数列知识要点梳理

数列知识要点梳理-标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII

知识要点梳理

知识点一：数列的概念

1、数列的定义：

数列是按一定顺序排列的一列数，如1，1，2，3，5，…，a n，…，可简记为{a n}

注意：

（1）数列可以看作是定义在自然数集N*或它的有限子集{1，2，…，n}上的函数。函数当自变量

n从1开始依次取自然数时所对应的一列函数值，，…，，…，通常用代替

，于是数列的一般形式为a1，a2，…，，…，简记为。其中是数列的第n

项，也叫做通项。

（2）数列的特征：有序性。一个数列不仅与构成数列的“数”有关，而且与这些数的顺序有关，“顺

序”是对数列本质属性的刻画。

（3）数列的定义域是离散的，因而其图象也是离散的点集。

2、数列的通项公式

一个数列的第n项与项数n之间的函数关系，如果可以用一个公式来表示，我们就把这个公式叫做这个数列的通项公式。

注意：

①不是每个数列都能写出它的通项公式。如数列1，2，3，―1，4，―2，就写不出通项公式；

②有的数列虽然有通项公式，但在形式上又不一定是唯一的。如：数列―1，1，―1，1，…的通项公

式可以写成，也可以写成；

③仅仅知道一个数列的前面的有限项，无其他说明，数列是不能确定的。

3、数列的表示：

(1)列举法：如-2，-5，-8，…

注意：数列的列举法与集合的列举法不一样，主要就是有序与无序的差别。

(2)图象法：由点组成的图象；是离散的点集。

(3)解析式法：用数列的通项公式a n=f(n)，n∈N*或其他式子表示的数列。

4、数列的分类：

（1）按项数：有限数列和无限数列；

（2）按单调性：递增数列、递减数列（递增数列与递减数列统称为单调数列）；

（3）按照任何一项的绝对值是否都小于某一正数来分：有界数列、无界数列；

（4）其他数列：摆动数列、常数列。

5、数列的递推式：

如果已知数列的第一项或前若干项，且任一项与它的前一项或前若干项间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式，简称递推式。

注意：利用递推关系表示数列时，需要有相应个数的初始值。

6、通项与前n项和的关系：

任意数列的前n项和；

注意：由前n项和求数列通项时，要分三步进行：

（1）求，

（2）求出当n≥2时的，

（3）如果令n≥2时得出的中的n=1时有成立，则最后的通项公式可以统一写成一个形式，

否则就只能写成分段的形式。

知识点二：等差数列

1．概念与特征

定义：从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数的数列称作等差数列

特征：（常数），或者（）。

注意：｛｝为等差数列(n∈N※)－=d (n2, n∈N ※)（ d为常数）

2．通项公式：

；

注意：

①方程观点：公式中、、n、d只要有三个就可以利用方程(组)求出第四个。

②函数观点：等差数列{}中，，是关于n的一次函数(或

常数函数)，一次项系数k为公差d。

③几何意义：点(n，)共线；

当k=d>0时，{}为递增数列；

当k=d<0时，{}为递减数列；

当k=d=0时，{}为常数列。

3．前n项和公式：

；

注意：

①方程观点：公式中有三个就可以利用方程得出余下的二个。

②函数观点：,为n的二次函数且常数项为0

4．等差中项

若a、b、c成等差数列，则b称为a与c的等差中项，正数m、n 的等差中项也叫它们的算术平均数。

5. 等差数列的主要性质：

（1）通项公式的推广：

（2）若，则；

特别，若，则

说明：这条性质，还可以推广到有三项、四项……等情形。使用该性质时，一要注意等式两边下标和相等，二要注意等式两边和的项数应是一样多。

（3）等差数列中，若

.

（4）公差为d的等差数列中，连续k项和，…组成新的等差数列。

6．判定一个数列为等差数列的常用方法

①定义法：（常数）是等差数列；

②中项公式法：是等差数列；

③通项公式法：（p，q为常数）是等差数列；

④前n项和公式法：（A，B为常数）是等差数列。

注意：对于探索性较强的问题，则应注意从特例入手，归纳猜想一般特性。

7．常用结论

（1）等差数列，前n项和为

①当n为奇数时，；；；

②当n为偶数时，；；。

（2）等差数列，前n项和为，则（m、n∈N*，且m≠n）。

（3）等差数列中，若m+n=p+q（m、n、p、q∈N*，且m≠n，p≠

q），则。

（4）等差数列中，公差d，依次每k项和：，，成等差数列，新公差

。

（5）等差数列中

①若a1＞0，d＜0，有最大值，可由不等式组来确定n；

②若a1＜0，d＞0，有最小值，可由不等式组来确定n，也可由前n项和公式

来确定n。

知识点三：等比数列

1．概念与特征：

定义：从第二项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数的数列称作等比数列。

特征：（q为不等于零的常数），或者。

注意：｛｝为等比数列

2．通项公式：

注意：

①方程观点：知二求一；

②函数观点：

时，是关于n的指数型函数；

时，是常数函数；

③几何意义：函数的图象上一群孤立的点

当时，若，等比数列是递增数列；若，等比数列是递减数列；

当时，若，等比数列是递减数列；若，等比数列是递增数列；

当时，等比数列是摆动数列；

当时，等比数列是非零常数列。

3．前n项和公式：

，

注意：

方程观点：公式的五个量中，知三可求二.