江苏省高二上学期期中数学试卷
江苏省徐州市第一中学2024-2025学年高二上学期11月期中检测数学试题
江苏省徐州市第一中学2024-2025学年高二上学期11月期中检测数学试题一、单选题1．数列15-，17，19-，111，……的通项公式可能是n a =（）A ．(1)32nn -+B ．1(1)23n n --+C ．(1)23nn -+D ．1(1)32n n --+2．双曲线2213y x -=的渐近线方程是（）A ．3y x =±B ．y =C ．3y x=±D ．13y x=±3．如图，在四面体OABC 中，OA a = ，OB b = ，OC c = ，2CQ QB =，P 为线段OA 的中点，则PQ等于（）A ．112233a b c++ B ．112233a b c--C ．112233a b c-++D ．121233a b c-++4．在数列{}n a =，18a =，则数列{}n a 的通项公式为（）A ．22(1)n a n =+B ．4(1)n a n =+C ．28n a n =D ．4(1)n a n n =+5．已知空间向量3,2a b == ，且2a b ⋅= ，则b 在a 上的投影向量为（）A ．aB ．29aC ．92aD 6．计算1098210223233+⨯+⨯+⋅⋅⋅+=（）A ．111132-B ．111132+C ．1131-D ．1121-7．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，点(3,1)A 在C 的内部，若点B 是抛物线C 上的一个动点，且ABF △周长的最小值为4p =（）A ．1B ．2C ．3D ．48．椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左､右焦点分别为F 1，F 2，点P (x 1，y 1)，Q (-x 1，-y 1)在椭圆C 上，其中x 1>0，y 1>0，若|PQ |=2|OF 2|，11||||QF PF ）A ．⎛ ⎝⎦B ．2]-C ．12⎛⎤⎥ ⎝⎦D ．1]-二、多选题9．下列结论中正确的是（）A ．若直线l 的方程10x ++=，则直线l 的倾斜角为2π3B ．已知曲线22:2||2||C x y x y +=+（x，y 不全为0），则曲线C 的周长为C ．若直线3260ax y ++=与直线220x a y -+=垂直，则32a =D ．圆22:2410O x y x y ++++=与圆22:1M x y +=的公切线条数为210．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若812S S =，且1(1)n n n S nS ++<()n *∈N ，则（）A ．数列{}n a 为递增数列B ．10S 和11S 均为n S 的最小值C ．存在正整数k ，使得0k S =D ．存在正整数m ，使得3m mS S =11．已知抛物线28y x =（如图），过抛物线焦点F 的直线l 自上而下，分别交抛物线和圆22(2)4x y -+=于A ，C ，D ，B 四点，则（）A ．12OA OB ⋅=-B ．4AC BD ⋅=C ．当直线l1283AB AF ⋅=D ．418AF BF +≥三、填空题12．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且510S =，1030S =，则20S =.13．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左右焦点分别为12,F F ，过1F 的直线分别交双曲线的左，右两支于,P Q 两点，若2PQF 为正三角形，则双曲线C 的离心率为．14．已知数列{}n a 的前n 项和为12,1,3,n S a a ==且()11222nn n n S S S n +-+=+≥.若()n n S a λλ-++5≥(2-λ)n 对*n N ∀∈都成立，则实数λ的最小值为.四、解答题15．已知圆C 经过两点()2,2A --，()6,2B ，且圆心在直线230x y -+=上．(1)求圆C 的方程；(2)过点()2,4P --作直线l 与圆C 交于M ，N 两点，若8MN =，求直线l 的方程．16．在数列{}n a ，{}n b 中，111a b ==，{}n b 为各项均为正数的等比数列，且其前三项和为74，{}n n a b 为等差数列，且其前三项和为9.(1)求{}n a ，{}n b 的通项公式；(2)求{}n a 的前n 项和n T .17．抛物线22(0)y px p =>被直线23y x =-截得的弦的中点M 的纵坐标为1．(1)求p 的值及抛物线的准线方程；(2)过抛物线的焦点F 作两条互相垂直的直线1l ，2l ，直线1l 与拋物线相交于A ，B 两点，直线2l 与抛物线相交于C ，D 两点，求四边形ACBD 的面积S 的最小值．18．已知椭圆C ：()222210+=>>x y a b a b 的离心率为2，H ⎛ ⎝⎭是C 上一点.(1)求C 的方程.(2)设A ，B 分别为椭圆C 的左、右顶点，过点()1,0D 作斜率不为0的直线l ，l 与C 交于P ，Q 两点，直线AP 与直线BQ 交于点M ，记AP 的斜率为1k ，BQ 的斜率为2k .证明：①12k k 为定值；②点M 在定直线上.19．对于*N n ∀∈，若数列{}n x 满足11n n x x +->，则称这个数列为“K 数列”．(1)已知数列1，2m ，21m +是“K 数列”，求实数m 的取值范围．(2)是否存在首项为−2的等差数列{}n a 为“K 数列”，且其前n 项和n S 使得212n S n n <-恒成立?若存在，求出数列{}n a 的通项公式；若不存在，请说明理由．(3)已知各项均为正整数的等比数列{}n a 是“K 数列”，数列12n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭不是“K 数列”，若11n n a b n +=+，试判断数列是否为“K 数列”，并说明理由．。
江苏省无锡市新吴区梅村高级中学空港分校2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题
江苏省无锡市新吴区梅村高级中学空港分校2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题一、单选题1．复数2i21i+-的虚部是（）A ．-1B ．1C ．i -D ．i2．直线3210x y +-=的一个方向向量是（）A ．()2,3-B ．()2,3C ．()3,2-D ．()3,23．若椭圆2212y x +=的两个焦点是1F ，2F ，点P 在椭圆上，且112PF F F ⊥，那么2PF =（）A ．2B ．4CD 4．若复数z 满足3z i +≤（i 为虚数单位），则z 在复平面内所对应的图形的面积为（）A ．3πB ．9πC ．6πD ．18π5．在四面体OABC 中，OA a = ，OB b =，OC c = ，点M 在线段OA 上，且AM ＝2MO ，N为线段BC 的中点，则MN =（）A ．112223a b c+- B ．121232a b c-+C ．111322a b c -++ D ．121332a b c+- 6．某月球探测器的运行轨道是以月球球心为一个焦点的椭圆形轨道，其近月点与月球表面距离为100km ，远月点与月球表面距离为400km .已知月球的直径约为3476km ，则该椭圆形轨道的离心率约为A ．125B ．340C ．18D ．357．若直线1y kx =-与曲线y =k 的取值范围是（）A ．4,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．41,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．41,3⎡⎤⎢⎣⎦D ．40,3⎛⎫ ⎪⎝⎭8．如图，在一个45︒的二面角的棱上有两个点,A B ，线段,AC BD 分别在这个二面角的两个半平面内，并且都垂直于棱AB ，且2,1AB AC ==，BD =CD 的长为（）A ．1B ．2CD ．3二、多选题9．下列说法正确的是（）A ．过()()1122,,,x y x y 两点的直线方程为112121y yx xy y x x--=--B ．经过点()1,2且在x 轴和y 轴上截距都相等的直线方程为30x y +-=C ．若方程22220x y x y m +-+-=表示圆，则2m >-D ．圆224x y +=上有且只有三点到直线:0l x y -+的距离都等于110．给出下列命题，其中错误的是（）A ．任意向量,,a b c 满足()()a b c a c b⋅⋅=⋅⋅ B ．在空间直角坐标系中，点()2,4,3P -关于坐标平面yOz 的对称点是()2,4,3---C ．若{},,a b c 是空间的一个基底，则{},,a b b c c a +++也是空间的一个基底D ．若A BCD -为正四面体，G 为BCD △的重心，则3AG AB AC AD=++uuu r uu u r uuu r uuu r11．已知1F ，2F 是椭圆22:1925x y C +=的两个焦点，过1F 的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则下列说法正确的是（）A ．椭圆C 的离心率为35B ．存在点A 使得12AF AF ⊥C ．若228AF BF +=，则12AB =D ．12AF F △面积的最大值为12三、填空题12．已知直线l 的斜率为k ，倾斜角为α，若45135α<< ，则k 的取值范围为.13．若方程22171x y m m +=--表示椭圆，则实数m 的取值范围是．14．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，P 在正方体内部且满足1312423AP AB AD AA =++uu u ruu ur uuu r uuu r ，则点P 到直线AB 的距离为．四、解答题15．已知i 为虚数单位，m 为实数，复数2i z m =-．（1）若()12i z ⋅-为实数，求m 的值；（2）若z 为复数z 的共轭复数，若复数zz在复平面上对应的点在第四象限，求实数m 的取值范围．16．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的长轴长为4，左顶点为A ，点31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭在椭圆上.(1)求椭圆C 的方程及离心率；(2)点Q 为椭圆上任意一点，求APQ △的面积的最大值.17．已知点()2,1P --，()2,1Q -，动点M 满足MP MQ=M 的轨迹为曲线C ．(1)求C 的方程，并说明C 是什么曲线；(2)过点P 作曲线C 的两条切线，求这两条切线的方程．18．如图，四棱锥P ABCD -，侧面PAD 是边长为2的正三角形，且平面PAD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是60ABC ∠= 的菱形，M 为棱PC 上的动点，且[]()0,1PMPCλλ=∈.（1）求证：BC PC ⊥；（2）试确定λ的值，使得二面角P AD M --19．平面直角坐标系中，圆M 经过点A ，(0,4)B ，(2,2)C .(1)求圆M 的标准方程；(2)设(0,1)D ，过点D 作直线1l ，交圆M 于PQ 两点，PQ 不在y 轴上.（i ）过点D 作与直线1l 垂直的直线2l ，交圆M 于EF 两点，记四边形EPFQ 的面积为S ，求S 的最大值；（ii ）设直线OP ，BQ 相交于点N ，试讨论点N 是否在定直线上，若是，求出该直线方程；若不是，说明理由.。
2023-2024学年江苏省徐州一中高二(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年江苏省徐州一中高二（上）期中数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目条件要求．1．直线x +√3y +1＝0的倾斜角是（ ） A ．30° B ．60°C ．120°D ．150°2．通过椭圆x 24+y 23=1的焦点且垂直于x 轴的直线l 被椭圆截得的弦长等于（ ） A ．2√3 B ．3C ．√3D ．63．双曲线x 24−y 2=1的焦点到渐近线的距离为（ ）A ．1B ．√2C ．2D ．34．设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交于C 于A ，B 两点，则|AB |＝（ ） A ．√303B ．6C ．12D ．7√35．许多建筑融入了数学元素，更具神韵，数学赋予了建筑活力，数学的美也被建筑表现得淋漓尽致．已知图1是单叶双曲面（由双曲线绕虚轴旋转形成立体图形）型建筑，图2是其中截面最细附近处的部分图象．上、下底面与地面平行．现测得下底面直径AB ＝20√10米，上底面直径CD ＝20√2米，AB 与CD 间的距离为80米，与上下底面等距离的G 处的直径等于CD ，则最细部分处的直径为（ ）A ．20米B ．10√5米C ．10√3米D ．10米6．若圆x 2+y 2﹣2x ﹣6y +1＝0上恰有三点到直线y ＝kx 的距离为2，则k 的值为（ ） A ．12或2B ．34或43C ．2D ．437．已知⊙M ：x 2+y 2﹣2x ﹣2y ﹣2＝0，直线l ：2x +y +2＝0，P 为l 上的动点，过点P 作⊙M 的切线P A ，PB ，切点为A ，B ，当|PM |•|AB |最小时，直线AB 的方程为（ ） A ．2x ﹣y ﹣1＝0B ．2x +y ﹣1＝0C ．2x ﹣y +1＝0D ．2x +y +1＝08．已知F （﹣c ，0）是椭圆x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的左焦点，直线y ＝x +c 与该椭圆相交于M ，N 两点，O 是坐标原点，P 是线段OF 的中点，线段MN 的中垂线与x 轴的交点在线段PF 上．该椭圆离心率的取值范围是（ ） A ．[√63，1) B ．[√22，1) C ．(0，√63] D ．[√22，√63] 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分部分选对的得2分．9．已知a 为实数，若三条直线ax +2y +8＝0，4x +3y ﹣10＝0和2x ﹣y ﹣10＝0不能围成三角形，则a 的值为（ ） A ．83B ．1C ．﹣1D ．﹣410．若方程x 22−t−y 21−t=1所表示的曲线为C ，则下列命题正确的是（ ）A ．若曲线C 为双曲线，则t ＜1或t ＞2B ．若曲线C 为椭圆，则1＜t ＜2C ．曲线C 可能是圆D ．若曲线C 为焦点在x 轴上的椭圆，则1＜t ＜3211．如图，已知椭圆x 24+y 22=1的左、右顶点分别是A 1，A 2，上顶点为B 1，在椭圆上任取一点C ，连结A 1C 交直线x ＝2于点P ，连结A 2C 交PO 于点M （O 是坐标原点），则下列结论正确的是（ ）A ．k CA 1•k CA 2为定值B ．k A 1P =12k OP C ．OP ⊥A 2CD ．MB 1的最大值为√612．已知抛物线C ：y 2＝4x ，过点P （2，0）的直线l 交C 于A ，B 两点，O 为坐标原点，则下列说法正确的有（ ）A ．若直线l 的斜率为2，则△OAB 的面积为12 B ．|AB |的最小值为4√2C ．1|PA|+1|PB|=√24D ．若M （﹣2，0），则|MA||MB|=|PA||PB|三、填空题本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和，且满足a 2＝4，S 4＝22，则S 8＝ ．14．已知直线y ＝k （x +1）截圆（x ﹣1）2+（y ﹣1）2＝4所得两段圆弧的弧长之比为1：2，则k ＝ ．15．双曲线x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的右焦点为F ，左、右顶点为A 1、A 2，过F 作A 1A 2的垂线与双曲线交于B 、C 两点，若A 1B ⊥A 2C ，则该双曲线的渐近线斜率为 ．16．若正方形ABCD 的一条边在直线y ＝2x ﹣17上，另外两个顶点在抛物线y ＝x 2上．则该正方形面积的最小值为 ．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 3+a 5＝a 4+7且a 1+a 10＝20． （1）求{a n }的通项公式；（2）求满足不等式S n ＜3a n ﹣2的n 的值．18．（12分）已知圆C ：x 2+y 2+2x ﹣4y +m ＝0与y 轴相切，O 为坐标原点，动点P 在圆外，过P 作圆C 的切线，切点为M ．（1）求圆C 的圆心坐标及半径；（2）求满足|PM |＝2|PO |的点P 的轨迹方程． 19．（12分）若椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）过抛物线x 2＝4y 的焦点，且与双曲线x 2﹣y 2＝1有相同的焦点．（1）求椭圆E 的方程；（2）不过原点O 的直线l ：y ＝x +m 与椭圆E 交于A ，B 两点，当△OAB 的面积为√32时，求直线l 的方程．20．（12分）已知抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0），过抛物线的焦点F 且垂直于x 轴的直线交抛物线于不同的两点A ，B ，且|AB |＝4． （1）求抛物线C 的方程；（2）若不经过坐标原点O 的直线l 与抛物线C 相交于不同的两点M ，N ，且满足OM →⊥ON →证明直线l 过x 轴上一定点Q ，并求出点Q 的坐标． 21．（12分）已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的虚轴长为4，直线2x ﹣y ＝0为双曲线C 的一条渐近线．（1）求双曲线C 的标准方程；（2）记双曲线C 的左、右顶点分别为A ，B ，过点T （2，0）的直线l 交双曲线C 于点M ，N （点M 在第一象限），记直线MA 斜率为k 1，直线NB 斜率为k 2，求证：k 1k 2为定值．22．（12分）已知椭圆C 1：x 24+y 2＝1的左右顶点分别为A 1、A 2，上下顶点分别为B 1、B 2，记四边形A 1B 1A 2B 2的内切圆为C 2．（1）求圆C 2的标准方程；（2）已知P 为椭圆C 1上任意一点，过点P 作圆C 2的切线分别交椭圆C 1于M 、N 两点，试求三角形PMN 面积的最小值．2023-2024学年江苏省徐州一中高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目条件要求．1．直线x +√3y +1＝0的倾斜角是（ ） A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°解：直线x +√3y +1＝0的斜率k =1√3=−√33， 设其倾斜角为θ（0°≤θ＜180°），则tan θ=−√33，∴θ＝150°． 故选：D ． 2．通过椭圆x 24+y 23=1的焦点且垂直于x 轴的直线l 被椭圆截得的弦长等于（ ） A ．2√3B ．3C ．√3D ．6解：由题设，不妨设过焦点（1，0）且垂直于x 轴的直线l ：x ＝1， 代入椭圆方程得14+y 23=1可得y =±32，故被椭圆截得的弦长等于3．故选：B ． 3．双曲线x 24−y 2=1的焦点到渐近线的距离为（ ）A ．1B ．√2C ．2D ．3解：双曲线中，焦点坐标为（±√5，0），渐近线方程为：y =±12x ， ∴双曲线x 24−y 2=1的焦点到渐近线的距离：d =|±√5|√1+4=1． 故选：A ．4．设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交于C 于A ，B 两点，则|AB |＝（ ） A ．√303B ．6C ．12D ．7√3解：由y 2＝3x 得其焦点F （34，0），准线方程为x =−34．则过抛物线y 2＝3x 的焦点F 且倾斜角为30°的直线方程为y ＝tan30°（x −34）=√33（x −34）． 代入抛物线方程，消去y ，得16x 2﹣168x +9＝0． 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）则x 1+x 2=16816=212， 所以|AB |＝x 1+34+x 2+34=34+34+212=12 故选：C ．5．许多建筑融入了数学元素，更具神韵，数学赋予了建筑活力，数学的美也被建筑表现得淋漓尽致．已知图1是单叶双曲面（由双曲线绕虚轴旋转形成立体图形）型建筑，图2是其中截面最细附近处的部分图象．上、下底面与地面平行．现测得下底面直径AB ＝20√10米，上底面直径CD ＝20√2米，AB 与CD 间的距离为80米，与上下底面等距离的G 处的直径等于CD ，则最细部分处的直径为（ ）A ．20米B ．10√5米C ．10√3米D ．10米解：建立如图的坐标系，由题意可知D （10√2，20），B （10√10，﹣60）， 设双曲线方程为：x 2a 2−y 2b 2=1，∴{200a 2−400b 2=11000a 2−3600b2=1，解得a 2＝100，b 2＝400，|EF |＝2a ＝20， 故选：A ．6．若圆x 2+y 2﹣2x ﹣6y +1＝0上恰有三点到直线y ＝kx 的距离为2，则k 的值为（ ） A ．12或2B ．34或43C ．2D ．43解：圆x 2+y 2﹣2x ﹣6y +1＝0的圆心C （1，3），半径r =12√4+36−4=3，∵圆上恰有三点到直线y ＝kx 的距离为2， ∴圆心C （1，3）到直线y ＝kx 的距离为1，即d =|k−3|√k +1=1，解得k =43．故选：D ．7．已知⊙M ：x 2+y 2﹣2x ﹣2y ﹣2＝0，直线l ：2x +y +2＝0，P 为l 上的动点，过点P 作⊙M 的切线P A ，PB ，切点为A ，B ，当|PM |•|AB |最小时，直线AB 的方程为（ ） A ．2x ﹣y ﹣1＝0B ．2x +y ﹣1＝0C ．2x ﹣y +1＝0D ．2x +y +1＝0解：化圆M 为（x ﹣1）2+（y ﹣1）2＝4， 圆心M （1，1），半径r ＝2．∵S 四边形PAMB =12|PM|⋅|AB|=2S △P AM ＝|P A |•|AM |＝2|P A |=2√|PM|2−4． ∴要使|PM |•|AB |最小，则需|PM |最小，此时PM 与直线l 垂直． 由直线l ：2x +y +2＝0，可得直线PM 的斜率为12，直线PM 的方程为y ﹣1=12（x ﹣1），即y =12x +12， 联立{y =12x +122x +y +2=0，解得P （﹣1，0）． 则以PM 为直径的圆的方程为x 2+(y −12)2=54．联立{x 2+y 2−2x −2y −2=0x 2+y 2−y −1=0，相减可得直线AB 的方程为2x +y +1＝0．故选：D ．8．已知F （﹣c ，0）是椭圆x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的左焦点，直线y ＝x +c 与该椭圆相交于M ，N 两点，O 是坐标原点，P 是线段OF 的中点，线段MN 的中垂线与x 轴的交点在线段PF 上．该椭圆离心率的取值范围是（ ） A ．[√63，1) B ．[√22，1) C ．(0，√63] D ．[√22，√63] 解：设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），设MN 的中点为B ，与OF 的交点为A ， 联立{y =x +c x 2a2+y 2b2=1，整理可得：（a 2+b 2）x 2+2a 2cx +a 2（c 2﹣b 2）＝0，所以x 1+x 2=−2a 2c a 2+b2，x 1x 2=a 2(c 2−b 2)a 2+b2，y 1+y 2＝x 1+x 2+2c =2b 2c a 2+b2，因为直线MN 的斜率为1，所以线段MN 的中点B （−a 2ca 2+b2，b 2ca 2+b 2）所以由题意可得直线AB 的斜率为﹣1， 所以直线AB 的方程为：y −b 2c a 2+b2=−（x +a 2c a 2+b2）， 将A （x A ，0）的坐标代入可得−b 2ca 2+b2=−（x A +a 2c a 2+b2）， 所以可得x A =b 2c−a 2ca 2+b 2，由﹣c ≤x A ≤−c 2，可得﹣1≤b 2−a 2a 2+b2≤−12， 又b 2＝a 2﹣c 2， 所以可得﹣1≤−c 22a 2−c 2≤−12，e =ca ， 所以可得23≤e 2≤1， 又因为e ∈（0，1），解得：√63≤e ＜1， 故选：A ．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分部分选对的得2分．9．已知a 为实数，若三条直线ax +2y +8＝0，4x +3y ﹣10＝0和2x ﹣y ﹣10＝0不能围成三角形，则a 的值为（ ） A ．83B ．1C ．﹣1D ．﹣4解：联立{2x −y −10=04x +3y −10=0，得x ＝4，y ＝﹣2，即交点（4，﹣2），三条直线ax +2y +8＝0，4x +3y ﹣10＝0和2x ﹣y ﹣10＝0不能围成三角形， 所以直线ax +2y +8＝0过点（4，﹣2）或与已知一条直线平行， 当直线ax +2y +8＝0过点（4，﹣2）是，a ＝﹣1， 当ax +2y +8＝0与4x +3y ﹣10＝0平行时，a =83， 当ax +2y +8＝0与2x ﹣y ﹣10＝0平行时，a ＝﹣4，综上，a ＝﹣1或a ＝﹣4或a =83． 故选：ACD ． 10．若方程x 22−t−y 21−t=1所表示的曲线为C ，则下列命题正确的是（ ）A ．若曲线C 为双曲线，则t ＜1或t ＞2B ．若曲线C 为椭圆，则1＜t ＜2C ．曲线C 可能是圆D ．若曲线C 为焦点在x 轴上的椭圆，则1＜t ＜32解：对于A ，方程表示双曲线，则（2﹣t ）（1﹣t ）＞0，解得t ＜1或t ＞2，故A 正确； 对于B ，方程表示椭圆，则{2−t ＞0t −1＞02−t ≠t −1，解得1＜t ＜2且t ≠32，故B 错误；对于C ，当t =32时，方程表示圆，故C 正确；对于D ，方程表示焦点在x 轴上的椭圆，则2﹣t ＞t ﹣1＞0，解得1＜t ＜32，故D 正确； 故选：ACD ． 11．如图，已知椭圆x 24+y 22=1的左、右顶点分别是A 1，A 2，上顶点为B 1，在椭圆上任取一点C ，连结A 1C 交直线x ＝2于点P ，连结A 2C 交PO 于点M （O 是坐标原点），则下列结论正确的是（ ）A ．k CA 1•k CA 2为定值B ．k A 1P =12k OP C ．OP ⊥A 2CD ．MB 1的最大值为√6解：椭圆的左右顶点分别A 1（﹣2，0），A 2（2，0），因为点C 在椭圆上，所以设点C 的坐标为(2cosθ，√2sinθ)，θ∈[0，2π]， 对于A ，k CA 1k CA 2=√2sinθ2cosθ+2+√2sinθ2cosθ−2=2sin 2θ4cos 2θ−4=sin 2θ−2sin 2θ=−12，所以A 正确； 对于B ，因为k A 1P =k C A 1=√2sinθ2cosθ+2，所以直线AP 为y =√2sinθ2cosθ+2x +2√2sinθ2cosθ+2，令x ＝2，得y =2√2sinθcosθ+1，所以点P 的坐标为(2，2√2sinθcosθ+1)，所以k OP =√2sinθcosθ+1，所以k A 1P =12k OP ，所以B 正确；对于C ，因为k k A 2=√2sinθ2cosθ−2，所以k CA 2⋅k OP =√2sinθ2cosθ−2⋅√2sinθcosθ+1=2sin 2θ2(cos 2θ−1)=−1，所以OP ⊥A 2C ，所以C 正确；对于D ，直线OP 为y =√2sinθcosθ+1x ，直线A 2C 为y =√2sinθ2cosθ−2x −2√2sinθ2cosθ−2， 由两直线的方程联立方程组，解得x =2(cosθ+1)3−cosθ，y =2√2sinθ3−cosθ，所以点M 的坐标为(2(cosθ+1)3−cosθ，2√2sinθ3−cosθ)， 因为B 1(0，√2)，所以|MB 1|2=4(cosθ+1)2(3−cosθ)2+(2√2sinθ3−cosθ−√2)2，当cosθ=45，sinθ=−35时，|MB 1|2=4(45+1)2(3−45)2+(−2√2×353−45−√2)2=902121＞7，所以D 错误． 故选：ABC ．12．已知抛物线C ：y 2＝4x ，过点P （2，0）的直线l 交C 于A ，B 两点，O 为坐标原点，则下列说法正确的有（ ）A ．若直线l 的斜率为2，则△OAB 的面积为12 B ．|AB |的最小值为4√2C ．1|PA|+1|PB|=√24D ．若M （﹣2，0），则|MA||MB|=|PA||PB|解：A ．抛物线C ：y 2＝4x ，过点P （2，0）的直线l 交C 于A ，B 两点， 若直线l 的斜率为2，则直线l 的方程为y ＝2（x ﹣2），即x =y2+2， 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， 由{x =y2+2y 2=4x，得y 2﹣2y ﹣8＝0，∴y 1+y 2＝2，y 1y 2＝﹣8，∴△OAB 的面积S =12|PO||y 1−y 2|=|y 1−y 2|=√(y 1+y 2)2−4y 1y 2=6，故A 错误； B 和C ．由题意知，直线l 的斜率不为0，设直线l 的方程为x ＝my +2，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， 由{x =my +2y 2=4x ，得y 2﹣4my ﹣8＝0，∴y 1+y 2＝4m ，y 1y 2＝﹣8， ∴|AB|=√(1+m 2)[(y 1+y 2)2−4y 1y 2]=√(1+m 2)(16m 2+32)=4√m 4+3m 2+2=4√(m 2+32)2−14≥4√2，当且仅当m ＝0时等号成立，故B 正确；|AP|=√(x 1−2)2+y 12=√[(my 1+2)−2]2+y 12=√1+m 2|y 1|，同理，可得|BP|=√1+m 2|y 2|，则1|AP|+1|BP|=√m 21+√m 22=21√m 2+1|y1y 2|=128√m 2+1=√28√m 2+1=√22√m 2+1≠√24，故C 错误；D .k AM +k BM =y 1x 1+2+y 2x 2+2=y 1(x 2+2)+y 2(x 1+2)(x 1+2)(x 2+2)=2my 1y 2+4(y 1+y 2)(x 1+2)(x 2+2)=2m×(−8)+4×4m(x 1+2)(x 2+2)=0， 即∠AMP ＝∠BMP ，∴|MA||MB|=|PA||PB|，故D 正确．故选：BD ．三、填空题本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和，且满足a 2＝4，S 4＝22，则S 8＝ ． 解：S n 为等差数列{a n }的前n 项和，且满足a 2＝4，S 4＝22， ∴{a 1+d =44a 1+4×32d =22，解得a 1＝1，d ＝3，则S 8＝8×1+8×72×3=92． 故答案为：92．14．已知直线y ＝k （x +1）截圆（x ﹣1）2+（y ﹣1）2＝4所得两段圆弧的弧长之比为1：2，则k ＝ ．解：由（x ﹣1）2+（y ﹣1）2＝4可知圆心为C （1，1），半径为2，设直线与圆交于A 、B 两点，又直线y ＝k （x +1）截圆（x ﹣1）2+（y ﹣1）2＝4所得两段圆弧的弧长之比为1：2，∴∠ACB ＝120°，∴圆心到直线的距离为半径的一半， ∴√1+k 2=1，解得k ＝0或k =43．故答案为：0或43．15．双曲线x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的右焦点为F ，左、右顶点为A 1、A 2，过F 作A 1A 2的垂线与双曲线交于B 、C 两点，若A 1B ⊥A 2C ，则该双曲线的渐近线斜率为 ．解：由题意，A 1（﹣a ，0），A 2（a ，0），B （c ，b 2a ），C （c ，−b 2a ）， ∵A 1B ⊥A 2C ，∴b 2a c+a ⋅−b 2a c−a =−1，∴a ＝b ，∴双曲线的渐近线的斜率为±1．故答案为：±1．16．若正方形ABCD 的一条边在直线y ＝2x ﹣17上，另外两个顶点在抛物线y ＝x 2上．则该正方形面积的最小值为 ．解：不妨设C ，D 在抛物线上，C （x 1，x 12），D （x 2，x 22）．不妨设x 1＜x 2，∵CD ∥AB ，∴k CD ＝k AB ，∴化为x 1+x 2＝2．①由正方形ABCD 可得|BC |＝|CD |， ∴112√5=√(x 1−x 2)2+(x 12−x 22)2，②①②联立解得x 1＝3或9或﹣1或﹣7．取3或9时，|BC |＝4√5，∴正方形ABCD 的面积S 取得最小值80．故答案为80．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 3+a 5＝a 4+7且a 1+a 10＝20．（1）求{a n }的通项公式；（2）求满足不等式S n ＜3a n ﹣2的n 的值．解：（1）设数列{a n }的公差为d ，由a 3+a 5＝a 4+7，得2a 1+5d ＝a 1+3d +7①．由a 1+a 10＝20，得10a 1+45d ＝100②，解得a 1＝1，d ＝2，所以a n ＝a 1+（n ﹣1）d ＝2n ﹣1；（2）因为a 1＝1，a n ＝2n ﹣1，所以S n =a 1+a n 2n ＝n 2， 由不等式S n ＜3a n ﹣2，得n 2＜3（2n ﹣1）﹣2，所以n 2﹣6n +5＜0，解得1＜n ＜5，因为n ∈N *，所以n 的值为2，3，4．18．（12分）已知圆C ：x 2+y 2+2x ﹣4y +m ＝0与y 轴相切，O 为坐标原点，动点P 在圆外，过P 作圆C 的切线，切点为M ．（1）求圆C 的圆心坐标及半径；（2）求满足|PM |＝2|PO |的点P 的轨迹方程．解：（1）圆C 的方程可化为（x +1）2+（y ﹣2）2＝5﹣m ，因为圆C 与y 轴相切，所以5﹣m ＝1，所以m ＝4，即圆心C （﹣1，2），半径为1；（2）设P （x ，y ），则|PM |2＝|PC |2﹣|MC |2＝（x +1）2+（y ﹣2）2﹣1，|PO |2＝x 2+y 2，因为|PM |＝2|PO |，所以|PM |2＝4|PO |2，即（x +1）2+（y ﹣2）2﹣1＝4（x 2+y 2），化简得3x 2+3y 2﹣2x +4y ﹣4＝0，所以点P 的轨迹方程为3x 2+3y 2﹣2x +4y ﹣4＝0．19．（12分）若椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）过抛物线x 2＝4y 的焦点，且与双曲线x 2﹣y 2＝1有相同的焦点．（1）求椭圆E 的方程；（2）不过原点O 的直线l ：y ＝x +m 与椭圆E 交于A ，B 两点，当△OAB 的面积为√32时，求直线l 的方程．解：（1）抛物线x 2＝4y 的焦点为（0，1），双曲线x 2﹣y 2＝1的焦点为(±√2，0)，依题意可得，{b =1c =√2，则a 2＝b 2+c 2＝3， 所以椭圆C 的方程为x 23+y 2=1；（2）根据题意，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），联立直线与椭圆方程，可得{x 2+3y 2=3y =x +m，消去y 并整理可得，4x 2+6mx +3m 2﹣3＝0， 则x 1+x 2=−3m 2，x 1x 2=3m 2−34， 由弦长公式可得，|AB|=√2×√(−3m 2)2−4×3m 2−34=√22⋅√2−3m 2，又点O 到直线AB 的距离为d =|m|1+1=√22|m|， 依题意，令S △AOB =12d|AB|=12×√22×|m|×√22×√2−3m 2=14√−3(m 2−2)2+12=√32，当且仅当m 2＝2，即m =±√2（符合题意）时，△AOB 的面积取得最大值为√32，此时直线l 的方程为y =x ±√2．20．（12分）已知抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0），过抛物线的焦点F 且垂直于x 轴的直线交抛物线于不同的两点A ，B ，且|AB |＝4．（1）求抛物线C 的方程；（2）若不经过坐标原点O 的直线l 与抛物线C 相交于不同的两点M ，N ，且满足OM →⊥ON →证明直线l 过x 轴上一定点Q ，并求出点Q 的坐标．解：（1）抛物线C 的焦点为F(p 2，0)，由于线段AB ⊥x 轴，且|AB |＝4，所以，点(p 2，±2)在抛物线C 上，将点的坐标代入抛物线C 的方程得2p ⋅p 2=4，即p 2＝4， 由于p ＞0，得p ＝2，因此，抛物线C 的方程为y 2＝4x ；（2）设直线l 的方程为x ＝my +t ，则直线l 与x 轴的交点为Q （t ，0），设点M （x 1，y 1）、N （x 2，y 2），则x 1=y 124，x 2=y 224， 将直线l 的方程与抛物线C 的方程联立{x =my +t y 2=4x，得y 2﹣4my ﹣4t ＝0， 由韦达定理得y 1+y 2＝4m ，y 1y 2＝﹣4t ，∵OM →⊥ON →，∴OM →⋅ON →=x 1x 2+y 1y 2=y 12y 2216+y 1y 2=(−4t)216−4t =t 2−4t =0， 解得t ＝0或t ＝4．当t ＝0时，直线l 过原点O ，不合乎题意，舍去！所以，t ＝4，因此，直线l 过x 轴上的定点Q ，且点Q 的坐标为（4，0）．21．（12分）已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的虚轴长为4，直线2x ﹣y ＝0为双曲线C 的一条渐近线．（1）求双曲线C 的标准方程；（2）记双曲线C 的左、右顶点分别为A ，B ，过点T （2，0）的直线l 交双曲线C 于点M ，N （点M 在第一象限），记直线MA 斜率为k 1，直线NB 斜率为k 2，求证：k 1k 2为定值． 解：（1）∵虚轴长为4，∴2b ＝4，即b ＝2，∵直线2x ﹣y ＝0为双曲线C 的一条渐近线，∴b a=2，∴a ＝1， 故双曲线C 的标准方程为x 2−y 24=1． （2）由题意知，A （﹣1，0），B （1，0），设直线l 的方程为x ＝ny +2，M （x 1，y 1）N （x 2，y 2），联立{x 2−y 24=1x =ny +2，得（4n 2﹣1）y 2+16ny +12＝0，∴y 1+y 2=−16n 4n 2−1，y 1y 2=124n 2−1， ∴ny 1y 2=−34（y 1+y 2），∵直线MA 的斜率k 1=y 1x 1+1，直线NB 的斜率k 2=y2x 2−1， ∴k 1k 2=y 1x 1+1y 2x 2−1=y 1(ny 2+1)y 2(ny 1+3)=ny 1y 2+y 1ny 1y 2+3y 2=−34(y 1+y 2)+y 1−34(y 1+y 2)+3y 2=−13，为定值． 22．（12分）已知椭圆C 1：x 24+y 2＝1的左右顶点分别为A 1、A 2，上下顶点分别为B 1、B 2，记四边形A 1B 1A 2B 2的内切圆为C 2． （1）求圆C 2的标准方程；（2）已知P 为椭圆C 1上任意一点，过点P 作圆C 2的切线分别交椭圆C 1于M 、N 两点，试求三角形PMN 面积的最小值．解：（1）因为椭圆C 1的左右顶点分别为A 1、A 2，上下顶点分别为B 1、B 2， 所以A 2（2，0），B 1（0，1），此时直线A 2B 1的方程为x +2y ＝2，而原点O 到直线A 2B 1的距离d =2√5， 可得圆C 2的半径r ＝d =2√5， 则圆C 2的标准方程为x 2+y 2=45；（2）不妨设直线PM 方程为y ＝mx +n ，P （x 1，y 1），M （x 2，y 2）， 因为直线PM 与圆C 2相切，所以原点O 到直线PM 距离d =1√m 2+n 2=2√5，整理得5n 2＝4m 2+4， 联立{y =mx +n x 24+y 2=1，消去y 并整理得（1+4m 2）x 2+8mnx +4n 2﹣4＝0， 此时x 1x 2+y 1y 2=(1+m 2)x 1x 2+mn(x 1+x 2)+n 2=(1+m 2)4n 2−41+4m 2+mn −8mn 1+4m2+n 2=0， 即k OP •k OM ＝﹣1，所以OP ⊥OM ，同理得OP ⊥ON ，则M ，O ，N 三点共线，所以S △PMN ＝2S △OPM ＝|OP |•|OM |，不妨设直线OP 的方程为y ＝k ，将y ＝k 代入椭圆方程中，解得x 2=41+4k 2， 所以OP 2=x 2+y 2=(1+k 2)x 2=4(1+k 2)1+4k 2， 同理得OM 2=4[1+(−1k )2]1+4(−1k )2=4(k 2+1)k 2+4， 则1OP 2+1OM 2=1+4k 24(1+k 2)+k 2+44(1+k 2)=54， 此时54=1OP 2+1OM 2≥2|OP||OM|，解得|OP |•|OM |≥85，则S △PMN ＝|OP |•|OM |≥85，当且仅当|OP|=|OM|=2√105时，等号成立． 故△PMN 面积的最小值为85．。
江苏省扬州市扬州大学附属中学2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题
江苏省扬州市扬州大学附属中学2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题一、单选题1．直线20240x +=倾斜角是（）A ．0B ．π4C ．π2D ．不存在2．已知圆221612960x y x y +-+-=，则圆心位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．已知ABC V 的顶点为()0,4A ，()3,2B -，()5,4C ，则BC 边上的中线长为（）A ．4B ．5C ．D ．4．已知圆与直线30x y +-=相切于点()1,2，且圆过点()11,2A ，则圆的半径是（）A ．B ．C ．8D ．95．已知双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线经过点()4,3M ，则此双曲线的离心率是（）A ．53B ．54C ．377D ．76．已知椭圆的焦点坐标分别为1−1,0和21,0，长轴长为4，则直线240x y +-=与椭圆的交点个数为（）A ．0B ．1C ．2D ．无法确定7．椭圆可以看作圆沿定直线方向拉伸或压缩而得.如图，M 是圆O 上动点，M 在y 轴上身影为N ，则满足NP NM λ= （1λ>）的动点P 的轨迹是椭圆.若椭圆的离心率12e =,则λ=（）A ．2BC ．2D ．38．函数1y x x=+的图象如图，已知此函数的图象是以直线y x =和0x =为渐近线的双曲线，设它的离心率为e ，则2e =（）A B ．C ．4-D ．1二、多选题9．已知点()2,3M 与()0,4N 关于直线l ：0Ax By C ++=对称，则下列说法正确的是（）A ．0AB >B ．直线l 不过第四象限C ．直线l 在两坐标轴上的截距之和大于零D ．直线l 的倾斜角ππ,43α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭10．已知曲线C ：22142x y m m +=-+，则（）A ．2m =时，则C 的焦点是(1F ，(20,FB ．当6m =时，则C 的渐近线方程为2y x=±C ．当C 表示双曲线时，则m 的取值范围为2m <-D ．存在m ，使C 表示圆11．斜率为k 的直线y kx b =+与曲线21x y y +=有公共点，则下列说法正确的是（）A ．最多有4个公共点B ．若1k =，则公共点个数最多为2C ．若2k =-，则实数b 的取值范围是(-∞D ．若2b k =，且有两个公共点，则实数k 的取值范围是⎛- ⎝⎭三、填空题12．已知直线l 与直线1l ：3540x y +-=和2l ：3560x y ++=的距离相等，则l 的方程是.13．某圆拱（圆的一段劣弧）的示意图如图所示，该圆拱的跨度AB 是24m ，拱高OP 是4m ，在建造时，每隔2m 需要一个支柱支撑，则支柱22A P 的长度为m.14．已知椭圆22221x y a b +=（0a b >>）的离心率为23，双曲线22221(0,0)x y m n m n-=>>的离心率为32，且它们有公共焦点，P 是它们的一个公共点，若12F PF θ∠=，则cos θ=.四、解答题15．已知点()2,1P ，直线l ：230x y -+=.(1)求过点P 且垂直于l 的直线方程；(2)求过点P 且在两坐标轴上截距相等的直线方程.五、单选题16．已知圆C 过点()1,1A ，()2,2B -，且圆心C 在直线50x y ++=上.(1)求圆C 的标准方程；(2)若过点()1,1P --的直线l 被圆截得的线段长度为，求直线l 的方程.六、解答题17．已知椭圆C ：22143x y +=右焦点是F ，动点P 在椭圆C 上，直线l ：4x =.(1)若52PF =，O 为坐标原点，求以PO 为直径的圆的方程；(2)若点P 到直线l 的距离为d ，求证：d PF为定值.18．已知双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）与双曲线22193y x -=有相同的渐近线，与椭圆22162x y +=有相同的焦点，双曲线C 的左右焦点分别为1F ，2F ，直线l 过2F 且与双曲线C 相交于A ，B 两点.(1)求双曲线C 的方程；(2)若直线l 的斜率为1，求线段AB 的长；(3)若1ABF 的面积是12，求直线AB 的方程.19．已知椭圆22221x y a b +=（0a b >>）的短轴长与焦距相等，且椭圆过点P ⎛- ⎝⎭，斜率为k 的直线l 过椭圆的右焦点，且与椭圆交于A ，B 两点，M 是线段AB 的中点，射线OM 与椭圆于点C .(1)求椭圆方程；(2)若直线12k =-，求点C 的坐标；(3)是否存在正数k ，使四边形OACB 是平行四边形？若存在，求出直线AB 的方程，若不存在，请说明理由.。
江苏省苏州市2024-2025学年高二上学期期中调研数学试卷含答案
2024~2025学年第一学期高二期中调研试卷数学（答案在最后）注意事项学生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求：1.本卷共4页，包含单项选择题（第1题~第8题）､多项选择题（第9题~第11题）､填空题（第12题~第14题）､解答题（第15题~第19题）.本卷满分150分，答题时间为120分钟.答题结束后，请将答题卡交回.2.答题前，请务必将自己的学校、班级、姓名、考试号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的规定位置.3.请在答题卡上按照顺序在对应的答题区城内作答，在其他位置作答一律无效.作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔.清注意字体工整，笔迹清楚.一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1.已知经过点()()1,2,,4A B m 的直线l 的斜率为2，则m 的值为（）A.1-B.0C.1D.2【答案】D 【解析】【分析】根据直线的斜率公式计算可得答案.【详解】因为经过点()()1,2,,4A B m 的直线l 的斜率为2，所以1m ≠，且4221-=-m ，解得2m =.故选：D.2.等差数列{}n a 中，1352,10a a a =+=，则6a 的值为（）A.7B.8C.9D.10【答案】A 【解析】【分析】首先由等差数列的通项公式求出公差d ，则6a 可求.【详解】设等差数列的公差为d ，则3512610a a a d +=+=，因为12a =，所以1d =，所以615257a a d =+=+=，故选：A.3.已知动点M 与两定点()()0,0,0,3O A 的距离之比为12，则动点M 的轨迹方程为（）A .228120x y x +-+= B.228120x y y +-+=C.22230x y x ++-= D.22230x y y ++-=【答案】D 【解析】【分析】设s ，然后根据题意建立等式化简即可.【详解】设s ，由题可知()222222123043x y x y y x y +=⇒++-=+-故选：D4.在2和8之间插入3个实数,,a x b 使得2,,,,8a x b 成等比数列，则x 的值为（）A.4-B.4-或4C.4D.5【答案】C 【解析】【分析】根据等比中项求解即可.【详解】由x 为等比中项可知，22816x =⨯=，又22a x =可知0x >，所以4x =，故选：C5.若两直线()12:220,:3110l x ay l a x ay ++=---=平行，则实数a 的取值集合是（）A.10,6⎧⎫⎨⎬⎩⎭B.{}0 C.16⎧⎫⎨⎬⎩⎭D.1,12⎧⎫⎨⎬⎩⎭【答案】B 【解析】【分析】根据两直线平行得到方程和不等式，求出0a =.【详解】由题意得()2310a a a -+=且()12310a ---≠，解得0a =.故选：B6.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11S 为定值时272k a a a ++也是定值，则k 的值为（）A.9B.11C.13D.不能确定【答案】C 【解析】【分析】根据等差数列的性质可得15a d +为定值，结合基本量法可求k 的值.【详解】因为11S 为定值且11611S a =，故6a 为定值，故15a d +为定值，其中d 为公差.而()2711242614(7)k a a a a d d k d a k d ++=+++-=++，故当且仅当720k +=即13k =时，272k a a a ++为定值.故选：C.7.已知直线1:20l x y -=与2:30l x y +-=，过点()3,2P 的直线l 被12,l l 截得的线段恰好被点P 平分，则这三条直线12,,l l l 围成的三角形面积为（）A.163B. C.8D.323【答案】A 【解析】【分析】设直线l 与直线12,l l 的两个交点为,A B ，设(,2)A a a ，则(6,42)B a a --，代入直线2:30l x y +-=，即可得点A ，进而可得到直线l 的方程，再求12,l l 交点到l 的距离，利用面积公式计算即可.【详解】设直线l 与直线12,l l 的两个交点为,A B ，且设(,2)A a a ，则由题意可知，点(,2)A a a 关于点()3,2P 的对称点(6,42)B a a --在2l 上，所以64230a a -+--=，解得73a =，所以714(,)33A ，112(,)33B -，所以3AB ==,因为直线l 过点()3,2P ，714(,)33A ，所以直线l 的斜率14234733k -==--，所以直线l 的方程为：()243y x -=--，即4140x y +-=，联立12,l l ：2030x y x y -=⎧⎨+-=⎩，解得12,l l 的交点坐标为()1,2，所以()1,2到直线:l 4140x y +-=的距离为17d ==，所以这三条直线12,,l l l 围成的三角形面积为1316172312S AB d =⨯⨯=⋅=.故选：A.8.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11222,,1,,,n n n a n n a a a n n ++-⎧==⎨-⎩为奇数为偶数则18S 的值为（）A.1023B.1461C.1533D.1955【答案】B 【解析】【分析】先判断数列{}2n a 为等比数列，求出其通项公式，再求数列{}21n a -的通项公式，分组求和，可得问题答案.【详解】由题意：2122122a a =+⨯-=，()22122212n n a a n -=+--21244n a n -=+-()2222244n a n n -=--+-⎡⎤⎣⎦222n a -=.所以{}2n a 是以2为首项，2为公比的等比数列，所以22nn a =，所以()1212222222n n n a a n n ---=--=-+.所以1317a a a +++= ()()018222212929+++-++++⨯ 92124518=--⨯+439=，2418a a a +++= 129222+++ 10221022=-=.所以1843910221461S =+=.故选：B【点睛】方法点睛：类似这种数列问题，一般是有规律的，可以先求出数列的前几项，观察数列的规律，再想办法证明即可.二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不答得0分，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.9.已知数列是等差数列，是等比数列，*,,,m n p q ∈N .（）A.若m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+B.若m n p q a a a a +=+，则m n p q +=+C.若m n p q +=+，则m n p q b b b b =D.若m n p q b b b b =，则m n p q +=+【答案】AC 【解析】【分析】利用等差数列、利用等差数列的性质判断即可.【详解】设等差数列的公差为d ，当m n p q +=+时，()()1111m n a a a m d a n d+=+-++-()()()()1111222211p q a m n d a p q d a p d a q d a a =++-=++-=+-++-=+，故A 正确；当公差0d =时，是常数列，m n p q a a a a +=+，但m n +与p q +不一定相等，故B 不正确；设等比数列的公比为t ，若“m n p q +=+”，则11222211111111m n m n p q p q m n p q b b b t b t b tb t b t b t b b --+-+---=⋅===⋅=，故C 正确；当公比1t =时，是常数列，m n p q b b b b =，但m n +与p q +不一定相等，故D 不正确.故选：AC.10.已知公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，则（）A.点(),n n a 在同一条直线上B.点(),n n S 在同一条直线上C.点,nS n n⎛⎫⎪⎝⎭在同一条直线上D.点()()11,nk n k n S S ++-（,n k 均为正整数，且k 为常数）在同一条直线上【答案】ACD 【解析】【分析】结合等差数列的通项公式与前n 项和公式，逐一进行判断即可.【详解】对A ：因为()111n a a n d dn a d =+-=+-，0d ≠，所以点(),n n a 都在直线1y dx a d =+-上，故A 正确；对B ：因为()2111222n n n d d S na d n a n -⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭，所以点(),n n S 都在二次函数2122d d y x a x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭上，故B 错误；对C ：因为122n d d n a n S ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，所以点,n S n n ⎛⎫ ⎪⎝⎭都在直线122d d y x a ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭上，故C 正确；对D ：因为()()()()1111112nk n k n k n k S S n ka d ++⋅+-⎡⎤⎣⎦-=++()112nk nk nka d⋅---()()22112k k d ka k d n +=-++，所以点()()11,nk n k n S S ++-都在直线y =()2212k k d ka k dx +-+上，故D 正确.故选：ACD11.已知直线:20l kx y k --+=，圆22:4O x y +=，则（）A.l 与坐标轴的正半轴围成的三角形面积最大值是4B.若l 与圆O 相交于,A B 两点，且90AOB ∠=︒，则2k =-±C.若圆O 上恰有四个点到l 的距离为1，则34k >D.若对于两个不同的k 值，l 与圆O 分别相切于点P ，Q ，则PQ 所在直线的方程是240x y +-=【答案】BCD 【解析】【分析】对于A ，根据题意知直线l 的斜率0k <，然后表示出三角形的面积，利用基本不等式，即可解决；对于B ，由题意得弦长，进而得圆心到直线的距离，即可求解k 的值；对于C ，由题意得圆心到直线的距离01d ≤<，即可求解k 的范围；对于D ，将切点弦转化为两相交圆的公共弦的问题，即可解决.【详解】对于A ，由20kx y k --+=得()21y k x -=-，所以直线过点()1,2，又因为直线l 与坐标轴的正半轴围成的三角形，所以0k <；令0x =，得2y k =-+，令0y =，得21x k=-+，所以直线l 与两坐标轴的正半轴的交点分别为()0,2k -+，21,0k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，所以直线l 与坐标轴的正半轴围成的三角形面积()12212S k k ⎛⎫=⨯-+-+ ⎪⎝⎭()1442k k ⎡⎤⎛⎫=+-+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦1442⎡≥+=⎢⎢⎣；当且仅当4k k-=-，即2k =-时，等号成立，所以三角形面积最小值是4，故A 不正确；对于B ，因为90AOB ∠=︒，所以AB ==，所以12AB =，所以圆心()0,0到直线20kx y k --+=的距离d ==，即=，解得2k =-±B 正确；对于C ，因为圆O 上恰有四个点到l 的距离为1，所以圆心()0,0到直线20kx y k --+=的距离[)0,1d =，解得34k >，故C 正确；对于D ，因为直线20kx y k --+=恒过点()1,2C ，所以直线PQ 就是经过以()1,2C 为圆心，PC 为半径的圆C 和圆22:4O x y +=的交点所在的直线，OC ==，所以1PC ==，所以圆C 的方程为()()22121x y -+-=，所以直线PQ 的方程为240x y +-=，故D 正确.故选：BCD.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，请把答案写在答题卡相应的位置上.12.已知()()3,4,5,6A B --两点到直线:10l ax y ++=的距离相等，则a 的值为__________.【答案】2-或54-【解析】【分析】根据点到直线的距离公式列式求解即可.=，即3357a a +=+，解得2a =-或54-.故答案为：2-或54-.13.已知等比数列{}n a 满足6117101,2a a a a +==-，则116a a +=__________.【答案】72-【解析】【分析】利用基本量法可求1a 与公比，故可求116a a +.【详解】设公比为q .因为710611a a a a =，故61161112a a a a +=⎧⎨=-⎩，解得61121a a =⎧⎨=-⎩或者61112a a =-⎧⎨=⎩，若61121a a =⎧⎨=-⎩，则512q =-且1524a q ==-，此时()151167412a a q +=-+=-，若61112a a =-⎧⎨=⎩，则52q =-且15112a q -==，此时()116171822a a +=-=-，故答案为：72-.14.如图，已知点()2,0A ，点B 为圆221:9O x y +=上的动点，若圆222:1O x y +=上存在一点M ，使得AM BM ⊥，则A 的取值范围是__________.【答案】31,31⎡⎤-⎣⎦【解析】【分析】以,MA MB 为邻边，作矩形MADB ，则AB MD =，证明出2222OA OB OM OD +=+，从而得到3OD =D 的轨迹为以O 为圆心，233131MD -≤≤，得到答案.【详解】以,MA MB 为邻边，作矩形MADB ，则AB MD =，由矩形性质可得2222OA OB OM OD +=+，证明如下：设,,AM DB m BM AD n MAO θ====∠=，过点,,M B D 分别为MQ ⊥OA ，BE ⊥OA ，DW ⊥OA ，垂足分别为,,Q E W ，过点M 作MF ⊥BE ，垂足为F ，则sin ,cos ,sin ,cos MQ EF m AQ m AW MF QE n DW BF n θθθθ========，故222222sin OM OQ MQ OQ m θ=+=+，()()222222cos sin cos OD OQ AQ AW DW OQ m n n θθθ=+++=+++2222cos 2cos 2sin 2cos sin OQ m OQm OQn mn n θθθθθ=+++++，所以2222222cos 2sin 2cos sin OM OD OQ m n OQm OQn mn θθθθ+=+++++，()()()()22222sin cos sin OB OQ QE BF EF OQ n n m θθθ=+++=+++22222222sin sin cos 2cos sin sin OQ OQn n n mn m θθθθθθ=+++++，()()222222cos 2cos cos OA OQ AQ OQ m OQ OQm m θθθ=+=+=++，所以2222222cos 2sin 2cos sin OB OA OQ m n OQm OQn mn θθθθ+=+++++，证毕，即2491OD +=+，故212,OD OD ==，点D 的轨迹为以O 为圆心，所以11OD OM MD OD OM =-≤≤+=，左边等号成立的条件为,,O M D 三点共线，且O 在,M D 之间，右边等号成立的条件为,,O M D 三点共线，且M 在,O D 之间，则A 的取值范围是1,1⎡⎤⎣⎦故答案为：1,1⎡⎤-⎣⎦【点睛】关键点点睛：作出辅助线，得到AB MD =，证明出2222OA OB OM OD +=+，从而得到OD =得到D 点轨迹，数形结合进行求解.四､解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应证明过程或演算步骤.15.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且4234,32n n S S a a ==+.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设12n n n b a -=，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】（1）21n a n =-（2）()2323nn T n =-+【解析】【分析】（1）计算出等差数列的首项和公差，从而求得n a .（2）利用错位相减求和法求得n T .【小问1详解】设等差数列的公差为d ，依题意，()()()1111464231312a d a d a n d a n d ⎧+=+⎪⎨⎡⎤+-=+-+⎪⎣⎦⎩，1121d a a d =⎧⎨=-⎩，解得11,2a d ==，所以21n a n =-.【小问2详解】由（1）得()1212n n b n -=-⋅，所以()0121123252212n n T n -=⨯+⨯+⨯++-⨯ ()1232123252212n n T n =⨯+⨯+⨯++-⨯ ，两式相减得()231222212n nn T n -=++++--⨯ ()()1412121212n n n --=+--⨯-()3223n n =--，所以()2323nn T n =-+.16.已知ABC V 的三个顶点是()()()1,5,5,7,3,3A B C ---，求：（1）边BC 上的中线所在直线的方程；（2）边BC 上的高所在直线的方程；（3）ABC ∠的角平分线所在直线的方程.【答案】（1）50x y -=（2）270x y +-=（3）20x y --=【解析】【分析】（1）对于求边BC 上的中线所在直线方程：首先要找到BC 中点坐标，根据中点坐标公式，然后利用两点式求直线方程；（2）对于求边BC 上的高所在直线方程：先求BC 边的斜率，根据斜率公式2121y y k x x -=-，高与BC 垂直，两条垂直直线斜率乘积为1-，再利用点斜式求直线方程；（3）对于求ABC ∠的角平分线所在直线方程：先求AB 和BC 边的斜率，根据夹角公式，设角平分线斜率为k ，求出k ，再利用点斜式求出直线方程.【小问1详解】首先求BC 中点坐标，已知(5,7),(3,3)B C ---，根据中点坐标公式，BC 中点(1,5)D --，已知中线过(1,5)A 和(1,5)D --两点，根据两点式515511y x --=----，即51102y x --=--，化简得55(1)y x -=-，整理得50x y -=.【小问2详解】先求BC 边的斜率，已知(5,7),(3,3)B C ---，根据斜率公式37413582BC k -+===+，因为高与BC 垂直，设高的斜率为k ，则112k ⨯=-，解得2k =-，又因为高过(1,5)A 点，根据点斜式52(1)y x -=--，整理得270x y +-=.【小问3详解】先求AB 边的斜率57122156AB k +===+，BC 边的斜率12BC k =，设角平分线斜率为k ，根据夹角公式得122||||11212k k k k --=++，化简212||||122k k k k --=++交叉相乘得|(2)(2)||(12)(12)|k k k k -+=-+，继续化简22|4||41|k k -=-，即22441k k -=-或22414k k -=-，继续化简21k =-（舍去），或21k =，即1k =±，因为角平分线的斜率应该在AB k 和BC k 之间，所以1k =，又因为角平分线过(5,7)B --点，根据点斜式71(5)y x +=⨯+，整理得20x y --=.17.已知数列{}{},n n a b 满足112,224,n n n n n n a a b n b a b ++=-+⎧⎨=-++⎩且115,12a b ==-.（1）求3a ；（2）证明数列12n a n ⎧⎫--⎨⎬⎩⎭是等比数列，并求n a .【答案】（1）252（2）证明见详解；1132n n a n -=++【解析】【分析】（1）已知11,a b 的值，代入递推公式得出22,a b ，再代入递推公式即可得到3a 的值.（2）由两式消元得到11244n n a b n +++=+，将1n +变为n 得到等式，代入①式消元得到132n n a a n +=-，构造出数列12n a n ⎧⎫--⎨⎬⎩⎭，得到等式，即可证明数列是等比数列，由等比数列的通项公式得出n a .【小问1详解】当1n =时，21121111222243a ab b a b ⎧=-+=⎪⎨⎪=-++=-⎩，当2n =时，3222542a ab =-+=，【小问2详解】∵112224n n n n n n a a b n b a b ++=-+⎧⎨=-++⎩①②，∴2⨯+①②得到11244n n a b n +++=+，∴24n n a b n +=，则42n n b n a =-代入①得：()1422n n n a a n a n +=--+，则132n n a a n+=-∴()1111322n n a n a n +⎛⎫-+-=-- ⎪⎝⎭，且11112a --=，∴数列12n a n ⎧⎫--⎨⎬⎩⎭是以1为首项，3为公比的等比数列.∴1132n n a n ---=，∴1132n n a n -=++18.已知圆22:4O x y +=内有一点()01,0P -，倾斜角为α的直线l 过点0P 且与圆O 交于,A B 两点.（1）当135α= 时，求AB 的长；（2）是否存在弦AB 被点0P 三等分？若存在，求出直线l 的斜率；若不存在，请说明理由；（3）记圆O 与x 轴的正半轴交点为M ，直线MA 的斜率为1k ，直线MB 的斜率为2k ，求证：12k k 为定值.【答案】（1（2）存在，153k =±（3）证明见解析【解析】【分析】（1）由题意求出直线方程，利用圆的几何性质求弦长即可；（2）假设存在，求出弦心距O ，讨论直线的斜率是否存在，利用点到直线距离即可得解；（3）分类讨论直线斜率是否存在，存在时由根与系数的关系及斜率公式化简即可证明.【小问1详解】因为135α= ，所以1l k =-，直线l 的方程为10x y ++=，设圆心到直线的距离为d，则2d ==，所以AB ===【小问2详解】取AB 的中点为Q，如图，假设存在弦AB 被点0P 三等分，设OQ d =，0P Q x =，则3AQ x =，2220222194d x OP d x OA ⎧+==⎪⎨+==⎪⎩，解得4d =，当l斜率不存在时，14d =≠，故l 斜率存在，设l 斜率为k ，则l ：0kx y k -+=，4d==，解得3k=±，即存在弦AB被点0P三等分，直线l的斜率为3±.【小问3详解】由题意知，()2,0M,当直线l斜率不存在时，1A Bx x==-，()()223A By y==，不妨取A By y==，则123,0012312k k-==-==----，此时121.333k k=-=-直线l斜率存在时，设方程为()1y k x=+，代入圆的方程224x y+=可得()22221240k x k x k+++-=，设()()1222,,,A x yB x y，则22121222,2411k kx x x xk k-+=-=++，又()()12121211221100,2222k x k xy yk kx x x x++--====----，所以()()1212121122k x k xk kx x++=⋅=--2222222222242111(3)1.93422411k kkk k kkk kk k⎛⎫--+⎪++-⎝⎭==-⎛⎫---+⎪++⎝⎭综上，12k k为定值13-.19.已知点()()11,1,0,2P P-，向量()*11n nPP PP PP n+=+∈N，点,,n nO P Q在一条直线上，且满足2n nOP OQ⋅=.（1）求nOP；（2）证明nQ在同一个圆上，并求该圆的圆心M和半径r；（3）过nQ引圆M的切线，记切线与x轴的交点为nR，求证：122nOR OR OR+++<.【答案】（1）()1,1n n-+；（2）M 11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭和2r =；（3）证明见解析.【解析】【分析】（1）设n P 坐标，利用向量的坐标表示结合等差数列的通项公式计算即可；（2）设n Q 坐标，利用向量共线的充要条件及数量积的坐标表示消元计算即可；（3）根据直线与圆的位置关系计算切线方程得出n R 的坐标，再利用放缩法计算和即可.【小问1详解】设(),n n n P a b ，则由题意可知()()()111,11,11,1n n n n a b a b +++-=+-+，所以1111n n n n a a b b ++=+⎧⎨=+⎩，即{}{},n n a b 分别成公差为1的等差数列，由已知110,2a b ==，则()()111111n n a a n n b b n n ⎧=+-=-⎪⎨=+-=+⎪⎩，即()1,1n P n n -+，所以()1,1n OP n n =-+ ；【小问2详解】设(),n n n Q x y ，即(),N n n OQ x y = ，因为,,n n O P Q 共线，且满足2n n OP OQ ⋅= ，则有()()()()110112n n n n n x n y n x n y ⎧+--=⎪⎨-++=⎪⎩，当2n ≥时，易知11n n y n x n +=-，即n n n nx y n y x +=-，此时()()221120n n n n n n n x n y x x y y -++=⇒++-=，即22111222n n x y ⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当1n =时，解方程组可得1101x y =⎧⎨=⎩，也满足上式，所以(),n n n Q x y 在以11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭为圆心，2为半径的圆上，圆心M 11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭和半径2r =；【小问3详解】由（2）()()()()110112n n n n n x n y n x n y ⎧+--=⎪⎨-++=⎪⎩，解方程得221111n n n x n n y n -⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩，则2222112112112112n MQ n n n n k n n n n ---+++==++-++，所以n Q 处的切线方程斜率为222121n n n n +---，则切线方程为222212111211n n n n y x n n n n ++--⎛⎫-=- ⎪+--+⎝⎭，令0y =得2221x n n =+-，即2222,02121n n R OR n n n n ⎛⎫⇒= ⎪+-+-⎝⎭，易知()()2222112211111n n n n n n n n n ⎛⎫=≤=- ⎪+-++-++⎝⎭，则1211112121211n OR OR OR n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++≤-++-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦2221n =-<+，证毕.【点睛】方法点睛：根据向量的坐标运算结合消参法可计算轨迹方程；根据直线与圆的位置关系得出切线方程，再由放缩法证明即可.。
江苏省南京外国语学校2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷
江苏省南京外国语学校2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷一、单选题1．直线52100x y --=在x 轴上的截距为a ，在y 轴上的截距为b ，则（）A ．2,5a b ==B ．2,5a b ==-C ．2,5a b =-=D ．2,5a b =-=-2．抛物线22y x =的焦点坐标是（）．A ．1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,08⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．10,2⎛⎫⎪⎝⎭D ．10,8⎛⎫ ⎪⎝⎭3．过圆x 2+y 2＝5上一点M （1，﹣2）作圆的切线l ，则l 的方程是（）A ．x +2y ﹣3＝0B ．x ﹣2y ﹣5＝0C ．2x ﹣y ﹣5＝0D ．2x +y ﹣5＝04．过点(1,2)-的抛物线的标准方程是()A ．24y x =或212x y =B ．24y x =C ．24y x =或212=-x yD ．212=-x y5．设k 为实数，直线:430l kx y k --+=与圆22:68210C x y x y +--+=交点个数为（）A ．0B ．1C ．2D ．无法确定6．已知1F ,2F 分别是椭圆C ()2222:10x ya b a b+=>>的左,右焦点,椭圆C 上存在点P 使12F PF ∠为钝角,则椭圆C 的离心率的取值范围是A ．22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭B ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭C ．22⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．10,2⎛⎫⎪⎝⎭7．已知双曲线2216436x y -=的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 在双曲线上，1290F PF ∠=，则12F PF 面积为（）A ．9B ．18C ．36D ．728．已知双曲线222x y a -=，左右顶点为A ，B ，点P 为双曲线右支上一点，设,,PAB PBA APB αβγ∠=∠=∠=，则（）A ．tan tan tan 0αβγ++=B ．tan tan tan 0αβγ+-=C ．tan tan 2tan 0αβγ++=D ．tan tan 2tan 0αβγ+-=二、多选题9．过椭圆2212516x y +=的中心任作一直线交椭圆于P ，Q 两点，1F ，2F 是椭圆的左、右焦点，A ，B 是椭圆的左、右顶点，则下列说法正确的是（）A ．2PQF 周长的最小值为18B ．四边形12PFQF 可能为矩形C ．若直线PA 斜率的取值范围是28,55⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则直线PB 斜率的取值范围是82,55⎡⎤--⎢⎥⎣⎦D ．1PF PB ⋅的最小值为-110．已知F 是抛物线2:8C y x =的焦点，A ，B 是抛物线C 上的两点，O 为坐标原点，则下列结论正确的是（）A ．若2AF FB =，则||9AB =B ．若||4AF =，则AOFC ．若OA OB ⊥，则||||128OA OB ⋅≥D ．若60AFB ∠=︒，AB 的中点M 在C 的准线上的投影为N ，则||||MN AB ≤11．已知P 为双曲线22143x y -=右支上的一个动点（不经过顶点），1F ，2F 分别是双曲线的左，右焦点，12PF F 的内切圆圆心为I ，且与x 相切于点M ，过2F 作2F A PI ⊥，垂足为A ，下列结论正确的是（）A ．M 为定点B ．I 在定直线上C ．||OA 为定值D ．||AP 为定值三、填空题12．直线1l ，2l 的方程为1:2320l x y +-=，2:1)10(2l mx m y +-+=，m 为实数，若12l l ⊥，则m 值为．13．已知圆22:(2)1M x y +-=，Q 是x 轴上动点，,QA QB 分别是圆M 的切线，切点分别为,A B 两点，则直线AB 恒过定点．14．已知点A ，B 为圆22:13O x y +=上两动点，且||AB =，点P 为直线:0l x y ++=上动点，则22||||PA PB +的最小值为．四、解答题15．已知过点()3,2P 的直线l 与x 轴正半轴和y 轴正半轴分别交于A ，B 两点．（1）若P 为AB 的中点，求直线l 的方程；（2）当PA PB ⋅最小时，求直线l 的方程.16．设双曲线C 的方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>．(1)若点(3,1)A -在双曲线C 上，且双曲线C 为等轴双曲线．（ⅰ）求双曲线C 的方程；（ⅱ）直线l 的方程为1y kx =+，直线l 与双曲线C 的右支仅有一个交点，求实数k 的取值范围．(2)已知过点(,0)a ，(0,)b 的直线的倾斜角为150︒，求双曲线C 的离心率．17．设过抛物线24y x =的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，且这两交点纵坐标分别为1y ，2y ，A ，B 在抛物线准线上的射影分别为1A ，1B ．(1)求12y y 值；(2)求证：11A FB ∠是直角；(3)M 是线段AB 中点，求点M 的轨迹方程．18．已知圆O 的方程为()221130x y l A +=，直线过点，，且与圆O 相切．(1)求直线1l 的方程；(2)设圆O 与x 轴交与P ，Q 两点，M 是圆O 上异于P ，Q 的任意一点，过点A 且与x 轴垂直的直线为2l ，直线PM 交直线2l 于点P '，直线QM 交直线2l 于点Q '．求证：以P Q ''为直径的圆'C 总过定点，并求出定点坐标．19．已知椭圆22:14x E y +=的左、右顶点分别为A ，B ，点C 是椭圆上异于A ，B 的动点，过原点O 平行于AC 的直线与椭圆交于点M ，N ，D 为线段AC 的中点，直线OD 与椭圆E 交于点P ，Q ，点P ，C ，M 在x 轴的上方．(1)设直线CQ ，AQ 分别与直线MN 交于点E ，F ，且满足:4:9QEF QCA S S =△△，求点C 的坐标；(2)求||||PQ MN ⋅的最大值．。
江苏南京2024年高二上学期11月期中调研数学试题
江苏省南京市2024-2025学年高二上学期11月期中学情调研测试数学试题注意事项：1.本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分.2.本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分．3.答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上．1.下列四组数据中，方差最小的是A.5，5，5，5，5，5，5，5B.4，4，4，5，5，5，6，6C.3，3，4，4，5，6，6，7D.2，2，2，2，2，5，8，82.已知i 13i z ⋅=+，则z =A.3i −+B.3i −−C.3i +D.3i −3.直线310x +=的倾斜角为 A.π6 B.π3 C.2π3 D.5π64.两条渐近线互相垂直的双曲线的离心率为5.若方程22171x y m m +=−−表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数m 的取值范围是 A.(,1)−∞ B.(1,4) C.(4,7) D.(7,)+∞6.底面直径与高相等的圆柱的体积为2π，则该圆柱的外接球的表面积为A.6πB.8πC.10πD.12π 7.已知点(0,0),(3,0)O A ，若圆2230x y tx ++−=上任意一点P 都满足||2||PA PO =，则实数t =A.-3B.-2C.2D.3 8.抛物线2:4C x y =的准线为l ，M 为C 上的动点，则点M 到l 与到直线250x y −−=的距离之和的最小值为二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上．全部选对得6分，部分选对得部分分，不选或有错选的得0分.9.分别抛掷两枚质地均匀的硬币，记“第一枚硬币正面朝上”为事件A ，“第二枚硬币反面朝上”为事件B ，则 A.1()2P A = B.1()3P AB = C.A 和B 是互斥事件 D.A 和B 是相互独立事件10.在矩形ABCD 中，2,4AB AD ==.若13,42BE BC CF CD ==− ，则 B.//AC BF B.AE BD ⊥C.以CE 为直径的圆与直线BF 相切D.直线AE 与BF 的交点在矩形ABCD 的外接圆上 11.已知椭圆22:143x y C +=，直线y mx =与C 交于A ，B 两点，点P 为C 上异于A ，B 的动点，则A.当12m =时，||AB = B.||PA PB +C.存在点P ，使得π2APB ∠= D.ABP S 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.请把答案填写在答题卡相应位置上.12.若直线1:210l x my ++=与2:(1)30l m x y −+−=垂直，则实数m =______.13.已知π3cos ,45x x+=∈ ，则sin x =______. 14.历史上最早系统研究圆锥曲线的是古希腊学者梅纳库莫斯，大约100年后，阿波罗尼斯更详尽地研究了圆锥曲线，他的研究涉及圆锥曲线的光学性质，其中一条是：如图（1），从右焦点2F 发出的光线m 交双曲线右支于点P ，经双曲线反射后，反射光线n 的反向延长线经过左焦点1F ．已知图（2）中，双曲线C 的中心在坐标原点，左、右焦点分别为12(4,0),(4,0)F F −，直线l 平分12F PF ∠，过点2F 作l 的垂线，垂足为H ，且||2OH =.则当反射光线n 经过点(8,5)M 时，2||F P PM +=______.四、解答题：本大题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．15.记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos cos 2cos a C c A b A +=.（1）求A ；（2）若2,4a b c =+=，求ABC 的面积.16.已知点(4,2)A 在抛物线2:2(0)C y px p =>上，直线l 经过点A ，且在y 轴上的截距为-2.（1）求p 的值和直线l 的方程；（2）记l 与C 的另一个交点为B ，求经过O ，A ，B 三点的圆的方程.17.在四面体P ABC 中，M ，N 分别为PC ，BC 的中点.（1）证明：PB //平面AMN ；（2）若PC ⊥平面,2,3ABC PC AC ==，四面体P ABC 的体积为2，且cos ACB ∠，求MN 与平面P AC 所成角的正弦值.18.已知圆()2224C x y ++=：，圆222:(2)(0D x y r r −+=<<，过点(0,1)P 作圆D 的切线，切线的长为2．（1）求圆D 的方程；（2）直线l 经过点P ，且与圆C 交于A ，B 两点，||AB =①求l 的方程和CA CB ⋅ 的值；②若动圆E 与圆C 外切，且与圆D 内切，求动圆圆心E 到点P 距离的最小值.19.已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的右顶点为A ，上顶点为,||B AB =. （1）求E 的方程；（2）直线l 平行于直线AB ，且与E 交于M ，N 两点，①P ，Q 是直线AB 上的两点，满足四边形MNPQ 为矩形，且该矩形的面积等于21||3MN ，求l 的方程； ②当直线AM ，BN 斜率存在时，分别将其记为12,k k ，证明：12k k ⋅为定值.。
江苏省苏州市2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题含解析
2023~2024学年第一学期高二期中调研试卷数学（答案在最后）注意事项学生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求：1．本卷共4页、包含单项选择题（第1题~第8题），多项选择题（第9题~第12题）.填空题（第13题~第16题）、解答题（第17题~第22题）．本卷满分150分，答题时间为120分钟．答题结束后，请将答题卡交回．2．答题前，请您务必将自己的学校、班级、姓名、考试号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的规定位置．3．请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效，作答必须用0．5毫米黑色墨水的签字笔，请注意字体工整，笔迹清楚．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．1.直线320x y +-=的方向向量为（）A.()1,3- B.()1,3 C.()3,1- D.()3,1【答案】A 【解析】【分析】根据直线的斜率得到直线的一个方向向量为()1,k ，再求其共线向量即可.【详解】由题意得直线320x y +-=的斜率为-3，所以直线的一个方向向量为()1,3-，又()()1,31,3-=--，所以()1,3-也是直线320x y +-=的一个方向向量.故选：A.2.等差数列{}n a 中，若39218a a +=，则263a a +的值为（）A.36B.24C.18D.9【答案】B 【解析】【分析】由等差数列通项公式求基本量得5146d a a +==，再由2639532a a a a a +=++即可求值.【详解】令{}n a 的公差为d ，则3911122(2)831218a a a d a d a d +=+++=+=，即5146d a a +==，则2624683953218624a a a a a a a a a +=+++=++=+=.故选：B3.与直线3x﹣4y+5=0关于y 轴对称的直线方程是（）A.3x+4y+5=0 B.3x+4y﹣5=0C.3x﹣4y+5=0D.3x﹣4y﹣5=0【答案】B 【解析】【分析】分别求出直线3450x y -+=与坐标轴的交点，分别求得关于y 轴的对称点，即可求解直线的方程．【详解】令0x =，则54y =，可得直线3450x y -+=与y 轴的交点为5(0,)4，令0y =，则53x =-，可得直线3450x y -+=与x 轴的交点为5(,0)3-，此时关于y 轴的对称点为5(,0)3，所以与直线3450x y -+=关于y 轴对称的直线经过两点55(0,),(,0)43，其直线的方程为15534x y +=，化为3450x y +-=，故选B ．【点睛】本题主要考查了直线方程点的求解，以及点关于线的对称问题，其中解答中熟记点关于直线的对称点的求解，以及合理使用直线的方程是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．4.经过原点和点()3,1-且圆心在直线350x y +-=上的圆的方程为（）A.()()22510125x y -++= B.()()22125x y ++-=C.()()22125x y -+-= D.2252539x y ⎛⎫-+=⎪⎝⎭【答案】D 【解析】【分析】令圆心为(,53)x x -，由圆所经过的点及两点距离公式列方程求出圆心坐标，即可写出圆的方程.【详解】由题设，令圆心为(,53)x x -，又圆经过原点和点()3,1-，所以()()()2222253363r x x x x =+-=-+-，整理可得53x =，故圆心为5(,0)3，所以半径平方2259r =，则圆的方程为2252539x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭.故选：D5.设{}n a 是公差不为0的无穷等差数列，则“{}n a 为递减数列”是“存在正整数0N ，当0n N >时，0n a <”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】由等差数列的通项公式和一次函数性质，结合充分、必要性定义判断条件间的推出关系即可.【详解】令{}n a 公差为d 且0d ≠的无穷等差数列，且11(1)()n n d a a a dn d =+-=+-，若{}n a 为递减数列，则0d <，结合一次函数性质，不论1a 为何值，存在正整数0N ，当0n N >时0n a <，充分性成立；若存在正整数0N ，当0n N >时0n a <，由于0d ≠，即{}n a 不为常数列，故1()n a dn a d =+-单调递减，即0d <，所以{}n a 为递减数列，必要性成立；所以“{}n a 为递减数列”是“存在正整数0N ，当0n N >时，0n a <”的充分必要条件.故选：C6.已知点()4,3P ，点Q 在224x y +=的圆周上运动，点M 满足PM MQ =，则点M 的运动轨迹围成图形的面积为（）A.πB.2πC.3πD.4π【答案】A 【解析】【分析】设(,)M x y ，00(,)Q x y ，由动点转移法求得M 点轨迹方程，由方程确定轨迹后可得面积．【详解】设(,)M x y ，00(,)Q x y ，由PM MQ =得M 是线段PQ 中点，∴002423x x y y =-⎧⎨=-⎩，又Q 在圆224x y +=上，22(24)(23)4x y -+-=，即223(2)()12x y -+-=，∴M 点轨迹是半径为1的圆，面积为πS =，故选：A ．7.等比数列{}n a 中，123453a a a a a ++++=，222221234515a a a a a ++++=，则12345a a a a a -+-+=（）A.5-B.1-C.5D.1【答案】C 【解析】【分析】由等比数列前n 项和公式写出已知与待求式后，进行比较，已知两式相除即得.【详解】设公比为q ，显然1q ≠±，则由题意得5121012(1)31(1)151a q q a q q⎧-=⎪-⎪⎨-⎪=⎪-⎩，两式相除得51(1)51a q q +=+，所以551112345[1()](1)51()1a q a q a a a a a q q--+-+-+===--+，故选：C.8.过点()2,0P 作圆2241x y y +-=的两条切线，设切点分别为,A B ，则PAB 的面积为（）A.8B.2C.8D.【答案】A 【解析】【分析】写出圆的标准方程得圆心为(0,2)C，半径r =，进而有||CP =，由圆的切线性质得||||BP AP ==，sin BPC BPC ∠=∠=，2BPA BPC ∠=∠，最后应用倍角正弦公式、三角形面积公式求PAB 面积.【详解】由题设，圆的标准方程为22(2)5x y +-=，圆心为(0,2)C，半径r =，所以||CP =，如下图示，切点分别为,A B，则||||BP AP ===，所以||||sin ||||BC BP BPC BPC CP CP ∠==∠==2BPA BPC ∠=∠，所以15sin sin 22sin cos 4BPA BPC BPC BPC ∠=∠=∠∠=，所以11||||sin 2248PAB S BP AP BPA =∠==.故选：A二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求、全部选对得5分，选对但不全得2分，选错或不答得0分，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．9.已知直线:0l x my m ++=，若直线l 与连接()()3,2,2,1A B -两点的线段总有公共点，则直线l 的倾斜角可以是（）A.2π3 B.π2C.π4D.π6【答案】ABC 【解析】【分析】求出直线l 过的定点，从而求得,AC BC k k ，进而利用数形结合可得直线l 倾斜角的范围，由此得解.【详解】因为直线:0l x my m ++=可化为()10x y m ++=，所以直线l 过定点()0,1C -，又()()3,2,2,1A B -，所以()21130AC k --==---，()11120BC k --==-，故直线AC 的倾斜角为3π4，直线BC 的倾斜角为π4，结合图象，可知直线l 的倾斜角范围为π3π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故ABC 正确，D 错误.故选：ABC.10.设,n n S T 分别是等差数列{}n a 和等比数列{}n b 的前()*Nn n ∈项和，下列说法正确的是（）A.若15160a a +>，15170a a +<，则使0n S >的最大正整数n 的值为15B.若5nn T c =+（c 为常数），则必有1c =-C.51051510,,S S S S S --必为等差数列D.51051510,,T T T T T --必为等比数列【答案】BCD 【解析】【分析】A 由已知可得129152d a d -<<-，且0d <，再应用等差数列前n 项和公式及0n S >得1201a n d<<-，即可判断；B 由等比数列前n 项和公式有11511n n n b b q T c q q =-=+--，即可判断；C 、D 根据等差、等比数列片段和的性质直接判断.【详解】令{}n a 的公差为d ，则11(1)()n n d a a a dn d =+-=+-，所以151611517122902300a a a d a a a d +=+>⎧⎨+=+<⎩，故129152d a d -<<-，且0d <，使211(1)()0222n n n d dS na d n a n -=+=+->，则1201a n d <<-，而122930a d <-<，即121(30,31)ad-∈，故030n <≤，所以使0n S >的最大正整数n 的值为30，A 错；令{}n b 的公比为q 且0q ≠，则()11115111nnn n b q b b q T c qq q-==-=+---（公比不能为1），所以1511q b q =⎧⎪⎨=-⎪-⎩，即1c =-，B 对；根据等差、等比数列片段和的性质知：51051510,,S S S S S --必为等差数列，51051510,,T T T T T --必为等比数列，C 、D 对.故选：BCD11.已知等比数列{}n a 的公比为q ，前()*Nn n ∈项和为nS，前()*Nn n ∈项积为nT ，若1132a=，56T T =，则（）A.2q = B.当且仅当6n =时，n T 取得最小值C.()*11N ,11n n T T n n -=∈< D.n n S T >的正整数n 的最大值为11【答案】AC 【解析】【分析】根据56T T =确定6a ，561a q a =求出q 的值确定A ，根据数列项的变化，确定B ，利用等比数列的基本量运算判断C ，根据n n S T >转化二次不等式，从而确定正整数n 的最大值判断D.【详解】对于A ，因为56T T =，所以6651T a T ==，因为56132a q a ==，解得2q =，故A 正确；对于B ，注意到61a =，故15,Z n n ≤≤∈时，01n a <<，7,Z n n ≥∈时，1n a >，所以当5n =或6n =时，n T 取得最小值，故B 错误；对于C ，()()()21111215*221231222N ,11n n n nnn n n n T a a a a a q n n --+++--===⋅=∈< ，()()()()2111011111112105*221112111222N ,11n n n n nn n n n T a a a a q n n -----+++----===⋅=∈< ，所以()*11N ,11n n T T n n -=∈<，故C 正确；对于D ，()1512112n n n a q S q--==-，21122n n n T -=，因为n n S T >，所以211252212n nn -->，即211102212n n n -+->，所以211102212n n n -+->，即211102n n n -+>，所以131322n <<，正整数n 的最大值为12，故D 错误，故选：AC.12.已知圆22:4C x y +=，圆22:860M x y x y m +--+=（）A.若8m =，则圆C 与圆M 相交且交线长为165B.若9m =，则圆C 与圆M 有两条公切线且它们的交点为()3,4--C.若圆C 与圆M 恰有4条公切线，则16m >D.若圆M 恰好平分圆C 的周长，则4m =-【答案】AD 【解析】【分析】A 、B 将圆M 化为标准形式，确定圆心和半径，判断圆心距与两圆半径的关系，再求相交弦长判断；C 由题意知两圆相离，根据圆心距大于两圆半径之和及圆的方程有意义求参数范围；D 由题意相交弦所在直线必过(0,0)C ，并代入相交弦方程求参数即可.【详解】A ：8m =时圆22:(4)(3)17M x y -+-=，则(4,3)M，半径r =，而圆22:4C x y +=中(0,0)C ，半径2r '=，所以||5CM =，2||2CM -<<+，即两圆相交，此时相交弦方程为4360x y +-=，所以(0,0)C 到4360x y +-=的距离为65d =，故相交弦长为1625=，对；B ：9m =时圆22:(4)(3)16M x y -+-=，则(4,3)M ，半径4r =，同A 分析知：42||42CM -<<+，故两圆相交，错；C ：若圆C 与圆M 恰有4条公切线，则两圆相离，则||2CM r r r '>+=+，而圆22:(4)(3)25M x y m -+-=-，即r =所以250162525m m ->⎧⎪⇒<<⎨<⎪⎩，错；D ：若圆M 恰好平分圆C 的周长，则相交弦所在直线必过(0,0)C ，两圆方程相减得相交弦方程为8640x y m +--=，将点代入可得4m =-，对.故选：AD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案写在答题卡相应的位置上．13.若{}n a 是公差不为0的等差数列，248,,a a a 成等比数列，11a =，n S 为{}n a 的前()*Nn n ∈项和，则1210111S S S +++ 的值为___________．【答案】2011【解析】【分析】由等差数列中248,,a a a 成等比数列，解出公差为d ，得到n a ，求出n S ，裂项相消求1210111S S S +++ 的值.【详解】设等差数列{}n a 公差为d ，248,,a a a 成等比数列，由2428a a a =，则()()()211137a d a d a d +=++，即()()()213117d d d +=++，由0d ≠，得1d =，所以()11n a a n d n =+-=，则有()()1122n n n a a n n S ++==，得()1211211n S n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，所以121011111101111112021211221311S S S ⎛⎫⎛⎫+++=-+-++=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭- .故答案为：201114.平面直角坐标系xOy 中，过直线1:7310l x y -+=与2:430l x y +-=的交点，且在y 轴上截距为1的直线l 的方程为_______________．（写成一般式）【答案】9550x y +-=【解析】【分析】设交点系方程，结合直线过(0,1)求方程即可.【详解】由题设，令直线l 的方程为731(43)0x y x y λ-+++-=，且直线过(0,1)，所以031(043)02λλ-+++-=⇒=，故直线l 的方程为9550x y +-=.故答案为：9550x y +-=15.如图，第一个正六边形111111A B C D E F 的面积是1，取正六边形111111A B C D E F 各边的中点222222,,,,,A B C D E F ，作第二个正六边形222222A B C D E F ，然后取正六边形222222A B C D E F 各边的中点333333,,,,,A B C D E F ，作第三个正六边形，依此方法一直继续下去，则前n 个正六边形的面积之和为_______________．【答案】3414n ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】根据题设分析出前n 个正六边形的面积是首项为1，公比为34的等比数列，应用等比数列前n 项和公式求面积和.【详解】由题设知：后一个正六边形与前一个正六边形的边长比值为2，故它们面积比为34，所以前n 个正六边形的面积是首项为1，公比为34的等比数列，所以前n 个正六边形的面积之和31()344[1()]3414nn S -==--.故答案为：34[1()]4n-16.已知实数,,a b c 成等差数列，在平面直角坐标系xOy 中，点()4,1A ，O 是坐标原点，直线:230l ax by c ++=．若直线OM 垂直于直线l ，垂足为M ，则线段AM 的最小值为___________．【答案】【解析】【分析】由等差数列的性质及直线方程有:()(3)0l a x y c y +++=，求出直线所过的定点，结合已知M 在以||OB 为直径的圆上，且圆心33(,22C -，半径为2，问题化为求()4,1A 到该圆上点距离的最小值.【详解】由题设2b a c =+，则:()30l ax a c y c +++=，即:()(3)0l a x y c y +++=，令03303x y x y y +==⎧⎧⇒⎨⎨+==-⎩⎩，即直线l 恒过定点(3,3)B -，又OM l ⊥，所以M 在以||OB 为直径的圆上，且圆心33(,)22C -，半径为2，要求AM 的最小值，即求()4,1A 到该圆上点距离的最小值，而52||2CA =，所以min 22AM =-=四、解答题：本题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知直线()1:2120l x a y ---=，()()()2:22130R l a x a y a ++++=∈．（1）若12l l ⊥，求实数a 的值；（2）若1//l 2l ，求12,l l 之间的距离．【答案】（1）1a =-或52；（2【解析】【分析】（1）由两线垂直的判定列方程求参数即可；（2）由两线平行的判定列方程求参数，注意验证是否存在重合情况，再应用平行线距离公式求距离.【小问1详解】由12l l ⊥，则2(2)(1)(21)0a a a +--+=，即22350a a --=，所以(25)(1)0a a -+=，可得1a =-或52.【小问2详解】由1//l 2l ，则22121a a a++=-，可得250a a +=，故0a =或5-，当0a =，则1:220l x y +-=，2:230l x y ++=，此时满足平行，且12,l l=；当5a =-，则1:310l x y +-=，2:310l x y +-=，此时两线重合，舍；综上，1//l 2l 时12,l l18.已知等差数列{}n a ，前()*Nn n ∈项和为n S ，又294,90a S ==．（1）求数列{}n a 的通项公式n a ；（2）设9n n b a =-，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【答案】（1）2n a n =（2）()()228,14,N 832,5,N n n n n n T n n n n **⎧-≤≤∈⎪=⎨-+≥∈⎪⎩【解析】【分析】（1）根据等差数列的求和公式和等差数列的通项公式即得.（2）由992n n b a n =-=-，令920n c n =->求出n 的取值范围，再分段求出数列{}n b 的前n 项和nT 【小问1详解】设等差数列的公差为d ，首项为1a ，因为990S =，所以()199599902a a S a +===，所以510a =，由5231046a a d -==-=，解得2d =，又24a =，所以()()224222n a a n d n n =+-=+-⨯=；【小问2详解】992n n b a n=-=-设92n c n =-，{}n c 的前n 项和为n S ，得()279282n n S n n n +-=⨯=-，920n c n =->，得92n <当14n ≤≤时，0n c >，即n n b c =，所以214,8n n n T S n n≤≤==-当5n ≥时，得0n c <，所以n n b c =-，则()()12456n n T c c c c c c =+++-+++ ()()224442328832n n S S S S S n n n n =--=-=--=-+综上所述：()()228,14,N 832,5,N n n n n n T n n n n **⎧-≤≤∈⎪=⎨-+≥∈⎪⎩19.已知数列{}n a 的首项123a =，且满足121n n na a a +=+．（1）求证：数列11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列；（2）设()11n n n b a --=，求数列{}n b 的前2n 项和2n S ．【答案】（1）证明见解析（2）4134n n-⨯【解析】【分析】（1）121n n n a a a +=+，取倒数得1112n n n a a a ++=，化简整理即可判断11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列；（2）法一：将2n S 转化为()1111n n a +⎧⎫⎛⎫⎪⎪--⎨⎬ ⎪⎪⎪⎝⎭⎩⎭的前n 项和，结合（1）中结论即可得解；法二：结合（1）中结论得()1112n n n b -⎛⎫=--- ⎪⎝⎭，应用分组求和及等比数列的前n 项和公式即可得解.【小问1详解】因为1122,13n n n a a a a +==+，所以0n a ≠，所以11111222n n n n a a a a ++==+，所以1111122n n a a +-=-，即11111(1)2n na a +-=-因为11211,1032a a =-=≠，1111121n na a +-=-，所以11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以12为首项，12为公比的等比数列；【小问2详解】法一：21234212111111n n nS a a a a a a -=-+-++- 1234212111111111111n n a a a a a a -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---+---++-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭易知()1111n n a +⎧⎫⎛⎫⎪⎪--⎨⎬ ⎪⎪⎪⎝⎭⎩⎭是以12为首项，12-为公比的等比数列，所以2221111122412133412n n n n n S ⎡⎤⎛⎫⎛⎫--⎢⎥ ⎪- ⎪⎝⎭-⎢⎥⎣⎦⎝⎭===⨯⎛⎫-- ⎪⎝⎭；法二：由（1）1112n n a ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以1112n n a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以()()111112n nn n n b a ---⎛⎫==--- ⎪⎝⎭所以22211111224120133412n n n n n S ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫---⎢⎥ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭⎝⎭-⎢⎥⎣⎦⎝⎭=-==⨯⎛⎫-- ⎪⎝⎭．20.如图，等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，28AB CD ==，,AB CD 间的距离为4，以线段AB 的中点为坐标原点O ，建立如图所示的平面直角坐标系，记经过,,,A B C D 四点的圆为圆M ．（1）求圆M 的标准方程；（2）若点E 是线段AO 的中点，P 是圆M 上一动点，满足24PO PE ≥，求动点P 横坐标的取值范围．【答案】（1）2216524x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭（2）652,2⎡⎢⎣⎦【解析】【分析】（1）根据圆所过点的坐标求解圆的方程即可.（2）根据P 是圆M 上一动点，满足24PO PE ≥，设P 点坐标带入化简求解，依据图像即可得出答案.【小问1详解】如图，因为28AB CD ==，,AB CD 间的距离为4，所以()()()()4,0,4,0,2,4,2,4A B C D --，经过,,,A B C D 四点的圆即经过,,A B C 三点的圆，法一：AB 中垂线方程即0x =，BC 中点为()3,2，04242BC k -==--，所以BC 的中垂线方程为()1232y x -=-，即1122y x =+，联立01122x y x =⎧⎪⎨=+⎪⎩，得圆心坐标10,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()2216540022MB ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭所以圆M 的标准方程为2216524x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭；法二：设圆M 的一般方程为()2222040x y Dx Ey F D E F ++++=+->，代入()()()4,0,4,0,2,4A B C -，4160416024200D F D F D E F -++=⎧⎪++=⎨⎪+++=⎩解得0116D E F =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，所以圆M 的标准方程为2216524x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭；法三：以AB 为直径的圆方程为()()2440x x y +-+=，直线:0AB y =，设圆M 的方程为()()2440x x y y λ+-++=，代入()2,4C ，解得1λ=-，所以圆M 的标准方程为2216524x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭；【小问2详解】()2,0E -，设圆M 上一点(),P x y ，()(),,2,PO x y PE x y =--=--- ，因为24PO PE ≥，所以()()()224x x y y ---+--≥，即222240x y x ++-≥，由222240x y x ++-≥对应方程为圆()22222240125x y x x y ++-=⇒++=所以P 点在圆()22125x y ++=上及其外部，22221602240x y y x y x ⎧+--=⎨++-=⎩解得122,4x x ==，所以两圆交点恰为()()4,0,2,4B C ，结合图形，当圆M 上一点纵坐标为12时，横坐标为342x =>，所以点P横坐标的取值范围是2,2⎡⎢⎣⎦．.21.平面直角坐标系xOy 中，直线0:3213x y l +-=，圆M ：22128480x y x y +--+=，圆C 与圆M 关于直线l 对称，P 是直线l 上的动点．（1）求圆C 的标准方程；（2）过点P 引圆C 的两条切线，切点分别为,A B ，设线段AB 的中点是Q ，是否存在定点H ，使得QH 为定值，若存在，求出该定点H 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）224x y +=（2）存在；64,1313H ⎛⎫⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）利用对称求出C 点坐标，即可得到圆C 的标准方程；（2）设P 点坐标，,A B 在以PC 为直径的圆N 上，由圆C 与圆N 求公共弦AB ，得直线AB 过定点T ，Q 点是在以CT 为直径的圆上，所以存在点H 是CT 的中点，使得QH 为定值．【小问1详解】圆M 化成标准方程为()()22644x y -+-=，圆心()6,4M ，半径为2，设圆心()00,C x y ，圆C 与圆M 关于直线l 对称，直线0:3213x y l +-=的斜率为32-，所以00004263643213022y x x y -⎧=⎪-⎪⎨++⎪⨯+⨯-=⎪⎩，解得0000x y =⎧⎨=⎩，所以()0,0C ，圆C 的方程为224x y +=.【小问2详解】因为P 是直线l 上的动点，设132,32P t t ⎛⎫- ⎪⎝⎭，,PA PB 分别与圆C 切于,A B 两点，所以,CA PA CB PB ⊥⊥，所以,A B 在以PC 为直径的圆N上，圆N 的方程()22221331334242t t x t y t ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+--=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，即22132302x y tx t y ⎛⎫+-+-= ⎪⎝⎭AB 为圆C 与圆N 的公共弦，由222240132302x y x y tx t y ⎧+-=⎪⎨⎛⎫+-+-= ⎪⎪⎝⎭⎩，作差得AB 方程为1323402tx t y ⎛⎫---= ⎪⎝⎭即()1323402t x y y -+-=令23013402x y y -=⎧⎪⎨-=⎪⎩得1213813x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，设128,1313T ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以直线AB 过定点128,1313T ⎛⎫ ⎪⎝⎭，又Q 是AB 中点，所以CQ AB ⊥，则有Q 点是在以CT 为直径的圆上，所以存在点H 是CT 的中点，使得12QH CT =为定值，坐标为64,1313H ⎛⎫ ⎪⎝⎭.22.记首项为1的递增数列为“W -数列”．（1）已知正项等比数列{}n a ，前()*Nn n ∈项和为n S ，且满足：222n n a S +=+．求证：数列{}n a 为“W -数列”；（2）设数列{}()*Nn b n ∈为“W -数列”，前()*N n n ∈项和为n S ，且满足()32*1N n i n i b S n ==∈∑．（注：3333121n i n i bb b b ==+++∑ ）①求数列{}n b 的通项公式n b ；②数列{}()*N n c n ∈满足33n n n b b c =，数列{}n c 是否存在最大项？若存在，请求出最大项的值，若不存在，请说明理由．（参考数据： 1.44≈≈）【答案】（1）证明见解析（2）①n b n =；②存在；最大项为31c =【解析】【分析】（1）利用等比数列中,n n a S 的关系求解；（2）利用等差数列的定义以及,n n a S 的关系求解，并根据数列的单调性求最值.【小问1详解】设正项等比数列{}n a 的公比为()0q q >，因为222n n a S +=+，则3122n n a S ++=+，两式相减得3212n n n a a a +++-=，即()()()2112210n n a q q a q q ++--=-+=,因为0,0n a q >>，所以2q =，222n n a S +=+中，当1n =时，有3122=+a a ，即11422a a =+，解得11a =，因此数列{}n a 为“W -数列”；【小问2详解】①因为()32*1N n i n i bS n ==∈∑所以3211b b =，又{}n b 为“W -数列”，所以11b =，且1n n b b +>，所以{}n b 各项为正，当2n ≥，321n i ni b S ==∑①，13211n i n i b S --==∑②，①一②得：3221n n n b S S -=-，即()()311n n n n n b S S S S --=-+，所以21n n n b S S -=+③，从而211n n n b S S ++=+④，④-③得：2211n n n n b b b b ++-=+，即()()111n n n n n n b b b b b b ++++-=+，由于{}n b 为“W -数列”，必有10n n b b ++>，所以11n n b b +-=，()2n ≥，又由③知2221b S S =+，即22122b b b =+，即22220b b --=得22b =或21b =-（舍）所以211b b -=，故()*11n n b b n N +-=∈所以{}n b 是以1为首项，公差是1的等差数列，所以n b n =；②303n n n c =>，所以31113n n c n c n ++⎛⎫= ⎪⎝⎭，令311113n n c n c n ++⎛⎫=< ⎪⎝⎭，得 2.27n >≈，。
江苏省邗江中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷
江苏省邗江中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷一、单选题1．设m 为实数，已知直线1l ：220mx y +-=，2l ：()5350x m y +--=，若12//l l ，则m =（）A ．5-B ．2C ．2或5-D ．5或2-2．抛物线22y x =-的准线方程是（）A ．12y =B ．12y =-C ．18y =D ．18y =-3．方程22142x y m m+=+-表示椭圆的充要条件是（）A ．41m -<<-B ．1m >-C ．42m -<<D ．41m -<<-或12m -<<4．点()3,4关于直线10x y ++=对称的点坐标为（）A ．()5,4--B ．()1,6-C ．()4,5--D ．()6,1-5．设圆锥曲线Γ的两个焦点分别为12,F F ，若曲线Γ上存在点P 满足1122::5:4:2PF F F PF =，则Γ的离心率等于（）A ．47B ．2C ．2或47D ．43或476．已知抛物线26y x =，弦AB 过抛物线的焦点F 且满足3AF FB =，则弦AB 的中点到y 轴的距离为（）A ．32B ．3C ．52D ．47．已知12,F F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点，点A 在C 上，若122F A F A =，121230,AF F AF F ∠=︒△的面积为C 的方程为（）A ．22196x y -=B ．22136x y -=C ．22169x y -=D ．22163x y -=8．已知圆(()22:54C x y -+-=和两点(),0A 、)(),00Bm >，若圆C 上存在一点P ，使得π3APB ∠=，则实数m 的取值范围是（）A ．⎛ ⎝⎭B ．⎛ ⎝⎭C ．⎡⎢⎣⎦D ．⎡⎢⎣⎦二、多选题9．在平面直角坐标系中，下列说法正确的是（）A ．直线：()()12:210,:120l ax y l x a y a R ++=++-=∈，若12l l ⊥，则23a =-；B ．直线l 的方程为：20kx y k ++-=，直线过定点()1,2-；C ．过点1,2，且在两坐标轴上截距互为相反数的直线l 的方程为10x y -+=；D ．直线12:3290,:3240l x y l x y ++=++=10．已知点()0,2D 、()0,1E -动点M 满足2MD ME=，点M 的轨迹为曲线C ，点P 是直线:43l x y -60+=上一点，过点P 作曲线C 的切线，切点为A ，直线l 与x 轴的交点为N ，则（）A ．曲线C 的方程为()2224x y ++=B ．点M 到直线l 距离的最小值为125C ．PA 的最小值为2115D ．若B 点坐标为()0,6-，则2MB MN +的最小值为11．古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”算出椭圆面积等于圆周率、椭圆的长半轴长、短半轴长三者的乘积.如下图，已知椭圆(2222:10x y C a b a b+=>>）的左、右焦点分别为12F F ，，上、下顶点分别为1B ，2B ，左、右顶点分1A ，2A ，1132OP OB = ，2232OP OB =，设C 的离心率为e ，则（）A ．若1212//B F P A ，则23e =B ．四边形1122F B F B 的面积与C 的面积之比为2πe C ．四边形1122F B F B 的内切圆方程为()222222a ab x y b -+=D ．设条形阴影部分的面积为S 条，点形阴影部分的面积为S 底，则S S >条底三、填空题12．已知椭圆2219x y m +=和双曲线2216y x m -=-共焦点，则m 的值为.13．已知圆C 经过两点A （0，2），B （4，6），且圆心C 在直线l ：2x -y -3=0上，则圆C 的方程为；14．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为,F M 是OF 的中点，若椭圆C 上到点M 的距离最小的点有且仅有一个，则椭圆C 的离心率的取值范围为.四、解答题15．在平面直角坐标系xOy 中，已知点()()1,1,5,1A B ，点C 在x 轴上，且4CAB π∠=.(1)求直线AC 的斜率；(2)求直线BC 的方程.16．经过双曲线2213y x -=的左焦点1F 作斜率为2的弦AB ，求：(1)线段AB 的长；(2)设点2F 为右焦点，求2F AB 的周长.17．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为()()22231x m y m -+--⎤⎣⎦=⎡，R m ∈．(1)当1m =-时，过原点O 作直线l 与圆C 相切，求直线l 的方程；(2)对于()2,2P -，若圆C 上存在点M ，使MP MO =，求实数m 的取值范围．18．已知抛物线2:2(0)C y px p =>经过点()3,6A ，焦点为F ，过F 作两条直线,MN PQ 与抛物线C 交于,,,M N P Q 四点，其中,M P 在第一象限，且P 在M 的左侧．(1)求C 的方程；(2)若直线MP 与x 轴交于点()2,0G -，求直线NQ 与x 轴的交点坐标；(3)设直线NP 与MQ 的斜率分别为12,k k ，若123k k =，试问：直线MQ 是否过定点，若过请求出定点坐标；若不过，请说明理由．19．法国著名数学家加斯帕尔·蒙日在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点G a 为椭圆的长半轴长，b 为椭圆的短半轴长）为半径的圆，这个圆被称为蒙日圆.已知椭圆C ：2213x y +=，1F ，2F 分别为椭圆C的左、右焦点，椭圆C 的蒙日圆为圆E .(1)求圆E 的方程；(2)已知点A 是椭圆C 上的任意一点，点O 为坐标原点，直线OA 与圆E 相交于S 、T 两点，求证：12AS AT AF AF ⋅=⋅；(3)过点()10B ,作互相垂直的直线1l 、2l ，其中1l 交圆E 于P 、Q 两点，2l 交椭圆C 于M 、N 两点，求四边形PMQN 面积的取值范围.。
江苏省扬州市扬州中学2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题(含答案)
江苏省扬州中学2024-2025学年第一学期期中试卷高 二 数 学 2024.11一、单项选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．圆的圆心和半径分别是（ ）A ．，1B ．，3C ．，2D ．，22．经过两点，的直线的斜率为（ ）A ．B ．C ．D ．3．椭圆x 225+y 216=1的焦点为为椭圆上一点，若，则（ ）A ．B ．C ．D ．4．已知双曲线的离心率大于实轴长，则的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D．5．两平行直线与之间的距离为（ ）ABCD6．已知圆关于直线对称，则实数（ ）A ．1或B ．1C ．3D ．或37．已知抛物线C :y 2=2px (p >0)的焦点为，若抛物线上一点满足|MF |=2，∠OFM =60°，则（ ）A ．3B ．4C ．6D ．88．如图，双曲线的左右焦点分别为、，过的直线与该双曲线的两支分别交于、两点（在线段上），⊙与⊙分别为与的内切圆，其半径分别为、，则的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．(0，+∞)二、多项选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.9．下列说法正确的是（ ）A ．若，且直线不经过第二象限，则，.()()22232x y +++=()2,3-()2,3-()2,3--()2.3-(2,7)A (4,6)B 12-2-12212,,F F P 13PF =2PF =435722:1y C x m -=m (3,)+∞)+∞(0,3)320mx y --=4670x y --=22:330C x y mx y +-++=:0l mx y m +-=m =3-1-F M p =2218y x -=1F 2F 1F l A B A 1F B 1O 2O 12AF F △2ABF △1r 2r 12r r 1132⎛⎫ ⎪⎝⎭，1233⎛⎫⎪⎝⎭，1223⎛⎫ ⎪⎝⎭，0abc ≠0ax by c ++=0ab >0bc <B ．方程（）表示的直线都经过点.C ．，直线不可能与轴垂直.D ．直线的横、纵截距相等.10．已知曲线．点，，则以下说法正确的是（ ）A ．曲线C 关于原点对称B ．曲线C 存在点P，使得C ．直线与曲线C 没有交点D ．点Q 是曲线C 上在第三象限内的一点，过点Q 向作垂线，垂足分别为A ，B ，则.11．已知集合.由集合中所有的点组成的图形如图中阴影部分所示，中间白色部分形如美丽的“水滴”.给出下列结论，正确的有（ ）A ．白色“水滴”区域（含边界）任意两点间距离的最大值为B ．在阴影部分任取一点，则到坐标轴的距离小于等于3.C ．阴影部分的面积为.D ．阴影部分的内外边界曲线长为.三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分.12．若双曲线的离心率为2，则其两条渐近线所成的锐角的大小为 .13．已知椭圆的左、右焦点分别为F 1、F 2，过点的直线交椭圆于A 、B 两点，若，则该椭圆的离心率为 .14．已知为曲线y =1+4―x 2上的动点，则的最大值为 .四、解答题:本题共5小题，共77分.解答题写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．已知△ABC 的顶点坐标是为的中点.(1)求中线的方程；(2)求经过点且与直线平行的直线方程.16．已知双曲线C :x 2a2―y 2b 2=1(a >0,b >0)的离心率为为双曲线的右焦点，且点到直线的()()21250x y λλ++--=R λ∈()2,1m ∈R 220m x y ++=y 3310x y +-=:44C x x y y =-1F 2(0,F 124PF PF -=2y x =2y x =±45QA QB ⋅=(){}22,(cos )(sin )4,0πP x y x y θθθ=-+-=≤≤∣P 1M M 8π8π()222210,0y x a b a b -=>>22221(0)x y a b a b+=>>2F 1AB F B ⊥，14sin 5F AB ∠=(),P a b 223a b a b --++()()()2,0,6,2,2,3,A B C M --AB CM B AC ()5,,03F c F 2a x c=距离为.(1)求双曲线的方程；(2)若点，点为双曲线左支上一点，求的最小值.17．已知，是抛物线：上的两点．(1)求抛物线的方程；(2)若斜率为的直线经过的焦点，且与交于，两点，求的最小值．18．椭圆与椭圆：有相同的焦点，且经过点.(1)求椭圆的方程；(2)椭圆的右焦点为，设动直线与坐标轴不垂直，与椭圆交于不同的，两点，且直线和的斜率互为相反数.①证明：动直线恒过轴上的某个定点，并求出该定点的坐标.②求△OMN 面积的最大值.19．定义：M 是圆C 上一动点，N 是圆C 外一点，记的最大值为m ，的最小值为n ，若，则称N 为圆C 的“黄金点”；若G 同时是圆E 和圆F 的“黄金点”，则称G 为圆“”的“钻石点”.已知圆165C ()12,0A P C PA PF +()6,2A m +()24,8B m +C ()221y px p =>C ()0k k ≠l C C P Q 2PQ k +C 1C 2212x y +=31,2Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭C C B l l C M N BM BN l x MN MN 2m n =E F -A ：，P 为圆A 的“黄金点”(1)求点P 所在曲线的方程.(2)已知圆B ：，P ，Q 均为圆“”的“钻石点”.①求直线的方程.②若圆H 是以线段为直径的圆，直线l ：与圆H 交于I ，J 两点，对于任意的实数k ，在y 轴上是否存在一点W ，使得y 轴平分？若存在，求出点W 的坐标；若不存在，请说明理由.()()221113x y +++=()()22221x y -+-=A B -PQ PQ 13y kx =+IWJ ∠江苏省扬州中学2024-2025学年第一学期期中试卷高二数学（参考答案）2024.11参考答案：题号12345678910答案C A D A C C A C BD CD 题号11 答案ABD8．【详解】设，∴S △AF 1F 2=12r 1(8+2m )=(4+m )r 1，S △ABF 2=12r 2(2m +2p )=(m +p )r 2，.在△与△中：，即，，当双曲线的斜率为正的渐近线时，取最大，此时，，当与轴重合时，取最小，此时，经上述分析得：，.故选：C.10．【详解】当时，曲线，即；当时，曲线，即；不存在；时，曲线，即；时，曲线，即；画出图形如右：对于A ，由图可得A 错误，故A 错误；对于B ，方程是以为上下焦点的双曲线，当时，曲线C 存在点P ，使得，故B 错误；对于C ，一三象限曲线的渐近线方程为，所以直线与曲线C 没有交点，故C 正确；对于D ，设，设点在直线上，点在直线，11222,,6,2,2AF m BA p F F AF m BF m p ====+=+-()()11224m r S m S p m p r +∴==+12AF F 2AF B 122cos cos F AF F AB ∠=-∠()()()()()2222222262222224m m m p m p m p m m m pm++-++-+-=-⇒=⋅⋅+⋅+⋅-32212324444444m m r m mp m m m r p mp m m m++-∴===+++--//l m p →+∞404m m ∴-=⇒=l x m 2m =()2,4m ∈1212,23r r ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭0,0x y ≥>22:44C x y =-2214y x -=0,0x y ≥<22:44C x y =--2214y x +=-0,0x y ≤≥22:44C x y -=-2214y x +=0,0x y <≤22:44C x y -=--2214y x -=2214y x -=12,F F 0,0x y ≥>214PF PF -=2y x =2y x =()00,Q x y A 2y x =B 2y x =-又点Q 是曲线C 上在第三象限内的一点，代入曲线方程可得，故D 正确；故选：CD.11．【详解】对于A ，由于，令时，整理得，解得，“水滴”图形与轴相交，最高点记为A ，则点A 的坐标为，点，白色“水滴”区域（含边界）任意两点间距离的最大值为，故A 正确；对于B ，由于，整理得：，所以，所以到坐标轴的距离为或，因为，所以，，所以到坐标轴的距离小于等于3，故B正确；对于C ，由于，令时，整理得，解得，因为表示以为圆心，半径为的圆，则，且，则在x 轴上以及x 轴上方，故白色“水滴”的下半部分的边界为以为圆心，半径为1的半圆，阴影的上半部分的外边界是以为圆心，半径为3的半圆，根据对称可知：白色“水滴”在第一象限的边界是以以为圆心，半径为2的圆弧，设，则，即AN 所对的圆心角为，同理AM 所在圆的半径为2，所对的圆心角为，阴影部分在第四象限的外边界为以为圆心，半径为2的圆弧，设，可得，DG 所对的圆心角为，同理DH 所在圆的半径为2，所对的圆心角为，故白色“水滴”图形由一个等腰三角形，两个全等的弓形，和一个半圆组成，22004455x y QA QB -⋅==22(cos )(sin )4x y θθ-+-=0x =[]32sin 0,2y yθ=-∈[1]y ∈- y (0,1)B -||1AB =22(cos )(sin )4x y θθ-+-=2cos cos 2sin sin x y αθαθ=+⎧⎨=+⎩2cos cos ,2sin sin )(M αθαθ++M ||2cos cos αθ+|2sin sin |αθ+cos [1,1],sin [0,1]θθ∈-∈2cos cos ||2cos ||cos |213|αθαθ+≤+≤+=|2sin sin ||2sin ||sin |213αθαθ+≤+≤+=M 22(cos )(sin )4x y θθ-+-=0y =[]32cos 2,2y yθ=-∈-[3,1][1,3]x ∈-- 22(cos )(sin )4x y -+-=θθ()cos ,sin Q θθ2r =13r OQ OP OQ r =-≤≤+=0πθ≤≤()cos ,sin Q θθO O ()1,0M -()1,0N 2AN AM MN ===π3π3()1,0N ()()3,0,3,0G H -π1,3ON OD OND ==∠=2π32π3所以它的面积是.轴上方的半圆（包含阴影和水滴的上半部分）的面积为，第四象限的阴影和水滴部分面积可以看作是一个直角三角形和一个扇形的面积的和，且等于所以阴影部分的面积为C 错误；对于D ，轴上方的阴影部分的内外边界曲线长为，轴下方的阴影部分的内外边界曲线长为，所以阴影部分的内外边界曲线长为，故D 正确.故选：ABD.12．13【详解】如图，设，因为，所以．由椭圆定义可知，，由，可得，所以．在Rt △F 1BF 2中，由，可得，即得，故得14．【详解】曲线，由于在曲线上，令，则，（其中），，又，，当时取得最大值15．【详解】（1）因为，所以，212π111π2π1222326S S S S ⎛=++=⨯⨯+⨯+⨯=⎝V 弓形半圆x 219π3π22⨯=2114π21π323⨯⨯+=941116π2(πππ2363++-=+x 1π4132π3223πππ2333⨯⨯+⨯⨯=+=x 111112π1(2π2π2)2π2233⨯⨯+⨯⨯-⨯⨯=13π11π8π33+=π314BF t =1AB F B ⊥，14sin 5F AB ∠=15,3AF t AB t ==21212=25,224AF a AF a t BF a BF a t =--=-=-22493AB AF BF a t t =+=-=13t a =1242,33BF a BF a ==2221212||||||F F BF BF =+222424(()33a a c =+2295c a =c e a ==9+1y =()()22141x y y +-=≥(),P a b ()2cos ,0π12sin a b θθθ=⎧≤≤⎨=+⎩()()222232cos 12sin 32cos 12sin a b a b θθθθ--++=---+++2cos 2sin 454sin 42sin 2cos 54sin θθθθθθ=--++=+-++()96sin 2cos 9θθθϕ=+-=+-sin ϕ=cos ϕ=π0,2ϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭[][]0,π,πθθϕϕϕ∈∴-∈-- π,02ϕ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭ππ,π2ϕ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭∴π2θϕ-=223a b a b --++9+()()2,0,6,2A B -()4,1M -故的方程是，即；（2）因为直线的斜率，所以经过点且与直线平行的直线方程为，即.16．【详解】（1）由题意知，解得，则，所以双曲线的方程为.（2）记双曲线的左焦点为，则，可得，当三点共线时，最小，且最小值为.故的最小值为.17．【详解】（1）∵，是抛物线C ：上的两点，∴，则，整理得，解得， 当时，，解得，不合题意；当时，，解得．故抛物线C 方程为y 2=6x ．（2）由（1）知C 的焦点为，故直线l 的方程为，联立，得，必有，设，，则，∴， ∴，即所以的最小值为18．【详解】（1）椭圆：的焦点坐标为，所以椭圆的焦点坐标也为，即得焦距为，∵椭圆过点，∴，CM 143124y x +-=+--2350x y +-=AC 303224ACk -==---B AC ()3264y x +=--34100x y +-=253165c a a c c ⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩35a c =⎧⎨=⎩4b ==C 221916x y -=C 0F ()05,0F -0026PA PF PA PF a PA PF +=++=++0,,P F A 0PA PF +017AF =PA PF +17623+=()6,2A m +()24,8B m +()221y px p =>()()22212,848m p m p⎧+=⎪⎨+=⎪⎩()()22842m m +=+216m =4m =±4m =-()21224p m =+=113p =<4m =()212236p m =+=31p =>3,02⎛⎫⎪⎝⎭32y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭2632y xy k x ⎧=⎪⎨⎛⎫=- ⎪⎪⎝⎭⎩()222293604k x k x k -++=0∆>()11,P x y ()22,Q x y 212236k x x k ++=2122236636k PQ x x p k k+=++=+=+222666PQ k k k +=++≥+226k k=2k =2PQ k +6+1C 2212x y +=()1,0±C ()1,0±22c =C 31,2Q ⎛⎫⎪⎝⎭24a +=∴，，∴椭圆的标准方程为.（2）①设直线：（），由，得，设M (x 1,y 1)，N (x 2,y 2)，所以，，所以，因为直线和的斜率互为相反数，所以，所以，所以，所以.即，所以，因为，所以，所以动直线恒过轴上的定点②由①知，，且，即，又S △OMN =12⋅|OT |⋅|y 1―y 2|=12⋅4⋅(y 1+y 2)2―4y1y 2令，则，∴S △OMN=24⋅n (3n +16)2≤24⋅n (2⋅3n⋅16)2=24⋅n 4⋅3n ⋅16=3（当且仅当时取“＝”）∴(S △OMN )max =3.19．【详解】（1）因为点P 为圆A 的“黄金点”，即，所以点P的轨迹是以AP 所在曲线的方程为（2）①因为P 为圆B 的“黄金点”，则所以，即点P 在圆上，则P 是圆和的交点.因为P ，Q 均为圆“”的“钻石点”，所以直线即为圆和的公共弦所在直线，2a =b =22143x y +=l x my t =+0m ≠223412x my t x y =+⎧⎨+=⎩()2223463120m y mty t +++-=122634mt y y m +=-+212231234t y y m -=+()()()()1221121212111111MF NF y x y x y yk k x x x x -+-+=+=----()()()()1221121111y my t y my t x x +-++-=--BM BN 0MB NB k k =+()()()()12211211011y my t y my t x x +-++-=--()()1221110y my t y my t +-++-=()()1212210my y t y y +-+=()22231262103434t mtm t m m --⨯+-⨯=++()640m t -=0m ≠4t =l x ()4,0T 1222434m y y m +=-+1223634y y m =+()()22Δ24434360m m =-+⋅>24m >224==240n m =->24m n =+316n ==PA =()()2211 3.x y +++=()121PB PB +=-||3PB =()()22229x y -+-=()()22113x y +++=()()22229x y -+-=A B -PQ ()()22113x y +++=()()22229x y -+-=两圆方程相减可得，故直线的方程为.②设的圆心为的圆心为，半径为.直线的方程为，得的中点坐标为，点S 到直线，则，所以圆H 的方程为.假设轴上存在点满足题意，设，.若轴平分，则，即，整理得又，所以代入上式可得，整理得①，由可得，所以x 1+x 2=―23k k 2+1,x 1x 2=―89k 2+1，代入①并整理得，此式对任意的都成立，所以.故轴上存在点，使得轴平分.0x y +=PQ 0x y +=22(1)(1)3x y +++=(11),S --()()22229x y -+-=(2,2)T 3ST y x =PQ (0,0)0x y +==12PQ ==221x y +=y (0),W t ()()1122,,,I x y J x y 120x x ≠y IWJ ∠0IM JW k k +=12120y t y tx x --+=()()21120.x y t x y t -+-=11223,113y kx y kx =+=+211211)33(()0x kx t x kx t +-++-=()12121203kx x t x x ⎛⎫+-+= ⎪⎝⎭22131y kx x y ⎧=+⎪⎨⎪+=⎩()22281039k x kx ++-=2203k kt -+=k 3t =y ()0,3W y IWJ ∠。
2023-2024学年江苏省徐州市铜山区高二(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年江苏省徐州市铜山区高二（上）期中数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．抛物线y 2＝8x 的焦点坐标是（ ） A ．（﹣2，0）B ．（0，﹣2）C ．（2，0）D ．（0，2）2．已知椭圆C ：x 24+y 23=1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在椭圆C 上，则△PF 1F 2的周长为（ ） A ．3B ．4C ．5D ．63．圆心为M （2，﹣1），且与直线x ﹣2y +1＝0相切的圆的方程为（ ） A ．（x ﹣2）2+（y ﹣1）2＝5 B ．（x ﹣2）2+（y +1）2＝5C ．（x ﹣2）2+（y +1）2＝25D ．（x ﹣2）2+（y ﹣1）2＝254．已知过A （m ，2），B （﹣m ，m ﹣1）两点的直线的倾斜角是45°，则A ，B 两点间的距离为（ ） A ．2B ．√6C ．2√2D ．3√25．若圆C 1：(x −a)2+y 2=1与圆C 2：x 2+y 2=25相交，则实数a 的取值范围是（ ） A ．（4，6）B ．[4，6]C ．（﹣6，﹣4）∪（4，6）D ．[﹣6，﹣4]∪[4，6]6．已知以双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的实轴，虚轴为两条对角线的四边形的面积为8，且双曲线C 的两条渐近线互相垂直，则双曲线C 的方程为（ ） A ．x 28−y 28=1 B ．x 24−y 24=1C ．x 22−y 22=1D ．x 2﹣y 2＝17．已知圆C 1：（x ﹣1）2+（y ﹣2）2＝1，圆C 2：(x −3)2+(y +4)2=4，M ，N 分别是圆C 1，C 2上两个动点，P 是x 轴上动点，则PN ﹣PM 的最大值是（ ） A ．2√2+3B ．2√2+5C ．2√10+3D ．2√10+58．设F 1，F 2分别为椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)与双曲线C 1：x 2a 12−y 2b 12=1(a 1＞0，b 1＞0）的公共焦点，它们在第一象限内交于点M ，∠F 1MF 2＝60°，若椭圆C 的离心率e ∈[√22，√32]，则双曲线C 1的离心率e 1的取值范围为（ ） A ．[√52，√62]B ．[√62，+∞)C ．[√62，√142]D ．[3√24，√62]二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
江苏省扬州市江都区2024-2025学年高二上学期11月期中测试数学试题
江苏省扬州市江都区2024-2025学年高二上学期11月期中测试数学试题一、单选题1．经过两点()()2,,,4A m B m -的直线l 的倾斜角为135 ，则m 的值为（）A ．-2B ．1C ．3D ．42．对于任意的实数m ，直线()130m x y m +++=恒过定点（）A ．()3,3B ．()3,3-C ．()3,3--D ．()3,3-3．双曲线22:1y C x m-=的焦点坐标为(0,，则m =（）A ．2B ．4CD ．14．已知圆1C ：224x y +=和圆2C ：224470x y x y +--+=，则两圆的位置关系为（）A ．外离B ．外切C ．相交D ．内切5．点()2,3P 关于直线20x y ++=的对称点的坐标为（）A ．()3,2--B ．()2,3--C ．()5,4--D ．()4,5--6．若双曲线经过点()，且它的两条渐近线方程是3y x =±，则双曲线的方程是（）．A ．2219y x -=B ．2219x y -=C ．221273y x -=D ．221273x y -=7．直线10x y -+=分别与x 轴，y 轴交于,A B 两点，点P 在圆()2222x y -+=上，则ABP 面积的取值范围是（）A ．[]1,3B ．[]2,6C ．15,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．17,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦8．设椭圆2222:1x y C a b+=（0a b >>）的左焦点为F ，O 为坐标原点，过点F 且斜率为3的直线与C 的一个交点为Q （点Q 在x 轴上方），且OF OQ =，则C 的离心率为（）A ．2B ．13C ．4D ．4二、多选题9．已知直线1l ：340ax y ++=，2l ：()2250x a y a +-+-=，则下列结论正确的是（）A ．1l 在y 轴上的截距为43-B ．若12//l l ，则1a =-或3a =C ．若12l l ⊥，则32a =-D ．若1l 不经过第二象限，则0a ≤10．已知圆C ：()()22111x y -+-=，点()2,3P ，则下列结论正确的是（）A ．点P 在圆C 外B ．圆C 上动点Q到点P 2C ．过点P 作圆C 的切线，则切线方程为2x =或3460x y -+=D ．过点P 作圆C 的切线，切点为A ，B ，则直线AB 的方程为240x y --=11．如图，P 是椭圆1C ：22194x y +=与双曲线2C ：22221x ym n-=（0m >，0n >）在第一象限的交点，且1C ，2C 共焦点1F ，2F ，12F PF θ∠=，2C 的离心率为e ，则下列结论正确的是（）A ．13PF m =+，23PF m =-B ．若双曲线2C 的方程是22114x y-=，则90θ=︒C ．若60θ=︒，则e =D ．12PF F 的面积为2n三、填空题12．若方程222410x y mx y m +++++=表示圆，则实数m 的取值范围为.13．已知直线1:3470l x y -+=与直线()2:6110l x m y m -++-=平行，则1l 与2l 之间的距离为.14．已知椭圆22:143x y C +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，M 为C 上任意一点，N 为圆()()22:961E x y -+-=上任意一点，则1MN MF -的最小值为.四、解答题15．在ABC V 中，()5,2A -，()7,4B ，()5,4C --.(1)求ABC V 中，BC 边上的中线所在直线的方程；(2)求ABC V 中，BC 边上的高所在直线的方程.16．已知圆C 的圆心在直线10x y --=上，且过()2,2A -，()3,3B 两点.(1)求圆C 的标准方程；(2)若过点()3,4Q 的直线l 被圆C 截得的弦长为6，求直线l 的方程.17．已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）经过点()3,1P ，焦距为()2,4Q 且斜率为1的直线l 与椭圆C 相交于M ，N 两点.(1)求椭圆C 的方程；(2)求PMN 的面积.18．在平面直角坐标系中，已知()13,0F -，()23,0F ，动点P 满足12PF PF -=P 的轨迹为曲线C .(1)求C 的方程；(2)过点1F 的直线l （斜率存在且不为0）与曲线C 相交于M ，N 两点.①若MN 的中点为Q ，设直线MN 和OQ 的斜率分别为1k ，2k ，求12k k ⋅的值；②满足112MF F N =，求直线l 方程.19．如图，已知椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>）的上顶点为0,3点A 作圆M ：()2223x y r ++=（03r <<）的两条切线分别与椭圆C 相交于点B ，D （不同于点A ）.(1)求椭圆C的方程；k k 为定值；(2)设直线AB和AD的斜率分别为1k，2k，求证:12(3)求证：直线BD过定点.。
2023-2024学年江苏省盐城市联盟校高二(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年江苏省盐城市联盟校高二（上）期中数学试卷一、单选题（共8小题，满分40分，每小题5分）1．直线l 经过点（﹣2，3），且倾斜角α＝45°，则直线l 的方程为（ ） A ．x +y ﹣1＝0B ．x ﹣y +5＝0C ．x +y +1＝0D ．x ﹣y ﹣5＝02．圆x 2+2x +y 2+4y +1＝0的圆心坐标为（ ） A ．（1，2） B ．（﹣1，2）C ．（1，﹣2）D ．（﹣1，﹣2）3．双曲线x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的离心率为√3，则其渐近线方程为（ ）A ．y ＝±√2xB ．y ＝±√3xC ．y ＝±√22x D ．y ＝±√32x 4．过椭圆的右焦点F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于A ，B 两点，F 1为椭圆的左焦点，若△F 1AB 为正三角形，则椭圆的离心率为（ ） A ．√3B ．√33C ．2−√3D ．√2−15．若直线l 过抛物线y 2＝8x 的焦点，与抛物线相交于A ，B 两点，且|AB |＝16，则线段AB 的中点P 到y 轴的距离为（ ） A ．3B ．4C ．5D ．66．已知圆C 1：x 2+y 2−2x +my +1=0(m ∈R)的面积被直线x +2y +1＝0平分，圆C 2：(x +2)2+(y −3)2=25，则圆C 1与圆C 2的位置关系是（ ） A ．外离B ．外切C ．相交D ．内切7．如图，设抛物线y 2＝2px 的焦点为F ，过x 轴上一定点D （2，0）作斜率为2的直线l 与抛物线相交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，记△BCF 的面积为S 1，△ACF 的面积为S 2，若S 1S 2=14，则抛物线的标准方程为（ ）A ．y 2＝xB ．y 2＝2xC ．y 2＝4xD ．y 2＝8x8．已知两条直线l 1：2x ﹣3y +2＝0，l 2：3x ﹣2y +3＝0，有一动圆（圆心和半径都在变动）与l 1，l 2都相交，并且l 1，l 2被截在圆内的两条线段的长度分别是定值26，24，则动圆圆心的轨迹方程为（ ） A ．（y ﹣1）2﹣x 2＝65 B ．x 2﹣（y ﹣1）2＝65C ．y 2﹣（x +1）2＝65D ．（x +1）2﹣y 2＝65二、多选题（共4小题，满分20分，每小题5分，少选得2分，多选、错选不得分） 9．已知直线（a +2）x +2ay ﹣1＝0与直线3ax ﹣y +2＝0垂直，则实数a 的值是（ ） A ．−12B ．−43C ．0D ．2310．设F 1，F 2分别是双曲线C ：x 2m −y 2m=1的左、右焦点，且F 1F 2＝4，则下列结论正确的有（ ） A ．m ＝2B ．双曲线C 的实轴长是√2 C ．双曲线C 的离心率是√2D ．存在实数t ，使直线y ＝2x +t 与双曲线左右两支各有一个交点 11．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的左，右两焦点分别是F 1，F 2，其中F 1F 2＝2c ．直线l ：y ＝k（x +c ）（k ∈R ）与椭圆交于A ，B 两点．则下列说法中正确的有（ ） A ．△ABF 2的周长为4aB ．若AB 的中点为M ，则k OM ⋅k =b 2a2C ．若AF 1→⋅AF 2→=3c 2，则椭圆的离心率的取值范围是[√55，12]D ．若AB 的最小值为3c ，则椭圆的离心率e =1312．数学中的数形结合也可以组成世间万物的绚丽画面，一些优美的曲线是数学形象美、对称美、和谐美的产物．曲线C ：（x 2+y 2）3＝16x 2y 2为四叶玫瑰线，下列结论正确的有（ ）A ．方程（x 2+y 2）3＝16x 2y 2（xy ＜0），表示的曲线在第二和第四象限B ．曲线C 构成的四叶玫瑰线面积大于4πC ．曲线C 上任一点到坐标原点O 的距离都不超过2D ．曲线C 上有5个整点（横、纵坐标均为整数的点）三、填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．在递增的等差数列{a n }中，a 3，a 15是方程x 2﹣6x +5＝0的根，则公差d 的值为 ． 14．已知直线l ：mx ﹣y ﹣1＝0，若直线l 与直线x ﹣my ﹣1＝0平行，则m 的值为 ．15．过点M （1，2）的直线l 与圆C ：（x ﹣3）2+（y ﹣4）2＝25交于A ，B 两点，C 为圆心，当∠ACB 最小时，直线l 的方程是 ．16．任取一个正整数m ，若m 是奇数，就将该数乘3再加上1；若m 是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1→4→2→1，这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等），若m ＝5，则经过 次步骤后变成1；若第5次步骤后变成1，则m 的可能值之和为 ．四、解答题（共6小题，满分70分。
江苏省盐城市射阳县陈洋中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题
江苏省盐城市射阳县陈洋中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题一、单选题1．直线y x =的倾斜角是（）A ．π6B ．π4C ．π3D ．3π42．椭圆2251162x y +=的焦点为12,,F F P 为椭圆上一点，若13PF =，则2PF =（）A ．4B ．3C ．5D ．73．过点()0,0且垂直于直线350x y -+=的直线方程为（）A ．30x y +=B ．30x y +=C ．30x y -=D ．30x y -=4．若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为（）A ．12B C ．34D ．645．已知圆221:1C x y +=，圆()222:34C x y -+=，则两圆的公切线有（）A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条6．设,a b ∈R ，若直线1ax by +=与圆C ：221x y +=相离，则点(,)P a b 与圆C 的位置关系是（）A ．在圆C 外B ．在圆C 上C ．在圆C 内D ．不能确定7．已知直线:260l x y --=，则点()1,1M 关于直线l 的对称点N 的坐标为（）A ．()1,5-B ．()5,1-C ．()5,1-D ．()1,5-8．过圆C ：222x y +=外一点()1,P a a -作圆C 的切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 过定点（）A ．()2,2-B ．()2,2-C ．()2,2D ．()2,2--二、多选题9．对于直线:10l x y +-=，下列说法正确的有（）A ．直线l 过点(2,1)-B ．直线l 与直线y x =垂直C ．原点到直线l 的距离为1D ．直线330x y -+=与直线l 的交点为()0,110．已知直线:50l x y +-=与圆22:(1)2C x y -+=，若点P 为直线l 上的一个动点，下列说法正确的是（）A ．直线l 与圆C 相离B ．圆C 关于直线l 对称的圆的方程为22(5)(4)2x y -++=C ．若点Q 为圆C 上的动点，则PQ 的取值范围为)+∞D ．圆C 上存在两个点到直线l 的距离为211．已知点,A B 是椭圆22:143x y C +=上关于原点对称且不与C 的顶点重合的两点，12,F F 分别是C 的左､右焦点，O 为原点，则（）A ．C 的离心率为12B ．228AF BF +=C ．AB 的值可以为3D ．若12AF F △的面积为32，则12154AF AF ⋅=三、填空题12．若直线l 与直线122y x =-+平行，且它在y 轴上的截距为4，则直线l 的方程为．13．方程22121x y k k +=--表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围是.14．定义离心率e =的椭圆为“西瓜椭圆”.已知椭圆22:11616x y C m m +=>（）是“西瓜椭圆”，则m =.若“西瓜椭圆”2222:1(0)x y E a b a b+=>>的右焦点为F ，直线y kx =与椭圆E 交于,A B 两点，以线段AB 为直径的圆过点F ，则k =．四、解答题15．三角形的三个顶点是()()()0,1,2,5,4,3A B C -．(1)求直线AC 方程；(2)求AC 边上的高B 所在直线的方程；(3)求AC 边上的中线BE 所在直线的方程．16．已知直线():120R l kx y k k ---=∈过定点P ．(1)求点P 的坐标；(2)求过点P 且在两坐标轴上截距相等的直线方程；(3)设Q 为22:230C x y y +--=上的一个动点，求PQ 中点M 的的轨迹方程．17．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>长轴长为4，且椭圆C 的离心率2，其左右焦点分别为12,F F ．(1)求椭圆C 的方程；(2)设斜率为2F 的直线l 与椭圆C 交于,P Q 两点，求1F PQ 的面积．18．已知圆22:6O x y +=．(1)求过点(-且与圆O 相切的直线的方程；(2)若点(6,0),,A B C 是圆O 上两点，①若,,A B C 共线，求OBC △的面积最大值及此时直线AB 的方程；②若直线BC 斜率存在，且直线AB 与AC 斜率互为相反数，证明：直线BC 经过定点．19．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，()2,0N -为椭圆的一个顶点，且右焦点2F 到直线0x y -=.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设直线():0l y kx m k =+≠与椭圆C 交于A 、B 两点.①若直线l 过椭圆右焦点2F ，且1AF B △求实数k 的值；②若直线l 过定点(0,2)P ，且0k >，在x 轴上是否存在点(,0)T t 使得以,TA TB 为邻边的平行四边形为菱形?若存在，则求出实数t 的取值范围；若不存在，请说明理由.。
江苏省南京市2024-2025学年高二上学期10月期中考试数学试题(无答案)
2024年高二年级上期中模拟测（数学）（时间：120分钟 满分：150分）命题人： 审卷人： 2024年10月28日一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若复数满足（为虚数单位），则的模（ ）A ．B ．1C D ．52．设，，若点在线段上，则的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．3．已知直线在轴、轴上的截距相等，则直线与直线间的距离为（ ）A ．BCD ．04．已知向量，，，满足，，，，则在方向上的投影向量为（ ）AB ．CD ．5．在中，角，，所对的边分别是，，，已知，，当取得最小值时，最大内角的余弦值是（）A ．B ．C ．D ．6．如图，太阳灶是一种将太阳光反射至一点用来加热水或食物的设备，上面装有抛物面形的反光镜，镜的轴截面是抛物线的一部分，已知太阳灶的口径（直径）为，深度为，则该抛物线顶点到焦点的距离为（ ）z ()13i 3i z -=-i z z =35()2,3A-()1,2B (),P x y AB 1y x +[]2,3-()2,3-][(),23,-∞-+∞ ()(),23,-∞-+∞ ()1:2400l mx y m m +--=>x y 1l 2:3310l x y +-=a b c 1a = 2b = 3c = ,,3a b a b c π=+= a b + c 143c 76c ABC A B C a b c 2b =()cos2cos 1cos B B A C +=--2a c +ABC 12-4m 0.5mA ．B ．C ．D ．7．已知直线，圆，若直线上存在两点，，圆上存在点，使得，且，则的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．8．如图，双曲线的左右焦点分别为、，过的直线与该双曲线的两支分别交于、两点（在线段上），圆与圆分别为与的内切圆，其半径分别为、，则的取值范围是：（ ）．A ．B ．C ．D ．二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。
2024—2025学年江苏省苏州市高二上学期期中调研数学试卷
2024—2025学年江苏省苏州市高二上学期期中调研数学试卷一、单选题(★) 1. 已知经过点的直线的斜率为2，则的值为（）A．B． 0C． 1D． 2(★★) 2. 等差数列中，，则的值为（）A． 7B． 8C． 9D． 10(★★) 3. 已知动点与两定点的距离之比为，则动点的轨迹方程为（）A．B．C．D．(★★) 4. 在2和8之间插入3个实数使得成等比数列，则的值为（）A．B．或4C． 4D． 5(★★) 5. 若两直线平行，则实数的取值集合是（）A．B．C．D．(★★★) 6. 等差数列的前项和为，若为定值时也是定值，则的值为（）A． 9B． 11C． 13D．不能确定(★★★) 7. 已知直线与，过点的直线被截得的线段恰好被点平分，则这三条直线围成的三角形面积为（）A．B．C． 8D．(★★★★) 8. 已知数列的前项和为，且则的值为（）A． 1023B． 1461C． 1533D． 1955二、多选题(★★★) 9. 已知数列是等差数列，是等比数列，.（）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则(★★★) 10. 已知公差不为0的等差数列的前项和为，则（）A．点在同一条直线上B．点在同一条直线上C．点在同一条直线上D．点（均为正整数，且为常数）在同一条直线上(★★★) 11. 已知直线，圆，则（）A．与坐标轴的正半轴围成的三角形面积最大值是4B．若与圆相交于两点，且，则C．若圆上恰有四个点到的距离为1，则D．若对于两个不同的值，与圆分别相切于点，，则所在直线的方程是(★★) 12. 已知两点到直线的距离相等，则的值为__________ .(★★★) 13. 已知等比数列满足，则 __________ .(★★★★★) 14. 如图，已知点，点为圆上的动点，若圆上存在一点，使得，则的取值范围是 __________ .四、解答题(★★) 15. 已知等差数列的前项和为，且.(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前项和.(★★★) 16. 已知的三个顶点是，求：(1)边上的中线所在直线的方程；(2)边上的高所在直线的方程；(3) 的角平分线所在直线的方程.(★★★) 17. 已知数列满足且.(1)求；(2)证明数列是等比数列，并求.(★★★) 18. 已知圆内有一点，倾斜角为的直线过点且与圆交于两点.(1)当时，求的长；(2)是否存在弦被点三等分？若存在，求出直线的斜率；若不存在，请说明理由；(3)记圆与轴的正半轴交点为，直线的斜率为，直线的斜率为，求证：为定值.(★★★★) 19. 已知点，向量，点在一条直线上，且满足.(2)证明在同一个圆上，并求该圆的圆心和半径；(3)过引圆的切线，记切线与轴的交点为，求证：.。
2023-2024学年江苏省苏州市高二(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年江苏省苏州市高二（上）期中数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1．直线3x +y ﹣2＝0的方向向量为（ ） A ．（﹣1，3）B ．（1，3）C ．（﹣3，1）D ．（3，1）2．等差数列{a n }中，若2a 3+a 9＝18，则a 2+3a 6的值为（ ） A ．36B ．24C ．18D ．93．与直线3x ﹣4y +5＝0关于y 轴对称的直线方程是（ ） A ．3x +4y ﹣5＝0B ．3x +4y +5＝0C ．3x ﹣4y +5＝0D ．3x ﹣4y ﹣5＝04．经过原点和点（3，﹣1）且圆心在直线3x +y ﹣5＝0上的圆的方程为（ ） A ．（x ﹣5）2+（y +10）2＝125 B ．（x +1）2+（y ﹣2）2＝5C ．（x ﹣1）2+（y ﹣2）2＝5D ．(x −53)2+y 2=2595．设{a n }是公差不为0的无穷等差数列，则“{a n }为递减数列”是“存在正整数N 0，当n ＞N 0时，a n ＜0”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知点P （4，3），点Q 在x 2+y 2＝4的圆周上运动，点M 满足PM →=MQ →，则点M 的运动轨迹围成图形的面积为（ ） A ．πB ．2πC ．3πD ．4π7．等比数列{a n }，满足a 1+a 2+a 3+a 4+a 5＝3，a 12+a 22+a 32+a 42+a 52=15，则a 1﹣a 2+a 3﹣a 4+a 5的值是（ ）A ．3B ．√5C ．−√5D ．58．过点P （2，0）作圆x 2+y 2﹣4y ＝1的两条切线，设切点分别为A ，B ，则△P AB 的面积为（ ） A ．3√158B ．√152C ．5√158D ．√15二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求、全部选对得5分，选对但不全得2分，选错或不答得0分，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 9．已知直线l ：x +my +m ＝0，若直线l 与连接A （﹣3，2），B （2，1）两点的线段总有公共点，则直线l 的倾斜角可以是（ ） A ．2π3B ．π2C ．π4D ．π610．设S n ，T n 分别是等差数列{a n }和等比数列{b n }的前n （n ∈N *）项和，下列说法正确的是（ ）A ．若a 15+a 16＞0，a 15+a 17＜0，则使S n ＞0的最大正整数n 的值为15B ．若T n =5n +c （c 为常数），则必有c ＝﹣1C ．S 5，S 10﹣S 5，S 15﹣S 10必为等差数列D ．T 5，T 10﹣T 5，T 15﹣T 10必为等比数列11．已知等比数列{a n }的公比为q ，前n （n ∈N *）项和为S n ，前n （n ∈N *）项积为T n ，若a 1=132，T 5＝T 6，则（ ） A ．q ＝2B ．当且仅当n ＝6时，T n 取得最小值C ．T n ＝T 11﹣n （n ∈N *，n ＜11）D ．S n ＞T n 的正整数n 的最大值为1112．已知圆C ：x 2+y 2＝4，圆M ：x 2+y 2﹣8x ﹣6y +m ＝0（ ） A ．若m ＝8，则圆C 与圆M 相交且交线长为165B ．若m ＝9，则圆C 与圆M 有两条公切线且它们的交点为（﹣3，﹣4） C ．若圆C 与圆M 恰有4条公切线，则m ＞16D ．若圆M 恰好平分圆C 的周长，则m ＝﹣4三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案写在答题卡相应的位置上．13．若{a n }是公差不为0的等差数列，a 2，a 4，a 8成等比数列，a 1＝1，S n 为{a n }的前n （n ∈N *）项和，则1S 1+1S 2+⋯+1S 10的值为 ．14．平面直角坐标系xOy 中，过直线l 1：7x ﹣3y +1＝0与l 2：x +4y ﹣3＝0的交点，且在y 轴上截距为1的直线l 的方程为 ．（写成一般式）15．如图，第一个正六边形A 1B 1C 1D 1E 1F 1的面积是1，取正六边形A 1B 1C 1D 1E 1F 1各边的中点A 2，B 2，C 2，D 2，E 2，F 2，作第二个正六边形A 2B 2C 2D 2E 2F 2，然后取正六边形A 2B 2C 2D 2E 2F 2各边的中点A 3，B 3，C 3，D 3，E 3，F 3，作第三个正六边形，依此方法一直继续下去，则前n 个正六边形的面积之和为 ．16．已知实数a ，b ，c 成等差数列，在平面直角坐标系xOy 中，点A （4，1），O 是坐标原点，直线l ：ax +2by +3c ＝0．若直线OM 垂直于直线l ，垂足为M ，则线段|AM |的最小值为 ．四、解答题：本题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知直线l 1：2x ﹣（a ﹣1）y ﹣2＝0，l 2：（a +2）x +（2a +1）y +3＝0（a ∈R ）． （1）若l 1⊥l 2，求实数a 的值； （2）若l 1∥l 2，求l 1，l 2之间的距离．18．（12分）已知等差数列{a n }，前n （n ∈N *）项和为S n ，又a 2＝4，S 9＝90． （1）求数列{a n }的通项公式a n ；（2）设b n ＝|9﹣a n |，求数列{b n }的前n 项和T n ． 19．（12分）已知数列{a n }的首项a 1=23，且满足a n−1=2a na n +1． （1）求证：数列{1a n−1}为等比数列；（2）设b n =(−1)n−1a n，求数列{b n }的前2n 项和S 2n ．20．（12分）如图，等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝2CD ＝8，AB ，CD 间的距离为4，以线段AB 的中点为坐标原点O ，建立如图所示的平面直角坐标系xOy ，记经过A ，B ，C ，D 四点的圆为圆M ． （1）求圆M 的标准方程；（2）若点E 是线段AO 的中点，P 是圆M 上一动点，满足PO →•PE →≥24，求动点P 横坐标的取值范围．21．（12分）平面直角坐标系xOy 中，直线l ：3x +2y ﹣13＝0，圆M ：x 2+y 2﹣12x ﹣8y +48＝0，圆C 与圆M 关于直线l 对称，P 是直线l 上的动点． （1）求圆C 的标准方程；（2）过点P 引圆C 的两条切线，切点分别为A ，B ，设线段AB 的中点是Q ，是否存在定点H ，使得|QH |为定值，若存在，求出该定点H 的坐标；若不存在，请说明理由． 22．（12分）记首项为1的递增数列为“W ﹣数列”．（1）已知正项等比数列{a n }，前n （n ∈N *）项和为S n ，且满足：a n +2＝2S n +2． 求证：数列{a n }为“W ﹣数列”；（2）设数列{b n }(n ∈N ∗)为“W ﹣数列”，前n （n ∈N *）项和为S n ，且满足∑b i 3=S n 2(n ∈N ∗)ni=1．（注：∑b i 3=b 13+b 23+⋯+b n 3ni=1） ①求数列{b n }的通项公式b n ； ②数列{c n }(n ∈N ∗)满足c n =b n33bn，数列{c n }是否存在最大项？若存在，请求出最大项的值，若不存在，请说明理由．（参考数据：√2≈1.41，√33≈1.44）2023-2024学年江苏省苏州市高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．1．直线3x+y﹣2＝0的方向向量为（）A．（﹣1，3）B．（1，3）C．（﹣3，1）D．（3，1）解：根据直线方程3x+y﹣2＝0，可得直线的斜率为﹣3，所以直线的一个方向向量为（1，﹣3），又（1，﹣3）＝﹣（﹣1，3），所以（﹣1，3）也是直线的一个方向向量．故选：A．2．等差数列{a n}中，若2a3+a9＝18，则a2+3a6的值为（）A．36B．24C．18D．9解：设等差数列{a n}的公差为d，2a3+a9＝18，则2（a1+2d）+a1+8d＝3a1+12d＝18，即a1+4d＝6，a2+3a6＝a1+d+3（a1+5d）＝4a1+16d＝4（a1+4d）＝4×6＝24．故选：B．3．与直线3x﹣4y+5＝0关于y轴对称的直线方程是（）A．3x+4y﹣5＝0B．3x+4y+5＝0C．3x﹣4y+5＝0D．3x﹣4y﹣5＝0解：令x＝0，则y=54，可得直线3x﹣4y+5＝0与y轴的交点(0，54)．令y＝0，可得x=−53，可得直线3x﹣4y+5＝0与x轴的交点(−53，0)，此点关于y轴的对称点为(53，0)．∴与直线3x﹣4y+5＝0关于y轴对称的直线经过两点：(0，54)，(53，0)．其方程为：x53+y54=1，化为：3x+4y﹣5＝0．故选：A．4．经过原点和点（3，﹣1）且圆心在直线3x+y﹣5＝0上的圆的方程为（）A．（x﹣5）2+（y+10）2＝125B．（x+1）2+（y﹣2）2＝5C．（x﹣1）2+（y﹣2）2＝5D．(x−53)2+y2=259解：设圆心C（a，5﹣3a），则由所求的圆经过原点和点（3，﹣1），即√a 2+(5−3a)2=√(a −3)2+(5−3a +1)2，求得a =53，可得圆心为（53，0），半径为√a 2+(5−3a)2=53，故圆的方程为（x −53）2+y 2=259． 故选：D ．5．设{a n }是公差不为0的无穷等差数列，则“{a n }为递减数列”是“存在正整数N 0，当n ＞N 0时，a n ＜0”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解：因为{a n }是公差不为0的无穷等差数列，若“{a n }为递减数列”，可得{a n }的通项公式为一次函数且一次项系数小于0，一定有a n ＜0，即“{a n }为递减数列”是“存在正整数N 0，当n ＞N 0时，a n ＜0”的充分条件；若“存在正整数N 0，当n ＞N 0时，a n ＜0”，设通项公式为a n ＝pn +q ，则p ＜0，n ∈N +， 即{a n }为递减数列，所以“{a n }为递减数列”是“存在正整数N 0，当n ＞N 0时，a n ＜0”的必要条件， 综上所述：“{a n }为递减数列”是“存在正整数N 0，当n ＞N 0时，a n ＜0”的充要条件． 故选：C ．6．已知点P （4，3），点Q 在x 2+y 2＝4的圆周上运动，点M 满足PM →=MQ →，则点M 的运动轨迹围成图形的面积为（ ） A ．πB ．2πC ．3πD ．4π解：设M （x ，y ），点P （4，3），点M 满足PM →=MQ →， 可得Q （2x ﹣4，2y ﹣3）， 点Q 在x 2+y 2＝4的圆周上运动， 可得（2x ﹣4）2+（2y ﹣3）2＝4， 即（x ﹣2）2+（y −32）2＝1，点M 的运动轨迹是以（2，32）为圆心，1为半径的圆，点M 的运动轨迹围成图形的面积为π． 故选：A ．7．等比数列{a n }，满足a 1+a 2+a 3+a 4+a 5＝3，a 12+a 22+a 32+a 42+a 52=15，则a 1﹣a 2+a 3﹣a 4+a 5的值是（ ）A ．3B ．√5C ．−√5D ．5解：设数列{a n }的公比为q ，且q ≠1，则a 1+a 2+a 3+a 4+a 5=a 1(1−q 5)1−q=3①，a 12+a 22+a 32+a 42+a 52=a 12(1−q 10)1−q 2=15②∴②÷①得a 12(1−q 10)1−q 2÷a 1(1−q 5)1−q=a 1(1+q 5)1+q=5，∴a 1﹣a 2+a 3﹣a 4+a 5=a 1(1+q 5)1+q=5． 故选：D ．8．过点P （2，0）作圆x 2+y 2﹣4y ＝1的两条切线，设切点分别为A ，B ，则△P AB 的面积为（ ） A ．3√158B ．√152C ．5√158D ．√15解：由题设，圆的标准方程为x 2+（y ﹣2）2＝5， 圆心为C （0，2），半径r =√5，所以|CP|=2√2，如图所示，切点分别为A ，B ，则|BP|=|AP|=√8−5=√3， 所以sin ∠BPC =|BC||CP|=√52√2，cos ∠BPC =|BP||CP|=32√2，又∠BP A ＝2∠BPC ，所以sin ∠BP A ＝sin2∠BPC ＝2sin ∠BPC cos ∠BPC =2√52√2×32√2=√154，所以S △PAB =12|BP||AP|sin∠BPA =12×√3×√3×√154=3√158． 故选：A ．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求、全部选对得5分，选对但不全得2分，选错或不答得0分，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 9．已知直线l ：x +my +m ＝0，若直线l 与连接A （﹣3，2），B （2，1）两点的线段总有公共点，则直线l 的倾斜角可以是（ ） A ．2π3B ．π2C ．π4D ．π6解：直线l ：x +my +m ＝0，即x +（y +1）m ＝0，故直线l 过定点C （0，﹣1）， A （﹣3，2），B （2，1）， 则k AC =2−(−1)−3−0=−1，k BC =1−(−1)2−0=1， 直线AC 的倾斜角为3π4，直线BC 的倾斜角为π4，直线l 与连接A （﹣3，2），B （2，1）两点的线段总有公共点， 则直线l 的倾斜角范围为[π4，3π4]．故选：ABC ．10．设S n ，T n 分别是等差数列{a n }和等比数列{b n }的前n （n ∈N *）项和，下列说法正确的是（ ） A ．若a 15+a 16＞0，a 15+a 17＜0，则使S n ＞0的最大正整数n 的值为15 B ．若T n =5n +c （c 为常数），则必有c ＝﹣1 C ．S 5，S 10﹣S 5，S 15﹣S 10必为等差数列D ．T 5，T 10﹣T 5，T 15﹣T 10必为等比数列解：令{a n }的公差为d ，则a n ＝a 1+（n ﹣1）d ＝dn +（a 1﹣d ）， 所以{a 15+a 16=2a 1+29d ＞0a 15+a 17=2a 1+30d ＜0，故−292d ＜a 1＜−15d ，且d ＜0，使S n =na 1+n(n−1)2d =d 2n 2+(a 1−d2)n ＞0， 则0＜n ＜1−2a1d ， 而29＜−2a 1d＜30， 即1−2a 1d∈(30，31)，故0＜n ≤30， 所以使S n ＞0的最大正整数n 的值为30，故A 错；令{b n }的公比为q 且q ≠0，则T n =b 1(1−q n )1−q =b 11−q −b 1⋅q n1−q =5n +c （公比不能为1），所以{q =5b 11−q=−1，即c ＝﹣1，故B 对；根据等差、等比数列片段和的性质知：S 5 S 10﹣S 5，S 15﹣S 10必为等差数列，T 5，T 10﹣T 5，T 15﹣T 10必为等比数列，C 、D 对． 故选：BCD ．11．已知等比数列{a n }的公比为q ，前n （n ∈N *）项和为S n ，前n （n ∈N *）项积为T n ，若a 1=132，T 5＝T 6，则（ ）A ．q ＝2B ．当且仅当n ＝6时，T n 取得最小值C ．T n ＝T 11﹣n （n ∈N *，n ＜11）D ．S n ＞T n 的正整数n 的最大值为11 解：根据题意，依次分析选项：对于A ，若T 5＝T 6，则a 6=T6T 5=1，又由a 1=132，则q 5=a6a 1=32，则q ＝2，A 正确；对于B ，由A 的结论，当1≤n ≤5时，a n ＜1，a 6＝1，当n ＞6时，a n ＞1，故当n ＝5或6时，T n 取得最小值，B 错误；对于C ，由A 的结论，a 6＝1，则有a n a 12﹣n ＝（a 6）2＝1， 当n ＜6时，11﹣n ＞n ，则有T 11−n T n =a n +1a n +2……a 10﹣n a 11﹣n ＝1，即T n ＝T 11﹣n ，同理：当6≤n ＜11时，也有T n ＝T 11﹣n ， 故T n ＝T 11﹣n （n ∈N *，n ＜11）成立，C 正确； 对于D ，若S n ＞T n ，即a 1(1−q n )1−q＞a 1a 2a 3……a n ，即2n −125＞2n 2−11n 2，当n ＝12时，S 12=212−125=27−132，T 12＝26，此时S n ＞T n ，D 错误．故选：AC ．12．已知圆C ：x 2+y 2＝4，圆M ：x 2+y 2﹣8x ﹣6y +m ＝0（ ） A ．若m ＝8，则圆C 与圆M 相交且交线长为165B ．若m ＝9，则圆C 与圆M 有两条公切线且它们的交点为（﹣3，﹣4） C ．若圆C 与圆M 恰有4条公切线，则m ＞16D ．若圆M 恰好平分圆C 的周长，则m ＝﹣4解：对于A ，m ＝8时，圆M ：（x ﹣4）2+（y ﹣3）2＝17，则M （4，3），半径r =√17． 而圆C ：x 2+y 2＝4中C （0，0），半径r ＝2，所以|CM |=√42+32=5， 故√17−2＜|CM|＜√17+2，即两圆相交，此时相交弦方程为4x +3y ﹣6＝0， 所以C （0，0）到4x +3y ﹣6＝0的距离d =65，故相交弦长为2×√22−(65)2=165，故A 正确； 对于B ，当m ＝9时，圆M ：（x ﹣4）2+（y ﹣3）2＝16，则M （4，3），半径r ＝4， 类似于A 的分析，可得4﹣2＜|CM |＜4+2，故两圆相交，故B 错误；对于C ，若圆C 与圆M 恰有4条公切线，则两圆相离，可得|CM |＞r +r ′＝2+r ， 而圆M ：（x ﹣4）2+（y ﹣3）2＝25﹣m ，即r =√25−m ，所以{25−m ＞02+√25−m ＜5，解得16＜m ＜25，故C 错误；对于D ，若圆M 恰好平分圆C 的周长，则相交弦所在直线必过C （0，0），两圆方程相减，可得相交弦方程为8x +6y ﹣m ﹣4＝0，将点代入可得m ＝﹣4，故D 正确． 故选：AD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案写在答题卡相应的位置上．13．若{a n }是公差不为0的等差数列，a 2，a 4，a 8成等比数列，a 1＝1，S n 为{a n }的前n （n ∈N *）项和，则1S 1+1S 2+⋯+1S 10的值为2011．解：设数列{a n }是公差d 不为0的等差数列，a 2，a 4，a 8成等比数列，a 1＝1， 故(a 1+3d)2=(a 1+d)(a 1+7d)，整理得（1+3d ）2＝（1+d ）（1+7d ），解得d ＝1； 故a n ＝1+（n ﹣1）＝n ， 所以S n =1+2+3+...+n =n(n+1)2， 故1S n=2n(n+1)=2(1n −1n+1)；所以1S 1+1S 2+⋯+1S 10=2(1−12+12−13+...+110−111)=2×1011=2011．故答案为：2011．14．平面直角坐标系xOy 中，过直线l 1：7x ﹣3y +1＝0与l 2：x +4y ﹣3＝0的交点，且在y 轴上截距为1的直线l 的方程为 9x +5y ﹣5＝0 ．（写成一般式）解：联立{7x −3y +1=0x +4y −3=0，解得x =531，y =2231，即直线l 1，l 2的交点（531，2231），由题意设l 的方程为：y ＝kx +1，即2231=531k +1，即k =−95，所以直线l 的方程为y =−95x +1， 即9x +5y ﹣5＝0． 故答案为：9x +5y ﹣5＝0．15．如图，第一个正六边形A 1B 1C 1D 1E 1F 1的面积是1，取正六边形A 1B 1C 1D 1E 1F 1各边的中点A 2，B 2，C 2，D 2，E 2，F 2，作第二个正六边形A 2B 2C 2D 2E 2F 2，然后取正六边形A 2B 2C 2D 2E 2F 2各边的中点A 3，B 3，C 3，D 3，E 3，F 3，作第三个正六边形，依此方法一直继续下去，则前n 个正六边形的面积之和为 4[1−(34)n ] ．解：由题设知：后一个正六边形与前一个正六边形的边长比值为√32， 故它们面积比为34， 所以前n 个正六边形的面积是首项为1，公比为34的等比数列， 所以前n 个正六边形的面积之和S =1−(34)n 1−34=4[1﹣（34）n ]． 故答案为：4[1﹣（34）n ]． 16．已知实数a ，b ，c 成等差数列，在平面直角坐标系xOy 中，点A （4，1），O 是坐标原点，直线l ：ax +2by +3c ＝0．若直线OM 垂直于直线l ，垂足为M ，则线段|AM |的最小值为 √2 ．解：因为实数a ，b ，c 成等差数列，所以2b ＝a +c ，所以直线l ：ax +2by +3c ＝0为ax +（a +c ）y +3c ＝0，整理得a （x +y ）+c （y +3）＝0，令{x +y =0y +3=0，解得x ＝3，y ＝﹣3， 即直线l 过定点（3，﹣3），设该点为点P ，如图所示，因为OM ⊥l ，所以点M 在以OP 为直径的圆上，该圆的圆心为Q （32，−32），半径为r =12|OP |=3√22， 所以|AM |≥|AQ |﹣r =√(4−32)2+(1+32)2−3√22=√2，当且仅当A ，M ，Q 三点共线时，等号成立， 所以线段|AM |的最小值为√2．故答案为：√2．四、解答题：本题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知直线l1：2x﹣（a﹣1）y﹣2＝0，l2：（a+2）x+（2a+1）y+3＝0（a∈R）．（1）若l1⊥l2，求实数a的值；（2）若l1∥l2，求l1，l2之间的距离．解：（1）因为l1⊥l2，可得2（a+2）﹣（a﹣1）（2a+1）＝0，即2a2﹣3a﹣5＝0，解得a＝﹣1或a=−5 2；（2）因为l1∥l2，则2（2a+1）＝（a+2）[﹣（a﹣1）]，且﹣2（2a+1）＝﹣（a﹣1）×3＝0，解得：a＝0或a＝﹣5（舍），所以直线l1的方程为：2x+y﹣2＝0，直线l2的方程：2x+y+3＝0．所以l1，l2之间的距离d=|−2−3|√2+1=√5．18．（12分）已知等差数列{a n}，前n（n∈N*）项和为S n，又a2＝4，S9＝90．（1）求数列{a n}的通项公式a n；（2）设b n＝|9﹣a n|，求数列{b n}的前n项和T n．解：（1）等差数列{a n}，前n（n∈N*）项和为S n，又a2＝4，S9＝90．设首项为a1，公差为d，所以{a1+d=49a1+9×82d=90，解得{a1=2d=2．故a n＝2n；（2）由（1）得：b n＝|9﹣a n|＝|9﹣2n|；当n≤4时，T n=7+9−2n2⋅n=8n−n2，当n≥5时，T n＝（b1+b2+b3+b4）﹣（b5+b6+...+b n）＝32﹣（8n﹣n2）＝n2﹣8n+32．故T n={8n−n2(n≤4的正整数)n2−8n+32(n≥5的正整数)．19．（12分）已知数列{a n}的首项a1=23，且满足a n−1=2a na n+1．（1）求证：数列{1a n−1}为等比数列；（2）设b n=(−1)n−1a n，求数列{b n}的前2n项和S2n．证明：（1）因为a n+1=2a n a n +1，a 1=23，所以a n ≠0， 所以1a n+1=a n +12a n =12a n +12，所以1a n+1−1=12a n −12， 因为a 1=23，1a 1−1=12≠0，1a n+1−11a n −1=12， 所以{1a n −1}是以12为首项，12为公比的等比数列； （2）S 2n =1a 1−1a 2+1a 3−1a 4+⋯+1a 2n−1−1a 2n=(1a 1−1)−(1a 2−1)+(1a 3−1)−(1a 4−1)+⋯+(1a 2n−1−1)−(1a 2n−1)． 又{1a n −1}是以12为首项，−12为公比的等比数列， 所以S 2n =12[1−(−12)2n ]1−(−12)=1−(12)2n 3=4n−13×4n ． 20．（12分）如图，等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝2CD ＝8，AB ，CD 间的距离为4，以线段AB 的中点为坐标原点O ，建立如图所示的平面直角坐标系xOy ，记经过A ，B ，C ，D 四点的圆为圆M ．（1）求圆M 的标准方程；（2）若点E 是线段AO 的中点，P 是圆M 上一动点，满足PO →•PE →≥24，求动点P 横坐标的取值范围．解：（1）如图，因为AB ＝2CD ＝8，AB ，CD 间的距离为4，所以A （﹣4，0），B （4，0），C （2，4），D （﹣2，4），则经过A ，B ，C ，D 四点的圆即经过A ，B ，C 三点的圆，又AB 中垂线方程为x ＝0，BC 中点为（3，2），k BC =0−44−2=−2， 所以BC 的中垂线方程为y −2=12(x −3)，即y =12x +12，联立{x =0y =12x +12，得圆心坐标M(0，12)， 则MB =√(4−0)2+(0−12)2=√652，所以圆M 的标准方程为x 2+(y −12)2=654；（2）由已知可得E （﹣2，0），设圆M 上一点P （x ，y ），则PO →=(−x ，−y)，PE →=(−2−x ，−y)，因为PO →⋅PE →≥24，所以﹣x （﹣2﹣x ）+（﹣y ）（﹣y ）≥24，即x 2+y 2+2x ﹣24≥0，所以P 点在圆（x +1）2+y 2＝25上及其外部，联立{x 2+y 2−y −16=0x 2+y 2+2x −24=0， 解得x 1＝2，x 2＝4，所以两圆交点恰为B （4，0），C （2，4），结合图形，当圆M 上一点纵坐标为12时，横坐标为x 3=√652＞4，所以点P 横坐标的取值范围是[2，√652]．21．（12分）平面直角坐标系xOy 中，直线l ：3x +2y ﹣13＝0，圆M ：x 2+y 2﹣12x ﹣8y +48＝0，圆C 与圆M 关于直线l 对称，P 是直线l 上的动点．（1）求圆C 的标准方程；（2）过点P 引圆C 的两条切线，切点分别为A ，B ，设线段AB 的中点是Q ，是否存在定点H ，使得|QH |为定值，若存在，求出该定点H 的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）圆M ：（x ﹣6）2+（y ﹣4）2＝4，圆心M （6，4），设圆心C （x 0，y 0），由圆C 与圆M 关于直线l ：3x +2y ﹣13＝0对称，所以{y 0−4x 0−6=233×x 0+62+2×y 0+42−13=0，即{3y 0=2x 03x 02+y 0=0， 解得{x 0=0y 0=0，所以C （0，0），又r ＝2， 故圆C 的方程为x 2+y 2＝4；（2）因为P 是直线l 上的动点，设P(2t ，132−3t)， P A ，PB 分别与圆C 切于A ，B 两点，所以CA ⊥P A ，CB ⊥PB ， 所以A ，B 在以PC 为直径的圆N 上，圆N 的方程x(x −2t)+y[y −(132−3t)]=0， 即x 2+y 2−2tx +(3t −132)y =0，又AB 为圆C 与圆N 的公共弦，由{x 2+y 2−4=0x 2+y 2−2tx +(3t −132)y =0， 作差可得AB 的方程为2tx −(3t −132)y −4=0，即t(2x −3y)+132y −4=0， 令{2x −3y =0132y −4=0，得{x =1213y =813， 设T(1213，813)，则直线AB 过定点T(1213，813)， 又Q 是AB 中点，所以CQ ⊥AB ，所以Q 点是在以CT 为直径的圆上，所以存在点H （613，413）是CT 的中点，使得QH 为定值．22．（12分）记首项为1的递增数列为“W ﹣数列”．（1）已知正项等比数列{a n }，前n （n ∈N *）项和为S n ，且满足：a n +2＝2S n +2． 求证：数列{a n }为“W ﹣数列”；（2）设数列{b n }(n ∈N ∗)为“W ﹣数列”，前n （n ∈N *）项和为S n ，且满足∑b i 3=S n 2(n ∈N ∗)ni=1．（注：∑b i 3=b 13+b 23+⋯+b n 3n i=1） ①求数列{b n }的通项公式b n ；②数列{c n }(n ∈N ∗)满足c n =b n 33b n ，数列{c n }是否存在最大项？若存在，请求出最大项的值，若不存在，请说明理由．（参考数据：√2≈1.41，√33≈1.44）证明：（1）设正项等比数列{a n }的公比为q （q ＞0），因为a n +2＝2S n +2，则a n +3＝2S n +1+2，两式相减得a n +3﹣a n +2＝2a n +1， 即a n+1(q 2−q −2)=a n+1(q −2)(q +1)=0因为a n ＞0，q ＞0，所以q ＝2，a n +2＝2S n +2中，当n ＝1时，有a 3＝2a 1+2，即4a 1＝2a 1+2，解得a 1＝1， 因此数列{a n }为“W ﹣数列”；解：（2）①因为∑b i 3=S n 2(n ∈N ∗)ni=1所以b 13=b 12，得又{b n }为“W ﹣数列”， 所以b 1＝1，且b n +1＞b n ，所以{b n }各项为正数，当n ≥2，∑b i 3=S n 2n i=1①，∑b i 3=S n−12n−1i=1②，①一②得：b n 3=S n 2−S n−12，即b n 3=(S n −S n−1)(S n +S n−1)，所以b n 2=S n +S n−1③，从而b n+12=S n+1+S n ④，④﹣③得：b n+12−b n 2=b n+1+b n ， 由于{b n }为“W ﹣数列”，必有b n +1+b n ＞0，所以b n +1﹣b n ＝1，（n ≥2），又由③知b 22=S 2+S 1，即b 22=2b 1+b 2，解得b 2＝2或b 2＝﹣1（舍）；所以b 2﹣b 1＝1，故b n+1−b n =1(n ∈N ∗)，所以{b n }是以1为首项，公差是1的等差数列，所以b n ＝n ；②c n =n 33n ＞0，所以c n+1c n =13(n+1n)3＜1， 整理得n √33−1≈2.27，所以当n ≥3时，c n +1＜c n ，即c 3＞c 4＞c 5＞⋯，又c 1=13，c 2=89，c 3=1，所以{c n }中存在最大项，为c 3＝1．。
2023-2024学年江苏省苏州中学高二(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年江苏省苏州中学高二（上）期中数学试卷一、单选题（每题5分，共8题。
选对得5分，选错或不选得0分） 1．已知直线l 的方程为x +√3y −1=0，则直线的倾斜角为（ ） A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°2．已知等差数列{a n }满足4a 3＝3a 2，则{a n }中一定为零的项是（ ） A ．a 6B ．a 4C ．a 10D ．a 12 3．在等比数列{a n }中，a 2，a 10是方程x 2﹣6x +4＝0的两根，则a 3a 9a 6=（ ） A ．2B ．﹣2C ．﹣2或2D ．3±√54．直线l ：y ＝kx +1与圆O ：x 2+y 2＝1相交于A ，B 两点，则“k ＝1”是“|AB |=√2”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．已知圆x 2+y 2＝4上有四个点到直线y ＝x +b 的距离等于1，则实数b 的取值范围为（ ） A ．(−√2，√2)B ．[−√2，√2]C ．（﹣2，2）D ．（﹣1，1）6．某家庭打算为子女储备“教育基金”，计划从2021年开始，每年年初存入一笔专用存款，使这笔款到2027年底连本带息共有40万元收益．如果每年的存款数额相同，依年利息2%并按复利计算（复利是一种计算利息的方法，即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息），则每年应该存入约（ ）万元．（参考数据：1.027≈1.149，1.028≈1.172） A ．5.3B ．4.6C ．7.8D ．67．已知数列{a n }满足a 1=2，a n+1={a n +1，n 为奇数a n +3，n 为偶数，记b n ＝a 2n ﹣1，则（ ）A ．b 1＝3B ．b 2＝8C ．b n +1﹣b n ＝4D ．b n ＝4n +28．已知圆O ：x 2+y 2＝1，点P （x 0，y 0）是直线l ：3x +2y ﹣4＝0上的动点，若圆O 上总存在不同的两点A ，B ，使得直线AB 垂直平分OP ，则x 0的取值范围为（ ） A ．(0，2413)B ．(0，2413]C ．[−1013，2)D ．(−1013，2)二、多选题（每题5分，共4题。
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江苏省高二上学期期中数学试卷
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、选择题 (共18题；共36分)
1. （2分） (2019高一上·汉中期中) 关于的不等式，解集为，则不等式
的解集为（）
A .
B .
C .
D .
2. （2分） (2018高一下·六安期末) 已知，给出4个表达式：① ，② ，
③ ，④ .其中能作为数列：0，1，0，1，0，1，0，1，…的通项公式的是（）
A . ①②③
B . ①②④
C . ②③④
D . ①③④
3. （2分）(2018·重庆模拟) 某几何体的三视图如图所示，其正视图和侧视图是全等的正三角形，其俯视图中，半圆的直径是等腰直角三角形的斜边，若半圆的直径为2，则该几何体的体积等于（）
A .
B .
C .
D .
4. （2分） (2016高二上·南阳期中) 不等式＞1的解集为（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞），则不等式x2+ax ﹣2b＜0的解集为（）
A . （﹣3，﹣2）
B .
C . （﹣∞，﹣3）∪（﹣2，+∞）
D .
5. （2分）已知公差不为零的等差数列的第k、n、p项构成等比数列的连续三项，则等比数列的公比为（）
A .
B .
C .
D .
6. （2分） (2016高一下·正阳期中) 下列四个结论：
①两条直线都和同一个平面平行，则这两条直线平行；
②两条直线没有公共点，则这两条直线平行；
③两条直线都和第三条直线垂直，则这两条直线平行；
④一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点，则这条直线和这个平面平行．
其中正确的个数为（）
A . 0
B . 1
C . 2
D . 3
7. （2分）如果a，b，c满足，且，那么下列选项中不一定成立的是（）
A .
B . c(b-a)>0
C .
D . ac(a-c)<0
8. （2分） (2019高二上·集宁月考) 设变量，满足约束条件，则的最大值是（）
A . 7
B . 8
C . 9
D . 10
9. （2分） (2016高二上·怀仁期中) 已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同的平面，且n⊂β，则下列叙述正确的是（）
A . 若m∥n，m⊂α，则α∥β
B . 若α∥β，m⊂α，则m∥n
C . 若m∥n，m⊥α，则α⊥β
D . 若α∥β，m⊥n，则m⊥α
10. （2分） (2019高三上·安康月考) 等比数列的前项和为，若，，则
（）
A . 5
B . 10
C . 15
D . -20
11. （2分） (2019高一下·韶关期末) 如图是正方体的展开图，则在这个正方体中：
① 与平行；② 与是异面直线；③ 与成60°角；④ 与垂直．以上四个命题中，正确命题的序号是（）
A . ①②③
B . ②④
C . ③④
D . ②③④
12. （2分）(2018·广东模拟) 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的各条棱中，最长的棱与最短的棱所在直线所成角的正切值为（）
A .
B .
C .
D .
13. （2分） (2016高二上·金华期中) 正四棱锥的侧棱长为，侧棱与底面所成的角为60°，则该棱锥的体积为（）
A . 3
B . 6
C . 9
D . 18
14. （2分）已知点是圆C:内任意一点，点是圆上任意一点，则实数
（）
A . 一定是负数
B . 一定等于0
C . 一定是正数
D . 可能为正数也可能为负数
15. （2分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是棱A1B1的中点，则A1B与D1E所成角的余弦值为（）
A .
B .
C .
D .
16. （2分） (2019高一上·郁南期中) 已知f(x)=(m-1)x2+2mx+3为偶函数,则f(x)在(-5,-2)上是（）.
A . 增函数
B . 减函数
C . 部分为增函数,部分为减函数
D . 无法确定增减性
17. （2分）学校餐厅每天供应500名学生用餐，每星期一有A、B两种菜可供选择．调查表明，凡是在这星期一选A菜的，下星期一会有20%改选B菜；而选B菜的，下星期一会有30%改选A菜．用an表示第n个星期一选A的人数，如果a1=428，则a6的值为（）
A . 301
B . 304
C . 306
D . 308
18. （2分）在R上定义运算*：x*y=x•（1﹣y）．若关于x的不等式x*（x﹣a）＞0的解集是集合{x|﹣1≤x≤1}的子集，则实数a的取值范围是（）
A . [0，2]
B . [﹣2，﹣1）∪（﹣1，0]
C . [0，1）∪（1，2]
D . [﹣2，0]
二、填空题 (共4题；共5分)
19. （2分） (2019高二下·上虞期末) 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________，表面积为________．
20. （1分） (2019高二下·海安月考) 已知是公差不为0的等差数列，是等比数列，且，
，，，若存在常数对任意正整数都有，则 ________．
21. （1分） (2016高二下·五指山期末) 已知a，b＞0，且满足3a+4b=2，则ab的最大值是________
22. （1分） (2020高二下·上海期中) 给出下列命题：
①任意三点确定一个平面；
②三条平行直线最多可以确定三个个平面；
③不同的两条直线均垂直于同一个平面，则这两条直线平行；
④一个平面中的两条直线与另一个平面都平行，则这两个平面平行；
其中说法正确的有________（填序号）.
三、解答题 (共3题；共35分)
23. （15分） (2019高一上·南京期中) 已知函数 .
（1）当时，求函数的值域；
（2）若函数的最大值是，求的值；
（3）已知，若存在两个不同的正数，当函数的定义域为时，的值域为
，求实数的取值范围.
24. （10分） (2019高一下·吉林期末) 如图，在直三棱柱中，，，是棱的中点．
（1）求证：；
（2）求证：．
25. （10分） (2016高二上·宁阳期中) 已知数列{an}是递增的等比数列，且a1+a4=9，a2a3=8．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设Sn为数列{an}的前n项和，bn= ，求数列{bn}的前n项和Tn ．。