《保险精算学年金》PPT课件

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n8
II 推导法
由（3-1）与（3-2）知：
S (1i)na (1i)n (1vn) (1i)n 1
n
n
i
i
S (1i)na (1i)n (1vn) (1i)n 1
n
n
d
d
III 两者的关系
S S v o r S ( 1 i) S
nn
n
n
利用前述两种理解与证明的方法
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9
例子
Ex2.8某人从银行贷款20万元用于购房，规定的还 款期是30年假设贷款利率为5%，如果从贷款第2 年开始每年等额还款，求每年需要换款数额是多 少？
2.2 年金
在本节中，首先给出年金的定义， 然后主要介绍各种年金的表示方式
和计算方法。
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1
2.2.1 等额确定年金的现值和终值
年金是收付款的一种方式，是指相隔一个相等的时间间隔 进行的一系列固定数额收付款方式。
分类：
1 根据固定数额是否变化
等额年金 变额年金
期首年金 2 根据付款时间 期末年金
定期年金 3 根据付款时期的长度 永久年金
推导法
I 直接法
S 1(1i)...(1i)n11(1i)n (1i)n1
n
1(1i)
i
S (1i)...(1i)n(1i)n1(1i)n1
n
iv
d
如 果 期 末 年 金 每 次 的 收 付 额 为 R , 则 终 值 为 R S . n
如 果 期 首 年 金 每 次 的 收 付 额 为 R , 则 现 值 为 R S .
两者的关系 a a (1i)
考虑：每年收付款次数为m次，期首支付，每次收付款额为1的永久 m
年金，
a(m)
1
1
1
vm
1
2
vm
....
mm m
1 m
1
1
1vm
1
1
m[1(1d)m]
hd1(m)
14
a(m)
1
1
vm
1
2
vm
....
m
m
1
1 m
vm
1
1
1
1 i(m)
1vm m[(1i)m 1]
a(m) n
Ex2.11某人贷款50000元购买汽车，从贷款 第9个月开始用5年的时间每月还款，利率 为6%，求每月的还款额。
同时，还可以按照公式的办法得到上面的结 果。
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11
a n m 1 d m v n ,a n m 1 i m v n ,s n m 1 d im n 1 ,s n m 1 ii m n 1
n
i(Ia ) 1 v v2 ... vn 1 n vn a n vn, (Ia )a n n vn
n
hn
n
i
18
同理，可以得到
a n v n
S n S n
(Ia )n ,(IS )n ,(IS )n
n
d
ni
nd
II n年定期递减年金
(Da)
nv(n1)v2 ...vn,(Da)
na
n
n
n
i
同理，
1vn im
a(m) n
1vn dm
S(m) n
(1i)n im
1
S(m) n
(1i)n dm
1
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15
例子
Ex2.12若存入银行10万元建立一项永续奖励 基金，从存款后1年开始支取年金,设利率为 4%，求每年可以提取的最大数额。
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16
2.2.3 变额年金
等比变化与等差变化，我们主要研究等差变化年金。
n
1v 1i11 i
1i
如 果 年 金 每 次 的 收 付 额 为 R ,则 现 值 为 R a .
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n
4
1
1
1
。。。
1
1
10
1
2
3
。。。
n-1
v
v2
v n1
a1vv2...vn11vn1vn
n
1v d
金额 年份 n
如 果 年 金 每 次 的 收 付 额 为 R ,则 现 值 为 R a .
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n
5
两种年金的关系
a 1a
n
n1
ava or aa(1i)
n
n
nn
两种解释： 理论推导 实际意义的分析
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6
确定年金终值是一系列等额收付款在最后期的本息之和。 表示符号：
S n
：在复利率i下每年末1单位元，收付期为n年的年金
终值。
S ：在复利率i下每年首1单位元，收付期为n年的年金
n 终值。
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7
直接法 终值的计算方法：
利用上述公式，我们计算ex2.10,2.11
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12
2.2.2 永续年金（永久年金）
所谓永久年金是指每年收付款1单位元，而收付款的时间为永久 的无确定期限。
表示符号：
a
a (m )
a
a (m )
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13
a 1vv2 .... 1 1
1v d
a vv2 v3 .... v 1
1v i
例子：养老保险金（与生命有关）
分期付款购买房子（与h 生命无关）
2
表示符号：
a n
：在复利率i下每年末1单位元，收付期为n年，在初
始时刻的现值。
a ：在复利率i下每年首1单位元，收付期为n年，在初
n 始时刻的现值。
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3
1
1
1
。。。
1
1 金额
0
v v2 vn
1
2
3
。。。
年份
n-1
n
avv2...vnv1vn1 1vn 1vn
Ex2.14 某年金第一年收付200元，以后每隔一年均比前一年 增收100元，增加到一次收付1000元时不再增加，并保持每年 1000元的水平连续收付，年利率为8%，给出这一年金现值的 计算表达式。
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20
第3章 生命表
生命表是研究人口死亡规律的有力工具， 它用表格的形式简单清楚地表述了同时 出生的一组人以怎样的死亡率陆续死亡
的全部过程。
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本章主要内容
Ia n
Ia n
Da n
Da n
Ia
Ia
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17
I n年定期递增年金
1
2
3
。。。。
n-1 n 金额
01
2
3
。。。。
n-1 n 年份
v 2v2 (n 1)v n1 nvn
(Ia ) v 2 v2 ... n vn,(1 v)(Ia ) iv(Ia ) v v2 ... vn n vn 1
n
Baidu Nhomakorabea
n
n(1i)a
(Da)
n
n
i
(DS)
(1i)n(Da)
n(1i)n S
n ,(DS)
n(1i)n1S
n
n
n
ih
n
i
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III 永久递增年金
1
1
同学们自己分析，得出结论：
(Ia) ,(Ia) id d2
例子：
Ex2.13 某年金在第一年首收付100元，以后每隔一年均比前 一年增收100元，若年利率为8%，（1）计算收付8年后年金 现值与终值；（2）计算永久年金的现值。
Ex2.9某人在30岁时计划每年初存入银行300元建立 个人帐户，假设他在60岁退休，存款年利率假设 恒定为3%。（1）求退休时个人帐户的累积额； （2）如果个人帐户累积额在退休后以固定年金的 方式在20年内每年领取一次，求每年可以领取的 数额。
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10
例子
Ex2.10在上例中，如果退休后个人帐户累积 额以固定年金的方式在20年内每月领取一 次，求每月领取的数额。