第三章 弹性体的振动

第三章 弹性体的振动§3.1 弦的振动3.1.1 用动力学基本定律建立弦振动基本方程在前二章里，对弹性体动力学的一般规律、基本原理和基本方程作了介绍。

但不同的弹性体有其本身的力学特性，采用不同的简化假设，建立的基本方程是不相同的。

因而，它们的解法也不完全一样。

除了共同的动力学特性外，还有一些独特的特性，必须分别加以讨论。

弹性体按其构型可分为：（1）一维构型，它的截面尺寸比长度小得多。

它有两类，一类是弦、杆、轴；一类是各种梁。

（2）二维构型，它的厚度比其它尺寸小得多。

它有膜、平面应力板、弯曲板与壳等。

（3）三维构型，三向尺寸相当。

它是各类实体结构。

最简单的弹性体动力学问题是弦的横向振动（图3.1）。

受常张力作用的弦是一种一维弹性体。

从弦上取出一个微分长度来分析，当它发生横向位移，由于张力作用产生有恢复力，它等于x T dx ),(t x w e df dx xw T df xe 22∂∂=（3.1）图3.1 弦的横向振动设弦的长度密度为，则在振动时的惯性力是m dx t w mdf y 22∂∂−= （3.2）·1·根据动力学的基本定律，弦横向振动的基本方程是02222=+∂∂−∂∂f t w mx w T x（3.3）其中是作用在弦上的横向分布载荷。

),(t x f3.1.2 用能量变分原理建立弦振动基本方程弦横向振动有三种能量： （1）弦的位能i U dx xw x w T U x Li ∂∂∂∂=∫210（3.4）（2）弦的动能Tdx tw t w m T L∂∂∂∂=∫210（3.5）（3）弦的外力功e W LLLxLe w fwdx w xw T fwdx W 0000||τ+=∂∂+=∫∫（3.6）其中τ=∂∂xwT x是张力的垂直分量。

弦的哈密尔登作用量为 dt W U T L e i t)(0+−=∫由哈密尔登作用量原理给出0}|]2121[{00=++∂∂∂∂−∂∂∂∂=∫∫∫dt w dx fw xw x w T t w t w mLdt Lx Lt t τδδ （3.7）上式给出能量泛函的极值条件。

经过变分运算可推出基本方程和自然边界条件。

动能作用量的变分等于dx w twmwdx t w mdxdt xwt w m t tL t L}|{)(0220000δδδ∂∂+∂∂−=∂∂∂∂∫∫∫∫ 和位能作用量的变分等于dt w tw T wdx x w T dxdt xwx w T LxxLtx t L}|{020000δδ∂∂+∂∂−=∂∂∂∂∫∫∫∫ 于是，代入哈密尔顿作用量变分原理得||)(}{0000222200=∂∂+∂∂−++∂∂−∂∂∫∫∫∫dx w tw m dt w x w T wdxdt f t w m x w T t L Lx t x t Lδδτδ（3.8）·2·最后，推出弦振动方程是02222=+∂∂−∂∂f t w mx w T x（3.9）自然边界条件（0=x 和L x =）0=∂∂−xwT xτ （3.10）自然时端条件（和）0=t t t =0=∂∂tw（3.11）它给出了弦振动方程的完整结果。

弦振动的一个基本问题是的情况下的自由振动，将给出弦振动的基本特性。

另一个基本问题是0=f 0≠f 的情况下的强迫振动，给出各类激励下的弦振动。

下面来讨论它们的解法。

3.1.3 弦振动方程的基本解法之一：分离变量法均匀弦自由振动（）的基本方程是一个双曲线性型的齐次偏微分方程0=f 02222=∂∂−∂∂t w mx w T x（3.12）它的最基本的解法是分离变量法，见1.6.3(1)。

方程的解可以表示为)()(),(t T x X t x w =（3.13）将式（3.13）代入基本方程（3.12），得22222)(1)(1k t T t T T m x X x X x −=∂∂=∂∂ 这里m 和T x 取常值，方程左、右两端分别各为x 和t 的函数。

由于等式成立，它们只能等于常数值，设为－k 2。

由此给出两个常微分方程0)(222=+∂∂x X k x X（3.14）0)(222=+∂∂t T mT k t T x（3.15）设xxT mk mT k 2222ωω==或（3.16）则得方程的解为：·3·（1）时间域内的解T （t ）。

由方程（3.15）给出它的基本解为t b t a t T ωωcos sin )(+=（3.17）说明弦的自由振动是以频率ω的简谐振动为其基本解，其中a 和b 是积分常数，由初始条件决定。

（2）空间域内的解X （x ）。

由齐次方程（3.14）给出它的通解为jkx jkx e C e C x X −+=21)(（3.18）其中1−=j ，C 1和C 2是积分常数，由它的定解条件，即边界条件决定。

以两端固定的弦为例，其齐次边界条件是,0)0(=X 0)(=L X（3.19）这类问题构成为一个特征值问题。

它只是在k 2取某些值时，才存在有非零解，这时的k 2值称为特征值，对应的解X (x )称为特征函数。

将边界条件（3.19）式代入通解（3.18），得)(0)0(2121=+==+=−jkL jkL e C e C L X C C X非零解的存在条件是它的系数行列式为零，得特征方程0sin 2==−−kL e e jkL jkL（3.20）则解得特征值为Ln k n π=（3.21）和相应的特征函数为)sin()(Lxn x X n π= （3.22）其中n 为正整数，n =1，2，…，表示振动各阶模态的阶数。

由此给出，弦振动特性是：（1）弦的第n 阶模态的振动频率。

它是mT L n xn πω=（3.23）最低阶频率为（n =1）mT L xπω=1（3.24）它与弦长L 和弦长度密度m 的平方根成反比，与弦张力T x 的平方根成正比。

（2）弦的振型函数。

它是)sin()(Lxn x X n π= （3.25）·4·呈正弦波形状，一阶振型为半个正弦波。

它给出了弦的振动形态，但并不具体地确定振动幅值的大小，故称之为振动模态。

（3）弦的自由振动。

它由（3.13）式给出的解是)sin()cos sin ()()(Lxn t b t a t T x X w n n n n n n n πωω+== 于是，它的通解为)sin()cos sin (),(1Lxn t b t a t x w n n n n n πωω+=∑∞= （3.26）其中积分常数a n 、b n 由初始条件确定。

设初始条件是)()0,(,)()0,(x tx w x x w ψϕ=∂∂= 一般情况下，弦的自由振动可由各阶模态的迭加给出。

（4）弦振动的能量E 是它的位能U i 和动能T 的和。

第n 阶模态的能量为L m b a dx t w t w m dx xw x w T E n n n n n Ln n x Ln 2220)(412121ω+=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∫∫ （3.27） 能量E n 与其长度L 、密度m 和频率平方成正比，还与模态振幅的平方成正比。

2n ω（5）综上所述，弦的振动频率和振动模态（振型函数）X n ωn 决定了弦振动的特性，称之为模态特性。

有关振动模态理论的深入分析将在后面的章节里专门讨论。

从波动观点来看，弦以某阶模态振动时显示为一种稳定的振动形态称之为驻波。

它有固定不动的节点和始终保持为极大的波幅。

从声学观点来看，弦振动的频率决定声调，振幅决定声强。

一般弦的振动是各阶模态的综合。

它的最低阶频率（基频）给出最低音，称为基音。

同时有倍频给出的泛音，决定了音质。

3.1.4 弦振动方程的基本解法之二：波传播法弦振动方程的另一基本解法是波传播法，见1.6.3(3)。

将弦振动方程（3.12）改写为0222022=∂∂−∂∂x w c t w（3.28）这是一维波动方程，其中c 0是波的传播速度mT c x=20 （3.29）引入新变量t c x t c x 00,−=+=ηξ（3.30）则方程（3.28）变换为·5·02=∂∂∂ηξw它的一般解为)()()()(020121t c x f t c x f f f w −++===ηξ（3.31）解（3.31）必须满足初始条件)()0,(,)()0,(x tx w x x w ψϕ=∂∂= （3.32）和边界条件)(),(,)(),0(21t t L w t t w μμ==（3.33）根据初始条件（3.32），得da a c t c x t c x t x w tc x t c x )(21)]()([21),(0000ψϕϕ∫+−+−++=设da a c a Ψ)(1)(0ψ∫=（3.34）则)]()([21)]()([21),(0000t c x Ψt c x Ψt c x t c x t x w −−++−++=ϕϕ（3.35）它还必须满足边界条件（3.33）。

弦的波动特性分析如下：（1）对于无限长的弦。

它不需考虑边界条件，可由一般解（3.35）给出，初始位移和初始速度形成分别向正向和负向传播的波，它的波速等于c 0，构成为行波。

（2）对于半无限长的弦（x ≥0）。

若一端固定w （0，t ）=0，可将初始条件奇延拓为无限长情况。

若一端自由0),0(=dtt dw ，可将初始条件偶延拓为无限长情况。

这种假想的延拓反映了边界上波的以射。

对于固定端的反射则是当波向负向传播到固定端后变更符号以同样速度向正向传播。

（3）对于有限长的弦（0≤x ≤L ）。

若是两端固定的弦w （0，t ）= w （L ，t ）=0，则将初始条件延拓为对x =0和x =L 都是奇函数，即)2()(,)()()2()(,)()(x L x x x x L x x x −−=−−=−−=−−=ψψψψϕϕϕϕ这就是说，将初始条件以原点为奇函数作2L 为周期的周期延拓到无限长弦上。

于是，形成波的来回反射，弦产生周期运动。

弦的振动周期是2c LT =（3.36）·6·和弦的振动频率是Lc 0πω=（3.37）弦的振动形态是由波往复反射迭加趋于稳态而形成的。

（4）对于零初始条件，受到边界扰动w (0,t )=μ(t )的弦。

若是半无限长的弦，它的解为)(),(0c x t t x w −=μ 这里当t <0时，μ(t )=0。

它使端点的扰动以波的形式传播出去。

（5）弦传播的波是在正、负向传播过程中保持着自己的形状不变，不失真地进行传播，不发生波的弥散现象。

3.1.5 弦振动方程的基本解法之三：拉氏变换法弹性体振动是在时空域内发生，在时间域作拉氏变换可转换为空间域问题。