高斯型积分公式
数值分析课件高斯求积公式
1
1
1 f ( x)dx A0 f (
求 A0 , A：1
3 ) A1 f (
) 3
令 f ( x) ，1,代x入公式精确成立，得到： A0 A1 1
或
1
1
A0 1 l0 ( x)dx 1, A1 1 l1( x)dx 1
两点Gauss-Legendre求积公式
3次代数精度
1
1
1
一、 Gauss积分问题的提法
n
积分公式的一般形式： In ( f ) Ak f ( xk ) k0
➢为了提高代数精度，需要适当选择求积节点:
①当求积节点个数确定后，不管这些求积节点如何选
取，求积公式的代数精度最高能达到多少？2n 1
②具有最高代数精度的求积公式中求积节点如何选取？
n 个1求积节点， n个求1 积系数，共 个2n未知2量，需要
f p max f p axb
则Gauss型求积公式（*）是收敛的。
证明：由Weierstrass定理知 对 0
存在m次多项式 p( x满)足
下证 N , 当 n 时N
f
p 2
b
( x)dx
a
b
n
f ( x)( x)dx
a
Ak f ( xk )
k0
b
n
f ( x)( x)dx
➢ Gauss-Chebyshev求积公式
(x)
1
n
f ( x)( x)dx
1
Ak f ( xk )
k0
1 1 x2
其中求积节点
多项式的零点
xk
n [a, b] 是n+1次Chebyshev
k0
Gauss型积分公式
摘要求函数在给定区间上的定积分，在微积分学中已给出了许多计算方法，但是，在实际问题计算中，往往仅给出函数在一些离散点的值，它的解析表达式没有明显的给出，或者，虽然给出解析表达式，但却很难求得其原函数。
这时我们可以通过数值方法求出函数积分的近似值。
当然再用近似值代替真实值时，误差精度是我们需要考虑因素，但是除了误差精度以外，还可以用代数精度来判断其精度的高低。
已知n+1点的Newton-Cotes型积分公式，当n为奇数时，其代数精度为n；当n为偶数时，其代数精度达到n+1。
若对随机选取的n+1个节点作插值型积分公式也仅有n次代数精度。
如何选取适当的节点，能使代数精度提高？Gauss型积分公式可是实现这一点，但是Gauss型求积公式，需要被积函数满足的条件是正交，这一条件比较苛刻。
因此本实验将针对三种常用的Gauss型积分公式进行讨论并编程实现。
关键词：Newton-Cotes型积分公式正交多项式代数精度1、实验目的1)通过本次实验体会并学习Gauss型积分公式，在解决如何取节点能提高代数精度这一问题中的思想方法。
2)通过对Gauss型积分公式的三种常见类型进行编程实现，提高自己的编程能力。
3)用实验报告的形式展现，提高自己在写论文方面的能力。
2、算法流程下面介绍三种常见的Gauss型积分公式1)高斯-勒让德（Gauss-Legendre）积分公式勒让德（Legendre）多项式如下定义的多项式L n(x)=12n n!d ndx n(x2−1)n,x∈[−1,1],n=0,1,2⋯称作勒让德多项式。
由于(x2−1)n是2n次多项式，所以L n(x)是n次多项式，其最高次幂的系数A n与多项式1 2n n!d ndx n(x(2n))=12n n!2n(2n−1)(2n−2)⋯(n+1)x n的系数相同。
也就是说n次勒让德多项式具有正交性即勒让德多项式L n(x)是在[−1,1]上带ρ(x)=1的n次正交多项式，而且(L m,L n)=∫L m(x)L n(x)dx1−1={0, m≠n22n+1, m=n这时Gauss型积分公式的节点就取为上述多项式L n(x)的零点，相应的Gauss型积分公式为∫f(x)dx 1−1≈∑A k f(x k) nk=1此积分公式即成为高斯-勒让德积分公式。
高斯求积公式
定义4 定义4
如果求积公式(5.1)具有 2n +1次代数精度，
则称其节点 xk (k = 0,1 ⋯, n) 为高斯点 高斯点，相应公式(5.1)称 高斯点 , 为高斯求积公式 高斯求积公式. 高斯求积公式
3
根据定义要使(5.1)具有 2n +1次代数精度，只要对
充分性. 对于 ∀f (x) ∈H2n+1, 用 ωn+1(x) 除 f (x) ， ， 记商为 P(x)，余式为 q(x) 即 f (x) = P(x)ωn+1(x) + q(x) , 其中 P(x),q(x)∈Hn. 由(5.5)可得
∫
b
a
f (x)ρ(x)dx = ∫ q(x)ρ(x)dx.
b a
18
令它对 f (x) =1, x 都准确成立，有
A + A = 2; 0 1 A − 1 + A 1 = 0. 1 0 3 3
由此解出 A = A =1, 从而得到两点高斯-勒让德求积公式 0 1
∫
1
1 −
f (x)dx ≈ f (−
1 1 ) + f (− ). 3 3
b n→ ∞ k =0 a n
16
4.5.2
高斯高斯-勒让德求积公式
在高斯求积公式(5.1)中，若取权函数 ρ(x) =1, 区间为
[−11 则得公式 , ],
n
∫
1
−1
f (x)dx ≈ ∑A f (xk ). k
k =0
（5.9）
由于勒让德多项式是区间 [−11]上的正交多项式，因此， , 勒让德多项式 P 1(x) 的零点就是求积公式(5.9)的高斯点. n+ 形如(5.9)的高斯公式称为高斯-勒让德求积公式. 高斯-勒让ρ(x) ≥ 0, 由积分中值定理得(5.1)的余项为
高数高斯公式
R z
)dv
Pdydz
Qdzdx
Rdxdy
2、高斯公式的实质
（1）应用的条件
（2）物理意义 divAdv AdS
21
习题10 6
P174
高斯 ( Gauss ) 公 式25
1(2)(3)(4),2(3),3(2)
22
1
3
x2 y2 dxdy
Dxy
2
d
R
r rdr
2 R3
0
0
3
1
1
1
高斯
1 4 R3 2 R3 4 R3
( Gauss ) 公 式10
23
3
3
9
例 3 计算曲面积分
高斯
( x2 cos y2 cos z2 cos )ds,其中Σ为
( Gauss ) 公 式11
解 P ( y z)x, Q 0, x R x y,
1
3
z
o1
y
5
P y z, Q 0, R 0,
x
y
z
z
高斯 ( Gauss ) 公
式7
1
3
原式 ( y z)dxdydz
(利用柱面坐标得)
(r sin z)rdrddz
o1
y
x
2
1
3
0 d 0 rdr 0 (r sin z)dz
A( x, y, z) P( x, y, z)i Q( x, y, z) j R( x, y, z)k
沿场中某一有向曲面Σ的第二类曲面积分为
AdS Pdydz Qdzdx Rdxdy
如E为称电为场向强量 度,场单A位(时x,间y,通z)过向正的侧电穿通过量曲面I Σ的E通dS量.
高斯公式
高斯公式（Gauss Formula ）(一) 高斯公式：1st 导论：格林公式表达了平面闭区域D 上的二重积分与D的边界曲线的曲线积分的关系，而gauss formula 表达了空间闭区域上的三重积分与其边界曲线上的曲面积分之间的关系。
2nd 定理1：设空间闭区域Ω是由分片光滑的闭曲面组成，函数∑(,,)P x y z ，，(,,)Q x y z (,,)R x y z 在上具有一阶连续偏导数，则： ∑()(P Q R dv Pd )ydz Qdxdz Rdxdy x y z Ω∑∂∂∂++=++∂∂∂∫∫∫∫∫ 或者： ……gauss formula ()(cos cos co P Q R dv P Q R dS x y z αβγΩ∑∂∂∂++=++∂∂∂∫∫∫∫∫ s )这里，是整个边界区域的外侧，∑(cos ,cos ,cos )αβγ是上点∑(,,)x y z 处的法向量的方向余弦。
(二) 沿任意闭区曲面的曲面积分等于0的条件：A. 二维单连通区域：对空间区域G ，如果G 内任意闭曲面所围成的闭曲面总是属于G ，则称空间区域G 是二维单连通区域。
B. 设G 是空间而为单连通区域，，，(,,)P x y z (,,)Q x y z (,,)R x y z 在G 内具有一阶连续偏导数，则曲面积分：(P Q R dv x y z )Ω∂∂∂++∂∂∂∫∫∫在G 上与所取曲面∑无关，而只取决于∑的边界曲线（或者沿G 内任一闭曲面的曲面积分为0）的充要条件是：0P Q R x y z∂∂∂++=∂∂∂；、(三)通量与散度总结：一般地，设某向量场由：(,,)(,,)(,,)(,,)x y z P x y z Q i j x y A z R x y z =++u r k r r r给出，其中 PQR 具有一阶连续偏导数，∑是场内的一片有向曲面，是上一点n r ∑(,,)x y z 处的单位法向量，则A n dS ∑⋅⋅∫∫u r r 叫做向量场A u r 通过曲面指定侧的通量（或者流量），而∑P Q R x y ∂∂∂++∂∂∂z 称作向量场A u r 的散度：P Q R x v zdi A y ∂∂∂++∂∂∂=u r GAUSS FORMULA 可以写成：()(nP Q R dv Pdydz Qdxdz Rdxdy x y z div AdS A dSΩ∑Ω∑∂∂∂++=++∂∂∂==∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫r u r u r )其中是空间闭区域的边界曲面，而∑Ωcos cos cos n A P Q R αβγ=++r表示向量A u r 在曲面外侧法向量上的投影。
4。4高斯型求积公式
华长生制作
19
例 计算积分
1
1
2 x dx 2 1 x
解 选用n=2的Gauss-Chebyshev求积公式计算,这时 f x 2 x 于是有
2 x 2 3 dx 1 x2 3 2 3 4.368939556 2 2
1
1
2
15
华长生制作
Ak 4-4。 Guass-Legendre求积公式中的Gauss点和求积系数见书上表 k
对于一般区间[a，b]上的求积，如果用Gauss-Legendre求积公式，那么
x
必须作变量替换
1 1 x a b b a t 2 2
，并有
使 x
[a , b ] 时，t [ 1,1]
书上表4.6给出了部分高斯-拉盖尔求积公式的 节点和系数。
华长生制作 22
4. 高斯-埃尔米特求积公式
x
的零点，称这样的高斯型求积公式为高斯-拉盖尔 求积公式，其表示式为
华长生制作
0
e x f x dx Ak f xk
k 0
21
n
其中
[(n 1)!]2 Ak 1 ( xk )]2 xk [ Ln (k 0,1, , n)
截断误差为
[(n 1)!]2 (2 n 2) R[ f ] f ( ), (0, ) (2n 2)!
14
当n=0时，一次Legendre多项式x的零点为0， Ak 为2；
当n=1时，二次Legendre多项式 零点为 x0
1 1 , x1 3 3
P 2 x
1 (3 x 2 1), 2
, Ak 为1（k=0,1) ;
Gauss型积分公式
Gauss型积分公式摘要求函数在给定区间上的定积分，在微积分学中已给出了许多计算方法，但是，在实际问题计算中，往往仅给出函数在一些离散点的值，它的解析表达式没有明显的给出，或者，虽然给出解析表达式，但却很难求得其原函数。
这时我们可以通过数值方法求出函数积分的近似值。
当然再用近似值代替真实值时，误差精度是我们需要考虑因素，但是除了误差精度以外，还可以用代数精度来判断其精度的高低。
已知n+1点的Newton-Cotes型积分公式，当n为奇数时，其代数精度为n；当n 为偶数时，其代数精度达到n+1。
若对随机选取的n+1个节点作插值型积分公式也仅有n次代数精度。
如何选取适当的节点，能使代数精度提高？Gauss型积分公式可是实现这一点，但是Gauss型求积公式，需要被积函数满足的条件是正交，这一条件比较苛刻。
因此本实验将针对三种常用的Gauss型积分公式进行讨论并编程实现。
关键词：Newton-Cotes型积分公式正交多项式代数精度1、实验目的1)通过本次实验体会并学习Gauss型积分公式，在解决如何取节点能提高代数精度这一问题中的思想方法。
2)通过对Gauss型积分公式的三种常见类型进行编程实现，提高自己的编程能力。
3)用实验报告的形式展现，提高自己在写论文方面的能力。
2、算法流程下面介绍三种常见的Gauss型积分公式1)高斯-勒让德（Gauss-Legendre）积分公式勒让德（Legendre）多项式如下定义的多项式称作勒让德多项式。
由于是次多项式，所以是n次多项式，其最高次幂的系数与多项式的系数相同。
也就是说n次勒让德多项式具有正交性即勒让德多项式是在上带的n次正交多项式，而且这时Gauss型积分公式的节点就取为上述多项式的零点，相应的Gauss型积分公式为此积分公式即成为高斯-勒让德积分公式。
其中Gauss-Legendre求积公式的系数1其中k的取值范围为Gauss点和系数不容易计算，但是在实际计算中精度要求不是很高，所以给出如下表所示的部分Gauss点和系数，在实际应用中只需查表即可。
数值分析-高斯求积分
p( x)ωn ( x)dx
Ak p( xk )ωn ( xk ) 0
a
k1
即ωn( x)与任意次数不超过n 1的多项式p( x)
在[a, b]上正交
充分性：如果w(x)与任意次数不超过n-1的多项式正 交，则其零点必为Gauss点
设f ( x)为任意次数不超过2n 1次的多项式,
用n ( x)除f ( x)得
3.6 高斯（Gauss）型求积公式
主要内容
• 具有(n+1)个求积节点的Newton-Cotes公式，
b
n
f ( x)dx
Ak f ( xk )
a
k1
至少具有n阶代数精度
•在确定求积公式求积系数Ak的过程中限定求积节点 为等分节点，简化了处理过程，但也降低了求积公 式的代数精度
去掉求积节点 为等分节点的限制条件，会有什么 结果？？
1v( x)du(n 1)( x)
-1
1
1
u(n 1)( x)v ( x)d x
-1
v(1)u(n 1) (1) v(1)u(n 1) (1)
1
u(n 1) ( x)v ( x)d x
-1
v (1)u(n 2) (1)
1
u(n 2) ( x)v ( x)d x
-1
v(1)u(n 1) (1) v (1)u(n 2) (1)
a
证明： 必要性： 若x1, x2 ,, xn是高斯点,则求积公式
b
f ( x)dx
a
n
Ak f ( xk )具有2n 1次代数精度
k1
作多项式, ωn( x) ( x x1)( x x2 ) ( x xn ), 设p( x)为
Gauss型积分公式
G a u s s型积分公式-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1摘要求函数在给定区间上的定积分，在微积分学中已给出了许多计算方法，但是，在实际问题计算中，往往仅给出函数在一些离散点的值，它的解析表达式没有明显的给出，或者，虽然给出解析表达式，但却很难求得其原函数。
这时我们可以通过数值方法求出函数积分的近似值。
当然再用近似值代替真实值时，误差精度是我们需要考虑因素，但是除了误差精度以外，还可以用代数精度来判断其精度的高低。
已知n+1点的Newton-Cotes型积分公式，当n为奇数时，其代数精度为n；当n为偶数时，其代数精度达到n+1。
若对随机选取的n+1个节点作插值型积分公式也仅有n次代数精度。
如何选取适当的节点，能使代数精度提高Gauss型积分公式可是实现这一点，但是Gauss型求积公式，需要被积函数满足的条件是正交，这一条件比较苛刻。
因此本实验将针对三种常用的Gauss型积分公式进行讨论并编程实现。
关键词：Newton-Cotes型积分公式正交多项式代数精度1、实验目的1)通过本次实验体会并学习Gauss型积分公式，在解决如何取节点能提高代数精度这一问题中的思想方法。
2)通过对Gauss型积分公式的三种常见类型进行编程实现，提高自己的编程能力。
3)用实验报告的形式展现，提高自己在写论文方面的能力。
2、算法流程下面介绍三种常见的Gauss型积分公式1)高斯-勒让德（Gauss-Legendre）积分公式勒让德（Legendre）多项式如下定义的多项式称作勒让德多项式。
由于是次多项式，所以是n次多项式，其最高次幂的系数与多项式的系数相同。
也就是说n 次勒让德多项式具有正交性即勒让德多项式是在上带的n次正交多项式，而且这时Gauss 型积分公式的节点就取为上述多项式的零点，相应的Gauss型积分公式为12此积分公式即成为高斯-勒让德积分公式。
其中Gauss-Legendre 求积公式的系数其中k 的取值范围为Gauss 点和系数不容易计算，但是在实际计算中精度要求不是很高，所以给出如下表所示的部分Gauss 点，在实际应用中只需查表即可。
高斯公式斯托克斯公式
二、 斯托克斯公式
定理8
设Γ为分段光滑的空间有向闭曲线，Σ是以Γ为边界的分片光滑的有
向曲面，Γ的正向与Σ的侧符合右手规则，函数Px,y,z,Qx,y,z,Rx,y,z在曲
及以垂直于Dxy边界的柱面Σ3组成 (见图10-14)，其中Σ1取下侧，Σ2取上 侧，Σ3取外侧，z1x,y≤z2x,y.于是按三
图 10-14
一、 高斯公式
一、 高斯公式
一、 高斯公式
注
对于一般的空间有界闭区域高斯公式均成 立.若曲面Σ与平行于坐标轴的直线的交点多于两 个，则用有限个光滑的曲面将Ω分为有限个满足 条件的小闭区域来讨论.
或用定积分表示为(按图10-15取积分路径) M0x0,y0,z0为G内某一定点，点Mx,y,z∈G.
三、 空间曲线积分与路径无关的条件
图 10-15
谢谢聆听
由第二类曲线积分的定义及格林公式,有
(10-16)
二、 斯托克斯公式
(10-17)
二、 斯托克斯公式
如果Σ取下侧，Γ也相应地改成相反的方向，那么式
(10-15)两端同时改变符号，因此式(10-15)仍成立.Fra bibliotek同样可证
(10-18)
(10-19)
将式(10-15)、式(10-18)和式(10-19)相加即得式(1014).
面Σ(连同边界Γ)上具有一阶连续偏导数，则有
(10-14)
式(10-14)称为斯托克斯公式. 斯托克斯公式还可写为
其中n=cos αi+cos βj+cosγk为有向曲面Σ在点(x,y,z)处的单位法 向量.
高斯公式
(8 y 1 4 y 4 y )dV
x(8 y 1)dydz 2(1 y 2 )dzdx 4 yzdxdy
S1
dV 0 2(1 y 2 ) dzdx 0 (因为 S1 yOz, xOy 面)
S1
( y 1) dy 2( 3 2 1) dxdz
Dxy
2π 0
d 0
1
rdr
π 4
2π 0
cos 2 d
围立体 的体
积为V, 是 外法线向量与点 ( x , y , z ) 的向径
的夹角, 试证
证: 设 的单位外法向量为 则
nr cos n r
x y z cos cos cos r r r
5
例2 计算第二类曲面积分 z cos dS ，其中 S 是抛物面
S
z x y 与平面z 4 所围区域的曲面，法向取外侧.
2 2
解
S
z z cos dS dV z
4 x y
2 2
z
4
dV d
D
dz
2 0
d r dr 2 dz
1 2
2
ax dydz ( z a ) dxdy a
2 S1
2
dxdy
a 2 a 2 a 4 , 1 3 4 1 3 4 所以 原式 （ a a ） a . a 2 2
D
10
例5
利用高斯公式计算曲面积分
( x 2 cos y 2 cos z 2 cos ) dS
15 高斯型积分
高斯积分
y
y
x
梯形插值积分选择被 积函数端点构造线性函 数，近似被积函数。
18
x
x1
x2
高斯积分选择积分区 间内的点，构造函数， 近似被积函数。
二点高斯积分
例：计算积分 1.5 exdx 1
解：
方法一、牛顿 -莱布尼兹公式：
1.5 exdx e1.5 - e 1.763407241879019 1
由正交性知ω(x)与1及x带权正交，即得
1
1
0 x( x)dx 0, 0 x x( x)dx 0.
于是得
2 2 b 2 c 0, 2 2 b 2 c 0.
75 3
97 5
16
由此解得 即
10
5
b , c .
9
21
( x) x2 10 x 5 .
b xm ( x)dx
a
m 0,1, ,2n 1.
(6.5)
k0
当给定权函数(x)，求出右端积分，则可由(6.5)式解
得xk及Ak(k=0,1, ,n).
由于(6.5)式是关于xk及Ak(k=0,1, ,n)的非线性方 程组,当n>1时求解是困难的.只有在节点xk(k=0,1, ,n) 确定以后，方可利用(6.5)式求解Ak(k=0,1, ,n)，此时
b
I a f ( x)( x)dx
这里(x)为权函数，类似(1.3)式，它的求积公式为
6
b
n
f ( x)( x)dx
a
Ak f ( xk ).
(6.4)
k0
在这个求积公式里Ak(k=0,1, ,n)为不依赖于f(x)的求 积系数， xk(k=0,1, ,n)为求积节点，可适当选取xk及 Ak(k=0,1, ,n)使(6.4)式具有2n+1次代数精度.
Gauss型积分公式解读
摘要求函数在给定区间上的定积分，在微积分学中已给出了许多计算方法，但是，在实际问题计算中，往往仅给出函数在一些离散点的值，它的解析表达式没有明显的给出，或者，虽然给出解析表达式，但却很难求得其原函数。
这时我们可以通过数值方法求出函数积分的近似值。
当然再用近似值代替真实值时，误差精度是我们需要考虑因素，但是除了误差精度以外，还可以用代数精度来判断其精度的高低。
已知n+1点的Newton-Cotes型积分公式，当n为奇数时，其代数精度为n；当n为偶数时，其代数精度达到n+1。
若对随机选取的n+1个节点作插值型积分公式也仅有n次代数精度。
如何选取适当的节点，能使代数精度提高？Gauss型积分公式可是实现这一点，但是Gauss型求积公式，需要被积函数满足的条件是正交，这一条件比较苛刻。
因此本实验将针对三种常用的Gauss型积分公式进行讨论并编程实现。
关键词：Newton-Cotes型积分公式正交多项式代数精度1、实验目的1)通过本次实验体会并学习Gauss型积分公式，在解决如何取节点能提高代数精度这一问题中的思想方法。
2)通过对Gauss型积分公式的三种常见类型进行编程实现，提高自己的编程能力。
3)用实验报告的形式展现，提高自己在写论文方面的能力。
2、算法流程下面介绍三种常见的Gauss型积分公式1)高斯-勒让德（Gauss-Legendre）积分公式勒让德（Legendre）多项式如下定义的多项式L n(x)=12n n!d ndx n(x2−1)n,x∈[−1,1],n=0,1,2⋯称作勒让德多项式。
由于(x2−1)n是2n次多项式，所以L n(x)是n次多项式，其最高次幂的系数A n与多项式1 2n n!d ndx n(x(2n))=12n n!2n(2n−1)(2n−2)⋯(n+1)x n的系数相同。
也就是说n次勒让德多项式具有正交性即勒让德多项式L n(x)是在[−1,1]上带ρ(x)=1的n次正交多项式，而且(L m,L n)=∫L m(x)L n(x)dx1−1={0, m≠n22n+1, m=n这时Gauss型积分公式的节点就取为上述多项式L n(x)的零点，相应的Gauss型积分公式为∫f(x)dx 1−1≈∑A k f(x k) nk=1此积分公式即成为高斯-勒让德积分公式。
6c高斯型求积公式
定理
若节点 xk , k 0,1, , n 是高斯点，则以这些点为根
n
的多项式 ( x) ( x xk ) 是最高次幂系数为 1 的的勒让德多项
k 0
式，即
(n 1)! d n 1 ( x 2 1) n 1 L n 1 (2n 2)! dx n 1
计算方法
第六章 数值积分与数值微分
—— Gauss 求积公式
1
本讲内容
Gauss 求积公式
一般理论: 公式, 余项, 收敛性, 稳定性
Gauss-Legendre 求积公式
Gauss-Chebyshev 求积公式
无限区间的 Gauss 求积公式
2
Gauss 型求积公式
考虑求积公式
0.4674
20
1 1
f ( x ) dx Ai f ( xi )
i 0
9
n
简单 G-L 公式
n =0 时, Pn1 ( x) x G-L 求积公式:
1 1
Gauss 点: x0 0
将 f (x)＝1 代入求出 A0
f ( x ) dx 2 f (0)
1 2
n =1 时, Pn1 ( x ) (3 x 2 1) Gauss 点: x0 3 , x1 3
i 0
n
要证 xi 为 Gauss 点，即公式对 p(x) H2n+1精确成立 “ p( x) ( x)q( x) r( x) ” p(x), r(x)Hn 设
n1
b a
( x ) p( x )dx ( x)n1 ( x)q( x)dx ( x)r( x)dx