如果x 2+kx+81是一个完全平方式，那么k 的值是( ).A.9B.-9C.9或-9D.18或-18(2)2216y mxy x ++是完全平方式。

课件《完全平方公式》优秀课件完美版_人教版2

14.3.2.2 方法：若式子有整体满足完全平方式可直接进行因式分解，需注意中间项的符号
问题五大家还记得完全平方公式吗？
利用完全平方公式因式分解分析：(1)中有公因式3a，应先提出公因式，再进一步分解
这两个多项式是两个数的平方和加上或减去这两个数的积的两倍，我们把运用完全平方公式分解因式．
方法：若式子中有公因数或公因式，应先提公因数或公因式，再进行因式分解
2a 4ab 4b 16 提公因数方法：若式子有整体2满足完全平方式可直接2进行因式分解，需注意中间项的符号
方法：若式子有整体满足完全平方式可直接进行因式分解，需注意中间项的符号
就得到因式分解的完全平方公式：
把方整法式：的当乘两法个公平式方项—的—符完号全同平时方2为公负式号倒时过，来先将负号提出来，再进行因式分解
1、a2 4a 4 a 2 2a 2 22 a 2 2
2、25x4 20x2 4 5x2 2 2 5x2 2 2 2 5x2 22
例1 因式分解
(1) 16x2 24x 9 （2） - x2 4xy 4 y2
分析：16x2 24x 9 (4x)2 2 4x 3 32
你对因式分解的方法有什么新的发现？请尝试概括你的发现.
把整式的乘法公式——完全平方公式倒过来就得到因式分解的完全平方公式：
a2 2ab+b2 =（a b）2
首2 2 首尾尾2 首尾2
即两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方
1、在下面括号中填空
3、看是否有这两数积的2倍
和
这样的式子叫做完全平方式．
a +2ab+b =（a+b）方法：若式子有整体满足完全平方式可2直接进行因式分解2，需注意中间项的符2号

平方差和完全平方公式应用举例

平方差公式、完全平方公式应用例说例1 计算（1）)1)(1(+-ab ab ；（2）)32)(32(---x x ；（3）1022；（4）992.【点拨】（1）符合平方差公式的特征，只要将ab 看成是a ，1看成是b 来计算.（2）利用加法交换律将原式变形为)23)(23(x x --+-,然后运用平方差公式计算.（3）可将1022改写为2)2100(+,利用两数和的平方公式进行简便运算.（4）可将992改写为2)1100(-，利用两数差的平方公式进行简便运算. 解：（1）)1)(1(+-ab ab =11)(222-=-b a ab ；（2）)32)(32(---x x = )23)(23(x x --+-=22249)2()3(x x -=--；（3）1022= 2)2100(+=1040444001000022100210022=++=+⨯⨯+；（4）992=2)1100(-=98011200100001110021002=+-=+⨯⨯-. 例2 计算（1）)1)(1(-+++b a b a ；（2）2)2(p n m +-.【点拨】（1）两个因式中都含有三项，把三项看成是两项，符号相同的看作是一项，符号相反的看作是一项，运用公式计算，本题可将)(b a +看作是一项.（2）先将三项看成是两项，用完全平方公式，然后再用完全平方公式计算.解：（1）)1)(1(-+++b a b a =121)(]1)][(1)[(222-++=-+=-+++b ab a b a b a b a ；（2）2)2(p n m +-=222)2(2)2(])2[(p p n m n m p n m +⋅-⋅+-=+- =2224244p np mp n mn m +-++-.【点评】1.在运用平方差公式时,应分清两个因式中是不是有一项完全相同,有一项互为相反数,这样才可以用平方差公式，否则不能用；2.完全平方公式就是求一个二项式的平方，其结果是一个完全平方式，两数和或差的平方，等于这两个数的平方和，加上或减去这两个数乘积的2倍，在计算时不要发生：222)(b a b a +=+或222)(b a b a -=-这样的错误；3.当因式中含有三项或三项以上时,要适当的分组,看成是两项,用平方差公式或完全平方公式.例3 一个正方形的边长增加3cm,它的面积就增加392cm ,这个正方形的边长是多少?【点拨】如果设原正方形的边长为xcm,根据题意和正方形的面积公式可列出方程求解. 解：设原正方形的边长为xcm,则39)3(22+=+x x即399622+=++x x x ，解得 x=5.答:这个正方形的边长是5cm .例4 当2)2()23)(23(1,1b a b a b a b a ---+=-=时，求的值.【点拨】先用乘法公式计算,去括号、合并同类项后，再将a 、b 的值代入计算出结果. 解：)44(49)2()23)(23(22222b ab a b a b a b a b a +---=---+=2222228484449b ab a b ab a b a -+=-+--；当时，1,1=-=b a222848)2()23)(23(b ab a b a b a b a -+=---+=8（-1）81)1(42-⨯-+=-4.例5 求证：当n 为整数时，两个连续奇数的平方差22)12()12(--+n n 是8的倍数.【点拨】运用完全平方公式将22)12()12(--+n n 化简，看所得的结果是否是8整数倍.证明:22)12()12(--+n n =)144(14422+--++n n n n=n n n n n 814414422=-+-++，又∵n 为整数,∴8n 也为整数且是8的倍数.例6 解不等式 2)2(9)43)(43(->-+x x x .【点拨】将乘法公式与解不等式相联系，用乘法公式将不等式两边化简、整理，转化成一元一次不等式的一般形式.解：去括号，得 3636916922+->-x x x ，移项、合并，得 913>x . 例7 2005年12月1日是星期四，请问：再过20052天的后一天是星期几?【点拨】因为每个星期都有7天，要求再过20052天的后一天是星期几，可以想办法先求出20052是7的多少倍数还余几天.解：20052=93)2867(2)2867()32867(22+⨯⨯⨯+⨯=+⨯=277)2866()2867(2++⨯⨯+⨯.显然2005年12月1日是星期四，再过20052天的后一天实际上要求星期四再过两天后的一天是星期日.例8 观察下列等式：10122=-，31222=-，52322=-，73422=-，……请用含自然数n 的等式表示这种规律为：________________.【点拨】本题是属于阅读理解，探索规律的题目，认真观察、分析已知的等式的特点，从中总结出规律.同学们相互研讨交流一下.答案为:n n n n n 且1(12)1(22≥-=--为整数).例9 已知2294y Mxy x +-是一个完全平方式,求M 的值.【点拨】已知条件是一个二次三项式,且是一个完全平方式,22y x 与项的系数分别为4和9,所以这个完全平方式应该是2)32(y x ±,由完全平方公式就可以求出M.解：根据2)32(y x ±=229124y xy x +±得: 12±=-M .∴12±=M答:M 的值是±12.例10 计算 1584221)211)(211)(211)(211(+++++. 【点拨】若按常规思路从左到右逐个相乘，比较麻烦；如果乘或除以一个数或一个整式，将本来复杂的问题转化成我们已知的、熟悉的，从而找到问题的捷径.解:1584221)211)(211)(211)(211(+++++ =158422121)211)(211)(211)(211)(211(+÷++++- =1584222121)211)(211)(211)(211(+÷+++- =158442121)211)(211)(211(+÷++- =15882121)211)(211(+÷+- =15162121)211(+÷-=2-15152121+=2. 例11(泰州市)如下图是由边长为a 和b 的两个正方形组成，通过用不同的方法，计算下图中阴影部分的面积，可以验证的一个公式是．【点拨】本题考查借助图形的面积直观认识平方差公式,使学生学习数形结合的思想方法.答案为:22))((b a b a b a -=-+或 22b a -= ))((b a b a -+.。