九年级数学下册小专题七与圆的切线有关的计算与证明练习新版湘教版
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小专题(七) 与圆的切线有关的计算与证明
1．如图，已知Rt△ABC，∠ABC＝90°，以直角边AB为直径作⊙O，交斜边AC于点D，连接BD.取BC的中点E，连接ED，求证：ED与⊙O相切．
证明：连接OD.
∵OD＝OB，
∴∠OBD＝∠BDO.
∵AB是直径(已知)，
∴∠ADB＝90°.
∴∠ADB＝∠BDC＝90°.
在Rt△BDC中，E是BC的中点，
∴BE＝CE＝DE.∴∠DBE＝∠BDE.
又∵∠ABC＝∠OBD＋∠DBE＝90°，
∴∠ODE＝∠BDO＋∠BDE＝90°.
∵OD是⊙O的半径，
∴ED与⊙O相切．
2．如图，四边形ABCD为菱形，△ABD的外接圆⊙O与CD相切于点D，交AC于点E.
(1)判断⊙O与BC的位置关系，并说明理由；
(2)若CE＝2，求⊙O的半径r.
解：(1)⊙O与BC相切．
理由：连接OD，OB，
∵⊙O与CD相切于点D，
∴OD⊥CD，∠ODC＝90°.
∵四边形ABCD 为菱形，
∴AD ＝CD ＝CB.
∵OD ＝OB ，OC ＝OC ，CB ＝CD.
∴△OBC ≌△ODC.∴∠OBC ＝∠ODC ＝90°.
又∵OB 为半径，∴⊙O 与BC 相切．
(2)∵AD ＝CD ，∴∠ACD ＝∠CAD.
∵AO ＝OD ，∴∠OAD ＝∠ODA.
∵∠COD ＝∠OAD ＋∠ADO ，
∴∠COD ＝2∠ACD.
又∵∠COD ＋∠ACD ＝90°，
∴∠ACD ＝30°.∴OD ＝12
OC ， 即r ＝12
(r ＋2)． ∴r ＝2.
3．如图，已知AB 是⊙O 的直径，且AB ＝12，AP 是半圆的切线，点C 是半圆上的一动点(不与点A ，B 重合)，过点C 作CD ⊥AP 于点D ，记∠COA ＝α.
(1)当α＝60°时，求CD 的长；
(2)当α为何值时，CD 与⊙O 相切？说明理由．
解：(1)过点C 作CE ⊥AB 于点E.
在Rt △OCE 中，
OE ＝OC ·cos ∠COA
＝12
×6＝3， 则CD ＝OA －OE ＝6－3＝3.
(2)当∠α＝90°时，CD 与⊙O 相切．
理由：∠α＝90°，则在四边形OCDA 中，
∠COA ＝∠OAD ＝∠CDA ＝90°，
∴∠OCD ＝90°.
∴OC ⊥CD.
又∵OC 是⊙O 的半径，
∴CD 是⊙O 的切线．
4．(2018·宿迁)如图，AB ，AC 分别是⊙O 的直径和弦，OD ⊥AC 于点D.过点A 作⊙O 的切线与OD 的延长线交于点P ，PC ，AB 的延长线交于点F.
(1)求证：PC 是半圆O 的切线；
(2)若∠ABC ＝60°，AB ＝10，求线段BF 的长．
解：(1)证明：连接OC.
∵OD ⊥AC ，OD 经过圆心O ，
∴AD ＝CD.∴PA ＝PC.
在△OAP 和△OCP 中，
⎩⎪⎨⎪⎧OA ＝OC ， PA ＝PC ，OP ＝OP ，
∴△OAP ≌△OCP(SSS)．
∴∠OAP ＝∠OCP.
∵PA 是⊙O 的切线，∴∠OAP ＝90°.
∴∠OCP ＝90°，即OC ⊥PC.
又∵OC 是⊙O 的半径，
∴PC 是⊙O 的切线．
(2)∵OB ＝OC ，∠OBC ＝60°，
∴△OBC 是等边三角形．
∴∠COB ＝60°.
∵AB ＝10，∴OC ＝5.
由(1)知，∠OCF ＝90°，
∴CF ＝OC ·tan ∠COB ＝5 3.
5．如图，△ABC 内接于⊙O ，AB 是直径，⊙O 的切线PC 交BA 的延长线于点P ，OF ∥BC 交AC 于点E ，交PC 于点F ，连接AF.
(1)判断AF 与⊙O 的位置关系并说明理由；
(2)若AC ＝24，AF ＝15，求⊙O 的半径．
解：(1)AF 与⊙O 相切．理由如下：
连接OC ，
∵PC 是⊙O 的切线，∴OC ⊥PC.
∴∠OCF ＝90°.
∵OF ∥BC ，
∴∠B ＝∠AOF ，∠OCB ＝∠COF.
∵OB ＝OC ，∴∠B ＝∠OCB.
∴∠AOF ＝∠COF.
在△OAF 和△OCF 中，
⎩⎪⎨⎪⎧OA ＝OC ，∠AOF ＝∠COF ，OF ＝OF ，
∴△OAF ≌△OCF(SAS)．
∴∠OAF ＝∠OCF ＝90°.
又∵OA 是⊙O 的半径，
∴AF 与⊙O 相切．
(2)∵△OAF ≌△OCF ，∴∠AOE ＝∠COE.
∴OE ⊥AC ，AE ＝12
AC ＝12. ∴EF ＝152－122
＝9.
∵∠OAF ＝90°，∴△OAE ∽△AFE. ∴OA AF ＝AE FE ，即OA 15＝129
， ∴OA ＝20，即⊙O 的半径为20.
6．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，对角线AC 为⊙O 的直径，过点C 作AC 的垂线交AD 的延长线于点E ，点F 为CE 的中点，连接DB ，DC ，DF.
(1)求∠CDE 的度数；
(2)求证：DF 是⊙O 的切线；
(3)若AC ＝25DE ，求tan ∠ABD 的值．
解：(1)∵AC 为⊙O 的直径，
∴∠ADC ＝90°.
∴∠CDE ＝90°.
(2)证明：连接OD.
∵∠CDE ＝90°，F 为CE 中点，
∴DF ＝12
CE ＝CF. ∴∠FDC ＝∠FCD.
又∵OD ＝OC ，∴∠ODC ＝∠OCD.
∴∠ODC ＋∠FDC ＝∠OCD ＋∠FCD.
∴∠ODF ＝∠OCF.
∵EC ⊥AC ，∴∠OCF ＝90°.
∴∠ODF ＝90°.
∵DO 是⊙O 的半径，
∴DF 为⊙O 切线．
(3)在△ACD 与△ACE 中，∠ADC ＝∠ACE ＝90°，∠EAC ＝∠CAD ，∴△ACD ∽△AEC.