一阶RC电路的全响应
RC一阶电路的响应测试实验报告
RC一阶电路的响应测试实验报告实验报告：RC一阶电路的响应测试一、实验目的：1.掌握RC一阶电路的响应特性；2.了解RC一阶电路的时间常数对电路响应的影响；3.学会使用示波器观察电路的动态响应。
二、实验原理：由于充电或放电需要一定的时间，电路的响应是有延迟的。
根据电容充电时间常数τ的不同，可以将RC电路分为快速响应和慢速响应两种情况。
电容C的充电或放电方程为：i(t) = C * dV(t) / dt根据Ohm's Law，电路中的电流和电压之间的关系为：V(t) = VR(t) + VC(t) = i(t) * R + V0 * exp(-t/τ)其中，VR(t)是电阻R上的电压，VC(t)是电容C上的电压，V0是电路初始电压，τ=C*R是电路的时间常数。
当输入信号为直流电压时，电路将会处于稳态，电容将保持充电或放电状态，直到与电源电压相等。
当输入信号为瞬态电压时，电路将会发生响应，电容充放电的过程导致电压变化。
三、实验器材和仪器：1.RC电路板；2.直流电源；3.示波器；4.电阻和电容。
四、实验步骤：1.将示波器的地线和信号触发线接地。
2.按照实际电路中的元件数值，在RC电路板上连接电阻和电容。
3.将示波器的一个探头连接到电阻两端，另一个探头连接到电容的一端。
4.打开直流电源，设定合适的电压大小，使电路处于稳定状态。
5.调整示波器的触发模式和触发电平，保证波形稳定可观察。
6.增加或减小直流电压，观察电路响应，并记录波形。
7.改变电阻或电容的数值，重复步骤6，观察并记录不同响应特性。
8.关闭直流电源和示波器，取下电路连接。
五、实验数据及结果：实验中，我们首先建立了一个由1000Ω电阻和0.1μF电容串联组成的RC电路。
然后，我们分别给电路输入不同幅值和时间常数的矩形波信号，观察电路的响应。
1.输入直流电压的稳态响应：当输入直流电压时，电路处于稳态，电容已经充电到与电源电压相等的电压值。
4-4一阶电路的全响应 三要素法
t
t r 1 e
t r r 0 r e
（t ≥0+）
电路原理
§4-4 一阶电路的全响应
r (t ) r () r (0 ) r () e
t
t 0
全响应的初始值、稳态解和电路的时间常数，称为一阶线性 电路全响应的三要素。求出初始值、稳态值和时间常数即可按上 式直接写出全响应的函数式。这种方法就叫做三要素法。
注意：
1)零输入响应、零状态响应和全响应都可采用三要 素法进行求解； 2)三要素法只能用于求解一阶电路的响应。
电路原理
§4-4 一阶电路的全响应∙ 求解步骤
作出t=0-时的等效电路，求出uC(0-)或iL(0-);
根据换路定则，求出uC(0+)或iL(0+); 根据t>0时的电路，求出L或C两端看进去的有源二端电
阻网络的戴维宁等效电路（一阶RC电路）或诺顿等效电 路（一阶RL电路）；
根据一阶电路零状态响应的一般形式求出uC(t)或iL(t) ;
电容电压的稳态值uc(∞)即为得到的戴维宁等效电路中的 电压源电压，电感电流的稳态值iL(∞)即为诺顿等效中的 电流源的电流。根据Req可求出时间常数τ ;
根据t>0时的电路，将电容用电压为uC(t)的电压源代替，
i f 0.5 A
3) 求τ
uo 10 × io 10i0 40i0 3
Req
uo 40W io L 1 s Req 40
电路原理
§4-4 一阶电路的全响应∙ 例题
4) 写出i (t)
i ( t ) i f [i (0 ) i f ]e 0.5 0.7e
一阶电路的全响应和三要素方法
故又有 ： 全响应=零状态响应 零输入响应 全响应 零状态响应+零输入响应 零状态响应
二、一阶电路的三要素法
稳态值，初始值和时间常数称为一阶电路的三要素， 稳态值，初始值和时间常数称为一阶电路的三要素， 通过三要素可以直接写出一阶电路的全响应。 通过三要素可以直接写出一阶电路的全响应 。 这种方法 称为三要素法。 称为三要素法。 若全响应变量用f(t)表示，则全响应可按下式求出： 若全响应变量用 表示，则全响应可按下式求出： 表示
－
(b )
等效电路如图（ ） 所示。列出网孔电流方程： 作 t=0+ 等效电路如图 （ c）所示 。 列出网孔电流方程 ：
8i (0 + ) − 4iC (0 + ) = 20 − 4i (0 + ) + 6iC (0 + ) = −20
可得： 可得：
+
4kΩ i（0 ） +
2kΩ iC（0+）
+ 20 V
− t
稳态分量 全响应 t
uC = U + [U 0 − U ]e τ
上式的全响应还可以写成： 上式的全响应还可以写成：
− t − t
-
t
uC = U s (1 − e τ ) + U 0e
τ
上式中 U s (1 − e τ ) 是电容初始值电压为零时的零状态 响应, 响应
U 0e
−
t
τ
是电容初始值电压为U 时的零输入响应。 是电容初始值电压为 0时的零输入响应。
2 i（0 +） i（0 −） = L = × 3 = 2V L 1+ 2
时的电路如图（ ）所示，则有： 作t≥0时的电路如图（c）所示，则有： 时的电路如图
实验十 RC一阶电路的响应测试
实验十 RC 一阶电路的响应测试一．实验目的1．研究RC 一阶电路的零输入响应、零状态响应和全响应的规律和特点。
2．学习一阶电路时间常数的测量方法，了解电路参数对时间常数的影响。
3．掌握微分电路和积分电路的基本概念。
二．原理说明1．RC 一阶电路的零状态响应RC 一阶电路如图12－1所示，开关S 在…1‟的位置，ｕC ＝0，处于零状态，当开关S 合向…2‟的位置时，电源通过R 向电容C 充电，ｕC （ｔ）称为零状态响应，τtU U u -S S c e -=变化曲线如图12－2所示，当ｕC 上升到S 632.0U 所需要的时间称为时间常数τ，RC τ=。
2．ＲＣ一阶电路的零输入响应在图12－1中，开关S 在…2‟的位置电路稳定后，再合向…1‟的位置时，电容C 通过R 放电，ｕC （ｔ）称为零输入响应，τtU u -S c e =变化曲线如图12－3所示，当ｕC 下降到S 368.0U 所需要的时间称为时间常数τ，RC τ=。
3．测量ＲＣ一阶电路时间常数τ图12－1电路的上述暂态过程很难观察，为了用普通示波器观察电路的暂态过程，需采用图12－4所示的周期性方波ｕS 作为电路的激励信号，方波信号的周期为T ，只要满足τ52≥T，便可在示波器的荧光屏上形成稳定的响应波形。
电阻R 、电容C 串联与方波发生器的输出端连接，用双踪示波器观察电容电压ｕC ，便可观察到稳定的指数曲线，如图12－5所示，在荧光屏上测得电容电压最大值(cm)a Cm =U ，S U c u 图 12－1S U U 632 . 0 图 12－2S U U 368 . 0 图12－3S U T2图 12－4图 12－5a)(T2SU Su 0R uC u 图 12－6b)(取 (c m )0.632a b =，与指数曲线交点对应时间ｔ轴的ｘ点，则根据时间ｔ轴比例尺（扫描时间cm t ），该电路的时间常数cm(cm)x t ⨯=τ。
实验四RC一阶电路的响应测试
实验四RC一阶电路的响应测试RC一阶电路的响应测试★实验一．实验目的1．测定RC一阶电路的零输入响应，零状态响应及完全响应2．学习电路时间常数的测量方法3．掌握有关微分电路和积分电路的概念二．原理说明1．动态网络的过渡过程是十分短暂的单次变化过程，对时间常数较大的电路，可用慢扫描长余辉示波器观察光点移动的轨迹。
然而能用一般的双踪示波器观察过渡过程和测量有关的参数，必须使这种单次变化的过程重复出现，为次，我们利用信号发生器输出的方波来模拟阶跃激励信号，即令方波输出的上升沿作为零状态响应的正阶跃激励信号；方波下降沿作为零输入响应的负阶跃激励信号，只要选择方波的重复周期远大于电路的时间常数。
电路在这样的方波序列脉冲信号的激励下，它的影响和直流接通与断开的过渡过程是基本相同的。
2．RC一阶电路的零输入响应和零状态响应分别按指数规律衰减和增长，其变化的快慢决定于电路的时间常数。
3．时间常数的测量方法：用示波器测得零输入响应的波形如图4-1（a）所示：根据一阶微分方程的求解得知U0 Ee t/Rc Ee t/当t= 时，U0 0.368E，此时所对应的时间就等于也可用零状态响应波形增长到0.368E所对应的时间测得，如图3-1（c）所示。
若将图4-2（a）中的R与C位置调换一下，即由C端作为响应输出，且当电路参数的选择满足=RC〉〉T/2条件时，如图4-2（b）所示即称为积分电路，因为此时电路的输出信号电压与输入信号电压的积分成正比。
三．实验设备1．双踪示波器2．信号源（下组件）3．相应组件四．实验内容及步骤实验线路板的结构如图3-2所示，首先看懂线路板的走线，认清激励与响应端口所在的位置；认清R、C元件的布局及其标称值；各开关的通断位置等。
（1）选择动态电路板上的R、C元件，令R=10K ，C=3300pF组成如图4-1（b）所示的RC充放电电路，E为脉冲信号发生器输出VP P 2V，f=1KHz的方波电压信号，并通过示波器探头将激励源E和响应Uc的信号分别连至示波器的两个输入口Ya 和Yb，这时可在示波器的屏幕上观察到激励与响应的变化规律，来测时间常数，并用方格纸1：1的比例描绘波形。
(电路分析)一阶电路的全响应
一阶电路的全响应一阶电路的全响应一、全响应全响应一阶电路在外加激励和动态元件的初始状态共同作用时产生的响应，称为一阶电路的全响应（complete response）。
图5.5-1（a）所示的一阶RC电路，直流电压源Us是外加激励，时开关S处于断开状态，电容的初始电压。
时开关闭合，现讨论时电路响应的变化规律。
时，响应的初始值为时，响应的稳态值为用叠加定理计算全响应：开关闭合后，电容电压的全响应，等于初始状态U0单独作用时产生的零输入响应和电压源Us单独作用时产生的零状态响应的代数和，如图5.5-1（b）、（c）所示。
图5.5-1（b）中，零输入响应为图5.5-1（c）中，零状态响应为根据叠加定理，图5.5-1（a）电路的全响应为用表示全响应，表示响应的初始值，表示稳态值。
全响应的变化规律1、当时，即初始值大于稳态值，则全响应由初始值开始按指数规律逐渐衰减到稳态值，这是动态元件C或L对电路放电。
2、当时，即初始值小于稳态值，则全响应由初始值开始按指数规律逐渐增加到稳态值，这是电路对动态元件C或L充电。
3、当时，即初始值等于稳态值，则全响应。
电路换路后无过渡过程，直接进入稳态，动态元件C或L既不对电路放电，也不充电。
二、全响应的三要素计算方法全响应的三要素初始值稳态值时间常数例5.5-1 图5.5-2（a）所示电路，已知C=5uF，t<0时开关S处于断开状态，电路处于稳态，t=0时开关S闭合，求时的电容电流。
解：欲求电容电流，只要求出电容电压即可。
1、确定初始状态。
作时刻的电路，如图5.5-2（b）所示，这时电路已处于稳态，电容相当于开路，则。
由换路定则得初始状态2、确定电容电压的稳态值。
作t→∞时的电路，如图5.5-2（c）所示，这时电路也处于稳态，电容也相当于开路，则3KΩ电阻两端的电压则电容电压的稳态值为3、求时间常数τ。
求从电容C两端看进去的戴维南等效电阻R的电路如图5.5-2（d）所示，这时将15V和5V电压源都视为短路，等效电阻为6KΩ和3KΩ电阻的并联，即R=6K∥3K=2KΩ所以，时间常数为4、求全响应。
一阶动态电路的全响应及三要素法
iL（∞）= 0
（3）求时间常数τ
R 20 (10 10) 10 k 20 10 10
L 10 3 10 7 s
R 10 103
根据三要素法，可写出电感电流的解析式为
iL（t）= 0 +（10×10-3–0）e107=t 10 e mA 107t
i
L
()
US R2
10 20
05A
1
L R2
2 20
0 1s
根据三要素公式得到
iL（t）= 0.5（1 - ）e1A0t （0.1s≥t要素法，先求t = 0.1 s时刻的初始值。根 据前一段时间范围内电感电流的表达式可以求出在t = 0.1 s时刻前一瞬间的电感电流
2 10 20
0 0667 s
根据三要素公式得到：
t 01
iL (t) iL (0 1 ) e 2 0 316 e15(t01) A （t≥0.1 s）
电感电流iL（t）的波形曲 线如右图所示。在t=0时， 它从零开始，以时间常数 τ1=0.1 s确定的指数规律增 加到最大值0.316A后，就 以时间常数τ2=0.0667s确 定的指数规律衰减到零。
【例14-3】
下图（a）所示电路原处于稳定状态。t = 0时开关 闭合，求t ≥0的电容电压uC（t）和电流i（t）。
解：（1）计算初始值uC（0+）
开关闭合前，图（a）电路已经稳定，电容相当于 开路，电流源电流全部流入4Ω电阻中，此时电容电 压与电阻电压相同，可求得
uC（0+）= uC（0 -）= 4Ω×2 A = 8V
t ln iL (0 ) iL () 0 005 ln 0 75 1 5 0 002 s
一阶电路的全响应与三要素
§5.4 一阶电路的全响应与三要素在上两节中分别研究了一阶电路的零输入响应和零状态响应，电路要么只有外激励源的作用，要么只存在非零的初始状态，分析过程相对简单。
本节将讨论既有非零初始状态，又有外激励源共同作用的一阶电路的响应，称为一阶电路的全响应。
5.4.1 RC 电路的全响应电路如图5-9所示，将开关S 闭合前，电容已经充电且电容电压0)0(U u c =-，在t=0时将开关S 闭合，直流电压源S U 作用于一阶RC 电路。
根据KVL ，此时电路方程可表示为：C u图 5-19 一阶RC 电路的全响应S C CU u tu RC=+d d （5-19） 根据换路原则，可知方程（5-19）的初始条件为 0)0()0(U u u C C ==-+令方程（5-9）的通解为 C CC u u u ''+'= 与一阶RC 电路的零状态响应类似，取换路后的稳定状态为方程的特解，则S CU u =' 同样令方程（5-9）对应的齐次微分方程的通解为τtCAe u -=''。
其中RC =τ为电路的时间常数，所以有τtS C AeU u -+=将初始条件与通解代入原方程，得到积分常数为 S U U A +=0所以电容电压最终可表示为τtS S c e U U U u --+=)(0 （5-20）电容充电电流为etS C R U U t u C i τ--==0d d这就是一阶RC 电路的全响应。
图5-20分别描述了s U ，0U 均大于零时，在0U U s >、0=s U 、0U U s <三种情况下c u 与i 的波形。
(a) (b)图5-20C u ，i 的波形图将式（5-20）重新调整后，得)1(0ττtS tC e U eU u ---+=从上式可以看出，右端第一项正是电路的零输入响应，第二项则是电路的零状态响应。
显然，RC 电路的全响应是零输入响应与零状态响应的叠加，即 全响应 = 零输入响应 + 零状态响应研究表明，线性电路的叠加定理不仅适用于RC 电路，在RC 电路的分析过程中同样适用，同时，对于n 阶电路也可应用叠加定理进行分析。
(电路分析)一阶电路的全响应
一阶电路的全响应一阶电路的全响应一、全响应全响应一阶电路在外加激励和动态元件的初始状态共同作用时产生的响应，称为一阶电路的全响应（complete response）。
图5.5-1（a）所示的一阶RC电路，直流电压源Us是外加激励，时开关S处于断开状态，电容的初始电压。
时开关闭合，现讨论时电路响应的变化规律。
时，响应的初始值为时，响应的稳态值为用叠加定理计算全响应：开关闭合后，电容电压的全响应，等于初始状态U0单独作用时产生的零输入响应和电压源Us单独作用时产生的零状态响应的代数和，如图5.5-1（b）、（c）所示。
图5.5-1（b）中，零输入响应为图5.5-1（c）中，零状态响应为根据叠加定理，图5.5-1（a）电路的全响应为用表示全响应，表示响应的初始值，表示稳态值。
全响应的变化规律1、当时，即初始值大于稳态值，则全响应由初始值开始按指数规律逐渐衰减到稳态值，这是动态元件C或L对电路放电。
2、当时，即初始值小于稳态值，则全响应由初始值开始按指数规律逐渐增加到稳态值，这是电路对动态元件C或L充电。
3、当时，即初始值等于稳态值，则全响应。
电路换路后无过渡过程，直接进入稳态，动态元件C或L既不对电路放电，也不充电。
二、全响应的三要素计算方法全响应的三要素初始值稳态值时间常数例5.5-1 图5.5-2（a）所示电路，已知C=5uF，t<0时开关S处于断开状态，电路处于稳态， t=0时开关S闭合，求时的电容电流。
解：欲求电容电流，只要求出电容电压即可。
1、确定初始状态。
作时刻的电路，如图5.5-2（b）所示，这时电路已处于稳态，电容相当于开路，则。
由换路定则得初始状态2、确定电容电压的稳态值。
作t→∞时的电路，如图5.5-2（c）所示，这时电路也处于稳态，电容也相当于开路，则3KΩ电阻两端的电压则电容电压的稳态值为3、求时间常数τ。
求从电容C两端看进去的戴维南等效电阻R的电路如图5.5-2（d）所示，这时将15V和5V电压源都视为短路，等效电阻为6KΩ和3KΩ电阻的并联，即R=6K∥3K=2KΩ所以，时间常数为4、求全响应。
一阶电路的全响应
例如：电路原已稳定，求开关动作后的电
流i。
解： t 0 , iL (0 ) 2 A
1H 5
5 + 由换路定则：
iL
t=0 i
10V
-
t 0 , iL(0 ) 2 A
如果认为 R0 0
得 R0 0
用三要素公式，得 iL () 0
R0 t
iL (t) 2e L A
电流源的电流is。其通解为
t
r(t ) rh (t ) rp (t ) Ae rp (t )
t=0+代入，得： A r(0 ) rp (0 )
因而得到
r(t)
rp (t )
[r(0
)
rp (0
)]e
t
,
t
0
一阶电路任意激励下uC(t)和iL(t)响
应的公式
推广应用于任意激励下任一响应
开关闭合前，电路已稳定，电容相当于 开路，电流源电流全部流入4电阻中，
uC (0 ) 4 2 8V
由于开关转换时，电容电流有界，电容
电压不能跃变，故
uC (0 ) uC (0 ) 8V
画0+图如右2A
4
2 i(0+)
+
+
8V 4
-
10V
-
i(0 ) 10 uC (0 ) 10 8 1A
例19 开关在a时电路已稳定。t=0倒向
b,t=R1C倒向c，求t0的iC(t)并画波形
解 ： t<0 时 ， c
R1
uC(0-)=0 。 第 一次换路后由 换路定则得：
R2
+
Us
-
b
一阶电路的全响应
vCh
图11.24 RC串联零输入电路图 图11.25 t > 0时的等效电路图 图11.26 电容电压vC波形图0
t(s)
2006-1-1
！
2
1.1 全响应的解(1)
当t = 0时，开关S由1掷向2处。此时直流电压源VS2作用于电路，其等效 电路如图11.25所示。根据换路定理可知：vC(0+) = vC(0−) = VS1。又根据基 尔霍夫电压定律列写电压方程有vC + Ri = VS2 (t > 0)。由于电流i与电容电压 vC关联，因此存在以下关系
+ + +
RS S t = 0
+
vC − C
R1 i1 iC
i2
+
vC − C
RS
R1 i1 iC
Req
i2
VS
R2
VS
R2
VOC
−
−
−
图11.28 例11.3图 图11.29 t > 0时的等效电路 图11.30 化简为戴维南等效电路
+
iC vC C −
2006-1-1
！
7
1.3 三要素法
解 当t < 0时，由于电路已经处于稳定状态，因此可知电容电压vC(0−) = 0。 当t = 0时，开关S闭合。根据换路定理可知，vC(0+) = vC(0−) = 0。为方
当t = 0时，开关S由1掷向2处。根据换路定理可知，iL(0+) = iL(0−) = −0.5(A)。为方便，画出其等效电路图如图11.33所示。 将电感以外的电路化简为戴维南等效电路，如图11.34所示，那么其 开路电压VOC = −2.5(V)，等效电阻Req = 1.5(Ω)。则电感电流终了 值iL(∞) = VOC/Req = −1.667(V)，时间常数
4.5 一阶RC电路的暂态过程分析
4.5 一阶RC 电路的暂态过程分析一、实验目的1．学习用示波器观察和分析RC 电路的响应。
2．了解一阶RC 电路时间常数对过渡过程的影响，掌握用示波器测量时间常数。
3．进一步了解一阶微分电路、积分电路和耦合电路的特性。
二、实验原理1．一阶RC 电路的全响应=零状态响应+零输入响应。
当一阶RC 电路的输入为方波信号时，一阶RC 电路的响应可视为零状态响应和零输入响应的多次重复过程。
在方波作用期间，电路的响应为零输入响应，即为电容的充电过程；在方波不作用期间，电路的响应为零输入响应，即为电容的放电过程。
方波如图4.5.1所示。
图4.5.1 方波电压波形 图4.5.4 测常数和积分电路接线2．微分电路如图4.5.2所示电路，将RC 串联电路的电阻电压作为输出U 0，且满足τ ‹‹ t w 的条件，则该电路就构成了微分电路。
此时，输出电压U 0近似地与输入电压U i 呈微分关系。
dt du RC U i O 图4.5.2 微分电路和耦合电路接线 图4.5.3 微分电路波形微分电路的输出波形为正负相同的尖脉冲。
其输入、输出电压波形的对应关系如图4.5.3所示。
在数字电路中，经常用微分来将矩形脉冲波形变换成尖脉冲作为触发信号。
3．积分电路积分电路与微分电路的区别是：积分电路取RC 串联电路的电容电压作为输出U 0，如图4.5.4所不电路，且时间常数满τ ››t w 。
此时只要取τ＝RC ››t w ，则输出电压U 0近似地与输入电压U i 成积分关系，即⎰≈t i O d u RC U 1积分电路的输出波形为锯齿波。
当电路处于稳态时，其波形对应关系如图3.5.5所示。
注意：U i 的幅度值很小，实验中观察该波形时要调小示波器Y 轴档位。
图4.5.5 积分电路波形 图4.5.6 耦合电路波形4．耦合电路RC 微分电路只有在满足时间常数τ＝RC ‹‹ t w 的条件下，才能在输出端获得尖脉冲。
如果时间常数τ＝RC ››t w ，则输出波形已不再是尖脉冲，而是非常接近输出电压U i 的波形，这就是RC 耦合电路，而不再是微分电路。
一阶电路的全响应定义和作用
分开。非要知道电路，画出零输入的 0 图或零状态的 0 图，求出零输入响应或零
状态响应来才行。
例16 电路原处于稳定状态。求 t 0 的
uC(t)和i(t)，并画波形图。
t=0
2 i
2A +
+
4
0.1F
uC
-
4
10V
2
2，计算稳态值uC()、i()
换路后，经一 2A 段时间，重新 达到稳定，电 4 容开路，终值
+
uC
() -
2 i()
+
4 10V
-
图如右，运用
叠u C 加( 定) 理(4 得/4 //2 /) 22 4/4/4 /4 / 1 0 2 5 7V
i( )1 0u C ( )1 0 71.5A
别计算出这三个要素，就能够确定全响 应，而不必建立和求解微分方程。这种 方法称为三要素法。
三要素法求直流激励下响应的步骤：
1.初始值r(0+)的计算（换路前电路已稳 定）(1) 画t=0-图，求初始状态：电容 电压uC(0-)或电感电流iL(0-)。
(2)由换路定则，确定电容电压或电感电 流初始值，即uC(0+)=uC(0-)和 iL(0+)=iL(0-)。
(t0)
其解为
t
uC(t)uC(h t)uC(p t)A eRC U S
代入初始条件uC(0+)=uC(0-)=U0，可
得
uC(0)U0AUS
求得
AU0US
则：
uC(t)
uCh(t)
uCp(t)
(U0
一阶RC电路分析
3.3 RC电路的响应经典法分析电路的暂态过程，就是根据激励通过求解电路的微分方程以得出电路的响应。
激励和响应都是时间的函数所以这种分析又叫时域分析。
3.3.1 RC电路的零输入响应零输入响应------无电源激励，输入信号为零。
在此条件下，由电容元件的初始状态u C（0+）所产生的电路的响应。
分析RC电路的零输入响应，实际上就是分析它的放电过程。
如图 3.3.1(RC串联电路，电源电压U0)。
换路前，开关S合在位置2上，电源对电容充电。
t=0时将开关从位置2合到位置1，使电路脱离电源，输入信号为零。
此时，电容已储有能量，其上电压的初始值u C（0+）=U0；于是电容经过电阻R开始放电。
根据基尔霍夫电压定律，列出t≥0时的电路微分方程RCdu C/dt+u C=0 3.3.1式中 i=Cdu C/dt令式 3.3.1的通解为 u C=Ae pt代入3.3.1并消去公因子Ae pt得微分方程的特征方程 RCp+1=0 其根为p=-1/RC于是式3.3.1的通解为 u C=Ae-1t/RC定积分常数A。
根据换路定则，在t=0+时，u C（0+）=U0，则A=U0。
所以 u C= U0e-1t/RC= U0 e-1/τ ------ 3.3.3 C图3.3.1RC放电电路-+-U+u C-t=0+u CSiR其随时间变化的曲线如图3.3.2所示。
它的初始值为U 0，按指数规律衰减而趋于零。
式3.3.3中，τ=RC 它具有时间的量纲，所以称电路时间常数。
决定u C 衰减的快慢。
当t=τ时， u C = U 0e -1=U 0/2.718=36.8%U 0 可见τ等于电压u C 衰减到初始值U 0的36.8%所需的时间。
可以用数学证明，指数曲线上任意点的次切距的长度都等于τ。
以初始点为例〖图3.3.2（a ）〗du C /dt=-U 0/τ 即过初始点的切线与横轴相交于τ。
从理论上讲，电路只有经过t=∞的时间才能达到稳定。
一阶电路全响应公式
一阶电路全响应公式一阶电路全响应公式，这可是电学里相当重要的一部分知识呢！咱先来说说啥是一阶电路。
想象一下，电路里就那么几个元件，电阻、电容或者电感啥的，而且它们的关系比较简单，这就构成了一阶电路。
比如说，一个电阻和一个电容串联的电路，或者一个电阻和一个电感串联的电路，这都算一阶电路。
那啥又是全响应呢？简单说，就是电路在电源激励和初始储能共同作用下产生的响应。
一阶电路全响应公式，就像是打开这个神秘电学世界的一把钥匙。
比如说，对于一个包含电阻 R 和电容 C 的串联一阶电路，在电源电压U 作用下，电容初始电压为 U0，其全响应公式就是：u(t) = U + (U0 - U) e^(-t/RC) 。
这里的 e 是自然对数的底数，RC 叫做时间常数。
咱来举个例子感受感受。
有一次我在实验室里做实验，就是研究一个一阶 RC 串联电路的全响应。
我小心翼翼地连接好电路，打开电源，然后用示波器观察电压的变化。
一开始，电压的变化特别快，就像个调皮的孩子上蹿下跳。
随着时间推移，它慢慢变得稳定，就像那个调皮孩子终于累了，安静了下来。
这个过程中，全响应公式就像是一个幕后的指挥家，精准地预测着电压的每一步变化。
再来说说这公式的用处。
它能帮我们计算电路中电压或者电流在不同时刻的值，让我们对电路的行为了如指掌。
比如说，在设计电子设备的时候，我们得知道电路的响应速度有多快，能不能满足我们的要求。
这时候，一阶电路全响应公式就能大显身手啦。
还有啊，学习一阶电路全响应公式也不是一帆风顺的。
有时候，那些符号和参数会让人眼花缭乱，脑袋都大了。
但是，只要咱静下心来，多做几道题，多想想其中的道理，慢慢地也就搞明白了。
总的来说，一阶电路全响应公式虽然有点复杂，但只要我们用心去学，去理解，它就能成为我们解决电学问题的有力工具。
就像我们在生活中遇到困难，只要勇敢面对，找到方法，就能迎刃而解。
希望大家都能掌握好这个神奇的公式，在电学的世界里畅游无阻！。
一阶电路全响应的两种分解
•
（a）
（b）
•
图6-20 例6.10图
•
解：由题意可知 uC (0 ) = uC (0 ) =0
•
用戴维南定理将原电路等效为图6-20（b）。
•
图中
uOC=
R2 R1 R2
uS=12sin10t
•
R= R3+ R1// R2=4 kΩ
• 这么可用式（6-25）来计算uC。
Ucm
Uocm
1 (CR)2
uC
1 C
idt 1 C
uR dt 1 RC
ui dt R
（6-27）
• 现了上对式输阐入明旳输积出分电运压算u，O故与该输电入路电称压为ui旳积积分提电成路正。比，实
• （2）积分电路将输入旳矩形脉冲波转换成三角波输出， 实现了波形变换。
• （3）时间常数越大，RC充放电速度越慢，uR越接近输入 u电i ，路积构分成关积系分越电正路确旳。条所件以是输τ>>出t电P。压取自电容旳RC串联
• 如图7-19所示旳RC一阶串联电路中，t=0时开关S合上，
uS=Usmsin（ωt+ψS）V，uC（0+）=U0，由基尔霍夫电压定
律，得
u R (t) uc (t) uS
• •
因为
iC
duc dt
，uR
iR RC duc dt
，uS=Usmsin（ωt+ψS），
代入上式，得
•
RC duc dt
• 6.7.1 RC微分电路
•
图6-21所示RC串联电路中,电路旳输出电压取自电阻,在输入端输
入矩形脉冲
• 电压, 脉冲宽度为tP，
RC一阶电路的响应测试实验内容精修订
R C一阶电路的响应测试实验内容集团标准化工作小组 #Q8QGGQT-GX8G08Q8-GNQGJ8-MHHGN#实验五 RC一阶电路的响应测试一、实验目的1. 测定RC一阶电路的零输入响应、零状态响应及全响应。
2. 掌握有关微分电路和积分电路的概念。
3. 学会时间常数τ的测定方法。
4. 进一步学会用示波器观测波形。
二、原理说明图所示的矩形脉冲电压波u i可以看成是按照一定规律定时接通和关断的直流电压源U。
若将此电压u i加在RC串联电路上（见图），则会产生一系列的电容连续充电和放电的动态过程，在u i的上升沿为电容的充电过程，而在u i的下降沿为电容的放电过程。
它们与矩形脉冲电压u i的脉冲宽度t w及RC串联电路的时间常数τ有十分密切的关系。
当t w不变时，适当选取不同的参数，改变时间常数τ，会使电路特性发生质的变化。
图矩形脉冲电压波形图 RC串联电路图1. RC一阶电路的零状态响应所有储能元件初始值为0的电路对于激励的响应称为零状态响应。
电路的微分方程+u C=U m，其解为u C(t)=U m(1−e−tτ) (t≥0)，式中，τ＝RC为该电路的为：RC du Cdt时间常数。
2. RC一阶电路的零输入响应电路在无激励情况下，由储能元件的初始状态引起的响应称为零输入响应。
电路达到稳态后，电容器经R放电，此时的电路响应为零输入响应。
电路的微分方程为：RC du C+u C=0，其解为u C(t)=U m e−tτ。
dtRC一阶电路的零输入响应和零状态响应分别按指数规律衰减和增长（如图所示），其变化的快慢决定于电路的时间常数τ。
3. 时间常数τ的测定方法方法一：在已知电路参数的条件下，时间常数可以直接由公式计算得出，τ＝RC。
方法二：对充电曲线（零状态响应），电容的端电压达到最大值的1−1e（约）倍时所需要的时间即是时间常数τ。
如图（a）所示，用示波器观测响应波形，取上升曲线中波形幅值的倍处所对应的时间轴的刻度，计算出电路的时间常数：τ=扫描时间×OP其中，扫描时间是示波器上X轴扫描速度开关“t/div”的大小。
一阶电路的零输入响应零状态响应全响应
e
5
e
6
0.368U 0.135U 0.050U 0.018U 0.007U 0.002U
当 t =5 时，过渡过程基本结束，uC达到稳态值。
第四章 动态电路的时域分析
二、一阶RL电路的零输入响应
电感电流根据三要素公式：
iL (0 ) I 0
iL (0 ) iL (0 ) I 0
s
i R C + _ uC
+
t 0
s
i R C + _ uc
U _
uC (0 -) = U0
零输入响应
uC (0 -) = 0
uC U 0
零状态响应
t e RC
U
t ( 1 e RC
) (t 0
uC
U
Ue
t RC
第四章 动态电路的时域分析
3.3.3 一阶电路的全响应:
回顾
若零输入响应用yx(t)表示之，其初始值为yx(0+)，那么
y x (t ) y x (0 )e
t
t 0
t
若零状态响应用yf(t)表示之，其初始值为yf(0+)=0，那么
y f (t ) y f ()(1 e ) t 0
第四章 动态电路的时域分析
+ U _
t 0
U (1 e
1 t RC
)V
t 0
第四章 动态电路的时域分析
uC的变化规律
稳态分量
+U
uC
U
Ue
t RC
uC
uC
t 暂态分量
电路达到 稳定状态 时的电压
一阶RC电路的全响应
+
u" C
uC'= US uC"=Aept
uC (0)=U0
t
uC US Ae =RC
uC (0+)=A+US=U0
t
uC U S (U0 U S )e
(t>0)
强制分量 自由分量
A=U0 US
t
uC US (U0 US )e (t 0)
6.6 一阶电路的全响应
全响应：非零初始状态的电路受到激励时电路中产生的响应。
一、一阶电路的全响应及其两种分解方式 1. 全解 = 强制分量(稳态解)+自由分量(暂态解)
以RC电路为例
S(t=0) R i
RC duC dt
uC
US
非齐次方程
US
+ uR –
C
+ 解答为
uC
–
uC(t)=uC'
强制分量(稳态解)
自由分量(暂态解)
uC
US
u'u" C
U0 US
2. 全响应= 零状态响应 + 零输入响应
S(t=0) R i
S(t=0) R i1
US
= + uR– C
+ uC
–
US
+ + uR1C–
+ –uC1
uC (0)=U0
uC 1(0-)=0
t
t
uC US (1 e ) U0e
(t 0)
零状态响应
零输入响应
uC
全响应
US
S(t=0) R i2
+ uR2 – C
一阶电路全响应的三要素公式
一阶电路全响应的三要素公式好的，以下是为您生成的关于“一阶电路全响应的三要素公式”的文章：在学习电路知识的过程中，一阶电路全响应的三要素公式就像是一把神奇的钥匙，能帮我们轻松打开电路世界的神秘大门。
咱们先来说说这一阶电路全响应到底是啥。
简单来讲，它就是在电源激励和初始储能共同作用下，电路中产生的响应。
这就好比你有一笔存款（初始储能），然后每个月还有固定的工资收入（电源激励），加起来就是你的总财富变化情况（全响应）。
那这三要素公式到底是哪三个要素呢？它们分别是初始值、稳态值和时间常数。
初始值就是电路在初始时刻的状态，就像你刚出发时站的那个起点；稳态值呢，是经过足够长时间后电路稳定下来的状态，就好比你经过长途跋涉最终到达的那个目的地；时间常数则反映了电路从初始状态过渡到稳态的快慢，就像是你到达目的地所花的时间。
给大家讲讲我曾经碰到的一个小例子吧。
有一次，我在实验室里调试一个一阶电路，怎么都弄不对。
我盯着那些电阻、电容和电感，脑袋都大了。
后来我静下心来，仔细分析了初始值、稳态值和时间常数，发现原来是我把一个电阻的阻值算错了，导致整个计算都出了偏差。
经过这次教训，我更加深刻地理解了三要素公式的重要性。
那这三要素公式具体怎么用呢？比如说，我们已知一个一阶 RC 电路，电容的初始电压为 U0，电源电压为 US，电阻为 R，电容为 C。
那么，电路中的电压响应 u(t) 就可以用三要素公式表示为：u(t) = U∞ + [U0 - U∞] e^(-t/τ) ，其中U∞ 就是稳态值，等于 US；τ 就是时间常数，等于 RC 。
再比如说一阶 RL 电路，电感的初始电流为 I0，电源电流为 IS，电阻为 R，电感为 L。
那么，电路中的电流响应 i(t) 就可以表示为：i(t) = I∞ + [I0 - I∞] e^(-t/τ) ，这里的I∞ 等于 IS ，时间常数τ 等于 L/R 。
总之，一阶电路全响应的三要素公式是我们解决一阶电路问题的得力工具。
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(t 0)
零状态响应
零输入响应
uC
全响应
US
S(t=0) R i2
+ uR2 – C
+ uC2
–
uC2 (0-)=U0
U0
零状态响应
零输入响应
t 0
全响应小结:
1. 全响应的不同分解方法只是便于更好地理解过 渡过程的本质;
2. 零输入响应与零状态响应的分解方法其本质 是叠加，因此只适用于线性电路；
6.6 一阶电路的全响应
全响应：非零初始状态的电路受到激励时电路中产生的响应。
一、一阶电路的全响应及其两种分解方式 1. 全解 = 强制分量(稳态解)+自由分量(暂态解)
以RC电路为例
S(t=0) R i
RC duC dt
uC
US
非齐次方程
US
+ uR –
C
+ 解答为
uC
–
uC(t)=uC'
+
u" C
uC'= US uC"=Aept
uC (0)=U0
t
uC US Ae =RC
uC (0+)=A+US=U0
t
uC U S (U0 U S 自由分量
A=U0 US
t
uC US (U0 US )e (t 0)
强制分量(稳态解)
自由分量(暂态解)
uC
US
u' C
U0
uC
o
t
u" C
U0 US
2. 全响应= 零状态响应 + 零输入响应
S(t=0) R i
S(t=0) R i1
US
= + uR– C
+ uC
–
US
+ + uR1C–
+ –uC1
uC (0)=U0
uC 1(0-)=0
t
t
uC US (1 e ) U0e
3. 零输入响应与零状态响应均满足齐性原理，但 全响应不满足。