高中数学解题方法系列：函数求极值问题的6种方法

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求极值的方法与技巧

求极值的方法与技巧
一、求函数极值的最基本方法
1、用微积分中的导数（Derivatives）法。

即要求函数极值问题，可
以将其转化为求解极值点，也就是求求函数的导函数为0时，函数的值最
大最小的解，即求函数的极值点。

2、用泰勒展开（Taylor Series）法。

这是一种利用因式分解法求函
数极值。

如果一个函数f(x)可以被表示为f(x)，则它就可以按一定形式
分解成：f(x)=a₁+a₂x+a₃x2+a₄x3....，在这种分解的基础上，再算出
f'(x)=a₂+2a₃x+3a₄x2....，将f'(x)的值设置为0，即可求出此时函数f(x)的极值点。

3、用函数增减（Functional Increasing and Decreasing）法：研
究函数的单调增减性，通过对函数的单调增减性来判断函数的极大值和极
小值。

根据单调性原理，函数在单调递增的区间或单调递减的区间内，极值
只有一个，该函数极值即为极大值或极小值。

当函数在同一区间内的一些
点发生折点时，这个折点对应的函数值，即为函数在整个区间的极值，此
时的折点为函数的极值点。

二、极值点的确定方法
1、求解函数的单调性。

单调性主要是指函数在其中一区间上的曲线
轨迹是单调递增或者是单调递减的。

当函数在区间内的特定点发生折点时，这个折点就是函数的极值点。

2、求解导函数的。

高考复习专题四—求极值的六种方法

高考复习专题四—求极值的六种方法高中学生可以体会
1.极值的定义
极值（extremum）是指函数在其中一区间的最大值或最小值。

也就是说，当函数在一定范围内取得最大（或最小）值时，该值称为該函数在该范围上的极值。

2.求极值的六种方法
（1）最值法
即直接从函数的图形上来确定函数最大值和最小值，只要找到这样的定义域点，使它是图的最高点或最低点，那么该点就是函数的极大值或极小值点。

（2）十字法
即使用十字观测的方法，通过求解相邻两点的切线的斜率，搭配图形定义域，确定函数的极值点，进而确定函数的最大值和最小值。

（3）观察法
即对函数进行全面性的观察，然后根据函数的规律，用数值验证的方法，确定该函数的最大值和最小值。

（4）求导数法
即通过求解函数的导数，然后观察函数的单调性，从而求得函数的极值点，进而确定函数的最大值和最小值。

（5）二分法
即把定义域分成二份，根据函数的单调性，确定极值点，从而确定函数的最大值和最小值。

（6）逐段求和法
即把定义域分成多份，根据函数的单调性，对每一点分段求解，确定极值点，从而确定函数的最大值和最小值。

高等数学求极值的方法

高等数学求极值的方法求解函数的极值是高等数学中的一个重要内容，可以通过求导和利用导数的性质来进行。

下面将详细介绍求极值的方法。

一、求解函数极值常用的方法有以下几种：1. 初等函数判断法：对于初等函数，可以通过观察函数的定义域、性质和图像特点来判断极值点的存在。

比如对于多项式函数，一阶导数为零时，可以判断函数是否有极值点。

2. 导数判别法：求解函数极值最常用的方法是导数判别法，即利用函数的导数来判断极值点的存在和类型。

3. 高阶导数法：当一阶导数判断不出结果时，可以使用高阶导数进行判别，求解函数的极值。

4. 参数化法：对于含参数的函数，可以通过参数化的方法来求解极值。

二、导数判别法的具体步骤：1. 求导数：对给定的函数进行求导，得到一阶导数和二阶导数。

2. 导函数为零的点：将一阶导数等于零的点求出，并分别判断这些点是否为极值点。

一阶导数等于零的点称为驻点，而极值点必定是驻点。

(1) 当驻点是极大值点时，其对应的二阶导数小于零。

(2) 当驻点是极小值点时，其对应的二阶导数大于零。

3. 极值点的判别：对于一些特殊函数，如周期函数和反函数，还需要考虑边界点的极值判别。

4. 得出结论：根据以上的步骤，得出函数极值的存在和类型。

三、高阶导数法的具体步骤：当一阶导数判断不出结果时，可以通过高阶导数来进行进一步的判断。

1. 求取二阶导数：对给定的函数进行两次求导，得到二阶导数。

2. 极值点的判别：对于一阶导数等于零的驻点，通过二阶导数的正负性来判断其类型。

(1) 当二阶导数大于零时，驻点为极小值点。

(2) 当二阶导数小于零时，驻点为极大值点。

3. 极点的存在性判断：根据二阶导数的正负性，判断函数的定义域是否存在极大值点和极小值点。

4. 得出结论：根据以上的步骤，得出函数极值的存在和类型。

四、参数化法的具体步骤：当给定的函数为参数方程时，可以通过参数化的方法来求解函数的极值。

1. 将函数进行参数化：将给定的函数进行参数化，得到新的函数形式。

求极值的若干方法

求极值的若干方法求解函数的极值是数学分析中重要的问题之一、找出函数的极值可以帮助我们确定函数的最大值或最小值，并且有助于解决各种实际问题。

本文将介绍常见的求解极值的若干方法。

一、导数法（一阶导数法、二阶导数法）导数是函数在其中一点的变化率，求导数的过程可以帮助我们确定函数的增减性，从而找出函数的极值点。

常见的导数法包括一阶导数法和二阶导数法。

1.一阶导数法：首先求函数的一阶导函数，然后将导函数等于零，解出方程得到函数的临界点，再将临界点代入函数，找出对应的函数值，最终从函数值中找出最大值或最小值。

2.二阶导数法：首先求函数的二阶导函数，然后将二阶导函数等于零，解出方程得到函数的拐点，再将拐点代入函数，找出对应的函数值，最终从函数值中找出最大值或最小值。

二阶导数法可以帮助我们判断函数的临界点是极值点还是拐点。

二、边界法（最大最小值定理）边界法是基于最大最小值定理求解函数极值的方法。

最大最小值定理指出，在闭区间内的连续函数中，最大值和最小值一定存在。

因此，我们可以通过求解函数在闭区间端点和临界点处的函数值，找出函数的最大值或最小值。

三、拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法是用于求解带约束条件的极值问题的方法。

在求解极值问题时，如果还存在一些约束条件，可以引入拉格朗日乘数，通过构建拉格朗日函数，将约束条件加入目标函数中，然后求解拉格朗日函数的极值点。

最终，通过求解得到的极值点，再进行函数值的比较，找出最大值或最小值。

四、二分法二分法是一种在有序列表中查找特定元素的方法，也可以用于求解函数的极值。

二分法的基本思想是通过将区间一分为二，然后比较中间点与两侧点的大小关系，逐步缩小范围，最终找出函数的极值点。

二分法的效率较高，适用于一些连续单调函数。

五、牛顿法牛顿法是一种用于求解多项式函数的根的方法，也可以用于求解函数的极值。

牛顿法的基本思想是通过构建一个逼近曲线，以曲线与函数的交点为新的逼近值。

然后不断迭代逼近，最终找到函数的极值点。

高考复习专题四—求极值的六种方法

高考复习专题四—求极值的六种方法求极值是高考数学中常考的一个重要知识点。

掌握求极值的方法能够帮助我们解决一些实际问题，也能够在高考中拿到高分。

下面我们来分析一下求极值的六种方法。

一、函数图象法通过观察函数的图象，我们可以找到函数的极大值和极小值。

要找到函数的极值，首先我们需要画出函数的图象。

然后观察图象，找到曲线上最高点和最低点，这些点就是函数的极大值和极小值。

二、导数法借助导数的性质，我们可以求出函数的极值点。

求极值点的过程分为两步：一是求出函数的导数；二是令导数等于零，解方程求出极值点。

极大值和极小值点都是函数导数等于零的点，但是需要注意导数为零的点不一定都是极值点，还需通过二阶导数判断。

三、拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法是一种求极值的常用方法，它可以用来求解具有约束条件的极值问题。

当我们需要在一定条件下最大化或最小化一个函数时，可以利用拉格朗日乘数法。

在解题过程中，我们需要设置一个拉格朗日函数，通过求偏导数找到极值点。

需要注意的是，拉格朗日乘数法的求解过程较为繁琐，需要较强的数学功底。

四、几何法有些极值问题通过几何方法可以得到比较简单的解法。

例如，其中一函数的值随着其中一个变量的增大而增大，那么这个函数的最大值一定在这个变量的取值范围的边界上取到。

同理，这个函数的最小值也在这个变量的取值范围的边界上取到。

五、代数方法有时候，我们可以通过巧妙地构造一个代数式来求解极值问题。

可以使用变量代换、平方等技巧，将原问题转化为一个更容易求解的问题。

例如，利用平方差公式可以将一个含有平方项的多项式转化为一个差的平方的形式，从而更容易求得极值点。

六、综合运用方法有些问题的求极值过程比较复杂，需要综合运用上述多种方法来求解。

在解题过程中，我们可以根据题目的要求和条件，灵活地选择合适的方法来求解。

以上是求极值的六种方法的解析。

在高考复习中，我们需要理解这些方法的原理和应用场景，并通过大量的练习来提高解题的能力。

函数求极值的方法总结

函数求极值的方法总结一、利用二次方程的判别式求极值在求某一类分式函数的极值时，若其分子或分母是关于x的二次式，可将其变为关于x的一元二次方程，依据x在实数范围内有解，由判别式求的。

例1、求函数y=求函数极值的若干方法的极值。

解：将原函变形为关于x的二次方程(y1)x 求函数极值的若干方法 2yx3y=0∵x∈R，且x≠3，x≠1，∴上方程在实数范围内肯定有解。

△= (2y) 求函数极值的若干方法4 (3y)(y1)= 4y(4y3)≥0解之得y≤0 或y≥ 求函数极值的若干方法这里虽然y无最大〔小〕值，但对应于y=0和y= 求函数极值的若干方法的x分别为x=0和x=3，所以当x=0时，y有极大值0，当x=3时，y有微小值求函数极值的若干方法。

例2、求函数y= 求函数极值的若干方法的值域。

解：将原函数变形得：y+yx 求函数极值的若干方法 =2x∵x∈R，∴△= 44y 求函数极值的若干方法≥0，解之得：1≤y≤1∴函数y= 求函数极值的若干方法值域为[1，1]由上面两例可以看出，用二次方程的判别式求函数的极值时，事实上就是将y看作x的系数，利用函数的定义域非空，即方程有解，将问题转化为解一元二次不等式。

但要留意的是：在变型过程中，可能会将x的取值范围扩大，但所求函数的极值肯定在不等式的解集内，此时，要留意检验，即招2出y取极值时的x是否有意义，若无意义必需舍去，再重新考虑其极值。

二、利用倒数关系求极值对于有些分式函数，当其分子不含变量时，可由分母的极值来求整个函数的极值。

例3、求函数y=2 求函数极值的若干方法的最小值。

解：∵x 求函数极值的若干方法 2x+6 = (x1) 求函数极值的若干方法 +5＞0∴函数的定义域为一切实数，又由 x 求函数极值的若干方法2x+6=(x1) 求函数极值的若干方法 +5 知当x=1时，求函数极值的若干方法取最小值求函数极值的若干方法 ,∴ 求函数极值的若干方法取最大值求函数极值的若干方法 ,此时 y=2 求函数极值的若干方法取最小值 2 求函数极值的若干方法 ,即当x=1时，有y的最小值是 2 求函数极值的若干方法。

函数极值的求解方法

函数极值的求解方法函数极值是许多数学问题中的关键，它们可以帮助我们确定函数的最大值或最小值。

在现实生活的许多场景中，寻找函数的极值可以帮助我们做出更好的决策。

然而，函数极值的求解方法并不是那么容易的事情。

在本文中，我们将探讨一些常见的函数极值求解方法。

一. 常数法常数法是最简单的寻找函数极值的方法。

这个方法认为，如果一个函数在某一个点处取得了最大值或最小值，那么这个点的一阶导数应该等于零。

因此，我们只需要求出函数的一阶导数，然后令它等于零，就可以求出函数的极值点。

常数法的优点在于其简单和直观，而且可以用于多种函数形式。

然而，这个方法也有缺点，因为函数可能在极值点处不连续，或者在这些点处存在重复的极值。

此外，它也无法处理高次导数。

二. 二分法二分法是另一个寻找函数极值的方法。

这个方法认为，如果一个函数在某个区间内单调递增，那么它在这个区间的左端点处取得最小值，在右端点处取得最大值。

因此，我们可以通过二分法来不断缩小区间，直到确定函数的极值。

二分法的优点在于其简单和直观，而且可以用于多种函数形式。

此外，它也可以处理高次导数和函数不连续的情况。

然而，这个方法需要反复迭代，所以运算速度可能不够快。

三. 牛顿法牛顿法是一种迭代算法，用于逼近函数的极值点。

这个方法认为，如果一个函数在某个点上有极值，那么它在这个点的一阶导数应该等于零。

我们可以通过不断迭代来逼近函数的极值点。

牛顿法的优点在于其快速收敛和可以处理高次导数的能力。

然而，这个方法有一些缺点。

首先，它需要一个初始点。

如果初始点不好选择，那么该算法可能会失败。

其次，当函数有多个极值点时，牛顿法可能只能找到其中一个。

最后，这个方法可能会遭遇数值上的问题，如数值不稳定、迭代过程崩溃等。

综上所述，常数法、二分法和牛顿法都是常见的函数极值求解方法。

每种方法都有优缺点，需要根据具体情况选择最适合的方法。

对于某些特定的函数形式，可能还需要使用更复杂的方法，如拉格朗日乘数法、约束条件下极值法等。

计算函数极值的方法

计算函数极值的方法
计算函数极值的方法，主要有几种：一是微分法；二是关联函数法；三是拉格朗日法，以及常用的圆锥法。

1、微分法：
即将函数的参数进行调整，并根据函数的导数相等或为0的原理，来求得函数的极值点。

具体来说，可以计算出函数f(x)的导数f '(x)，并设置f'（x）= 0，求解出f（x），因此即可找出极值点。

2、关联函数法：
通过把函数的极值问题重新定义为某种关联函数的极值的搜索问题，然后借助关联函数的性质求得变量的极值。

这是一种特殊的求极值方法，只有当函数可以重新定义为关联函数时，才能使用此方法。

3、拉格朗日法：
这是一种优化算法，即把求极值问题转化为一个最优化问题，通过求解最优点，来求得函数的极值点。

4、圆锥法：
圆锥法也称为泰勒-展开式法，是在函数f（x）的某一点处对f （x）做一次二阶导数的展开。

展开后的表达式可以用圆的形
式表示，因此这种方法称为圆锥法。

以上是求取函数极值的方法，可以根据函数的特性，选择合适的方法来计算函数的极值点。

求极值的方法与技巧

求极值的方法与技巧求极值是数学中的重要问题，涉及到函数的最大值和最小值。

在解决求极值的问题时，有一些常用的方法和技巧可以帮助我们更好地处理。

一、导数法求极值最常用的方法之一就是导数法。

导数是函数变化率的一种测量方式，通过求函数的导数，可以找到函数的临界点，即函数取得极值的点。

1.寻找导数为零的点极值点在导函数为零的点上，因此可以通过求导数，令导数等于零并解方程，得到函数的极值点。

求导数时，需要注意函数定义域和导数存在的条件。

2.寻找导数不存在的点导数不存在的点也可能是函数的极值点，可以通过求导数，找到函数导数不存在的点。

3.寻找导数符号变化的点如果函数在其中一区间内导数的符号发生变化，那么这个区间内一定存在极值点。

可以通过列出导数符号变化的条件，找到极值点所在的区间。

二、函数图像法函数图像是函数性质的直观表达。

通过观察函数的图像特征，可以找到函数的极值点。

1.求函数的零点函数零点是函数与横轴交点的横坐标，也是函数的极值点。

可以通过求解函数的零点，得到函数的极值点。

2.寻找函数上下凹区域函数在上凹区域和下凹区域会有极值点存在。

可以通过函数的二阶导数（二阶导数大于零的区域为上凹区域，小于零的区域为下凹区域）找到函数的凹凸性，从而确定极值点所在的区域。

3.观察振荡特征如果函数在其中一区间内振荡变化，那么该区间内一定存在极值点。

可以通过观察函数的振荡特征，找到函数的极值点。

三、辅助工具法除了导数法和函数图像法外，还可以借助辅助工具来求极值。

1.使用微积分软件微积分软件可以帮助我们对函数进行求导和求积等计算，大大简化了求极值的过程。

可以通过微积分软件的计算功能，得出函数的极值点。

2.英文和图表分析有时，通过阅读相关文献或分析数据图表，我们可以发现规律，从而找到函数的极值点。

这种方法可以在应用领域中得到广泛应用。

总结起来，求取极值的方法与技巧主要包括导数法、函数图像法和辅助工具法。

其中，导数法是求解极值最常用的方法，通过求函数的导数，找到其临界点即为极值点；函数图像法通过观察函数图像特征、求函数的零点和凹凸区域来找到极值点；辅助工具法则借助于微积分软件、英文和图表分析等辅助工具来求解极值。

求极值的方法有多少种类型

求极值的方法有多少种类型
求极值的方法有以下几种类型：
1. 导数法：通过求函数的导数，找到导数为0的点，然后判断该点是极大值还是极小值。

2. 二阶导数法：通过求函数的二阶导数，判断二阶导数的符号来确定极值点的类型。

3. 等式法：将函数的表达式转化为一个等式，然后通过解等式的方法找到极值点。

4. 梯度下降法：通过迭代的方式，不断地调整自变量的取值，使得函数的值逐渐趋近于极小值。

5. 约束条件法：在一定的约束条件下，找到函数的最大值或最小值。

6. 极值判别法：通过判别式来判断函数的极值点的类型。

7. 极值定理：根据极值定理，如果函数在一个区间内连续且可导，并且在该区间的端点处的函数值不等于无穷大，则在该区间内一定存在极值点。

8. 拉格朗日乘数法：在一定的约束条件下，通过引入拉格朗日乘子，将求极值的问题转化为求解方程组的问题。

9. 条件极值法：在满足一定的条件下，求解函数的最值。

10. 数值优化法：通过计算机的数值计算方法，找到函数的最值近似解。

高中数学解题方法系列：函数求极值问题的6种方法

高中数学解题方法系列：函数求极值问题的6种方法对于一个给定的函解析式，我们如果能大致作出其对应的函数图像，那么函数的许多性质都可以通过图像客观地反应出来。

因此，只要我们做出了函数图像，那么我们就可以根据图像找到极值点，从而求出函数的极值。

下面，我就从几个方面讨论一下，函数图象在求极值问题中的应用。

一、函数解析式中含有绝对值的极值问题。

我们给出问题的一般形式，设a≤x≤b,求函数∑=+=n i bi x ai y 1的极值。

很容易判断该函数为分段函数，其对应的图像是折线，因此只要做出函数的图像那么就可以准确的找出函数的极值点。

例1 设－2≤x≤3，求函数12+++-=x x x y 的最值。

解：若将函数示为分段函数形式。

作出函数图像根据图像我们可以判断：当x=0,min y 3=；当x=3,max y 8=,对此类型问题的思考：当函数解析式含有较多绝对值符号的时候，如果我们仍然通过做出函数图像来求解极值，那么过程就非常复杂。

那么是否有更简单的方法呢？经过对问题的分析，我们发现函数的极值点要么出现在函数定义域的端点，要么出在函数图像的拐点(使函数中某一个绝对值部分为零的点）因此我们只需将这些点求出来并代入函数解析式求出其所对应的值。

经过比较就得出了极值例如上题：f(－2)=7、f(－1)=4、f(0)=3、f(2)=5、f(3)=8、3min =y 、max y =8，据此我们下面给出解决这一类问题更一般的方法。

max y =max ｛f(bi)、i=1、2、3……n ｝, min y =min ｛f(－bi),i=1、2、3……n ｝.二、将极值问题转化为几何问题。

运用此方法解决极值问题关键在于深刻理解，挖掘解析式所蕴含的几何意义。

1. 转化为求直线斜率的最值。

例2 求函数θθsin 3cos 2-+=y 的最值分析函数解析式非我们常见的函数模型。

通过分析我们发现该函数可以看做过点A （3、2）与B （sin θ、－cos θ）两点直线的斜率。

数学方法求极值的问题

数学方法求极值的问题数学中的极值问题是指在一定的条件下，寻找一个函数的最大值或最小值的问题。

这个问题在实际生活中有着广泛的应用，例如在经济学中，我们希望在一定的限制条件下获得最大的利润；在物理学中，我们希望找到最短的路径或最小的时间等。

为了解决这类问题，数学家们发展了一系列求极值的方法。

一、导数法导数法是求解极值问题最常用的方法之一、它基于函数在极值点处的导数为零的性质。

具体步骤如下：1.找出待求最值函数$f(x)$；2.求函数$f(x)$的导函数$f'(x)$；3.解方程$f'(x)=0$，得到极值点的$x$坐标；4.将极值点的$x$坐标代入原函数$f(x)$中，求得极值点的$y$坐标。

二、拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法是一种求解带约束条件下极值问题的常用方法。

当我们在求解极值问题时，需要满足一定的限制条件，例如在一些区间上求解、在特定约束条件下求解等。

这时，我们可以使用拉格朗日乘数法来求解。

具体步骤如下：1.确定目标函数$f(x)$和约束条件$g(x,y,...)=0$；2. 构建拉格朗日函数$L=f(x)-\lambda g(x,y,...)$，其中$\lambda$为拉格朗日乘子；3. 求出$L$对$x,y,...,\lambda$的偏导数并令其为零；4. 解方程组，得到$x,y,...,\lambda$的值；5.将$x,y,...$的值代入目标函数$f(x)$中，求得极值。

三、二阶导数法二阶导数法是在导数法的基础上进一步求极值的方法。

它利用函数的二阶导数的性质来判断函数的极值类型。

具体步骤如下：1.找出待求最值函数$f(x)$；2.求函数$f(x)$的一阶导数$f'(x)$和二阶导数$f''(x)$；3.解方程$f'(x)=0$，得到极值点的$x$坐标；4.求出极值点的$f''(x)$；5.若$f''(x)>0$，则该极值点为极小值点；6.若$f''(x)<0$，则该极值点为极大值点；7.若$f''(x)=0$，则不能判断该极值点的类型，需使用其他方法进一步判断。

求极值的若干方法

求极值的若干方法极值问题是数学中常见的一类问题，指的是在一定范围内寻找函数取得最大值或最小值的点。

求解极值问题的方法多种多样，下面将介绍几种常用的方法。

一、导数法导数法是求解极值问题最常用的方法之一、它的基本思想是通过函数的导数来判断函数在其中一点的增减情况，进而推断函数的极值点。

求解步骤如下：1.求函数的导数。

2.解方程f'(x)=0，求出导数的根。

3.构造函数f(x)在导数根的左右区间上的函数表格，确定函数在这些区间上的增减情况。

4.根据增减情况和导数的性质，判断函数的极值点。

二、二次函数的最值对于二次函数f(x)=ax^2+bx+c（a≠0），它的最值可以通过二次函数的几何性质来求解。

1.若a>0，则f(x)的图像开口朝上，此时最小值为f(-b/2a)；2.若a<0，则f(x)的图像开口朝下，此时最大值为f(-b/2a)。

三、一元函数的最值对于一元函数f(x)，如果它在有限的区间[a,b]上连续，那么它在这个区间上必然有最大值和最小值。

我们可以通过以下方法来求解：1.求出函数的导数f'(x)。

2.求出f'(x)=0的解，这些点可能是函数的极值点。

3.将求得的解代入函数中，根据f''(x)的正负性判断这些点的类型（极大值点或极小值点）。

4.将区间的端点与求得的极值点比较，找出最大值和最小值。

四、拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法可以求解约束条件下的极值问题。

具体步骤如下：1. 建立带有约束条件的目标函数。

假设有一个目标函数f(x1,x2, ..., xn)，并且有一个或多个约束条件g(x1, x2, ..., xn)=0。

2. 设置拉格朗日函数L(x1, x2, ..., xn, λ)=f(x1, x2, ...,xn)+λg(x1, x2, ..., xn)。

3. 分别对x1, x2, ..., xn和λ求偏导数，并令偏导数为0。

4.解方程组，并判断解是否满足约束条件。

高中数学解题方法系列：函数求极值问题的6种方法

因此，只要我们做出了函数图像，那么我们就可以根据图像找到极值点，从而求出函数的极值。

下面，我就从几个方面讨论一下，函数图象在求极值问题中的应用。

一、函数解析式中含有绝对值的极值问题。

我们给出问题的一般形式，设a≤x≤b,求函数的极值。

很容易判断该函数为分段函数，其对应的图像是折线，因此只要做出函数的图像那么就可以准确的找出函数的极值点。

例1设－2≤x≤3，求函数的最值。

解：若将函数示为分段函数形式。

作出函数图像根据图像我们可以判断：当x=0,；当x=3,,对此类型问题的思考：当函数解析式含有较多绝对值符号的时候，如果我们仍然通过做出函数图像来求解极值，那么过程就非常复杂。

经过比较就得出了极值例如上题：f(－2)=7、f(－1)=4、f(0)=3、f(2)=5、f(3)=8、、=8，据此我们下面给出解决这一类问题更一般的方法。

=max ｛f(bi)、i=1、2、3……n ｝,=min ｛f(－bi),i=1、2、3……n ｝.二、将极值问题转化为几何问题。

运用此方法解决极值问题关键在于深刻理解，挖掘解析式所蕴含的几何意义。

1.转化为求直线斜率的最值。

例2求函数的最值分析函数解析式非我们常见的函数模型。

通过分析我们发现该函数可以看做过点A （3、2）与B （sin 、－cos ）两点直线的斜率。

而动点B的轨迹是y xo 3+=x y 3+-=x y 13+-=x y 13-=x y圆x2+y2=1。

因此我们就将问题转化为了求定点（3、2）与圆x2+y2=10上一点连线的斜率的最大值与最小值。

求极值的方法

求极值的方法在数学中，求函数的极值是一个非常重要的问题，它涉及到函数的最大值和最小值。

对于一个实数函数，我们希望找到它的极大值和极小值，这样我们就能够更好地理解函数的性质和特点。

在本文中，我们将介绍几种常见的求极值的方法，希望能够帮助读者更好地理解这一问题。

一、导数法。

求解函数的极值通常可以通过求导数的方法来进行。

对于一个函数f(x)，我们可以先求出它的导数f'(x)，然后找出f'(x)的零点和间断点，这些点就是函数f(x)的可能极值点。

接下来，我们可以通过二阶导数的符号来判断这些可能的极值点是极大值还是极小值。

如果f''(x)>0，那么f(x)在该点取极小值；如果f''(x)<0，那么f(x)在该点取极大值。

二、边界法。

对于一个闭区间[a,b]上的函数f(x)，我们可以通过求解f(a)和f(b)来找出函数在该区间上的极值。

具体来说，如果f(a)和f(b)中有一个是极大值或极小值，那么该值就是函数f(x)在闭区间[a,b]上的极值。

这种方法适用于一些特殊的函数和区间，可以帮助我们快速找到函数的极值。

三、拉格朗日乘数法。

在求解带有约束条件的极值问题时，我们可以使用拉格朗日乘数法来进行求解。

假设我们要求解函数f(x,y)在条件g(x,y)=c下的极值，我们可以构造拉格朗日函数L(x,y,λ)=f(x,y)+λ(g(x,y)-c)，然后通过求解L(x,y,λ)的偏导数来找到极值点。

这种方法适用于多元函数的极值问题，可以帮助我们更好地理解带有约束条件的极值问题。

四、数值法。

对于一些复杂的函数，我们可能无法通过解析的方法来求解它的极值。

这时，我们可以借助计算机来进行数值求解。

通过在一定范围内对函数进行取值，然后找出其中的极大值和极小值，可以帮助我们更好地理解函数的性质。

这种方法在实际问题中非常实用，可以帮助我们解决一些复杂的极值问题。

综上所述，求极值的方法有很多种，每种方法都有其适用的范围和特点。

求极值的方法

求极值的方法一、导数法。

求极值的常用方法之一是利用导数。

对于给定的函数，我们可以通过求导数来找到函数的驻点和拐点，进而确定函数的极值点。

具体步骤如下：1. 求出函数的导数；2. 解出导数为0的方程，得到函数的驻点；3. 利用二阶导数的符号来判断驻点的类型，从而确定函数的极值。

二、边界法。

对于定义在闭区间上的函数，我们可以通过边界法来求取函数的极值。

具体步骤如下：1. 求出函数在闭区间端点处的函数值；2. 求出函数在闭区间内部的驻点；3. 比较上述所有点的函数值，最大值即为函数的最大值，最小值即为函数的最小值。

三、拉格朗日乘数法。

对于带有约束条件的极值问题，我们可以使用拉格朗日乘数法来求解。

具体步骤如下：1. 根据约束条件建立拉格朗日函数；2. 求出拉格朗日函数的偏导数，并令其等于0；3. 解方程组，得到极值点。

四、牛顿法。

对于无法通过导数法求解的函数，我们可以使用牛顿法来求取函数的极值。

具体步骤如下：1. 选取一个初始点，计算函数在该点的函数值和导数值；2. 根据函数值和导数值，利用牛顿迭代公式来更新下一个点；3. 重复上述步骤，直到满足精度要求为止。

五、全局优化方法。

对于复杂的多维函数，我们可以利用全局优化方法来求取函数的全局极值。

常见的全局优化方法包括遗传算法、模拟退火算法、粒子群算法等。

总结。

求极值是数学中的一个重要问题，我们可以利用导数法、边界法、拉格朗日乘数法、牛顿法以及全局优化方法来求解。

不同的方法适用于不同的函数和问题，我们需要根据具体情况来选择合适的方法。

希望本文对读者有所帮助，谢谢阅读！。

高中物理-求极值的六种方法

高中物理-求极值的六种方法求极值是数学中的重要问题，解决这个问题不仅有助于我们理解函数的性质，还有助于应用于很多实际问题的求解。

下面介绍六种常用的方法求极值：导数法、辅助线法、割线法、牛顿法、拉格朗日乘数法和试探法。

一、导数法：导数法是最常见，也是最基本的求极值方法。

极值点处的导数为零或不存在。

1.求导数：设函数y=f(x)，首先求出导数f'(x)。

2.导数为零：令f'(x)=0，得出x的值。

3.导数不存在：检查导数在f'(x)为零的点附近是否存在极值点。

二、辅助线法：辅助线法是通过构造一条辅助线，将函数转化为一个变量的方程，然后通过解方程来求解极值点。

1.构造辅助线：根据函数的特点，选取一个合适的辅助线方程（比如斜率为1或-1），将函数转化为一个变量的方程。

2.解方程：将辅助线方程和原函数方程联立，解得x的值。

3.求解极值点：将x的值代入原函数方程，求出对应的y值。

三、割线法：割线法是通过构造一条割线，通过不断迭代来逼近极值点。

1.选择初始值：选择一个合适的初始值x0。

2.构造割线：构造一条过(x0,f(x0))和(x1,f(x1))两点的割线，其中x1=x0-λf(x0)，λ是一个合适的步长。

3.迭代求值：迭代求解极值点，即不断重复步骤2，直到割线趋近于极值点。

四、牛顿法：牛顿法利用函数的导数和二阶导数的信息来逼近极值点，是一种高效的求解极值的方法。

1.选择初始值：选择一个合适的初始值x0。

2.迭代求值：根据牛顿迭代公式x1=x0-f(x0)/f'(x0)，不断迭代求解极值点，直到满足结束条件。

五、拉格朗日乘数法：拉格朗日乘数法是一种求解约束条件下极值问题的方法，适用于那些涉及多个变量和多个约束条件的问题。

1. 列出函数和约束条件：设函数为f(x1, x2, ..., xn)，约束条件为g(x1, x2, ..., xn)=c。

2. 构造拉格朗日函数：构造拉格朗日函数L(x1, x2, ..., xn, λ) = f(x1, x2, ..., xn) + λ(g(x1, x2, ..., xn)-c)，其中λ是拉格朗日乘数。

高中数学解题方法系列：函数求极值问题的6种方法

因此，只要我们做出了函数图像，那么我们就可以根据图像找到极值点，从而求出函数的极值。

下面，我就从几个方面讨论一下，函数图象在求极值问题中的应用。

一、函数解析式中含有绝对值的极值问题。

我们给出问题的一般形式，设a≤x≤b,求函数∑=+=ni bi x ai y 1的极值。

很容易判断该函数为分段函数，其对应的图像是折线，因此只要做出函数的图像那么就可以准确的找出函数的极值点。

例1 设－2≤x≤3，求函数12+++-=x x x y 的最值。

解：若将函数示为分段函数形式。

经过比较就得出了极值例如上题：f(－2)=7、f(－1)=4、f(0)=3、f(2)=5、f(3)=8、3min =y 、max y =8，据此我们下面给出解决这一类问题更一般的方法。

max y =max ｛f(bi)、i=1、2、3……n ｝, min y =min ｛f(－bi),i=1、2、3……n ｝.二、将极值问题转化为几何问题。

运用此方法解决极值问题关键在于深刻理解，挖掘解析式所蕴含的几何意义。

1. 转化为求直线斜率的最值。

例2 求函数θθsin 3cos 2-+=y 的最值分析函数解析式非我们常见的函数模型。

通过分析我们发现该函数可以看做过点A （3、2）与B （sin θ、－cos θ）两点直线的斜率。

求函数极值的若干方法

求函数极值的若干方法函数极值是数学中一个重要的概念，用于描述函数在一些点上取得的最大值或最小值。

求函数极值的方法有很多种，下面将介绍一些常见的方法，包括微积分法和图像法。

一、微积分法1.导数法：函数在极值点上的导数为0，因此可以通过求导数的方法来寻找函数的极值点。

具体步骤如下：a.首先求出函数的导数；b.解方程f'(x)=0，求出所有导数为0的点，这些点就是函数的可能极值点；c.求出这些可能极值点对应的函数值，找出最大值或者最小值。

2.二阶导数法：函数在极值点上的二阶导数有特殊的性质。

具体步骤如下：a.首先求出函数的导数和二阶导数；b.解方程f'(x)=0，求出所有导数为0的点，这些点就是函数的可能极值点；c.计算这些可能极值点对应的二阶导数的值。

如果f''(x)>0，则函数在该点上有极小值；如果f''(x)<0，则函数在该点上有极大值。

3.极值判别法：对于一些特殊的函数，可以利用极值判别法来判断函数的极值。

常见的极值判别法有如下几种：a.变号法：判断函数在极值点左右两侧的变化趋势，如果左侧是增量，右侧是减量，则函数在该点上有极大值；如果左侧是减量，右侧是增量，则函数在该点上有极小值。

b.拐点法：寻找函数的拐点，拐点是函数的导数的极值点。

如果函数在拐点上的二阶导数大于0，则函数在该点上有极小值；如果函数在拐点上的二阶导数小于0，则函数在该点上有极大值。

c.边界法：求解函数在区间的边界点上的函数值，将这些函数值与函数的内部极值点的函数值比较，找出最大值或最小值。

二、图像法1.函数图像法：通过观察函数的图像来估计函数的极值点。

函数的极值点对应函数图像上的最高点或最低点。

2.导数图像法：通过观察函数的导数图像来判断函数的极值点。

导数的图像上的极值点对应原函数的极值点。

需要注意的是，以上的方法仅仅是一些基本的求函数极值的方法，对于特殊的函数，可能需要应用更复杂的方法来求解。