函数的概念 -优质课件
函数的概念
1.2.1 函数的概念1．函数的概念(1)函数的概念：设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集．比如，甲、乙两地相距30 km，某人骑车从甲地去乙地，速度是12 km/h，出发t小时后行驶的路程是s km，则s是t的函数，记为s＝12t，定义域是{t|0≤t≤2.5}，值域为{s|0≤s≤30}．对集合{t|0≤t≤2.5}中的任意一个实数，在集合{s|0≤s≤30}中都有唯一的数s＝12t和它对应．对函数概念的理解①“A，B是非空的数集”，一方面强调了A，B只能是数集，即A，B中的元素只能是实数；另一方面指出了定义域、值域都不能是空集，也就是说定义域为空集的函数是不存在的．②函数的三要素是：定义域、对应关系、值域．定义域就是非空数集A，而值域不一定是非空数集B，而是非空数集B的子集．例如，设集合A＝{x|x≠0，x∈R}，B＝R，按照确定的对应关系f：取倒数，对于集合A中的任意一个数x，在B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，于是y＝f(x)＝1x就称为从集合A到集合B的一个函数．此时A是函数y＝1x的定义域，而值域D＝{y|y≠0，y∈R}，显然D≠B，但D⊆B．③函数定义中强调“三性”：任意性、存在性、唯一性，即对于非空数集A中的任意一个(任意性)元素x，在非空数集B中都有(存在性)唯一(唯一性)的元素y与之对应．这“三性”只要有一个不满足，便不能构成函数．【例1－1】下列对应或关系式中是A到B的函数的是( )A．A∈R，B∈R，x2＋y2＝1B．A＝{1,2,3,4}，B＝{0,1}，对应关系如图：C．A＝R，B＝R，f：x→y＝12x-D．A＝Z，B＝Z，f：x→y解析：对于A项，x2＋y2＝1可化为y=x∈A，y值不唯一，故不符合．对于B项，符合函数的定义．对于C项，2∈A，但在集合B中找不到与之相对应的数，故不符合．对于D项，－1∈A，但在集合B中找不到与之相对应的数，故不符合．答案：B点技巧判断一个对应关系是否是函数关系的方法从以下三个方面判断：(1)A，B必须都是非空数集；(2)A中任一实数在B中必须有实数和它对应；(3)A中任一实数在B中和它对应的实数是唯一的．注意：A中元素无剩余，B中元素允许有剩余．【例1－2】下列图形中不能确定y是x的函数的是( )解析：y是x的函数，必须满足对于任意给定的x值，y都有唯一确定的值与之对应．图象A，B，C所表示的对应关系能构成函数，因为任意给一个变量x，都有唯一确定的f(x)和它对应．但图象D不是，它表示的对应关系中，对于自变量x，一般都有两个函数值和它对应，不符合函数的定义．答案：D点技巧由图形判断从A到B的对应是否是函数关系有技巧(1)任取一条垂直于x轴的直线l；(2)在集合A中移动直线l；(3)若直线l与集合B所在图形有且只有一个交点，则是函数；否则不是函数．(2)对符号f(x)的理解①f(x)表示关于x的函数，又可以理解为自变量x对应的函数值，是一个整体符号，分开写符号f(x)，如f，x，(x)等是没有意义的．符号f可以看作是对“x”施加的某种法则或运算，例如f(x)＝x2－x＋5，当x＝2时，看作对“2”施加了这样的运算法则：先平方，再减去2，最后加上5；②对于f(x)中x的理解，虽然f(x)＝3x与f(x＋1)＝3x从等号右边的表达式来看是一样的，但由于f施加法则的对象不一样(一个为x，而另一个为x＋1)，因此函数解析式也是不一样的；③函数符号f(x)并不一定是解析式，它可以是其他任意的一个对应关系，如图象、表格、文字、描述等；④f(x)与f(a)，a∈A的关系：f(x)表示自变量为x的函数，表示的是变量，f(a)表示当x＝a时的函数值，是一个值域内的值，是常量，如f(x)＝x＋1，当x＝3时，f(3)＝3＋1＝4．【例1－3】已知函数f (x )＝3x 2－5x ＋2．(1)求f (3)，(f ，f (a )，f (a ＋1)；(2)若f (x )＝0，求x ．分析：(1)直接将自变量的值代入函数关系式计算求解；(2)已知函数值为0，建立关于自变量x 的方程，求解即可．解：(1)f (3)＝3×32－5×3＋2＝14，f()＝3×()2－5×()＋2＝8＋，f (a )＝3a 2－5a ＋2，f (a ＋1)＝3(a ＋1)2－5(a ＋1)＋2＝3a 2＋a ．(2)∵f (x )＝0，∴3x 2－5x ＋2＝0，解得x ＝1或23x =．辨误区 求函数值易出现的错误 求函数值时，注意将对应的x 的值或代数式整体代入函数关系式求解，否则容易导致错误，例如本题容易将f (a ＋1)误解为f (a )＋1，从而得出f (a ＝1)＝3a 2－5a ＋3的错误结论．【例1－4】已知函数1()1f x x =+，g (x )＝x 2＋2，则f (g (2))＝__________，g (f (2))＝__________．解析：g (2)＝22＋2＝6，f (g (2))＝f (6)＝11167=+，f (2)＝11123=+，g (f (2))＝21133g ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＋2＝199． 答案：17 199 点技巧 函数值的求法 求函数值时，首先要确定函数的对应关系f 的具体含义，然后将变量代入解析式计算，对于f (g (x ))型的求值，按“由内到外”的顺序进行，要注意f (g (x ))与g (f (x ))的区别．2．区间区间是数学中表示“连续”的数集的一种形式．设a ，b 是两个实数，而且a ＜b ．我们规定：(1)满足不等式a ≤x ≤b 的实数x 的集合叫做闭区间，表示为[a ，b ]；(2)满足不等式a ＜x ＜b 的实数x 的集合叫做开区间，表示为(a ，b )；(3)满足不等式a ≤x ＜b 或a ＜x ≤b 的实数x 的集合叫做半开半闭区间，分别表示为[a ，b )，(a ，b ]．这里的实数a 与b 都叫做相应区间的端点．其中a 叫做左端点，b 叫做右端点． 实数集R 可以用区间表示为(－∞，＋∞)，“∞”读作“无穷大”，“－∞”读作“负无穷大”，“＋∞”读作“正无穷大”．我们可以把满足x ≥a ，x ＞a ，x ≤b ，x ＜b 的实数x 的集合分别表示为[a ，＋∞)，(a ，＋∞)，(－∞，b ]，(－∞，b )．谈重点(1)区间的左端点必须小于右端点，有时我们将b－a称之为区间长度，对于只有一个元素的集合我们仍然用集合来表示，如{a}．(2)对于一个点的集合，可以在数轴上用一个实心点表示．(3)用数轴来表示区间时，要特别注意实心与空心的区别．(4)对于一个不等式的解集，我们既可以用集合形式来表示，也可以用区间形式来表示，而对于取值范围，则既可以用区间也可以用集合，还可以用不等式直接表示．(5)由于区间是集合的一种形式，因此对于集合的运算和集合中的符号仍然成立．如x [2，＋∞)，[0,6) [－1,3]＝[0,3]等．(6)区间是实数集的另一种表示方法，要注意区间表示实数集的几条原则，数集是连续的，左小，右大，开或闭不能混淆．(7)无穷大是一个符号，不是一个数．以“－∞”或“＋∞”为区间一端时，这一端必须是小括号．【例2－1】将下列集合用区间表示出来．(1){x|x≥－1}； (2){x|x＜0}；(3){x|－1＜x≤5}； (4){x|0＜x＜1，或2≤x≤4}．解：(1){x|x≥－1}＝[－1，＋∞)． (2){x|x＜0}＝(－∞，0)．(3){x|－1＜x≤5}＝(－1,5]． (4){x|0＜x＜1，或2≤x≤4}＝(0,1) [2,4]．【例2－2】已知区间[－2a,3a＋5]，求a的取值范围．解：由题意可知3a＋5＞－2a，解之得a＞－1．故a的取值范围是(－1，＋∞)．3．函数相等如果两个函数的定义域．．．相同，并且对应关系．．．．完全一致，我们就称这两个函数相等．释疑点 满足什么条件的两个函数相等 (1)由函数的定义可知，函数的三要素为：定义域、对应关系、值域．当两个函数的三要素对应相同时，这两个函数是相等的，但由于函数的值域是由定义域和对应关系决定的，因此当两个函数的定义域和对应关系相同时，它们的值域也一定相同．故只要两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，那么这两个函数就相等．(2)当两个函数的定义域和值域分别相同时，这两个函数不一定是同一函数，因为函数的定义域和值域不能唯一确定函数的对应关系，例如：函数f (x )＝x 和函数f (x )＝－x 的定义域相同，均为R ；值域也相同，均为R ，但这两个函数不是同一函数．【例3－1】下列函数与函数g (x )＝2x －1(x ＞2)相等的是( )A ．f (m )＝2m －1(m ＞2)B ．f (x )＝2x －1(x ∈R )C ．f (x )＝2x ＋1(x ＞2)D ．f (x )＝x －2(x ＜－1)解析：对于A 项，函数y ＝f (m )与y ＝g (x )的定义域与对应关系均相同，故为相等的函数；对于B 项，两函数的定义域不同，因此不是相等的函数；对于C 项，两函数的对应关系不同，因此不是相等的函数；对于D 项，两函数的定义域与对应关系都不相同，故也不是相等的函数． 答案：A【例3－2】判断下列各组中的函数f (x )与g (x )是否表示同一个函数，并说明理由．(1)f (x )＝x 2，g (x )＝(x ＋1)2； (2)f (x )＝(x －1)0，g (x )＝1；(3)f (x )＝x ，g (x ) (4)f (x )＝|x |，g (x )．分析：求出函数f (x )与g (x )的定义域，若两者定义域不同，则两函数不为同一函数；若定义域相同，分别化简f (x )与g (x )的解析式，若化简后两者解析式相同，则两函数为同一函数，否则两函数不为同一函数．解：(1)定义域相同都是R ，但是它们的解析式不同，也就是对应关系不同，故不是同一个函数．(2)函数f (x )的定义域是{x |x ≠1}，函数g (x )的定义域为R ，它们的定义域不同，故不是同一个函数．(3)定义域相同都是R ，但是f (x )＝x ，g (x )＝|x |，即它们的解析式不同，也就是对应关系不同，故不是同一函数．(4)定义域相同都是R ，解析式化简后都是y ＝|x |，即对应关系相同，那么值域必相同，这两个函数的三要素完全相同，故是同一个函数．辨误区 判断两个函数是否相等易忽略两点(1)判断两个函数是否相等的唯一依据是它的定义，即由定义域和对应关系是否相同确定，而与它们解析式中用什么符号表示自变量或函数无关，例如函数y ＝f (x )，x ∈A 与函数u ＝f (t )，t ∈A 是同一函数；(2)为了便于判断两个函数是否是同一个函数，对复杂的解析式可先化简再比较，但要注意化简前后的等价性，如f (x )＝x 2－4x －2，不能写成f (x )＝x ＋2，而应当是f (x )＝x ＋2(x ≠2)；g (x )＝x 2，不能写成g (x )＝x ，而应当是g (x )＝|x |，这是容易出错的地方，要特别重视．4．具体函数定义域的求法函数的定义域是自变量x 的取值范围，如果未加特殊说明，函数的定义域就是指使函数关系式有意义的x 的取值范围，但在实际问题中，函数的定义域还要受到实际意义的制约．(1)求具体函数定义域的原则和方法主要有：①若f (x )为整式，则其定义域为实数集R ．②若f (x )是分式，则其定义域是使分母不等于0的实数的集合．③若f (x )为偶次根式，则其定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数的集合．④若f (x )是由几个部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是使各部分都有意义的实数的集合，即交集．⑤实际问题中，定义域要受到实际意义的制约．(2)求给出解析式的函数的定义域的步骤为：①列出使函数有意义的x 所适合的式子(往往是一个不等式组)；②解这个不等式组；③把不等式组的解表示成集合(或者区间)作为函数的定义域．【例4】求下列函数的定义域：(1)y = (2)0(1)||x y x x +=-；(3)1y x=． 解：(1)因为要使函数有意义，需1010x -≥⎧⎪⎨≠⎪⎩，⇔10x x ≤⎧⎨≠⎩，⇔x ≤1且x ≠0，所以函数y =(－∞，0) (0,1]． (2)由100x x x +≠⎧⎪⎨-≠⎪⎩，，得1x x x ≠-⎧⎪⎨≠⎪⎩，，因此x ＜0且x ≠－1． 故原函数的定义域为{x |x ＜0，且x ≠－1}．(3)因为要使函数有意义，需230,20,0,x x x +≥⎧⎪->⎨⎪≠⎩解得32-≤x ＜2且x ≠0，所以函数1y x =+的定义域为3,02⎡⎫-⎪⎢⎣⎭(0,2)． 辨误区 求函数定义域时两点需注意 (1)求函数定义域的一个基本原则是解析式不能化简．例如，求函数y ＝x 2x 的定义域时，不能将y ＝x 2x化简为y ＝x ，而求得定义域为R 的错误结论；(2)函数的定义域是一个集合，必须用集合或区间表示出来．5．抽象函数的定义域的求法求抽象函数的定义域是学习中的一个难点问题，常见的题型有如下两种：①已知f(x)的定义域，求f(g(x))的定义域；②已知f(g(x))的定义域，求f(x)的定义域．下面介绍一下这两种题型的解法．(1)已知f(x)的定义域，求f(g(x))的定义域．一般地，若f(x)的定义域为[a，b]，则f(g(x))的定义域是指满足不等式a≤g(x)≤b的x的取值范围．其实质是由g(x)的取值范围，求x的取值范围．(2)已知f(g(x))的定义域，求f(x)的定义域．函数f(g(x))的定义域为[a，b]，指的是自变量x∈[a，b]．一般地，若f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域就是g(x)在区间[a，b]上的取值范围(即g(x)的值域)．其实质是由x的取值范围，求g(x)的取值范围．【例5－1】(1)已知函数f(x)的定义域为[1,2]，求函数y＝f(2x＋1)的定义域；(2)已知函数y＝f(2x＋1)的定义域为[1,2]，求函数y＝f(x)的定义域；(3)已知函数y＝f(2x＋1)的定义域为[1,2]，求函数y＝f(2x－1)的定义域．解：(1)设2x＋1＝t，由于函数y＝f(t)的定义域为[1,2]，故1≤t≤2，即1≤2x＋1≤2，解得0≤x≤12，所以函数y＝f(2x＋1)的定义域为10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦．(2)设2x＋1＝t，因为1≤x≤2，所以3≤2x＋1≤5，即3≤t≤5，函数y＝f(t)的定义域为[3,5]．由此得函数y＝f(x)的定义域为[3,5]．(3)因为函数y＝f(2x＋1)的定义域为[1,2]，即1≤x≤2，所以3≤2x＋1≤5．所以函数y＝f(x)的定义域为[3,5]．由3≤2x－1≤5，得2≤x≤3，所以函数y＝f(2x－1)的定义域为[2,3]．点技巧求抽象函数定义域有技巧(1)正确理解函数的定义域就是自变量x的取值范围；(2)运用整体的思想，在同一对应关系f下括号内的范围是一样的，即f(t)，f(g(x))，f(h(x))中的t，g(x)，h(x)的取值范围相同．【例5－2】若函数f(x)的定义域为[－2,1]，求g(x)＝f(x)＋f(－x)的定义域．分析：f(x)＋f(－x)的定义域是指当x在什么范围内取值时，才能使x，－x都在[－2,1]这个区间内，从而f(x)＋f(－x)有意义．解：由题意，得2121xx-≤≤⎧⎨-≤-≤⎩，，即－1≤x≤1．故g(x)＝f(x)＋f(－x)的定义域为[－1,1]．6．函数值域的求法(1)常见函数的定义域和值域：①一次函数f(x)＝kx＋b(k≠0)的定义域是R，值域是R．②反比例函数f (x )＝k x(k ≠0)的定义域是(－∞，0) (0，＋∞)，值域是(－∞，0) (0，＋∞)．③二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的定义域是R ．当a ＞0时，值域是⎣⎢⎡⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a ，＋∞；当a ＜0时，值域是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a ． (2)求函数值域的常用方法．①观察法：通过对解析式的简单变形和观察，利用熟知的基本函数的值域，求出函数的值域；如求函数y ＝4－x 2的值域时，由x 2≥0及4－x 2≥0知4－x 2∈[0,2]．故所求的值域为[0,2]．②配方法：若函数是二次函数形式即可化为y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)型的函数，则可通过配方后再结合二次函数的性质求值域，但要注意给定区间二次函数最值的求法．③换元法：对于一些无理函数，可通过换元把它们转化为有理函数，然后利用有理函数求值域的方法，间接地求解原函数的值域．例如形如y ＝ax ＋b ±cx ＋d 的函数，我们可令cx ＋d ＝t ，将函数y 转化为关于自变量t 的二次函数，然后利用配方法求其值域．④分离常数法：将形如y ＝cx ＋d ax ＋b (a ≠0)的函数，分离常数，变形过程为cx ＋d ax ＋b＝c a (ax ＋b )＋d －bc a ax ＋b ＝c a ＋d －bc a ax ＋b ，再结合x 的范围确定d －bc a ax ＋b的取值范围，从而确定函数的值域．(3)求函数的值域没有通用的方法和固定的模式，要靠自己在解题过程中逐渐探索和积累．除了上述常用的方法外，还有最值法、数形结合法等，应注意选择最优的解法．总之，求函数的值域关键是要重视对应关系的作用，还要特别注意定义域对值域的制约．例如，求函数y ＝2x ＋1，x ∈(－1,1]的值域．解：画出y ＝2x ＋1的图象．由图象可知y ＝2x ＋1，x ∈(－1,1]的值域为(－1,3]．【例6】求下列函数的值域．(1)y ＝2x ＋1，x ∈{1,2,3,4,5}； (2)y 1；(3)y ＝x 2－4x ＋6，x ∈[1,5)； (4)5142x y x -=+； (5)224321x x y x x -+=--； (6)y ＝x解：(1)∵x ∈{1,2,3,4,5}，∴y ∈{3,5,7,9,11}．∴所求函数的值域为{3,5,7,9,11}．(2)的取值范围求．≥0－1≥－1． ∴函数y－1的值域为[－1，＋∞)．(3)配方：y ＝x 2－4x ＋6＝(x －2)2＋2，∵x ∈[1,5)，由图所示，∴所求函数的值域为[2,11)．(4)借助反比例函数的特征求．5142x y x -=+510(42)14442x x +--=+514(42)4442x x +-=+5742(42)x =-+． ∵72(42)x +≠0， ∴y ≠54． ∴函数5142x y x -=+的值域为5,4y y y ⎧⎫∈≠⎨⎬⎩⎭R 且． (5)∵2243(1)(3)321(1)(21)21x x x x x y x x x x x -+---===---++(x ≠1)， 又∵17(21)31722212122(21)x x x x x +--==-+++，当x ＝1时，原式1322113y -==-⨯+． ∴函数224321x x y x x -+=--的值域为12,,23y y y y ⎧⎫∈≠≠-⎨⎬⎩⎭R 且且． (6)设12u x ⎫=≥⎪⎭，则212u x +=(u ≥0)， 于是y ＝212u +＋u ＝2(1)2u +(u ≥0)．∵由u ≥0，可知(u ＋1)2≥1，∴y ≥12． ∴函数y ＝x1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭． 辨误区 求函数值域易疏忽的问题 (1)求函数值域时一定要注意其定义域的影响，如函数y ＝x 2－4x ＋6的值域与函数y ＝x 2－4x ＋6，x ∈[1,5)的值域是不同的；(2)在利用换元法求函数的值域时，一定要注意换元后新元取值范围的变化，例如求函数y ＝xt =y 转化为关于自变量t 的二次函数后，自变量t 的范围是t ≥0．7．函数与集合的综合应用定义域、对应关系和值域是函数的三要素，其中定义域是本节学习的重点和难点．函数的定义域是数集，“连续”的数集常用区间表示，也可以用集合的描述法或列举法表示．因此，函数与集合的综合应用题通常是在函数的定义域与集合的表示法的交会处设置题目．解决此类综合应用问题时，要注意：(1)能够正确求出函数的定义域可以这样理解函数：把函数看成面粉加工厂，那么定义域就是这个工厂的原料——小麦，值域就是这个工厂的产品——面粉．因此，要看这个工厂加工成的面粉质量怎样，那么首先看看其所购原料(小麦)的质量如何．如果小麦质量不过关，再好的加工机加工出来的面粉质量也不过关．同样，讨论函数问题时，要遵守定义域优先的原则，如果求错了函数的定义域，那么无论后面的步骤怎样，本题就必定错了．(2)能正确解决有关集合问题如，能明确集合中的元素，会判断两个集合间的关系，能进行集合的交集、并集和补集运算，会借助于数轴或Venn 图找到解决问题的思路等等．【例7－1】在下列从集合A 到集合B 的对应关系中，不可以确定y 是x 的函数的是( )①A ＝{x |x ∈Z }，B ＝{y |y ∈Z }，对应关系f ：x →y ＝3x ；②A ＝{x |x ＞0，x ∈R }，B ＝{y |y ∈R }，对应关系f ：x →y 2＝3x ；③A ＝R ，B ＝R ，对应关系f ：x →y ＝x 2；④A ＝{(x ，y )|x ∈R ，y ∈R }，B ＝R ，对应关系f ：(x ，y )→s ＝x ＋y ．A ．①④B ．②③④C ．②③D ．①②④解析：①在对应关系f 下，A 中不能被3整除的数在B 中没有象，所以不能确定y 是x 的函数．②在对应关系f 下A 中的数在B 中有两个数与之对应，所以不能确定y 是x 的函数．③显然y 是x 的函数．④A 不是数集，所以不能确定y 是x 的函数． 答案：D【例7－2】已知函数f (x )＝-的定义域是集合A ，函数g (x )＝+的定义域是集合B ，若A B ＝B ，求实数a 的取值范围． 解：要使函数f (x )有意义，自变量x 的取值需满足1010x x ->⎧⎨+>⎩，解得－1＜x ＜1．因此A ＝{x |－1＜x ＜1}．要使函数g (x )有意义，自变量x 的取值需满足1020a x x a +->⎧⎨->⎩，，解得2a ＜x ＜1＋a ．由于函数的定义域不是空集，所以有2a ＜1＋a ，解得a ＜1． 因此B ＝{x |2a ＜x ＜1＋a }．由于A B ＝B ，则B ⊆A ，则有11211a a a +≤⎧⎪≥-⎨⎪<⎩，，，解得12-≤a ≤0． 故实数a 的取值范围是12-≤a ≤0，即a ∈1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦． 8．创新拓展题与本节内容有关的创新拓展题，一般为求值问题，但要求的式子较多，不便或不能一一求解．我们在解决这类问题时，要注意观察所要求的式子，发掘它们之间的规律，进而去化简，从而得出问题的求解方法．例如：已知f (x )＝221x x+，求f (1)＋f (2)＋12f ⎛⎫⎪⎝⎭＋f (3)＋13f ⎛⎫⎪⎝⎭＋f (4)＋14f ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值．解：根据所求式子特点，猜测f (a )＋1f a ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值应为定值，下面求f (a )＋1f a ⎛⎫⎪⎝⎭的值，f (a )＋222222211111111a a a f a a a a a⎛⎫=+=+ ⎪++⎝⎭++＝1． 于是f (2)＋12f ⎛⎫ ⎪⎝⎭＝f (3)＋13f ⎛⎫ ⎪⎝⎭＝f (4)＋14f ⎛⎫ ⎪⎝⎭＝1，f (2)＋12f ⎛⎫ ⎪⎝⎭＋f (3)＋13f ⎛⎫⎪⎝⎭＋f (4)＋14f ⎛⎫⎪⎝⎭＝3．又f (1)＝12，所以f (1)＋f (2)＋12f ⎛⎫ ⎪⎝⎭＋f (3)＋13f ⎛⎫ ⎪⎝⎭＋f (4)＋14f ⎛⎫⎪⎝⎭＝72． 【例8－1】已知a ，b ∈N *，f (a ＋b )＝f (a )·f (b )，f (1)＝2，则(2)(3)(1)(2)f f f f +＋…＋(2012)(2013)(2011)(2012)f f f f +＝__________． 解析：分子是f (x )，分母是f (x －1)，故先根据f (a ＋b )＝f (a )·f (b )，求出f (x )与f (x －1)的关系，即求出()(1)f x f x -的值，再代入求值． ∵f (a ＋b )＝f (a )·f (b )，f (1)＝2， ∴令a ＝b ＝1，得f (2)＝f (1)·f (1)＝4．∴(2)(1)f f ＝2．∴令a ＝2，b ＝1，得f (3)＝f (2)·f (1)＝8．∴(3)(2)f f ＝2． 故猜测()(1)f x f x -＝2，下面我们具体来求()(1)f x f x -的值． 令a ＝x －1，b ＝1，得f (x )＝f (x －1＋1)＝f (x －1)·f (1)＝2f (x －1)，于是()(1)f x f x -＝2(x ≥2，x ∈N *)． 故(2)(3)(1)(2)f f f f +＋…＋(2012)(2013)(2011)(2012)f f f f +＝2＋2＋…＋2＝2×2 012＝4 024． 答案：4 024【例8－2】已知函数f (x )＝221x x+． (1)求f (2)与12f ⎛⎫ ⎪⎝⎭，f (3)与13f ⎛⎫⎪⎝⎭；(2)由(1)中求得结果，你能发现f (x )与1f x ⎛⎫⎪⎝⎭有什么关系？并证明你的发现；(3)求f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 013)＋12f ⎛⎫ ⎪⎝⎭＋13f ⎛⎫ ⎪⎝⎭＋…＋12013f ⎛⎫ ⎪⎝⎭． 解：(1)∵f (x )＝221x x +，∴f (2)＝2224125=+，22111225112f ⎛⎫⎪⎛⎫⎝⎭== ⎪⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭，f (3)＝22391310=+，221113310113f ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎝⎭== ⎪⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭． (2)由(1)发现f (x )＋1f x ⎛⎫⎪⎝⎭＝1．证明如下：f (x )＋222211111x x f x x x ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎝⎭=+ ⎪+⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝222111x x x +++＝1． (3)f (1)＝2211112=+．由(2)知f (2)＋12f ⎛⎫ ⎪⎝⎭＝1，f (3)＋13f ⎛⎫ ⎪⎝⎭＝1，…，f (2 013)＋12013f ⎛⎫⎪⎝⎭＝1， ∴原式＝20121140251111 2 012222+++++=+= …个.。
函数的概念(中职数学)
函数符号
课后作业
01
教材P62，练习 A 组第 2 题 (3)；
02
练习 B 组第 2 题(3)．
新授
问题 1
一辆汽车在一段平坦的道路上以 100 km/h的速度匀速行驶 2 小 时．
1. 在这个问题中，路程、时间、 速度这三个量，哪些是常量？ 哪些是变量？
2. 如何用数学式子表示行驶的 路程 s (km)与行驶时间 t (h)之间的关系？
新授
问题 1
一辆汽车在一段平坦的道路上以100 km/h的速度 匀速行驶 2 小时．
的关系吗？
问题 2
关系式 A = r2（r＞0）表达的 是一种函数关系吗？
因变量是哪个量？自变量是哪个量？ 1. 在 A 与 r 的关系式中，r 的取值范围是什么？
新授
两个事 实
y.
A x.
f：对应法则
新授
函设数集集概合合念AA 是是一一个个非非空空的的实实数数集集，对 A 内任意实数 x，
按照某个确定的法则 f，有唯一确定的实数值 y 与它对 应，则称这种对对应应关关系系为集合 A 上的一个函数．记作 y= f (x)．其中 x 为自变量，y 为因变量．自变量 x 的取值 集叫合做函A数叫的做值函域数．的定义域．对对应应的的因因变变量量yy的的取取值值集集合合
叫做函数的值域．
新授
函数概念的图示
A
f：对应法则
x
y.
.
函数关系实质是非空数集到非空数集的对应关系．
新授
函数概念 设集合 A 是一个非空的实数集，对 A 内任意实数 x，按照某个
确定的法则 f，有唯一确定的实数值 y 与它对应，则称这种对应关 系为集合 A 上的一个函数．记作 y = f (x)．其中 x 为自变量，y 为因变量．自变量 x 的取值集合 A 叫做函数的定义域．对应的因变 量 y 的取值集合叫做函数的值域．
函数的概念-课件
3
闭包函数
闭包函数是一种自包含并能包含其它函数及变量的函数，常用于实现对象在内的数据封装。
总结
函数小结
函数是程序设计中的基本组 成部分，是具备封装性、可 重用性、可扩展性的工具。
函数的实际应用
函数可以帮助我们简化代码， 提高代码的效率和可读性。
如何提高函数使用效率
注意对封装好的函数进行合 理的参数传递，并且根据需 要合理地使用其它高级特性。
定义函数
函数的结构
函数定义由函数名、参数列 表和函数体三部分组成。
函数的参数
函数的参数决定了该函数执 行时需要传入的数据。
返回值
函数执行结束后，会返回一 个结果给调用者。
调用函数
1
什么是函数调用
函数调用是指在程序中调用一个函数来执行其中的代码。
2
函数调用的方式
一种方式是直接调用函数，另一种方式是先将函数赋值给一个变量，再通过变量 调用函数。
函数的作用域
变量作用域
变量作用域是指变量能够被访问的范围，在函数内 定义的变量只能在该函数内部访问。
命名空间
命名空间是指变量名和函数名的集合，同名函数或 变量会被视为不同命名空间的内容。
函数高级特性
1
递归函数
Hale Waihona Puke 递归函数是一种可以调用自身的函数，常用于处理复杂的问题。
2
匿名函数
匿名函数是一种没有名字的函数，可以被用来在代码中管理小型代码块。
函数的概念
函数是程序设计中的基本组成部分，是一组执行某一特定任务的语句，其具 备封装性、可重用性、可扩展性。
什么是函数？
函数的定义
函数是将一组数据作为输入，处理后返回一组数据 结果的工具。
函数的定义
对应法则： y ax
4ac b 2 y , 当a 0 4a B 2 4 ac b y , 当a 0 4a
2
bx c
x
函数的三要素：①定义域 ②值域 ③对应关系 函数的三要素作为判断两个函数是否是 同一函数的判断依据
, a (, a) _______ ( a , ) [ a , ) ( , ) 符号 _________ ______ _
判断：(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)区间表示数集，数集一定能用区间表示. ( )
(2)数集{x|x≥2}可用区间表示为［2，+∞］. ( )
1.2 函数及其表示
1.2.1 函数的概念 第一课时 函数的概念
实例1 一枚炮弹发射后，经过26s落到地面击中目标.炮弹的射高为 845m，且炮弹距地面的高度h（单位：m）随时间t（单位：s）变化的 规律是
h 130t 5t 2 .
（1）你能得出炮弹飞行1s、5s、10s、20s时距离地面多高吗？ （2）t的变化范围是多少？ （3）可以得出什么结论？
（3）设 A= Z，B= Z, f:
x . x
【解题探究】1.当已知的对应关系用图象表示时，怎样判断其是否为函数 关系？ 2.一般依据什么来说明一个对应关系是不是函数关系？
（1）是 （2）是 （3）不是
类型 二 用区间表示数集 【典型例题】 1.用区间表示数集{x|x≤2或x＞3}为____________.
【拓展提升】用区间表示数集的两个注意点 (1)弄清区间的含义，掌握一般区间形式所对应的数集. (2)注意数集中的符号“≤”“≥”“＜”及“＞”与区间中的符号 “［”“］”“(”“)”的对应关系.
函数的概念
§1.2函数及其表示1.2.1 函数的概念 知识点1 函数的概念如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就称这两个函数相等. （3）区间的表示 (1)一般区间的表示.设a ，b ∈R数轴表示(2)已知全集U ＝R ，A ＝{x |1<x ≤3}，则∁U A 用区间表示为________.题型一 函数关系的判定【例1】 (1)下列图形中，不能确定y 是x 的函数的是( )【训练1】 设M ＝{x |0≤x ≤2}，N ＝{y |0≤y ≤2}，给出下列四个图形，其中能表示从集合M 到集合N 的函数关系的有( )A.0个B.1个C.2个D.3个题型二 相等函数【例2】 (1)下列各组函数：①f (x )＝x 2－x x ，g (x )＝x －1； ②f (x )＝x x ，g (x )＝xx； ③f (x )＝（x ＋3）2，g (x )＝x ＋3；④f (x )＝x ＋1，g (x )＝x ＋x 0； ⑤汽车匀速运动时，路程与时间的函数关系f (t )＝80t (0≤t ≤5)与一次函数g (x )＝80x (0≤x ≤5).(2)试判断函数y＝x－1·x＋1与函数y＝（x＋1）（x－1）是否相等，并说明理由.规律方法判断两个函数为相等函数应注意的三点(1)定义域、对应关系两者中只要有一个不相同就不是相等函数，即使定义域与值域都相同，也不一定是相等函数.(2)函数是两个数集之间的对应关系，所以用什么字母表示自变量、因变量是没有限制的.(3)在化简解析式时，必须是等价变形.【训练2】判断以下各组函数是否表示相等函数：(1)f(x)＝(x)2；g(x)＝x2.(2)f(x)＝x2－2x－1；g(t)＝t2－2t－1.题型三求函数值【例3】已知f(x)＝11＋x(x∈R，且x≠－1)，g(x)＝x2＋2(x∈R).(1)求f(2)，g(2)的值；(2)求f(g(3))的值.规律方法求函数值的方法及关注点(1)方法：①已知f(x)的解析式时，只需用a替换解析式中的x即得f(a)的值；②求f(g(a))的值应遵循由里往外的原则.(2)关注点：用来替换解析式中x的数a必须是函数定义域内的值，否则函数无意义.【训练3】已知函数f(x)＝x＋1x＋2. (1) 求f(2)；(2) 求f(f(1)).方向1已知函数的解析式求函数的定义域【例4－1】求下列函数的定义域：(1)y＝（x＋1）2x＋1－1－x；(2)y＝5－x|x|－3.方向2 求抽象函数的定义域【例4－2】 (1)设函数f (x )＝x ，则f (x ＋1)等于什么？f (x ＋1)的定义域是什么？ (2)若函数y ＝f (x )的定义域是[0，＋∞)，那么函数y ＝f (x ＋1)的定义域是什么？【例4－3】 若函数y ＝f (x ＋1)的定义域是[1，2]，且自变量t ＝x ＋1，那么函数y ＝f (t)的定义域是什么？【例4－4】 (1)已知函数y ＝f (x )的定义域为[－2，3]，求函数y ＝f (2x －3)的定义域； (2)已知函数y ＝f (2x －3)的定义域是[－2，3]，求函数y ＝f (x ＋2)的定义域.(1)已知f (x )的定义域，求f (g (x ))的定义域：若f (x )的定义域为[a ，b ]，则f (g (x ))中a ≤g (x )≤b ，从中解得x 的取值集合即为f (g (x ))的定义域.(2)已知f (g (x ))的定义域，求f (x )的定义域：若f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，即a ≤x ≤b ，求得g (x )的取值范围，g (x )的值域即为f (x )的定义域.课堂达标1.下列图象中表示函数图象的是( )2.下列各组函数中表示相等函数的是( )A.f (x )＝x 与g (x )＝(x )2B.f (x )＝|x |与g (x )＝x (x >0)C.f (x )＝2x －1与g (x )＝2x ＋1(x ∈N *) D.f (x )＝x 2－1x －1与g (x )＝x ＋1(x ≠1)3.函数f (x )＝x －4＋1x －5的定义域是________.4.已知函数f (x )的定义域为(0，2)，则f (x －1)的定义域为________.5.已知函数f (x )＝x 2＋x －1.(1)求f (2)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ；(2)若f (x )＝5，求x 的值.1.2.2函数的表示法知识点题型一作函数的图象【例1】作出下列函数的图象：(1)y＝x＋1(x∈Z)；(2)y＝x2－2x(x∈[0，3)).解(1)这个函数的图象由一些点组成，这些点都在直线y＝x＋1上，如图(1)所示.(2)因为0≤x＜3，所以这个函数的图象是抛物线y＝x2－2x介于0≤x＜3之间的一部分，如图(2)所示. 规律方法作函数图象的步骤及注意点(1)作函数图象主要有三步：列表、描点、连线.作图象时一般应先确定函数的定义域，再在定义域内化简函数解析式，再列表画出图象.(2)函数的图象可能是平滑的曲线，也可能是一群孤立的点，画图时要注意关键点，如图象与坐标轴的交点、区间端点、二次函数的顶点等等，还要分清这些关键点是实心点还是空心点.题型二列表法表示函数【例2】已知函数f(x)，g(x)分别由右表给出则f(g(1))的值为________；满足f(g(x))>g(f(x))的x的值是________.规律方法列表法表示函数的相关问题的解法解决此类问题关键在于弄清每个表格表示的函数，对于f(g(x))这类函数值的求解，应从内到外逐层求解，而求解不等式，则可分类讨论或列表解决.【训练2】已知函数f(x)，g(x)分别由右表给出(1)f(g(3))＝__________；(2)若g(f(x))＝2，则x＝__________.题型三求函数表达式方向1待定系数法求函数解析式【例3－1】(1)已知f(x)是一次函数，且f(f(x))＝16x－25，则函数f(x)的解析式为________；(2)已知f(x)是二次函数且满足f(0)＝1，f(x＋1)－f(x)＝2x，则函数f(x)的解析式为________.方向2换元法(或配凑法)、方程组法求函数解析式【例3－2】(1)已知f(x＋1)＝x＋2x，求f(x)的解析式；(2)已知f(x)＋2f(－x)＝x2＋2x，求f(x).知识点 分段函数 分段函数的定义：(1)前提：在函数的定义域内；(2)条件：在自变量x 的不同取值范围内，有着不同的对应关系； (3)结论：这样的函数称为分段函数.【例1】 已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x ＋1，x ≤－2，3x ＋5，－2<x <2，2x －1，x ≥2，求f (－5)，f (1)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52.【变式1】例1条件不变，若f (a )＝3，求实数a 的值.【变式2】 例1的条件不变，若f (x )>2x ，求x 的取值范围.题型二 分段函数的图象及应用【例2】 (1)已知f (x )的图象如图所示，则f (x )的解析式为________.(2)已知函数f (x )＝1＋|x |－x2(－2<x ≤2). ①用分段函数的形式表示函数f (x )； ②画出函数f (x )的图象； ③写出函数f (x )的值域.【训练2】 已知f (x )＝⎩⎨⎧x 2（－1≤x ≤1），1 （x ＞1或x ＜－1）.(1)画出f (x )的图象； (2)求f (x )的值域.。
函数的概念及其表示
函数的概念及其表示(总3页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--函数的概念及其表示一、什么是函数1、函数的定义：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数（function）。
记作： y=f(x)，x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域（domain）；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域（range）．注意：1)“y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”。
2)函数符号“y=f(x)”中的f(x)表示与x对应的函数值，是一个数；而f()表示的是对应关系。
（用集合关系讲解）2、映射与函数函数的特殊的映射二、构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域1、函数是一个整体“y=f(x)，x∈A．”表示一个函数。
函数=定义域+对应关系+值域2、比喻理解：定义域f −−→值域 等价于 原材料f −−→产品 一个函数就是一个完整过程，定义域是原材料、对应关系f 是生产设备、值域是生产的产品，而我们是老板，老板刷题就是从三要素出发不断地管理匹配这个生产过程3、举例说明：21,y x x R =+∈问：定义域值域是对应关系是三、求函数定义域主要题型：偶次方被开方数为非负；分式的分母不为零；零次幂的底数不为零；对数真数大于零；指数对数的底数大于零且不等于1例题讲解：1、1()f x x x =-2、1()11f x x=+ 3、()f x = 4、2()ln(1)f x x =- 5、()f x = 四、求函数解析式1、函数的三种表达方法解析式法+图像法+列表法因此我们可以看出解析式是函数的表达方式之一，也是我们学习过程中接触最多的。
2、函数解析式求法1) 配凑法由已知条件(())()f g x F x =，可以将()F x 改写成关于()g x 的表达式，然后以x 替代()g x 例题：已知2222(1))3x f x x ++=-，求()f x 解析式 2) 待定系数法如已知函数类型（如一次函数、二次函数）可用待定系数法例题：已知()f x是一次函数，且满足3(1)()29f x f x x+-=+，求函数()f x的解析式3)换元法若已知(())f g x的解析式，可用换元法例题：已知2222(1))3xf xx++=-，求()f x解析式4)解方程组法已知关于()f x与1()fx或者()f x-与()f x的表达式，可根据条件构造出另外一个等式，组成方程组求解例题：已知()f x+21()fx=3x，则求()f x的解析式。
函数概念ppt课件
复合函数的性质
复合函数具有一些重要的性质，如单 调性、奇偶性等，这些性质可以通过 对组成复合函数的各个函数的性质进 行分析得出。
复合函数的运算规则是先计算内层函 数，再计算外层函数，依次类推，直 到所有的函数都计算完毕。
反函数的概念与运算
01
02
03
反函数的概念
反函数是指将一个函数的 输入和输出互换，得到一 个新的函数。
一次函数
形如f(x)=kx+b的函数， 其中k和b为常数且k≠0。
分式函数
形如f(x)=k/x的函数，其 中k为常数且k≠0。
对数函数
形如f(x)=log_a x的函数， 其中a为常数且a>0且a≠1
。
02 函数的性质
有界性
总结词
函数的值域在一定范围内变动，不会 无限增大或减小。
详细描述
函数的输出结果总是在一定的范围内 ，不会超出这个范围。例如，正弦函 数和余弦函数的值域都在-1到1之间。
函数的定义域和值域是函数的重要属性，它们决定了函数的作用范围和 结果范围。
函数的表示方法
解析法
用数学表达式来表示函数，是最 常用的一种表示方法。例如， f(x)=x^2表示一个函数，当x取 任意实数时，都有唯一的y值与 之对应。
表格法
通过表格的形式来表示函数，对 于一些离散的函数可以用此方法 。例如，一个离散函数的值可以
函数概念ppt课件
• 函数的基本概念 • 函数的性质 • 函数的运算 • 函数的应用 • 函数的图像
01 函数的基本概念
函数的定义
函数是数学上的一个概念，它是一种特殊的对应关系，这种对应关系使 得对于数集A中的每一个元素，通过某种法则，都可以唯一地对应到数集 B中的一个元素。
函数的概念 课件
即先求g2.
(3)f(x)＝x＋1 1的定义域为{x|x≠－1}， ∴值域是(－∞，0)∪(0，＋∞).9 分 g(x)＝x2＋2 的定义域为 R，最小值为 2.
∴值域是[2，＋∞).12 分
(5)A＝{a，b，c}，B＝{d，e，f}，对应关系如图所
示．
【解】 (1)A中的实数0在B中没有对应实数， 故不是函数； (2)对于集合A中的任意一个整数x，按照对应关 系f：x→x2，在集合B中都有唯一确定的整数x2 和它对应，故(2)是集合A到集合B的函数； (3)A中负数没有平方根，故在B中没有整数和它 们对应，故此对应不是集合A到集合B的函数；
(1)y＝xx＋＋11
2
－
1－x；
(2)y＝
5－x |x|－3 .
【解】 (1)要使函数有意义，自变量 x 的取值必须
满足
x＋1≠0 1－x≥0
，
解得 x≤1 且 x≠－1，
即函数定义域为{x|x≤1 且 x≠－1}．
(2)要使函数有意义，自变量 x 的取值必须满足
5－x≥0 |x|－3≠0
，
解得 x≤5，且 x≠±3，
(4)对于集合A中任意一个实数x，按照对应关 系f：x→y＝0，在集合B中都有唯一确定的数 0和它对应，故(4)是集合A到集合B的函数； (5)对于集合A中的元素b对应着集合B中的两 个元素，c在集合B中无对应元素，所以(5)中 的对应不是集合A到集合B的函数．
题型二 求函数的定义域
例2 求下列函数的定义域：
{x|a<x≤b} 半开半闭区间 (a，b]
(2)无穷概念及无穷区间表示
定 义
R
{x|x≥a} {x|x>a} {x|x≤a} {x|x<a}
函数的概念 课件
【解题指南】根据函数的定义域与对应关系是否相同, 对每一函数分别判断.
【解析】(1)选A.函数y=-x的定义域为R,值域为R.
选项A中,y=-3 x3=-x,且定义域为R,值域为R, 所以与y=-x是同一函数.
选项B中,y=x x =1-x(x≠1),与y=-x的定义域不同,所
x 1
以与y=-x不是同一函数.
函数的概念
主题1 函数的概念
根据下面的题目,回答有关问题:
某物体从高度为44.1 m的空中自由下落,物体下落的
距离s与所用时间t的平方成正比,这个规律用数学式子 可以描述为s= 1 gt2,其中g=9.8 m/s2.
2
1.时间t和物体下落的距离s所满足的条件用集合如何
表示? 提示:由44.1= 1×9.8t2⇒t=3,用A表示时间t的取值构
1 1 x
1 1 x 0, x 0,
【解析】要使此函数有意义,则
1 x 0,
得 x 1,
即x≤1且x≠0且x≠-1,
x 1 0,
x 1，
所以.本例中条件不变,计算f(a-1)的值. 【解析】因为函数的定义域为{x|x≤1且x≠0}, 故a-1≤1且a-1≠0,所以a≤2且a≠1, 此时f(a-1)= a 11 (a≤a2且a≠1).
1 1a 1 1 2a
类型三 函数相等的判断 【典例3】(1)(大连高一检测)下列函数与 y=-x是同一函数的是 ( )
A.y 3 x3 B.y x x 1
x 1 C.y x2 D.y x x
(2)(贵州高一检测)与函数y= 2x3 为同一函数的是 ( )
A.y x 2xB.y x 2x C.y 2x3 D.y x2 2
2
通过对应值表你发现了什么? 提示:对于集合A={t|0≤t≤3}中的任一个元素,按照对 应关系f,在集合B={s|0≤s≤44.1}中都有唯一元素和它 对应.
函数的概念及其表示法
时，有x=f^(-1)(y)，则称x=f^(-1)(y)为y=f(x)的反函数。
性质
02
原函数和反函数在相应的区间上单调性相同。
求导法则
03
原函数的导数等于反函数的导数的倒数。
05 函数的实际应用
一次函数的应用
01
02
03
线性回归分析
一次函数是线性回归分析 的基础，通过拟合数据点， 可以预测因变量的变化趋 势。
函数的概念及其表示法
目录
• 函数的基本概念 • 函数的表示法 • 函数的定义域和值域 • 函数的运算 • 函数的实际应用
01 函数的基本概念
函数的定义
01
函数是一种特殊的对应关系，它 使得集合A中的每一个元素都能通 过某种法则对应到集合B中的唯一 一个元素。
02
函数通常用大写字母表示，如f(x)， g(x)等，其中x是自变量，f(x)是因 变量。
初等函数
由代数函数和三角函数经过有限次四则运算 得到的函数。
三角函数
与三角学相关的函数，如正弦函数、余弦函 数等。
超越函数
不能表示为有限次四则运算的初等函数的函 数，如自然对数函数、正切函数等。
02 函数的表示法
解析法
解析法
使用数学表达式来表示函数，如 $f(x) = x^2 + 2x + 1$。解析法 精确地描述了函数与自变量之间的数学关系，适用于需要精确计算 的情况。
表格法
01 02
表格法
列出自变量和因变量的若干组对应数值，以表格的形式表示函数。适用 于已知部分函数值的情况，可以通过插值或拟合的方法确定其他点的函 数值。
优点
简单、直观，能够提供一定程度的近似值。
函数的基本概念
解 y u3 , u arcsinv , v w , w 1 x 2 ;
3.初等函数 由基本初等函数 经过有限次四则运算以及有限次复合 运算 所构成，并能用一个解析式表示的 函数 , 称为 初等函数。
如： y x2
1 sin x 1 cos x 4 tan x log3 x ,
y
解
。
。 3
2
。 1
o。.
。 12
。 34
5x
4 ．函数的有界性 设函数 y f ( x) 的定义域为D , 区间I D
如果存在一个正数M , 使得对于任意x I , 都 有| f ( x) | M , 则称函数 f ( x) 在I 上有界 , 也称 f ( x) 是 I 上的有界函数 . 否则, 称函数 f ( x)在 I 上 为无界函数。
解 s( x) 2x 1
1 x2 2 x3
5
3 x4
x1
4 x5
6
x5
3. 将一块半径为R、圆心角为 的扇形铁片做成一个
圆锥形容器。试将容器的容积V表示为 的函数.
解 如图所示：
） R
R h
l R
r
而l 2r （圆锥底圆周长）
l
2r
R
r
R 2
h
R2 r2
R2
2R2 4 2
R
4 2 2 2
的关系是：
y
6
0 x3
6 ( x 3) 1.2 3 x
注意：分段函数是一个函数 ，而不是几个函数。
练习
1.设函数y f ( x)的定义域为[0,1],求下列函数的定义域：
(1) f (sin x) ;
解 由 0 sin x 1 0 x 2k x 2k
函数的概念
恒等函数与特征函数
• X上的相等关系也是X到自身的函数关系, 称为X上的恒等函数,记为1X,即 x(xX1X(x)=x) • 1X是双射函数. • 令U为全集合,AU.集A的特征函数 A:U{0,1}定义为:
1 A ( x ) 0
若 x A 若 x A
特征函数的性质
集合X上等价关系R商集上的规范映射
• 定义:对X上等价关系R,函数 g:XX/R,g(x)=[x]R (即x的象是它关于的R等价类)称X为到商集X/R 的规范映射. • 性质:①规范映射g恒为满射; ②规范映射g为单射x(xX|[x]R|=1); ③规范映射g为双射g为单射.
• 定义: f0 = 1X; f1 = f; f2 = f(f); … fk+1 = f(fk); … • 性质: ① f 有任意次幂; ② 取论述域为X上所有函数的集合:XX,则 f(f为满(单,双)射k(kNfk为满 (单,双)射)).
4.2#1 下列函数是否满,单,双射?
(d) f:NNN,f(m,n)=mn 解: 0N,f(0,0)=00 没有意义,故f不是函数. (e) f:RR+ =(0,+),f(x)=3x 解: 因3x 是由x决定的唯一正数,故f是函数(指 数函数).可证f是双射.它为单射的理由是: xx’(f(x)=f(x’)x=x’)(∵3x=3x’=y x=x’=log3 y); f是满射的理由是: y(yR+x(xR∧f(x)=y)) (∵x=log3 y满足f(x)=y)
X
x f f~ y
Y
双射函数f:XY的逆关系f~所唯一确定的 双射函数称为f的逆函数,记为:f-1:YX.
• 由关系求逆的对合性推出函数求逆的对 合性: (f-1)-1 = f. • f为可逆函数 f-1为可逆函数. • f-1(f)=1X; f(f-1)=1Y; 特别地,对X上任 意可逆函数都有 f-1(f)=f(f-1)=1X 证: xX,f(x)=yY, f-1(y)=x, f-1(f(x))= f-1(y)=x=1X(x) f-1(f)=1X
函数的概念及其表示
1．已知 f(x)＝π(x∈R)，则 f(π2)等于( ) (A)π2 (B)π (C) π (D)不确定
1．如图，可表示函数 y＝f(x)的图象的只可能是( )
2.设集合 M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，那么下面的 4 个图形中， 能表示集合 M 到集合 N 的函数关系的有( )
2.已知 f ( x 1) x 2 x ，求 f (x)
3.若
f
(x)
满足
f
(x)
2
f
(1) x
ax,
求
f
(x)
4.已知函数 f(x2－3)＝lgx2x－2 3，求 f(x)的解析式．
1.设 M 是由满足下列性质的函数 f(x)构成的集合：在定义 域内存在 x0，使得 f(x0＋1)＝f(x0)＋f(1)成立．已知下列函 数：①f(x)＝1x；②f(x)＝2x；③f(x)＝lg(x2＋2)；④f(x)＝cos πx.其中属于集合 M 的函数是________．
第1节 函数的基本概念(一)
1．函数的基本概念
(1)函数的定义：设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对 应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一 确定的数f(x)和它对应，那么称f：A→B为从集合A到集合B的一 个函数，记作y＝f(x)，x∈A.其中，x叫做自变量，x的取值范围A 叫做函数的定义域．
f(x)≤1 的解集为( )
(A)(－∞，－3]∪[－1，＋∞) (B)[－3，－1]
(C)[－3，－1]∪(0，＋∞) (D)[－3，＋∞)
.求函数的解析式
变【式例、5】根1据. 已条知件f求( 下x列 1各) ＝函x数＋的2，解求析f(x式)的：解析式．
第一节 函数的概念
例如U 1,1.5 = x 0 < x - 1 <1.5
o
表示以点x0 = 1为中心， 以 =1.5为半径的邻域， 即 -0.5,1 1, 2.5
三、函数
• 引例1：圆的面积A与其半径r之间的相互关 系为： A = r 2 ，当r在（0，+∞）内任 意取定一个数值时，就可由上式确定圆面积 A的对应数值。 • 引例2：某商品的销售单价为k元，销售数 量x与销售收入R之间的相互关系为：R=kx， 当x在自然数集1,2,3，…中任意取定一个 数值时，就可由上式确定销售收入R的对应 数值。
二、区间与集合
•集合与集合的元素 集合是指具有某种特定性质的事物的总体. 集合可 用大写的字母A, B, C, D 等表示. 组成集合的事物称为集合的元素. 集合的元素可用 小写的字母a, b, c, d 等表示. a是集合M的元素记为aM, 读作a属于M. a不是集合M的元素记为aM, 读作a不属于M. •集合的表示 A={a, b, c, d, e, f, g}是用列举法表示的. M={(x, y)|x, y为实数, x2+y2=1}是用描述法表示的.
三、 函数
• 引例3：某百货商店记录了毛线历年来的月销售量 （单位：百公斤），并将近10年来的平均月销售 量列成下表。
月份t 平均月 销售量s 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
81 84 45 49 9 5 6 17 94 161 144 123
• 该表表示了该商店毛线的销售量与月份之间的相 互关系，且当t在1,2,3，…，12中任意确定一个 数值时，从表中就可确定一个平均月销售量s的对 应数值。
•几个数集 所有自然数构成的集合记为N, 称为自然数集. 所有实数构成的集合记为R, 称为实数集.
函数的概念 图文
解：（1）使
1 有意义，就是
x- x
x-
x
0
，即使分
数有意义的集合是{x︱x<0}，所以这个函数的定义
域就是{x︱x<0}.
(2)使根式 x + 2 有意义的实数的集合是{x︱x≥-2}，使 分式 1成立的实数的集合是{x︱x≠10}.所以，这个
使学生感受到学习函数的必要性和重要性，激发 学习的积极性.
教学重难点
重点
理解函数的模型化思想，用集合与对应的语言 来刻画函数.
难点
符号“y=f(x)”的含义，函数定义域和值域的 区间表示.
观察实例：
1.一枚炮弹发射后，经过26s落到地面击中目标， 炮弹的射高为845m，且炮弹距离地面的高度h（单位：
高考链接
1.（2007 江西）函数f(x)= lg 1 x 的定义 x4
域为（ A ）
A.（1，4）
B. [1,4)
C. (-∞,1)∪（4，+ ∞） D. (-∞,1] ∪（4，+∞）
解析：由
1 x
x 4
>0可得
1<x<4
2.（2009 福建）下列函数中，与函数 y= 1
有相同定义域的是 （ A ）
新课导入
初中时的函数定义：
设在一个变化过程中有两个变量x与y，如果对 于x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，那么就 说y是x的函数，x叫做自变量．
初中学过的函数： 一次函数 二次函数 反比例函数
y = ax + b(a 0) y = ax2 + bx + c(a 0) y = k (k 0)
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第1课时 函数的概念
1
思考？
1.初中学习的函数概念是什么？ 设在一个变化过程中有两个变量x与y，如
果对于x的每一个值，y都有唯一确定的值与它 对应，则称x是自变量，y是x的函数.
（从运动变化的观点出发）
2
观察下列三个实例有什么不同点和共同点？
1.炮弹的射高与时间的变化关系问题
提升总结： 两个函数相等：当且仅当它们的定义域和对应关系完全 一致，而与表示自变量和函数值的字母无关.
13
例2 下列函数中哪个与函数y=x相等( B )
A.y ( x )2
C. y x2
B. y 3 x3
D. y x2 x
关注函数的三 要素
如果两个函数定义域相同，并且对应关系完全一致，我
们就称这两个函数相等（或为同一函数）
18
青春是有限的，智慧是无穷的，趁短暂的 青春，学习无穷的智慧。
19
10
例1：以下五个对应是否是函数？为什么？
1.乘22.平方来自3.f(x)=11
2
1
1 1
1
2
-1 4
2 4
2
3
6
2
3
3
A
-2 B
4 B
B
A
A
4.平方根
5.求绝对值
1 1
-1
1 1
-1
2 4
-2 A
B
2
2 3
A
B
11
例1 已知函数 f (x) x 3 1
x2
(1)求函数的定义域；（2）求 f (3), f (2) 的值.
一枚炮弹发射后,经过26s落到地面击中目标, 炮弹射高为845m,且炮弹距地面高度h(单位:m) 随时间t(单位:s)变化的规律为:h=130t-5t2.
请思考：（1）时间t的变化范围是多少？高度h的
变化范围是多少？
（2）问题“100s所对应的高度是多少”有无意义？
（3）你认为如何描述才能真实反映炮弹的发射过
（3）f (x) x2;g(x)
4
x 不是，定义域不同
（4）f (x) x; f (x) x 2
不是，对应关系不同
16
3.求下列函数的定义域
1 f x 5 - x ;2 f x x -1 2 - x.
x -3
解析：1要使函数f x 5 - x 有意义,只须使
x -3
5x--x300, .
共同点
（1）都有两个非空数集A,B； （2）两个数集之间都有一种确定的对应关系 f.
对于数集A中的任意一个数，在数集B中都有唯 一确定的数和它对应。
f :AB
不同点
集合的一一对应
对应关系不同：解析式、曲线、表格。
9
探究1：函数能否看做两个集合之间的一种对应呢？ 如果能，怎样给函数重新下个定义呢？
设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f， 使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定 的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B 的一个函数，记作y=f(x)，x∈A. 其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域； 与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合 {f(x)|x∈A}叫做函数的值域.
3
(3）当a 0 时，求 f (a), f (a 1) 的值
分析：函数的定义域通常由问题的实际背景确定，如前面 所述的三个实例.如果只给出解析式y=f(x)，而没有指明 它的定义域，那么函数的定义域就是指能使这个式子有意 义的实数的集合.
12
探究点2 相等函数
y=x与
x2 y
是同一函数吗？
x
解：不是，定义域不同
14
1.下列图象中不能作为函数的是( B ).
y
y
y
y
Ox O
x
O
x
（A）
（B）
（C）
任意的x∈A，存在唯一的y∈B与之对应
O
x
（D）
15
2.下列两个函数是否表示同一个函数？
（1）f (x) x ;g(t) t2 是
（2）f (x) x2 4 ;g(x) x 2 不是，定义域不同 x2
时间（年） 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001
城镇居民恩
格尔系数
53.8 52.9 50.1 49.9 49.9 48.6 46.4 44.5 41.9 39.2 37.9
（﹪）
6
请思考：（1）这个表格中，时间t的变化范 围是多少？恩格尔系数的变化范围是多少？
x x
5 .
3
函数定义域为x | x 5,且x 3.
2 要使函数f(x)
x -1
2
-
x有意义，只须使
x 2
-1 0 ,
-x0
解得1 x 2.
函数的定义域为x 1 x 2 .
17
1.回顾本节课你有什么收获？ 定义
函数
核心概念 2.习题1.2 A组 1,2
三要素
判断同 一函数 的方法
4
么做？
3.“八五”计划以来我国城镇居民的恩格尔系数 与时间的变化关系问题.
国际上常用恩格尔系数反映一个国家人民生活质量的 高低,恩格尔系数越低,生活质量越高.如下表所示: “八 五”计划以来我国城镇居民的恩格尔系数情况. (恩格尔系数=食物支出金额/总支出金额) 表1-1 “八五”计划以来我国城镇居民恩格尔系数变化情况
（2）由这个表格，能判断恩格尔系数是不 是年份的函数？你能说清楚到底是怎么对 应的吗？
（3）由这个表格能得到“2002年所对应的 恩格尔系数是多少”吗？
（4）这是一个函数，有解析式吗？如果让 你表示出这个函数，你会怎么做？
8
三个实例都是从集合与对应语言来描述函数，这三个 实例中集合体现在哪里，它们有什么共同点和不同点？
程？
3
2.南极臭氧层空洞面积与时间的变化关系问题
近几十年来,大气层中的臭氧迅速减少,因而出现了 臭氧层空洞问题.如下图中的曲线显示了南极上空臭氧层 空洞的面积从1979～2001年的变化情况.
请思考：（1）时间t的变化范围是 多少？空洞面积s的变化范围是多少？ （2）s是t的函数吗？为什么？ （3）从所给的图中能回答“2002 年所对应的臭氧层空洞面积是多少” 吗？ （4）这是一个函数，有解析式吗？ 如果让你表示出这个函数，你会怎