2.2.3直线的参数方程(教学设计)
2017_18学年高中数学第二章参数方程三直线的参数方程教学案
三 直线的参数方程[对应学生用书P27]1．直线的参数方程(1)过点M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos αy ＝y 0＋t sin α(t 为参数)(2)由α为直线的倾斜角知α∈[0，π)时，sin α≥0. 2．直线参数方程中参数t 的几何意义参数t 的绝对值表示参数t 所对应的点M 到定点M 0的距离． (1)当M 0M ―→与e (直线的单位方向向量)同向时，t 取正数． (2)当M 0M ―→与e 反向时，t 取负数，当M 与M 0重合时，t ＝0.[对应学生用书P27][例1] 已知直线l 的方程为3x －4y ＋1＝0，点P (1,1)在直线l 上，写出直线l 的参数方程，并求点P 到点M (5,4)的距离．[思路点拨] 由直线参数方程的概念，先求其斜率，进而由斜率求出倾斜角的正、余弦值，从而得到直线参数方程．[解] 由直线方程3x －4y ＋1＝0可知，直线的斜率为34，设直线的倾斜角为α，则tan α＝34，sin α＝35，cos α＝45.又点P (1,1)在直线l 上，所以直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋45t ，y ＝1＋35t (t 为参数)．因为3×5－4×4＋1＝0，所以点M 在直线l 上．由1＋45t ＝5，得t ＝5，即点P 到点M 的距离为5.理解并掌握直线参数方程的转化，弄清参数t 的几何意义，即直线上动点M 到定点M 0的距离等于参数t 的绝对值是解决此类问题的关键．1．设直线l 过点A (2，－4)，倾斜角为5π6，则直线l 的参数方程为________________．解析：直线l的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t cos5π6，y ＝－4＋t sin 5π6(t 为参数)，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－32t ，y ＝－4＋12t (t 为参数)．答案：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－32t ，y ＝－4＋12t (t 为参数)2．一直线过P 0(3,4)，倾斜角α＝π4，求此直线与直线3x ＋2y ＝6的交点M 与P 0之间的距离．解：设直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋22t ，y ＝4＋22t ，将它代入已知直线3x ＋2y －6＝0， 得3(3＋22t )＋2(4＋22t )＝6. 解得t ＝－1125，∴|MP 0|＝|t |＝1125.[例2] 已知直线l 经过点P (1,1)，倾斜角α＝π6，(1)写出直线l 的参数方程．(2)设l 与圆x 2＋y 2＝4相交于两点A 、B ，求点P 到A 、B 两点的距离之积．[思路点拨] (1)由直线参数方程的概念可直接写出方程；(2)充分利用参数几何意义求解．[解] (1)∵直线l 过点P (1,1)，倾斜角为π6，∴直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos π6，y ＝1＋t sin π6，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋32t ，y ＝1＋12t 为所求．(2)因为点A ，B 都在直线l 上，所以可设它们对应的参数为t 1和t 2，则点A ，B 的坐标分别为A (1＋32t 1,1＋12t 1)，B (1＋32t 2,1＋12t 2)， 以直线l 的参数方程代入圆的方程x 2＋y 2＝4整理得到t 2＋(3＋1)t －2＝0，① 因为t 1和t 2是方程①的解，从而t 1t 2＝－2. 所以|PA |·|PB |＝|t 1t 2|＝|－2|＝2.求解直线与圆或圆锥曲线有关的弦长时，不必求出交点坐标，根据直线参数方程中参数t 的几何意义即可求得结果，与常规方法相比较，较为简捷．3．直线l 通过P 0(－4,0)，倾斜角α＝π6，l 与圆x 2＋y 2＝7相交于A 、B 两点．(1)求弦长|AB |； (2)求A 、B 两点坐标．解：∵直线l 通过P 0(－4,0)，倾斜角α＝π6，∴可设直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4＋32t ，y ＝t 2.代入圆方程，得(－4＋32t )2＋(12t )2＝7. 整理得t 2－43t ＋9＝设A 、B 对应的参数分别t 1和t 2， 由根与系数的关系得t 1＋t 2＝43，t 1t 2＝9 ∴|AB |＝|t 2－t 1|＝t 1＋t 22－4t 1t 2＝2 3.解得t 1＝33，t 2＝3，代入直线参数方程 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4＋32t ，y ＝12t ，得A 点坐标(12，332)，B 点坐标(－52，32)．4.如图所示，已知直线l 过点P (2,0)，斜率为43，直线l 和抛物线y2＝2x 相交于A ，B 两点，设线段AB 的中点为M ，求：(1)P ，M 间的距离|PM |； (2)点M 的坐标．解：(1)由题意，知直线l 过点P (2,0)，斜率为43，设直线l 的倾斜角为α，则tan α＝43，cos α＝35，sin α＝45，∴直线l 的参数方程的标准形式为 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋35t ，y ＝45t(t 为参数)． *∵直线l 和抛物线相交，∴将直线l 的参数方程代入抛物线方程y 2＝2x 中， 整理得8t 2－15t －50＝0，Δ＝152＋4×8×50＞0. 设这个二次方程的两个根为t 1，t 2，由根与系数的关系得t 1＋t 2＝158，t 1t 2＝－254.由M 为线段AB 的中点， 根据t 的几何意义，得|PM | ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪t 1＋t 22＝1516.(2)因为中点M 所对应的参数为t M ＝1516，将此值代入直线l 的参数方程的标准形式(*)，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋35×1516＝4116，y ＝45×1516＝34，即M ⎝⎛⎭⎪⎫4116，34.[对应学生用书P28]一、选择题1．直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋t 2，y ＝2－32t ，M 0(－1,2)和M (x ，y )是该直线上的定点和动点，则t 的几何意义是( )A ．有向线段M 0M 的数量B ．有向线段MM 0的数量C ．|M 0M |D ．以上都不是解析：参数方程可化为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋－12－t ，y ＝2＋32－t答案：B2．曲线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3t 2＋2，y ＝t 2－1(t 是参数)，则曲线是( )A ．线段B ．双曲线的一支C ．圆D ．射线解析：由y ＝t 2－1得y ＋1＝t 2，代入x ＝3t 2＋2， 得x －3y －5＝0(x ≥2)．故选D. 答案：D3．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋3t ，y ＝－1＋t(t 为参数)上对应t ＝0，t ＝1两点间的距离是( )A ．1 B.10 C ．10D ．2 2解析：因为题目所给方程不是参数方程的标准形式，参数t 不具有几何意义，故不能直接由1－0＝1来得距离，应将t ＝0，t ＝1分别代入方程得到两点坐标(2，－1)和(5,0)，由两点间距离公式来求出距离，即－2＋－1－2＝10.答案：B4．若直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)与圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋2cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)相切，那么直线倾斜角α为( )A.π6 B.π4 C.π3D.π6或5π6解析：直线化为y x＝tan α，即y ＝tan α·x ， 圆方程化为(x －4)2＋y 2＝4， ∴由|4tan α|tan 2α＋1＝2⇒tan 2α＝13， ∴tan α＝±33，又α∈[0，π)，∴α＝π6或5π6. 答案：D 二、填空题5．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋22t ，y ＝－3－22t (t 为参数)上到点M (2，－3)的距离为2且在点M 下方的点的坐标是________．解析：把参数方程化成标准形式为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－22－t ，y ＝－3＋22－t ，把－t 看作参数，所求的点在M (2，－3)的下方，所以取－t ＝－2，即t ＝2，所以所求点的坐标为(3，－4)．答案：(3，－4)6．若直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－35t ，y ＝45t(t 为参数)，则直线l 的斜率为______．解析：由参数方程可知，cos θ＝－35，sin θ＝45.(θ为倾斜角)．∴tan θ＝－43，即为直线斜率．答案：－437．已知直线l 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－2t ，y ＝2＋kt (t 为参数)，l 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝s ，y ＝1－2s (s 为参数)，若l 1∥l 2，则k ＝____________；若l 1⊥l 2，则k ＝________.解析：将l 1，l 2的方程化为普通方程，得l 1：kx ＋2y －4－k ＝0，l 2：2x ＋y －1＝0， l 1∥l 2⇒k 2＝21≠4＋k1⇒k ＝4.l 1⊥l 2⇒(－2)·(－k2)＝－1⇒k ＝－1.答案：4 －1 三、解答题8．设直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5＋3t ，y ＝10－4t(t 为参数)．(1)求直线的普通方程；(2)将参数方程的一般形式化为参数方程的标准形式． 解：(1)把t ＝x －53代入y 的表达式 得y ＝10－x －3，化简得4x ＋3y －50＝0，所以直线的普通方程为4x ＋3y －50＝0. (2)把参数方程变形为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5－35－5t ，y ＝10＋45－5t ，令t ′＝－5t ，即有⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5－35t ′，y ＝10＋45t ′(t ′为参数)为参数方程的标准形式．9．已知斜率为1的直线l 过椭圆x 24＋y 2＝1的右焦点，交椭圆于A ，B 两点，求弦AB 的长度．解：因为直线l 的斜率为1，所以直线l 的倾斜角为π4.椭圆x 24＋y 2＝1的右焦点为(3，0)，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋22t ，y ＝22t (t 为参数)，代入椭圆方程x 24＋y 2＝1，得⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋22t 24＋⎝ ⎛⎭⎪⎫22t 2＝1，整理，得5t 2＋26t －2＝0. 设方程的两实根分别为t 1，t 2， 则t 1＋t 2＝－265，t 1·t 2＝－25，|t 1－t 2|＝t 1＋t 22－4t 1t 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2652＋85＝85， 所以弦AB 的长为85.10．已知在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋4cos θ，y ＝2＋4sin θ(θ为参数)，直线l 经过定点P (3,5)，倾斜角为π3.(1)写出直线l 的参数方程和曲线C 的标准方程；(2)设直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求|PA |·|PB |的值． 解：(1)曲线C ：(x －1)2＋(y －2)2＝16，直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋12t ，y ＝5＋32t (t 为参数)．(2)将直线l 的参数方程代入圆C 的方程可得t 2＋(2＋33)t －3＝0，设t 1，t 2是方程的两个根，则t 1t 2＝－3，所以|PA ||PB |＝|t 1||t 2|＝|t 1t 2|＝3.。
直线参数方程教案
直线参数方程教案教案标题：直线参数方程教案教学目标：1. 理解直线的参数方程表示方法；2. 掌握求解直线参数方程的方法；3. 能够应用直线参数方程解决实际问题。
教学准备：1. 教师准备：教学课件、黑板、彩色粉笔、直尺、计算器等；2. 学生准备：纸、铅笔、直尺、计算器等。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 教师通过引入直线方程的概念，提醒学生之前学习过的直线方程形式；2. 引导学生思考，直线是否可以用参数方程来表示。
二、讲解直线参数方程的概念（10分钟）1. 教师通过示意图，引导学生理解参数方程的概念；2. 解释直线参数方程的定义和意义；3. 提供直线参数方程的一般形式：x = x₁ + at, y = y₁ + bt，并解释各个参数的含义。
三、求解直线参数方程的步骤（15分钟）1. 教师通过示例，详细讲解求解直线参数方程的步骤；2. 强调确定直线上的一点和直线的方向向量的重要性；3. 指导学生如何通过已知条件确定直线上的一点和直线的方向向量。
四、练习与讨论（15分钟）1. 学生个人或小组完成练习题，求解给定直线的参数方程；2. 学生互相讨论解题思路和答案，教师进行指导和纠正。
五、应用实例（10分钟）1. 教师提供一个实际问题，引导学生将其转化为直线参数方程的求解；2. 学生个人或小组完成实际问题的求解，并展示解题过程和答案。
六、总结与拓展（5分钟）1. 教师对本节课的内容进行总结，强调直线参数方程的重要性和应用；2. 引导学生思考，直线参数方程在其他数学领域的应用。
七、作业布置（5分钟）1. 布置相关作业，巩固直线参数方程的求解方法；2. 鼓励学生自主拓展，寻找更多直线参数方程的应用实例。
教学反思：教案中通过导入、讲解、练习、应用等环节，全面引导学生理解和掌握直线参数方程的概念、求解方法和应用实例。
通过练习和应用实例的训练，能够提高学生对直线参数方程的理解和运用能力。
同时，鼓励学生自主拓展，培养学生对数学知识的独立思考和应用能力。
《2-3 直线的参数方程》教案
选修4-4 2-3直线的参数方程（第二课时）一、教学目标：知识与技能：掌握直线的参数方程。
过程与方法：.通过直线参数方程的应用，培养学生综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力，进一步体会数形结合、转化等数学思想。
情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。
二重难点：教学重点：对直线的参数方程的考查。
教学难点：直线的参数方程中参数t 的几何意义。
三、教学方法：自主学习与合作交流.四、教学过程（一）复习引入：（1）经过定点00(,)M x y ，倾斜角为α的直线的参数方程为⎩⎨⎧+=+=ααsin cos 00t y y t x x （t 为参数）。
【师生活动】教师提出如下问题让学生加强认识：①直线的参数方程中哪些是变量？哪些是常量？②参数t 的取值范围是什么？ ③参数t 的几何意义是什么？总结如下：①00,x y ，α是常量，,,x y t 是变量； ②t R ∈；③由于||1e =，且0M M te =，得到0M M t =，因此t 表示直线上的动点M 到定点0M 的距离．当0M M 的方向与数轴（直线）正方向相同时，0t >；当0M M 的方向与数轴（直线）正方向相反时，0t <；当0t =时，点M 与点0M 重合．（2）直线 ⎩⎨⎧+=+=ααsin cos 00t y y t x x （t 为参数）与曲线()y f x =交于12,M M 两点，对应的参数分别为12,t t 。
（1）曲线的弦12M M 的长是多少？（2）线段12M M 的中点M 对应的参数t 的值是多少？12121M M t t =-（）， 1222t t t +=（） 【设计意图】复习直线的参数方程，体会参数的几何意义。
（二）基础练习1．直线 的倾斜角为________________。
2．已知直线l 1：⎩⎨⎧x ＝1＋3t ，y ＝2－4t (t 为参数)与直线l 2：2x －4y ＝5相交于点B ，求B 点坐标 ________。
直线的参数方程 教案
直线的参数方程教案教案标题：直线的参数方程教案目标：1. 理解直线的参数方程的定义和概念；2. 掌握求解直线的参数方程的方法；3. 能够应用直线的参数方程解决实际问题。
教学重点：1. 直线的参数方程的定义和概念；2. 求解直线的参数方程的方法。
教学难点：1. 运用直线的参数方程解决实际问题。
教学准备：1. 教师准备：教学投影仪、白板、黑板、彩色粉笔、教案、课件；2. 学生准备：课本、笔记本。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入直线的概念，复习直线的一般方程和斜率截距方程。
二、知识讲解（15分钟）1. 介绍直线的参数方程的概念和定义；2. 讲解直线的参数方程的一般形式和求解方法；3. 通过示例演示如何将直线的一般方程或斜率截距方程转化为参数方程。
三、示范演练（15分钟）1. 给出一些直线的一般方程或斜率截距方程，要求学生转化为参数方程；2. 学生跟随教师的指导进行演练。
四、拓展应用（15分钟）1. 提供一些实际问题，要求学生运用直线的参数方程解决；2. 学生独立或小组合作完成拓展应用题。
五、讲评与总结（10分钟）1. 教师对学生的演练和拓展应用进行讲评；2. 总结直线的参数方程的求解方法和应用。
六、作业布置（5分钟）1. 布置课后作业：完成课后习题中与直线的参数方程相关的题目。
教学反思：本节课通过引入直线的概念，再结合直线的一般方程和斜率截距方程，引出了直线的参数方程的概念和定义。
通过示例演示和学生的跟随指导进行演练，加深了学生对直线的参数方程求解方法的理解和掌握。
通过拓展应用，培养了学生运用直线的参数方程解决实际问题的能力。
在讲评与总结环节，对学生的答案进行了讲评，巩固了学生的学习成果。
最后，布置了课后作业，巩固学生的学习效果。
整节课教学内容紧凑，学生参与度高，达到了预期的教学目标。
高中数学直线参数方程教案
高中数学直线参数方程教案
目标：学习如何用参数方程表示直线
一、直线方程的一般形式
在平面直角坐标系中，一条直线可以用一般形式的方程表示为：
Ax + By + C = 0
其中A、B、C为常数，A和B不同时为0。
二、直线的参数方程
一个方程组可以用参数形式表示为：
x = x0 + at
y = y0 + bt
其中x0、y0分别是直线上的一个点的坐标，a、b为实数。
三、如何求直线的参数方程
1.已知直线上的两个点P(x1, y1)和Q(x2, y2)，可以先求出直线的斜率：
m = (y2 - y1) / (x2 - x1)
然后，根据直线的斜率和一个已知点的坐标，可以得出直线的参数方程。
2.已知直线的一般形式方程Ax + By + C = 0，可以先求出一个点P(x0, y0)：
x0 = -C / A
y0 = 0
然后，根据这个点和直线的斜率，可以得出直线的参数方程。
四、练习题
1.已知直线L过点P(1, 2)和Q(-2, 5)，求直线L的参数方程。
2.已知直线L的一般形式方程2x - 3y + 6 = 0，求直线L的参数方程。
五、思考题
1.直线的参数方程和一般形式方程有何区别？
2.如果已知直线的参数方程x = 2t - 1，y = 3t + 4，如何表示这条直线的斜率？
六、作业
1.完成练习题。
2.思考题中的问题，并写下自己的回答。
本节课重点：学习如何用参数方程表示直线，以及如何根据已知条件求出直线的参数方程。
直线的参数方程课时教案(第一课时)
课时教案一、课题直线的参数方程（第一课时，共两课时）二、教学目的1.了解直线参数方程的条件以及参数的几何性质2.能根据直线的几何条件，写出直线的参数方程3.通过观察、探索、发现的过程，发展学生数学核心素养的“知识理解”、“知识迁移”、“知识创新”三级目标。
三、课型与教法新授课引导—发现模式四、教学重点直线参数方程的构建五、教学难点从动点M点的坐标变成直线l的参数方程的转化、t的几何意义、证明直线的参数方程、辨别是否是直线的标准参数方程六、教学过程探究一建立已知直线的参数方程1.复习引入（1）若点是直线l上的两相异点，则直线l的方向向量为，倾斜角为时，直线单位方向向量为；（2）已知两个向量),则共线的充要条件是；（3）如果直线l过定点，且倾斜角为，则直线l的方程为。
2. 讲授新课问题1 如图1，位于原点的机器人以单位速度沿单位方向向量行走时间t到达点M，求M点的坐标。
借助前面准备的知识由三角函数的定义不难得到，写成方程即。
问题2 如图2，如果初始位置不在原点，而在点，其他条件不变，求点M的坐标。
借助前面问题1和坐标的定义，不难得到，写成方程即。
问题3一般地，设直线l过点，且倾斜角为，点为其上任意一点，求M点的坐标。
可以提示学生引入参数t，则学生可类比得到（t为参数），此即为过点且倾斜角为的直线l的参数方程。
问题4 你能写出具体推导过程吗？指导学生利用向量法证明，同时指导学生借助点斜式方程进行证明。
探究二直线参数方程中t的几何意义问题5直线的参数方程（t为参数）中哪些是变量？哪些是常量？很容易由问题1,2,3得出是变量，是常量。
问题6 参数的几何意义是什么？为什么？结合参数方程的推导过程，可以引导学生从，且，得到，也可由。
由此可知|t|表示直线上的动点到定点的距离，即为参数的几何意义。
问题7参数t的取值范围是什么？t的正负与点的位置之间有什么关系？由中的正负可确定和的大小，从而确定的正负与点位置之间的关系，再利用图3可知：当时，点在点的上方；当时，点在点的下方；当时，点与点重合。
直线的参数方程教案
直线的参数方程教案直线的参数方程教案一、教学目标1. 知识与技能（1）掌握直线的参数方程的概念；（2）掌握直线的一般方程与参数方程的互相转化方法；（3）能够根据直线的参数方程绘制直线的图像。
2. 过程与方法（1）引导学生通过观察、实验等方式发现直线的参数方程的特点；（2）通过讲解和举例引导学生理解直线的参数方程的定义及其性质；（3）通过练习题巩固学生对直线的参数方程的掌握程度；（4）通过绘制直线的图像帮助学生加深对直线的参数方程的理解。
3. 情感、态度和价值观培养学生观察、发现、分析和解决问题的能力，培养学生的数学思维能力和创新能力。
二、教学重点与难点1. 教学重点掌握直线的参数方程的概念和性质，掌握直线的一般方程与参数方程的互相转化方法。
2. 教学难点能够根据直线的参数方程绘制直线的图像。
三、教学过程1. 导入新课通过展示几何平面坐标系上的一条直线图像，引导学生观察，思考直线的方程与参数方程之间的关系，并提问学生：你对直线的参数方程有什么了解？2. 探究活动（1）教师用实物或几何软件展示一条直线和坐标系，并选取直线上两个点A(x1, y1)和B(x2, y2)。
（2）教师引导学生观察并发现直线上每个点都可以由参数t确定，并写出该点的坐标为(x, y)，并尝试找出x和y与t之间的关系。
（3）学生根据已知的两个点的坐标、点A和点B的参数t值，写出点A和点B的参数方程。
（4）通过实际计算验证参数方程是否正确。
3. 理论总结通过探究活动，引导学生总结直线的参数方程的定义和性质，并帮助学生理解直线的参数方程与一般方程的转化方法。
4. 拓展（1）教师提问：已知直线的参数方程x = 2 + 3t，y = -1 + t ，如何将其转化为一般方程？（2）学生尝试将参数方程转化为一般方程，并进行实际计算和验证。
5. 练习巩固（1）教师出示几道直线的参数方程的题目，要求学生逐步转化为一般方程，并进行计算验证。
（2）学生独立完成练习题，并核对答案。
直线的参数方程教案(新的)优秀教案
课题：直线的参数方程＜第一课时＞课型：新授课教学目的要求：1、知识与技能：掌握直线的参数方程，明确参数t的几何意义会灵活应用。
2、过程与方法：通过直线参数方程的推导与应用，培养综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力，进一步体会运动与变化、数形结合等数学思想3、情感态度与价值：通过建立直线参数方程的过程，激发求知欲，培养积极探索、勇于钻研的科学精神、严谨的科学态度教学重点：分析直线的几何条件，选择适当的参数写出直线的参数方程教学难点：从直线的几何条件联系到向量法，并选择“有向线段的数量”为参数。
关键：参数的选择课时进度：第一课时教学方法:先学后教，当堂训练教具：多媒体课件步骤及时间分配内容备注教学构想教学流程阶段教师活动学生活动教学素材达成目标导入出示学习目标提问：我们学过经过定点,倾斜角为的直线的普通方程，那么怎样建立直线的参数方程呢？学习目标1．怎样选择参数t，建立直线的参数方程？2.直线的方向向量与MM有怎样的关系？3.直线的参数方程是什么？4.参数t的几何意义是什么？5.参数t的几何意义的应用.1名学生回答学生明确学习目标阅读教材完成【自学指导1】导学案教材导学案教材导学案通过回忆所学知识，为学生推导直线的参数方程做好准备让学生明确学习任务把新知识化成小问题逐一突破教学流程探究新知当堂训练例题解读1.当点M在直线上运动时，根据直线的几何条件，你认为应当怎样选择参数？2.你能写出直线的参数方程吗？板书1. 直线的参数方程教师提出如下问题让学生加强认识：①直线的参数方程中哪些是变量？哪些是常量？②参数的取值范围是什么？③参数的几何意义是什么？板书2 t 的几何意义当堂训练例题解读(1)已知直线与抛物线交于A,B两点，(1)判断点)2,1(M是否在直线l上，倾斜角为多少？(2)写出直线l的参数方程（3）线段AB的长度(4)点到A,B两点的距离之积通过例题我们得到哪些结论？板书3 t的几何意义的应用思考，讨论，研究2名同学回答针对性训练11名同学回答多名同学回答阅读教材完成【自学指导2】并总结参数的几何意义针对性训练21名同学回答学生练习小组合作相互交流根据学生做题情况可采取兵教兵环节学生通过做题小组合作讨论总结出结论2名同学回答导学案导学案导学案教材导学案综合运用所学知识，获取直线的方向向量，把向量坐标化，得到直线的参数方程，培养学生探索精神，体会数形结合思想．通过对点M的拖拽，体会参数的几何意义通过本题训练，使学生进一步体会直线的参数方程，并能利用参数解决有关问题，培养学生从分析问题和解决问题能力以及动手能力．通过特殊到一般，及时让学生总结有关结论，为进一步应用打下基础，培养归纳、概括能力．使学生对本节课所学知识有一个系统全面的认识。
教案直线的参数方程
课题：直线的参数方程（1）教学设计教学目标:(一）知识目标1．了解直线参数方程的建立过程，会与普通方程进行互化；2. 初步掌握运用参数方程解决问题，理解其中参数t 的几何意义. (二)能力目标1.通过思考引入，让学生感受学习直线参数方程的必要性；2.通过学习直线的参数方程探究直线与圆锥曲线的位置关系，培养学生数形结合以及运算求解能力. (三）情感目标1.培养学生的探究,研讨,综合自学应用能力；2.培养学生分析问题，解决问题的能力. 教学重点:1.联系数轴、向量积等知识；2.求出直线的参数方程. 教学难点:通过向量法，建立参数t 与点在直角坐标系中的坐标y x ,之间的联系. 教学过程： 一、学前准备(1)若由a b →→与共线，则存在实数λ，使得 . (2)设e →为a →方向上的 ，则a →=︱a →︱e →.(3)已知=AB y x B y x A 则),,(),,(2211.==y x ),( . (4)经过点00(,)M x y ，倾斜角为()2παα≠的直线的普通方程为 .(5)直线0=++C By Ax 的斜率=k ，倾斜角α与斜率k 的关系为 . 二、新课讲授探究新知（预习教材P35～P36，找出疑惑之处）1、选择怎样的参数，才能使直线上任一点M 的坐标,x y 与点0M 的坐标00,x y 和倾斜角α 联系起来呢？由于倾斜角可以与方向联系，M 与0M 可以用距离或线段0M M 数量的大小联系，这种“方向”和“有向线段数量大小”启发我们想到利用向量工具建立直线的参数方程. 如图，在直线上任取一点(,)M x y ，则0MM = ，而直线l 的单位方向向量e →=（ ， ）因为M 0//e，所以存在实数t R ∈，使得0MM = ，即有()()00,cos ,sin x x y y t αα--=，因此，经过点00(,)M x y ，倾斜角为()2παα≠的直线的参数方程的标准形式为：)(sin cos 00为参数t t y y t x x ⎩⎨⎧+=+=αα当堂训练（1）经过点)5,1(0M ,倾斜角为3π的直线l 的参数方程为 . （2）直线)(20cos 20sin 3为参数t s t y t x ⎝⎛=+=︒︒的倾斜角是( )︒20.A ︒70.B ︒110.C ︒160.D2、直线l 的参数方程的几种形式直线的参数方程形式不是唯一的，令ααsin ,cos ==b a ,则直线参数方程的标准形式可以是)1,0,(22200=+≥⎩⎨⎧+=+=b a b t bty y atx x 为参数直线的参数方程的一般式可以写成)(00为参数t dt y y ctx x ⎩⎨⎧+=+=，这里R d c ∈,,其中122=+d c 时，t有明确的几何意义，当122≠+d c 时，t 没有明确的几何意义. 直线的参数方程的一般式化为直线的参数方程的标准式的方法：),,0,,0()()(2222222222222222022220b dc da d c c t t d c db dcd a d c c t t d c d t d c d c d y y t d c d c c x x =+-=+-'=⋅+-≤=+=+'=⋅+≥⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⋅+++=⋅+++=时，令，时，令其中，3、直线的参数方程中参数的几何意义x参数t 的绝对值表示参数t 所对应的点M 到定点M 0t =.由于α为直线的倾斜角,且),0[πα∈，α是第二象限角，0sin ≥α.所以e的方向总是向上的，当M M 0与e (直线的单位方向向量)同向时，0>t ，当M M 0与e反向时，0<t ，当M 与M 0重合时，0=t .4、用直线l 的参数方程求弦长和弦的中点坐标的方法①已知直线l 过),(00y x M ，倾斜角为α，l 与圆锥曲线相交于B A ,两点，则求弦长AB 的方法如下：将直线l 的参数方程)(sin cos 00为参数t t y y t x x ⎩⎨⎧+=+=αα代入圆锥曲线的方程，消去y x ,得到关于t 的一元二次方程，由判别式∆和韦达定理得到21t t +，21t t 的值，代入弦长公式21221214)(t t t t t t AB -+=-=，M 到两交点的距离之积为21t t MB MA =∙. ②弦的中点坐标对应的参数221t t t +=，先计算221tt t +=，再把t 代入直线l 的参数方程，即得到弦中点的坐标.三、知识应用例．已知直线:10l x y +-=与抛物线2y x =交于A 、B 两点，求线段AB 的长和点(1,2)M -到A ，B 两点的距离之积.四、课堂检测直线)(,2333,211为参数t t y t x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+=和圆1622=+y x 交于B A ,两点，则B A ,的中点坐标为（ ）)3,3.(-A )3,3.(--B )3,3.(-C )3,3.(-D五 、课堂小结（1）经过点00(,)M x y ，倾斜角为()2παα≠的直线的参数方程的标准形式为：)(s i n c o s 00为参数t t y y t x x ⎩⎨⎧+=+=αα，其中参数t 具有明确的意义. （2）直线的标准方程主要用来解决过定点的直线与圆锥曲线相交时的弦长或距离，它可以避免求交点时解方程组的繁琐运算，但是应用直线的参数方程时，应先判别是否是标准形式，再考虑t 的几何意义.(3)弦长公式21221214)(t t t t t t AB -+=-=，定点M 到两交点的距离之积为21t t MB MA =∙.弦的中点坐标对应的参数221t t t +=. 六、高考衔接(2016江苏)在平面直角坐标系xoy 中，已知直线l 的参数方程为)(23211为参数t t y t x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=，椭圆C 的参数方程为)(sin 2cos 为参数θθθ⎩⎨⎧==y x .设直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长.七、作业布置课本p39 习题2.3第3题 八、课后反思。
直线的参数方程教案
直线的参数方程教案一、教学目标1.理解直线的参数方程的概念和基本思想；2.掌握直线的参数方程的求解方法；3.能够应用直线的参数方程解决相关问题。
二、教学内容1.直线的参数方程的定义和思想；2.直线的参数方程的求解方法；3.直线参数方程的应用。
三、教学重难点1.直线参数方程的概念和思想；2.直线参数方程的求解方法。
四、教学过程1. 引入教师可以通过一个生活中的例子引入直线的参数方程，如一辆汽车在直线道路上的行驶。
引导学生思考，如何用一个参数来描述汽车在直线上的位置。
2. 知识讲解2.1 直线的参数方程的定义直线的参数方程是指用参数的形式来表示直线上的点的坐标。
一般形式为：x = x0 + t * ay = y0 + t * b其中，(x0, y0)为直线上的一点，(a, b)为直线的方向向量，t为参数。
2.2 直线参数方程的求解方法求解直线的参数方程，可以根据直线上的已知点和方向向量来确定参数方程的具体形式。
步骤如下：1.确定直线上的一点(x0, y0)和方向向量(a, b)；2.应用参数方程的定义，写出直线的参数方程。
3. 实例演练教师可以选择一些具体实例，引导学生运用直线的参数方程解决问题。
例如，求直线L上距离(1, 2)最近的点。
解：已知直线L的参数方程为：x = 3 + ty = -1 + t点(1, 2)到直线L上的任意点(3 + t, -1 + t)的距离可以表示为：d = sqrt((1 - 3 - t)^2 + (2 + 1 - t)^2)为了求d最小，可以对d求导，令导数为零。
通过求导和解方程，可得t = 1。
代入参数方程，得(4, 0)。
故直线L上距离(1, 2)最近的点为(4, 0)。
4. 拓展应用教师可以引导学生思考直线参数方程在其他几何问题中的应用，如求两直线的交点、求直线与平面的交点等。
五、教学本节课我们学习了直线的参数方程的概念、基本思想和求解方法。
通过实例演练，我们掌握了如何应用直线的参数方程解决相关问题。
《参数方程》教案(新人教选修
《参数方程》教案（新人教选修）第一章：参数方程的概念与基本形式1.1 参数方程的定义介绍参数方程的概念，理解参数方程与普通方程的区别。
举例说明参数方程在实际问题中的应用。
1.2 基本形式的参数方程介绍直线、圆、椭圆、双曲线等基本图形的参数方程形式。
通过图形直观地理解参数方程的含义和作用。
第二章：参数方程的求解与变换2.1 参数方程的求解讲解如何从参数方程中求解出坐标值。
练习求解直线、圆等基本图形的参数方程。
2.2 参数方程的变换介绍参数方程之间的变换方法。
讲解如何将一个参数方程转换为另一个参数方程。
第三章：参数方程的应用3.1 动点轨迹的参数方程讲解如何利用参数方程描述动点的轨迹。
举例说明参数方程在描述物体运动轨迹中的应用。
3.2 优化问题的参数方程求解介绍如何利用参数方程求解优化问题。
举例说明参数方程在实际问题中的应用。
第四章：参数方程与普通方程的互化4.1 直线、圆的参数方程与普通方程互化讲解如何将直线的参数方程转化为普通方程，以及反之。
讲解如何将圆的参数方程转化为普通方程，以及反之。
4.2 椭圆、双曲线的参数方程与普通方程互化讲解如何将椭圆、双曲线的参数方程转化为普通方程，以及反之。
第五章：参数方程的综合应用5.1 参数方程在几何中的应用讲解参数方程在几何问题中的应用，如计算图形的面积、体积等。
5.2 参数方程在物理中的应用举例说明参数方程在物理问题中的应用，如描述波动、运动轨迹等。
第六章：参数方程与极坐标方程的转换6.1 极坐标方程的基本概念介绍极坐标系的定义和极坐标方程的概念。
理解极坐标方程与直角坐标方程之间的关系。
6.2 参数方程与极坐标方程的转换方法讲解如何将参数方程转换为极坐标方程。
举例说明并练习参数方程与极坐标方程之间的转换。
第七章：参数方程在实际问题中的应用7.1 参数方程在工程中的应用讲解参数方程在工程问题中的应用，如优化设计、路径规划等。
举例说明参数方程在工程问题中的具体应用。
《参数方程》教案(新人教选修)
《参数方程》教案(新人教选修)第一章：参数方程的概念与基本形式1.1 参数方程的定义引入参数方程的概念，让学生理解参数方程是一种描述曲线运动的数学工具。
通过实际例子，让学生了解参数方程在现实中的应用。
1.2 参数方程的基本形式介绍参数方程的两种基本形式：圆锥曲线的参数方程和直线的参数方程。
通过图形和实例，让学生理解参数方程与普通方程之间的关系。
第二章：参数方程的图像与性质2.1 参数方程的图像利用图形软件，绘制常见参数方程的图像，让学生直观地了解参数方程的特点。
引导学生观察图像，探讨参数方程与坐标轴之间的关系。
2.2 参数方程的性质引导学生研究参数方程的单调性、周期性和奇偶性等性质。
通过实例，让学生了解参数方程的性质在实际问题中的应用。
第三章：参数方程的变换与化简3.1 参数方程的变换介绍参数方程的基本变换，如平移、旋转和缩放等。
通过实例，让学生学会如何对参数方程进行变换。
3.2 参数方程的化简引导学生利用数学方法对参数方程进行化简，使其形式更加简洁。
通过实例，让学生了解参数方程化简的意义和应用。
第四章：参数方程的应用4.1 参数方程在物理中的应用以机械运动为例，介绍参数方程在描述物体运动中的应用。
引导学生利用参数方程解决实际物理问题。
4.2 参数方程在工程中的应用以电子电路为例，介绍参数方程在描述系统动态行为中的应用。
引导学生利用参数方程解决实际工程问题。
第五章：参数方程的综合练习5.1 参数方程的解题技巧通过实例，让学生学会如何运用不同的技巧解决参数方程问题。
5.2 综合练习题提供一系列与参数方程相关的综合练习题，让学生巩固所学知识。
对练习题进行讲解和解析，帮助学生提高解题能力。
第六章：参数方程在圆锥曲线中的应用6.1 圆锥曲线的参数方程复习圆锥曲线的普通方程，并引入其参数方程。
通过图形和实例，让学生了解圆锥曲线的参数方程表示方法。
6.2 圆锥曲线的参数性质引导学生研究圆锥曲线的参数性质，如渐近线、焦点、顶点等。
2.2直线的方程课件(人教版)
第二课时 “直线的两点式方程”课时教学设计
（四）教学过程——问题2
（2 ）如 果学生 的基础 不是太 好的话 ，向学 生说 明
y y1 x x1 y2 y1 x2 x1
是 选择 点
P1(x1, y1) 写 点 斜 式 的 结 果 ， 而
y y2 y2 y1
x x2 x2 x1
是选择点 P2 (x2 , y2 )
（三）教学重点及难点
1.重点 直线的两点式方程. 2.难点 （1）两点式、截距式的适用范围； （2）截距与 y 轴上的截距、截距与距离的区别与联系.
第二课时 “直线的两点式方程”课时教学设计
（四）教学过程——问题1
问题 1：在平面直角坐标系中，给定直线l 上一个定点 P0 (x0, y0 ) 和斜率 k ，则直线l 上不
写点斜式的结果即可（如图）.
但是， y y1 y2 y1 并不是直线的两点式.具体表现的不是“以这个方程的解为坐标的
x x1 x2 x1
点不在过两点的直线上”，而是表现为“过两点的直线上有一个点 P2 (x2, y2 ) 的坐标不是这个 方程的解”.
第二课时 “直线的两点式方程”课时教学设计
另外，令 y y1 x x1 t ，直线的参数方程也就呼之欲出了.当然，直线的两点式方
y2 y1 x2 x1
程也在具有结构上的对称美.这些话题，在必要的情况下，结合学生的表现，选择在课堂或 课后给学生做一个说明.这样的数学课堂会不会更加的有血有肉呢？
第二课时 “直线的两点式方程”课时教学设计
（四）教学过程——问题1
例题 1 是教材中原有的例题.这个问题选自教材的例题.检测学生对直线的两点式的应 用能力.要求学生能够在已知条件中找出或算出两点式所要求的两点，继而写出两点.
直线的参数方程教学设计
2.1 直线的参数方程（第一课时）教学设计【附教学反思】九江三中吴丛新教学目标：通过探究直线的参数方程的过程，使学生体会参数t的含义，并会利用参数t的几何意义解决有关弦长的问题，加深对参数方程的理解。
教学重点：直线参数方程的推导，参数t的几何意义的理解。
教学难点：理解和书写与直线正方向同向的单位向量，及参数t的几何意义的应用。
教学方法：问题教学，启发式教学。
教学用具：多媒体辅助教学。
教学环节：一：复习引入复习前一节曲线与参数方程中参数方程的概念，特别强调引入参数的意义。
复习直线的普通方程的形式，特别强调点斜式。
【设计意图】：复习参数的意义为即将建立直线的参数方程中引入参数t做铺垫，复习点斜式为后面消参做准备。
二：直线的参数方程的推导采用两种方法推导直线的参数方程，以加深对直线参数方程参数t的几何意义的理解。
（一）利用直角三角形知识推导【问题设置】直线l的正方向是什么？有向线段PM的数量是什么？如何利用直角三角形的知识求出动点M的坐标？【设计意图】直线的正方向和有向线段的数量是两个全新的概念，北师大版教材正是基于这两个概念才能给出直线参数方程中参数t的几何意义，对t的几何意义的理解是本节的难点，这里需做好铺垫，强化对有向线段的数量的正负取值的理解。
（二）利用平面向量共线定理推导【问题设置】直线的方向单位向量是什么？你能利用向量共线定理求出点M的坐标吗？【设计意图】在利用直角三角形知识推导出参数方程后，学生对参数t的理解很可能会停留在两点的距离上，这里要引导学生理解参数t 取负值的情况。
对于参数t的几何意义的阐释，人教版很好地利用了向量工具（共线定理），正因于此，所以本节又将人教版中的推导方法引入了进来，以加深学生对参数t的几何意义的理解。
【教学反思】上课时直接给出了参数t的设法，没有引导学生自己去设参数，其实只需引导学生思考，随着点M的运动PM在变化。
这样就会使参数t的引入显得自然。
另外，讲解向量法推导耗费不少时间，导致后面的时间很紧凑，牺牲了学生演板时间，有点得不偿失。
选择性必修1：直线的参数方程——教学设计
直线的参数方程教学设计教材内容解析本节内容是人教A 版选修4—4第二讲第三部分的内容．直线是学生最熟悉的几何图形，在教材《必修2》中学生已经学习了直线的五种方程.教科书先引导学生回顾了用倾斜角的正切表示的直线的点斜式方程，这是为推导直线的参数方程做准备，从代数变换的角度看，教材P35的直线参数方程00+cos ,+sin .x x t t y y t αα=⎧⎨=⎩（为参数）就是点斜式的变形．在提出“如何建立直线的参数方程？”后，教材引导学生借助向量工具探究直线的参数方程．这一过程，教师引导学生通过类比、联想的思想方法，将直线和单位方向向量联系起来，引入恰当的参数，从而建立直线的参数方程． 学情分析学生对事物的认识多是从直观到抽象，从感性到理性．而对事物的理解多以自己的经验为基础来建构或解释现象，而并不是把知识从外界直接搬到记忆中．高二学生的学习过程更是如此．之前圆锥曲线的参数方程学生已经熟悉，也能够理解各种曲线的参数的几何意义，但是直线的参数方程还能否用角作为参数呢？这是完全不同的，应该选择那个量作为直线的参数呢?需要引入“方向向量的概念”，之前的必修教材从未学习过，所以，在讲本节课之前，提前对方向向量的知识作了补充学习，为本节课的学习提前进行知识储备．教学方法与教学手段教学方法：启发探究式（教师设问引导，学生自主探究、合作解决）．教学手段：多媒体辅助教学（利用计算机和实物投影辅助教学）．教学目标1．利用直线的单位方向向量推导直线的参数方程，体会直线的普通方程与参数方程的联系；2．理解并掌握直线的参数方程中参数t 的几何意义；3．通过直线参数方程的探究，体会参数的形成过程，培养严密地思考和严谨推理的习惯；4．在学习过程中渗透类比、归纳、推理的数学思想方法，以及引领学生体会“根据几何性质选取恰当的参数，建立参数方程”的几何问题代数化的解析思想．教学重点1．分析直线的几何条件，选择恰当的参数写出直线的参数方程；2．直线的参数方程中参数t 的几何意义．教学难点1．直线的参数方程中参数t 的几何意义；2．直线参数方程中参数t 的几何意义的初步应用．教学过程一．课题引入问题1．已知直线10l x y +-=：与抛物线2y x =交于A ，B 两点，求(1,2)M - 到A ，B 两点的距离之积．解：解析法由210x y y x+-=⎧⎨=⎩可知两交点坐标分别为1535(,)22A --+，1535(,)22B -+- 所以222215351+535(1)(2)(1)(2)2222MA MB --+--⋅=--+-⋅--+- (35)(35)=2=-⋅+．【设计意图】通过几何法求解距离，让学生真切感受“计算过程”的繁琐，为引入本节课题做铺垫．问题2．有没有比这种方法更简便的算法？接着引入本节课题“直线的参数方程”．二．直线的参数方程（直线的参数的发现与确定）探究1．一般地，设直线l 经过点000M x y （，），且倾斜角为α，动点M x y （，）为直线上任意一点，直线l 的单位方向向量记作cos sin e αα=（，）,[)0απ∈，，那么 0//M M e ，因此根据共线向量的充要条件可知，存在实数t ，使得0=M M te ，即00cos sin x x y y t αα--=（，）（，），于是，有00cos sin x x t t y y t αα-=⎧⎨-=⎩（为参数） 因此，把上面的方程叫做经过点000M x y （，），倾斜角为α的直线l 的参数方程．直线参数方程的文字表述：直线上任意动点的纵横坐标等于定点相应坐标加上参数乘以倾斜角的正余弦．注意：直线上的任意一个点都唯一对应一个参数t ．【设计意图】通过教师引导和启发，由学生自己独立或在小组合作的基础上，借助直线的单位方向向量建立起直线l 的参数方程．这是本节课的其中一个重点和关键．三．参数t 的几何意义探究2．直线l 的参数方程中参数t 的几何意义是什么？因为单位方向向量cos sin e αα=（，），所以1e =，又因为0=M M te ， 所以0===M M te t e t于是得到参数t 的几何意义：直线l 上的动点M 到定点0M 的距离，等于参数t 的绝对值．探究3．参数t 的符号又有什么意义呢？当0απ<<时，sin 0α>，所以直线l 的单位方向向量e 的方向总是向上的．（1）若0t >，由000=0sin y y t y y y y α-⇒->⇒>，可知点M 在点0M 上方，则0M M 的方向向上； （2）若0t <，由000=0sin y y t y y y y α-⇒-<⇒<，可知点M 在点0M 下方，则0M M 的方向向下； （3）若0t =，则0y y =，从而点M 点0M 重合．【设计意图】引导学生思考讨论后获取共识，直线的参数t 具有两点意义：符号决定了动点相对于定点的位置，绝对值表示动点到定点的距离．为后面参数的应用做铺垫．问题3．如果直线水平放置，那么直线上的定点和动点的关系可以和我们学过的那个知识联系起来？【设计意图】回顾数轴概念，理解数轴上的任意一点对应一个实数，点的坐标的绝对值刚好是对应的点到原点的距离．问题4．数轴是怎样建立的？数轴上任意一点的坐标的几何意义是什么？规定了原点、单位长度和正方向的直线叫数轴。
“直线的两点式方程”教学设计
现另一种比较完美的直线方程形式： ＋ ４ － ＝ １ ， 并加以 ０ Ｄ
总 结提 升 ． 解 题小 结 ： １ ． 解题步骤 ： 明确条件 一代入公式 一化简整理； ２ ． 截距式方程及说明： （ １ ） 截距式方程适用于横 、 纵截距都存在且都 不为 ０ （ 即ａ ｂ ≠０ ） 的直线 ； （ ２ ） 形式对称 与和谐 的特征 ， 并举 出不是截距式方 程的例子 ； ＿＋ （ ３ ） 横、 纵截距 ａ ． ｂ 不是距离 ， 可 以为任意实数． ３ ． 四种特殊形式 ： 点斜式 （ 斜截式） 两点式（ 截 距式 ） 能力提升 ： 例 １已知 三角形 Ａ Ｂ Ｃ的顶点是 ４ （ 一 ５ ， ０ ） ， ８ （ ３ ， 一 ３ ） ， ｃ （ ｏ ， ２ ） ， （ １ ） ） 求Ａ Ｂ Ｃ三边所在直线方程 ；
迁移 、 化归、 计算等能力薄弱 ， 可能在两点式方程形式的 延． 之后及时通过一定量 的练习让学生掌握方程并会灵 导出、 综合性应用问题上会有一定 困难． 活应用． 为掌握待定 系数法 ， 教师通过举例求一元 一次 学 习 内容 分 析 ： 函数解析式时可用待定系数法类 比， 求直线方程也可以 直线方程共有 四种特殊形式 ，本节课学 习第 三、 第 用待定系数法并精讲求解过程 ， 让学生明确步骤、 学会 教 师通 过 引导 学 生观 察 、 类 比、 归纳 、 化归转化 、 合 四种特殊形式 ， 其重要性略低 于前两种形式 ， 使用频率 方 法 ． 也不高． 但在体现点斜式方程 的应用 ， 衬托点斜式方程 作探究等方式 ， 使学生转变学习方式． 的重要性及为学习一般式方程作铺垫 ， 体现由特殊到一 教学 过 程（ 含 师生 活动 ） ： 般 的知识归纳提升过程中有着重要意义． 复习回顾 ： 让学生 回答上节课学习的直线方程 的两 本节的主要知识点是两个方程的导 出及应用 ， 教学 种形式 ： 点斜式及斜截式方程 ， 并 明确 已知及方程适用 基于点斜式方程 ； 引领学生学会一个数学方法—— 待定 条件． 系数法 ， 这种方法在确定 曲线方程问题中是常用的重要 问题导入 ： 利用点斜式 、 斜截式可求直线方程 ， 若不 方法 ； 另外把方程思想 、 数形结合思想贯穿于课堂教学 知 ｋ ， 只知两个点 ， 能否求直线方程呢？ 的始终 ， 强调解析几何的一般方法和思想． 例 已知两点 Ｐ １ （ ３ ， 一 ５ ） ， Ｐ ２ （ 一 ２ ， ５ ） ， 求直线方程． 当两 通过对两点式 、 截距式方程的学 习， 让学生感受数 个 点 Ｐ ｌ （ ｘ 。 ， Ｙ ） ， Ｐ ２ （ ２ ， ｙ ２ ） （ ｘ ≠ ２ ， Ｙ ≠ ） 变成 一般 的 两点 ， 学的对称美 、 和谐美等特质． 通过对两点式方程 由分 式 如何得 出用这两点坐标表示的直线方程？ 到整式 的变形 ，帮助学生 了解一般式方程 中系数 Ａ、 Ｂ 进而导 出新课 ， 并展示学习 目标 ， 由一 名学生 到黑 的几何 意义【 直线的方 向向量 即为（ ， ） ， 法向量为 板上板演两点式方程及截距式方程． （ Ａ， 日） 】 ， 为学习直线的参数方程做铺垫． 使学生掌握整 新知 探 究 ： 式形式的方程是已知两点求直线方程并化 为一般方程 问题 ： 探究在 已知 Ｐ ｌ （ ｘ １ ， Ｙ １ ） ， Ｐ ２ （ 孙ｙ ２ ） （ ｘ ｌ ≠ 孙Ｙ ｌ ≠ 忱 ） 时， 的技 巧 ， 为学 生 感性 认 识 行 列式 、 进 一 步学 习高 等 数 学 如何求直线方程 、 让学生阅读教材 ， 由一名学生讲解方 埋下伏笔 ， 体现搭 建共 同基础 ， 提供发展平 台的课程理 程 的导 出过即
第2讲3直线的参数方程课件人教新课标
应将t＝0，t＝1分别代入方程得到两点坐标(2，－1)和(5,0)，由两点间距
离公式来求出距离，
即 2－52＋－1－02＝ 10.
12345
解析 答案
2.直线
x＝－3＋tcos y＝2＋tsin α
α，(t为参数，α＝Fra bibliotekπ 6
)不经过
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
√D.第四象限
12345
答案
3.若直线 l1：yx＝＝21＋－2ktt， (t 为参数)与直线 l2：xy＝＝s1，－2s (s 为参数)垂直， 则 k＝_－__1_. 解析 由－2k·(－2)＝－1，得 k＝－1.
解答
类型三 直线参数方程的综合应用
x＝－4＋ 22t，
例4
已知曲线
C1：y＝
2 2t
(t 为参数)，C2：xy＝ ＝－1＋2＋ sincθos θ，
(θ 为参数).
(1)化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；
解答
(2)若曲线C1和C2相交于A，B两点，求|AB|.
解答
引申探究 1.若点P(－4,0)是曲线C1上的定点，本例其它条件不变，求|PA|＋|PB| 的值.
解答
2.在探究 1 条件不变的情况下，求|P1A|＋|P1B|的值.
解 由探究 1 知，t1＋t2＝3 2，t1·t2＝4，
所以|PA|＋|PB|＝|t1＋t2|＝3 2，
|PA|·|PB|＝|t1t2|＝4.
所以|P1A|＋|P1B|＝|P|PAA|＋|·|P|PBB| |＝3
4
2 .
解答
反思与感悟 (1)参数方程中一个确定的参数值对应着曲线上一个确定的 点，由参数方程求曲线交点坐标时，可以通过方程组求出参数值，再根 据参数值得出交点坐标. (2)解题时如果涉及求直线被曲线截得的线段的长度或者直线上的点与曲 线交点之间线段长度的和、乘积等，都可以利用直线参数方程中参数的 几何意义加以解决.
直线参数方程教学设计
直线参数方程教学设计人们对事物的认识多是从直观到抽象，从感性到理性. 而对事物的理解多以自己的经验为基础来建构或解释现实，而并不是把知识从外界直接搬到记忆中，中学生的学习过程更是如此.现行IB模块（人民教育出版社选修4-4）对直线的参数方程的编排，缺乏必要的知识铺垫. 教材一开始就严格遵循“用参数来研究方程”的解析思想，尽管前面也研究了圆锥曲线的参数方程，但学生对如此引入参数t感到很突然，下意识地拒绝参数t，教学自然不够流畅. 教师教学参考用书上也指出：可以利用“方向向量”“有向线段数量大小”启发我们利用向量工具（向量的坐标表示）建立直线的参数方程，但这可能是我们教学预设者良好的愿望. 一方面学生对直线的单位方向向量e的不熟悉（在5个必修模块中均没有介绍），另一方面对参数t的几何形态没有像圆锥曲线的参数那么直观可信.笔者除了对“单位方向向量e”这一概念作了介绍以后，按着这样的认知规律设计了如下“模型→类比→发现”的教学程序. 执行实践表明，改进后的教学既能使学生很好地接受参数t，能正确领会参数的几何意义，又能培养学生自己发现问题、探究问题、解决问题的能力. 以下是笔者的教学设计. 教师开始就声明：我们上几节课学习了圆锥曲线参数方程，本节课要来研究直线的参数方程.一、直线的单位方向向量设向量，则与它方向相同的单位向量是e＝；一个单位向量的平面直角坐标系上的坐标表示可以是：e＝（n，k），则有n2+k2=1，其中就是原向量在这个坐标系内的所在直线的斜率.一般将直线的单位向量记作e＝（cosα，sinα），α∈［0，π）. 单位向量有无数个；不同的单位向量，是指它们的方向不同；而一条直线的单位向量对应着这条直线的方向，即直线的斜率（或倾斜角）.二、参数的发现与确定1. 数轴的再认识在初中，我们学习了数轴. 画一条水平直线，在直线上取一点表示原点O，选取某一长度作为单位长度，规定直线上向右的方向为正方向，就得到数轴，如图1所示. 所以原点、单位长度、正方向是数轴的三要素. 我们把单位长度和正方向这两个要素合在一起，就是在数轴这一条直线上我们规定了一个单位方向向量e，即e=. 这样，数轴上每个点P都对应一个实数t，即每一个实数与数轴上的点构成一一对应.事实上，因为向量=t，所以数轴上点P的坐标就是有向线段的数量，即实数t就是数轴上任一点P的坐标. 也就是说我们平时所说的实数a 实际上就是向量t中的系数t.另一方面，若在数轴上点A，B所对应的坐标为tA，tB，则线段AB的中点坐标为，且AB=tA-tB.2. 参数的发现我们将数轴按一定的倾斜角α（α≠）放置在直角坐标平面内，数轴成了直线l，原点对应定点P0（x0，y0），直线l的单位方向向量为e=（cosα，sinα），那么怎样建立直线的参数方程呢？我们选择怎样的参数t，才能使直线上任一点P 的坐标x，y与点P0的坐标x0，y0和倾斜角α联系起来呢？通过教师引导，学生会类比数轴的“方向向量”“坐标”发现P的坐标x，y，点P0的坐标x0，y0和倾斜角α的关系.3. 参数方程的确立由学生自己独立或同伴帮助下，建立起直线l的参数方程. 在直线l上任取一点P（x，y），则＝（x，y）-（x0，y0）＝（x-x0，y-y0），因为直线上∥e，所以必有实数t，使得＝te，即（x-x0，y-y0）=t（cosθ，sinθ），从而得到直线l 的参数方程x=x0+tcosα，y=y0+tsinα.三、参数t的意义指导学生思考讨论后获取共识：直线l的方向向量e满足e=1，由=te得到t==P0P. 参数t的代数意义是对应点P相对于以P0为原点e为方向向量的广义上的坐标，也就是说，每一个实数t与直线l上的每一点构成一一对应；其几何意义是：t表示参数t对应的点P到定点P0的距离.这样做既揭示了参数t的代数意义和几何意义的联系，避免了一味强调和生硬理解参数t的几何意义，也为后续应用的几何意义埋下伏笔.学生极易发现：当与e同向时，取t正数；当与e反向时，取t负数.类比地，若直线上一点P′对应的参数是t′，那么线段P0P中点所对应的坐标（参数）为，其长度是t+t′，这与数轴上的情形完全吻合.四、直线参数方程的再思考1. 参数方程与普通方程表示的一致性由参数方程x=x0+tcosα，y=y0+tsinα得到==t，这是直线参数方程表示的另一种形式，当然也可转化为y-y0=tanα（x-x0），这就是直线普通方程的点斜式.2. 对单位方向向量e的辨析教师指出：如果我们将直线的单位方向向量e换成一般的方向向量n＝（a，b）（a2+b2≠1），那直线的参数方程又该如何？这时参数t的意义又说明了什么？学生独立思考完成，直线的参数方程可以写为：x=x0+ta，y=y0+tb.此时参数t仍可视为以P0为原点n为方向向量的广义上的坐标，t没有明确的几何意义，但线段P0P的长度P0P==t. 由参数方程x=x0+tcosα，y=y0+tsinα.其中0≤α＜π，可知直线的方向向量（cosα，sinα），它的方向是向上的. 但我们将直线的单位方向向量e换成一般的方向向量n（a，b）（a2+b2≠1）后，n的方向也可以向下. 倘若将向量n化为单位向量e=（cosα，sinα），此时角α不一定非要换成倾斜角不可，也就是说参数方程中的参数α可以拓广到任意的实数，这体现出与椭圆（圆）、双曲线的参数α∈R的高度一致性.上述思考过程，不仅实现了用参数方程与普通方程来表示直线的殊途同归，而且可以让学生体会完整、系统讨论问题的方法，可以进一步培养严密地思考和严谨地推理的习惯.五、小结本节课学习了直线的参数方程，并且研究了参数的代数和几何意义，这种“根据几何性质选取恰当的参数，建立参数方程”就是很重要的解析思想.参数方程应用的例题、作业、练习等省略. 本节课的改革，是将“数轴”作为一般的直线模型，引入直线的方向向量，让学生自己去发现和确定参数，注重学生的学业实际，重视教学过程，深化了直观与感知、抽象与理性两个层面的教学，符合学生的认知规律，更体现出对数学本质的揭示.。
直线的参数方程
《直线的参数方程》教学设计
授课
时间
5月25日
星期三第3.4节
总授课节数
60
授课班级
09级7.8班
授课类型
新授
集体备课
教师个人
课
程
分
析
了解参数方程的定义
分析直线的几何性质
会选择适当的参数
会选择适当的参数
了解参数方程的定义
分析直线的几何性质
学
情
分
析
有效把握一些通性通法，使学生的思维能力的以螺旋式的上升。
这里T是 的公共定义域。并且对于t的每一个允许值。由方程（1）所确定的点
。都在这条曲线上；那么（1）叫做这条曲线的参数方程，辅助变数t叫做参数。
参数方程的定义：在取定的坐标系中。如果曲线上任意一点的坐标 都是某个变量 的函数 (t T)（1）
这里T是 的公共定义域。并且对于t的每一个允许值。由方程（1）所确定的点
t>0时，p在 上方或右方；t<0时，p在 下方或左方，t=0时，p与 重合。
（ ）直线的参数方程的一般形式是： （t为参数）
这里直线 的倾斜角 的正切 （ 时例外）。当且仅当 且b>0时.（1）中的t才具有（ ）中的t所具有的几何意义。
参数方程的定义：在取定的坐标系中。如果曲线上任意一点的坐标 都是某个变量 的函数 (t T)（1）
板பைடு நூலகம்设计
直线的参数方程
（1）直线的向量形式推导参数方程
（2）直线的倾斜角形式推导参数方程
课后反思
根据参数形式推导参数方程
教学内容设计（概念、公式、知识要点、例题、练习、作业等及其呈现方式，顺序与时间安排
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2.2.3直线的参数方程（教学设计）(2课时)教学目标：知识与技能：1. 联系数轴、向量等知识，推导出直线的参数方程，并进行简单应用，体会直线参数方程在解决问题中的作用．2.通过直线参数方程的推导与应用，培养综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力，进一步体会运动与变化、数形结合、转化、类比等数学思想．过程与方法：能根据直线的几何条件,写出直线的参数方程及参数的意义情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。
通过建立直线参数方程的过程，激发求知欲，培养积极探索、勇于钻研的科学精神、严谨的科学态度．教学重点：联系数轴、向量等知识，写出直线的参数方程．教学难点：通过向量法，建立参数t（数轴上的点坐标）与点在直角坐标系中的坐标,x y之间的联系．教学过程：一、复习回顾：1.曲线参数方程的概念及圆与椭圆的参数方程．2.直线的方向向量的概念．3.在平面直角坐标系中，确定一条直线的几何条件是什么？4.已知一条直线的倾斜角和所过的一个定点，请写出直线的方程．5.如何建立直线的参数方程？二、师生互动，新课讲解1．回顾数轴，引出向量数轴是怎样建立的？数轴上点的坐标的几何意义是什么？教师提问后，让学生思考并回答问题．教师引导学生明确：如果数轴原点为O，数1所对应的点为A，数轴上点M的坐标为t，那么：=；②当OM与OA方向一致①OA为数轴的单位方向向量，OA方向与数轴的正方向一致，且OM tOAt>；时（即OM的方向与数轴正方向一致时），0t<；当OM与OA方向相反时（即OM的方向与数轴正方向相反时），0t=；当M与O重合时，0③||OM t =．教师用几何画板软件演示上述过程．【设计意图】回顾数轴概念，通过向量共线定理理解数轴上的数的几何意义，为选择参数做准备． 2.类比分析，异曲同工问题：（1）类比数轴概念，平面直角坐标系中的任意一条直线能否定义成数轴？（2）把直线当成数轴后，直线上任意一点就有两种坐标．怎样选取单位长度和方向才有利于建立这两种坐标之间的关系？教师提出问题后，引导学生思考并得出以下结论：选取直线l 上的定点0M 为原点，与直线l 平行且方向向上(l 的倾斜角不为0时)或向右（l 的倾斜角为0时）的单位向量e 确定直线l 的正方向，同时在直线l 上确定进行度量的单位长度，这时直线l 就变成了数轴．于是，直线l 上的点就有了两种坐标（一维坐标和二维坐标）．在规定数轴的单位长度和方向时，与平面直角坐标系的单位长度和方向保持一致，有利于建立两种坐标之间的联系．【设计意图】使学生明确平面直角坐标系中的任意直线都可以在规定了原点、单位长度、正方向后成为数轴，为建立直线参数方程作准备． 3. 选好参数，柳暗花明问题（1）：当点M 在直线l 上运动时，点M 满足怎样的几何条件？让学生充分思考后，教师引导学生得出结论：将直线l 当成数轴后，直线l 上点M 运动就等价于向量0M M 变化，但无论向量怎样变化，都有0M M te =．因此点M 在数轴上的坐标t 决定了点M 的位置，从而可以选择t 作为参数来获取直线l 的参数方程． 【设计意图】明确参数．问题（2）：如何确定直线l 的单位方向向量e ？教师启发学生：如果所有单位向量起点相同，那么终点的集合就是一个圆．为了研究问题方便，可以把起点放在原点，这样所有单位向量的终点的集合就是一个单位圆．因此在单位圆中来确定直线的单位方向向量．教师引导学生确定单位方向向量，在此基础上启发学生得出(cos ,sin )e αα=，从而明确直线l 的方向向量可以由倾斜角α来确定．当0απ<<时，sin 0α>，所以直线l 的单位方向向量e 的方向总是向上．【设计意图】综合运用所学知识，获取直线的方向向量，培养学生探索精神，体会数形结合思想． 4. 等价转化，深入探究问题：如果点0M ,M 的坐标分别为00(,)(,)x y x y 、，怎样用参数t 表示,x y ？ 教师启发学生回顾向量的坐标表示，待学生通过独立思考并写出参数方程后再全班交流．过程如下： 因为(cos ,sin )e αα=，（[0,)απ∈），00000(,)(,)(,)M M x y x y x x y y =-=--，0//M M e 又，所以存在实数t R ∈，使得0M M te =，即00(,)(cos ,sin )x x y y t αα--=．于是0cos x x t α-=，0sin y y t α-=， 即0cos x x t α=+，0sin y y t α=+．因此，经过定点00(,)M x y ，倾斜角为α的直线的参数方程为 ⎩⎨⎧+=+=ααsin cos 00t y y t x x （t 为参数）．教师提出如下问题让学生加强认识： ①直线的参数方程中哪些是变量？哪些是常量？ ②参数t 的取值范围是什么？ ③参数t 的几何意义是什么？总结如下：①00,x y ，α是常量，,,x y t 是变量； ②t R ∈；③由于||1e =，且0M M te =，得到0M M t =，因此t 表示直线上的动点M 到定点0M 的距离．当0M M 的方向与数轴（直线）正方向相同时，0t >；当0M M 的方向与数轴（直线）正方向相反时，0t <；当0t =时，点M 与点0M 重合．【设计意图】把向量转化为坐标，获得了直线的参数方程，在此基础上分析直线参数方程的特点，体会参数的几何意义． 三、运用知识，培养能力012012121212cos (sin ().||.||.||||.|||1 ||| 直线为参数）上有参数分别为和对应的两点和，则，两点的距离为 例x x t t t t A B A B y y t a A t t B t t C t t D t t α=+⎧⎨=+⎩+-+-010cos ()sin ()2 在参数方程为参数所表示的直线上有，两点，它们对应的参数值分别为、 例则线段的中点对应的参数值是x x t t B C t y y t BC M θθ=+⎧⎨=+⎩例4 直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t sin 20°＋3，y ＝－t cos 20°(t 为参数)的倾斜角是( ) A ．20° B ．70° C ．110° D ．160°例5(课本P36例1) 已知直线:10l x y +-=与抛物线2y x =交于A,B 两点，求线段AB 的长度和点(1,2)M -到A,B 两点的距离之积．先由学生思考并动手解决，教师适时点拨、引导，鼓励一题多解，学生可能有以下解法：解法一：由210x y y x +-=⎧⎨=⎩，得210(*)x x +-=． 设11(,)A x y ，22(,)B x y ,由韦达定理得：121211x x x x +=-⋅=-，．AB ∴===由（*）解得121122x x -+-==12y y ∴==．所以A B ，．则MA MB⋅=2===．()()0121201212121212000121212cos ()0.sin (1)||||(2)23,=0 直线(为参数)与曲线，交于，两点，对应的参数分别为，曲线的弦的长是多少？线段的中点对应的参数的值是多少？若定点恰是线段的中点，则？t 小结：x x t t f x y M M t t y y t M M M M t t M M M tt t t P x y M M t tt αα=+⎧=⎨=+⎩=-+=++=()()()1321 2113 2把下列参数方程与直角方程互化：为例参数x t t x y t ⎧=-+⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎩解法二、因为直线l 过定点M ，且l 的倾斜角为34π，所以它的参数方程是31cos 432sin 4x t y t ππ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩ （t 为参数），即1222x y ⎧=--⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩ （t 为参数）．把它代入抛物线的方程，得220t -=，解得1t =，2t =由参数t的几何意义得：12AB t t =-=122MA MB t t ⋅==．在学生解决完后，教师投影展示学生的解答过程，予以纠正、完善．然后进行比较：在解决直线上线段长度问题时多了一种解决方法．【设计意图】通过本题训练，使学生进一步体会直线的参数方程，并能利用参数解决有关线段长度问题，培养学生从不同角度分析问题和解决问题能力以及动手能力．例6(课本P37例2)、经过点(2,1)M 作直线l ，交椭圆221164x y +=于A,B 两点．如果点M 恰好为线段AB 的中点，求直线l 的方程．分析：引导学生以M 作为直线l 上的定点写出直线的参数方程，然后与椭圆的方程联立，设A,B 两点对应的参数分别为12,t t ，则由120t t +=求出直线l 的斜率．教师板书，过程如下：解：设过点(2,1)M 的直线l 的参数方程为2cos 1sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩（t 为参数），代入椭圆方程，整理得22(3sin 1)4(cos 2sin )80t ααα+++-=．因为点M 在椭圆内，这个方程必有两个实根，设A,B 两点对应的参数分别为12,t t ，则1224(cos 2sin )3sin 1t t ααα++=-+． 因为点M 为线段AB 的中点，所以1202t t+=，即cos 2sin 0αα+=．于是直线l 的斜率1tan 2k α==-．因此，直线l 的方程是11(2)2y x -=--，即240x y +-=．教师引导学生课下用其他方法解决．思考：例2的解法对一般圆锥曲线适用吗？把“中点”改为“三等分点”，直线l 的方程怎样求？由学生课下解决．【设计意图】体会直线参数方程在解决弦中点问题时的作用．例7（课本P37例3）.当前台风中心P 在某海滨城市O 向东300Km 处生成,并以40km/h 的速度向西偏北45度方向移动.已知距台风中心250k m 以内的地方都属于台风侵袭的范围,那么经过多长时间后该城市开始受到台风侵袭?思考：在例3中，海滨城市O 受台风侵袭大概持续多长时间？如果台风侵袭的半径也发生变化(比如：当前半径为250KM ，并以10KM/h 的速度不断增大)，那么问题又该如何解决？[来源:Z|xx|]例8（课本P38例4）如图所示，AB ，CD 是中心为点O 的椭圆的两条相交弦，交点为P ，两弦AB ，CD 与椭圆长轴的夹角分别为1,2∠∠，且12∠=∠，求证：｜PA ｜*｜PB ｜＝｜PC ｜*｜PD ｜探究：如果把椭圆改为双曲线，是否会有类似的结论？三、课堂小结，巩固反思： （1）直线参数方程求法； （2）直线参数方程的特点；（3）根据已知条件和图形的几何性质，注意参数的意义。