安徽省合肥168中、合肥六中高一数学下学期期末试卷(含解析)

2014-2015学年安徽省合肥168中、合肥六中高一（下）期末数学试卷一、选择题：本大题共有12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（2015春•合肥校级期末）若数列{a n}的通项公式是a n=2×（﹣3）n，则该数列是（） A．公比为﹣3的等比数列 B．公比为2的等比数列C．公比为3的等比数列 D．首项为2的等比数列考点：等比数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：根据通项公式结合等比数列的定义进行判断即可．解答：解：当n≥2时，为常数，则数列{a n}是公比为﹣3的等比数列，故选：A．点评：本题主要考查等比数列的判断，根据等比数列的定义是解决本题的关键．2．（5分）（2015•天门模拟）甲、乙两位歌手在“中国好声音”选拔赛中，5位评委评分情况如茎叶图所示，记甲、乙两人的平均得分分别为、，则下列判断正确的是（）A．＜，甲比乙成绩稳定 B．＜，乙比甲成绩稳定C．＞，甲比乙成绩稳定 D．＞，乙比甲成绩稳定考点：茎叶图；众数、中位数、平均数．专题：概率与统计．分析：根据茎叶图的数据，利用平均值和数值分布情况进行判断即可．解答：解：由茎叶图知，甲的得分情况为17，16，28，30，34；乙的得分情况为15，28，26，28，33，因此可知甲的平均分为，乙的平均分为=86，故可知＜，排除C、D，同时根据茎叶图数据的分布情况可知，乙的数据主要集中在86左右，甲的数据比较分散，乙比甲更为集中，故乙比甲成绩稳定，选B．故选B．点评：本题主要考查茎叶图的应用，以及平均数的求法要求熟练掌握相应的概念和公式，考查学生的计算能力．3．（5分）（2014•安徽模拟）执行如图所示的程序框图，若输出的S=88，则判断框内应填入的条件是（）A． k＞7 B． k＞6 C． k＞5 D． k＞4考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输入S的值，条件框内的语句是决定是否结束循环，模拟执行程序即可得到答案．解答：解：程序在运行过程中各变量值变化如下表：K S 是否继续循环循环前 1 0第一圈 2 2 是第二圈 3 7 是第三圈 4 18 是第四圈 5 41 是第五圈 6 88 否故退出循环的条件应为k＞5？故答案选C．点评：算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点，应高度重视．程序填空也是重要的考试题型，这种题考试的重点有：①分支的条件②循环的条件③变量的赋值④变量的输出．其中前两点考试的概率更大．此种题型的易忽略点是：不能准确理解流程图的含义而导致错误．4．（5分）（2015春•合肥校级期末）已知向量满足，且，则在方向上的投影为（）A． 3 B．﹣3 C． D．考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系；平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：由，利用数量积等于0代入向量的模后求解．解答：解：因为，，所以，即，．所以．故选B．点评：本题考查了数量积判断向量垂直的关系，考查了平面向量的数量积运算，关键是对投影概念的理解，是基础题．5．（5分）（2015春•合肥校级期末）已知函数f（x）=2x与g（x）=x3的图象交于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，其中x1＜x2．若x2∈（a，a+1），且a为整数，则a=（） A． 7 B． 8 C． 9 D． 10考点：指数函数的图像与性质．专题：函数的性质及应用．分析：构造函数h（x）=f（x）﹣g（x）=2x﹣x3，根据函数零点存在定理即可求出9＜x2＜10，再有x2∈（a，a+1），求出a的值．解答：解：设h（x）=f（x）﹣g（x）=2x﹣x3，当x=7时，h（7）=27﹣73=128﹣343＜0，当x=8时，h（8）=28﹣83=256﹣512＜0，当x=9时，h（9）=29﹣93=512﹣720＜0，当x=10时，h（10）=210﹣103=1024﹣1000＞0，∴9＜x2＜10，∵x2∈（a，a+1），∴a=9，故选：C．点评：本题考查函数零点存在定理，以及指数函数的和幂函数的图象与性质．6．（5分）（2015春•合肥校级期末）已知等比数列{a n}公比为q，其前n项和为S n，若S3、S9、S6成等差数列，则q3等于（）A．﹣ B． 1 C．﹣或1 D．﹣1或考点：等比数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：根据等比数列的性质以及等差数列的关系进行求解即可．解答：解：若S3、S9、S6成等差数列，则S3+S6=2S9，若公比q=1，则S3=3a1，S9=9a1，S6=6a1，即3a1+6a1=18a1，则方程不成立，即q≠1，则=，即1﹣q3+1﹣q6=2﹣2q9，即q3+q6=2q9，即1+q3=2q6，即2（q3）2﹣q3﹣1=0，解得q3=，故选：A．点评：本题主要考查等比数列通项公式的应用，根据条件结合等比数列的前n项和公式建立方程关系是解决本题的关键．7．（5分）（2015春•合肥校级期末）已知函数f（x）=sin2x+cos2x﹣m在[0，]上有两个零点x1，x2，则tan（x1+x2）的值为（）A． B． C． D．考点：三角函数中的恒等变换应用．专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析：利用两角和与差的正弦将f（x）化简为f（x）=2sin（2x+）﹣m，由x∈[0，]⇒2x+∈[，]，利用正弦函数的单调性可求对应区间上f（x）=2sin（2x+）﹣m的值域，结合题意可从而可得答案．解答：解：∵f（x）=sin2x+cos2x﹣m=2（sin2x+cos2x）﹣m=2sin（2x+）﹣m，∵x∈[0，]，∴2x+∈[，]，∴﹣≤sin（2x+）≤1，∴﹣1≤2sin（2x+）≤2，∵f（x）=sin2x+cos2x﹣m在[0，]上有两个零点x1，x2，∴正弦y=m与f（x）=sin2x+cos2x在[0，]上有两个交点，如图：∴x1+x2=，∴tan（x1+x2）=tan=，故选：A．点评：本题考查两角和与差的正弦，考查三角函数的图象与性质，着重考查函数的零点与半角三角函数，求得x1+x2是关键，属于中档题．8．（5分）（2015春•合肥校级期末）已知函数f（x）的定义域为（3﹣2a，a+1），且f（x﹣1）为偶函数，则实数a的值可以是（）A． B． 2 C． 4 D． 6考点：函数奇偶性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：根据f（x﹣1）为偶函数，便知f（x﹣1）的定义域关于原点对称，而由f（x）的定义域即可求出函数f（x﹣1）的定义域为（4﹣2a，a+2），从而有4﹣2a+a+2=0，这样即可求出a的值．解答：解：f（x﹣1）为偶函数；∴f（x﹣1）的定义域关于原点对称；由3﹣2a＜x﹣1＜a+1得4﹣2a＜x＜a+2；∴4﹣2a+a+2=0；∴a=6．故选：D．点评：考查偶函数的定义域的特点，弄清函数f（x）和函数f（x﹣1）的不同，也可通过平移的知识求函数f（x﹣1）的定义域．9．（5分）（2015春•合肥校级期末）实数x，y满足，若目标函数z=x+y取得最大值4，则实数a的值为（）A． 1 B． 2 C． 3 D． 4考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组表示的可行域，将目标函数变形y=﹣x+z，判断出z表示直线的纵截距，结合图象，求出k的范围．解答：解：作出不等式组表示的平面区域，如图所示：∵y=﹣x+z，则z表示直线的纵截距做直线L：x+y=0，然后把直线L向可行域平移，结合图象可知，平移到C（a，a）时，z最大此时z=2a=4∴a=2故选：B．点评：解决此类问题的关键是正确画出不等式组表示的可行域，将目标函数赋予几何意义．10．（5分）（2015春•合肥校级期末）对于正项数列{a n}，定义H n=为{a n}的“光阴”值，现知某数列的“光阴”值为H n=，则数列{a n}的通项公式为（） A． a n= B． a n= C． a n= D． a n=考点：数列递推式．专题：点列、递归数列与数学归纳法．分析：通过定义及H n=可得a1+2a2+…+na n=、a1+2a2+…+（n﹣1）a n﹣1=，两式相减，进而计算可得结论．解答：解：∵H n=，∴a1+2a2+…+n a n=，又∵H n=，∴a1+2a2+…+na n=，a1+2a2+…+（n﹣1）a n﹣1=，两式相减得：na n=﹣=，∴a n=，故选：A．点评：本题考查新定义，考查数列的通项，解题的关键是理解新定义，注意解题方法的积累，属于中档题．11．（5分）（2015春•合肥校级期末）已知O是锐角△ABC的外接圆圆心，∠A=30°，•+•=2m•，则m的值为（）A． B． C． 1 D．考点：向量数乘的运算及其几何意义．专题：平面向量及应用．分析：根据向量的三角形法则结合向量数量积的运算进行化简求解即可．解答：解：∵•+•=2m•，∴•（﹣）+•（﹣）=2m•，即•（﹣）•+•（﹣）•=2m••，则•（•﹣•）+•（•﹣•）=2m••，即•||2（cos2C﹣1）+•||2（cos2B﹣1）=﹣2m||2，即•（cos2C﹣1）+•（cos2B﹣1）=﹣2m，则﹣2cosBsinC﹣2cosCsinB=﹣2m，即﹣2sin（B+C）=﹣2m，则m=sin（B+C）=sinA=sin30°=，故选：D．点评：本题主要考查向量数量积的运算以及向量三角形法则的应用，考查学生的运算和推理能力．12．（5分）（2015•绍兴校级模拟）若等差数列{a n}满足a12+a102=10，则S=a10+a11+…+a19的最大值为（）A． 60 B． 50 C． 45 D． 40考点：等差数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：设等差数列的公差为d，由等差数列的通项公式得（a10﹣9d）2+a102=10，由求和公式可得a10=代入（a10﹣9d）2+a102=10整理可得关于d的方程，由△≥0可得S的不等式，解不等式可得．解答：解：设等差数列的公差为d，由a12+a102=10得，（a10﹣9d）2+a102=10，因为S=a10+a11+…+a19=10a10+45d，则a10=，代入（a10﹣9d）2+a102=10，并整理可得（1352+452）d2﹣360dS+2S2﹣1000=0，由关于d的二次方程有实根可得△=3602S2﹣4（1352+452）（2S2﹣1000）≥0，化简可得S2≤2500，解得S≤50故选：B．点评：本题考查等差数列的通项公式、前n项和公式，以及二次函数方程根的存在性，考查转化思想，属中档题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卷相应位置．13．（5分）（2014•沛县校级模拟）已知函数y=，其中m，n是取自集合{1，2，3}的两个不同值，则该函数为偶函数的概率为．考点：古典概型及其概率计算公式．专题：计算题；概率与统计．分析：在m，n是取自集合{1，2，3}的两个不同值时得到的函数y=是幂函数，要保证幂函数为偶函数，则需要的分子为偶数，且分母为奇数．解答：解：m，n是取自集合{1，2，3}的两个不同值，得到的分数为（个）．而使函数y=为偶函数的分数需分子为偶数，分母为奇数，共有2，两个．所以函数为偶函数的概率为P=．故答案为．点评：本题考查了古典概型及其概率计算公式，考查了幂函数的奇偶性，是基础题．14．（5分）（2015春•合肥校级期末）在一次考试中，5名学生的数学和物理成绩如表：（已知学生的数学和物理成绩具有线性相关关系）学生的编号i 1 2 3 4 5数学成绩x 80 75 70 65 60物理成绩y 70 66 68 64 62现已知其线性回归方程为=0.36+a，则根据此线性回归方程估计数学得80分的同学的物理成绩为70 （四舍五入到整数）考点：线性回归方程．专题：概率与统计．分析：分别做出横标和纵标的平均数，利用最小二乘法做出b的值，再求出a的值，写出线性回归方程，代入x=80，得到y的值即可得到结果．解答：解：由已知数据得，==70，==66，线性回归方程为=0.36+a，则66=0.36×70+a，∴a=40.8．线性回归方程为=0.36x+40.8，x=80时，y=0.36×80+40.8≈70．故答案为：70．点评：本题考查线性回归方程的应用，线性回归方程经过样本中心点，基本知识的考查．15．（5分）（2015春•合肥校级期末）在△ABC中，若（+）•=||2，则= 5 ．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：由已知得到（+）•（）==||2，得到三角形的三边关系，结合余弦定理以及三角函数求出．解答：解：由已知（+）•=||2，所以（+）•（）==||2，即CB2=CA2+AB2，又BC2=AB2+AC2﹣2AB×ACcosA，所以CA2+AB2=AB2+AC2﹣2AB×ACcosA，整理得AB=ACcosA，设AB边上的高为CD，则AD=ACcosA，所以BD=5AD，所以==5．故答案为：5．点评：本题考查了平面向量与余弦定理相结合的三角形问题；关键是由已知得到三角形三边关系．16．（5分）（2015春•合肥校级期末）定义数列{x n}：x1=1，x n+1=3x n3+2x n2+x n；数列{y n}：y n=；数列{z n}：z n=；若{y n}的前n项的积为P，{z n}的前n项的和为Q，那么P+Q= 1 ．考点：数列递推式．专题：点列、递归数列与数学归纳法．分析：通过对x n+1=3+2+x n变形可得=，累乘可得P=，通过变形、分离分母可得z n=﹣，并项累加可得Q=﹣，进而计算可得结论．解答：解：∵x n+1=3+2+x n，∴=，∴P=y1•y2•…•y n=••…•=，∵z n===﹣，∴Q=（﹣）+（﹣）+…+（﹣）=﹣，∵x1=1，∴P+Q=+﹣=+1﹣=1，故答案为：1．点评：本题考查了经过变形利用“累乘求积”求数列的乘积、利用“累加求和”求数列的和的基本技能方法，属于难题．三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）（2015春•合肥校级期末）设集合，P={x|x＜a}（1）求M∩N（2）若P∪（∁R N）=R，求实数a的取值范围．考点：交、并、补集的混合运算；交集及其运算．专题：集合．分析：利用函数的定义域求出M，不等式的解法求出N，补集的定义求出∁R N，再根据交并运算求出答案．解答：解：（1）对于集合M，得到4﹣2x﹣x2＞0，解得﹣1＜x＜﹣1+，所以集合M={x|﹣1＜x＜﹣1+|，对于集合N，＞1，即＜0，即（x﹣2）（x+1）＜0，解得﹣1＜x＜2，所以集合N={x|﹣1＜x＜2}，∴M∩N={x|﹣1＜x＜﹣1+}，（2）有（1）得∁R N={x|x≤﹣1或x≥2}，P={x|x＜a}∵P∪（∁R N）=R，∴a＞2．点评：本题考查分式不等式的解法，函数的定义域，交、并、补的运算，属于基础题．18．（12分）（2015春•合肥校级期末）已知函数的部分图象如图所示．（1）求f（x）的解析式；（2）在△ABC中，角A、B、C的对边a、b、c，若f（B）=，且a=b+c，试判断三角形的形状．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：三角函数的图像与性质；解三角形．分析：（1）由函数图象可知T，利用周期公式可求ω，又点（，0）是f（x）=sin（2x+φ）的一个对称中心，可得2×+φ=kπ，k∈Z，从而解得φ，即可求得解析式．（2）由sin（2B+）=，结合0＜B＜π可求B，由正弦定理可得sinA=sinB+sinC，化简可得sin（A﹣）=，从而解得A，C的值，即可得解．解答：（本小题满分12分）（1）∵T=2×（﹣）=π，∴ω==2．又点（，0）是f（x）=sin（2x+φ）的一个对称中心，∴2×+φ=kπ，k∈Z，φ=kπ﹣令k=1，得φ=．f（x）=sin（2x+），（2）sin（2B+）=，∵0＜B＜π，∴B=，又a=b+c，则sinA=sinB+sinC，∴sinA=sin（﹣A）=，∴，∴sin（A﹣）=，∴A=，所以C=，故△ABC为直角三角形．点评：本题主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，正弦函数的图象和性质，正弦定理的应用，属于基本知识的考查．19．（12分）（2012•淄博一模）一个盒子中装有4张卡片，每张卡片上写有1个数字，数字分别是1、2、3、4，现从盒子中随机抽取卡片．（I）若一次从中随机抽取3张卡片，求3张卡片上数字之和大于或等于7的概率；（Ⅱ）若第一次随机抽取1张卡片，放回后再随机抽取1张卡片，求两次抽取的卡片中至少一次抽到数字2的概率．考点：排列、组合及简单计数问题；等可能事件的概率．专题：计算题．分析：（1）先写出三张卡片上的数字全部可能的结果，一一列举出，把满足数字之和大于或等于7的找出来，由此求得3张卡片上数字之和大于或等于7的概率．（2）列举出每次抽1张，连续抽取两张全部可能的基本结果，而满足条件的事件是两次抽取中至少一次抽到数字2，从前面列举出的结果中找出来．解答：解：：（Ⅰ）由题意知本题是一个古典概型，设A表示事件“抽取3张卡片上的数字之和大于或等于7”，∵任取三张卡片，三张卡片上的数字全部可能的结果是（1、2、3），（1、2、4），（1、3、4），（2、3、4），其中数字之和大于或等于7的是（1、3、4），（2、3、4），（1，2，4），∴P（A）=．（Ⅱ）设B表示事件“至少一次抽到2”，∵每次抽1张，连续抽取两张全部可能的基本结果有：（1、1）（1、2）（1、3）（1、4）（2、1）（2、2）（2、3）（2、4）（3、1）（3、2）（3、3）（3、4）（4、1）（4、2）（4、3）（4、4），共16个基本结果．事件B包含的基本结果有（1、2）（2、1）（2、2）（2、3）（2、4）（3、2）（4、2），共7个基本结果．∴所求事件的概率为P（B）=．点评：本题主要考查古典概型、等可能事件的概率，用列举法计算，可以列举出所有基本事件和满足条件的事件，应用列举法来解题，是这一部分的最主要思想，属于中档题．20．（12分）（2015春•合肥校级期末）已知 {a n}，{b n}均为等差数列，前n项和分别为 S n，T n．（1）若对 n∈N*，有，求的最大值．（2）若平面内三个不共线向量满足，且A，B，C三点共线．是否存在正整数n，使 S n为定值？若存在，请求出此定值；若不存在，请说明理由．考点：等差数列的前n项和；平面向量的基本定理及其意义．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）由题意和等差数列的求和公式和性质可得=，由函数的单调性可得；（2）由题意和向量的知识可得a3+a15=1，进而又等差数列的性质可得a1+a17=1，代入等差数列的求和公式可得，可得结论．解答：解：（1）∵=．由反比例函数的单调性可得当n=1时，式子取最大值33；（2）∵A，B，C三点共线，∴假设存在正整数n，使，即．由平面向量基本定理得，消去λ得a3+a15=1，又a3+a15=a1+a17，∴．即存在n=17时，S17为定值．点评：本题考查等差数列的求和公式，涉及函数和平面向量的知识，属中档题．21．（12分）（2013•宝山区二模）如图所示，扇形AOB，圆心角AOB的大小等于，半径为2，在半径OA上有一动点C，过点C作平行于OB的直线交弧AB于点P．（1）若C是半径OA的中点，求线段PC的大小；（2）设∠COP=θ，求△POC面积的最大值及此时θ的值．考点：余弦定理；两角和与差的正弦函数．专题：解三角形．分析：（1）在△POC中，根据，OP=2，OC=1，利用余弦定理求得PC的值．（2）解法一：利用正弦定理求得CP和OC的值，记△POC的面积为S（θ），则，利用两角和差的正弦公式化为，可得时，S（θ）取得最大值为．解法二：利用余弦定理求得OC2+PC2+OC•PC=4，再利用基本不等式求得3OC•PC≤4，所以，再根据OC=PC 求得△POC面积的最大值时θ的值．解答：解：（1）在△POC中，，OP=2，OC=1，由得PC2+PC﹣3=0，解得．（2）解法一：∵CP∥OB，∴，在△POC中，由正弦定理得，即，∴．又，∴．记△POC的面积为S（θ），则======，∴时，S（θ）取得最大值为．解法二：，即OC2+PC2+OC•PC=4．又OC2+PC2+OC•PC≥3OC•PC，即3OC•PC≤4，当且仅当OC=PC时等号成立，所以，∵OC=PC，∴时，S（θ）取得最大值为．点评：本题主要考查两角和差的正弦公式，正弦定理、余弦定理、基本不等式的，属于中档题．22．（12分）（2015春•合肥校级期末）已知{a n}、{b n}都是各项均为正数且公差不为0的等差数列，满足a n b n+1+a n+1b n=2na n+1（n∈N*）．（1）求证：数列{a n}有无穷多个，而数列{b n}惟一确定；（2）设a n+1=，s n=b1+b2+b3+…+b2n﹣1+b2n，求证：2＜＜6．考点：数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）通过将a n=a1+（n﹣1）d，b n=b1+（n﹣1）d2代入a n b n+1+a n+1b n=2na n+1（n∈N*），计算即得结论；（2）一方面通过a n+1﹣a n计算可得a n＜a n+1，放缩可得2n＜b n+1+b n，进而有S n=＞2[1+3+…+（2n﹣1）]，另一方面通过a n b n+1=（2n﹣b n）•a n+1＞0，a n+1＞0，可得S n=＜2（1+2+…+2n），计算可得结论．解答：证明：（1）设{a n}、{b n}公差分别为d1、d2（d1d2≠0），则a n=a1+（n﹣1）d，b n=b1+（n﹣1）d2，代入a n b n+1+a n+1b n=2na n+1（n∈N*），可得[a1+（n﹣1）d1][b1+nd2]+（a1+nd1）[b1+（n﹣1）d2]=2n（a1+nd1）是个恒等式，可得，解得，可得a n=na1，b n=n．∴a1可取无穷多个正实数，可得数列{a n}有无穷多个，而数列{b n}惟一确定；（2）∵a n+1=，∴a n+1﹣a n=a n+1=﹣a n=＞0，∴a n＜a n+1，∴a n b n+1+a n+1b n=2na n+1＜a n+1b n+1+a n+1b n，∴2n＜b n+1+b n．∴S n==（b1+b2）+（b3+b4）+…+（b2n﹣1+b2n）＞2[1+3+…+（2n﹣1）]=2n2．又a n b n+1=（2n﹣b n）•a n+1＞0，a n+1＞0，∴2n﹣b n＞0．∴S n=＜2（1+2+…+2n）=2n（1+2n）=4n2+2n，∴S n∈（2n2，4n2+2n），∴2＜＜4+≤6．∴．点评：本题是一道关于数列的综合题，考查运算求解能力，考查分析问题、解决问题的能力，注意解题方法的积累，属于中档题．。