固体物理-第3章-晶体振动与晶体热学性质-3.7

晶格振动和晶体的热学性质精品PPT课件

(q)
nn+)(00M
=c0q
2mcos+12aq m M2m2
ei12aq 2Mmcos
aq
q
光波：＝c0q， c0为光速
对于实际晶体，＋(0)在1013 ~ 1014Hz，对应于远红外光范围。离子晶体中光学波的共振可引起对远红外光在＋(0)附近的强烈吸收。
久期方程：
2
Mm
M
m
M
2
m2
2Mm
cos
aq
＝
M Mm
m
1
1
4 Mm
M m2
sin 2
1 2
aq
q
a
a
两个色散关系即有两支格波：（＋：光学波；－：声学波）
π nn
Aei12aq B
2cos 12aq ei12aq 2M2
M
2mcos12 aqei12aq m M2m22Mmcosaq
j
• 一种格波即一种振动模式称为一种声子， nj：声子数。
•
当电子或光子与晶格振动相互作用时，总是以
E
N j=1
nj
1 2
为 j
单元交换能量。
• 声子具有能量 q ，也具有准动量 Mn nn12n ，但它不能
脱离固体而单独存在，并不是一种真实的粒子, 只是一种准粒子。
• 声子的作用过程遵从能量守恒和准动量守恒。
当q0时，＋，原胞中两种原子振动位相完全相反。
i 1 aq
M
2
2mcos
1 2
aqe
2
m2 2Mmcosaq
M
m
Rei
离子晶体在某种光波的照射下，光波的电场可以激发这种晶格振动，因此，我们称这种振动为光学波或光学支。

《固体物理基础》晶格振动与晶体的热学性质

一、三维简单格子
二、三维复式格子
三、第一布里渊区
四、周期性边界条件
◇一个原胞内有P
个不同原子，则
有3P个不同的振
动模式，其中3支声学波。
◇具有N个原胞的晶体中共有3PN个
振动模式，其中
3N个声学波， 3N(P-1)个光学波。
四、周期性边界条件总结
§ 3.4 声子
声子：晶格振动中格波的能量量子
二、一维单原子链的振动
格波
二、一维单原子链的振动
色散关系
二、一维单原子链的振动
色散关系
二、一维单原子链的振动
第一布里渊区
二、一维单原子链的振动
第一布里渊区
二、一维单原子链的振动
第一布里渊区
二、一维单原子链的振动
周期性边界条件
玻恩—卡曼边界条件
二、一维单原子链的振动
周期性边界条件
即q有N个独立的取值—晶格中的原胞数第一布
◇非弹性X射线散射、非弹性中子散射、可见光的非弹性散射。
§ 3.4 声子
§ 3.4 声子
90K下钠晶体沿三个方向的色散关系
§ 3.5 晶格热容
一、晶格振动的平均能量
热力学中，固体定容热容：
根据经典理论，每一个自由度的平均能量是kBT， kBT/2为平均动能，kBT/2为平均势能，若固体有
N个原子，总平均能量：取N=1摩尔原子数,摩尔热容是：
二、一维单原子链的振动
一维单原子链的振动
二、一维单原子链的振动
简谐近似下的运动方程
二、一维单Hale Waihona Puke 子链的振动简谐近似下的运动方程
在简谐近似下，原子的相互作用像一个弹簧振子。一维原子链是一个耦合谐振子，各原子的振动相互关联传播，形成格波。

固体物理基础第3章-晶格振动与晶体的热学性质

3-2 一维单原子链模型
格波的色散关系 4 2 2 aq sin ( )
m 2 • ω取正值，则有 (3)
(q)
aq 2 sin( ) m 2 • 频率是波数的偶函数
• 色散关系曲线具有周期性，仅取简约布里渊区的结果即可 • 由正弦函数的性质可知，只有满足 0 2 / m 的格波才能在一维单原子链晶体中传播，其它频率的格波将被强
原子n和原子n+1间的距离
非平衡位置
原子n和原子n+1间相对位移
a n1 n
n1 n
3-2 一维单原子链模型
• 忽略高阶项，简谐近似考虑原子振动，相邻原子间相互作用势能 1 d 2v v(a ) ( 2 ) a 2 2 dr • 相邻原子间作用力 dv d 2v f , ( 2 )a d dr • 只考虑相邻原子的作用，第n个原子受到的作用力
• 连续介质中的波（如声波）可表示为 Ae ，则可看出 • 格波和连续介质波具有完全类似的形式 • 一个格波表示的是所有原子同时做频率为ω的振动 • 格波与连续介质波的主要区别在于(2)式中，aq取值任意加减 2π的整数倍对所有原子的振动没有影响，所以可将波数q取值限制为 q a a
V
O
a
r
• 第n个原子的运动方程
(n1 n ) (n n1 ) (n1 n1 2n )
(1)
平衡位置
d 2 n m 2 ( n1 n 1 2n ) dt
非平衡位置
——牛顿第二定律F=ma
3-2 一维单原子链模型
• 上述(1)式的解（原子振动位移）具有平面波的形式

a
)

固体物理(第三章晶格振动与晶体的热学性质)

µi 之间，通过如下形式的正交变
mi µ i = ∑ aij Q j
j =1
3N
= ai1Q1 + ai 2Q2 + L + ai 3 N Q3 N
m1 µ1 = a11Q1 + a12Q2 + L + a13 N Q3 N
§3-1 简谐近似和简正坐标 8 / 17
& i2 µ
mi µ i = ∑ aij Q j = ai1Q1 + ai 2Q2 + L + ai 3 N Q3 N
15 / 17 11/11
§3-1 简谐近似和简正坐标
由上所述，只要能找到体系的简正坐标，或者说振动模，问题就解决了。
§3-1 简谐近似和简正坐标
16 / 17
§3-1 简谐近似和简正坐标
17 / 17
Qi = A sin(ωi t + δ )
§3-1 简谐近似和简正坐标 10 / 17
任意简正坐标的解为：
Qi = A sin(ωi t + δ )
ωi
是振动的圆频率，ωi
= 2πν i
表明：一个简正振动是表示整个晶体所有原子都参与的振动。而且它们的振动频率相同。一个简正振动并不是表示某一个原子的振动。由简正坐标所代表的体系中所有原子一起参与的共同振动常常称为一个振动模。
能量本征值
ε i = (ni + )hωi
ϕ n (Qi ) =
i
1 2
本征态函数
ωi
ξ=
Qi h H ni (ξ ) 表示厄密多项式
14 / 17
ω
ξ2 exp H ni (ξ ) − 2 h

《固体物理基础教学课件》第3章

原子n离开平衡位置位移μn 原子n和原子n+1间相对位移
n1 n
平衡位置非平衡位置
a 3
3-1 原子作用力的处理：简谐近似
忽略高阶项，简谐近似考虑原子 V 振动，相邻原子间相互作用势能
v(a)12(ddr2v2)a2
相邻原子间作用力
O
a
r
f ddv, (d dr2v2)a
只考虑相邻原子的作用，第n个原
第2n+1个M原子的方程 M d2 dt2 2n1(22n12n22n)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 第2n个m原子的方程 mdd 2t22n(22n2n12n1)
解也具有平面波的形式
两种原子振动的振幅（m取A， M取B）一般来说是不同的
a 13
3-2 声学波与光学波
色散关系有不同的两种
2(m m M M ) 11(m 4 m M M )2sin2aq12
a 2
3-1 一维单原子链模型
一维单原子链：最简单的晶格模型
晶格具有周期性，晶格的振动具有波的形式 —— 格波
格波的研究方法：
计算原子之间的相互作用力根据牛顿定律写出原子运动方程，并求解方程
一维单原子链模型：
平衡时相邻原子间距为a （即原胞体积为a）
原子质量为m 原子限制在沿链方向运动
声子
0.1
1 100 10000
a 11
3-2 一维双原子链模型
一维双原子链模型声学波与光学波声学波与光学波的长波极限长光学波的特性
a 12
3-2 一维双原子链模型
两种原子m和M (M > m) 构成一维复式格子 M原子位于2n-1, 2n+1, 2n+3 … m原子位于2n, 2n+2, 2n+4… 晶格常数、同种原子间的距离：2a

固体物理第三章晶格振动与晶体热学性质

固体物理第三章晶格振动与晶体热学性质第三章晶格振动与晶体的热学性质晶格振动是描述原子在平衡位置附近的振动，由于晶体内原子间存在着相互作用力，各个原子的振动也不是孤立的，而是相互联系的，因此在晶体内形成各种模式的波。

只有当振动微弱时，原子间非谐的相互作用可以忽略，即在简谐近似下，这些模式才是独立的。

由于晶格的周期性条件，模式所取的能量值不是连续的而是分立的。

对于这些独立而又分立的振动模式，可以用一系列独立的简谐振子来描述。

和光子的情形相似，这些谐振子的能量量子称为声子。

这样晶格振动的总体就可以看成声子系综。

若原子间的非谐相互作用可以看作微扰项，则声子间发生能量交换，并且在相互作用过程中，某些频率的声子产生，某些频率的声子湮灭。

当晶格振动破坏了晶格的周期性，使电子在晶格中的运动受到散射而电阻增加，可以看作电子受到声子的碰撞，晶体中的光学性质也与晶格振动有密切关系，在很大程度上可以看作光子与声子的相互作用乃至强烈耦合。

晶格振动最早是用于研究晶体的热学性质，其对晶体的电学性质、光学性质、超导电性、磁性、结构相变等一系列物理问题都有相当重要的作用，是研究固体宏观性质和微观过程的重要基础。

ωη§3-1 简谐近似和简正坐标由原子受力和原子间距之间的关系可以看出，若离开平衡位置的距离在一定限度，原子受力和该距离成正比。

这时该振动可以看成谐振动.用n μϖ表示原子偏离平衡位置（格点）位移矢量，对于三维空间，描述N 个原子的位移矢量需要3N 个分量，表为)3,,2,1(N i i Λ=μ将体系的势函数在平衡位置附近作泰勒展开:高阶项+∑⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂+∑∂∂+===j i N j i j i i N i i V V V V μμμμμμ031,2031021)(第一项为平衡位置的势能，可取为零，第二项为平衡位置的力，等于零。

若忽略高阶项，因为势能仅和位移的平方成正比，即为简谐近似。

23121i N i i m T μ&∑==引入合适的正交变换，将动能和势能用所谓的简正坐标表示成仅含平方∑==N j j ij i i Q a m 31μ项而没有交叉项，即：由分析力学，基本形式的拉格朗日方程为：)32,1(,N i q Q T Q T dt d i i i Λ&==∂∂-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂其中)32,1(,1N i q f q i j N j j i Λϖϖ=∂∂⋅∑==μ朗日方程：)32,1(,0N i Q L Q L dt d i i Λ&==∂∂-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂则正则方程为：)3,2,1(,02N i Q Q i i i Λ&&==+ω其解为：)sin(δω+=t A Q i i 当考察某一个j Q 时，则：)sin(δωμ+=t A m a j i iji 晶体参与的振动，且它们的振动频率相同。

0301第三章晶格振动与晶体的热学性质

原子的振动 —— 晶格振动在晶体中形成了各种模式的波 —— 简谐近似下，系统哈密顿量是相互独立简谐振动哈密
顿量之和 —— 这些模式是相互独立的，模式所取的能量值是分立的 —— 用一系列独立的简谐振子来描述这些独立而又分立的
振动模式 —— 这些谐振子的能量量子，称为声子 —— 晶格振动的总体可看作是声子的系综
—— 原子的坐标和简正坐标通过正交变换联系起来
3N
假设存在线性变换 mi i aijQj
j1
系统的哈密顿量
H123iN1Q i2123iN1
Q 2 2
ii
拉格朗日函数
LTV1 23 i N 1Q i21 23 i N 1
Q 2 2
ii
正则动量
pi
—— 谐振子方程
本征态函数 ni(Qi) i exp(22)Hni()
Qi i /
Hni () — 厄密多项式
03_01_简谐近似和简正坐标 —— 晶格振动与晶体的热学性质 10 / 11
N个原子组成的晶体系统薛定谔方程
[3 i N 11 2 ( 2 Q 2 i2 3 i N 1i2 Q i2 )] (Q 1 , Q 3 N ) E(Q 1 , Q 3 N )
取 V0 0
平衡位置
( V
i
)0

0
—— 不计高阶项
系统的势能函数
V
1 3N ( 2V
2i, j1 ij
)0ij
03_01_简谐近似和简正坐标 —— 晶格振动与晶体的热学性质 05 / 11
系统的势能函数
V1
3N
(
2V
2i, j1 ij
)0ij
[3 i N 11 2 ( 2 Q 2 i2 3 i N 1i2 Q i2 )] (Q 1 , Q 3 N ) E(Q 1 , Q 3 N )

固体物理课后习题解答(黄昆版)第三章

黄昆固体物理习题解答第三章晶格振动与晶体的热学性质3.1 已知一维单原子链，其中第j个格波，在第个格点引起的位移为，μ= anj j sin(ωj_j+ σj) ，σj为任意个相位因子，并已知在较高温度下每个格波的平均能量为，具体计算每个原子的平方平均位移。

解：任意一个原子的位移是所有格波引起的位移的叠加，即μn= ∑ μnj=∑ a j sin(ωj t naq j+σj)j j（1）μ2 n =⎛⎜⎝∑μjnj⎞⎛⎟⎜⎠⎝∑μj*nj⎞⎟⎠= ∑μj2nj+ ∑ μ μnj*nj′j j′由于μ μnj⋅nj数目非常大的数量级，而且取正或取负几率相等，因此上式得第2 项与第一项μ相比是一小量，可以忽略不计。

所以2= ∑ μ 2njn j由于μnj是时间的周期性函数，其长时间平均等于一个周期内的时间平均值为μ 2 = 1 T∫0 2 ω+σ 1 2j aj sin( t naqjj j)dt a=j（2）T0 2已知较高温度下的每个格波的能量为KT，μnj的动能时间平均值为1 L T ⎡1 ⎛dμ⎞2 ⎤ρw a2 T 1= ∫ ∫dx0⎢ρnj⎥= j j∫0 2 ω+ σ= ρ 2 2 T⎜⎟dt L a sin( t naq)dt w Lanj T0 0 0 ⎢ 2 ⎝dt⎠⎥2T0 j j j j 4 j j其中L 是原子链的长度，ρ 使质量密度，T0为周期。

1221所以Tnj= ρ w La j j=KT（3）4 2μKT因此将此式代入（2）式有nj2 = ρ ωL 2 jμ所以每个原子的平均位移为2== ∑ μ 2= ∑KT= KT∑1n njρ ωL2ρLω2j j j j j3.2 讨论 N 个原胞的一维双原子链（相邻原子间距为 a），其 2N 格波解，当 M=m 时与一维单原子链的结果一一对应.解答（初稿）作者季正华- 1 -黄昆固体物理习题解答解：如上图所示，质量为M 的原子位于2n-1，2n+1，2n+3 ……质量为m 的原子位于2n，2n+2，2n+4 ……牛顿运动方程：..mμ2n= −β μ(22n−μ2n+1 −μ2n−1)..Mμ2n+1 = −β μ(22n+1 −μ2n+2 −μ2n)体系为N 个原胞，则有2N 个独立的方程i na q方程解的形式：iμ2n=Ae[ωt−(2 ) ] μ2n+1=Be[ω−(2n+1)aq]na qμ=将μ2n=Ae[ωt−(2 ) ]2n+1 Be i[ωt−(2n+1) aq]代回到运动方程得到若A、B 有非零的解，系数行列式满足：两种不同的格波的色散关系：——第一布里渊区解答（初稿）作者季正华- 2 -第一布里渊区允许 q 的数目黄昆固体物理习题解答对应一个 q 有两支格波：一支声学波和一支光学波。

固体物理第三章晶格振动与晶体的热学性质

事实上：
晶格动力学的发展是在研究热学性质中建立起来的。晶格动力学是固体物理学中的重要组成部分。晶格动力学的前身就是比热理论。从固体比热的发展阶段看： * 从Einstein模型，Debye模型，——格波模型，最后形成晶格动力学，并用来进一步处理其它问题。 * 关于固体比热的研究，不单是解决固体比热的问题。而是具有更重要的意义。 * 为使比热理论值与实验值相符合，能对固体晶格运动方式有比较正确的认识，提出一些模型，而这些认识模型成为固体许多领域的重要基础。比如：声子的概念，元激发概念等。在固体物理学的其他领域有更广泛的应用。结论：晶格振动与固体的力、热、声、光、电、磁等各种性质有着密切的关系。
2
格波与连续介质波的区别：（1）连续介质中x表示空间任意一点，而格波中空间位置只能取 X=na的格点位置。格点（na）呈周期排列，原子都在作频率为ω的振动，相邻原子间的振动位相差为qa。 i (t naq ) （2）格波q取值范围的限制. 将 nq Ae 中的qa改变
2π的整数倍，所有原子的振动没有没有什么不同，为使μnq和q一一对应，qa可以限制在一定范围内：（- π， π]，即： q a a 这与连续介质不同. q取该范围以外的q并不代表新的波。例如：a: λ=4a，q= π/2a 和 b: λ=4a/5，q= π/2a+2 π a中相邻原子位相差π/2，b中相邻原子位相差：5π/2，对格点来说, a和b代表相同的振动。因为原子有相同的运动。
3. 每一种简正坐标对应的是一种独立振动
由分析力学的一般方法, 由动能和势能公式可以写出拉格朗日函数:
L Pi Qi 正则动量为： Qi
L=T-V
1 3N 2 代入H： H T V ( Pi i2Qi2 ) 根据正则方程： 2 i 1 H 2Q 即： Q P H Pi Qi i i i i Qi Pi

2015年固体物理第三章晶格振动与晶体的热学性质(全部课件)

18
3
2015/4/13
3. 波数q：
nq Ae i (t naq)
(3-22)
所以： aq只需取值：
格波波数 q具有 2π/λ格式，量纲为 [L]-1。 aq改变 2π的整数倍，即aq2→ n2π + aq1 时所有原子振动没有不同。如：格波1（红色）： 2 q1 相位差aq1 4a 2 格波2（绿色）：
：力常数
a
n-2 n-1
a
n
( n 1 n 1 2n )
(3-21)

n+1
n+2
由于每个原子对应一个上述方程，N个原子则有N个方程。N个联立线性齐次方程代表原子链的运动。
I. 左边第（n-1）个原子与它的相对位移为： δ ＝ μn － μn-1 ，作用力:－β ( μn － μn-1) II. 右边第（n+1）个原子与它的相对位移为： δ ＝ μn＋1－ μ，作用力－β（ μn＋1－ μn ）
Ae
i (t q x )
(3-24)
x: 任意一点，ω: 园频率，λ: 波长，2πx/λ: 位相
b) 格波
nq Ae i (t naq)
(3-22)
位置只取一系列周期性排列的格点na 。格波解表示所有原子同时做频率为 ω的振动。不同原子有位相差，相邻原子位相差为aq。 17
2

m
1 sin aq 2

a
q

a
N个不同值，共有
N
在q << π/a（ q →0，意味波长很长）, 也就是相当波长 λ >> a 时，sin(aq/2)~ aq/2

(完整版)黄昆版固体物理学课后答案解析答案

《固体物理学》习题解答黄昆原著韩汝琦改编（陈志远解答，仅供参考）第一章晶体结构1.1、解：实验表明，很多元素的原子或离子都具有或接近于球形对称结构。

因此，可以把这些原子或离子构成的晶体看作是很多刚性球紧密堆积而成。

这样，一个单原子的晶体原胞就可以看作是相同的小球按点阵排列堆积起来的。

它的空间利用率就是这个晶体原胞所包含的点的数目n 和小球体积V 所得到的小球总体积nV 与晶体原胞体积Vc 之比，即：晶体原胞的空间利用率， VcnVx = （1）对于简立方结构：（见教材P2图1-1）a=2r ， V=3r 34π，Vc=a 3，n=1 ∴52.06r 8r34a r 34x 3333=π=π=π= （2）对于体心立方：晶胞的体对角线BG=x 334a r 4a 3=⇒= n=2, Vc=a 3∴68.083)r 334(r 342a r 342x 3333≈π=π⨯=π⨯= （3）对于面心立方：晶胞面对角线BC=r 22a ,r 4a 2=⇒= n=4，Vc=a 374.062)r 22(r 344a r 344x 3333≈π=π⨯=π⨯= （4）对于六角密排：a=2r 晶胞面积：S=6260sin a a 6S ABO ⨯⨯=⨯∆=2a 233 晶胞的体积：V=332r 224a 23a 38a 233C S ==⨯=⨯ n=1232126112+⨯+⨯=6个 74.062r224r 346x 33≈π=π⨯= （5）对于金刚石结构，晶胞的体对角线BG=3r 8a r 24a 3=⇒⨯= n=8, Vc=a 334.063r 338r 348a r 348x 33333≈π=π⨯=π⨯=1.2、试证：六方密排堆积结构中633.1)38(a c 2/1≈= 证明：在六角密堆积结构中，第一层硬球A 、B 、O 的中心联线形成一个边长a=2r 的正三角形，第二层硬球N 位于球ABO 所围间隙的正上方并与这三个球相切，于是： NA=NB=NO=a=2R.即图中NABO 构成一个正四面体。

固体物理：第三章晶格振动和晶体的热学性质

m
2 sin aq
m
2
2π / a π / a
0
π/ a
2π / a
是波矢q的周期性函数,且(-q)= (q)。
m
2 sin aq
m
2
2π a
π a
o
πa
2π a
当 q , q 2π s ( s为整数), a
(q) (q)
且
i t na ( q 2π s )
xn (q) Ae
x2n Beit2naq
其他原子位移可按下列原则得出:
(1)同种原子周围情况都相同，其振幅相同；原子不同，其振幅不同。
(2)相隔一个晶格常数2a的同种原子，相位差为2aq。
x2n1 Aeit 2n1aq
x Be 2n2
[t ( 2n2 )aq]
..
x M 2n x2n1 x2n1 2 x2n
2
2
2
2
波矢 q
2π Na
s
也只能取N个不同的值。
晶格振动波矢只能取分立的值
波矢的数目(个数)=晶体原胞的数目
6. 长波极限:
q 2π 0
2 sin aq 2 aq a q
m2
m2
m
Vp q
vp a m
弹性波
m
2π a
π a
o
πa
Vp q
vp a m
由连续介质波
弹性模量
x
格波不能在晶体中传播，实际上此时它是一种驻波。因为此时相邻原子的振动位相相反，
模型运动方程
试探解
色散关系
波矢q范围 B--K条件
波矢q取值
一维无限长原子链，m，a，
n-2 n-1 n mm

固体物理(第3章)讲解

2
—— 每一个原子运动方程类似 —— 方程的数目和原子数相同
§ 3-2简谐近似和简正坐标一维单原子链 —— —— 晶格振动与晶体的热学性质 § 3-1 晶格振动与晶体的热学性质
方程解和振动频率设方程组的解 naq — 第n个原子振动相位因子
得到应用三角公式
4 2 aq sin ( ) m 2
—— 常数
—— 平衡条件
§ 3-2简谐近似和简正坐标一维单原子链 —— —— 晶格振动与晶体的热学性质 § 3-1 晶格振动与晶体的热学性质
dv 1 d v v (a ) v (a ) ( )a ( 2 )a 2 High items dr 2 dr
简谐近似 —— 振动很微弱，势能展式中只保留到二阶项
2 1 2 2 任意一个简正坐标 [ 2 i Qi ] (Qi ) i (Qi ) 2 2 Qi
1 能量本征值 i ( ni ) i 2
本征态函数
—— 谐振子方程
n (Qi )
i
i

exp(

2
2
) H ni ( )
— 厄密多项式
§3-1 简谐近似和简正坐标 ——
格波波矢的取值和布里渊区相邻原子相位差格波1的波矢
—— 原子的振动状态相同
相邻原子相位差
§ 3-2简谐近似和简正坐标一维单原子链 —— —— 晶格振动与晶体的热学性质 § 3-1 晶格振动与晶体的热学性质
格波格波2的波矢
aq1 / 2
相邻原子的位相差
—— 两种波矢q1和q2的格波中，原子的振动完全相同
原子位移宗量
N个原子的位移矢量 —— 体系的势能函数在平衡位置按泰勒级数展开

第三章晶格振动与晶体的热学性质

1 cos qa 2 M12 q
长振波动极方限向下相，同， B代A 表了1 原表胞明质原心胞的中振两动个原子
长声学波代表了原胞质心的运动
当波长比晶格常数大很多时，qa = 1
2
q

a2q2
2M1 M2

色散关系与连续介质中的弹性波类似，这也是声学波的名称来由
前面讨论晶体结构时，假设了晶体中各原子固定在格点上不动。其实，不管是气体、液体或是固体，在一定温度下，原子（或分子）都在做不停的热运动。静止晶格的模型在解释金属主要由导电电子决定的平衡态性质和输运性质方面相当成功，但是对金属进一步的了解以及对绝缘体哪怕是最基本的了解都需要对离子实的运动加以考虑。
讨论: q 2 l
Na
(1)为了保持位移和频率的单值性，波矢仍
然被限制在 p q ；利用波恩-卡
门边界条件，可a 以得到a晶格振动的波矢数
目等于晶体的原胞数 (2)在复式格子中，一个波矢对应两个频率，
所以其格波模式是2N，2N也是原子的自由度数。因此晶格振动的模式数目等于原子的自由度数之和。
上式说明，晶格的振动谱是分离谱，晶格
振动的波矢数目等于晶体的原胞数N
格波1（红色标示）的波矢：q1

2a
相邻原子位相差：
aq1
5
格波2（绿色标示）的波矢：q2 2a
相邻原子的位相差： aq2

2
2

2
-----两种波矢下，格波描述的原子振动完全相同
（4）在连续介质中传播的平面波方程为
(8)短波极限，q 波长 2 2a
a
q
说明相邻两原子的位相相反

第三章晶格振动和晶体的热学性质

第三章晶格振动和晶体的热学性质[引言]晶体中原子、离子实际上不是静止在晶格平衡位置上，而是围绕平衡位置作微振动，称为晶体振动。

对晶体振动的研究是从解释固体的热学性质开始的，最初把晶体中的原子看作是一组相互独立的振子，应用能量均分定理可以说明固体比热容服从杜隆-珀替定律，但与T=0K时的0C=的规律不符。

1906年爱因斯坦提出固体比热容的量子理论，V认为独立谐振子的能量是量子化的，可以得到T=0K时0C=的规律的结论，但与低温V下3C T的实验结果不符。

1912年德拜提出固体的比热容理论，把固体当成连续介质，~V晶格振动的格波看连续介质中的弹性波，得到低温下3~C T的结果。

随后，玻恩及玻V恩学派逐步建立和发展了比较系统的晶格振动理论成为最早发展的固体理论之一。

晶格振动理论不仅可以用来解释固体的热学性质、结构相变等许多物理性质都是极为重要的，是研究固体物理性质的基础。

因为固体是由大量原子组成的，原子又由价电子和离子组成，所以固体实际上是由大量电子和离子组成的多粒子体系。

由于电子之间、电子与离子以及离子之间的相互作用，要严格求解这种复杂的多体问题是不可能的，但注意到电子与离子的质量相差很大，离子的运动速度比电子慢得多，可以近似地把电子的运动与离子运动分开考虑，变成一个在晶格周期场中运动的多电子问题；在考虑离子的运动时，则认为电子能够即时跟上离子位置的变化，变成离子或原子如何围绕平衡位置运动的问题。

这种近似称为绝热近似。

晶格振动理论就是在这个近似的基础上建立的。

本章首先从最简单的一维晶格出发，说明晶格振动的基本性质，然后推广到三维情况，最后讨论晶体的热学性质。

[本章重点]一维单原子链晶格振动，一维双原子链晶格振动，声子，晶格比热的德拜模型，晶格振动的模式密度，N 过程与U 过程§3-1一维单原子链考虑由N 个相同的原子组成的一维晶格，如图3-1-1所示，相邻原子间的平衡距离为a ，第j 原子的平衡位置用x 0j 来表示，它偏离平衡位置的位移用u j 来表示，第j 原子的瞬时位置就可以表示为：j j j u x x +=0………………………………………………(3-1-1) 原子间的相互作用势能设为)(ij x ϕ，如果只考虑晶体中原子间的二体相互作用，则晶体总的相互作用能可表示为：()∑≠=Nji ij x U ϕ21……………………………………………(3-1-2)式中ij ij i j ij u x x x x +=-=0是i 、j 原子的相对距离，i j ij u u u -=是i 、j 两原子的相对位移，在温度不太高时，原子在平衡位置附近作微振动，相邻原子的相对位移要比其平衡距离小得多，可将ϕ展开为：………………(3-1-3)于是有：()∑∑∑≠≠≠+⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+=j i ij ij j i ij ijj i ij u x u x x U 202200412121ϕϕϕ……………(3-1-4) 图3-1-1 一维单原子晶格()()()+⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+=+=2220021ij ij ij ijijij ijij u x u x xu x x ϕϕϕϕϕ式中第一项是所有原子处于平衡位置上时的总相互作用能，用U 0来表示，是U 的极小值，()∑≠=ji ij x U 0021ϕ…………………………………………………………………… (3-1-5) 第二项是i j u 的线性项，它的系数为：()∑≠⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂i j ij x 0ϕ，是所有其它原子作用在i 原子的合力的负值，当所有原子处在平衡位置上时，晶体中任一原子所受到的净作用力应为零，所以在式（3-1-4）中不存在位移的线性项。

《固体物理学》房晓勇主编教材-习题解答参考03第三章晶体振动和晶体的热学性质

⎧ d 2 xn m = β 2 ( xn +1 − xn ) − β1 ( xn − xn −1 ) ⎪ ⎪ dt 2 ⎨ 2 ⎪m d xn +1 = β ( x − x ) − β ( x − x ) 1 2 n n+2 n +1 n +1 ⎪ dt 2 ⎩
设格波的解分别为
n i [( ) aq −ωt ] ⎧ ⎪ xn = Ae 2 ⎨ n ⎪ x = Bei[( 2 ) aq + qb −ωt ] ⎩ n +1
A 2β cos qa / m = =0 B 2β / m − 2β / M
由此可知，声学支格波中所有轻原子 m 静止。而在光学支中，重原子 M 与轻原子 m 的振幅之比为
B 2β cos qa / M = =0 A 2β / M − 2β / m
由此可知，光学支格波中所有重原子 M 静止。此时原子振动的图像如下图 3.6 所示：
v弹 =
ω
q
=
c
ρ
，c = βa ， ρ =
1
⎡ ⎢ v弹 = ⎢ β a ⎛ m+M ⎢ ⎜ ⎢ ⎝ 2a ⎣
⎤2 1 ⎥ ⎛ 2β ⎞ 2 ⎥ =⎜ ⎟ a ⎞⎥ ⎝m+M ⎠ ⎟ ⎠⎥ ⎦
由此可以看出，弹性波的波速与长声学波的波速完全相等，即长声学波与弹性波完全一样。长声学波，格波可以看成连续波，晶体可以看成连续介质。 3.5 设有一维原子链（如图），第 2n 个原子与第 2n + 1 个原子之间的力常数为 β ；而第 2n 个原子与第 2n − 1 个原子的力常数为 β ' （ β ' < β ）。设两种原子的质量相等，最近邻间距均为 a，试求晶格振动的振动谱以及q = 0 和q = ±

固体物理-第3章-晶体振动与晶体热学性质-3.7

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