兰州大学2007级-量子力学试卷A

2009-2010学年第1学期考试试题 （A ）卷

课程名称 《 量子力学 》 任课教师签名 出题教师签名 审题教师签名 考试方式 （闭）卷 适用专业 考试时间 （120 ）分钟

一、填空题（25分）

1、(3分)电子被100V 的电压加速，则电子的德布罗意波长为

(电子的质量为9.1×10-31

kg ，电子的电量为1.602×10－19库仑，普朗

克常数 h ＝6.62559×10－34

J ·s)；

2、(4分)力学量A 的本征态为n ψ，相应的本征值为a n ，n=1.2.3 。如果体系处于状态2211ψψψc c +=，则测量A 所得的结果为a 1或a 2，其出现的概率分别为 和 。

3、(2分)若对应于力学量A 的本征值A n 有两个本征函数，则称A

ˆ的本征值A n 是 。

4、(2分)所有可观测量对应的算符均为 算符。

5、(3分)算符2ˆL 和z L

的共同的本征函数是 。

6、(4分)[]

=x n p x , ；

7、(4分)泡利算符与自旋算符之间的关系满足 ；泡利

算符z y x σσσ

ˆˆˆ＝ ； 8、(3分)在一三维函数空间，在某一正交归一的基矢下，体系的哈密

顿算符用矩阵⎥⎥

⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣⎡=300021012H 表示。则当测量系统的能量时，能量的可能结果是 。

二、简答题(13分)

1、(7分)什么是波函数的统计解释？量子力学的波函数与声波和光波

的主要区别是什么？ 2、(6分)写出量子力学中的测不准关系。如果两个算符不对易，则这两个算符所代表的力学量能否同时取确定值。

三、证明题(12分)

1、(5分)证明自由粒子平面波函数是动量算符x

P ˆ的本征函数并求本征值。

2、(7分) 证明：在Z L ˆ的本征态下，0=X L 。

四、计算 (50分)

1、(15分)设矩阵A 、B 、C 满足A 2=B 2=C 2=1，BC －CB=iA 。 (a) 证明AB+BA=AC+CA=0；

(b) 在A 表象中(设无简并)，求出B 和C 的矩阵表示。

2、(15分)在时间t=0时，一线性谐振子处于用下列归一化的波函数描写的状态：()()()()x u c x u x u x 33202

1510,++=

ψ，式中()()3,2,0=n x u n 是振子第n 个与时间无关的H

ˆ的本征函数。（1）求c 3的值；（2）写出t 时刻的波函数；(3)求t=0时刻振子能量的平均值，t=1时刻平均值又为多大？

3、(20分) 当ε为小的参数时，求在()

0H

表象中的矩阵

⎪⎪⎪

⎭

⎫

⎝⎛++=εεεεεε2330322021H 的本征值到ε的二次项，本征函数到ε的一

次项。