网络教育《复变函数》作业及答案

则
lim
zz0
f
(z) _= (x02
2x0 y0) i(1sin(x02
y02 ),
13、幂级数 nxn 的收敛半径为____1______ n0
14、若 z0 是 f(z)的 m 阶零点且 m>0，则 z0 是 f '(z) 的__ m-1 级___零点。
15、函数 f (z) | z | 的不解析点之集为__ lim z1 z2 ... zn ____。
20、cos z 与 sin z 的周期均为 2k 。（ √ ）
21、若函数 f(z)在 z0 解析，则 f(z)在 z0 处满足 Cauchy-Riemann 条件。（√ ）
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22、若函数 f(z)在 z0 处解析，则 f(z)在 z0 连续。（√ ）
6、证明方程 z4 6z 3 0 在1 | z | 2 内仅有 3 个根。
证明：在| z | 1上，由| f (z) || z 4 3 | 4 6 | g(z) || 6z | 得， z4 6z 3 0 在单
位 圆 内 只 有 一 个 根 ， 在 利 用 在 | z | 2 上 ， 由
13、若{zn} 收敛，则{Re zn} 与{Im zn} 都收敛。( √ )
14、若 f(z)在区域 D 内解析，且 f '(z) 0 ，则 f (z) C （常数）。（√ ）
15、若函数 f(z)在 z0 处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数。（√ ） 16、若 f(z)在 z0 解析，则 f(z)在 z0 处满足柯西-黎曼条件。（ √ ） 17、若函数 f(z)在 z0 可导，则 f(z)在 z0 解析。（ × ） 18、若 f(z)在区域 D 内解析，则|f(z)|也在 D 内解析。（× ） 19、若幂级数的收敛半径大于零，则其和函数必在收敛圆内解析。（√ ）
z 1
解： z 1 (z 1)(z 1) | z |2 1 z z ； z 1 | z 1|2 | z 1|2 | z 1|2
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15、设 f (z)
1
，求 f (z) 在 D {z : 0 | z | 1}内的洛朗展开式。。
（ √）
二、填空题
1、函数 ez 的周期为____ 2i _______。
2、幂级数 nzn
n0
的和函数为__
(1
1 z
)
2
________。
3、设
f
(z)
1 ，则 z2 1
f
(z) 的定义域为____ z
i
4、 nzn 的收敛半径为_____1____。 n0
5、
ez Res( z n
,0)
0 2i(n 1)!
4、cos z 与 sin z 在复平面内有界。（× ）
5、若 z0 是 f (z) 的 m 阶零点，则 z0 是 1/ f (z) 的 m 阶极点。（ √ ）
6、若 f(z)在 z0 处满足柯西-黎曼条件，则 f(z)在 z0 解析。（ × ）
7、若 lim f (z) 存在且有限，则 z0 是函数 f(z)的可去奇点。( √ ) zz0
三、计算题
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1、
|z|2
(9
z
z 2 )(
z
i)
dz.
解：
z
dz. 2i z
|z|2 (9 z 2 )( z i)
9 z 2 zi 5
2、求
Res
eiz
( 1
z
2
, i).
3、
lim
2
i
n
.
7、函数 sin z 与 cos z 在整个复平面内有界。（ × ）
8、存在一个在零点解析的函数 f(z)使 f ( 1 ) 0 且 f ( 1 ) 1 , n 1,2,...。（ × ）
n 1
2n 2n
9、如果函数 f(z)在 D {z :| z | 1} 上解析，且| f (z) | 1(| z | 1) ，则| f (z) | 1(| z | 1) 。
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10、若函数 f(z)在区域 D 内除去有限个极点之外处处解析，则称它是 D 内的__亚纯函数__。
11、设 f (z) (x2 2xy) i(1 sin(x2 y2 ), x iy C ，
8、若 f(z)在单连通区域 D 内解析，则对 D 内任一简单闭曲线 C 都有 f (z)dz 0 。（√ ）
9、若函数 f(z)是单连通区域 D 内的解析函数，则它在 D 内有任意阶导C 数。（ √ ） 10、若函数 f(z)在区域 D 内的解析，且在 D 内某个圆内恒为常数，则在区域 D 内恒等于常 数。（ √ ） 11、若函数 f(z)在 z0 解析，则 f(z)在 z0 连续。（√ ） 12、有界整函数必为常数。（√ ）
在 内为常
Re s( f (z),) lim z( f (z) A) 。 z
5、若整函数 f(z)将复平面映照为单位圆内部且 f (0) 0，则 f (z) 0(z C) 。
证明：由于整函数 f(z)将复平面映照为单位圆内部且 f (0) 0，则整函数 f(z)是一个有界
整函数，由刘维尔定理知道， f (z) 0(z C) 。
3!
(2n 1)!
17、求函数 sin z3 z6
在0
|
z
|
内的罗朗展式。
解： sin z3
1
z3
... (1)n
z 6n3
...；
z 6 z3 3!
(2n 1)!
四、证明题 1、若函数 f(z)在 z0 处可导，则 f(z)在 z0 连续。 证明：根据定义可得：若函数 f(z)在 z0 处可导，则 f(z)在 z0 连续。
n 6
解： lim 2 i n 0 n 6
4、求 f (z)
1
在 2 | z | 内的罗朗展式。
(z 1)( z 2)
5、求 z4 5z 1 0 ，在|z|<1 内根的个数
解：1 个。
6、
1 dz.
|z|1 cos z
1 dz 0
解： |z|1 cos z
7、求
Res
( 1ห้องสมุดไป่ตู้
| f (z) || z 4 | 24 16 15 | 6z | | 3 || g(z) || 6z 3 | 得，z4 6z 3 0 在| z | 2
有 4 个根，所以方程 z4 6z 3 0 在1 | z | 2 内仅有 3 个根。
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23、函数 sin z 与 cos z 在整个复平面内有界。（ × ）
24、存在整函数 f (z) 将复平面映照为单位圆内部。（× ）
1、若函数 f(z)在 z0 处满足 Cauchy-Riemann 条件，则 f(z)在 z0 解析。（ × ） 4、若函数 f(z)在是区域 D 内的单叶函数，则 f '(z) 0(z D) 。（ √ ）
《复变函数》
一、 判断题 1、若函数 f(z)在 z0 解析，则 f(z)在 z0 的某个邻域内可导。(√ ）
2、如果 z0 是 f(z)的本性奇点，则 lim f (z) 一定不存在。（ √ ） zz0
3、若函数 f (z) u(x, y) iv(x, y) 在 D 内连续，则 u(x,y)与 v(x,y)都在 D 内连续。( √ )
,则
. ( 为实常数).
令
.则
.
即 满足
,且
连续, 故 在 内解析.
(充分性) 令
,则
,
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因为 与 在 内解析, 所以
,且
.
比较等式两边得
. 从而在 内 均为常数,故
数.
4、设 是函数 f(z)的可去奇点且 lim f (z) AC ，试证： z
1 C (z z0 )n
dz
20、函数 sin z 的周期为__ 2 _________。
21、若
lim
n
zn
，则 lim z1 z2 ... zn
n
n
。
22、方程 2z5 z3 3z 8 0 在单位圆内的零点个数为_____0___。
23、函数
f
(z)
1 1 z2
的幂级数展开式为_________。
n
n
16、
Res( ez zn
,0)
0 2i(n 1)!
n 0 ，其中 n 为自然数。 n0
17、公式 eix cosx i sin x 称为____欧拉公式_________.
18、若 zn
n 2 i(1 1 n
1 n
)n
，则
lim
n
z
n
1 ie
19、若 C 是单位圆周，n 是自然数，则
2、若数列{zn} 收敛，则{Re zn} 与{Im zn} 都收敛。
证明：利用不等式:
| xn x0 |,| yn y0 | | xn x0 |2 | yn y0 |2
3、设函数 f(z)在区域 D 内解析，试证：f(z)在 D 内为常数的充要条件是 f (z) 在 D 内解析。
证明 (必要性) 令