第三章 弹性体的振动

第三章 弹性体的振动

§3.1 弦的振动

3.1.1 用动力学基本定律建立弦振动基本方程

在前二章里，对弹性体动力学的一般规律、基本原理和基本方程作了介绍。但不同的弹性体有其本身的力学特性，采用不同的简化假设，建立的基本方程是不相同的。因而，它们的解法也不完全一样。除了共同的动力学特性外，还有一些独特的特性，必须分别加以讨论。

弹性体按其构型可分为：

（1）一维构型，它的截面尺寸比长度小得多。它有两类，一类是弦、杆、轴；一类是各种梁。

（2）二维构型，它的厚度比其它尺寸小得多。它有膜、平面应力板、弯曲板与壳等。 （3）三维构型，三向尺寸相当。它是各类实体结构。

最简单的弹性体动力学问题是弦的横向振动（图3.1）。受常张力作用的弦是一种一维弹性体。从弦上取出一个微分长度来分析，当它发生横向位移，由于张力作用产生有恢复力，它等于

x T dx ),(t x w e df dx x

w T df x

e 2

2∂∂=

（3.1）

图3.1 弦的横向振动

设弦的长度密度为，则在振动时的惯性力是

m dx t w m

df y 2

2∂∂−= （3.2）

·1·

根据动力学的基本定律，弦横向振动的基本方程是

02

22

2=+∂∂−∂∂f t w m

x w T x

（3.3）

其中是作用在弦上的横向分布载荷。 ),(t x f

3.1.2 用能量变分原理建立弦振动基本方程

弦横向振动有三种能量： （1）弦的位能

i U dx x

w x w T U x L

i ∂∂∂∂=

∫210

（3.4）

（2）弦的动能T

dx t

w t w m T L

∂∂∂∂=

∫210

（3.5）

（3）弦的外力功

e W L

L

L

x

L

e w fwdx w x

w T fwdx W 00

00

||τ+=∂∂+=

∫∫

（3.6）

其中τ=∂∂x

w

T x

是张力的垂直分量。弦的哈密尔登作用量为 dt W U T L e i t

)(0

+−=

∫

由哈密尔登作用量原理给出

0}|]2121[{00

=++∂∂∂∂−∂∂∂∂=∫∫∫dt w dx fw x

w x w T t w t w m

Ldt L

x L

t t τδδ （3.7）

上式给出能量泛函的极值条件。经过变分运算可推出基本方程和自然边界条件。动能作用量的变分等于

dx w t

w

m

wdx t w m

dxdt x

w

t w m t t

L t L

}|{)(02

20

000

δδδ∂∂+∂∂−=∂∂∂∂∫∫∫∫ 和位能作用量的变分等于

dt w t

w T wdx x w T dxdt x

w

x w T L

x

x

L

t

x t L

}|{020

000δδ∂∂+∂∂−

=∂∂∂∂∫∫∫∫ 于是，代入哈密尔顿作用量变分原理得

||)(}{0000222200

=∂∂+∂∂−++∂∂−∂∂∫∫∫∫

dx w t

w m dt w x w T wdxdt f t w m x w T t L L

x t x t L

δδτδ

（3.8）

·2·

最后，推出弦振动方程是

02

22

2=+∂∂−∂∂f t w m

x w T x

（3.9）

自然边界条件（0=x 和L x =）

0=∂∂−x

w

T x

τ （3.10）

自然时端条件（和）

0=t t t =0=∂∂t

w

（3.11）

它给出了弦振动方程的完整结果。

弦振动的一个基本问题是的情况下的自由振动，将给出弦振动的基本特性。另一个基本问题是0=f 0≠f 的情况下的强迫振动，给出各类激励下的弦振动。下面来讨论它们的解法。

3.1.3 弦振动方程的基本解法之一：分离变量法

均匀弦自由振动（）的基本方程是一个双曲线性型的齐次偏微分方程

0=f 02

22

2=∂∂−∂∂t w m

x w T x

（3.12）

它的最基本的解法是分离变量法，见1.6.3(1)。方程的解可以表示为

)()(),(t T x X t x w =

（3.13）

将式（3.13）代入基本方程（3.12），得

2

2

222)(1)(1k t T t T T m x X x X x −

=∂∂=∂∂ 这里m 和T x 取常值，方程左、右两端分别各为x 和t 的函数。由于等式成立，它们只能等于常

数值，设为－k 2

。由此给出两个常微分方程

0)(22

2=+∂∂x X k x X

（3.14）

0)(222=+∂∂t T m

T k t T x

（3.15）

设

x

x

T m

k m

T k 2

22

2ωω==或

（3.16）

则得方程的解为：

·3·