数列知识要点梳理

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数列知识点总结大全

数列知识点总结大全一、数列的概念与定义1. 数列的概念：数列是按照一定规律排列的一组数的集合，数列中的每个数称为数列的项。

2. 数列的定义：数列可以用一个通项公式或者递推公式来表示，通项公式指明了数列的第n个项与n的关系，递推公式则指明了数列的第n+1项与第n项的关系。

二、常见的数列类型1. 等差数列：如果一个数列中任意相邻两项的差都相等，那么这个数列就是等差数列。

等差数列的通项公式为an=a1+(n-1)d，其中a1为首项，d为公差。

2. 等比数列：如果一个数列中任意相邻两项的比值都相等，那么这个数列就是等比数列。

等比数列的通项公式为an=a1*r^(n-1)，其中a1为首项，r为公比。

3. 调和数列：如果一个数列中任意相邻两项的倒数之差都相等，那么这个数列就是调和数列。

调和数列的通项公式为an=1/(1+d(n-1))，其中d为公差。

三、数列的性质1. 有限数列与无限数列：有限数列指数列中的项是有限个，无限数列指数列中的项是无限个。

2. 数列的奇偶性：如果数列的每一项的奇偶性相同，则称该数列为奇数列或偶数列。

3. 数列的首项和公差：首项指数列中的第一个元素，公差指等差数列中相邻两项之差。

4. 数列的前n项和：数列的前n项和可以用求和公式来表示，对于等差数列和等比数列有相应的公式。

5. 数列的递推公式：递推公式指明了数列的第n+1项与第n项的关系，可以通过递推公式求出数列的任意一项。

四、数列的应用1. 等差数列与等比数列的求和：等差数列和等比数列的前n项和在数学和物理问题中有广泛的应用，它们可以帮助我们简化复杂的计算。

2. 数学归纳法：数学归纳法是证明数学命题的一种方法，在数列中的应用尤其广泛。

3. 数列的模型应用：数列模型可以用来描述自然界和社会现象中的变化规律，比如人口增长、物种演化等。

五、数列的判断与证明1. 数列的判断：如何判断一个数列是等差数列、等比数列、调和数列等，需要根据数列的性质和通项公式进行分析。

数列知识点归纳总结

数列知识点归纳总结数列是数学中常见且重要的概念，它是由一系列按照一定规律排列的数所组成的序列。

在数学中，数列广泛应用于代数、函数和数学分析等领域。

本文将对数列的基本概念、性质和常见类型进行归纳总结。

一、数列的基本概念数列是由一系列按照一定规律排列的数所组成的序列。

通常用字母$a$表示数列的首项，$d$表示数列的公差（等差数列），$q$表示数列的公比（等比数列）。

数列的一般表示形式为：$$a_1，a_2，a_3，...，a_n，...$$其中，$a_n$表示数列的第n个数。

二、等差数列等差数列是指数列中相邻两项之间的差都相等的数列。

设等差数列的首项为$a_1$，公差为$d$，则等差数列的通项公式为：$$a_n = a_1 + (n-1)d$$其中$n$为项数，$a_n$表示第n个数。

等差数列的求和公式为：$$S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)$$其中$S_n$表示前n项的和。

三、等比数列等比数列是指数列中相邻两项之间的比值都相等的数列。

设等比数列的首项为$a_1$，公比为$q$，则等比数列的通项公式为：$$a_n = a_1 \cdot q^{n-1}$$其中$n$为项数，$a_n$表示第n个数。

等比数列的求和公式为：$$S_n = \frac{a_1(1 - q^n)}{1-q}$$其中$S_n$表示前n项的和。

四、特殊数列除了等差数列和等比数列外，还有一些特殊的数列。

1. 斐波那契数列：斐波那契数列是一个特殊的数列，它的前两项为1，从第三项开始，每一项都是前两项的和。

斐波那契数列的通项公式可以表示为：$$F_n = F_{n-1} + F_{n-2}$$其中$F_n$表示第n个斐波那契数。

2. 等差-等比混合数列：等差-等比混合数列是指数列中，从第二项开始，每一项都是前一项与相邻前一项之间的差值和比值的乘积。

混合数列的通项公式为：$$a_n = a_1 + (n-1)d + (n-2)d\cdot r$$其中$d$为等差数列的公差，$r$为等比数列的公比。

高一数学必修5：数列(知识点梳理)

第二章：数列一、数列的概念1、数列的概念：一般地，按一定次序排列成一列数叫做数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项，数列的一般形式可以写成a a a a n ,,,,,123，简记为数列a n {}，其中第一项a 1也成为首项；a n 是数列的第n 项，也叫做数列的通项.数列可看作是定义域为正整数集*N （或它的子集）的函数，当自变量从小到大取值时，该函数对应的一列函数值就是这个数列.2、数列的分类：按数列中项的多数分为：（1）有穷数列：数列中的项为有限个，即项数有限；（2）无穷数列：数列中的项为无限个，即项数无限.3、通项公式：如果数列a n {}的第n 项a n 与项数n 之间的函数关系可以用一个式子表示成=a f n n ()，那么这个式子就叫做这个数列的通项公式，数列的通项公式就是相应函数的解析式.4、数列的函数特征：一般地，一个数列a n {}，如果从第二项起，每一项都大于它前面的一项，即>+a a n n 1，那么这个数列叫做递增数列;高一数学必修5：数列（知识点梳理）如果从第二项起，每一项都小于它前面的一项，即1n n a a +<，那么这个数列叫做递减数列; 如果数列的各项都相等，那么这个数列叫做常数列.5、递推公式：某些数列相邻的两项（或几项）有关系，这个关系用一个公式来表示，叫做递推公式．二、等差数列1、等差数列的概念：如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的差是同一个常数，那么这个数列久叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差.即1n n a a d +-=（常数），这也是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据.2、等差数列的通项公式：设等差数列的首项为1a ，公差为d ，则通项公式为：()()()11,n m a a n d a n m d n m N +=+-=+-∈、.3、等差中项：（1）若a A b 、、成等差数列，则A 叫做a 与b 的等差中项，且=2a bA +; （2）若数列为等差数列，则12,,n n n a a a ++成等差数列，即1n a +是与2n a +的等差中项，且21=2n n n a a a +++；反之若数列满足21=2n n n a a a +++，则数列是等差数列.4、等差数列的性质：（1）等差数列中，若(),m n p q m n p q N ++=+∈、、、则m n p q a a a a +=+，若2m n p +=，则2m n p a a a +=；（2）若数列和{}n b 均为等差数列，则数列{}n n a b ±也为等差数列；（3）等差数列{}n a 的公差为d ，则{}0n d a >⇔为递增数列，{}0n d a <⇔为递减数列，{}0n d a =⇔为常数列.5、等差数列的前n 项和n S ：（1）数列{}n a 的前n 项和n S =()1231,n n a a a a a n N -++++++∈；（2）数列{}n a 的通项与前n 项和n S 的关系：11,1.,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩（3）设等差数列{}n a 的首项为1,a 公差为d ，则前n 项和()()111=.22n n n a a n n S na d +-=+6、等差数列前n 和的性质：（1）等差数列{}n a 中，连续m 项的和仍组成等差数列，即12122,,m m m m a a a a a a ++++++++21223m m m a a a +++++,仍为等差数列（即232,,,m m m m m S S S S S --成等差数列）；（2）等差数列{}n a 的前n 项和()2111==,222n n n d d S na d n a n -⎛⎫++- ⎪⎝⎭当0d ≠时，n S 可看作关于n 的二次函数，且不含常数项；（3）若等差数列{}n a 共有2n+1（奇数）项，则()11==,n S n S S a S n++-奇奇偶偶中间项且若等差数列{}n a 共有2n （偶数）项，则1==.n nS a S S nd S a +-偶奇偶奇且7、等差数列前n 项和n S 的最值问题：设等差数列{}n a 的首项为1,a 公差为d ，则（1）100a d ><且（即首正递减）时，n S 有最大值且n S 的最大值为所有非负数项之和；（2）100a d <>且（即首负递增）时，n S 有最小值且n S 的最小值为所有非正数项之和.三、等比数列1、等比数列的概念：如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的比是同一个不为零的常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q 表示（0q ≠）.即()1n na q q a +=为非零常数，这也是证明或判断一个数列是否为等比数列的依据.2、等比数列的通项公式：设等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ，则通项公式为：()11,,n n m n m a a qa q n m n m N --+==≥∈、.3、等比中项：（1）若a A b 、、成等比数列，则A 叫做a 与b 的等比中项，且2=A ab ; （2）若数列{}n a 为等比数列，则12,,n n n a a a ++成等比数列，即1n a +是与2n a +的等比中项，且212=n n n a a a ++⋅；反之若数列{}n a 满足212=n n n a a a ++⋅，则数列{}n a 是等比数列.4、等比数列的性质：（1）等比数列{}n a 中，若(),m n p q m n p q N ++=+∈、、、则m n p q a a a a ⋅=⋅，若2m n p +=，则2m n p a a a ⋅=；（2）若数列{}n a 和{}n b 均为等比数列，则数列{}n n a b ⋅也为等比数列；（3）等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ，则{}1100101na a a q q ><⎧⎧⇔⎨⎨><<⎩⎩或为递增数列，{}1100011n a a a q q ><⎧⎧⇔⎨⎨<<>⎩⎩或为递减数列， {}1n q a =⇔为常数列.5、等比数列的前n 项和：（1）数列{}n a 的前n 项和n S =()1231,n n a a a a a n N -++++++∈；（2）数列{}n a 的通项与前n 项和n S 的关系：11,1.,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩ （3）设等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为()0q q ≠，则()11,1.1,11n n na q S a q q q=⎧⎪=-⎨≠⎪-⎩由等比数列的通项公式及前n 项和公式可知，已知1,,,,n n a q n a S 中任意三个，便可建立方程组求出另外两个.6、等比数列的前n 项和性质：设等比数列{}n a 中，首项为1a ，公比为()0q q ≠，则（1）连续m 项的和仍组成等比数列，即12122,,m m m m a a a a a a ++++++++21223m m m a a a +++++,仍为等比数列（即232,,,m m m m m S S S S S --成等差数列）；（2）当1q ≠时，()()11111111111111n n n n n a q a a a a aS q q q qq q q q q -==⋅-=-⋅=⋅-------，设11a t q =-，则n n S tq t =-.四、递推数列求通项的方法总结1、递推数列的概念：一般地，把数列的若干连续项之间的关系叫做递推关系，把表达递推关系的式子叫做递推公式，而把由递推公式和初始条件给出的数列叫做递推数列.2、两个恒等式：对于任意的数列{}n a 恒有：（1）()()()()12132431n n n a a a a a a a a a a -=+-+-+-++-（2）()23411231,0,nn n n a a a a a a a n N a a a a +-=⨯⨯⨯⨯⨯≠∈3、递推数列的类型以及求通项方法总结：类型一（公式法）：已知n S （即12()n a a a f n +++=）求n a ，用作差法：{11,(1),(2)n n n S n a S S n -==-≥类型二（累加法）：已知：数列的首项,且()()1,n n a a f n n N ++-=∈，求n a 通项.给递推公式()()1,n n a a f n n N ++-=∈中的n 依次取1,2,3，……，n-1,可得到下面n-1个式子：()()()()21324311,2,3,,1.n n a a f a a f a a f a a f n --=-=-=-=-利用公式()()()()12132431n n n a a a a a a a a a a -=+-+-+-++-可得：()()()()11231.n a a f f f f n =+++++-类型三（累乘法）：已知：数列的首项,且()()1,n na f n n N a ++=∈，求n a 通项. 给递推公式()()1,n na f n n N a ++=∈中的n 一次取1,2,3，……，n-1,可得到下面n-1个式子： ()()()()23412311,2,3,,1.nn a a aa f f f f n a a a a -====- 利用公式()23411231,0,nn n n a a a a a a a n N a a a a +-=⨯⨯⨯⨯⨯≠∈可得： ()()()()11231.n a a f f f f n =⨯⨯⨯⨯⨯-类型四（构造法）：形如q pa a n n +=+1、n n n q pa a +=+1（q p b k ,,,为常数）的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为k 的等比数列后，再求n a 。

数列知识点归纳总结讲义

数列知识点归纳总结讲义数列是数学中常见的一个概念，它在各个领域都有广泛的应用。

正如其名称所示，数列是一系列按照特定规律排列的数的集合。

在学习和应用数列时，我们需要了解一些基本概念和常见的数列类型。

本文将对数列的知识点进行归纳总结，帮助读者更好地理解和掌握相关概念。

一、数列的基本概念1. 数列的定义：数列是按照一定的规律排列的一组数，用字母表示为{a₁，a₂，a₃，...}。

2. 项与序号：数列中的每个数称为项，对应的位置称为序号。

第一项为a₁，第二项为a₂，以此类推。

3. 通项公式：数列中每个项与它所在的序号之间存在着一定的关系，这种关系用通项公式来表示，通常用aₙ表示第n个项的值。

4. 数列的有穷与无穷：当数列中的项有限个时，称其为有穷数列；当数列中的项无限多时，称其为无穷数列。

二、常见的数列类型1. 等差数列：等差数列是一种最为常见的数列类型，其特点是每个项之间的差值相等。

通项公式：aₙ = a₁ + (n - 1)d其中，a₁为首项，d为公差，n为项数。

例如：2，5，8，11，14...就是一个以3为公差的等差数列。

2. 等比数列：等比数列是指数列中每个项与它前一项的比值相等的数列。

通项公式：aₙ = a₁ * r^(n-1)其中，a₁为首项，r为公比，n为项数。

例如：1，2，4，8，16...就是一个以2为公比的等比数列。

3. 斐波那契数列：斐波那契数列是指从第3项开始，每个项都是前两项的和。

通项公式：aₙ = aₙ₋₂ + aₙ₋₁其中，a₁和a₂为斐波那契数列的前两项。

例如：1，1，2，3，5，8，13...就是一个斐波那契数列。

4. 平方数列：平方数列是指数列中每个项都是某个整数的平方。

通项公式：aₙ = n²其中，n表示项数。

例如：1，4，9，16，25...就是一个平方数列。

5. 等差数列与等比数列混合：有时数列中既存在等差关系，又存在等比关系，称其为等差数列与等比数列混合数列。

(完整word版)数列知识点复习总结,推荐文档

数列高考知识点大扫描数列基本概念数列是一种特殊函数，对于数列这种特殊函数，着重讨论它的定义域、值域、增减性和最值等方面的性质，依据这些性质将数列分类：依定义域分为：有穷数列、无穷数列；依值域分为：有界数列和无界数列；依增减性分为递增数列、递减数列和摆动数列。

数列的表示方法：列表法、图象法、解析法（通项公式法及递推关系法）；数列通项：()n a f n =2、等差数列1、定义当n N ∈,且2n ≥ 时，总有 1,()n n a a d d +-=常，d 叫公差。

2、通项公式 1(1)n a a n d =+-1）、从函数角度看 1()n a dn a d =+-是n 的一次函数，其图象是以点 1(1,)a 为端点, 斜率为d 斜线上一些孤立点。

2）、从变形角度看 (1)()n n a a n d =+--, 即可从两个不同方向认识同一数列，公差为相反数。

又11(1),(1)n m a a n d a a m d =+-=+-,相减得 ()n m a a n m d -=-，即()n m a a n m d =+-. 若 n>m ，则以 m a 为第一项，n a 是第n-m+1项，公差为d ；若n<m ，则 m a 以为第一项时，n a 是第m-n+1项，公差为-d.3）、从发展的角度看若{}n a 是等差数列，则12(2)p q a a a p q d +=++- ，12(2)m n a a a m n d +=++-, 因此有如下命题：在等差数列中，若2m n p q r +=+= , 则2m n p q r a a a a a +=+=.3、前n 项和公式由 1211,n n n n n S a a a S a a a -=+++=+++L L ，相加得 12n n a a S n +=，还可表示为1(1),(0)2n n n S na d d -=+≠，是n 的二次函数。

高三数学第一轮复习——数列(知识点很全)

数列一、知识梳理概念1.数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每个数称为该数列的项.2.通项公式：如果数列{}n a 的第n 项与序号之间可以用一个式子表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式，即)(n f a n=.3.递推公式：如果已知数列{}n a 的第一项（或前几项），且任何一项n a 与它的前一项1-n a （或前几项）间的关系可以用一个式子来表示，即)(1-=n n a f a 或),(21--=n n n a a f a ，那么这个式子叫做数列{}n a 的递推公式. 如数列{}n a 中，12,11+==n na a a ，其中12+=n n a a 是数列{}n a 的递推公式.4.数列的前n 项和与通项的公式①n na a a S +++= 21； ②⎩⎨⎧≥-==-)2()1(11n S S n S a n n n .5. 数列的表示方法：解析法、图像法、列举法、递推法.6. 数列的分类：有穷数列，无穷数列；递增数列，递减数列，摆动数列，常数数列；有界数列，无界数列.①递增数列:对于任何+∈N n ,均有n n a a >+1.②递减数列:对于任何+∈N n ,均有n n a a <+1.③摆动数列:例如: .,1,1,1,1,1 --- ④常数数列:例如:6,6,6,6,……. ⑤有界数列:存在正数M 使+∈≤N n M a n ,.⑥无界数列:对于任何正数M ,总有项n a 使得M a n >.等差数列1.等差数列的概念如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数d ，这个数列叫做等差数列，常数d 称为等差数列的公差.2.通项公式与前n 项和公式⑴通项公式d n a a n)1(1-+=，1a 为首项，d 为公差.⑵前n 项和公式2)(1n n a a n S +=或d n n na S n )1(211-+=.3.等差中项如果b A a ,,成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项.即：A 是a 与b 的等差中项⇔b a A +=2⇔a ，A ，b 成等差数列.4.等差数列的判定方法 ⑴定义法：d a a n n =-+1（+∈N n ，d 是常数）⇔{}n a 是等差数列；⑵中项法：212+++=n n n a a a (+∈N n )⇔{}n a 是等差数列.5.等差数列的常用性质⑴数列{}n a 是等差数列，则数列{}p a n +、{}n pa （p 是常数）都是等差数列；⑵在等差数列{}n a 中，等距离取出若干项也构成一个等差数列，即 ,,,,32k n k n k n n a a a a +++为等差数列，公差为kd .⑶d m n a a m n)(-+=；b an a n +=(a ,b 是常数)；bn an S n +=2(a ,b 是常数，0≠a )⑷若),,,(+∈+=+N q p n m q p nm ，则q p n m a a a a +=+；⑸若等差数列{}n a 的前n 项和n S ，则⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S n 是等差数列；⑹当项数为)(2+∈N n n ，则nn a a S S nd S S 1,+==-奇偶奇偶；当项数为)(12+∈-N n n ，则nn S S a S S n 1,-==-奇偶偶奇. 等比数列1.等比数列的概念如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数)0(≠q q ，这个数列叫做等比数列，常数q 称为等比数列的公比. 2.通项公式与前n 项和公式⑴通项公式：11-=n nq a a ，1a 为首项，q 为公比 .⑵前n 项和公式：①当1=q时，1na S n =②当1≠q 时，qqa a q q a S n n n --=--=11)1(11.3.等比中项如果b G a ,,成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项. 即：G 是a 与b 的等差中项⇔a ，A ，b 成等差数列⇒b a G ⋅=2.4.等比数列的判定方法 ⑴定义法：q a a nn =+1（+∈N n ，0≠q 是常数）⇔{}n a 是等比数列； ⑵中项法：221++⋅=n n n a a a (+∈N n )且0≠n a ⇔{}n a 是等比数列.5.等比数列的常用性质⑴数列{}n a 是等比数列，则数列{}n pa 、{}n pa （0≠q 是常数）都是等比数列；⑵在等比数列{}n a 中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即 ,,,,32k n k n k n n a a a a +++为等比数列，公比为kq .⑶),(+-∈⋅=N m n q a a m n m n⑷若),,,(+∈+=+N q p n m q p nm ，则q p n m a a a a ⋅=⋅；⑸若等比数列{}n a 的前n 项和n S ，则k S 、k k S S -2、k k S S 23-、k k S S 34-是等比数列.二、典型例题A 、求值类的计算题（多关于等差等比数列） 1）根据基本量求解（方程的思想） 1、已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，63,6,994=-==nS a a ，求n ；2、等差数列{}n a 中，410a =且3610a a a ，，成等比数列，求数列{}n a 前20项的和20S ．3、设{}n a 是公比为正数的等比数列，若16,151==a a ，求数列{}n a 前7项的和.4、已知四个实数，前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，首末两数之和为37，中间两数之和为36，求这四个数.2）根据数列的性质求解（整体思想） 1、已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，1006=a ，则=11S ；2、设n S 、n T 分别是等差数列{}n a 、{}n a 的前n 项和，327++=n n T S nn，则=55b a . 3、设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若==5935,95S Sa a 则（）4、等差数列{}n a ,{}n b 的前n 项和分别为n S ,n T ,若231n n S n T n =+,则n na b =（） 5、已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，)(,m n n S m S m n ≠==，则=+n m S .6、在正项等比数列{}n a 中，153537225a a a a a a ++=，则35a a +=_______。

数列知识点总结

数列知识点总结数列是数学中的一个重要概念，在许多领域都有广泛的应用。

接下来，让我们一起深入了解数列的相关知识点。

一、数列的定义数列是按照一定顺序排列的一列数。

例如，1，3，5，7，9 就是一个数列。

数列中的每一个数都叫做这个数列的项，其中第 1 个数称为首项，第 n 个数称为第 n 项。

二、数列的分类1、按照项数的多少，数列可分为有限数列和无限数列。

有限数列的项数是有限的，而无限数列的项数是无限的。

2、按照项与项之间的大小关系，数列可分为递增数列、递减数列和常数列。

递增数列中，后一项始终大于前一项；递减数列中，后一项始终小于前一项；常数列中，所有项都相等。

三、数列的表示方法1、通项公式法如果数列的第 n 项与项数 n 之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式。

例如，数列 2，4，6，8，······的通项公式为 an ＝ 2n。

2、递推公式法如果已知数列的第一项（或前几项），并且任一项与它的前一项（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式。

比如斐波那契数列 1，1，2，3，5，8，······，其递推公式为 an ＝ an 1 ＋ an 2（n ≥ 3）。

3、列表法将数列的各项依次列在一张表格中，这种表示数列的方法叫做列表法。

四、等差数列1、定义如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列。

这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母 d 表示。

2、通项公式等差数列的通项公式为 an ＝ a1 ＋（n 1)d ，其中 a1 为首项，d 为公差。

3、等差中项如果 a，b，c 成等差数列，那么 b 叫做 a，c 的等差中项，且 b ＝（a ＋ c) ／ 2 。

4、前 n 项和公式等差数列的前 n 项和公式为 Sn ＝ n(a1 ＋ an) ／ 2 或 Sn ＝ na1 ＋n(n 1)d ／ 2 。

高一数列知识点的梳理总结

高一数列知识点的梳理总结数列是高中数学中的重要概念之一，也是数学建模、微积分等领域的基础知识。

本文将对高一数列的基本概念、性质和常见的数列类型进行梳理和总结。

1. 数列的基本概念和性质- 数列：按照一定的顺序排列的一组数。

- 公式：数列中每一项与其位置之间的关系可以用一个公式来表示。

- 项数：数列中的元素个数。

- 通项公式：用公式表示数列的每一项。

- 首项：数列中的第一项。

- 公差：数列中相邻两项的差值。

- 递推公式：用前一项来表示后一项的公式。

2. 常见的数列类型- 等差数列：数列的相邻两项之差是一个常数。

通项公式为：$a_n = a_1 + (n-1)d$，其中$a_n$表示第$n$项，$a_1$表示首项，$d$表示公差。

- 等比数列：数列的相邻两项之比是一个常数。

通项公式为：$a_n = a_1 \cdot r^{(n-1)}$，其中$a_n$表示第$n$项，$a_1$表示首项，$r$表示公比。

- 斐波那契数列：数列中的每一项是前两项的和。

通项公式为：$f_n = f_{n-1} + f_{n-2}$，其中$f_n$表示第$n$项，$f_1 = 1$，$f_2 = 1$。

3. 数列的应用- 数列在数学建模中的应用：数列可以用来描述一定规律的变化过程，通过数列的性质和规律，可以解决实际问题。

- 数列在微积分中的应用：数列是微积分的基础，通过研究数列的趋势和极限，可以刻画函数的性质和变化规律。

以上是对高一数列知识点的基本梳理和总结，掌握这些知识对于学习高中数学和应用数学都具有重要意义。

数列知识点及典型题分析

数列的概念与简单表示法知识要点梳理知识点一：数列的概念⒈数列的定义：按一定顺序排列的一列数叫做数列.注意：⑴数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列；(例如数列1，2，3，4，5与数列5，4，3，2，1是不同的数列.)⑵定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现. (如：-1的1次幂，2次幂，3次幂，4次幂，…构成数列：-1，1，-1，1，….)⒉数列的项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项. 各项依次叫做这个数列的第1项，第2项，…，第项，….其中数列的第1项也叫作首项。

3. 数列的一般形式：，或简记为，其中是数列的第项知识点二：数列的分类1. 根据数列项数的多少分：有穷数列：项数有限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6是有穷数列无穷数列：项数无限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6，…是无穷数列2. 根据数列项的大小分：递增数列：从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列。

递减数列：从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列。

常数数列：各项相等的数列。

摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列知识点三：数列的通项公式与前项和1. 数列的通项公式如果数列的第项与之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.如数列：的通项公式为（）；的通项公式为（）；的通项公式为（）；注意：（1）并不是所有数列都能写出其通项公式；（2）一个数列的通项公式有时是不唯一的，如数列：1，0，1，0，1，0，…；它的通项公式可以是，也可以是.（3）数列通项公式的作用：①求数列中任意一项；②检验某数是否是该数列中的一项.（4）数列的通项公式具有双重身份，它表示了数列的第项，又是这个数列中所有各项的一般表示．2. 数列的前项和数列的前项逐个相加之和：；当时；当时，，.故.知识点四：数列与函数的关系数列可以看成以正整数集（或它的有限子集）为定义域的函数，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值。

2024新高考数学基础知识梳理与课本优秀题目巩固-模块11-数列

模块十一：数列1、数列的概念（1）数列的定义说明：1．数列具有有序性，一个数列不仅与构成数列的“数”有关，而且与这些数的排列顺序有关，注意与集合中元素的无序性区分开来．2、数列的项具有可重复性，数列中的数可以重复出现，这要与集合中元素的互异性区分开来．3、注意{}n a 与n a 的区别：{}n a 表示数列整体：1a ，2a ，…，n a ，…；n a 表示数列{}n a 中的第n 项. 4．数列与函数的关系：数列{}n a 是从正整数集*N （或它的有限子集{}1,2,3,,n ）到实数集R 的函数，其自变量是序号n ，对应的函数值是数列的第n 项n a ，记()n a f n =，即当自变量从1开始，按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值就是数列{}n a ，另一方面，对于函数()y f x =，如果()f n ()*n N ∈有意义，那么，()1f ，()2f ，()3f ，…，()f n ，…，构成一个数列(){}f n ．2、数列的分类3、数列的通项公式如果数列{}n a 的第n 项n a 与它的序号n 之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式．说明：数列的通项公式实际上是一个定义域比较特殊的函数的解析式，即()n a f n =，通项公式中的n 取不同的值，可以得到数列的项．4、数列的递推公式如果一个数列{}n a 的相邻两项或者多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子就叫做数列{}n a 的递推公式．说明：（1）不是所有的数列都有递推公式．（2）递推公式是给出数列的一种方法．递推公式和数列的通项公式一样，都是关于项的序号n 的恒等式，如果用符合要求的正整数依次去替换n ，就可以求出数列的各项．（3）数列的表示方法：通项公式法；列表法；图象法；递推公式法． 5、数列的前n 项和6、数列的函数性质（1）数列单调性的判断方法：①转化为函数，借助函数的单调性研究数列的单调性，如：数列{}n a 的通项公式为21n a n n =−+，考察函数21y x x =−+在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上为增函数，则数列{}n a 为单调递增数列.②利用定义判断：作差（作商）比较法，比较1n a +与n a 的大小，从而判断数列{}n a 的单调性．例：已知数列{}n a 满足2n a n n λ=+（n N *∈），若数列{}n a 为递增数列，则实数λ的取值范围是．（2）数列的最大项与最小项①借助数列的单调性研究数列的最大项与最小项．②利用11n n n n a a a a +−≥⎧⎨≥⎩（2n ≥）求数列{}n a 的最大项；利用11n n nn a a a a +−≤⎧⎨≤⎩（2n ≥）求数列{}n a 的最小项．例：已知数列{}n a 的通项公式是()728nn a n ⎛⎫=+⨯ ⎪⎝⎭（n N *∈），试问数列{}n a 中有没有最大项？若有，求出最大项和相应的项数；若没有，说明理由．7、等差数列与等比数列对比8、证明数列{}n a为等差数列的方法：9、等差数列的性质：10、对等差数列前n项和的最值问题的三中方法：11、等比数列的判定与证明方法：12、等比数列的性质13、递推数列的类型以及求通项方法总结：14、数列的求和方法：【重要方法总结】1、特殊递推数列求通项公式3、几个特殊数列的和4、裂项求和中的方法【课本优质习题汇总】新人教A版选择性必修二P9新人教A版选择性必修二P18新人教A版选择性必修二P23新人教A版选择性必修二P23新人教A版选择性必修二P25新人教A版选择性必修二P25新人教A版选择性必修二P34新人教A版选择性必修二P37新人教A版选择性必修二P40新人教A版选择性必修二P41新人教A版选择性必修二P41新人教A版选择性必修二P56新人教A版选择性必修二P57新人教B版选择性必修三P8新人教B版选择性必修三P15新人教B版选择性必修三P22新人教B版选择性必修三P27新人教B版选择性必修三P28新人教B版选择性必修三P42新人教B版选择性必修三P42新人教B版选择性必修三P43新人教B版选择性必修三P44新人教B版选择性必修三P51新人教B版选择性必修三P59新人教B版选择性必修三P59。

数列知识点归纳总结笔记

数列知识点归纳总结笔记一、数列的概念1. 数列的定义数列是由一系列有序的数按照一定的规律排列而成的。

我们通常用{n}来表示一个数列，其中n为自然数。

2. 数列的常见表示方式（1）通项公式表示：数列的一般形式为a₁，a₂，a₃，......，aₙ，其中aₙ是第n项的值。

数列的通项公式通常是一种算式，可以用来表示数列的第n项。

（2）递推关系表示：数列的第n项与它的前几项之间存在某种关系，这种关系称为数列的递推关系，通常用递归的方式表示。

3. 数列的分类（1）等差数列：数列中任意两项之间的差是常数，这种数列称为等差数列。

（2）等比数列：数列中任意两项之间的比是常数，这种数列称为等比数列。

（3）等差-等比混合数列：数列中既存在等差关系，又存在等比关系，这种数列称为等差-等比混合数列。

（4）等差-等比-等比差混合数列：数列中既存在等差关系，又存在等比关系，同时等差项间的差也构成等差数列，这种数列称为等差-等比-等比差混合数列。

二、数列的性质1. 数列的有界性（1）有界数列：如果一个数列存在一个上界和一个下界，那么该数列称为有界数列。

（2）无界数列：如果一个数列不存在上界或下界，那么该数列称为无界数列。

2. 数列的单调性（1）单调递增数列：如果数列的每一项都大于等于前一项，那么该数列称为单调递增数列。

（2）单调递减数列：如果数列的每一项都小于等于前一项，那么该数列称为单调递减数列。

3. 数列的极限（1）数列的极限定义：对于一个数列{aₙ}，如果对于任意给定的ε>0，存在N∈N，对于所有n>N，有|aₙ-L|<ε成立，则称数列{aₙ}的极限为L，记为lim⁡(n→∞) aₙ=L。

（2）数列的极限存在性：一个数列未必存在极限，但只要该数列有上界和下界，则该数列一定存在极限。

4. 数列的和（1）数列的部分和：对于数列{aₙ}，它的前n项的和称为数列的部分和，用Sₙ表示。

（2）数列的无穷和：如果lim⁡(n→∞) Sₙ=L，那么L称为数列{aₙ}的无穷和，即∑ aₙ=L。

数列的知识点公式总结

数列的知识点公式总结一、数列的概念数列是按照一定的顺序排列的一系列数字的集合。

数列中的每一个数字被称作数列的项，用泛指变量表示，通常用字母表示。

通常我们用 {an} 表示一个数列，其中 n 表示数列的项数。

例如，{1, 2, 3, 4, 5, ...} 就是一个自然数列，其中的每一项都是自然数。

数列的项数可以是有限个，也可以是无限个。

当数列的项数是有限个时，这样的数列被称为有限数列；而当数列的项数是无限个时，这样的数列被称为无限数列。

数列中每一项的下标也称为项数，通常用 n 表示。

当数列的项数是有限个时，数列通常按照从小到大的顺序排列；当数列的项数是无限个时，数列可能有很多不同的排列方式。

数列的项可能是整数、分数、小数等各种类型的数。

而数列的项之间的关系按照一定的规律排列，这种规律可以通过不同的方式进行描述，如递推关系、通项公式等。

二、等差数列等差数列是一种常见的数列类型，其中相邻两项之间的差值是一个常数。

等差数列通常用{an} 表示，其中 a1、a2、a3、... 分别表示数列中的第一项、第二项、第三项等。

等差数列的通项公式可以表示为：an = a1 + (n-1)d，其中 a1 表示数列的第一项，d 表示数列的公差，n 表示数列的项数。

例如，数列 {3, 6, 9, 12, 15, ...} 就是一个等差数列，其中公差为 3。

这个数列的通项公式可以表示为 an = 3 + (n-1)×3。

如果给定一个等差数列的前 n 项和 Sn，那么其求和公式为：Sn = n/2×(a1 + an)，其中 a1表示数列的第一项，an 表示数列的第 n 项。

等差数列有一个重要的性质，即等差数列的中项等于其首项与末项的算术平均数。

即(an + a1)/2 = an表示数列的中项。

三、等比数列等比数列是另一种重要的数列类型，在等比数列中，相邻两项的比值是一个常数。

等比数列通常用{an} 表示，其中a1、a2、a3、... 分别表示数列中的第一项、第二项、第三项等。

数列知识点公式归纳总结

数列知识点公式归纳总结数列是数学中常见的概念，它可以通过一定的规律来表示一系列的数值。

在数学学科中，数列的研究与应用非常广泛，无论是在纯数学中的数论、代数，还是在应用数学中的物理、经济学等领域都有数列的应用。

因此，熟练掌握数列的知识点和公式对于提高数学水平以及解决实际问题都具有重要意义。

本文将针对数列的知识点进行归纳总结，旨在帮助读者更好地理解和应用数列的概念。

在总结中，将包括一些常见的数列类型、特殊数列的性质以及数列求和公式等内容，以供读者参考和学习。

一、等差数列等差数列是指数列中的相邻项之间的差等于一个常数。

在等差数列中，我们可以总结出以下几个重要的知识点和公式：1. 第n项公式：对于等差数列an，其第n项的公式可以表示为an = a1 + (n-1)d，其中a1是首项，d是公差。

2. 前n项和公式：对于等差数列an，其前n项和的公式可以表示为Sn = (n/2)(a1 + an) = (n/2)(2a1 + (n-1)d)，其中Sn表示前n项和。

3. 通项公式：对于等差数列an，我们可以通过观察数列中相邻项之间的关系，进而得出其通项公式。

通项公式为an = a1 + (n-1)d，其中a1是首项，d是公差。

二、等比数列等比数列是指数列中的相邻项之间的比等于一个常数。

在等比数列中，我们可以总结出以下几个重要的知识点和公式：1. 第n项公式：对于等比数列an，其第n项的公式可以表示为an = a1 * r^(n-1)，其中a1是首项，r是公比。

2. 前n项和公式：对于等比数列an，其前n项和的公式可以表示为Sn = a1 * (1 - r^n) / (1 - r)，其中Sn表示前n项和。

3. 通项公式：对于等比数列an，我们可以通过观察数列中相邻项之间的关系，进而得出其通项公式。

通项公式为an = a1 * r^(n-1)，其中a1是首项，r是公比。

三、斐波那契数列斐波那契数列是一个特殊的数列，其前两项为1，之后每一项都是前两项的和。

数列知识要点梳理

知识要点梳理知识点一：数列的概念1、数列的定义：数列是按一定顺序排列的一列数，如1，1，2，3，5，…，a n，…，可简记为{a n}注意：（1）数列可以看作是定义在自然数集N*或它的有限子集{1，2，…，n}上的函数。

函数当自变量n从1开始依次取自然数时所对应的一列函数值，，…，，…，通常用代替，于是数列的一般形式为a1，a2，…，，…，简记为。

其中是数列的第n项，也叫做通项。

（2）数列的特征：有序性。

一个数列不仅与构成数列的“数”有关，而且与这些数的顺序有关，“顺序”是对数列本质属性的刻画。

（3）数列的定义域是离散的，因而其图象也是离散的点集。

2、数列的通项公式一个数列的第n项与项数n之间的函数关系，如果可以用一个公式来表示，我们就把这个公式叫做这个数列的通项公式。

注意：①不是每个数列都能写出它的通项公式。

如数列1，2，3，―1，4，―2，就写不出通项公式；②有的数列虽然有通项公式，但在形式上又不一定是唯一的。

如：数列―1，1，―1，1，…的通项公式可以写成，也可以写成；③仅仅知道一个数列的前面的有限项，无其他说明，数列是不能确定的。

3、数列的表示：(1)列举法：如-2，-5，-8，…注意：数列的列举法与集合的列举法不一样，主要就是有序与无序的差别。

(2)图象法：由点组成的图象；是离散的点集。

(3)解析式法：用数列的通项公式a n=f(n)，n∈N*或其他式子表示的数列。

4、数列的分类：（1）按项数：有限数列和无限数列；（2）按单调性：递增数列、递减数列（递增数列与递减数列统称为单调数列）；（3）按照任何一项的绝对值是否都小于某一正数来分：有界数列、无界数列；（4）其他数列：摆动数列、常数列。

5、数列的递推式：如果已知数列的第一项或前若干项，且任一项与它的前一项或前若干项间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式，简称递推式。

注意：利用递推关系表示数列时，需要有相应个数的初始值。

(完整版)数列知识点梳理

数列知识点梳理一、数列的相关概念 (一)数列的概念1．数列是按一定顺序排列的一列数，记作,,,,321 n a a a a 简记{}n a .2．数列{}n a 的第n 项n a 与项数n 的关系若用一个公式)(n f a n =给出，则这个公式叫做这个数列的通项公式。

3．数列可以看做定义域为*N （或其子集）的函数，当自变量由小到大依次取值时对应的一列函数值，它的图像是一群孤立的点。

(二)数列的表示方法数列的表示方法有：列举法、解析法（用通项公式表示）和递推法（用递推关系表示）。

(三)数列的分类1．按照数列的项数分：有穷数列、无穷数列。

2．按照任何一项的绝对值是否不超过某一正数分：有界数列、无界数列。

3．从函数角度考虑分：递增数列、递减数列、常数列、摆动数列。

递增数列的判断：比较f(n+1)与f(n)的大小（作差或作商） (四)数列通项n a 与前n 项和n S 的关系 1．∑==++++=ni i n n a a a a a S 1321 2．⎩⎨⎧≥-==-2111n S S n S a n n n 二、等差数列的相关知识点1．定义：)2()()()(11≥∈=-∈=-•-•+n N n d a a N n d a a n n n n 且常数或常数。

当d>0时，递增数列，d<0时，递减数列，d=0时，常数数列。

2．通项公式：d n a a n )1(1-+=d m n a m )(-+=q pn d a dn +=-+=)(1d =11--n a a n ，d =mn a a mn -- 是点列（n ，a n ）所在直线的斜率. 3．前n 项的和：d n n na a a n S n n 2)1(2)(11-+=+=21()22d d n a n =+-Bn An +=2 {nS n}是等差数列。

4．等差中项：若a 、b 、c 等差数列，则b 为a 与c 的等差中项:2b=a+c 5、等差数列的判定方法(n ∈N*)(1)定义法: a n+1-a n =d 是常数 (2)等差中项法:212+++=n n n a a a (3)通项法:q pn a n += (4)前n 项和法:Bn An S n +=2 6．性质:设{a n }是等差数列，公差为d,则(1)m+n=p+q ,则a m +a n =a p +a q 特别地，当2m n p +=时，则有2m n p a a a += (2) a n ,a n+m ,a n+2m ……组成公差为md 的等差数列.(3) S n , S 2n -S n , S 3n -S 2n ……组成公差为n 2d 的等差数列.(4)若{}n a 、{}n b 是等差数列，则{}n ka 、{}n n ka pb + (k 、p 是非零常数)、*{}(,)p nq a p q N +∈均是等差数列，公差分别为：(5)若等差数列{}n a 、{}n b 的前n 和分别为n A 、n B ，且()nnA f nB =，则 2121(21)(21)(21)n n n n n n a n a A f n b n b B ---===--.如设{n a }与{n b }是两个等差数列，它们的前n 项和分别为n S 和n T ，若3413-+=n n T S n n ，那么=nn b a ___________，=77b a __________ （6）n S 的最值：法1、可求二次函数2n S an bn =+的最值；法2、求出{}n a 中的正、负分界项，即：当100a d ><，，解不等式组100n n a a +≥⎧⎨≤⎩可得n S 达到最大值时的n 值. 当100a d <>，，由10n n a a +≤⎧⎨≥⎩可得n S 达到最小值时的n 值.例：若{}n a 是等差数列，首项10,a >200320040a a +>，200320040a a ⋅<，则使前n 项和 0n S >成立的最大正整数n 是（答：4006）7．n n S a n d a ,,,,1知三求二, 可考虑统一转化为两个基本量d a ,1;或利用数列性质, 8、巧设元：三数:d a a d a +-,,, 四数：d a d a d a d a 3,,,3-+-- 9、项数为偶数n 2的等差数列{}n a ，有nd S S =-奇偶，1+=n na a S S 偶奇，项数为奇数12-n 的等差数列{}n a ，有)()12(12为中间项n n n a a n S -=-，n a S S =-偶奇，1-=n nS S 偶奇.例、项数为奇数的等差数列{}n a 中，奇数项和为80，偶数项和为75，求此数列的中间项与项数（答：5；31）.),)(()()(11122212为中间两项++-+==+=+=n n n n n n n a a a a n a a n a a n S10、如果两等差数列有公共项，那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，且新等差数列的公差是原两等差数列公差的最小公倍数. 注意：公共项仅是公共的项，其项数不一定相同，即研究n m a b =.三、等比数列的相关知识点（类比等差数列） 1、定义：1n na q a +=（q 为常数，0q ≠+∈≠N n a n ,0,）或时，常数数列当时，摆动数列当时，递减数列且；且当时，递增数列且；且当1q 0q 10100100101111=<><<<><<<>>q a q a q a q a2、通项公式：11-=n n q a a =（0,1≠q a ）m n m n q a a -==3、前n 项和：()11(1)1(1)1n n na q S a q q q=⎧⎪=-⎨≠⎪-⎩（要注意q 的讨论）A Aq n-=（q ≠1）4、等比中项：x G y 、、成等比数列2G xy ⇒=，或G =只有同号两数才存在等比中项，且有两个，如已知两个正数,()a b a b ≠的等差中项为A ，等比中项为B ，则A 与B 的大小关系为______5、等比数列的判定方法(n ∈N*)(1)定义法: a n+1/a n =q 是常数 (2)等比中项法:221++•=n n n a a a(3)通项法: n n cq a =(q c ,为非零常数). (4)前n 项和法: A Aq S nn -=6、性质：{}n a 是等比数列（1）若m n p q +=+，则mn p q a a a a =··特别地，当2m n p +=时，则有2.pn m a a a =例：在等比数列{}n a 中，3847124,512a a a a +==-，公比q 是整数，则10a =___（答：512）；各项均为正数的等比数列{}n a 中，若569a a ⋅=，则3132310log log log a a a +++=（答：10）。

数列知识点归纳总结公式

数列知识点归纳总结公式数列是数学中的一种基本概念，指的是由一组按照特定规律排列的数字所组成的序列。

数列的研究具有重要的理论意义和实际应用价值，对于数学学科的发展和科学研究都有着重要的影响。

本文将对数列的相关知识点进行归纳总结，并介绍常见的数列公式。

一、数列的定义和基本概念数列是由一组按照特定规律排列的数字所组成的序列。

通常用字母表示数列的第几项，如$a_1, a_2, a_3, \ldots$，其中$a_n$表示数列的第$n$项。

数列中的每个数字称为数列的项。

数列的常见表示方式有三种：1. 列举法：直接写出数列的每一项。

例如：$2, 4, 6, 8, \ldots$2. 通项公式法：通过一个通项公式来表示数列的每一项。

例如：$a_n=2n$表示数列的第$n$项是$n$的两倍。

3. 递归公式法：通过前一项或前几项的值来确定后一项的值。

例如：$a_1=1, a_n=a_{n-1}+2$表示数列的第一项是1，后一项是前一项加2。

二、常见数列的类型和性质1. 等差数列：数列中的每一项与它的前一项之差都相等。

等差数列的通项公式为$a_n=a_1 + (n-1)d$，其中$a_1$为首项，$d$为公差。

2. 等比数列：数列中的每一项与它的前一项之比都相等。

等比数列的通项公式为$a_n=a_1 \times q^{(n-1)}$，其中$a_1$为首项，$q$为公比。

3. 等差-等比数列：数列中的每一项既是等差数列又是等比数列。

4. Fibonacci数列：数列中的每一项都是前两项的和，首两项通常为1。

例如：$1, 1, 2, 3, 5, 8, \ldots$5. 平方数列：数列中的每一项都是一个平方数。

例如：$1, 4, 9, 16, 25, \ldots$三、常见数列的求和公式数列的求和是数列研究的重要内容，它可以帮助我们计算一个数列的前$n$项和。

下面是一些常见数列的求和公式：1. 等差数列求和公式：$S_n=\frac{n}{2}(a_1+a_n)$，其中$S_n$表示前$n$项和。

高中数学选择性必修二 4 1 1数列的概念(知识梳理+例题+变式+练习)(含答案)

4.1.1数列的概念要点一数列的有关概念1．定义：按照确定的顺序排列的一列数．2．项：数列中的每一个数叫做这个数列的项；排在第一位的数称为这个数列的第1项(也叫首项)．3．一般形式：a1，a2，a3，…，a n，…，简记为{}n a．【重点总结】(1)数列的项是指这个数列中的某一个确定的数，是一个函数值，也就是相当于f(n)，而项数是指这个数在数列中的位置序号，它是自变量的值，相当于f(n)中的n.(2)数列1,2,3,4,5和数列5,3,2,4,1为两个不同的数列，因为二者的元素顺序不同，而集合{1,2,3,4,5}与这两个数列也不相同，一方面形式上不一致，另一方面，集合中的元素具有无序性．如果数列{a n}的第n项a n与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．要点四数列与函数的关系从函数的观点看，数列可以看作是特殊的函数，关系如下表：【基础自测】1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)(1){0,1,2,3,4}是有穷数列．()(2)数列1,2,3,4和数列1,2,4,3是同一数列．()(3)所有自然数能构成数列．()(4)数列1,3,5,7，…，2n ＋1，…的通项公式是a n ＝2n ＋1.( ) 2．若数列{a n }满足a n ＝2n ，则数列{a n }是( ) A ．递增数列 B ．递减数列 C ．常数列 D ．摆动数列【答案】A【解析】a n ＋1－a n ＝2n ＋1－2n ＝2n >0，∴a n ＋1>a n ，即{a n }是递增数列．故选A. 3．(多选题)数列－1,1，－1,1，…的通项公式可以为( ) A ．a n ＝(－1)n －1 B ．a n ＝(－1)n C ．a n ＝cos n π D ．a n ＝sin n π 【答案】BC4．数列1,2，7，10，13，…中的第26项为________．【答案】219【解析】因为a 1＝1＝1，a 2＝2＝4，a 3＝7，a 4＝10，a 5＝13，所以a n ＝3n －2，所以a 26＝3×26－2＝76＝219.题型一数列的概念和分类1．数列－11，－20，－27，…，n 2－12n ，…是( ) A ．递增数列 B ．递减数列 C ．常数列 D ．摆动数列【答案】D【解析】该数列从第2项起，第n 项与第n －1项的差为(n 2－12n )－[(n －1)2－12(n －1)]＝2n －13，所以该数列的前6项单调递减，从第6项往后单调递增，故选D. 2．已知下列数列：①1,2,22,23，…，260；②1,0.5,0.52,0.53，…； ③－2,2，－2,2，…；④3,3,3,3，…；⑤0，12，23，34，…，n －1n ，…；⑥1,0，－1，…，sin n π2，….其中有穷数列是______；无穷数列是________；递增数列是________；递减数列是________；摆动数列是________；常数列是________．(填序号) 【答案】○1 ○2○3○4○5○6 ○1○5 ○2 ○3○6 ○4 【方法归纳】判断数列是哪一种类型的数列时要紧扣概念及数列的特点．对于递增、递减、摆动还是常数列要从项的变化趋势来分析；而有穷还是无穷数列则看项的个数有限还是无限．题型二由数列的前n 项求通项公式【例1】写出数列的一个通项公式，使它的前4项是下列各数： (1)－1，12，－13，14；(2)3，3，15，21； (3)0.9,0.99,0.999,0.999 9； (4)3,5,3,5.【解析】(1)任何一个整数都可以看成一个分数，所以此数列可以看做是自然数列的倒数，正负相间用(－1)的多少次幂进行调整，其一个通项公式为a n ＝(－1)n ·1n.(2)数列可化为3，9，15，21，即3×1，3×3，3×5，3×7，…，每个根号里面可分解成两数之积，前一个因数为常数3，后一个因数为2n －1，故原数列的一个通项公式为a n ＝3(2n －1)＝6n －3. (3)原数列可变形为⎝⎛⎭⎫1－110，⎝⎛⎭⎫1－1102，⎝⎛⎭⎫1－1103，⎝⎛⎭⎫1－1104，…，故数列的一个通项公式为a n ＝1－110n . (4)数列给出前4项，其中奇数项为3，偶数项为5，所以通项公式的一种表示方法为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3 (n 为奇数)5 (n 为偶数).此数列还可以这样考虑，3与5的算术平均数为3＋52＝4,4＋1＝5,4－1＝3，因此数列的一个通项公式又可以写为a n ＝4＋(－1)n . 【方法归纳】(1)据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察分析，抓住以下几方面的特征： ①分式中分子、分母的特征； ②相邻项的变化特征； ③拆项后的特征；④各项符号特征等，并对此进行归纳、联想．(2)观察、分析数列中各项的特点是最重要的，观察出项与序号之间的关系、规律，利用我们熟知的一些基本数列(如自然数列、奇偶数列等)转换而使问题得到解决，对于正负符号变化，可用(－1)n 或(－1)n ＋1来调整．【跟踪训练】写出下列数列的一个通项公式：(1)0,3,8,15,24，…； (2)1，－3,5，－7,9，…； (3)112，223，334，445，…；(4)1,11,111,1 111，….【解析】(1)观察数列中的数，可以看到0＝1－1,3＝4－1,8＝9－1,15＝16－1,24＝25－1，…，所以它的一个通项公式是a n ＝n 2－1(n ∈N *)．(2)数列各项的绝对值为1,3,5,7,9，…，是连续的正奇数，并且数列的奇数项为正，偶数项为负，所以它的一个通项公式为a n ＝(－1)n ＋1(2n －1)(n ∈N *)．(3)此数列的整数部分1,2,3,4，…恰好是序号n ，分数部分与序号n 的关系为nn ＋1，故所求的数列的一个通项公式为a n ＝n ＋nn ＋1＝n 2＋2n n ＋1(n ∈N *)．(4)原数列的各项可变为19×9，19×99，19×999，19×9 999，…，易知数列9,99,999,9 999，…的一个通项公式为a n ＝10n －1，所以原数列的一个通项公式为a n ＝19(10n －1)(n ∈N *)．题型三数列的单调性【例2】已知函数f (x )＝1－2xx ＋1(x ≥1)，构造数列a n ＝f (n )(n ∈N *)．(1)求证：a n >－2；(2)数列{a n }是递增数列还是递减数列？为什么？【解析】(1)因为f (x )＝1－2x x ＋1＝3－2(x ＋1)x ＋1＝－2＋3x ＋1，所以a n ＝－2＋3n ＋1.因为n ∈N *，所以a n >－2.(2)数列{a n }为递减数列．理由如下：因为a n ＝－2＋3n ＋1，所以a n ＋1－a n ＝⎝⎛⎭⎫－2＋3n ＋2－⎝⎛⎭⎫－2＋3n ＋1＝3n ＋2－3n ＋1＝－3(n ＋2)(n ＋1)<0 即a n ＋1<a n ，所以数列{a n }为递减数列．先化简f (x )的解析式，再构造{a n }，然后判断a n ＋1－a n 的符号. 【方法归纳】用作差法判断数列的单调性关键是判断符号，为此，一般要对差式进行通分，因式分解等变形；若用作商法则要特别注意分母的符号．【跟踪训练2】已知数列{a n }的第n 项可以表示为2n3n ＋1，n ∈N *，试判断数列的增减性．【解析】因为{a n }的第n 项为2n 3n ＋1，所以{a n }的第n ＋1项为2(n ＋1)3(n ＋1)＋1.因为2(n ＋1)3(n ＋1)＋1－2n3n ＋1＝2n ＋23n ＋4－2n3n ＋1＝(2n ＋2)(3n ＋1)－2n (3n ＋4)(3n ＋4)(3n ＋1)＝6n 2＋8n ＋2－6n 2－8n (3n ＋4)(3n ＋1)＝2(3n ＋4)(3n ＋1)>0，所以2(n ＋1)3(n ＋1)＋1>2n 3n ＋1，所以数列{a n }的第n ＋1项大于第n 项，故数列{a n }是递增数列．【易错辨析】忽视数列中n ∈N *致错例3 已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－5n ＋4，则a n 的最小值为________．【答案】－2【解析】∵a n ＝n 2－5n ＋4＝⎝⎛⎭⎫n －522－94，可知对称轴方程为n ＝52，又n ∈N *，故n ＝2或3时， a n 有最小值，且a 2＝a 3＝－2. 【易错警示】1. 出错原因在求出a n ＝⎝⎛⎭⎫n －522－94时，忘记n ∈N *了，导致得出错误答案：－94. 2.纠错心得数列的定义域是正整数集合，是特殊的函数，所以解题时一定不要忘记n ∈N *这一条件.一、单选题1．某新冠疫苗接种点统计了一周（星期一至星期日）每天接种加强针的人数（单位:百人)如下:2,4,6,10,16，( )，42，因不慎丢失星期六的数据，根据数据的规律，则星期六的数据为（） A ．18 B ．24 C ．26 D ．28【答案】C 【分析】通过观察数列的规律，可得到从第三个数据起，每个数据等于它前面两个数据之和，根据这一结论可推得结果. 【解析】从第三个数据起，每个数据等于它前面两个数据之和，所以星期六的数据为101626,+=故选:C.2．数列1,2, ）A ．8项B ．7项C ．6项D ．5项【答案】A 【分析】【解析】，故通项公式为n a 8项.故选：A.3．若数列{}n a 满足12a =，11n n n a a a +=-，则2022a =（） A ．2 B ．12C ．-1D ．-2【答案】C 【分析】由题意得数列{}n a 是周期为3的数列，即可得解. 【解析】由12a =，代入11n n n a a a +=-可得21=2a ，同理可得31=a -.由11n n n a a a +=-，得1=1n n na a a +-，从而有+12+1==1111=11n n n n n n n na a a a a a a a +------，即2=11n na a +--，从而有3+1===11111n nn n na a a a a +-----，所以数列{}n a 的周期为3，所以2022a =36743=1a a ⨯=-. 故选：C.4．已知数列{}n a 满足1124n n n a a a ++=+且31a =，则2022a 的值为（） A ．1 B ．2 C ．4 D ．－4【答案】A 【分析】根据数列的递推公式，可知数列{}n a 是周期为3的周期数列，由此即可求出结果. 【解析】因为数列{}n a 满足1124n n n a a a ++=+且31a =，所以32324a a a =+，34424a a a =+，所以2424a a =-=，，又21224a a a =+，54524a a a =+ 所以1542a a ==-，，又65624a a a =+，所以61a =所以1234564,2,1,4,2,1a a a a a a ==-===-=，……所以数列{}n a 是周期为3的周期数列，所以2022674331a a a ⨯===. 故选：A.5．已知数列{}n a 满足12a =，111n n n a a a +-=+，则2021a =（）A ．2B ．13C ．12-D ．3-【答案】A 【分析】写出数列的前5项，即可得出数列{}n a 是以4为周期的数列，202112a a ==．【解析】解：因为12a =，所以由已知可得2211213a -==+，311131213a -==-+，41123112a --==--+， 531231a --==-+.可以判断出数列{}n a 是以4为周期的数列，所以202112a a ==. 故选：A6．大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项都代表太极衍生过程，是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题，其中一列数如下：0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，……，按此规律得到的数列记为{}n a ，则15a =（） A ．98 B ．112 C ．128 D ．132【答案】B 【分析】根据题意可得奇数项的通项公式，即可求出. 【解析】奇数项为0，4，12，24，40，…，即222221131517191,,,,,22222-----可得当n 为奇数时，212n n a -=，2151511122a -∴==. 故选：B.7．数列{}n a 满足11a =，21a =，且12n n n a a a --=-，()3n ≥，记数列{}n a 的前n 项和为n S ，则20S =（） A ．0 B ．1C ．2D ．14【答案】C 【分析】利用递推公式求出数列{}n a 的前20项，直接求和. 【解析】因为11a =，21a =，且12n n n a a a --=-，()3n ≥，所以321110a a a -=-==；432011a a a ==--=-；543101a a a =-=--=-； 654110a a a =---==；()765011a a a =--=-=；876101a a a -=-==；同理递推可得：90a =；101a =-；111a =-；120a =；131a =；141a =；150a =；161a =-；171a =-；180a =；191a =；201a =.所以()()()()()()2011001111001111001111S =++++-+-+++++-+-+++++-+-++=2. 故选：C8．在数列{}n a 中，11a =，23a =，35a =，31n n a a +=，则515252021log log log a a a ++⋅⋅⋅+=（） A ．0 B ．1 C ．5log 3 D ．5log 15【答案】B 【分析】计算得到数列周期为6，化简得到原式()2515log a a a =⋅⋅⋅⋅，计算得到答案. 【解析】31n n a a +=，故361n n a a ++=，故6n n a a +=，数列的周期为6.11a =，23a =，35a =，41a =，513a =，615a =，1234561a a a a a a =，()()515252021521212502155log log log lo l l g og o 5g 1a a a a a a a a a ⋅++⋅⋅⋅+=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅==.故选：B.二、多选题9．已知数列{a n }中，a 1＝3，a n ＋1＝－11n a +，能使a n ＝3的n 可以为（） A ．22 B ．24 C ．26 D ．28【答案】AD 【分析】通过计算找到数列的周期，即得解. 【解析】解：由a 1＝3，a n ＋1＝－11n a +，得a 2＝－14，a 3＝－43，a 4＝3．所以数列{a n }是周期为3的数列，故a 22＝a 28＝3．故选：AD10．下列四个选项中，正确的是（） A ．数列的图象是一群孤立的点B ．数列1，1-，1，1-，…与数列1-，1，1-，1，…是同一数列C ．数列23，34，45，56，…的一个通项公式是()*1n n a n N n =∈+ D ．数列12，14，…，12n是递减数列【答案】AD 【分析】利用数列通项公式、数列的图象、数列的定义以及数列的单调性依次判断四个选项即可．【解析】解：对于A ，由数列的通项公式以及*n N ∈可知，数列的图象是一群孤立的点，故选项A 正确；对于B ，由于两个数列中的数排列的次序不同，因此不是同一数列，故选项B 错误；对于C ，当通项公式为1n n a n =+时，11223a =≠，不符合题意，故选项C 错误；对于D ，数列11,24，⋯，12n是递减数列，故选项D 正确．故选：AD.第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明三、填空题11．在数学课堂上、教师引导学生构造新数列：在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列，例如将数列1，2进行构造，第一次得到数列1，3，2；第二次得到数列1，4，3，5，2；第()*n n ∈N 次得到数列1，1x ，2x ，3x ，…，k x ，2（共2k +项），则k =______．【答案】21n -【分析】根据第一次得到数列1，3，2，共1321=+项，第二次得到数列1，4，3，5，2，共2521=+项，第三次得到数列1，5，4,7，3，8，5,7，2，共3921=+项，得到规律求解. 【解析】第一次得到数列1，3，2，共1321=+项；第二次得到数列1，4，3，5，2，共2521=+项；第三次得到数列1，5，4,7，3，8，5,7，2，共3921=+项；依此第n 次得到数列1，1x ，2x ，3x ，…，k x ，2，共221n k +=+项；解得21n k =-，故答案为：21n -12．数列{a n }的通项公式为a n ＝2,3,n n n n +⎧⎨-⎩是奇数是偶数，则a 3＋a 6＝________.【答案】8 【解析】a 3＋a 6＝(3＋2)＋(6－3)＝5＋3＝8.13．已知数列{}n a 满足12211,2,()n na a a n N a ++==-=-∈，则该数列前26项的和为____．【答案】10- 【分析】根据递推公式可以求出数列的周期，利用周期进行求解即可. 【解析】因为12211,2,()n na a a n N a ++==-=-∈，所以3111a a =-=-，42112a a =-=，5311a a =-=，6412a a =-=-，因此该数列的周期为4，且1234131(2)(1)22a a a a +++=+-+-+=-，所以该数列前26项的和为：361(2)102-⨯++-=-，故答案为：10-四、解答题14．若数列{}n a 满足12a =，111n n na a a ++=-，n *∈N ，求2021a ．【答案】2【分析】计算出数列{}n a 的前5项的值，可知数列{}n a 为周期数列，结合数列的周期性可得结果.【解析】解：因为12a =，111n n n a a a ++=-，则1211123112a a a ++===---，23211311132a a a ， 3431111211312a a a ，454111321113a a a ，所以，数列{}n a 是周期为4的数列，因此，20214505112a a a ⨯+===.15．根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式，并在横线上和括号中分别填上第5项的图形和点数．（1）（2）（3）【答案】（1）第5项图形见解析，通项公式为54n a n =-，第5项的点数为521a =（2）第5项图形见解析，通项公式为32n b n =-，第5项的点数为513b =（3）第5项图形见解析，通项公式为()2n c n n =+，第5项的点数为535c =【分析】（1）根据图形中点数的规律可作出第5项的图形，并根据各项的点数可归纳出数列的通项公式；（2）根据图形中点数的规律可作出第5项的图形，并根据各项的点数可归纳出数列的通项公式；（3）根据图形中点数的规律可作出第5项的图形，并根据各项的点数可归纳出数列的通项公式. （1）解：设第n 项的点数为()n a n *∈N ， 11a =，215a =+，3125a =+⨯，4135a =+⨯，该数列的第5项为514521a =+⨯=，数列{}n a 的一个通项公式为()15154n a n n =+-=-，第5项的图形如下图所示：（2）解：设第n 项的点数为()n b n N *∈， 11b =，213b =+，3123b =+⨯，4133b =+⨯，该数列的第5项为514313b =+⨯=，数列{}n b 的一个通项公式为()13132n b n n =+-=-，第5项的图形如下图所示：（3）解：设第n 项的点数为()n c n N *∈， 113c =⨯，224c =⨯，335c =⨯，446c =⨯，该数列的第5项为55735c =⨯=，数列{}n c 的一个通项公式为()2n c n n =+，第5项的图形如下图所示：。

数列全部知识点归纳总结

数列全部知识点归纳总结数列是高中数学中的一个重要概念，广泛应用于数学和其他学科的问题中。

它是由一组按照特定规律排列的数所组成的序列。

在数列中，每一个数被称为序列的项，而序列中的规律则被称为递推公式。

本文将对数列的基本概念、常见数列类型、性质及应用进行全面的知识点归纳和总结。

一、基本概念数列是由一组按特定顺序排列的数所组成的序列。

数列的每个数被称为序列的项，通常用字母表示，如a1, a2, a3等。

数列中每个项的位置被称为项号，通常用下标表示，如a1, a2, a3的项号分别为1, 2, 3。

数列也可以用函数来表示，即f(n)，其中n表示项号。

二、常见数列类型1.等差数列：等差数列是指数列中相邻两项之差都相等的数列。

它的递推公式为an = a1 + (n-1)d，其中a1为首项，d为公差。

2.等比数列：等比数列是指数列中相邻两项之比都相等的数列。

它的递推公式为an = a1 * r^(n-1)，其中a1为首项，r为公比。

3.等差数列的前n项和：等差数列的前n项和可以用求和公式Sn = (n/2)(a1+an)来表示，其中n为项数，a1为首项，an为第n项。

4.等比数列的前n项和：等比数列的前n项和可以用求和公式Sn = (a1(r^n-1))/(r-1)来表示，其中n为项数，a1为首项，r为公比。

三、数列的性质1.有界性：数列可以是有界的，也可以是无界的。

有界数列是指数列的所有项都在一定范围内，无界数列则相反。

2.单调性：数列可以是单调递增的、单调递减的或者既不递增也不递减的。

3.周期性：有些数列具有周期性，即数列中的项按照一定的规律循环出现。

4.递推关系：数列中的每一项可以通过前一项和递推公式来推导得到。

四、数列的应用1.数学问题：数列广泛应用于数学问题的求解中，如求解等差数列、等差数列的前n项和等。

2.物理问题：数列也常常用于物理问题的建模与求解中，如描述物体运动的规律等。

3.计算机科学：数列在计算机科学中有着重要的应用，如算法设计、数据压缩等领域。

数列基础知识归纳

必修5 数列础知识归纳一、数列的有关概念：1．数列的定义：按一定次序排列的一列数叫做数列．(1) 数列中的每个数都叫这个数列的项．记作a n ，在数列第一个位置的项叫第1项(或首项)，在第二个位置的叫第2项，…，序号为n 的项叫第n 项(也叫通项)，记作a n ．(2) 数列的一般形式：a 1，a 2，a 3，…，a n ，…，简记作{a n }．2．通项公式的定义：如果数列{a n }的第n 项与n 之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式．说明：(1) {a n }表示数列，a n 表示数列中的第n 项，a n = f (n )表示数列的通项公式；(2) 同一个数列的通项公式的形式不一定唯一．例如，a n = (? 1)n =1,21()1,2n k k n k -=-⎧∈⎨=⎩Z ； (3) 不是每个数列都有通项公式．例如，1，1.4，1.41，1.414，…．(4) 从函数观点看，数列实质上是定义域为正整数集N *(或它的有限子集)的函数f (n )，当自变量n 从1开始依次取值时对应的一系列函数值f (1)，f (2)，f (3)，…，f (n )，…．通常用a n 来代替f (n )，其图象是一群孤立的点．3．数列的分类：(1) 按数列项数是有限还是无限分：有穷数列和无穷数列；(2) 按数列项与项之间的大小关系分：单调数列(递增数列、递减数列)、常数列和摆动数列．4．递推公式的定义：如果已知数列{a n }的第1项(或前几项)，且任一项a n 与它的前一项a n ? 1 (或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．5．数列{a n }的前n 项和的定义：S n = a 1 + a 2 + a 3 + … +a n =1nk k a =∑称为数列{a n }的前n 项和．要理解S n 与a n 之间的关系．6．等差数列的定义：一般地，如果一个数列从第．2．项起．．，每一项与它的前一项的差等于同一个常数．．，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示．数列数列的概念数列的定义数列的分类数列的性质等差数列与等比数列等差数列与等比数列的概念等差数列与等比数列的性质等差数列与等比数列的基本运算数列的求和倒序相加错位相减裂项相消其他方法数列应用即：{a n }为等比数列? a n + 1 ? a n = d ? 2a n + 1 = a n + a n + 2 ? a n = kn + b ? S n = An 2 + Bn ．7．等比数列的定义：一般地，如果一个数列从第．2．项起．．，每一项与它的前一项的比等于同一个常数．．，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比．公比通常用字母q 表示(q ? 0)，即：{a n }为等比数列? a n + 1 ：a n = q (q ? 0) ?212n n n a a a ++=．注意条件“从第2项起”、“常数”q ．由定义可知：等比数列的公比和项都不为零．二、等差、等比数列的性质：等差数列(AP ) 等比数列(GP )通项公式 a n = a 1 + (n ? 1)da n = a 1q n ? 1 (a 1 ? 0，q ? 0) 前n 项和性质 ①a n = a m + (n ? m )d ①a n = a m q n ? m②m + n = s + t ，则a m + a n = a s + a t②m + n = s + t ，则a m ? a n = a s ? a t ③S m ，S 2m ? S m ，S 3m ? S 2m ，…成AP ③S m ，S 2m ? S m ，S 3m ? S 2m ，…成GP(q ? ?1或m 不为偶数)④a k ，a k + m ，a k + 2m ，…成AP ，d ? = md④a k ，a k + m ，a k + 2m ，…成GP ，q ? =q m 注：1．等差(等比)数列{a n }的任意等距离的项构成的数列仍为等差(等比)数列．2．三个数成等差的设法：a ? d ，a ，a + d ；四个数成等差的设法：a ? 3d ，a ? d ，a + d ， a + 3d ；3．三个数成等比的设法：a /q ，a ，aq ；四个数成等比的错误设法：a /q 3，a /q ，aq ，aq 3 (为什么？)4．{a n }为等差数列，则{}na c (c > 0)是等比数列．5．{b n } (b n > 0)是等比数列，则{log c b n } (c > 0且c ≠1) 是等差数列．6．公差为d 的等差数列{a n }中，若d > 0，则{a n }是递增数列；若d = 0，则{a n }是常数列；若d < 0，则{a n }是递减数列．7．等比数列{a n }中，若公比为q ，则(1) 当a 1 > 0，q > 1或a 1 < 0，0 < q < 1时为递增数列； (2) 当a 1 < 0，q > 1或a 1 > 0，0 < q < 1时为递减数列；(3) 当q < 0时为摆动数列； (4) 当q = 1时为常数列．8．等差数列前n 项和最值的求法：(1) a 1 > 0，d < 0时，S n 有最大值；a 1 < 0，d > 0时，S n 有最小值．(2) S n 最值的求法：① 若已知S n ，可用二次函数最值的求法(n ? N *)； ② 若已知a n ，则S n 取最值时n 的值(n ? N *)可如下确定：S n 最大值100n n a a +≥⎧⎨≤⎩(或S n 最小值100n n a a +≤⎧⎨≥⎩)．三、常见数列通项的求法：1．定义法(利用AP ，GP 的定义)．2．累加法(a n + 1 ? a n = c n 型)：a n = a 1 + (a 2 ? a 1) + (a 3 ? a 2) + … + (a n ? a n ? 1) = a 1 + c 1 + c 2 + … + c n ? 1(n ? 2)．3．公式法：11(1)(2)n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩． 4．累乘法(1n n na c a +=型)：a n = a 1 ?32121n n a aa a a a -⋅⋅⋅= a 1 ? c 1 ? c 2 ? …? c n ? 1(n ? 2)． 5．待定系数法：a n + 1 = qa n +b (q ? 0，q ? 1，b ? 0)型，转化为a n + 1 + x = q (a n + x )．可以将其改写变形成如下形式：a n + 1 +1b q -= q (a n +1b q -)，于是可依据等比数列的定义求出其通项公式． 6．间接法(例如：a n + 1 ? a n = 4a n + 1a n ?1114n na a +-=-)．四、数列的求和方法：除化归为等差数列或等比数列求和外，还有以下一些常用方法：1．拆项求和法(a n = b n ? c n )：将一个数列拆成若干个简单数列(如等差数列、等比数列、常数数列等等)，然后分别求和．如a n = 2n + 3n ．2．并项求和法：将数列的相邻两项(或若干项)并成一项(或一组)先求和，然后再求S n ．如“22222222123456(21)(2)n S n n =-+-+-++--”的求和．3．裂项相消法：将数列的每一项拆(裂开)成两项之差，即a n = f (n + 1) ? f (n )，使得正负项能互相抵消，剩下首尾若干项．用裂项相消法求和，需要掌握一些常见的裂项，如：1111()()()n a An B An C C B An B An C ==-++-++、1(1)n n +=1n ?11n +、11()a b a ba b =--+等． 4．错位相减法：将一个数列的每一项都作相同的变换，然后将得到的新数列错动一个位置与原数列的各项相减，这是仿照推导等比数列前n 项和公式的方法．对一个由等差数列及等比数列对应项之积组成的数列的前n 项和，常用错位相减法．即错位相减法一般只要求解决下述数列的求和：若a n = b n c n ，其中{b n }是等差数列，{c n }是等比数列，则数列{a n }的求和运用错位相减法．记S n = b 1c 1 + b 2c 2 + b 3c 3 + … + b n c n ，则qS n = b 1c 2 + b 2c 3 + … + b n ? 1c n + b n c n + 1，… 如a n = (2n ? 1) ? 2n ．5．倒序相加法：将一个数列的倒数第k 项(k = 1，2，3，…，n )变为顺数第k 项，然后将得到的新数列与原数列相加，这是仿照推导等差数列前n 项和公式的方法．注意：(1) “数列求和”是数列中的重要内容，在中学高考范围内，学习数列求和不需要学习任何理论，上面所述求和方法只是将一些常用的数式变换技巧运用于数列求和之中．(2) “错位”与“倒序”求和的方法是比较特殊的方法．(3) 数列求通项及和的方法多种多样，要视具体情形选用合适的方法．(4) 重要公式：① 1 + 2 + … + n =12n (n + 1)； ② 12 + 22 + … + n 2 =16n (n + 1)(2n + 1)；③ 13 + 23 + … + n 3 = (1 + 2 + … + n )2 =14n 2(n + 1)2； *④ 等差数列中，S m + n = S m + S n + mnd ；*⑤ 等比数列中，S m + n = S n + q n S m = S m + q m S n ．五、分期付款(按揭贷款)：每次还款(1)(1)1n n ab b x b +=+-元(贷款a 元，n 次还清，每期利率为b )．。