高一数学10月月考试题23
河南省洛阳市2023-2024学年高一上学期10月月考试题 数学含解析
洛阳强基联盟高一10月联考数学（答案在最后）考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.4.本卷命题范围：人教A 版必修第一册第一章～第二章.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合{}{|2}|31M x N x x =<=≥，，则M N ⋂=（）A .{|0x x ≤<B.1{|3x x ≤<C.4|}13{x x ≤< D.{|34}x x ≤<2.命题“0∀∈-=R a ax 有实数解”的否定是（）A.0∀∈-=R a ax 无实数解B.0∃∈-≠R a ax 有实数解C .0∀∈-≠R a ax 有实数解D.0∃∈-=R a ax 无实数解3.下列表示错误的是()A.{}{,}a ab ∈ B.{,}{,}a b b a ⊆ C.{1,1}{1,0,1}-⊆- D.{1,1}∅⊆-4.“1a >”是“0a >”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.不等式()()2120--≥x x 的解集为（）A.12x x ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭ B.122x x ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭C.{|0.5x x ≤或}2x ≥ D.12x x ⎧⎫≤⎨⎬⎩⎭6.已知集合A ={x ∈N|0≤x <m }有8个子集，则实数m 的取值范围为（）A.{m |2<m ≤3}B.{m |2≤m <3}C.{m |2≤m ≤3}D.{m |2<m <3}7.若12x >，则函数2()21=+-f x x x 的最小值为（）A. B.1+ C.4D.2.58.定义集合运算：2(,),2x A B x y A B y ⎧⎫⊕=∈∈⎨⎬⎩⎭．若集合{}14A B x x ==∈<<N ，15(,)63C x y y x ⎧⎫==-+⎨⎬⎩⎭，则()A B C ⊕⋂=（）A.∅B.(){}4,1C.31,2⎧⎫⎛⎫⎨⎬⎪⎝⎭⎩⎭D.()24,1,6,3⎧⎫⎛⎫⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得５分，部分选对的得２分，有选错的得０分.9.已知a <b <0，则下列不等式成立的是（）A .|a |>|b |B.11a b <C.ab <b 2D.b a a b<10.（多选）如图所示，U 是全集，A 、B 是U 的两个子集，则阴影部分表示的集合是（）A.()UAB ð B.()U B B⋂ð C.()U A B ⋂ð D.()U A A B ⋂⋂ð11.“23R,208x kx kx ∀∈+-<”的一个充分不必要条件可能是（）A.0k =B.30k -<<C.31k -<<- D.30k -<≤12.已知a >0，b >0，a ＋b ＝1，则（）A.a 2＋b 2≥12B.ab ≤14C.11a b+≤4 D.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知A B ⊆，则“x A ∈”是“x B ∈”的________条件．14.若2312a b <<<<，，则2a b -的取值范围是____．15.深圳科学高中先后举办了多个学科的课余活动．已知高一（1）班有50名同学，其中30名同学参加了数学活动，26名同学参加了物理活动，15名同学同时参加了数学、物理两个学科的活动，则这个班既没有参加数学活动，也没有参加物理活动的同学人数是__________________．16.已知命题:{11}p m mm ∃∈-≤≤∣，2532a a m -+<+，若p 是假命题，则实数a 的取值范围是________________.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知集合{26},{39}A x x B x x =≤<=<<，（1）分别求(),()R R A B B A⋂⋃痧（2）已知{1}C x a x a =<<+，若C B ⊆，求实数a 的取值范围18.（1）比较22x x -与22x x +-的大小；（2）已知0c a b >>>，求证：a bc a c b>--.19.已知集合{}12A x x =-≤≤，()(){}10B x x a x a =---<，a ∈R.（1）若1B ∈，求实数a 的取值范围；（2）若“x B ∈”是“x A ∈”的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.20.设集合{}22190A x x ax a =-+-=，{}2560B x x x =-+=，{}2230C x x x =--=.（1）若A B A B = ，求实数a 的值；（2）若∅()A B 且A C ⋂=∅，求实数a 的值.21.为宣传2023年杭州亚运会，某公益广告公司拟在一张矩形海报纸（记为矩形ABCD ，如图）上设计四个等高的宣传栏（栏面分别为两个等腰三角形和两个全等的直角三角形且2GH EF =），宣传栏（图中阴影部分）的面积之和为236000cm .为了美观，要求海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为10cm （宣传栏中相邻两个三角形板块间在水平方向上的留空宽度也都是10cm ），设cm EF x =.（1）当60x =时，求海报纸（矩形ABCD ）的周长；（2）为节约成本，应如何选择海报纸的尺寸，可使用纸量最少（即矩形ABCD 的面积最小）？22.已知集合(){}121212=,+=2,>0,>0D x x x x x x .（1）求2212x x +的最小值；（2）对任意(),a b D ∈，证明112223+≥++a b a b ．洛阳强基联盟高一10月联考数学考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.4.本卷命题范围：人教A 版必修第一册第一章～第二章.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合{}{|2}|31M x N x x =<=≥，，则M N ⋂=（）A.{|0x x ≤<B.1{|3x x ≤<C.4|}13{x x ≤< D.{|34}x x ≤<【答案】C【分析】先解不等式，再利用集合的交集运算即可求解.【详解】因为{}1{|2}{|04}|31|3M x x x N x x x x ⎧⎫=<=≤<=≥=≥⎨⎬⎩⎭，，所以1{|4}.3M N x x ⋂=≤<故选:C.2.命题“0∀∈-=R a ax 有实数解”的否定是（）A.0∀∈-=R a ax 无实数解B.0∃∈-≠R a ax 有实数解C.0∀∈-≠R a ax 有实数解D.0∃∈-=R a ax 无实数解【答案】D 【解析】【分析】根据全称量词命题的否定是存在量词命题即可求解.【详解】因为全称量词命题的否定是存在量词命题，所以“0∀∈-=R a ax 有实数解”的否定是“0∃∈-=R a ax 无实数解”．故选:D ．3.下列表示错误的是()A.{}{,}a a b ∈B.{,}{,}a b b a ⊆ C.{1,1}{1,0,1}-⊆- D.{1,1}∅⊆-【答案】A 【解析】【分析】根据集合间的关系逐项判断即可﹒【详解】A ：集合之间应该是包含或被包含的关系，∈是元素与集合的关系，故A 错误；B ：集合里面的元素具有无序性，一个集合是它本身的子集，故B 正确；C ：{1,1}-里面的元素都在{1,0,1}-里面，故{1,1}{1,0,1}-⊆-，故C 正确；D ：空集是任何集合的子集，故D 正确﹒故选：A ﹒4.“1a >”是“0a >”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】【分析】利用充分条件，必要条件的定义即得.【详解】因为11a a >⇔<-或1a >，又1a <-时，不能得出0a >；0a >时，不能得出1a <-；所以“1a >”是“0a >”的既不充分也不必要条件.故选:D.5.不等式()()2120--≥x x 的解集为（）A.12x x ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭ B.122xx ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭C.{|0.5x x ≤或}2x ≥ D.12x x ⎧⎫≤⎨⎬⎩⎭【答案】B 【解析】【分析】直接解一元二次不等式可得答案.【详解】原不等式即为()()2210x x --≤，解得122x ≤≤，故原不等式的解集为122x x ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭.故选：B.6.已知集合A ={x ∈N|0≤x <m }有8个子集，则实数m 的取值范围为（）A.{m |2<m ≤3}B.{m |2≤m <3}C.{m |2≤m ≤3}D.{m |2<m <3}【答案】A 【解析】【分析】根据题意，集合元素的个数与子集的关系确定集合A 的元素个数，再求m 的取值范围.【详解】因为A 有8个子集，所以集合A 中含有3个元素，则2<m ≤3.故选:A.7.若12x >，则函数2()21=+-f x x x 的最小值为（）A. B.1+ C.4D.2.5【答案】D 【解析】【分析】由12x >，则210x ->，又()121()212212f x x x =-++-，从而利用均值不等式即可求解.【详解】解：因为12x >，所以210x ->，所以()212115()2121221222f x x x x x =+=-++≥=--，当且仅当()1221221x x -=-，即32x =时等号成立，所以函数2()21=+-f x x x 的最小值为2.5，故选：D.8.定义集合运算：2(,),2x A B x y A B y ⎧⎫⊕=∈∈⎨⎬⎩⎭．若集合{}14A B x x ==∈<<N ，15(,)63C x y y x ⎧⎫==-+⎨⎬⎩⎭，则()A B C ⊕⋂=（）A.∅B.(){}4,1C.31,2⎧⎫⎛⎫⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭D.()24,1,6,3⎧⎫⎛⎫⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭【答案】D 【解析】【分析】求解集合,A B ，令22x=或3，22y =或3，计算,x y 的值，求解A B ⊕，即可计算结果.【详解】∵{}14A B x x ==∈<<N ，∴{2,3}A B ==，令22x=或3，22y =或3，则4x =或6,1y =或32，则22(4,1),4,,(6,1),6,33A B ⎧⎫⎛⎫⎛⎫⊕=⎨⎬ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎩⎭，因为15(,)63C x y y x ⎧⎫==-+⎨⎩⎭，故2()(4,1),6,3A B C ⎧⎫⎛⎫⊕⋂=⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭．故选：D.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得５分，部分选对的得２分，有选错的得０分.9.已知a <b <0，则下列不等式成立的是（）A.|a |>|b |B.11a b <C.ab <b 2 D.b a a b<【答案】AD 【解析】【分析】根据给定条件，结合不等式的性质逐项分析判断作答.【详解】因0a b <<，则0a b ->->，即||||a b >，A 正确；因0a b <<，即有0ab >，则a bab ab<，即11a b >，B 不正确；因0a b <<，则20ab b >>，C 不正确；由选项A 知，||||0a b >>，则22b a <，又0ab >，于是得22b a ab ab<，即b a a b <，D 正确.故选：AD10.（多选）如图所示，U 是全集，A 、B 是U 的两个子集，则阴影部分表示的集合是（）A.()UAB ð B.()U B B⋂ð C.()U A B ⋂ð D.()U A A B ⋂⋂ð【答案】AD 【解析】【分析】在阴影部分区域所表示的集合中任取一个元素x ，分析元素x 与集合A 、B 、A B ⋂的关系，可得出结果.【详解】在阴影部分区域所表示的集合中任取一个元素x ，则x A ∈且x B ∉，或x A ∈且()x A B ∉故阴影部分区域所表示的集合为()U A B ð或()U A A B ⋂⋂ð.故选：AD.11.“23R,208x kx kx ∀∈+-<”的一个充分不必要条件可能是（）A.0k =B.30k -<<C.31k -<<-D.30k -<≤【答案】ABC 【解析】【分析】求出不等式恒成立时k 的取值范围，再利用充分不必要条件的意义判断得解.【详解】由23R,208x kx kx ∀∈+-<知，当0k =时，308-<恒成立，则0k =，当0k ≠时，2Δ30k k k <⎧⎨=+<⎩，解得30k -<<，则30k -<<，因此30k -<≤，显然{0}{|30}k k -<≤，{|30}k k -<<{|30}k k -<≤，{|31}k k -<<-{|30}k k -<≤，ABC正确；而{|30}{|30}k k k k -<≤=-<≤，D 错误.故选：ABC12.已知a >0，b >0，a ＋b ＝1，则（）A.a 2＋b 2≥12B.ab ≤14C.11a b+≤4 D.【答案】ABD 【解析】【分析】利用基本不等式，结合已知条件，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.【详解】对A ：因为()()22221a b a b +≥+=，故可得2212a b +≥，当且仅当12a b ==时取得最小值，故A 正确；对B ：因为()21144ab a b ≤+=，当且仅当12a b ==时，取得最大值，故B 正确；对C ：0,0a b >>，又()1111224a b a b a b a b b a ⎛⎫+=++=++≥+ ⎪⎝⎭，当且仅当12a b ==时取得最小值，故C 错误；对D ：0,0a b >>，又22222⎛⎫=+≥ ⎪⎝⎭，+≤，当且仅当12a b ==时取得最大值，故D 正确；故选：ABD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知A B ⊆，则“x A ∈”是“x B ∈”的________条件．【答案】充分【解析】【分析】利用充分条件的定义和子集的定义求解.【详解】解：因为A B ⊆，所以当x A ∈时，则x B ∈，所以“x A ∈”是“x B ∈”的充分条件．故答案为：充分14.若2312a b <<<<，，则2a b -的取值范围是____．【答案】()25，【解析】【分析】直接利用不等式的性质计算即可.【详解】23a << ，426a ∴<<①，又12b << ，21b ∴-<-<-②，①+②可得225a b <-<即2a b -的取值范围是()25，故答案为：()25，15.深圳科学高中先后举办了多个学科的课余活动．已知高一（1）班有50名同学，其中30名同学参加了数学活动，26名同学参加了物理活动，15名同学同时参加了数学、物理两个学科的活动，则这个班既没有参加数学活动，也没有参加物理活动的同学人数是__________________．【答案】9【解析】【分析】以集合A 、B 分别表示该班参加数学、物理活动的同学组成的集合，U 表示这个班所有的同学构成的集合，利用韦恩图法可求得结果.【详解】以集合A 、B 分别表示该班参加数学、物理活动的同学组成的集合，U 表示这个班所有的同学构成的集合，如下图所示：由图可知，这个班既没有参加数学活动，也没有参加物理活动的同学人数为()501515119-++=.故答案为：9.16.已知命题:{11}p m mm ∃∈-≤≤∣，2532a a m -+<+，若p 是假命题，则实数a 的取值范围是________________.【答案】{|0a a ≤或5}a ≥【解析】【分析】根据命题p 为假命题，转化为{11}m mm ∀∈-≤≤∣，2532a a m -+≥+恒成立，即可求解.【详解】因为命题“:{11}p m mm ∃∈-≤≤∣，2532a a m -+<+”且命题p 是假命题，可得命题“:{|11}p m m m ⌝∀∈-≤≤，2532a a m -+≥+”为真命题，即{11}m mm ∀∈-≤≤∣，2532a a m -+≥+恒成立，可得2533a a -+≥，即250a a -≥，解得0a ≤或5a ≥，即实数a 的取值范围是{|0a a ≤或5}a ≥.故答案为：{|0a a ≤或5}a ≥.【点睛】本题主要考查了利用命题的真假求解参数的取值范围，其中解答中熟记全称命题与存在性命题的关系，以及恒成立问题的求解方法是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于基础题.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知集合{26},{39}A x x B x x =≤<=<<，（1）分别求(),()R R A B B A⋂⋃痧（2）已知{1}C x a x a =<<+，若C B ⊆，求实数a 的取值范围【答案】（1）(){R 3A B x x ⋂=≤ð或}6x ≥，{()6R B A x ⋃=<ð或}9x ≥；（2）[3,8]a ∈.【解析】【分析】（1）根据集合交并补集的概念即可求出结果；（2）根据集合的包含关系得到319a a ≥⎧⎨+≤⎩，解不等式组即可求出结果.【详解】解：（1）因为{36}A B x x ⋂=<<，所以(){R 3A B x x ⋂=≤ð或}6x ≥，因为{R 3B x x =≤ð或}9x ≥，，所以{()6R B A x ⋃=<ð或}9x ≥.（2）因为C B ⊆，所以319a a ≥⎧⎨+≤⎩，解之得38a ≤≤，所以[3,8]a ∈．18.（1）比较22x x -与22x x +-的大小；（2）已知0c a b >>>，求证：a b c a c b >--.【答案】（1）2222x x x x ->+-；（2）证明见解析【解析】【分析】（1）通过做差来比较大小即可；（2）通过做差来证明即可.【详解】（1）()()22222221021x x x x x x x --=-+--+=+>,2222x x x x ∴+-->；（2）()()()()()()()a cb bc a c a b a b c a c b c a c b c a c b -----==------，0c a b >>> ，0,0,0c a c b a b ∴->->->，0a b c a c b ∴->--，即a b c a c b>--，证毕.19.已知集合{}12A x x =-≤≤，()(){}10B x x a x a =---<，a ∈R.（1）若1B ∈，求实数a 的取值范围；（2）若“x B ∈”是“x A ∈”的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.【答案】（1）()0,1（2）[]1,1-【解析】【分析】（1）将元素1代入集合B 中的不等式中，解不等式求解即可．（2）根据充分条件和必要条件的定义转化为集合关系进行求解即可.【小问1详解】若1B ∈，则()10a a --<，解得01a <<，即实数a 的取值范围()0,1【小问2详解】由题知，{}12A x x =-≤≤，()(){}{}101B x x a x a x a x a =---<=<<+，因为“x B ∈”是“x A ∈”的充分不必要条件，所以集合B 是集合A 的真子集，即112a a ≥-⎧⎨+≤⎩，解得11a -≤≤.即实数a 的取值范围是[]1,1-.20.设集合{}22190A x x ax a =-+-=，{}2560B x x x =-+=，{}2230C x x x =--=.（1）若A B A B = ，求实数a 的值；（2）若∅()A B 且A C ⋂=∅，求实数a 的值.【答案】（1）5（2）3-【解析】【分析】（1）首先求出集合B ，依题意可得A B =，从而得到2，3是方程22190x ax a -+-=的两个根，利用韦达定理计算可得；（2）首先求出集合C ，依题意可得A B ⋂≠∅，又A C ⋂=∅，所以2A ∈，即可求出a 的值，再检验即可.【小问1详解】由题可得{}{}25602,3B x x x =-+==，由A B A B = ，得A B =.从而2，3是方程22190x ax a -+-=的两个根，即2232319a a +=⎧⎨⨯=-⎩，解得5a =.【小问2详解】因为{}2,3B =，{}{}22301,3C x x x =--==-.因为∅()A B ，所以A B ⋂≠∅，又A C ⋂=∅，所以2A ∈，即242190a a -+-=，22150a a --=，解得5a =或3a =-.当5a =时，{}2,3A =，则A C ⋂≠∅，不符合题意；当3a =-时，{}5,2A =-，则∅{}2A B ⋂=且A C ⋂=∅，故3a =-符合题意，综上，实数a 的值为3-.21.为宣传2023年杭州亚运会，某公益广告公司拟在一张矩形海报纸（记为矩形ABCD ，如图）上设计四个等高的宣传栏（栏面分别为两个等腰三角形和两个全等的直角三角形且2GH EF =），宣传栏（图中阴影部分）的面积之和为236000cm .为了美观，要求海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为10cm （宣传栏中相邻两个三角形板块间在水平方向上的留空宽度也都是10cm ），设cm EF x =.（1）当60x =时，求海报纸（矩形ABCD ）的周长；（2）为节约成本，应如何选择海报纸的尺寸，可使用纸量最少（即矩形ABCD 的面积最小）？【答案】（1）900cm（2）选择长、宽分别为350cm ，140cm 的海报纸，可使用纸量最少【解析】【分析】（1）根据宣传栏的面积以及60x =可计算出直角三角形的高，再根据留空宽度即可求得矩形ABCD 的周长；（2）根据阴影部分面积为定值，表示出矩形面积的表达式利用基本不等式即可求得面积的最小值，验证等号成立的条件即可得出对应的长和宽.【小问1详解】设阴影部分直角三角形的高为y cm ，所以阴影部分的面积163360002S xy xy =⨯==，所以12000xy =，又60x =，故200y =，由图可知20220AD y =+=cm ，350230AB x =+=cm.海报纸的周长为()2220230900⨯+=cm.故海报纸的周长为900cm.【小问2详解】由（1）知12000xy =，0x >，0y >，()()350203605010003100049000ABCD S x y xy x y xy =++=+++≥++=，当且仅当65x y =，即100x =cm ，120y =cm 时等号成立，此时，350AB =cm ，140AD =cm.故选择矩形的长、宽分别为350cm ，140cm 的海报纸，可使用纸量最少.22.已知集合(){}121212=,+=2,>0,>0D x x x x x x .（1）求2212x x +的最小值；（2）对任意(),a b D ∈，证明112223+≥++a b a b ．【答案】（1）2（2）证明见解析【解析】【分析】（1）利用基本不等式可求得2212x x +的最小值；（2）分析可知()()12216a b a b +++=⎡⎤⎣⎦，将代数式1122a b a b +++与()()1226a b a b +++⎡⎤⎣⎦相乘，展开后利用基本不等式可证得原不等式成立.【小问1详解】解：因为10x >，20x >且122x x +=，所以，()22221212121224222x x x x x x x x +⎛⎫+=+-≥-⨯= ⎪⎝⎭，当且仅当121x x ==时，等号成立，故2212x x +的最小值为2.【小问2详解】解：由题意可知0a >，0b >且2a b +=，所以，()()12216a b a b +++=⎡⎤⎣⎦，故()()111112222622a b a b a b a b a b a b ⎛⎫+=++++⎡⎤ ⎪⎣⎦++++⎝⎭122122262263a b a b a b a b ⎛++⎛⎫=++≥+= ⎪ ++⎝⎭⎝，当且仅当==1a b 时，等号成立，故原不等式得证.。
2023_2024学年北京市高一上册10月月考数学模拟测试卷(附答案)
17．设全集为 R,集合
.
(注：如果选择多个条件分别解答， 则按第一个解答计分)
(1)若 a 1 ,求 ðR A B ;
(2)当 a =0 时,是否满足 A B R ?说明理由;
(3)在 ①A②③B A, A B B, ðR A B , 这三个条件中任选一个作为已知条件,求实数 a
的取值范围.
(2)若集合 A x1, x2, x3, x4, x1 x2 x3 x4 且 A A ，求证 x1 x4 x2 x3 ；
(3)若集合 A {x | 0 x 2023, x N} 且 A A ，求 A 中元素个数的最大值.
1．B
【分析】根据交集概念进行求解即可. 【详解】 A B {1,1, 2, 4}{x | 1 x 3} {1, 2}
① f 3 3
②若 f a f b,则 a b 1 ③函数 y f x x 的值域是1, 0
④函数 y x·f x在1, 上单调递增
其中所有正确说法的序号是
三、解答题共 5 小题，共 70 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
A x | x2 2x 3 0 , B {x | a 1 x 2a 3}
a 【分析】参数分离可得
x2 x 3 x 1 ，设
f
x
x2 x 3 x 1 ，将存在问题转化为 a
f
x
max
，求
出函数的最大值，即可得到实数 a 的取值范围.
a x2 x 3
f x x2 x 3
【详解】因为 x 1 0 ，所以将原不等式参数分离可得
x 1 ，设
x 1 ，
已知存在 x [0,1] ，有 x2
集合 A 所有非空子集的“交替和”的和为（ ）
重庆市2024-2025学年高一上学期10月月考试题 数学含答案
重庆高2027届高一上期月考数学试题卷（答案在最后）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号码填写在答题卡上.2.作答时，务必将答案写在答题卡上.写在本试卷及草稿纸上无效.3.考试结束后，将答题卡交回.一､单项选择题.本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}432A B x x =≤=，，则A B = （）A.2163xx ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭B.{}316x x ≤< C.223xx ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭D.{}02x x ≤≤2.命题.“230,1x x x ∃<+>”的否定是（）A.230,1x x x ∀≥+≤ B.230,1x x x ∀<+≤ C.230,1x x x ∃<+≤ D.230,1x x x ∃≥+≤3.已知函数()2f x +的定义域为()3,4-，则函数()1g x +=的定义域为（）A.()4,3- B.()2,5- C.1,33⎛⎫⎪⎝⎭D.1,53⎛⎫ ⎪⎝⎭4.使得“[]21,2,0x x x a ∀∈+-≤”为真命题的一个充分不必要条件是（）A.2a ≥ B.2a > C.6a > D.6a ≥5.若正实数,x y 满足3x y +=，且不等式22823m m x y+>-+恒成立，则实数m 的取值范围是（）A.{31}m m -<<∣B.{3m m <-∣或1}m >C.{13}m m -<<∣D.{1mm <-∣或3}m >6.函数()()()245,2231,2x a x x f x a x x ⎧-++<⎪=⎨-+≥⎪⎩满足对12,R x x ∀∈且12x x ≠，都有()()()12120f x f x x x --<⎡⎤⎣⎦，则实数a 的取值范围是（）A.30,2⎛⎫⎪⎝⎭B.30,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭C.()0,1 D.[]0,17.已知,a b 均为正实数，且1a b +=，则下列选项错误的是（）A.的B.34aa b++的最小值为7+C.()()11a b ++的最大值为94D.2232a b a b +++的最小值为168.含有有限个元素的数集，定义其“交替和”如下：把集合中的数按从小到大的顺序排列，然后从最大的数开始交替地加减各数，例如{}4,6,9的“交替和”是9647-+=；而{}5的交替和是5，则集合{}Z 54M x x =∈-≤≤∣的所有非空子集的“交替和”的总和为（）A.2048B.2024C.1024D.512二､多项选择题.本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知,,a b c ∈R ；则下列不等式一定成立的有（）A.若0ab ≠且a b <，则11a b >B.若0a b >>，则20242024b b a a +<+C.若,a b c d >>，则ac bd >D.()221222a b a b ++≥--10.下列说法正确的是（）A.若p 是q 的必要不充分条件，p 是r 的充要条件，则q 是r 的充分不必要条件B.若关于x 的不等式2430kx kx k -++≥的解集为R ，则实数k 的取值范围是01k <≤C.若不等式()()30x ax b x c-+≤-的解集为[)[)2,13,∞-⋃+，则不等式2320ax ax b --≥的解集为[]1,4-D.“[]()21,3,2130a ax a x a ∃∈---+-<”为假命题的充要条件为[]51,0,43x ⎡⎤∈-⋃⎢⎥⎣⎦11.已知函数()f x 的定义域为[)0,+∞，且满足当[)0,2x ∈时，()22f x x x =-+，当2x ≥时，恒有()()2f x f x λ=-，且λ为非零常数，则下列说法正确的有（）A.()()101320272024f f λ+=B.当12λ=时，反比例函数()1g x x =与()f x 在()0,2024x ∈上的图象有且仅有6个交点C.当0λ<时，()f x 在区间[]2024,2025上单调递减D.当1λ<-时，()f x 在[]()*0,4n n ∈N上的值域为2122,n n λλ--⎡⎤⎣⎦三､填空题.本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知集合{}210A xx =-=∣，则集合A 有__________个子集.13.已知集合[]()(){}1,4,10A B x x a ax ==+-≤∣，若A B B = 且0a ≥，则实数a 的取值范围是__________.14.若正实数x ，y 满足()()332331423x y x y -+-=--，则2346y x x x y++的最小值为__________.四､解答题､本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.已知函数()21,122,1x x f x x x ⎧->-⎪=⎨⎪--≤-⎩.（1）若()01f x =，求0x 的值；（2）若()3f a a <+，求实数a 的取值范围.16.已知函数()f x =A ，集合{}321B xx =->∣.（1）求A B ；（2）集合{}321M xa x a =-≤≤-∣，若M ()RA ð，求实数a 的取值范围.17.已知二次函数()f x 的图象过原点()0,0，且对任意x ∈R ，恒有()26231x f x x --≤≤+.（1）求()1f -的值；（2）求函数()f x 的解析式；（3）记函数()g x m x =-，若对任意(]11,6x ∈，均存在[]26,10x ∈，使得()()12f x g x >，求实数m 的取值范围.18.教材中的基本不等式可以推广到n 阶：n 个正数的算数平均数不小于它们的几何平均数.也即：若12,,,0n a a a >，则有*12,2n a a a n n n+++≥∈≥N ，当且仅当12n a a a === 时取等.利用此结论解决下列问题：（1）若,,0x y z >，求24y z xx y z++的最小值；（2）若10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求()312x x -的最大值，并求取得最大值时的x 的值；（3）对任意*k ∈N ，判断11kk ⎛⎫+ ⎪⎝⎭与1111k k +⎛⎫+ ⎪+⎝⎭的大小关系并加以严格证明.19.已知定义在11,,22⎛⎫⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上的函数()f x 同时满足下列四个条件：①512f ⎛⎫=-⎪⎝⎭；②对任意12x >，恒有()()0f x f x -+=；③对任意32x >，恒有()0f x <；④对任意,0a b >，恒有111222f a f b f ab ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.（1）求32f ⎛⎫-⎪⎝⎭的值；（2）判断()f x 在1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭上的单调性，并用定义法证明；（3）若对任意[]1,1t ∈-，恒有()()21232f t k t k -+-+≤，求实数k 的取值范围.重庆高2027届高一上期月考数学试题卷注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号码填写在答题卡上.2.作答时，务必将答案写在答题卡上.写在本试卷及草稿纸上无效.3.考试结束后，将答题卡交回.一､单项选择题.本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}432A B x x =≤=，，则A B = （）A.2163xx ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭B.{}316x x ≤< C.223xx ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭D.{}02x x ≤≤【答案】A 【解析】【分析】根据集合的交集运算法则运算即可.【详解】因为{}{}4016A x x =≤=≤≤，{}2323B x x x x ⎧⎫==>⎨⎩⎭，所以A B = 2163x x ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭.故选：A .2.命题.“230,1x x x ∃<+>”的否定是（）A.230,1x x x ∀≥+≤B.230,1x x x ∀<+≤ C.230,1x x x ∃<+≤ D.230,1x x x ∃≥+≤【答案】B 【解析】【分析】利用特称命题的否定形式回答即可.【详解】根据特称命题的否定形式可知命题.“230,1x x x ∃<+>”的否定是“230,1x x x ∀<+≤”.故选：B3.已知函数()2f x +的定义域为()3,4-，则函数()1g x +=的定义域为（）A.()4,3- B.()2,5- C.1,33⎛⎫ ⎪⎝⎭D.1,53⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】【分析】根据抽象函数及具体函数的定义域求解即可.【详解】因为函数()2f x +的定义域为()3,4-，所以函数()f x 的定义域为()1,6-，则对于函数()1g x +=，需满足116310x x -<+<⎧⎨->⎩，解得153x <<，即函数()1g x +=的定义域为1,53⎛⎫⎪⎝⎭.故选：D.4.使得“[]21,2,0x x x a ∀∈+-≤”为真命题的一个充分不必要条件是（）A.2a ≥B.2a >C.6a > D.6a ≥【答案】C 【解析】【分析】对于全称量词命题2[1,2],0x x x a ∀∈+-≤，我们需要先求出使得该命题为真时a 的取值范围，然后再根据充分不必要条件的定义来判断选项.【详解】令2()f x x x =+，[1,2]x ∈.对于二次函数2y ax bx c =++，其对称轴为122b x a =-=-.因为10a =>，所以函数()f x 在[1,2]上单调递增.那么()f x 在[1,2]上的最大值为2max ()(2)226f x f ==+=.因为2[1,2],0x x x a ∀∈+-≤为真命题，即2a x x ≥+在[1,2]上恒成立，所以max ()6a f x ≥=.A 是B 的充分而不必要条件，即值A B ⇒，B A ¿.当6a >时，一定满足6a ≥，所以6a >是6a ≥的充分不必要条件.而2a >时，不能保证一定满足6a ≥，2a ≥时，也不能保证一定满足6a ≥.故选：C.5.若正实数,x y 满足3x y +=，且不等式22823m m x y+>-+恒成立，则实数m 的取值范围是（）A.{31}mm -<<∣ B.{3m m <-∣或1}m > C.{13}m m -<<∣ D.{1mm <-∣或3}m >【答案】C 【解析】【分析】利用基本不等式和常值代换法求得28x y+的最小值，依题得到不等式2236m m -+<，解之即得.【详解】因3x y +=，由28128()()3x y x y x y+=++1281(10)(10633y x x y =++≥+=，当且仅当28y x x y =时取等号，即当1,2x y ==时，28x y+取得最小值6.因不等式22823m m x y+>-+恒成立，故2236m m -+<，即2230m m --<，解得13m -<<.故选：C.6.函数()()()245,2231,2x a x x f x a x x ⎧-++<⎪=⎨-+≥⎪⎩满足对12,R x x ∀∈且12x x ≠，都有()()()12120f x f x x x --<⎡⎤⎣⎦，则实数a 的取值范围是（）A.30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B.30,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭C.()0,1 D.[]0,1【答案】D 【解析】【分析】根据题意，得到()f x 在定义域R 上为单调递减函数，结合分段函数的单调性的判定方法，列出不等式组，即可求解.【详解】由函数()()()245,2231,2x a x x f x a x x ⎧-++<⎪=⎨-+≥⎪⎩因为函数()y f x =任意12,R x x ∀∈且12x x ≠，都有()()()12120f x f x x x --<⎡⎤⎣⎦，所以函数()f x 在定义域R 上为单调递减函数，则满足()()242223024252321a a a a +⎧≥⎪⎪-<⎨⎪-+⨯+≥-⨯+⎪⎩，即0321a a a ≥⎧⎪⎪<⎨⎪≤⎪⎩，解得01a ≤≤，所以实数a 的取值范围是[]0,1.故选：D.7.已知,a b 均为正实数，且1a b +=，则下列选项错误的是（）A.B.34a a b++的最小值为7+C.()()11a b ++的最大值为94D.2232a b a b +++的最小值为16【答案】B 【解析】【分析】利用基本不等式可判断AC 的正误，利用“1”的代换可判断B 的正误，利用换元法结合常数代换可判断D 的正误.【详解】选项A：2112,1a b a b +=+≤++===时取等，+A 对；选项B：3433443577a a b a b a b aa b a b a b+++++=+=++≥+，当且仅当35,22a b -==时取等，故34a a b ++的最小值为7+，故B 错选项C ：()()2119111,242a b a b a b +++⎛⎫++≤=== ⎪⎝⎭时取等，故()()11a b ++的最大值为94，故C 对；选项D ：换元，令3,2x a y b =+=+，则6x y +=，故()()222232941032x y a b x y a b x y x y--+=+=+-++++94194251413446666x y y x x y x y ⎛⎫⎛⎫+=+⋅-=++-≥-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当1812,55x y ==取等号，故2232a b a b +++的最小值为16，故D 正确；故选：B.8.含有有限个元素的数集，定义其“交替和”如下：把集合中的数按从小到大的顺序排列，然后从最大的数开始交替地加减各数，例如{}4,6,9的“交替和”是9647-+=；而{}5的交替和是5，则集合{}Z 54M x x =∈-≤≤∣的所有非空子集的“交替和”的总和为（）A.2048B.2024C.1024D.512【答案】A 【解析】【分析】将集合M 的子集两两配对(),A B ：使4,4A B ∈∉且{}4B A ⋃=，从而有集合A 与集合B 的交替和之和为4，再利用符合条件的集合对有92个，即可求解.【详解】由题知{}5,4,3,2,1,0,1,2,3,4M =-----，将集合M 的子集两两配对(),A B ：使4,4A B ∈∉且{}4B A ⋃=，则符合条件的集合对有92个，又由题设定义有集合A 与集合B 的交替和之和为4，所以交替和的总和为9114222048⨯==.故选：A.二､多项选择题.本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知,,a b c ∈R ；则下列不等式一定成立的有（）A.若0ab ≠且a b <，则11a b >B.若0a b >>，则20242024b b a a +<+C.若,a b c d >>，则ac bd >D.()221222a b a b ++≥--【答案】BD 【解析】【分析】利用特殊值验证AC 是错误的，利用作差法判断B 的真假，利用配方法证明D 是正确的.【详解】对A ：令1a =-，1b =，则0ab ≠且a b <，但11a b>不成立，故A 错误；对B ：当0a b >>时，()()()20242024202420242024b a a b b b a a a a +-++-=++()()202402024b a a a -=<+，所以20242024b b a a +<+成立，故B 正确；对C ：令3a =-，4b =-，0c =，1d =-，则,a b c d >>，但ac bd >不成立，故C 错误；对D ：因为()()()222212222144a b a b a b a b ++----++++=()()22120a b =-++≥，所以()221222a b a b ++≥--成立，故D 正确.故选：BD10.下列说法正确的是（）A.若p 是q 的必要不充分条件，p 是r 的充要条件，则q 是r 的充分不必要条件B.若关于x 的不等式2430kx kx k -++≥的解集为R ，则实数k 的取值范围是01k <≤C.若不等式()()30x ax b x c-+≤-的解集为[)[)2,13,∞-⋃+，则不等式2320ax ax b --≥的解集为[]1,4-D.“[]()21,3,2130a ax a x a ∃∈---+-<”为假命题的充要条件为[]51,0,43x ⎡⎤∈-⋃⎢⎥⎣⎦【答案】ACD 【解析】【分析】根据充分条件、必要条件的概念判断A ，分类讨论求出k 的范围判断B ，根据数轴穿根法及不等式的解集求出ba及0a <解不等式判断C ，由命题的否定转化为不等式恒成立，看作关于a 的不等式恒成立即可判断D.【详解】对A ，若p 是q 的必要不充分条件，p 是r 的充要条件，则q p r ⇒⇔，但是p 不能推出q ，所以q r ⇒，但是r 不能推出q ，所以q 是r 的充分不必要条件，故A 正确；对B ，当0k =时，原不等式为03≥，恒成立满足题意，当0k ≠时，由题意需满足()2Δ16430k k k k >⎧⎨=-⋅+≤⎩，解得01k <≤，综上，实数k 的取值范围是01k ≤≤，故B 错误；对C ，由不等式()()30x ax b x c-+≤-的解集为[)[)2,13,∞-⋃+，结合数轴穿根法知，1,2bc a==，且0a <，所以不等式2320ax ax b --≥可化为2340x x --≤，解得14x -≤≤，故C 正确；对D ，由题意知[]()21,3,2130a ax a x a ∀∈---+-≥为真命题，则()22130a x x x --++≥在[]1,3a ∈-时恒成立，令()2()213g a a x x x =--++，只需()()2213403350g x x g x x ⎧-=-++≥⎪⎨=-≥⎪⎩，则14503x x x -≤≤⎧⎪⎨≥≤⎪⎩或，解得[]51,0,43x ⎡⎤∈-⋃⎢⎥⎣⎦，故D 正确.故选：ACD11.已知函数()f x 的定义域为[)0,+∞，且满足当[)0,2x ∈时，()22f x x x =-+，当2x ≥时，恒有()()2f x f x λ=-，且λ为非零常数，则下列说法正确的有（）A.()()101320272024f f λ+=B.当12λ=时，反比例函数()1g x x =与()f x 在()0,2024x ∈上的图象有且仅有6个交点C.当0λ<时，()f x 在区间[]2024,2025上单调递减D.当1λ<-时，()f x 在[]()*0,4n n ∈N 上的值域为2122,n n λλ--⎡⎤⎣⎦【答案】ABD 【解析】【分析】根据所给函数解析式直接求解判断A ，根据()f x 的性质及(),()g x f x 图象判断B ，归纳出()f x 在[]2024,2025上的解析式判断C ，根据规律，归纳值域特点判断D.【详解】选项A ：()()()()()210121013101320272025202331f f f f f λλλλλ====== ，()()()()()210111012202420222020200f f f f f λλλλ====== ，则()()101320272024f f λ+=，所以选项A 正确；选项B ：由()()122f x f x =-知，()0,2024x ∈时，()()()()()[)()()[)()()[)210112,0,2124,2,42146,4,62120222024,2022,20242x x x x x x f x x x x x x x ⎧-∈⎪⎪--∈⎪⎪⎪=--∈⎨⎪⎪⎪⎪--∈⎪⎩ ，由于()()()()()()1111111,33,553254g f g f g f ===<==<=，但()()()()31011111177,202320237220232g f g f =>==>= ，作,的图象，如图，结合图象可知()0,6x ∈上有2226++=个交点，在[)6,2024x ∈上无交点，故选项B 正确；选项C ：[]2024,2025x ∈时，()()()1012120242026f x x x λ=--，故()f x 在[]2024,2025上单增，故C 错误；选项D ：因为1λ<-，所以当[]0,4x ∈时，值域为[],1λ；当[]0,8x ∈时，值域为32,λλ⎡⎤⎣⎦；当[]0,12x ∈时，值域为54,λλ⎡⎤⎣⎦；当[]0,16x ∈时，值域为76,λλ⎡⎤⎣⎦；L 当[]0,4x n ∈时，值域为2122,n n λλ--⎡⎤⎣⎦，故D 正确.故选：ABD.【点睛】关键点点睛：根据所给函数解析式，可知函数类似周期特点，图象形状类似，振幅有规律变化，据此可归纳函数的性质是解题的关键所在.三､填空题.本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知集合{}210A xx =-=∣，则集合A 有__________个子集.【答案】4【解析】【分析】求出集合A ，列举出集合A 的子集即可.【详解】因2{10}{1,1}A x x =-==-∣，故集合A 的子集有,{1},{1},{1,1}∅--共4个.故答案为：4.13.已知集合[]()(){}1,4,10A B x x a ax ==+-≤∣，若A B B = 且0a ≥，则实数a 的取值范围是__________.【答案】10,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】根据集合的包含关系，讨论0a =和0a >两种情况，求集合B ，再比较端点值，即可求解.【详解】因为A B B = ，所以A B ⊆，因为()(){}10B x x a ax =+-≤∣，且0a ≥：1 当0a =时，[)0,B ∞=+，符合题意；2当0a >时，1,B a a ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦，则11404a a ≥⇒<≤，综上，10,4a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.故答案为：10,4⎡⎤⎢⎣⎦14.若正实数x ，y 满足()()332331423x y x y -+-=--，则2346y x x x y++的最小值为__________.【答案】【解析】【分析】根据函数的单调性可知243x y =-，代入可得234386y x y xx x y x y++=+，根据基本不等式可得最值.【详解】由题可知()()()()3323231313x x y y -+-=-+-，因为3,y t y t ==在R 上单调递增，所以()3g t t t =+在R 上单增，所以上式可表示为()()2313g x g y -=-，则2313x y -=-，即243x y =-，因此()22433433866x y y x y y x x x x y x y x y -++=++=+≥=当且仅当38243y x x y x y⎧=⎪⎨⎪=-⎩即25x -=，2415y -=时等号成立，故答案为：.四､解答题､本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.已知函数()21,122,1x x f x x x ⎧->-⎪=⎨⎪--≤-⎩.（1）若()01f x =，求0x 的值；（2）若()3f a a <+，求实数a 的取值范围.【答案】（1）02x =或3-（2）5,42⎛⎫-⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）根据分段函数定义分类列方程求解；（2）根据分段函数定义分类列不等式求解．【小问1详解】由()01f x =可得：1∘>−1−1=1⇒0=20=−2舍去）0000123,,23;21x x x x ≤-⎧⇒=-=-⎨--=⎩ 综上或【小问2详解】由()3f a a <+可得：1∘>−11<+3⇒>−12−2−8<0⇒>−1−2<<4⇒∈−1,4；2∘≤−1−−2<+3⇒≤−1>−52⇒∈−52,−1综上可得5,42a ⎛⎫∈-⎪⎝⎭.16.已知函数()f x =A ，集合{}321B xx =->∣.（1）求A B ；（2）集合{}321M xa x a =-≤≤-∣，若M ()RA ð，求实数a 的取值范围.【答案】（1）3{|4A B x x =≤ 或1}x >（2）3,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【解析】【分析】（1）根据条件，先求出集合,A B ，再利用集合的运算，即可求解；（2）由（1）可得R 3,24A ⎛⎤= ⎥⎝⎦ð，再根据条件，分M =∅和M 蛊两种情况讨论，即可求解.【小问1详解】由5402x +≥-,即4302x x -≥-，得到2x >或34x ≤，所以3{|4A x x =≤或2}x >，又由321x ->，得到321x -<-或321x ->，即13x <或1x >，所以1{3B x =<或1}x >，所以3{|4A B x x =≤ 或1}x >.【小问2详解】因为3{|4A x x =≤或2}x >，所以R 3,24A ⎛⎤= ⎥⎝⎦ð，①当321a a ->-，即43a <时，此时M =∅()RA ð，所以43a <满足题意，②当43a ≥，即M 蛊时，由题有212334a a -≤⎧⎪⎨->⎪⎩，解得4332a ≤≤，综上，实数a 的取值范围是3,2a ⎛⎤∈-∞ ⎥⎝⎦.17.已知二次函数()f x 的图象过原点()0,0，且对任意x ∈R ，恒有()26231x f x x --≤≤+.（1）求()1f -的值；（2）求函数()f x 的解析式；（3）记函数()g x m x =-，若对任意(]11,6x ∈，均存在[]26,10x ∈，使得()()12f x g x >，求实数m 的取值范围.【答案】（1）4（2）()222f x x x=-（3）(],10-∞【解析】【分析】（1）令1x =-即可求出()1f -.（2）根据条件，先设出二次函数的解析式，再根据()26231x f x x --≤≤+恒成立，可求待定系数.（3）问题转化成()f x 在区间(]1,6的最小值不小于()g x 在[]6,10上的最小值求参数的取值范围.【小问1详解】在不等式()26231x f x x --≤≤+，令()()141414x f f =-⇒≤-≤⇒-=.【小问2详解】因为()f x 为二次函数且图象过原点()0,0，所以可设()()2,0f x ax bx a =+≠，由()1444f a b b a -=⇒-=⇒=-，于是()()24f x ax a x =+-，由题：()()262220,f x x ax a x x ≥--⇔+++≥∈R 恒成立⇔>0Δ≤0⇔>0+22−8=−22≤0⇒=2,=−2⇒=22−2，检验知此时满足()()223110,f x x x x ≤+⇔+≥∈R ，故()222f x x x =-.【小问3详解】函数()222f x x x =-，开口向上，对称轴12x =，所以()222f x x x =-在区间(]1,6上单调递增，因此，(]11,6x ∈时，()()()(11,6f x f f ⎤∈⎦，即()(]10,60f x ∈，而()g x m x =-在[]6,10上单调递减，所以[]26,10x ∈时，()[]210,6g x m m ∈--因为对任意(]11,6x ∈，均存在[]26,10x ∈，使得()()12f x g x >，等价于()()(]110010,10f g m m ∞≥⇒≥-⇒∈-18.教材中的基本不等式可以推广到n 阶：n 个正数的算数平均数不小于它们的几何平均数.也即：若12,,,0n a a a > ，则有*12,2n a a a n n n +++≥∈≥N ，当且仅当12n a a a === 时取等.利用此结论解决下列问题：（1）若,,0x y z >，求24y z x x y z++的最小值；（2）若10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求()312x x -的最大值，并求取得最大值时的x 的值；（3）对任意*k ∈N ，判断11kk ⎛⎫+ ⎪⎝⎭与1111k k +⎛⎫+ ⎪+⎝⎭的大小关系并加以严格证明.【答案】（1）6（2）最大值为272048，38x =（3）1*1111,1kk k k k +⎛⎫⎛⎫+<+∈ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭N ，证明见解析【解析】【分析】（1）根据三阶基本不等式的内容直接可得解；（2）由()()32722212128333x x xx x x -=⋅⋅⋅⋅-，结合四阶基本不等式可得最值；（3）猜测111111kk k k +⎛⎫⎛⎫+<+ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，*k ∈N 成立，验证1k =不等式成立；结合推广公式证明2k ≥结论成立.【小问1详解】因为,,0x y z >，所以由三阶基本不等式可得：246y z x x y z ++≥，当且仅当24y z xx y z==即2y z x ==时取等号，因此24y z x x y z++的最小值为6；【小问2详解】当10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，由四阶基本不等式可得：()()()432221227222272733312128333842048x x x x x x x x x x ⎛⎫+++- ⎪-=⋅⋅⋅⋅-≤= ⎪⎝⎭，当且仅当2123xx =-即310,82x ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭时取等号，因此()312x x -的最大值为272048；【小问3详解】大小关系为111111kk k k +⎛⎫⎛⎫+<+ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，*k ∈N ，证明如下：由条件可知：12,,,0n a a a > 时，*1212,,2nn n a a a a a a n n n +++⎛⎫⋅≤∈≥ ⎪⎝⎭N ，当1k =时，左边11121⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，右边219124⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，左边<右边，不等式成立；当2k ≥，*k ∈N 时，由1k +阶基本不等式，可知：不等式左边111111111kk k k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+⋅++⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ()(1)1111111111(11)11()111k k k k k k k k k k k k k ++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++++++ ⎪⎪ ⎪⎪⎛⎫++⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ⎪≤== ⎪+++ ⎪⎝⎭⎪⎝⎭个个1111k k +⎛⎫=+ ⎪+⎝⎭而111k ⎛⎫+≠ ⎪⎝⎭，因此上式的不等号取不到等号，于是1111111111kk k k k k k ++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫+<=+ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭，综上，原不等式得证.19.已知定义在11,,22⎛⎫⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上的函数()f x 同时满足下列四个条件：①512f ⎛⎫=-⎪⎝⎭；②对任意12x >，恒有()()0f x f x -+=；③对任意32x >，恒有()0f x <；④对任意,0a b >，恒有111222f a f b f ab ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.（1）求32f ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值；（2）判断()f x 在1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭上的单调性，并用定义法证明；（3）若对任意[]1,1t ∈-，恒有()()21232f t k t k -+-+≤，求实数k 的取值范围.【答案】（1）0（2）()f x 在1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递减，证明见解析（3）3,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】（1）令1a b ==可得302f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，再由()()0f x f x -+=，即可得出答案；（2）由单调性的定义证明即可；（3）由单调性和奇偶性列出不等式，再结合二次函数的性质求解即可.【小问1详解】在111222f a f b f ab ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭中令333120222a b ff f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⇒=⇒= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；（或令53532,102222a b f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⇒+=⇒=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭).而()()333000222f x f x f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+=⇒-+=⇒-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.【小问2详解】()f x 在1,2∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭上单调递减.下证明：由④知：对任意,0a b >，恒有111222f ab f b f a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.证一：任取2112x x >>，于是()()22211111111111122112222222x x f x f x f x f x f x x ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=⋅-+--+=+⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭因为2112x x >>，所以2111022x x ->->221111132********x x x x --⇒>⇒+>--，而对任意32x >时恒有()0f x <，故211120122x f x ⎛⎫- ⎪+<⎪ ⎪-⎝⎭，即()()210f x f x -<，所以()f x 在1,2∞⎛⎫+⎪⎝⎭上单调递减，证毕；证二：任取2112x x >>，设2111,,1,022x mn x n m n =+=+>>()()21111222f x f x f mn f n f m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，因为131.22m m >+>，所以102f m ⎛⎫+< ⎪⎝⎭，即()()21f x f x <，也即()f x 在1,2∞⎛⎫+⎪⎝⎭单调递减,证毕；【小问3详解】在111222f a f b f ab ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭中：令5599222222a b f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⇒+=⇒=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，而()()0f x f x -+=，于是922f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭令139339,402442242a b f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⇒+==⇒=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，由（2）知()f x 在1,2∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭上单调递减，又()()0f x f x -+=，可得()f x 在1,2∞⎛⎫-- ⎪⎝⎭上也单调递减，如图，可知不等式()()21232f t k t k -+-+≤等价于：对任意[]11t ,∈-，不等式()231234t k t k -+-+≥……①或者()29112322t k t k -≤-+-+<-恒成立，……②法一：令()()[]2123,1,1g t t k t k t =-+-+∈-立，因为()g t 开口向下，由()g t 图像可知：不等式①()()11313204;334144k g k g k ⎧⎧≥-≥⎪⎪⎪⎪⇔⇒⇒≥⎨⎨⎪⎪≥≥⎪⎪⎩⎩对于②，当1t =±时，由()()1391121022919112222k g k g k ∅⎧⎧-≤<-≤-<-⎪⎪⎪⎪⇒⇒∈⎨⎨⎪⎪-≤<--≤<-⎪⎪⎩⎩，即一定不存在k 满足②.综上取并，得3,4k ∞⎡⎫∈+⎪⎢⎣⎭法二：令()()[]()2123,1,1,g t t k t k t g t =-+-+∈-开口向下，对称轴为12t k =-，且()()211152,1,224g k g k g k k k ⎛⎫-=-=-=++ ⎪⎝⎭，1 当112k -<-即32k >时，问题等价于>321≥34或>32−1<−121≥−92,解得32k >；2 当1102k -≤-≤即1322k ≤≤时，等价于()1322314k g ⎧≤≤⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩或()13221133,;2242912k g k k g ⎧≤≤⎪⎪⎪⎛⎫⎡⎤-<-⇒∈⎨ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎪⎪≥-⎪⎩3 当1012k <-≤即1122k -≤<时，问题等价于()1122314k g ⎧-≤<⎪⎪⎨⎪-≥⎪⎩或()11221122912k g k g ⎧-≤<⎪⎪⎪⎛⎫-<-⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪-≥-⎪⎩，解得k ∈∅；4 当112k ->即12k <-时，问题等价于()12314k g ⎧<-⎪⎪⎨⎪-≥⎪⎩或()()12112912k g g ⎧<-⎪⎪⎪<-⎨⎪⎪-≥-⎪⎩，解得k ∈∅；综上，3,4k ∞⎡⎫∈+⎪⎢⎣⎭.。
广西壮族自治区贵百河武鸣高中2024-2025学年高一上学期10月月考试题 数学(含解析)
2024级“贵百河—武鸣高中”10月高一年级新高考月考测试数 学（考试时间：120分钟 满分：150分）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
3.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，集合，则图中阴影部分表示的集合为（）A . B.C .D .2.已知命题，则是（ ）A .B .C .D .3.已知集合，则“”是“集合M 仅有1个真子集”的（ ）A .必要不充分条件B .充分不必要条件C .充要条件D .既不充分又不必要条件4.已知函数的对应关系如下表，函数的图象如图，则的值为（）A .3B .0C .1D .25.给出下列结论：①两个实数a ，b 之间，有且只有a ﹥b ，a ＝b ，a <b 三种关系中的一种；②若，则a ﹥b ；③若，；④已知，则.其中正确结论的个数为（ ）A .1B .2C .3D .4x123230{32}A x x =-<<{05}B x x =<<{35}x x -<<{02}x x <<{30}x x -<≤{3025}x x x -<≤≤<或2:1,1p x x ∀<->p ⌝21,1x x ∃≤-≤21,1x x ∃<-≤21,1x x ∀<->21,1x x ∀≥->{}()210R M x ax x a =-+=∈14a =)(x f y ＝)(x g y ＝()1f g ⎡⎤⎣⎦1>ab0a b >>0a bc d d c >>⇒>0ab >11a b a b>⇔<()f x6.已知函数的定义域是，则的定义域为（）A .B .C .D .7．已知函数，若对于任意的实数与至少有一个为正数，则实数m 的取值范围是（ ）A .B .C .D .8.已知正实数a ，b ，记，则M 的最小值为（）AB .2C .1D .二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。
山西省大同市2023-2024学年高一上学期10月月考数学试题含解析
2023~2024-1高一年级10月学情检测数学试卷（答案在最后）（试卷满分100分，考试时间90分钟）一、单选题（本大题共8小题，每题4分，共32分）1.已知集合{}{}23,2,1,4,,A B x x n n A=--==∈，则A B = （）A.{}9,16 B.{}2,3 C.{}1,4 D.{}1,2【答案】C 【解析】【分析】由集合描述法求出集合B ，根据交集直接运算即可.【详解】因为{}{}23,2,1,4,,A B x x n n A =--==∈，所以{1,4,9,16}B =，所以{1,4}A B = ，故选：C2.命题“20,210x x x ∀>-+>”的否定是（）A.20000,210x x x ∃>-+≤ B.20,210x x x ∀>-+≤C.20000,210x x x ∃≤-+≤ D.20,210x x x ∀≤-+≤【答案】A 【解析】【分析】由含有一个量词的命题的否定规则求解.【详解】命题“20,210x x x ∀>-+>”的否定是“20000,210x x x ∃>-+≤”.故选：A ．3.已知集合{}20,1,A a =，{}0,1,23B a =+，若A B =，则a 等于（）A.－1或3B.0或1C.3D.－1【答案】C 【解析】【分析】根据集合相等即元素相同解出a ，再根据集合元素互异性求出a 值.【详解】由A B =有223a a =+，解得1a =-，3a =.当1a =-时，{}0,1,1A =与集合元素的互异性矛盾，舍去.当3a =时，{}0,1,9A B ==，满足题意.故选：C.4.3a b +≠是1a ≠或2b ≠成立的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C .充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】由充分必要条件的定义判断即可.【详解】若1a =且2b =，则3a b +=，故3a b +≠可推出1a ≠或2b ≠；若4,1a b ==-，满足1a ≠或2b ≠，但是3a b +=；即3a b +≠是1a ≠或2b ≠成立的充分不必要条件.故选：A5.若P =0)Q a +=≥，则,P Q 的大小关系是A.P Q <B.P Q=C.P Q > D.,P Q 的大小由a 的取值确定【答案】A 【解析】【分析】由于22=2727P a Q a ++=++，所以只需作差比较22,P Q 的大小即可【详解】因为220P Q -=，,P Q >0，所以P Q <，故选：A.【点睛】此题考查比较两个代数式的大小，利用了作差法，属于基础题. 6.已知A ，B 均为集合U={1，3，5，7，9}的子集,且A∩B={3},∩A={9},则A=（）A.{1，3}B.{3，7，9}C.{3，5，9}D.{3，9}【答案】D 【解析】【详解】因为A ，B 均为集合U={1，3，5，7，9}的子集,且A∩B={3},∩A={9},所以，3∈A ，9∈A ，若5∈A ，则5∉B ，从而5∈∁U B ，则(∁U B)∩A={5，9}，与题中条件矛盾，故5∉A.同理可得：1∉A ，7∉A.故选D ．7.命题“x ∀∈R ，23208kx kx +-<”为真命题的一个充分不必要条件是（）A.()3,0k ∈-B.(]3,0k ∈-C.()3,1k ∈- D.()3,k ∞∈-+【答案】A 【解析】【分析】先求命题“23R,208x kx kx ∀∈+-<”为真命题的等价条件，再结合充分不必要的定义逐项判断即可.【详解】因为23R,208x kx kx ∀∈+-<为真命题，所以0k =或2030k k k <⎧⎨+<⎩30k ⇔-<≤，对A ，()3,0-是命题“23R,208x kx kx ∀∈+-<”为真命题的充分不必要条件，A 对，对B ，(]3,0-是命题“23R,208x kx kx ∀∈+-<”为真命题的充要条件，B 错，对C ，()3,1-是命题“23R,208x kx kx ∀∈+-<”为真命题的必要不充分条件，C 错，对D ，()3,∞-+是命题“23R,208x kx kx ∀∈+-<”为真命题的必要不充分条件，D 错，故选：A8.定义集合{},A B x x a A b B ==∈∈ ，若{},1A n =-，}B =，且集合A B 有3个元素，则由实数n 所有取值组成的集合的非空真子集的个数为（）A.2B.6C.14D.15【答案】B【解析】【分析】根据集合的新定义运算，再由集合有3个元素确定出n 的取值集合，求解即可.【详解】因为{},A B x x a A b B ==∈∈ ，{},1A n =-，}B =，所以x =，又集合A B 有3个元素，=时，即0n =时，}A B = 满足题意，=时，即1n =，1n =-（舍去）时，A B = ，不符合题意，=时，即n =时，2}A B = 满足题意，=时，即1n =，1n =-（舍去）时，A B = ，不符合题意.综上，n ∈，故所构成集合的非空真子集的个数为3226-=.故选：B二、多选题（本大题共4小题，每题4分，共16分，有多个选项符合题目要求，全部选对的锝4分，有错选的锝0分，部分选对锝2分）9.下列命题正确的是（）A.若10,x >则10x ≥B.若225,x >则5x >C.若,x y >则22x y >D.若22,x y >则x y>【答案】AD 【解析】【分析】结合不等式的基本性质和代入特殊值即可选出正确答案.【详解】解：A ：由()[)10,10,+∞⊆+∞可知，A 正确；B ：由225x >可得5x <-或5x >，B 错误；C ：若0,1x y ==-，得22x y <，故C 不正确；D ：由不等式的基本性质可得D 正确；故选:AD.10.对任意实数a ，b ，c ，下列命题中真命题是（）A.“a b =”是“ac bc =”的充要条件B.“5a +是无理数”是“a 是无理数”的充要条件C.“0a b >>”是“22a b >”的充分条件D.“5a <”是“3a <”的必要条件【答案】BCD 【解析】【分析】根据充分条件、必要条件的定义一一判断即可.【详解】对于A ，a b =能够推出ac bc =；但ac bc =不能推出a b =（如0c =时）；所以“a b =”是“ac bc =”的充分不必要条件，故A 为假命题；对于B ，5a +是无理数能够推出a 是无理数；a 是无理数也能够推出5a +是无理数；所以“5a +是无理数”是“a 是无理数”的充要条件，故B 为真命题;对于C ，0a b >>能够推出22a b >，所以“0a b >>”是“22a b >”的充分条件，故C 为真命题;对于D ，5a <不能够推出3a <；3a <能够推出5a <；所以“5a <”是“3a <”的必要不充分条件，故D 为真命题;故选：BCD.11.已知全集U 的两个非空真子集A ，B 满足()U A B B = ð，则下列关系一定正确的是（）A.A B ⋂=∅B.A B B = C.A B U⋃= D.()UB A A= ð【答案】CD 【解析】【分析】采用特值法，可设{}1,2,3,4U =，{}2,3,4A =，{}1,2B =，根据集合之间的基本关系，对选项,,,A B C D 逐项进行检验，即可得到结果.【详解】令{}1,2,3,4U =，{}2,3,4A =，{}1,2B =，满足()U A B B = ð，但A B ⋂≠∅，A B B ≠I ，故A ，B 均不正确；由()U A B B = ð，知U A B ⊆ð，∴()()U U A A A B =⊆ ð，∴A B U ⋃=，由U A B ⊆ð，知U B A ⊆ð，∴()U B A A = ð，故C ，D 均正确.故选：CD.12.已知集合{}2=23>0A x x x --，{}2=++0B x ax bx c ≤（0a ≠），若A B ⋃=R ，{}=3<4A B x x ⋂≤，则（）A.0a <B.63bc a >-C.关于x 的不等式20ax bx c -+>解集为{<4x x -或}>1x D.关于x 的不等式20ax bx c -+>解集为{}4<<1x x -【答案】BC 【解析】【分析】先求出集合A ，再根据A B ⋃=R 和{}=3<4A B x x ⋂≤可得1-和4是方程20ax bx c ++=的两个根，且0a >，再利用根与系数的关系表示出,b c ，然后逐个分析判断即可.【详解】{}{2=23>0=<1A x x x x x ---或}>3x ，因为{}2=++0B x ax bx c ≤，A B ⋃=R ，{}=3<4A B x x ⋂≤，所以1-和4是方程20ax bx c ++=的两个根，且0a >，所以14,14b ca a-+=--⨯=，所以3,4b a c a =-=-，A 错误，对于B ，2219(63)126312044bc a a a a ⎛⎫--=-+=-+> ⎪⎝⎭，所以63bc a >-，所以B 正确，对于CD ，不等式20ax bx c -+>，可化为2340ax ax a +->，因为0a >，所以不等式可化为2340x x +->，得(1)(4)0x x -+>，解得4x <-或1x >，所以原不等式的解集为{<4x x -或}>1x ，所以C 正确，D 错误，故选：BC三、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）13.已知22a b -<<<，则a b -的取值范围为___________.【答案】()4,0-【解析】【分析】根据不等式的性质计算可得.【详解】解：因为22a b -<<<，即2222a b a b -<<⎧⎪-<<⎨⎪<⎩，所以0a b -<，22b -<-<，所以40a b -<-<，即()4,0a b -∈-故答案为：()4,0-14.已知全集R U =，集合{}240A x x x =-≤，{}2B x m x m =≤≤+，若A B ⋂≠∅，则实数m 的取值范围为______.【答案】[]2,4-【解析】【分析】根据一元二次不等式化简集合A ，根据A B ⋂=∅列出不等式求出m 的范围，再根据补集运算求解即可.【详解】集合{}{}24004A x x x x x =-≤=≤≤，且{}2B x m x m =≤≤+，若A B ⋂=∅，则20m +<或4m >，解得2m <-或4m >，即()(),24m ∞∞∈--⋃+，故当A B ⋂≠∅时，实数m 的取值范围为[]2,4-.故答案为：[]2,4-.15.已知条件p ：|x +1|＞2，条件q ：x ＞a ，且¬p 是¬q 的充分不必要条件，则a 的取值范围是_________【答案】a ≥1【解析】【分析】由题意，可先解出p ，再由逆否命题的性质作出判断，得出a 的取值范围.【详解】由条件p ：|x +1|＞2，解得x ＞1或x ＜﹣3，由条件q ：x ＞a ，∵¬p 是¬q 的充分不必要条件，可得q 是p 的充分不必要条件，∴a ≥1故答案为a ≥1【点睛】本题以不等式为背景考查充分条件必要条件的判断，考查了推理判断能力，利用逆否命题将题意转化是解题的关键.16.已知函数()2f x ax =+()0a >，()21g x x =-，若[]11,2x ∃∈-，[]22,3x ∀∈，使()()12f x g x =成立，则实数a 的取值范围是_________.【答案】[1,)+∞【解析】【分析】根据函数的单调性，分别求得函数()f x 和()g x 的值域构成的集合,A B ，结合题意，得到B A ⊆，列出不等式组，即可求解.【详解】由题意，函数()21g x x =-在[]2,3为单调递减函数，可得()12g x ≤≤，即函数()g x 的值域构成集合[1,2]B =，又由函数()2(0)f x ax a =+>在区间[]1,2-上单调递增，可得()222a f x a -+≤≤+，即函数()f x 的值域构成集合[2,22]A a a =-++，又由[]11,2x ∃∈-，[]22,3x ∀∈，使()()12f x g x =成立，即B A ⊆,则满足21222a a -+≤⎧⎨+≥⎩，解得1a ≥，即实数a 的取值范围是[1,)+∞.故答案为：[1,)+∞.【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：一般地，已知函数()[],,y f x x a b =∈，()[],,y g x x c d =∈（1）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∀∈，总有()()12f x g x <成立，故()()max min f x g x <；（2）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，故()()max max f x g x <；（3）若[]1,x a b ∃∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，故()()min max f x g x <；（4）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x =，则()f x 的值域是()g x 值域的子集．四、解答题（本大题共3小题，每小题12分，共36分）17.已知2:2350p x x --≤，2:3(21)(1)0q x mx m m -+-+≤（其中实数m>2）.（1）分别求出p ，q 中关于x 的不等式的解集M 和N ；（2）若p 是q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围.【答案】（1）{}|57M x x =-≤≤，{}|121N x m x m =+≤≤-（2）{}24m m <≤【解析】【分析】（1）直接根据一元二次不等式的解法可得答案；（2）先把必要不充分条件转化为集合的包含关系，然后列出不等式组，解不等式组即可得答案.【小问1详解】由2235(7)(5)0x x x x --=-+≤，得{}|57M x x =-≤≤；23(21)(1)(21)(1)0[][]x mx m m x m x m -+-+=---+≤，∵m>2，∴211m m ->+，∴{}|121N x m x m =+≤≤-.【小问2详解】∵p 是q 的必要不充分条件，∴N≠⊂M ，∴51721m m -<+⎧⎨≥-⎩，或51721m m -≤+⎧⎨>-⎩，，解得64m -≤≤，又m>2，∴24m <≤，即实数m 的取值范围为{}24m m <≤.18.已知命题2:[1,1],20p x x x k ∀∈-+-≤，命题2:R,2340q x x kx k ∃∈+++=．（1）当命题p ⌝为假命题时，求实数k 的取值范围；（2）若命题p 和q 中有且仅有一个是假命题，求实数k 的取值范围．【答案】（1）[)3,+∞（2）(,1][3,4)-∞- 【解析】【分析】（1）根据p 为真命题,分离参数得到2max (2)3k x x ≥+=，得到答案；（2）根据题意得到命题p 和q 一真一假，分两种情况p 为真，q 为假时和当q 为真，p 为假时，求出参数的取值范围.【小问1详解】当命题p ⌝为假命题时，命题p 为真命题，2:[1,1],2p x x x k ∀∈-+≤，当[1,1]x ∈-时，22[1,3]x x +∈-，∴2max (2)3k x x ≥+=，即3k ≥∴实数k 的取值范围为3k ≥．【小问2详解】∵命题p 和q 中有且仅有一个是假命题，∴命题p 和q 一真一假，当命题q 为真命题时，244(34)0k k ∆=-+≥，解得1k ≤-或4k ≥，①当命题p 为真，命题q 为假时，314k k ≥⎧⎨-<<⎩，解得34k ≤<，②当命题q 为真，命题p 为假时，[)(]34,,1k k ∞∞<⎧⎨∈+⋃--⎩，解得1k ≤-，综上，实数k 的取值范围为(,1][3,4)-∞- ．19.设集合02x a A x x ⎧⎫-=≤⎨⎬+⎩⎭，{}220B x x x =+-≥（1）若1a =，求A B ⋂和A B ⋃；（2）若A B ⊆，求实数a 的取值范围.【答案】（1）{}1,R A B A B ⋂=⋃=（2）{}2a a ≤-【解析】【分析】（1）化简集合,A B ，然后利用并集和交集的定义即可求解；（2）分2a <-，2a =-和2a >-三种情况进行讨论，验证是否满足A B ⊆即可【小问1详解】由102x x -≤+可得()()12020x x x ⎧-+≤⎨+≠⎩解得2<1x -≤．∴{}2<1A x x =-≤．{}{2202B x x x x x =+-≥=≤-或}1x ≥,∴{}1,R A B A B ⋂=⋃=．【小问2详解】当2a <-时，由02x ax -≤+可得()()2020x a x x ⎧-+≤⎨+≠⎩，解得2a x ≤<-,所以{}2A x a x =≤<-，满足A B ⊆；当2a =-时，由202x x +≤+得该不等式解集为∅,故A =∅，满足A B ⊆；当2a >-时，由02x a x -≤+可得()()2020x a x x ⎧-+≤⎨+≠⎩，解得2x a -<≤,所以{}2A x x a =-<≤，不满足A B ⊆；综上所述，实数a 的取值范围为{}2a a ≤-。
重庆市第一中学2024-2025学年高一上学期10月月考数学试题
重庆市第一中学2024-2025学年高一上学期10月月考数学试题一、单选题1．已知集合{}{}432A B x x ==，，则A B =I （ ）A ．2163x x ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭ B ．{}316x x ≤<C ．223x x ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭D ．{}02x x ≤≤2．命题.“230,1x x x ∃<+>”的否定是（ ） A ．230,1x x x ∀≥+≤ B ．230,1x x x ∀<+≤ C ．230,1x x x ∃<+≤D ．230,1x x x ∃≥+≤3．已知函数()2f x +的定义域为()3,4-，则函数()1f xg x +的定义域为（ ）A ．()4,3-B ．()2,5-C ．1,33⎛⎫⎪⎝⎭D ．1,53⎛⎫ ⎪⎝⎭4．使得“[]21,2,0x x x a ∀∈+-≤”为真命题的一个充分不必要条件是（ ）A ．2a ≥B ．2a >C ．6a >D ．6a ≥5．若正实数,x y 满足3x y +=，且不等式22823m m x y+>-+恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ．{31}mm -<<∣ B ．{3m m <-∣或1}m > C ．{13}mm -<<∣D ．{1mm <-∣或3}m > 6．函数()()()245,2231,2x a x x f x a x x ⎧-++<⎪=⎨-+≥⎪⎩满足对12,R x x ∀∈且12x x ≠，都有()()()12120f x f x x x --<⎡⎤⎣⎦，则实数a 的取值范围是（ ） A ．30,2⎛⎫⎪⎝⎭B ．30,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．()0,1D ．[]0,17．已知,a b 均为正实数，且1a b +=，则下列选项错误的是（ ）AB ．34a a b ++的最小值为7+C ．()()11a b ++的最大值为94D ．2232a b a b +++的最小值为16 8．含有有限个元素的数集，定义其“交替和”如下：把集合中的数按从小到大的顺序排列，然后从最大的数开始交替地加减各数，例如{}4,6,9的“交替和”是9647-+=；而{}5的交替和是5，则集合{}Z 54M x x =∈-≤≤∣的所有非空子集的“交替和”的总和为（ ） A ．2048B ．2024C ．1024D ．512二、多选题9．已知,,a b c ∈R ；则下列不等式一定成立的有（ ） A ．若0ab ≠且a b <，则11a b> B ．若0a b >>，则20242024b b a a +<+ C ．若,a bcd >>，则ac bd >D ．()221222a b a b ++≥--10．下列说法正确的是（ ）A ．若p 是q 的必要不充分条件，p 是r 的充要条件，则q 是r 的充分不必要条件B ．若关于x 的不等式2430kx kx k -++≥的解集为R ，则实数k 的取值范围是01k <≤C ．若不等式()()30x ax b x c-+≤-的解集为[)[)2,13,∞-⋃+，则不等式2320ax ax b --≥的解集为[]1,4-D ．“[]()21,3,2130a ax a x a ∃∈---+-<”为假命题的充要条件为[]51,0,43x ⎡⎤∈-⋃⎢⎥⎣⎦11．已知函数()f x 的定义域为[)0,+∞，且满足当[)0,2x ∈时，()22f x x x =-+，当2x ≥时，恒有()()2f x f x λ=-，且λ为非零常数，则下列说法正确的有（ ）A ．()()101320272024f f λ+=B ．当12λ=时，反比例函数()1g x x =与()f x 在()0,2024x ∈上的图象有且仅有6个交点C ．当0λ<时，()f x 在区间[]2024,2025上单调递减D ．当1λ<-时，()f x 在[]()*0,4n n ∈N 上的值域为2122,n n λλ--⎡⎤⎣⎦三、填空题12．已知集合{}210A xx =-=∣，则集合A 有个子集. 13．已知集合[]()(){}1,4,10A B xx a ax ==+-≤∣，若A B B =U 且0a ≥，则实数a 的取值范围是.14．若正实数x ，y 满足()()332331423x y x y -+-=--，则2346y x x x y++的最小值为.四、解答题15．已知函数()21,122,1x x f x x x ⎧->-⎪=⎨⎪--≤-⎩.(1)若()01f x =，求0x 的值；(2)若()3f a a <+，求实数a 的取值范围. 16．已知函数()f x =A ，集合{}321B xx =->∣. (1)求A B U ；(2)集合{}321M xa x a =-≤≤-∣，若M ()R A ð，求实数a 的取值范围. 17．已知二次函数()f x 的图象过原点()0,0，且对任意x ∈R ，恒有()26231x f x x --≤≤+.(1)求()1f -的值； (2)求函数()f x 的解析式；(3)记函数()g x m x =-，若对任意(]11,6x ∈，均存在[]26,10x ∈，使得()()12f x g x >，求实数m 的取值范围.18．教材中的基本不等式可以推广到n 阶：n 个正数的算数平均数不小于它们的几何平均数.也即：若12,,,0n a a a >L，则有*12,2n a a a n n n+++∈≥N L ，当且仅当12n a a a ===L 时取等.利用此结论解决下列问题：(1)若,,0x y z >，求24y z x x y z++的最小值；(2)若10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求()312x x -的最大值，并求取得最大值时的x 的值；(3)对任意*k ∈N ，判断11k k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭与1111k k +⎛⎫+ ⎪+⎝⎭的大小关系并加以严格证明.19．已知定义在11,,22⎛⎫⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上的函数()f x 同时满足下列四个条件：①512f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭；②对任意12x >，恒有()()0f x f x -+=； ③对任意32x >，恒有()0f x <； ④对任意,0a b >，恒有111222f a f b f ab ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.(1)求32f ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值；(2)判断()f x 在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上的单调性，并用定义法证明；(3)若对任意[]1,1t ∈-，恒有()()21232f t k t k -+-+≤，求实数k 的取值范围.。
邢台市第一中学2023-2024学年高一上学期10月月考数学试卷(含答案)
邢台市第一中学2023-2024学年高一上学期10月月考数学试卷 学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题1、设集合{2,3,5,7}A =,{1,2,3,5,8}B =则A B =( )A.{1,3,5,7}B.{2,3}C.{2,3,5}D.{1,2,3,5,7,8} 2、已知0a >,函数2()f x ax bx c =++,若0x 满足关于x 的方程20ax b +=,则下列选项的命题中为假命题的是( )A.x ∃∈R ,0()()f x f x ≤B.x ∃∈R ,0()()f x f x ≥C.x ∀∈R ,0()()f x f x ≤D.x ∀∈R ,0()()f x f x ≥3、若a b >,则下列正确的是( )A.b c a c -<-B.22a b >C.ac >1b < 4、若a ,0b >,且3ab a b =++,则ab 的取值范围是( )A.1ab ≤B.9ab ≥C.3ab ≥D.19ab ≤≤5、已知全集U =R ,集合{|08,}A x x x =<<∈R 和{|35,}B x x x =-<<∈Z 关系的韦恩图如图所示,则阴影部分所表示集合中的元素共有( )A.3个B.4个C.5个D.无数个6、已知x ∈R ,则“(1)(2)0x x --≤成立”是“|1||2|1x x -+-=成立”的_____条件( )A.充分不必要B.必要不充分C.充分必要D.既不充分也不必要 7、已知[1,1]a ∈-,不等式2(4)420x a x a +-+->恒成立,则x 的取值范围为( )A.(,2)(3,)-∞+∞B.(,1(2,)-∞+∞C.(,1)(3,)-∞+∞D.(1,3)8、下列结论中正确的个数是( )①命题“有些平行四边形是矩形”是存在量词命题;②命题“{|x y y ∃∈是无理数},2x 是有理数”是真命题;③命题“a b >是22ac bc >的必要不充分条件”是真命题;④命题“0x ∃>,使2210x x ++≤”的否定为“0x ∀≤,都有2210x x ++>”;⑤若x ∈R ,则函数y =+A.3B.2C.1D.0若a b ≠,则( ) A.甲先到达终点 B.乙先到达终点C.甲乙同时到达终点D.无法确定谁先到达终点10、若集合A 满足x ∈A ,则称集合A 为自倒关系集合.在集合111,0,,,1,2,3,423M ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭的所有非空子集中,具有自倒关系的集合的个数为( ) A.7 B.8 C.16 D.15二、多项选择题11、设集合{}1,9,A m =,{}2,1B m =若A B B =,则满足条件的实数m 的值是( )A.0B.1C.3D.-312、下列命题正确的是( )A.若0a b >>,m >B.若正数a 、b 满足a b +=11b +≥+C.若0x >,则23x --D.若()2x x y =-,0x >,0y >,则2x y +的最小值是9;13、已知函数2()4f x x ax =-+,a ∈R 则下列叙述正确的是( )A.若对x ∀∈R 都有()0f x ≥成立,则44a -≤≤B.若[1,2]x ∃∈使得()0f x ≥有解,则4a ≤C.若1x ∃,20x >且12x x ≠使得()()120f x f x ==,则4a >D.若()0f x ≤的解集是[1,4],则5a =14、设集合{}61,M x x k k ==+∈Z ,{}64,N x x k k ==+∈Z ,{}32,P x x k k ==-∈Z ,则下列说法中正确的是( )A.M N P ≠=⊂B.()M P N ≠⊂C.M N =∅D.P M N =15、若0a >,0b >,且21a b +=,则下列说法正确的是( )22a b + 16、若01,22x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦,使得200210x x λ-+<成立是假命题,则实数λ可能取值是( )1≤的解集为____________. 18、某班级共有50名学生做物理、化学两种实验,已知物理实验做得正确的有40人,化学实验做得正确的有31人,两种实验都做错的有4人,则这两种实验都做正确的有____________人.19、一元二次不等式23208kx kx +-<对一切实数x 都成立,则实数k 的取值范围为___________.20、已知实数a ,b ,c 满足222425a b c ++=,则23ab c +的最大值为__________.四、解答题21、已知0m >,0n >,关于x 的不等式2200x mx --<的解集为{|2}x x n -<<． （1）求m ,n 的值;（2）正实数a ,b 满足na mb +=22、已知{}2|40A x x x =+=,(){}22|2110B x x a x a =+++-=.(1)若A 是B 的子集,求实数a 的值;(2)若B 是A 的子集,求实数a 的取值范围.23、如图所示,设矩形()ABCD AB BC >的周长为24,把它沿AC 翻折,翻折后AB '交DC 于点P ,设AB x =.(1)用x 表示DP ,并求出x 的取值范围;(2)求ADP △面积的最大值及此时x 的值.24、已知函数2()(1)2f x mx m x =-++,m ∈R .(1)设m <()f x mx <;(2)设0m >,若当[2,)x ∈+∞时()f x参考答案1、答案：D解析：因为{2,3,5,7}A =,{1,2,3,5,8}B =所以{1,2,3,5,7,8}A B =,故选：D.2、答案：C解析：因为,0x 满足关于x 的方程20ax b +=,所以,0x =2()f x ax bx c =++取得最小值,因此,x ∀∈R ,0()()f x f x ≤是假命题,选C.3、答案：A解析：由a b >,两边同时减去c ,有a c b c ->- ,故选项A 正确;1a =,2b =-时,22a b > 不成立,排除B 选项;当0c <时,由a b >得ac bc <,排除C 选项;1a =,b =-<故选：A.4、答案：B 解析：因为3ab a b =++,a ,0b >,所以33,ab a b =++≥即230-≥,当且仅当3a b ==时,等号成立; 解得9ab ≥或1ab ≤-（舍）. 故选：B.5、答案：A解析：由题意知,集合{2,1,0,1,2,34}B =--，,因为集合{|08,}A x x x =<<∈R , 由集合的交运算可得,{1,2,3,4}A B =,故阴影部分所表示集合为(){}2,1,0B A B =--,其中的元素共有三个.故选：A.6、答案：C解析：充分性：若(1)(2)0x x --≤,则12x ≤≤,所以|1||2|121x x x x -+-=-+-=; 必要性：根据绝对值的性质：若||||||a b a b +=-,则0ab ≤,若|1||2|1x x -+-=,且|(1)(2)|1x x ---=,则有(1)(2)0x x --≤.所以“(1)(2)0x x --≤成立”是“|1||2|1x x -+-=成立”的充要条件.故选：C.7、答案：C解析：令()2(2)44f a x a x x =-+-+,则不等式2(4)420x a x a +-+->恒成立转化为()0f a >在[1,1]a ∈-上恒成立.∴有(1)0(1)0f f ->⎧⎨>⎩,即22(2)4402440x x x x x x ⎧--+-+>⎨-+-+>⎩, 整理得：22560320x x x x ⎧-+>⎨-+>⎩, 解得：1x <或3x >.∴x 的取值范围为()(),13,-∞+∞.故选：C.8、答案：A解析：对于①: 含有存在量词的命题 ,叫做特称命题（存在性命题）, ”有些”为存在量词,故①正确;对于②:当x =对于③:若a b >成立,当0c =时22ac bc >不成立,若22ac bc >成立,则0c ≠,所以a b >成立, 故a b >是22ac bc >的必要不充分条件,所以③成立;对于④: 命题“0x ∃>,使2210x x ++≤”的否定为“0x ∀>,都有2210x x ++>”,故④错误;对于⑤:2y =≥≠综上只有①②③正确;故选:A.9、答案：A2T b S +=,则2S T a b =+设选手乙总共用时T2S T b '=,则2Sb Sa T ab +'= ()()()()()()22244202222S ab a b Sab S a b S a b S Sb Sa T T a b ab ab a b ab a b ab a b ⎡⎤-+-+--+⎣⎦'-=-===<++++即T T '<,即甲先到达终点故选:A. 10、答案：D解析：根据自倒关系集合的定义可知,当x =-1=-;当x =1x=1=;当x ==x ==x =14=不存在;所以{}1,12,2⎧⎫⎨⎬⎩⎭,13,3⎧⎫⎨⎬⎩⎭,{}1-必须分别在一起,可以把它们看作一个元素,所以自倒关系集合的个数为42115-=. 故选D.11、答案：ACD 解析：因为A B B =,所以B A ⊆,若29m =,则3m =±,满足题意,若2m m =,则0m =或1m =,1m =不合题意,0m =满足题意.故选：ACD.12、答案：BC++a m b m 因为0a b >>,0m >,所以0a b ->,()()0a b m bb m ->+a mb m +->+>对于选项B,因为1a b +=,所以113a b +++=,()111111114112113113113b a a b a b a b a b ++⎛⎫⎛⎫+=++++=++≥ ⎪ ⎪++++++⎝⎭⎝⎭=b ==对于选项C,因为0x >,43x x +≥=x ==所以4232x x--≤-对于选项D,因为()2x x=-21x=, 所以()124224x y x y x y y x y x⎛⎫+=++=+≥= ⎪⎝⎭=4x =,2y =时,等号成立,所以2x y +的最小值是8,故D 错误. 故选：BC.13、答案：ACD解析：对于A 项,由已知可得,0∆≤,即2160a -≤,解得44a -≤≤,故A 项正确; 对于B 项,由已知可得[1,2]x ∃∈使得2()40f x x ax =-+≥有解, 即a x ≤+[1,2]x ∈上有解,只需max 4a x x ⎛⎫≤+ ⎪⎝⎭即可. 设()g x x=1x ∀,2[1,2]x ∈且12x x <,则()()()1212121244g x g x x x x x x x -=+--=-因为1x ,2[1,2]x ∈且12x x <,所以1214x x <<,且120x x -<,所以,()()120g x g x ->,()()12g x g x >.所以,()g x x =[1,2]x ∈上单调递减, 所以,()max 145g x =+=,所以5a ≤,故B 错误;对于C 项,由已知可得,2()40f x x ax =-+=有两个不相等正实根, 则1212204Δ160x x a x x a +=>⎧⎪=⎨⎪=->⎩,所以124x x a +=>,故C 项正确; 对于D 项,由已知可得,1和4是方程240x ax -+=的两个根,则214016440160a a a -+=⎧⎪-+=⎨⎪∆=->⎩,解得5a =,故D 项正确.故选：ACD.14、答案：CD 解析：{}(){}61,3212,M x x k k x x k k ==+∈==⋅+-∈Z Z , {}(){}64,3222,N x x k k x x k k ==+∈==⋅+-∈Z Z , 当k ∈Z 时,21k +为奇数,22k +为偶数, 则M N ≠,MN P =,M N =∅,P M N =.故选：CD.15、答案：ABC解析：21122222a b ab a b +⎛⎫=⨯⋅≤⨯= ⎪⎝⎭a b=,即a ==22112a b=++=+≤+=,当且仅当a ==成立,1222a a ba b a a b a b a b++=+=++≥==b ==()2221424142a b a bab ab +=+-=-≥,当且仅当a ==22a b +的故选：ABC.16、答案：AB解析：由条件可知1,22x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦,2210x x λ-+≥是真命题,即2212x x x λ+≤=min 12x x ⎛⎫≤+ ⎪⎝⎭,1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ 设()12f x x x =+≥=1,22⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦等号成立的条件是112,22x x x ⎡⎤=⇒=⎢⎥⎣⎦,所以()f x的最小值是即λ≤故选：AB.17、答案：[)2,2-≤10-≤, 0≤,等价于()()22020x x x ⎧+-≤⎨-≠⎩, 解得22x -≤<;1≤的解集为[)2,2- 故答案为：[)2,2-. 18、答案：25 解析：根据题意可设：全班的学生组成的集合为U 做对物理实验的学生组成的集合为A做对化学实验的学生组成的集合为B并将两种实验都做对的学生记为x 人,则可用文氏图将其关系表示如下: 结合文氏图及题意知: ()()4031450x x x -++-+=,解之得:25x = 故两种实验都做对的学生为25人.故答案为：25.19、答案：(3,0)-解析：由不等式23208kx kx +-<对一切实数都成立, 可得202034208k k k k ⎧⎪≠⎪⎪<⎨⎪⎛⎫⎪-⨯⨯-< ⎪⎪⎝⎭⎩即30k -<<.故答案为：(3,0)-.解析：因为22ab a b =⋅≤2b =时取到等号,所以2252332232c c c ab c -⎛⎫≤+=-- ⎪⎝⎭+由225c≤可知c =3abc +≤21、答案：（1）10n =,8m =;（2）9.解析：（1）根据题意,不等式2200x mx --<的解集为{|2}x x n -<<, 即方程2200x mx --=的两根为-2和n ,则有()()2220n m n -+=⎧⎪⎨-⨯=-⎪⎩，， 解可得10n =,8m =． 2（）正实数a ,b 满足2na mb +=,即1082a b +=,变形有541a b +=, ()1114554145955b a a b b a b a b ⎛⎫+=++=+++≥+= ⎪⎝⎭, 当且仅当a ==∴15a +22、答案：(1)1a =(2)1a ≤-或1a =解析：（1）因为{}{}2|404,0A x x x =-=+=, 若A 是B 的子集,则{}4,0B A ==-,所以2Δ0402(1)401a a >⎧⎪-+=-+⎨⎪-⨯=-⎩,解得1a =.（2）若B 是A 的子集,则B A ⊆.①若B 为空集,则()22Δ4(1)41880a a a =+--=+<,解得1a <-; ②若B 为单元素集合,则()22Δ4(1)41880a a a =+--=+=,解得1a =-. 将1a =-代入方程()222110x a x a +++-=,得20x =,解得0x =,所以{}0B =,符合要求; ③若B 为双元素集合,{}4,0B A ==-,则1a =. 综上所述,1a ≤-或1a =.23、答案：(1)()7212612DP x x=-<< (2)最大值为108-=解析：（1）由矩形()ABCD AB BC >的周长为24,且AB x =,可得12AD x =-, 在ACP △中,易知PAC PCA ∠=∠,所以可得AP PC =,因此DP PB '=; 所以AP AB PB AB DP x DP ''=-=-=-, 在Rt ADP △中,由勾股定理可得()()22212x DP x DP -+=-,整理可得12DP =-又AB BC >,即12x x >-,依题意解得612x <<, 即可得()7212612DP x x =-<< （2）在Rt ADP △中,()()11724321212108661222ADP S AD DP x x x x x ⎛⎫⎛⎫=⋅=--=-+<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭△; 又612x <<,所以4326x x +≥=当且仅当4326x x=,即x =所以4321086108ADP S x x ⎛⎫=-+≤- ⎪⎝⎭△即当x =ADP 面积的最大值为108-24、答案：(1)答案见解析解析：（1）不等式即2(21)20mx m x -++<,即(2)(1)0x mx --< 当0m =时,即20x ->,解得2x >,当0m ≠时,由(2)(1)0x mx --=得,122,x x ==（i ）若m <2<,原不等式解得x <2x >,（ii ）若0m <<2>,原不等式解得2x <<综上,当0m <时,解集为{x x <∣2}>; 当0m =时,解集为{2}x x >∣;当0m <<12x x m ⎫<<⎬⎭∣.（2）由0m >知()f x 开口向上,对称轴0x =当02x ≤,即m ≥函数()f x 在[2,)x ∈+∞上单调递增,最小值为(2)2f m ==38=;当02x >,即0m <<函数()f x 在[)02,x 单调递减,在[)0,x +∞上单调递增,最小值为()20614m m f x m --===（舍）,.。
江苏省南京市2023-2024学年高一上学期10月月考数学试题含解析
南京市阶段学情调研试卷高一数学（答案在最后）注意事项：1．本试卷包括单项选择题（第1题~第8题）、多项选择题（第9题~第12题）、填空题（第13题~第16题）、解答题（第17题~第22题）四部分。
本试卷满分为150分，考试时间为120分钟。
2．答卷前，考生务必将自己的姓名、学校、班级填在答题卡上指定的位置。
3．作答选择题时，选出每小题的答案后，用2B 铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试卷上。
4．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上．1.已知集合{}220A x x x =->，{}1,2,3B =，则A B = （）A.{}1 B.{}2,3 C.{}3 D.{}1,2【答案】C 【解析】【分析】解出集合A ，再利用交集的含义即可得到答案.【详解】{}{2202A x x x x x =->=或}0x <，则{}3A B ⋂=，故选：C.2.函数()f x =的定义域为（）A.(],3-∞ B.()1,+∞ C.(]1,3 D.()[),13,-∞⋃+∞【答案】C 【解析】【分析】由函数形式得到不等式组，解出即可.【详解】由题意得()()31010x x x ⎧--≥⎨-≠⎩，解得13x <≤，则定义域为(]1,3，故选：C.3.若函数()f x 和()g x 分别由下表给出，满足()()2g f x =的x 值是（）x1234()f x 2341x1234()g x 2143A.1B.2C.3D.4【答案】D 【解析】【分析】从外到内逐步求值．【详解】由()()2g f x =，则()1f x =，则4x =.故选：D4.“1k >-”是“函数3y kx =+在R 上为增函数”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件【答案】B 【解析】【分析】根据一次函数的性质与必要不充分条件的判定即可得到答案.【详解】当12k =-时，满足1k >-，但是函数3y kx =+在R 上为减函数，则正推无法推出；反之，若函数3y kx =+在R 上为增函数，则01k >>-，则反向可以推出，则“1k >-”是“函数3y kx =+在R 上为增函数”的必要不充分条件，故选：B .5.函数()241x f x x =+的图象大致为（）．A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由题意首先确定函数的奇偶性，然后考查函数在特殊点的函数值排除错误选项即可确定函数的图象.【详解】由函数的解析式得：()()241xf x f xx--==+，则函数()f x为偶函数，其图象关于坐标y轴对称，B、D错误；当1x=时，42011y==>+，D错误.故选：A.6.已知0m>，0n>，2ln2ln2ln2m n+=，则142m n+的最小值是（）．A.18B.9C.4615D.3【答案】B【解析】【分析】根据对数的运算得21m n+=，再利用乘“1”法即可得到最小值.【详解】2212ln2ln2ln2ln2ln2ln2m n m n m n++===+，所以21m n+=，且0m>，0n>，所以()141482559222n mm nm n m n m n⎛⎫+=++=++≥+⎪⎝⎭，当且仅当82n m m n =，即1623m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时等号成立，故选：B.7.设m 为实数，若二次函数22y x x m =-+在区间()1,+∞上有且仅有一个零点，则m 的取值范围是（）A.()1,+∞ B.[)1,+∞ C.(),1-∞ D.R【答案】C 【解析】【分析】根据二次函数的性质求得正确答案.【详解】二次函数22y x x m =-+的开口向上，对称轴为1x =，要使二次函数22y x x m =-+在区间()1,+∞上有且仅有一个零点，则需21210,1m m -⨯+<<，所以m 的取值范围是(),1-∞.故选：C8.已知定义在R 上的函数()f x 是单调递增函数，()()()22g x x f x =-+是偶函数，则()0g x ≤的解集是（）A.(][),22,-∞-+∞U B.[]22-,C.(],2-∞- D.[)2,+∞【答案】B 【解析】【分析】综合单调性和奇偶性再分类讨论即可.【详解】因为()()()22g x x f x =-+是偶函数，且()20g =，(2)4(0)0g f ∴-=-=，又因为()f x 在R 上是单调递增函数，当0x >时，()0f x >；当0x <时，()0f x <，当2x <-时，2020x x +<⎧⎨-<⎩，则()20f x +<，此时()()2(2)0g x x f x =-+>，不成立，当22x -<<时，2020x x +>⎧⎨-<⎩，则()20f x +>，此时()()2(2)0g x x f x =-+<，成立，当2x >时，2020x x +>⎧⎨->⎩，则()20f x +>，此时()(2)()0g x x f x =->不成立，且2x =或2-时，()0g x =，成立，综上，()0g x ≤的解集为[]22-,，故选：B.二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．请把答案填涂在答题卡相应位置上．9.若“x M ∃∈，0x <”为真命题，“x M ∃∈，2x ≥”为假命题，则集合M 可以是（）A.(),1-∞ B.[]1,3- C.[)0,2 D.()2,2-【答案】AD 【解析】【分析】依题意可知M 中存在小于0的元素且不存在大于或等于2的元素，即可判断.【详解】依题意可知M 中存在小于0的元素且不存在大于或等于2的元素，则(),1-∞和()2,2-符合题意.故选：AD10.以下结论正确的是（）A.函数1y x x =+的最小值是2 B.若,R a b ∈且0ab >，则2b a a b+≥C.y =+2D.函数()102y x x x =+<-的最大值为0【答案】BC 【解析】【分析】根据基本不等式即可结合选项逐一求解.【详解】对于选项A ，对于函数1y x x=+，当0x <时，0y <，所以A 错误；对于选项B ，由于0ab >，所以0,0b aa b>>，所以2b a a b +≥=，当且仅当22,b a a b a b ==时等号成立，所以B 正确；对于选项C2+≥=即0x =，故C正确，对于选项D ，由于0x <，20x ->，所以111222220222y x x x x x x ⎛⎫=+=-++=--++≤- ⎪---⎝⎭，当且仅当12,2x x-=-即1x =时等号成立，这与0x <矛盾，故D 错误．故选：BC11.下列说法正确的是（）A.若()y f x =是奇函数，则()00f =B.1y x =+和y =表示同一个函数C.函数()f x 在(],0-∞上单调递增，在()0,∞+上单调递增，则()f x 在R 上是增函数D.若()()R y f x x =∈满足()()12f f >，则()f x 不是单调递增函数【答案】BD 【解析】【分析】根据反例即可判断AC,根据函数的定义域和对应关系即可判断B ，由单调函数的定义即可判断D.【详解】当奇函数在0x =处有定义时，才有()00f =，例如()1f x x=为奇函数，但是不满足()00f =，故A 错误，1y x =+和1y x ==+的定义域均为R ，对应关系也一样，故表示同一个函数，B 正确，若函数的图象如下，满足()f x 在(],0-∞上单调递增，在()0,∞+上单调递增，但是()f x 在R 上不是单调递增函数，故C 错误，若()()R y f x x =∈满足()()12f f >，则()f x 不是单调递增函数，故D 正确，故选：BD12.关于x 的不等式210ax bx +-<，下列关于此不等式的解集结论正确的是（）A.不等式210ax bx +-<的解集可以为()1,+∞B.不等式210ax bx +-<的解集可以为RC.不等式210ax bx +-<的解集可以为∅D.不等式210ax bx +-<的解集可以为{}11x x -<<【答案】BD 【解析】【分析】根据题意，由不等式的解集，对选项逐一判断，即可得到结果.【详解】假设结论成立，则0,0a b =<，则不等式为10bx -<，解得1x b >，因为0b <，所以11b≠，故结论不成立，所以A 错误；当2Δ40a b a <⎧⎨=+<⎩时，210ax bx +-<在R 上恒成立，故B 正确；当0x =时，不等式2110ax bx +-=-<，则解集不可能为∅，故C 错误；假设结论成立，则()011111a ba a⎧⎪>⎪⎪-=-+⎨⎪-⎪=-⨯⎪⎩，即10a b =⎧⎨=⎩，符合题意，故D 正确；故选：BD三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填涂在答题卡相应位置上．13.命题“[]1,3x ∀∈，()()2f x f ≤”的否定是____________．【答案】[]1,3x ∃∈，()()2f x f >【解析】【分析】根据全称命题的否定即可得到答案.【详解】根据全称命题的否定为存在命题，且范围不变，结论相反，则其否定为[]1,3x ∃∈，()()2f x f >，故答案为：[]1,3x ∃∈，()()2f x f >.14.设2log 93a =，则9a -=___________．【答案】18##0.125【解析】【分析】根据对数、指数的运算可得答案.【详解】因为22log 9log 93aa ==，所以3982a ==，即11988a--==.故答案为：18.15.函数()12x f x x -=-的单调递减区间是_____________【答案】(),1-∞和()2,+∞【解析】【分析】根据题意整理()f x 的解析式可得()()()[)11,,12,211,1,22x x f x x x ∞∞⎧+∈-⋃+⎪⎪-=⎨⎪--∈⎪-⎩，据此作出函数图像，利用图象分析函数的单调区间.【详解】由题意可知：()f x 的定义域为()(),22,-∞+∞ ，可得()()()[)111,,12,1221121,1,222x x x x x f x x x x xx ∞∞-⎧=+∈-⋃+⎪-⎪--==⎨--⎪=--∈⎪--⎩，作出()f x的图象，由图象可知函数()f x 的单调递减区间是(),1-∞和()2,+∞.故答案为：(),1-∞和()2,+∞.16.函数()()()22111f x k x k x =-+-+只有一个零点，则k 的取值集合为___________【答案】51,3⎧⎫--⎨⎬⎩⎭【解析】【分析】分1k =±和1k ≠±讨论即可.【详解】（1）若210k -=，即1k =±时，①当1k =时，此时()1f x =，此时没有零点，②当1k =-时，此时()21f x x =-+，令()210f x x =-+=，解得12x =，符合题意，（2）当1k ≠±时，令()()()221110f x k x k x =-+-+=，则()()221410k k ∆=---=，解得53k =-或1（舍去），综上53k =-或1-，则k 的取值集合为51,3⎧⎫--⎨⎬⎩⎭.故答案为：51,3⎧⎫--⎨⎬⎩⎭.四、解答题：本大题共6小题，其中第17题10分，18--22题每题12分，共70分．请把答案填涂在答题卡相应位置上．17.（1）求()122320131.52348π--⎛⎫⎛⎫+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值；（2）已知17x x -+=，求1122x x -+的值．【答案】（1）12；（2）3【解析】【分析】（1）利用幂的运算性质运算即可得解.（2）利用幂的运算性质及完全平方公式运算即可得解.【详解】解：（1）()2122223323320133272331.52π3114828322-----⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+---+--⎢⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=⎢⎥⎣⎦=⎝⎭2232222321321321213223223232⎛⎫⨯-- ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+-+- ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎝⎭=⎭=.（2）由题意，17x x -+=，则0x >∴2112212729--⎛⎫=++=+= +⎪⎝⎭x x x x ，∵0x >，∴1122x x->+，∴11223x x-+=.18.设全集U =R ，集合{}2650A x x x =-+≤，集合{}212B x a x a =-≤≤+，其中a ∈R ．（1）当3a =时，求()U A B ⋂ð；（2）若“x A ∈”是“x B ∈”的充分条件，求a 的取值范围．【答案】（1）[)(]1,15,7- （2）[)2,+∞【解析】【分析】（1）求出集合A 的等价条件，再求出U A ð，结合集合的基本运算进行求解.（2）根据充分条件和必要条件的定义转化为集合关系建立不等式关系进行求解即可.【小问1详解】集合{}[]26501,5A x x x =-+≤=，所以()(),15,U A ∞∞=-⋃+ð，当3a =时，{}[]171,7B x x =-≤≤=-；所以[)(]1,15,7U A B ⋂=-⋃ð．【小问2详解】由题意得到[]1,5A =，由“x A ∈”是“x B ∈”的充分条件可得A B ⊆，则21a -≤且125a +≥，解得2a ≥；所以a 的取值范围是[)2,+∞．19.已知二次函数()f x 满足()()246f x f x x +-=+，且()00f =．（1）求()f x 的解析式；（2）解关于x 的不等式()()21f x x m x ->-．【答案】（1）()2f x x x=+（2）答案见解析【解析】【分析】（1）根据待定系数法即可将条件代入求解，（2）分类讨论即可求解一元二次不等式的解.【小问1详解】设()2f x ax bx c =++，0a ≠由()00f =，得()20c f x ax bx =⇒=+又()()()()()22222f x f x a x b x ax bx +-=+++-+44246ax a b x =++=+，则44426a a b =⎧⎨+=⎩，解得11a b =⎧⎨=⎩，所以()2f x x x =+．【小问2详解】由已知，()()221x x x m x +->-即()210x m x m -++>，即()()10x m x -->，①当1m =时，原不等式即为：()210x ->，解得1x ≠；②当1m <时，解得x m <或1x >；③当1m >时，解得1x <或x >m综上，当1m =时，不等式的解集为：()(),11,-∞+∞ ，当1m <时，不等式的解集为：()(),1,m -∞+∞ ，当1m >时，不等式的解集为：()(),1,m -∞⋃+∞．20.已知21a b +=（1）求224a b +的最小值；（2）若a ，b 为正数，求41a a b++的最小值．【答案】（1）12（2）1+【解析】【分析】（1）法一，利用基本不等式求最值；法二，消元结合二次函数求最值；（2）灵活运用“1”求最值.【小问1详解】法一、()22221422a b a b ++≥=，当且仅当2a b =，即12a =，14b =时取等号；法二、()22222211141248418422a b b b b b b ⎛⎫+=-+=-+=-+≥ ⎪⎝⎭，当且仅当12a =，14b =取等号；【小问2详解】若,a b 为正数，则10a +>，0b >4412412111a b a b a b a b-+=+=+-+++()14218112262121221b a a b a b a b +⎛⎫⎛⎫=+⋅++-=+-≥+ ⎪⎪++⎝⎭⎝⎭，当且仅当811b a a b+=+时等号成立，∴当3a =-，1b =时，min 411a a b ⎛⎫+=+ ⎪+⎝⎭21.已知函数()21ax b f x x-=+是定义在[]1,1-上的奇函数，且()11f =-．（1）求函数()f x 的解析式；（2）判断()f x 在[]1,1-上的单调性，并用单调性定义证明；（3）解不等式()()()210f t f tf -+>．【答案】21.()221x f x x-=+，[]1,1x ∈-22.减函数；证明见解析；23.510,2⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭【解析】【分析】（1）根据奇函数的性质和()11f =求解即可.（2）利用函数单调性定义证明即可.（3）首先将题意转化为解不等式()()21f tf t >-，再结合()f x 的单调性求解即可.【小问1详解】函数()21ax b f x x-=+是定义在[]1,1-上的奇函数，()()f x f x -=-；2211ax b ax b x x ---=-++，解得0b =，∴()21ax f x x=+，而()11f =-，解得2a =-，∴()221x f x x-=+，[]1,1x ∈-．【小问2详解】函数()221x f x x-=+在[]1,1-上为减函数；证明如下：任意[]12,1,1x x ∈-且12x x <，则()()()()()()121212122222121221221111x x x x x x f x f x x x x x ------=-=++++因为12x x <，所以120x x -<，又因为[]12,1,1x x ∈-，所以1210x x ->，所以()()120f x f x ->，即()()12f x f x >，所以函数()()12f x f x >在[]1,1-上为减函数．【小问3详解】由题意，()()()210f t f tf -+>，又()00f =，所以()()210f t f t -+>，即解不等式()()21f t f t >--，所以()()21f t f t >-，所以22111111t t t t ⎧-≤≤⎪-≤-≤⎨⎪<-⎩，解得102t ≤<，所以该不等式的解集为10,2⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭．22.已知()42f x x x m x =-+，R m ∈．（1）若()13f =，判断()f x 的奇偶性．（2）若()f x 是单调递增函数，求m 的取值范围．（3）若()f x 在[]1,3上的最小值是3，求m 的值．【答案】（1）当0m =时，()f x 是奇函数；当12m =时，()f x 既不是奇函数，也不是偶函数（2）1122m -≤≤（3）0m =或12m =【解析】【分析】（1）由()13f =，解出m ，代入结合函数的奇偶性进行判断；（2）即在4x m =的左右两侧都单调递增；（3）由（2）1122m -≤≤，()f x 在[]1,3上单调递增，进而对12m <-，12m >时进行分类讨论即可.【小问1详解】函数()f x 的定义域为R ，()13f =，则1423m -+=，解得0m =或者12m =当0m =时，()f x x x x =+，因为()()f x x x x x x x f x -=---=--=-，所以()f x 是奇函数．当12m =时，()22f x x x x =-+，R m ∈()15f -=-，()()11f f ≠-，()()11f f ≠--，所以()f x 既不是奇函数，也不是偶函数．【小问2详解】由题意得()()()2242,4,42,4,x m x x m f x x m x x m ⎧--≥⎪=⎨-++<⎪⎩当21421m m m -≤≤+，即1122m -≤≤时，()f x 在R 上是增函数．【小问3详解】①1122m -≤≤，()f x 在[]1,3上单调递增，()f x 在1x =处取得最小值，()13f =，解得0m =或者12m =；②12m <-时，()f x 在[)21,m -+∞单调递增，因为212m -<-，[][)1,321,m ⊂-+∞，()f x 在[]1,3上单调递增，所以()f x 在1x =处取得最小值，()13f =，无解；③12m >，()f x 在(],21m -∞+单调递增，在[]21,4m m +单调递减，在[)4,m +∞单调递增．若213m +≥，即m 1≥时，函数()f x 在[]1,3上单调递增，所以()f x 在1x =处取得最小值，()13f =，无解；若2134m m +<≤，即314m ≤<时，()f x 在[]1,21m +单调递增，在[]21,3m +上单调减，因为()36f >，所以()f x 在1x =处取得最小值，()13f =，无解；若43m <，即1324m <<，()f x 在[]1,21m +单调递增，在[]21,4m m +单调递减，在[]4,3m 单调增，()13f =，。
山东省滕州市第一中学2024-2025学年高一上学期10月月考数学试卷
山东省滕州市第一中学2024-2025学年高一上学期10月月考数学试卷一、单选题1．设集合{}0123,,,A =，{},,101,23,B =-，则R ()A B =I ð（ ） A ．∅B ． {}1,2C ．{}1-D ．{}1,2,32．设集合{}260M x x x =+-=，{}N 16N x x =∈<<，则M N =I （ ）A ．{}12x x <<B ．{}3C ．{}36x x -<<D ．{}23．“1a a<”是“1a <-”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．若正数x ，y 满足44x y +=，则11x y+的最小值为（ ）A ．2B ．94C ．3D ．835．下列四组函数中，不是同一个函数的一组是（ ）A ．()f x x =与()g x =B ．()21f x x =+与()21g t t =+C ．()xf x x =与()1,01,0x g x x >⎧=⎨-<⎩D ．()2f x =与()g x =6．已知函数()f x 的定义域为[)0,+∞，则函数()25f x y x -=-的定义域为（ ）A ．()()2,55,-+∞UB ．[)()2,55,-+∞UC ．()()2,55,⋃+∞D ．[)()2,55,+∞U7．下列命题中真命题的个数是（ ）①函数()1f x =和()0g x x =是同一个函数；②“()2210a b +-=”是“()10a b -=”的必要条件；③集合{|A y y ==，{|B x y ==表示同一集合.A ．0B ．1C ．2D ．38．若a b >，且2ab =，则22(1)(1)a b a b-++-的最小值为（ ）A ．2B ．4C ．4D ．2二、多选题9．下列四个结论中正确的是（ ） A ．22,,4250x y x y x y ∃∈+-++=RB ．命题“2,3210x x x ∀∈--<R ”的否定是“2000,3210x x x ∃∈-->R ” C ．21,4x x x ∀∈+>R D ．“a b >”是“1a b >+”的必要不充分条件10．已知非零实数,a b >，下列结论中错误的结论有（ ）A ．11a b< B ．22a b > C ．22ab a b > D ．2211ab a b> 11．已知关于x 一元二次不等式220ax ax b -+>的解集为{}A x m x n =<<（其中m n <），关于x 一元二次不等式222ax ax b -+>-的解集为{}B x p x q =<<，则（ ）A ．AB B =I B ．()A B B ⋃⊆C ．m n p q +=+D ．当2b <-时，2q p q+的最小值为3三、填空题12．已知集合{}221,,0A a a =-，{}1,5,9B a a =--，若满足{}9A B ⋂=，则实数a 的值为．13．已知关于x 的不等式210mx mx -+≤，若此不等式的解集为∅，则实数m 的取值范围是 14．已知关于x 的不等式组()224502525x x x x x k ⎧-++<⎪⎨+<-+⎪⎩的解集中存在整数解且只有一个整数解，则k 的取值范围为.四、解答题15．设集合{}{}|121,|25A x a x a B x x =+<<-=-<<. (1)若3a =，求()R A B ⋃ð；(2)是否存在实数a ，使得A B A =U ，若存在，求实数a 的取值范围，否则说明理由. 16．设m ∈R ，已知集合3211x A xx +⎧⎫=<⎨⎬-⎩⎭，(){}2220B x x m x m =+--<. (1)当1m =时，求A B U ；(2)若“x B ∈”是“x A ∈”的必要不充分条件，求m 的取值范围.17．中国建设新的芯片工厂的速度处于世界前列，这是朝着提高半导体自给率目标迈出的重要一步.根据国际半导体产业协会(SEMI)的数据，在截至2024年的4年里，中国计划建设31家大型半导体工厂.某公司打算在2023年度建设某型芯片的生产线，建设该生产线的成本为300万元，若该型芯片生产线在2024年产出x 万枚芯片，还需要投入物料及人工等成本()V x （单位：万元），已知当05x <≤时，()125V x =；当520x <≤时，()240100V x x x =+-；当20x >时，()160081600V x x x=+-，已知生产的该型芯片都能以每枚80元的价格售出. (1)已知2024年该型芯片生产线的利润为()P x （单位：万元），试求出()P x 的函数解析式. (2)请你为该型芯片的生产线的产量做一个计划，使得2024年该型芯片的生产线所获利润最大，并预测最大利润.18．已知函数()f x 对任意x 满足：()()324f x f x x --=，二次函数()g x 满足：()()24g x g x x +-=且()14g =-.(1)求()f x ，()g x 的解析式；(2)若R a ∈，解关于x 的不等式()()()()2143a x a x g x f x +-+->-.19．对于函数()f x ，若()f x x =，则称实数x 为()f x 的“不动点”，若()()f f x x =，则称实数x 为()f x 的“稳定点”，函数()f x 的“不动点”和“稳定点”组成的集合分别记为A 和B ，即(){}A x f x x ==，()(){}B x f f x x ==.(1)对于函数()21f x x =-，分别求出集合A 和B ； (2)对于所有的函数()f x ，证明：A B ⊆；(3)设()2f x x ax b =++，若{}1,3A =-，求集合B .。
2023-2024学年湖北省武汉市第二中学高一上学期10月月考数学试题+答案解析(附后)
2023-2024学年湖北省武汉市第二中学高一上学期10月月考数学试题✽一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合\(A=\left\{ x\in Z\left|-4\leqslant x\leqslant 3\right.\right\}\)，\(B=\left\{ x\inN\left|x+1< 3\ right.\right\}\)，则\(A\cap B=(\quad)\)A. B. C. D.2.设，若，求实数a组成的集合的子集个数有( )A. 2B. 3C. 4D. 83.下列结论中正确的个数是( )①命题“所有的四边形都是矩形”是存在量词命题；②命题“”是全称量词命题；③命题“”的否定为“”；④命题“是的必要条件”是真命题；A. 0B. 1C. 2D. 34.“”是“，是假命题”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5.已知，则函数的定义域是( )A. B. C. D.6.已知，，且，那么的最小值为( )A. B. 2 C. D. 47.若两个正实数x，y满足，且不等式有解，则实数m的取值范围是( )A. B. 或C. D. 或8.已知函数若的最小值为，则实数a的取值范围为( )A. B. C. D.二、多选题：本题共4小题，共20分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.下列函数在区间上单调递增的是( )A. B.C. D.10.已知函数在区间上的最小值为9，则a可能的取值为( )A. 2B. 1C.D.11.若，，且，则下列不等式恒成立的是( )A. B. C. D.12.公元3世纪末，古希腊亚历山大时期的一位几何学家帕普斯发现了一个半圆模型如图所示，以线段AB 为直径作半圆ADB，，垂足为C，以AB的中点O为圆心，OC为半径再作半圆，过O作，交半圆于E，连接ED，设，，则下列不等式一定正确的是 ( )A. B.C. D.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
广西柳州高级高中2024-2025学年高一上学期10月月考试题 数学含答案
柳州高中2024级高一10月月考数学试卷（答案在最后）（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第一部分（选择题共58分）一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.下列各式中，正确的个数是（）①{}{}00,1,2∈；②{}{}0,1,22,1,0⊆；③{}0,1,2∅⊆；④{}(){}0,10,1=.A.1B.2C.3D.42.已知命题1:0,2p x x x∀>+>，则p ⌝为（）A.0x ∀>，12x x +≤ B.0x ∀≤，12x x +≤C.0x ∃≤，12x x+≤ D.0x ∃>，12x x+≤3.下列各组函数是同一个函数的是（）A.321x x y x +=+与y x= B.y =1y x =-C.2x y x=与y x= D.0y x =与1y =4.定义集合运算：*{}A B xx A x B =∈∉∣且，若集合{}1,3,4,6,7A =，{}2,4,5,8B =，则集合*A B 的真子集个数为（）A.13个B.14个C.15个D.16个5.下列命题为真命题的是（）A .若0a b >>，则22ac bc > B.若,a b c d >>，则a d b c ->-；C.若0a b <<，则22a ab b << D.若a b >，则11a b a>-；6.若“260x x --<”的一个必要不充分条件是“2x m -<<”，则实数m 的范围是（）A.23m -<≤ B.23m -<< C.3m ≥ D.3m >7.某学校为创建高品质特色高中，准备对校园内现有一处墙角进行规划.如图，墙角线OA 和OB 互相垂直，学校欲建一条直线型走廊AB ，其中AB 的两个端点分别在这两墙角线上.若欲建一条长为10米的走廊AB ，当OAB △的面积最大时，OB 长度为（）米.A. B. C. D.8.已知x ，y 为正实数，若212+=x y，且223x y m m +>+恒成立，则m 的取值范围是（）A.4m <-或1m > B.1m <-或4m > C.41m -<< D.14-<<m 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）9.已知集合{},,0A a a =-，{},,1B b a b =+，若A B =，则ab 的取值为（）A.2- B.1- C.0D.110.下列说法正确的是（）A.224(2)a b a b +≥--B.函数2=23y x x --的零点为(),(3,0)1,0-C.“110a b>>”是“a b <”的充分不必要条件D.由||||||(0,,,R)a b c abc a b c a b c++≠∈所确定的实数集合为{3,1,1,3}--11.设正实数,a b 满足1a b +=，则（）A.11a b+有最小值4 B.ab 有最大值14C.+ D.1439ab b +≤第二部分（非选择题共92分）三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.请把正确选项填在题中横线上.）12.函数1()5f x x =-的定义域为_____________.13.设a ∈R ，若关于x 的一元二次方程230x ax a -++=的两个实根为1x ，2x ，且12114x x +=-，则a 的值为_____________.14.已知命题“()3,x ∞∃∈-+，23160x ax a --+<”是真命题，则实数a 的取值范围是______.四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步棸.）15.已知不等式2(21)(1)0x a x a a -+++≤的解集为集合A ，集合202x B xx ⎧⎫-=<⎨⎬+⎩⎭.（1）若2a =，求A B ，()A B R ð；（2）若A B =∅ ，求实数a 的取值范围.16.（1）已知函数()()20f x ax bx c a =++≠.若不等式()0f x >的解集为{03}xx <<∣，求关于x 的不等式()2320bx ax c b +-+<的解集.（2）已知23x <，求函数()93132f x x x =++-的最大值.17.已知命题:R p x ∃∈，2210ax x +-=为假命题.（1）求实数a 的取值集合A ；（2）设集合{32}B xm x m =<<+∣，若A B A = ，求实数m 的取值集合.18.国家发展改革委、住房城乡建设部于2017年发布了《生活垃圾分类制度实施方案》，规定46个城市在2020年底实施生活垃圾强制分类，垃圾回收、利用率要达35%以上.截至2019年底，这46个重点城市生活垃圾分类的居民小区覆盖率已经接近70%.某企业积极响应国家垃圾分类号召，在科研部门的支持下进行技术创新，新上一种把厨余垃圾加工处理为可重新利用的化工产品的项目.已知该企业日加工处理量x （单位：吨）最少为70吨，最多为100吨.日加工处理总成本y （单位：元）与日加工处理量x 之间的函数关系可近似地表示为214032002y x x =++，且每加工处理1吨厨余垃圾得到的化工产品的售价为100元.（1）该企业日加工处理量为多少吨时，日加工处理每吨厨余垃圾的平均成本最低？此时该企业处理1吨厨余垃圾处于亏损还是盈利状态？（2）为了该企业可持续发展，政府决定对该企业进行财政补贴，补贴方式共有两种.①每日进行定额财政补贴，金额为2400元；②根据日加工处理量进行财政补贴，金额为30x .请分别计算两种补贴方式下的最大利润，如果你是企业的决策者，为了获得最大利润，你会选择哪种补贴方式进行补贴？为什么？19.已知函数()222y ax a x =-++，R a ∈，（1）若不等式32y x <-恒成立，求实数a 的取值范围；（2）当0a >时，求不等式0y ≥的解集；（3）若关于x 的方程2(2)||21ax a x -++=-有四个不同的实根，求实数a 的取值范围.柳州高中2024级高一10月月考数学试卷（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第一部分（选择题共58分）一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）【1题答案】【答案】B【2题答案】【答案】D【3题答案】【答案】A【4题答案】【答案】C【5题答案】【答案】B【6题答案】【答案】D【7题答案】【答案】D【8题答案】【答案】C二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）【9题答案】【答案】BC 【10题答案】【答案】ACD 【11题答案】【答案】ABD第二部分（非选择题共92分）三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.请把正确选项填在题中横线上.）【12题答案】【答案】[3,5)(5,)-+∞ 【13题答案】【答案】125-【14题答案】【答案】4a >四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步棸.）【15题答案】【答案】（1）{|23}A B x x =-<≤ ，R {|23}()A B x x =≤≤ ð；（2）3a ≤-或2a ≥.【16题答案】【答案】（1）{}|12x x -<<；（2）3-【17题答案】【答案】（1）{|1}A a a =<-；（2）{|3m m ≤-或1}m ≥.【18题答案】【答案】（1）加工处理量为80吨时，每吨厨余垃圾的平均加工成本最低，此时该企业处理1吨厨余垃圾处于亏损状态；（2）选择第一种补贴方式进行补贴，理由见解析.【19题答案】【答案】（1）40a -<£；（2）答案见解析；（3）04a <<-或4a >+.。
湖南省长沙市2024-2025学年高一上学期10月月考数学试题含答案
数学（答案在最后）时量：120分钟满分：150分一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的、请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．）1.已知集合{}26A x x =≤<，{}240B x x x =-<，则A B = （）A.()0,6 B.()4,6 C.[)2,4 D.()[),02,-∞⋃+∞【答案】C 【解析】【分析】根据一元二次不等式化简集合B ,即可根据交集的定义求解.【详解】由{}240B x x x =-<可得{}04B x x =<<，故A B = [)2,4，故选：C2.命题“x ∃∈R ，2220x x -+≤”的否定是（）A.x ∃∈R ，2220x x -+≥B.x ∃∈R ，2220x x -+>C.x ∀∈R ，2220x x -+≤D.x ∀∈R ，2220x x -+>【答案】D 【解析】【分析】根据特称命题的否定直接得出答案.【详解】因为特称命题的否定是全称命题，所以命题“x ∃∈R ，2220x x -+≤”的否定是为：x ∀∈R ，2220x x -+>，故选：D.3.设a ∈R ，则“1a >”是“11a<”的（）A .充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】由11a<可得1a >或0a <，即可判断.【详解】由11a<可得1a >或0a <，又{}1a a >≠⊂{1a a >或0}a <所以“1a >”是“11a<”的充分不必要条件.故选:A4.下列各组函数中，表示同一个函数的是（）A.2(),()x f x x g x x ==B.()(),()()f x x x Rg x x x Z =∈=∈C.,0(),(),0x x f x x g x x x ≥⎧==⎨-<⎩ D.2(),()f x x g x ==【答案】C 【解析】【分析】分别求得函数的定义域和对应法则，结合同一函数的判定方法，逐项判定，即可求解.【详解】对于A 中，函数()f x x =的定义域为R ，函数2()x g x x=的定义域为(,0)(0,)-∞+∞ ，两函数的定义域不同，不是同一函数；对于B 中，函数()()f x x x R =∈和()()g x x x Z =∈的定义域不同，不是同一函数；对于C 中，函数,0(),0x x f x x x x ≥⎧==⎨-<⎩与,0(),0x x g x x x ≥⎧=⎨-<⎩的定义域相同，对应法则也相同，所以是同一函数；对于D 中，函数()f x x =的定义域为R ，2()g x =的定义域为[0,)+∞，两函数的定义域不同，不是同一函数.故选：C.【点睛】本题主要考查了同一函数的判定，其中解答中熟记两函数是同一函数的判定方法是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于基础题.5.函数1xy x=+的大致图象是（）A. B.C. D.【答案】A 【解析】【分析】探讨函数1xy x=+的定义域、单调性，再逐一分析各选项判断作答.【详解】函数1xy x=+的定义域为{R |1}x x ∈≠-，选项C ，D 不满足，因111111x y x x+-==-++，则函数1xy x =+在(,1)∞--，(1,)-+∞上都单调递增，B 不满足，则A 满足.故选：A【点睛】方法点睛：函数图象的识别途径：(1)由函数的定义域，判断图象的左右位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；(2)由函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)由函数的奇偶性，判断图象的对称性.6.若x A ∈且1A x ∈就称A 是伙伴关系集合，集合111,0,,,1,2,3,432M ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合个数为（）A.15 B.16C.64D.128【答案】A 【解析】【分析】首先确定具有伙伴集合的元素有1，1-，“3和13”，“2和12”四种可能，它们组成的非空子集的个数为即为所求.【详解】因为1A ∈，111A =∈；1A -∈，111A =-∈-；2A ∈，12A ∈；3A ∈，13A ∈；这样所求集合即由1，1-，“3和13”，“2和12”这“四大”元素所组成的集合的非空子集．所以满足条件的集合的个数为42115-=，故选:A.7.某班有学生56人，同时参加了数学小组和英语小组的学生有32人，同时参加了英语小组和语文小组的学生有22人，同时参加了数学小组和语文小组的学生有25人．已知该班学生每人至少参加了1个小组，则该班学生中只参加了数学小组、英语小组和语文小组中的一个小组的人数最多是（）A.20B.21C.23D.25【答案】B 【解析】【分析】设该班学生中同时参加了数学小组、英语小组和语文小组的人数为x ，只参加其中一个小组的人数为y ，根据题意列出方程即可.【详解】如图，设该班学生中同时参加了数学小组、英语小组和语文小组的人数为x ，只参加其中一个小组的人数为y ，则()()()32252256x x x x y -+-+-++=，即223y x =-．因为22x ≤，所以21y ≤．故选：B.8.已知集合P ，Q 中都至少有两个元素，并且满足下列条件：①集合P ，Q 中的元素都为正数；②对于任意(),a b Q a b ∈≠，都有aP b∈；③对于任意(),a b P a b ∈≠，都有ab Q ∈；则下列说法正确的是（）A.若P 有2个元素，则Q 有3个元素B.若P 有2个元素，则P Q ⋃有4个元素C.若P 有2个元素，则P Q ⋂有1个元素D.存在满足条件且有3个元素的集合P 【答案】C 【解析】【分析】若集合P 中有2个元素，设{},P a b =，根据集合中元素的特性和题设条件进行分析推导，可判断出选项ABC ；假若P 有3个元素，设{},,P a b c =，再根据题设条件推导分析，可得到P 中还有第四个元素，推出矛盾，从而可判断出D 选项.【详解】若P 有2个元素，设{}(),0,0,P a b a b a b =>>≠，则ab Q ∈，因为Q 至少有2个元素，所以Q 中除ab 外至少还有一个元素，不妨设x ∈Q ，x ab ≠，则0,,x abx P P ab x>∈∈，若x ab ab x=，则()22x ab =且0,0x ab >>，所以x ab =，与假设矛盾，所以x ab ab x≠，所以,x ab a b ab x ==或,x ab b a ab x ==，当,x ab a b ab x ==时，则,1x a ab ==，所以1b a=，若1a =，则1a b ==，与a b ≠矛盾，所以1a ≠，同理可知1b ≠，所以此时{}1,,1,P a Q a a ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭，{}1,1,,P Q a P Q a a ⎧⎫==⎨⎩⎭U I ；当,x abb a ab x ==时，则,1x b ab ==，所以1a b=，若1a =，则1a b ==，与a b ≠矛盾，所以1a ≠，同理可知1b ≠，此时{}1,,1,P b Q b b ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭，{}1,1,,P Q b P Q b b ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭U I ；由上可知，当P 有2个元素，则Q 有2个元素，P Q ⋃有3个元素，P Q ⋂有1个元素，故A 错误，B 错误，C 正确；不妨假设P 有3个元素，设{},,P a b c =，则,,a b c 为互不相等的正数，由③可知：,,ab Q ac Q bc Q ∈∈∈，又因为,,a b c 为互不相等的正数，所以,,ab ac bc 也为互不相等的正数，由②可知：,,,,,b c a c a ba ab bc c都是集合{},,P a b c =的元素，因为,,a b c 为互不相等的正数，所以,,,,,b c a c a b a a b b c c 都是不等于1的正数，所以,,b a c a c ba b a c b c ≠≠≠，又因为,b c 为互不相等的正数，所以,a a c bb c a a≠≠，考虑到b a a b ≠和a a b c ≠，若b a a c ≠，则,,a b ab a c为互不相等的正数，又因为b a ac ≠，所以a c b a ≠，所以c a是与,,a b ab ac 不相等正数，因为,,,c a b aa b a c都是集合P 的元素，所以集合P 中至少有4个元素，这与假设矛盾，因此考虑b aa c=的情况，所以2a bc =，同理可得22,b ac c ab ==，所以333a b c abc ===，所以a b c ==，这与集合中元素的互异性矛盾，所以P 有3个元素不可能成立，故D 错误；故选：C.【点睛】关键点点睛：本题考查元素与集合的关系以及集合运算后集合中元素个数的判断，本题的难点在于如何通过假设推导出矛盾，解答过程中主要利用集合中元素的互异性去检验元素，从而达到确定集合中元素个数的目的.二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分、部分选对的得部分分，有选错的得0分．）9.如果0a b <<，那么下列不等式成立的是（）A.11a b< B.2ab b < C.2ab a -<- D.11ab-<-【答案】D 【解析】【分析】由于0a b <<，不妨令2a =-，1b =-，代入各个选项检验，只有D 正确，从而得出结论．【详解】解：由于0a b <<，不妨令2a =-，1b =-，可得111,12a b =-=-，∴11a b>，故A 不正确．可得2ab =，21b =，2ab b ∴>，故B 不正确．可得2ab -=-，24a -=-，2ab a ∴->-，故C 不正确．故选：D ．10.已知关于x 的不等式20ax bx c ++≥的解集为{}34xx -≤≤∣，则下列说法正确的是（）A.0a <B.不等式20cx bx a -+<的解集为1143xx ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭∣C.0a b c ++<D.2342cb ++的最小值为4-【答案】AB 【解析】【分析】利用二次不等式解与系数的关系得到,b c 关于a 的表达式，结合基本不等式，逐一分析判断各选项即可得解.【详解】因为关于x 的不等式20ax bx c ++≥的解集为{}34xx -≤≤∣，所以3,4-是方程20ax bx c ++=的两根，且0a <，故A 正确；所以3434ba c a⎧-=-+⎪⎪⎨⎪=-⨯⎪⎩，解得12b a c a =-⎧⎨=-⎩，所以20cx bx a -+<，即2120ax ax a -++<，则21210x x --<，解得1143x -<<，所以不等式20cx bx a -+<的解集为1143xx ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭∣，故B 正确；而12120a b c a a a a ++=--=->，故C 错误；因为0,,12a b a c a <=-=-，所以344a -+>，则()222623483423434c a a b a a +=-=+-+-+-+-+84≥=-，当且仅当()223434a a =-+-+，即1a =或53a =时，等号成立，与0a <矛盾，所以2342cb ++取不到最小值4-，故D 错误.故选：AB.11.已知0x >，0y >且3210x y +=，则下列结论正确的是（）A.xy 的最大值为625B.C.32x y +的最小值为52D.22x y +的最大值为10013【答案】BC 【解析】【分析】利用基本不等式直接判断A；利用基本不等式求得2的最大值可判断B ；利用基本不等式“1”的代换可判断C ；利用二次函数的性质可判断D ；【详解】0x >，0y >且3210x y +=，1003x ∴<<，<<0y 5对于A，利用基本不等式得1032x y =+≥256xy ≤，当且仅当32x y =，即55,32x y ==时，等号成立，所以xy 的最大值为256，故A 错误；对于B，21010102320x y =++++=+=，当且仅当32x y =，即55,32x y ==，故B 正确；对于C ，()32132166145329110101203x x y x y y x y y x ⎛⎛⎫+++≥+= ⎪ ⎝⎛⎫+=⨯+=⨯ ⎪⎝⎭⎭⎝，当且仅当66x y y x =，即2x y ==时，等号成立，所以32x y +的最小值为52，故C 正确；对于D ，22222102134013009y y x y y y -⎛⎫++ ⎪⎝-+=⎭=()05y <<利用二次函数的性质知，当20013y <<时，函数单调递减；当20513y <<时，函数单调递增，()222min201340120100131330091x y ⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭-⨯+=∴=+，()()222max55221340150099x y -⨯+=⨯<+，故D错误；故选：BC三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．）12.若函数f （x ）＝－x 2－2(a ＋1)x ＋3在区间(－∞，3]上是增函数，则实数a 的取值范围是________．【答案】(－∞，－4]【解析】【分析】求出二次函的对称轴，根据二次函数的单调性，确定对称轴的位置，即可求解.【详解】∵f （x ）＝－x 2－2(a ＋1)x ＋3的开口向下，对称轴方程为(1)x a =-+，要使f （x ）在(－∞，3]上是增函数，只需－(a ＋1)≥3，即a ≤－4，∴实数a 的取值范围为(－∞，－4]．故答案为:(－∞，－4].【点睛】本题考查二次函数的单调性，属于基础题.13.已知函数()f x =的定义域为R ，则实数a 的取值范围是______．【答案】[]0,8．【解析】【分析】由题意得220ax ax -+≥恒成立，结合二次不等式恒成立对a 进行分类讨论进行求解．【详解】由题意得220ax ax -+≥恒成立，当0a =时，20≥恒成立，满足题意；当0a ≠时，280a a a >⎧⎨-≤⎩，解得08a <≤．综上08a ≤≤．故答案为：[]0,8．14.已知函数()()2462f x x a x a =-++-，若集合(){}N 0A x f x =∈<中有且只有两个元素，则实数a 的取值范围是______【答案】3,15⎛⎤ ⎥⎝⎦【解析】【分析】先将集合的元素个数转化为不等式的自然数解的个数，再分离参数，转化为求函数的取值范围问题，再结合函数的图象进行求解.【详解】由(){}N 0A x f x =∈<中有且只有两个元素，得()24620x a x a -++-<有且只有两个自然数解，即2462x x a x -+>+有且只有两个自然数解，令2t x =+，则()1882a t t t>+-≥，令()()1882g t t t t=+-≥，作出()()1882g t t t t=+-≥的图象（如图所示），又因为()142g =，()355g =，()()361g g ==所以315a <≤.故答案为：3,15⎛⎤ ⎥⎝⎦.四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15.已知集合{}121A x m x m =-≤≤-，集合()(){}230B x x x =-+<．（1）若2m =，求A B ；（2）若A B ⊆，求实数m 的范围．【答案】（1）{}33A B x x ⋃=-<≤（2）3(,2-∞【解析】【分析】（1）解一元二次不等式求出集合B ，由集合的并集运算可得结果；（2）根据条件对集合A 分类讨论，分别求出实数m 的范围.【小问1详解】由2m =时，集合{}13A x x =≤≤，()(){}{}23032B x x x x x =-+<=-<<，所以{}{}{}133233A B x x x x x x ⋃=≤≤⋃-<<=-<≤，【小问2详解】当121m m ->-，即0m <时，集合=∅，符合A B ⊆，当≠∅时，由A B ⊆，有013212m m m ≥⎧⎪->-⎨⎪-<⎩，解得302≤<m ，综上可知，若A B ⊆，则m 的范围是3(,2-∞.16.如图所示，某学校要建造一个一面靠墙的无盖长方体垃圾池，垃圾池的容积为360m ，为了合理利用地形，要求垃圾池靠墙一面的长为6m ，如果池底每平方米的造价为200元，池壁每平方米的造价为180元（不计靠墙一面的造价），设垃圾池的高为m x ，墙高5m，（1）试将垃圾池的总造价y （元）表示为(m)x 的函数，并指出x 的取值范围；（2）怎样设计垃圾池能使总造价最低？最低总造价是多少？【答案】（1）详解见解析（2）当垃圾池的高为103m 、宽为3m 时，垃圾池总造价最低为10800元.【解析】【分析】利用长方体垃圾池的容积及长与高表示宽，再求各面面积，得出总造价，利用均值不等式求最值.【小问1详解】无盖长方体垃圾池的容积为360m ，长为6m ，高为x m ，则宽10xm ，()60180620200y x x =++⨯，即1200010803600y x x=++，(]0,5x ∈.【小问2详解】1200010803600360010800y x x =++≥=，当且仅当120001080x x =取等号，即(]100,53x =∈.所以当垃圾池的高为103m 宽为3m 时，垃圾池总造价最低为10800元.17.已知()24xf x x =+，()2,2x ∈-．（1）求证：函数()f x 在区间()2,2-上是增函数；（2）求函数()f x 在区间()2,2-上的值域.【答案】（1）证明见解析（2）11,44⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）用单调性的定义证明即可.（2）由()f x 在区间()2,2-上的单调性易得值域.【小问1详解】令1222x x -<<<，则()()()()22211222112122222121444444x x x x x x x x f x f x x x x x +---=-=++++()()()()()()()()121212121222222121444444x x x x x x x x x x xx xx -----==++++，又1240x x -<，120x x -<，22+412+4>0，即()()21f x f x >，所以函数()f x 在区间()2,2-上是增函数.【小问2详解】由（1）知函数()f x 在区间()2,2-上是增函数，又()()112,244f f -=-=，所以函数()f x 在区间()2,2-上的值域为11,44⎛⎫- ⎪⎝⎭.18.已知函数()11mx f x =++，()()21g x x x a =++.（1）当0a =，1m =-时，解关于x 的不等式()()f x g x ≥；（2）当0m =时，对任意[)1,x ∞∈+，关于x 的不等式()()f x g x ≤恒成立，求实数m 的取值范围；（3）当0m <，0a <时，若点()111,P x y ，()222,P x y 均为函数()y f x =与函数()y g x =图象的公共点，且12x x ≠，求证：()1221223a x x --<+<.【答案】（1）110,122⎡⎡⎫-+---⎪⎢⎢⎪⎣⎦⎣⎭（2）[)0,+∞（3）证明见解析【解析】【分析】（1）即解不等式2101--≥+x x x x ，分0x =、0x >、0x <且1x ≠-讨论，解不等式可得答案；（2）转化为2111x a x x -≥=-+在[)1,x ∞∈+上恒成立，求得1x -的最大值可得答案；（3）由()()f x g x =得()()()32121101x a x a x a m x +++-+--=≠-，化简方程得()()()()22212121211214x x x x a x x a x x ++++++-=<，令21=+t x x ，结合一元二次不等式求解可得答案.【小问1详解】当0a =，1m =-时，即解不等式2111-+≥+x x ，可得2101--≥+x x x x ，当0x =时，00≥成立，当0x >时，得2101--≥+x x x ，即解210--≥x x ，解得1502-+<≤x ；当0x <且1x ≠-时，得2101--≤+x x x ，解得112--≤<-x ，综上所述，不等式的解集为110,,122⎡⎡⎫-+-⋃-⎪⎢⎢⎪⎣⎦⎣⎭；【小问2详解】当0m =时，可得()1f x =，()()21g x x a x =++，对任意[)1,x ∞∈+，关于x 的不等式()()f x g x ≤恒成立，即()211x a x ++≥在[)1,x ∞∈+上恒成立，即2111x a x x -≥=-+在[)1,x ∞∈+上恒成立，即当[)1,x ∞∈+时，1x -的最大值为0，所以0a ≥，所以实数m 的取值范围[)0,∞+；【小问3详解】由()()f x g x =，可得()2111mx a x x +=+++，可得()()()32121101x a x a x a m x +++-+--=≠-，因为点()111,P x y ，()222,P x y 均为函数=与函数=图象的公共点，可得()()3211112110x a x a x a m +++-+--=，()()3222212110x a x a x a m +++-+--=，两式相减得()()()()33222121211210x x a x x a x x -++-+--=，因为12x x ≠，所以()()222211211210x x x x a x x a ++++++-=，可得()()()()22212121211214x x x x a x x a x x ++++++-=<，令21=+t x x ，则()221214t t a t a +++-<，整理得()2312104t a t a +++-<，解得()21223a t --<<，所以()2121223a x x --<+<.【点睛】关键点点睛：第三问解题的关键点是化简方程得()()()()22212121211214x x x x a x x a x x ++++++-=<，令21=+t x x ，结合一元二次不等式求解可得答案.19.已知集合A 为非空数集.定义：{}|,,,{|,,}S x x a b a b A T x x a b a b A ==+∈==-∈（1）若集合{1,3}A =，直接写出集合S ，T ；（2）若集合{}12341234,,,,,A x x x x x x x x =<<<且TA =．求证：423x x =；（3）若集合{}|02024,N ,A x x x S T ⊆≤≤∈⋂=∅，记A 为集合A 中元素的个数，求A 的最大值.【答案】（1）{2,4,6}S =，{0,2}T =（2）证明见解析（3）1350.【解析】【分析】（1）根据新定义直接求出,S T ；（2）首先根据定义得出213141,,}{0,T x x x x x x =---234{0,,,}x x x =，然后由324240x x x x x <-<-<，得出结论，再验证43x x -也是T 中元素即得；（3）设{}12,,k A a a a = 满足题意，其中12k a a a <<< ，利用最大的k a 和最小的1a 构造也S 中至少含有的元素，以及T 中至多含有的元素，得21,S k T k ≥-≥，然后由利用S T ⋂=∅，得31S T S T k ⋃=+≥-，再由S T 中最小的元素0与最大的元素2k a 得到1350k ≤，然后构造一个集合{,1,2,,2024}A m m m =++ ，由S T ⋂=∅得出m 的范围，求得S T 中元素个数可以为1350，从而得出结论．【小问1详解】由已知{1,3}A =，则{2,4,6}S =，{0,2}T =；【小问2详解】由于集合{}12341234,,,,,A x x x x x x x x =<<<且TA =，所以T 中也只包含四个元素，因为2131410x x x x x x <-<-<-，即213141,,}{0,T x x x x x x =---且10x =，即234{0,,,}T x x x =，又3242410x x x x x x <-<-<-，所以322423,x x x x x x -=-=，从而3242322,3x x x x x x ==+=，此时243x x x -=满足题意，所以423x x =；【小问3详解】设{}12,,k A a a a = 满足题意，其中12k a a a <<< ，1121312312k k k k k a a a a a a a a a a a a a -<+<+<<+<+<+<<+< 2k a ，112131121,,k S k a a a a a a a a T k ≥--<-<-<<-∴≥ ，∵S T ⋂=∅，∴31S T S T k ⋃=+≥-，又S T 中最小的元素为0，最大的元素为2k a ，则()*21,31214049N ,1350k k S T a k a k k ⋃≤+∴-≤+≤∈∴≤设{,1,2,,2024}A m m m =++ ，N m ∈，则{2,21,22,,4048},{0,1,2,,2024}S m m m T m =++=- ，因为S T ⋂=∅，可得20242m m -<，即26743m >，故m 的最小值为675，于是当675m =时，A 中元素最多，即675,676,6},{77,2024A = 时满足题意，综上所述，集合A 中元素的个数的最大值是1350.【点睛】方法点睛：本题考查集合的新定义，解题关键是对新定义的理解，第（3）小题较难，解题方法首先是对集合A 中元素进行排序，即设{}12,,k A a a a = 满足题意，其中12k a a a <<< ，利用集合中的最大元素和最小元素确定S 的最小值，T 的最小值，确定k 的范围，然后构造出一个集合，使得S T ⋃能取得范围内的最大值．。
2023-2024学年广西桂林市高一上学期10月月考质量检测数学试题(含解析)
2023-2024学年广西桂林市高一上册10月月考数学试题一、单选题1．下列关系中，正确的是（）A ．-2∈N +B ．32∈Z C ．π∉Q D ．5∉N【正确答案】C【分析】根据自然数集、正整数集、整数集以及有理数集的含义判断数与集合关系.【详解】对于A ，-2是负整数，则-2∉N +，A 错误；对于B ，32是分数，则32∉Z ，B 错误；对于C ，π是无理数，则π∉Q ，C 正确；对于D ，5是正整数，则5∈N ，D 错误；故选：C2．已知{}31,,2a a ∈-，则实数a 的值为（）A ．3B ．5C ．3或5D ．无解【正确答案】B【分析】根据元素与集合关系分类讨论，并验证集合的互异性，即可求解.【详解】因为{}31,,2a a ∈-，当3a =时，21a -=，不符合集合的互异性，故3a =舍去；当23a -=时，5a =，集合为{}1,3,5，符合集合互异性，故5a =.故选：B3．集合{}|12A x x =-<<，{}|01B x x =<<，，则（）A ．B A ∈B ．A B ⊆C ．B A ⊆D ．A B=【正确答案】C由集合间的包含关系即可判断.【详解】解：{}|12A x x =-<< ，{}|01B x x =<<，B A ∴⊆.故选：C.4．设集合{}{}2,3,5,1,2,4,6A B ==，则韦恩图中阴影部分表示的集合的真子集个数是（）A ．4B ．3C ．2D ．1【正确答案】B 【分析】根据图形求出集合中的元素，再根据真子集个数公式21n -求解即可.【详解】由图可知，韦恩图中阴影部分表示的集合中的元素属于集合A ，但不属于B ，因为{}{}2,3,5,1,2,4,6A B ==，所以阴影部分表示的集合为{}3,5，所以其真子集个数为2213-=.故选：B.5．命题“R x ∃∈，2220x x -+”的否定是（）A ．R x ∃∈，2220x x -+B ．R x ∃∈，2220x x -+>C ．R x ∀∈，2220x x -+>D ．R x ∀∈，2220x x -+【正确答案】C【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题判断即可；【详解】解：命题“R x ∃∈，2220x x -+”为存在量词命题，其否定为：R x ∀∈，2220x x -+>；故选：C6．已知全集R U =，集合{(1)(2)0}M x x x =-+≥∣，{13}N x x =-≤≤∣，则()U M N ⋂=ð（）A ．[1,1)-B ．[1,2]-C ．[2,1]--D ．[1,2]【正确答案】A 【分析】先由一元二次不等式的解法求得集合M ，再由集合的补集、交集运算求得答案.【详解】解：由题意可得：由(1)(2)0x x -+≥得1x ≥或2x ≤-，所以(][)21M =-∞-+∞ ，，，则：()C 2,1U M =-，又{13}N x x =-≤≤∣，所以()U M N ⋂=ð[)1,1-.故选：A ．7．“2x >”是“24x >”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【正确答案】A 解不等式24x >后，根据集合的包含关系可得解.【详解】因为24x >等价于2x >或<2x -，所以“2x >”是“24x >”的充分不必要条件.故选：A结论点睛：本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断：（1）若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集；（2）p 是q 的充分不必要条件，则p 对应集合是q 对应集合的真子集；（3）p 是q 的充分必要条件，则p 对应集合与q 对应集合相等；（4）p 是q 的既不充分又不必要条件，q 对的集合与p 对应集合互不包含．8．若,,R a b c ∈且a b >，则下列不等式成立的是（）A ．22a b >B ．11a b <C ．a c b c>D ．2211a b c c >++【正确答案】D【分析】对于ABC ，举反例排除即可；对于D ，利用不等式的性质即可判断.【详解】对于A ，令2,3a b ==-，则a b >，但22a b <，故A 错误；对于B ，令2,3a b ==-，则a b >，但11a b>，故B 错误；对于C ，令0c =，则a c b c =，故C 错误；对于D ，因为2c ≥0，则210c +>，即2101c >+，又a b >，所以2211a b c c >++，故D 正确.故选：D.9．已知不等式210ax bx --≥的解集是11,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则不等式20x bx a --<的解集是A ．()2,3B ．11,32⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．11,,32⎛⎫⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．()3,2--【正确答案】D【详解】∵不等式ax2﹣bx ﹣1≥0的解集是1132⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，∴a ＜0，∴方程ax2﹣bx ﹣1=0的两个根为12，13，﹣b a -=12+13，1a -=16，∴a=﹣6，b=﹣5，∴x2﹣bx ﹣a ＜0，∴x2+5x+6＜0，∴（x+2）（x+3）＜0，∴不等式的解集为：()3,2--．故选D点睛：（1）解一元二次不等式时，当二次项系数为负时要先化为正，再根据判别式符号判断对应方程根的情况，然后结合相应二次函数的图象写出不等式的解集．（2）解含参数的一元二次不等式，要把握好分类讨论的层次，一般按下面次序进行讨论：首先根据二次项系数的符号进行分类，其次根据根是否存在，即判别式的符号进行分类，最后当根存在时，再根据根的大小进行分类．10．当x R ∈时，不等式210kx kx -+>恒成立，则k 的取值范围是A ．(0,)+∞B ．[)0,∞+C ．[)0,4D ．（0，4）【正确答案】C【详解】当0k =时，不等式210kx kx -+>可化为10>，显然恒成立；当0k ≠时，若不等式210kx kx -+>恒成立，则对应函数的图象开口朝上且与x 轴无交点，则20 40k k k >⎧⎨=-<⎩ 解得：04k <<，综上k 的取值范围是[)0,4，故选C.11．已知集合{|135}A x a x a =+≤≤-，{|322}B x x =<<，且A B A = ，则实数a 的取值范围是（）A ．(,9]-∞B ．(,9)-∞C ．[2,9]D ．(2,9)【正确答案】B 由A B A = 得到A B ⊆，建立不等式，即可求出a 的取值范围．【详解】解： {|135}A x a x a =+≤≤-，{|322}B x x =<<，且A B A= 所以A B ⊆，当A =∅时，135a a +>-解得3a <；当A ≠∅时，∴352213513a a a a -<⎧⎪+≤-⎨⎪+>⎩解得39a ≤<9a ∴<故选：B本题考查集合的包含关系，考查解不等式，属于基础题．12．已知0,0,31x y x y >>+=，若23124m m x y +>++恒成立，则实数m 的取值范围是（）A ．{}24m m -<<B ．{}42m m -<<C ．{4m m <-或}2m >D ．{2m m <-或}4m >【正确答案】B 【分析】利用基本不等式可得3112x y +≥，由条件可知22412m m ++<即求.【详解】∵0,0,31x y x y >>+=，∴31319()(3)6612yxx y x y x y x y +=++=++≥+=，当且仅当9yxx y =即3x y =取等号，由23124m m x y +>++恒成立，∴22412m m ++<，∴42m -<<.故选：B.二、多选题13．若集合{}{}1,2,3,41,2,3,5A B =-=，，则（）A ．{}2,3AB ⋂=B ．{}1,1,2,3,4,5A B =- C ．A B ⊆D ．A B A B= 【正确答案】AB【分析】利用集合的交并运算与子集的概念，对选项逐一分析即可.【详解】对于AB ，因为{}{}1,2,3,41,2,3,5A B =-=，，所以{}2,3A B ⋂=，{}1,1,2,3,4,5A B =- ，故AB 正确；对于C ，因为1A -∈，但1B -∉，所以A B ⊆不成立，故C 错误；对于D ，由选项AB 易知A B A B ⋂≠⋃，故D 错误.故选：AB.14．已知,a b ∈R ，则下列叙述中正确的是（）A ．若a b >，则11a b<B ．函数y ＝x ＋2m x -(x >2)的最小值为6，则正数m 的值为4C ．“1a >”是“2a a >”的充分不必要条件D ．命题“1a ∀≥，210a -≥”的否定是“1∃<a ，210a -<”【正确答案】BC【分析】利用赋值法可判断选项A ，利用基本不等式可以判断选项B ，根据充分条件和必要条件的可判断选项C ，根据全称命题的否定可判断选项D.【详解】当1a =，1b =-时，满足a b >，而11a b<不成立，选项A 错误.由2x >，0m >，由基本不等式，2222m y x x =-++≥++-，当2x =+时取等号，又函数(2)2m y x x x =+>-的最小值为6.26+=，则正数m 的值为4，选项B 正确.当1a >时，2(1)0a a a a -=->，即2a a >，故充分性成立当2a a >时，有a<0或1a >，故1a >不一定成立，故必要性不成立，“1a >”是“2a a >”的充分不必要条件，选项C 正确.命题“1a ∀≥，210a -≥”的否定是“1a ∃≥，210a -<”，故选项D 错误.故选：BC15．已知不等式20ax bx c ++>的解集为1|22x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭，则下列结论正确的是（）A ．0a >B ．0b >C ．0c >D ．0a b c ++>【正确答案】BCD 【分析】对A ，根据一元二次方程与一元二次函数的关系即可判断；对B ，C ，利用韦达定理即可判断；对D ，根据韦达定理以及0b >，即可求解.【详解】解：对A ， 不等式20ax bx c ++>的解集为1|22x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭，故相应的二次函数2y ax bx c =++的图象开口向下，即a<0，故A 错误；对B ，C ，由题意知：2和12-是关于x 的方程20ax bx c ++=的两个根，则有12()102c a =⨯-=-<，132()022b a -=+-=>，又0a < ，故0,0bc >>，故B ，C 正确；对D ，1c a=- ，0a c ∴+=，又0b > ，0a b c ∴++>，故D 正确.故选：BCD.三、填空题16．设2251,41M a a N a a =-+=+-，则M 与N 的大小关系为：M ______N （用“<”、“=”、“>”填写）.【正确答案】>【分析】利用作差法与配方法即可得解.【详解】因为2251,41M a a N a a =-+=+-，所以()()222251410N a a M a a a a a -++=--=--+-+>=，所以M N >.故答案为.>17．不等式2680x x -+->的解集为_____．【正确答案】()2,4（或写成{|24}x x <<）【分析】根据一元二次不等式的解法解不等式即可．【详解】原不等式等价于：2680x x -+<即()()240x x --<，可得{|24}x x <<．故答案为()2,4（或写成{|24}x x <<）解一元二次不等式时，当二次项系数为负时要先化为正，再根据判别式符号判断对应方程根的情况，然后结合相应二次函数的图象写出不等式的解集．18．若()1,x ∈+∞，则131y x x =+-的最小值是_____．【正确答案】3+【分析】由已知可知()11y 3x 3x 13x 1x 1=+=-++--，然后利用基本不等式即可求解．【详解】解：x 1> ，()11y 3x 3x 13x 1x 1∴=+=-++--33≥+=+，（当且仅当13x =+取等号）故答案为3+．本题主要考查了利用基本不等式求最值，解题的关键是配凑积为定值，属于基础试题．19．已知2,:20p x a q x x ≥-->:，若p 是q 的充分不必要条件，则a 的取值范围是______.【正确答案】()2,+∞【分析】先化简条件q ，再充分不必要条件的性质得到集合间的关系，从而利用数轴法即可得解.【详解】由220x x -->，得1x <-或2x >，所以2:20q x x -->等价于1x <-或2x >，因为p 是q 的充分不必要条件，所以{}x x a ≥是{1x x <-或}2x >的真子集，所以2a >，即()2,a ∈+∞.故()2,+∞20．若关于x 的不等式2420x x a --->在区间[]1,4内有解，则a 的取值范围是_________.【正确答案】(),2-∞-【分析】将问题转化为242a x x <--在区间[]1,4内有解，从而求得()242f x x x =--的最大值即可得解.【详解】因为2420x x a --->在区间[]1,4内有解，所以242a x x <--在区间[]1,4内有解，令()242f x x x =--，则()f x 开口向上，对称轴为2x =，所以()f x 在[)1,2上单调递减，在(]2,4上单调递增，又()2114125f =-⨯-=-，()2444422f =-⨯-=-，故()max 2f x =-，所以2a <-，即(),2a ∈-∞-.故答案为.(),2-∞-四、解答题21．已知集合{}260A x x x =--≤，{}04,|B x x R =<<为实数集.（1）求A B ⋃；（2）求()R A B ð.【正确答案】（1）{}24x x -≤<；（2）{}20x x -≤≤.【分析】先求解一元二次不等式得集合A ，（1）根据并集定义求解即可；（2）先求B R ð，再求()R A B ð即可.【详解】()1由26230()()x x x x +--=-≤，得23x -≤≤，则{|23}A x x =-≤≤.因为{}04,|B x x =<≤所以{}24A B x x ⋃=-≤<.()2由题意可得{0R B x x =≤ð或4}x ≥，则(){}20R A B x x ⋂=-≤≤ð.22．若不等式2520ax x +->的解集是122x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭，（1）求a 的值；（2）求不等式22510ax x a -+->的解集.【正确答案】（1）2-；（2）1|32x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭.【分析】（1）根据不等式的解集可得对应的一元二次方程的两根，由韦达定理可解得结果；（2）代入a 的值，解一元二次不等式可得结果.【详解】（1）依题意可得：252ax x +-=0的两个实数根为12和2，由韦达定理得：1522a+=-，解得：2a =-；.（2）则不等式22510ax x a -+->，可化为22530x x --+>.所以22530x x +-<，所以(21)(3)0x x -+<，所以132x -<<，故不等式22510ax x a -+->的解集1|32x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭..本题考查了一元二次不等式的解法，属于基础题.23．（1）已知x >0，求函数y ＝254++x x x的最小值；（2）已知0<x <12，求y ＝12x (1－2x )的最大值.【正确答案】（1）9（2）116（1）将y ＝254++x x x，变形为y ＝x ＋4x ＋5，再利用基本不等式求解.注意等号成立的条件.（2）根据0<x <12，则1－2x >0，将y ＝12x (1－2x )，变形为y ＝14×2x (1－2x )，再利用基本不等式求解.注意等号成立的条件.【详解】（1）∵y ＝254++x x x＝x ＋4x ＋＋5＝9，当且仅当x ＝4x即x ＝2时等号成立.故y ＝254++x x x(x >0)的最小值为9.（2）∵0<x <12，∴1－2x >0，∴y ＝14×2x (1－2x )≤14×22122+-⎛⎫ ⎪⎝⎭x x ＝14×14＝116.∴当且仅当2x ＝1－2x 102⎛⎫<< ⎪⎝⎭x ，即x ＝14时，ymax ＝116.本题主要考查基本不等式求最值，还考查了变形转化的能力，属于中档题.24．已知集合{}2340A x x x =--<，{}()224500B x x mx m m =+-<>(1)若集合{}51B x x =-<<，求此时实数m 的值；(2)已知命题:p x A ∈，命题:q x B ∈，若p 是q 的充分条件，求实数m 的取值范围.【正确答案】(1)1(2)[)4,+∞【分析】(1){|51}B x x =-<<，得方程22450x mx m +-=的两根为5-，1，可解出1m =.(2)由p 是q 的充分条件，知A B ⊆，利用集合的包含关系求实数m 的取值范围.【详解】（1）22{|450}{|51}B x x mx m x x =+-<=-<<，∴方程22450x mx m +-=的两根为5-，1，知514m -+=-，解得1m =，当1m =时，不等式22450x mx m +-<为2450x x -<+，即()()510x x +-<，解得51x -<<此时满足{|51}B x x =-<<，故实数m 的值为1；（2）由p 是q 的充分条件，知A B ⊆，又2{|340}{|14}A x x x x x =--<=-<<，()(){|50}B x x m x m =-+<，因为0m >，所以5m m -<，则{|5}B x m x m =-<<，由A B ⊆，则有514m m -≤-⎧⎨≥⎩，解得154m m ⎧≥⎪⎨⎪≥⎩，即4m ≥，所以m 的范围是[)4,+∞.25．如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度没有限制）的矩形菜园．设菜园的长为xm ，宽为ym．(1)若菜园面积为72m 2，则x ，y 为何值时，可使所用篱笆总长最小？(2)若使用的篱笆总长度为30m ，求12x y+的最小值．【正确答案】(1)菜园的长x 为12m ，宽y 为6m 时，可使所用篱笆总长最小(2)310．【分析】（1）由已知可得xy ＝72，而篱笆总长为x +2y ．利用基本不等式x +2y（2）由已知得x +2y ＝30，利用基本不等式（12x y +）•（x +2y ）＝522y x x y ++≥得出．【详解】（1）由已知可得xy ＝72，而篱笆总长为x +2y ．又∵x +2y =24，当且仅当x ＝2y ，即x ＝12，y ＝6时等号成立．∴菜园的长x 为12m ，宽y 为6m 时，可使所用篱笆总长最小．（2）由已知得x +2y ＝30，又∵（12x y +）•（x +2y ）＝522y x x y ++≥9，∴12310x y +≥，当且仅当x ＝y ，即x ＝10，y ＝10时等号成立．∴12x y +的最小值是310．26．己知命题[]20001,1,0p x x x m ∃∈---≥:是假命题.(1)求实数m 的取值集合B ；(2)设不等式()()320x a x a ---<的解集为A ，若x B ∈是x A ∈的必要不充分条件，求实数a 的取值范围.【正确答案】(1)()2,B =+∞(2)2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【分析】（1）由题意得到p ⌝是真命题，从而将问题转化为二次函数在区间内恒成立问题，由此得解；（2）先由必要不充分条件的性质得到集合A 是集合B 的真子集，再分类讨论得到解集A ，从而列不等式求得a 的取值范围.【详解】（1）因为命题[]20001,1,0p x x x m ∃∈---≥:是假命题，所以命题[]2:1,1,0p x x x m ⌝∀∈---<是真命题，所以2m x x >-在[]1,1x ∈-上恒成立，令()()211f x x x x =--≤≤，则()f x 开口向上，对称轴为12x =，所以()f x 在11,2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭上单调递减，在1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递增，又()()()21112f -=---=，()21110f =-=，所以()()max 12f x f =-=，所以m>2，即()2,m ∈+∞，故()2,B =+∞.（2）因为x B ∈是x A ∈的必要不充分条件，所以集合A 是集合B 的真子集，又()2,B =+∞，因为()()320x a x a ---<对应的方程()()320x a x a ---=的根为3x a =或2x a =+，当32a a >+，即1a >时，由()()320x a x a ---<得23a x a +<<，则()2,3A a a =+，所以22a +≥，则0a ≥，故1a >；当32a a =+，即1a =时，由()()320x a x a ---<得()230x -<，显然x ∈∅，即A =∅，满足题意；当32a a <+，即1a <时，由()()320x a x a ---<得32a x a <<+，则()3,2A a a =+，所以32a ≥，则23a ≥，故213a ≤<；综上：23a ≥，即2,3a ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭.。
甘肃省兰州2024-2025学年高一上学期10月月考试题 数学含答案
兰州2024-2025-1学期10月月考试题高一数学（答案在最后）说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟.答案写在答题卡上，交卷时只交答题卡.第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.《生于忧患，死于安乐》由我国古代著名思想家孟子所作，文中写到“故天将降大任于斯人也，必先苦其心志，劳其筋骨，饿其体肤”，根据文中意思可知“苦其心志，劳其筋骨，饿其体肤”是“天将降大任于斯人也”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.已知集合{}{}2230,1,2,3,4A xx x B =-->=∣，则A B = （）A.{}1,2 B.{}1,2,3 C.{}3,4 D.{}43.已知命题:0p x ∃>，32x x =，:q x ∀∈R ，40x >，则（）A.p 和q 都是真命题B.p 和q ⌝都是真命题C.p ⌝和q 都是真命题D.p ⌝和q ⌝都是真命题4.函数211x y x -=-的定义域是（）A.[)4,-+∞ B.()4,-+∞C.[)()4,00,-+∞ D.[)()4,11,-+∞ 5.设集合{}21,Z M x x n n ==+∈，{}31,Z N x x n n ==+∈，{}61,Z P x x n n ==+∈，则（）A.M P⊆ B.N P ⊆ C.P M N=⋂ D.M N ⋂=∅6.下列说法正确的是（）A.“a b <”是“11a b>”的必要不充分条件B.“0x >”是“2x >”的充分不必要条件C.若不等式20ax bx c ++>的解集为()12,x x ，则必有0a <D.命题“x ∃∈R ，使得210x +=.”的否定为“x ∀∉R ，使得210x +≠.”7.已知命题2:,230p x ax x ∀∈++>R 为真命题，则实数a 的取值范围是（）A.1|02a a ⎧⎫<≤⎨⎩⎭B.1|03a a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭C.1|3a a ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭D.1|3a a ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭8.已知函数()()()1,012,0x x f x f x f x x +≤⎧=⎨--->⎩，则()2f =（）A.2- B.1- C.0D.1二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.若集合A ，B ，U 满足()U A B ⋂=∅ð，则下列结论一定正确的是（）A.A B U⋃= B.A B⊆ C.A B A= D.()U A B U È=ð10.若0a b >>，则下列结论一定成立的是（）A.11a b> B.2b a a b +>C.2121a ab b ++>++ D.11a b b a+>+11.若正实数,x y 满足21x y +=，则下列说法正确的是（）A.xy 有最大值为18B.14x y+有最小值为6+C.224x y +有最小值为12D.()1x y +有最大值为12第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.命题“[]1,4x ∃∈，使220x x λ+->成立”的否定命题是______.13.已知315:15210x p x ->⎧⎨>->⎩，:211q m x m -<<+.若p 是q 的必要不充分条件，则实数m 的取值范围是______.14.已知实数,a b 满足40a b ab +-=，且0ab >，若关于t 的不等式253a b t t +≥++恒成立，则实数t 的取值范围是__________.四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知集合{|M x y ==，2{|21,R}N y y x x x ==--∈,求:（1）M N ⋂，M N ⋃；（2）(,)A a =+∞，M A ⊆，求a 的取值范围．16.已知二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠满足(1)()21f x f x x +-=-，且(1)4f =-.（1）求()f x 的解析式；（2）集合{(2)0}(,){12}A xf m x B x x x =++<=-<<∣∣，若B A ⊆，求实数m 的取值范围.17.某公园为了美化游园环境，计划修建一个如图所示的总面积为7502m 的矩形花园.图中阴影部分是宽度为1m 的小路，中间,,A B C 三个矩形区域将种植牡丹､郁金香､月季（其中,B C 区域的形状､大小完全相同）.设矩形花园的一条边长为m x ，鲜花种植的总面积为2m S .（1）用含有x 的代数式表示a ，并写出x 的取值范围；（2）当x 的值为多少时，才能使鲜花种植的总面积最大？18.已知函数()()()211R f x m x mx m m =+-+-∈.（1）若不等式()0f x <的解集为∅，求m 的取值范围；（2）当2m >-时，解不等式()f x m ≥；（3）对任意的[]1,1x ∈-，不等式()21f x x x ≥-+恒成立，求m 的取值范围.19.已知集合{}()122k A a a a k =≥ ,,，其中()Z 1,2,i a i k ∈= ，由A 中元素可构成两个点集P 和Q ：(){},,,P x y x A y A x y A =∈∈+∈，(){},,,Q x y x A y A x y A =∈∈-∈，其中P 中有m 个元素，Q中有n 个元素.新定义1个性质G ：若对任意的x A ∈，必有x A -∉，则称集合A 具有性质G（1）已知集合{}0,1,2,3J =}与集合{}1,2,3K =-和集合{}222L y y x x ==-+，判断它们是否具有性质G ，若有，则直接写出其对应的集合P ，Q ；若无，请说明理由;k=，求：集合Q最多有几个元素？（2）集合A具有性质G，若2024=的什么条件并证明.（3）试判断：集合A具有性质G是m n兰州2024-2025-1学期10月月考试题高一数学说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟.答案写在答题卡上，交卷时只交答题卡.第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.【1题答案】【答案】B【2题答案】【答案】D【3题答案】【答案】B【4题答案】【答案】D【5题答案】【答案】C【6题答案】【答案】C【7题答案】【答案】D【8题答案】【答案】C二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.【9题答案】【答案】BC【10题答案】【答案】BD【11题答案】【答案】ABC第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.【12题答案】【答案】“[]1,4x ∀∈，220x x λ+-≤”【13题答案】【答案】3[,)2+∞．【14题答案】【答案】[]6,1-四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.【15题答案】【答案】（1）[1,3]M N ⋂=，[2,)M N ⋃=-+∞（2）(,1)-∞【16题答案】【答案】（1）2()23f x x x =--；（2）122m -<<-.【17题答案】【答案】（1）3753,32502a x x =-<<（2）当25m x =时，才能使鲜花种植的总面积最大【18题答案】【答案】（1）,3∞⎡⎫+⎪⎢⎪⎣⎭；（2）答案见解析；（3）3,3∞⎡⎫+⎪⎢⎪⎣⎭.【19题答案】【答案】（1）集合,J L 不具有性质G ；集合K 具有性质G ，对应集合()(){}1,3,3,1P =--，()(){}2,1,2,3Q =-；（2）2047276；（3）充分不必要条件.。
2023北京八一学校高一10月月考数学试卷和答案
2023北京八一学校高一10月月考数 学2023.10本试卷共4页，100分.考试时长90分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将答题卡交回.一､选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 已知集合{}2,1,0,1M =--，{}30N x x =-≤<，则M N ⋂=（ ）A. {}2,1,0,1-- B. {}0,1 C. {}2- D. {}2,1--2. 命题“30,1x x ∃><”的否定为（ ）A. 30,1x x ∀>≥ B. 30,1x x ∀≤≥C. 30,1x x ∃>≥ D. 30,1x x ∃≤≥3. 已知集合(){}(){}2,2,,A x y y x B x y y x ==-==∣∣，则A B ⋂中元素的个数为（ ）A. 3 B. 2C. 1D. 04. 已知,R a b ∈，则“0ab =”是“220a b +=”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件5. 已知命题[]:1,3,20p x x a ∃∈---≤.若p 为假命题，则a 的取值范围为（ ）A. (],3-∞- B. (],1-∞ C. (),3-∞- D. (),1-∞6. 设1:1;:12p x q a x a ≤≤≤≤+，若q 是p 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是（ ）A. 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ B. 10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦ C. 10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D. 10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦7. 方程24120x x --=的解集是（ ）A. {}2,2,6,6--B. {}2,2-C. {}6,6-D. ∅8. 要使二次三项式26x x t -+在整数范围内可因式分解，t 为正整数，那么t 的取值可以有（ ）A. 2个B. 3个C. 5个D. 6个9. 已知{}{}2260,20A x x px B x x qx =+-==++=∣∣，且(){}R 2A B ⋂=ð，则p q +的值为（ ）A. 4B. 53 C. 143 D. 510. 设非空数集M 同时满足条件：①M 中不含元素1,0,1-；②若a M ∈，则11a M a+∈-.则下列结论正确的是（ ）A. 集合M 中至多有2个元素B. 集合M 中至多有3个元素C.集合M 中有且仅有4个元素D. 集合M 中至少有5个元素二､填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.11. 已知集合2{|210}A x mx x =++=有且只有两个子集，则实数m =________.12. 集合{|1}A x x =≥，{|}B x x a =≤，A B ⋃=R ，则实数a 的取值范围是___________13. 设x 、y ∈R ，则“x y >”是“x y >”的__________条件.（充分不必要，必要不充分，充要，既不充分也不必要）14. 若关于,x y 的方程组523ax by x y -=⎧⎨-=-⎩与243x y ax by +=⎧⎨+=⎩的解集相等，则=a __________；b =__________.15. 1881年英国数学家约翰•维恩发明了Venn 图，用来直观表示集合之间的关系.全集U =R ，集合{}{}2240,|12M x x ax N x x =-+<=≤≤∣的关系如图所示，其中区域I ，II 构成M ，区域II ，III 构成N .若区域I ，II ，III 表示的集合均不是空集，则实数a 的取值范围是__________.三､解答题：本大题共5小题，共50分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16. 在①A B A = ；②A B ⋂=∅这两个条件中任选一个，补充在横线上，并解答．已知集合{}{}221,1A x a x a B x x =-<<=≤．（1）若1a =-，求()R A B ð；（2）若________，求实数a 的取值范围．17. 已知命题p ：方程220x x m ++=有两个不相等的负实数根，命题q ：方程21202x x m -++=无实数根.（1）若,p q 均为真命题，求实数m 的取值范围；（2）若,p q 中有一个真命题，一个是假命题，求实数m 的取值范围.18. 已知1x 、2x 是方程24410kx kx k -++=的两个实数根.（1）求k 的取值范围；（2）求2212x x +、12x x -.（结果用k 表示）（3）是否存在实数k ，使()()12123222x x x x --=-成立？若存在，求出k 的值，若不存在，请说明理由.19. 水果市场将120吨水果运往各地商家，现有甲，乙，丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如下表所示：（假设每辆车均满载）车型甲乙丙汽车运载量（吨/辆）5810汽车运费（元/辆）400500600（1）若全部水果都用甲，乙两种车型来运送，需运费8200元.问分别需甲，乙两种车型各几辆？（2）市场可以调用甲，乙，丙三种车型参与运送（每种车型至少1辆），已知它们的总辆数为16，分别求出三种车型的辆数.20. 已知集合P 中的元素有()*3n n ∈N 个且均为正整数，将集合P 分成元素个数相等且两两没有公共元素的三个集合,,A B C ，即,,,P A B C A B A C B C ==∅=∅=∅ ，其中{}{}{}121212,,,,,,,,,,,n n n A a a a B b b b C c c c === .若集合,,A B C 中元素满足12,,1,2,,n k k k c c c a b c k n <<<+== ，则称集合P 为“完美集合”.（1）若集合{}{}1,2,3,1,2,3,4,5,6P Q ==，判断集合P 和集合Q 是否为“完美集合”？并说明理由.（2）若集合{}1,,3,4,5,6P x =为“完美集合”，求正整数x 的值以及相应的集合,,A B C .参考答案一､选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 【答案】D【分析】利用交集的定义可求得集合M N ⋂.【详解】因为集合{}2,1,0,1M =--，{}30N x x =-≤<，则{}2,1M N ⋂=--.故选：D.2. 【答案】A【分析】利用两种特殊命题的否定即可求出结果.【详解】根据存在量词命题的否定知，命题“30,1x x ∃><”的否定为30,1x x ∀>≥，故选：A.3. 【答案】B 【分析】由题意，A B ⋂即方程组22y x y x ⎧=-⎨=⎩的解的个数，再联立方程求解即可.【详解】由题意，A B ⋂即方程组22y x y x⎧=-⎨=⎩的解的个数，即220x x --=，解得=1x -或2x =.故()(){}1,1,2,2A B =-- ，则A B ⋂中元素的个数为2.故选：B4. 【答案】B【分析】根据充分、必要条件的知识确定正确答案.【详解】000a ab b =⎧=⇔⎨≠⎩或00a b =⎧⎨=⎩或00a b ≠⎧⎨=⎩；22000a a b b =⎧+=⇔⎨=⎩；所以“0ab =”是“220a b +=”的必要不充分条件.故选：B5. 【答案】C【分析】由题意p ⌝为真命题，再根据一次函数恒成立性质求解即可.【详解】由题意[]:1,3,20p x x a ⌝∀∈--->为真命题，故[]1,3x ∀∈-，2x a >+恒成立，故12a ->+，即3a <-.故选：C6. 【答案】D【分析】根据充分条件和必要条件的定义转化为对应关系即可求解.【详解】因为1:12p x ≤≤，1q a x a ≤≤+:，又q 是p 的必要不充分条件，所以1211a a ⎧≤⎪⎨⎪+≥⎩，解得102a ≤≤，经检验满足题意.故选：D.7. 【答案】C 【分析】原方程等价于(||6)(2)0x x -+=，求解即可.【详解】解：因为224120||4120(||6)(2)0x x x x x x --=⇔--=⇔-+=，解得||6x =或||2x =-(舍)，由||6x =，解得6x =或6x =-，所以原方程的解集为{}6,6-.故选：C.8. 【答案】B【分析】根据题设得26()()x x t x a x b -+=++，从而得到6,a b ab t +=-=，再利用t 为正整数，即可求出结果.【详解】由题可设26()()x x t x a x b -+=++，则226()x x t x a b x ab -+=+++，所以6,a b ab t +=-=，又t 为正整数，所以,a b 都是负整数，故1,5a b =-=-或5,1a b =-=-，此时5t =；2,4a b =-=-或4,2a b =-=-，此时8t =；3,3a b =-=-，此时9t =；所以满足题意的t 的取值有3个，故选：B.9. 【答案】C【分析】利用条件(){}R 2A B ⋂=ð，得到2A ∈，从而求出1p =，进而求出集合A ，得到3B -∈，即可求出结果.【详解】因为(){}R 2A B ⋂=ð，2A ∈，所以4260p +-=，得到1p =，当1p =时，由260x x +-=，解得2x =或3x =-，所以3B -∈，故9320q -+=，得到113q =，所以1114133p q +=+=，故选：C.10. 【答案】C 【分析】由题意可求出11,,11,1a a a a a a -+--+都在M 中，然后计算这些元素是否相等，继而判断M 的元素个数的特点.【详解】因为若a M ∈，则11a M a +∈-，所以1111111a a M a a a ++-=-∈+--，111=111+a a M a a --∈+，则11211211a a a a M a a -++==∈--+，当1,0,1a ≠-时，4个元素11,,11,1a a a a a a -+--+中，任意两个元素都不相等，所以集合M 中有且仅有4个元素，故选：C二､填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.11. 【答案】0或1【分析】根据题设条件可得A 为单元素集合，就0,0m m =≠分类讨论后可得实数m 的值.【详解】因为A 有且只有两个子集，故A 为单元素集合.当0m =时，1{|210}2A x x ⎧⎫=+==-⎨⎬⎩⎭，符合；当0m ≠时，则有440m ∆=-=即1m =.综上，0m =或1m =.故答案为：0或1.【点睛】本题考查集合中元素个数与其子集个数之间的关系以及集合含义的正确理解，一般地，如果有限集中元素的个数为n ，那么其子集的个数为2n ，对于集合(){}|0x f x =，它表示方程()0f x =的解的集合，讨论含参数的方程的解的时，要考虑二次项系数是否为零.12. 【答案】[)1,+∞【分析】由A B ⋃=R ，易得1a ≥。
北京市和平街2024-2025学年高一上学期10月月考数学试题含答案
和平街高一数学月考试题（2024.10）（答案在最后）（考试时间：90分钟，满分150分）第Ⅰ卷（选择题，共40分）一、单选题（每小题4分，共40分）1.设集合{}0,1,2,3A =，{}1,0,1,2,3B =-，则A B = （）A.{}1,0,1,2,3- B.{}1,2 C.{}0,1,2,3 D.{}1,2,3【答案】C 【解析】【分析】根据集合交集运算求解即可.【详解】{}0,1,2,3A B ⋂=,故选：C.2.已知命题20001:,04∃∈-+≤p x x x R ，则命题p 的否定为（）A.20001,04∃∈-+>x x x R B.20001,04∃∈-+<x x x R C.21,04∀∈-+≤x x x R D.21,04x x x ∀∈-+>R 【答案】D 【解析】【分析】根据特称命题的否定是全称命题可得答案.【详解】20001:,04∃∈-+≤p x x x R ，则命题p 的否定为21,04x x x ∀∈-+>R .故选：D.3.已知全集{}1,2,3,4,5U =，{}2,3,4A =，{}3,5B =，则下列结论正确的是（）A.B A ⊆B.{}1,5U A =ðC.{}3A B =D.{}2,4,5A B = 【答案】B 【解析】【分析】利用集合的包含关系可判断A 选项的正误，利用集合的基本运算可判断BCD 选项的正误.【详解】已知全集{}1,2,3,4,5U =，{}2,3,4A =，{}3,5B =.对于A 选项，B A ⊄，A 选项错误；对于B 选项，{}1,5U A =ð，B 选项正确；对于C 选项，{}2,3,4,5A B ⋃=，C 选项错误；对于D 选项，{}3A B ⋂=，D 选项错误.故选：B.4.设集合{}2{,},0,A x y B x ==，若A B =，则2x y +等于（）A.0B.1C.2D.－1【答案】C 【解析】【分析】根据元素的确定性可得0x =或0y =，再利用元素的互异性可确定0y =，1x =，从而可得正确的选项.【详解】由A B =，得0x =或0y =.当0x =时，20x =，不满足集合中元素的互异性，舍去；当0y =时，2x x =，则0x =或1x =，由上知0x =不合适，故0y =，1x =，则22x y +=.故选：C.【点睛】本题考查集合相等的性质以及集合元素的确定性和互异性，一般地，我们利用确定性求值，利用互异性取舍，本题属于基础题.5.已知0x >，则2x x+的最小值为（）A.B.2C.D.4【答案】C 【解析】【分析】根据给定条件利用均值不等式直接计算作答.【详解】因为0x >，则2x x +≥=2x x =，即x ==”，所以2x x+的最小值为.故选：C6.若a ，b 是任意实数，且a b >，则（）A.22a b >B.1b a< C.1a b -> D.0a b ->【答案】D 【解析】【分析】利用不等式性质一一判定选项即可.【详解】若2201a b a b =>=-⇒<，故A 错误；若1221ba b a=->=-⇒=>，故B 错误；若011a b a b =>=-⇒-=，故C 错误；显然0a b a b b b >⇔->-=，故D 正确.故选：D7.不等式2230x x --<的解集为（）A.()1,3- B.()3,1-C.(1)(3)∞∞--⋃+，， D.(3)(1)∞∞--⋃+，，【答案】A 【解析】【分析】根据一元二次不等式的解法计算可得.【详解】不等式2230x x --<，即()()130x x +-<，解得13x -<<，所以不等式2230x x --<的解集为()1,3-.故选：A8.“02x <<”是“13x -<<”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据充分必要条件的定义判断．【详解】02x <<时，一定有13x -<<，满足充分性，但13x -<<时，如 2.5x =，不满足02x <<，即不满足必要性，“02x <<”是“13x -<<”的为充分不必要条件．故选：A ．9.已知集合{}0,A a =，{}230,Z B b b b b =-<∈，A B ≠∅ ，则实数a 的值为（）A.1B.2C.1或2D.2或3【答案】C 【解析】【分析】首先解一元二次不等式即可求出集合B ，再根据A B ≠∅ 求出a 的值.【详解】由230b b -<，即()30b b -<，解得03b <<，所以{}{}{}230,Z 03,Z 1,2B b b b b b b b =-<∈=<<∈=，又{}0,A a =且A B ≠∅ ，所以1a =或2a =.故选：C.10.设集合A 的最大元素为M ，最小元素为m ，记A 的特征值为A X M m =-，若集合中只有一个元素，规定其特征值为0.已知1A ，2A ，3A ，…，n A 是集合*N 的元素个数均不相同的非空真子集，且12360n A A A A X X X X +++⋅⋅⋅+=，则n 的最大值为（）A.10B.11C.12D.13【答案】B 【解析】【分析】根据题设描述只需保证各集合中n A X M m =-（*N n ∈）尽量小，结合已知及集合的性质有n 最大时123(1)...2n A A A A n n X X X X -++++=，进而分析n 的取值.【详解】由题设1A ，2A ，3A ，…，n A 中都至少有一个元素，且元素个数互不相同，要使n 最大，则各集合中n A X M m =-（*N n ∈）尽量小，所以集合1A ，2A ，3A ，…，n A 的元素个数尽量少且数值尽可能连续，所以，不妨设1230,1,2,...,1n A A A A X X X X n ====-，有123(1)...2n A A A A n n X X X X -++++=，当11n =时，123...5560n A A A A X X X X ++++=<，当12n =时，123...6660n A A A A X X X X ++++=>，只需在11n =时，在上述特征值取最小情况下，使其中一个集合的特征值增加5即可，故n 的最大值为11.故选：B【点睛】关键点点睛：注意n 最大则各集合中n A X M m =-（*N n ∈）尽量小，并求出该情况下特征值之和关于n 的公式，再分析其最大取值.第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题（每小题5分，共25分）．11.已知函数()43f x x =+，则()3f =__________.【答案】15【解析】【分析】代值求解可得.【详解】()43f x x =+Q ，(3)43315f ∴=⨯+=.故答案为：15.12.设x 、y 满足10x y +=，且x 、y 都是正数，则xy 的最大值为________．【答案】25【解析】【分析】由基本不等式即可求解.【详解】由于x 、y 都是正数，故2252x y xy +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，当且仅当5x y ==时等号成立，故xy 的最大值为25，故答案为：2513.满足{}{}11,2,3A ⊆⊆的集合A 的个数为____________个.【答案】4【解析】【分析】根据子集的定义即可得到集合A 的个数；【详解】 {}{}11,2,3A ⊆⊆，∴{}1A =或{}1,2或{}1,3或{}1,2,3，故答案为：4.【点睛】本题考查子集的定义，属于基础题.14.已知集合{}{}21,2,3,2,A B a a a ==+．若{}2A B = ，则a =____________．【答案】2-【解析】【分析】根据交集的定义，结合集合中元素的互异性进行求解即可.【详解】当22a =时，1a =，此时{}2,2B =，不满足集合中元素的互异性，所以1a =（舍）；当22a a +=时，可得2,1a a =-=（舍），此时，{}4,2B =-，满足条件，所以2a =-．故答案为：2-15.函数2(0)y ax bx c a =++≠的图像如图所示，则不等式20ax bx c ++<的解集是__________，不等式0ax bcx a+<+的解集是__________.【答案】①.{}|12x x <<②.1|32x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭【解析】【分析】根据图像求出a ，b ，c 之间的关系，再解不等式0ax bcx a++＜即可.【详解】由函数图像知，20ax bx c ++<的解集为{}|12x x <<；从而0,420,a b c a b c ++=⎧⎨++=⎩且0a >，解得3b a =-且2(0)=>c a a ，所以不等式0ax bcx a +<+等价于3021x x -<+，等价于()()3210x x -+＜，解得132x -<<；故答案为：{}|12x x <<；1|3.2⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭x x三、解答题（六小题，共85分）16.已知集合{}2|430A x x x =-+<，集合{}|2B x x =>．（1）化简集合A 并求A B ⋂，A B ．（2）若全集U R =，求()U B A ⋂ð．【答案】（1）{}|23A B x x =<< ，{}|1A B x x =>U ；（2）{}|3x x ≥﹒【解析】【分析】(1)解二次不等式得集合A ，利用交并运算的定义求解即可；(2)先求补集U A ð，进而求交集即可．【小问1详解】{}2|430A x x x =-+<{}|13x x =<<，∴{}|23A B x x =<< ，{}|1A B x x =>U ．【小问2详解】∵{|1U A x x =≤ð或3}x ≥，∴(){}|3U B A x x ⋂=≥ð．17.完成如下三个小题并写出必要过程（1）设()()23M x x =++，()()14N x x =++，比较,M N 的大小．（2）已知,a b c d ><，求证：a c b d ->-；（3）已知R x ∈，设()1A x x =-；2B x =-，比较A 与B 的大小．【答案】（1）M N >（2）证明见解析（3）A B>【解析】【分析】（1）由作差法得到−=+2+3−+1+4=2+5+6−2+5+4=2>0，即可比较；（2）由c d <则c d ->-，由同向不等式的可加性可得a c b d ->-；（3）由作差法得到−=2−2+2=−12+1>0，即可比较.【小问1详解】因为−=+2+3−+1+4=2+5+6−2+5+4=2>0，M N ∴>.【小问2详解】因为,a b c d ><，所以c d ->-，由同向不等式的可加性可得a c b d ->-.【小问3详解】因为R x ∈，()1A x x =-，2B x =-，所以−=2−2+2=−12+1>0，所以A B >.18.已知集合{}45A x x =-<<，{}36B x x =-<<，{}|121,R C x m x m m =-≤≤+∈.（1）求A B ，A B ⋂；（2）若()C A B ⊆⋂，求实数m 的取值范围.【答案】（1）{}46A B x x ⋃=-<<，{}35A B x x ⋂=-<<（2）2m <-或22m -<<.【解析】【分析】（1）根据集合的交并运算求得A B ，A B ⋂；（2）根据C 是否为空集进行分类讨论，由此求得m 的取值范围.【小问1详解】{}45A x x =-<<，{}36B x x =-<<，∴{}46A B x x ⋃=-<<，{}35A B x x ⋂=-<<.【小问2详解】{}35A B x x ⋂=-<<，当C =∅时，121m m ->+，∴2m <-．当C ≠∅时，213215m m m ≥-⎧⎪->-⎨⎪+<⎩，∴22m -<<．综上所述，2m <-或22m -<<.19.函数()243f x mx mx =++（1）若1m =，求()0f x ≤的解集；（2）当()0f x >恒成立时，求m 的取值范围；（3）若方程()0f x =有两个实数根12,x x ，且22121230x x x x +->，求m 的取值范围【答案】（1）[]3,1--（2）30,4⎡⎫⎪⎢⎣⎭（3）1516m >或0m <【解析】【分析】（1）把1m =代入，结合二次不等式的求解方法可得答案；（2）讨论二次型函数的系数，结合判别式可得答案；（3）利用韦达定理及限制条件可得答案.【小问1详解】当1m =时，原不等式等价于2430x x ++≤，解得31x -≤≤-，所以()0f x ≤的解集为[]3,1--.【小问2详解】当0m =时，()30f x =>恒成立；当0m >时，()0f x >恒成立，则有216120m m -<，解得304m <<，当0m <时，()0f x >显然不恒成立.综上，m 的取值范围是30,4⎡⎫⎪⎢⎣⎭.【小问3详解】()0f x =有两个实数根，所以0m ≠，216120m m ∆=-≥，解得34m ≥或0m <，121234,x x x x m+=-=，因为22121230x x x x +->，所以()2121250x x x x +->，15160m ->解得1516m >或0m <，综上可得1516m >或0m <.20.设一个矩形长为x ，宽为y ．（1）当点(),P x y 位于直线4y x =-+上时，求该矩形面积的最大值．（2）当点(),P x y 位于曲线81212y x x ⎛⎫=> ⎪-⎝⎭上时，求该矩形周长的最小值．（3）当该矩形的面积比周长多5时，求该矩形面积的取值范围．【答案】（1）4（2）9（3）[)25,+∞【解析】【分析】（1）表达出矩形面积24S xy x x ==-+，配方后求出最大值；（2）表达出矩形周长16221l x x =+-，变形后，利用基本不等式求出最小值；（3）由题意得到225xy x y --=，由基本不等式得到50xy --≥，求出答案.【小问1详解】该矩形面积为()22424S xy x x x ==-+=--+，04x <<，故当2x =时，S 取得最大值，最大值为4；【小问2详解】该矩形周长()16162222112121l x y x x x x =+=+=-++--，因为12x >，所以16210,021x x ->>-，由基本不等式得()162111921l x x =-++≥+=-，当且仅当162121x x -=-，即52x =时，等号成立，故该矩形周长的最小值为9；【小问3详解】由题意得225xy x y --=，即52xy x y -=+，因为0,0x y >>，由基本不等式得x y +≥52xy -≥，即50xy --≥5≥1≤-（舍去），故25xy ≥，该矩形面积的取值范围为[)25,∞+.21.设集合*A ⊆N ．定义：和集合{},,B x y x y A x y =+∈≠，积集合{},,C x y x y B x y =⋅∈≠，分别用,,A B C 表示集合,,A B C 中元素的个数．（1）若{}1,2,3,4A =，求集合C ；（2）若5A =，求B 的所有可能的值组成的集合；（3）若4A =，求证：9C ≥．【答案】（1）{}12,15,18,20,21,24,28,30,35,42C =（2）{}7,8,9,10（3）证明见解析【解析】【分析】（1）根据新定义直接求解B ,C ;（2）令12345a a a a a <<<<，由和集合得到数的大小关系，再讨论大小关系分类求解；（3）记A 集合为{}1234,,,a a a a ，且1234a a a a <<<，由和集合得到数的大小关系，求出B 有两种可能，当6B =得9C ≥，由5B =及数的大小关系分别讨论7C ≠和8C ≠，讨论五种情况即可求解.【小问1详解】（1）由{}1,2,3,4A =，则{}3,4,5,6,7B =，{}12,15,18,20,21,24,28,30,35,42C =．【小问2详解】当5A =，不妨记A 集合为{}12345,,,,a a a a a ，且令12345a a a a a <<<<，则必有12132324343545a a a a a a a a a a a a a a +<+<+<+<+<+<+，和中剩下的141525,,a a a a a a +++满足141525a a a a a a +<+<+，并且13142535,a a a a a a a a +<++<+，下列有四种可能：一是142315242534,,a a a a a a a a a a a a +=++=++=+，则7B =；二是14a a +与2315,a a a a ++与2425,a a a a ++与34a a +三对数有两对相等，另一对不相等，则8B =；三是14a a +与2315,a a a a ++与2425,a a a a ++与34a a +三对数有一对相等，其它两对不相等，则9B =；四是14a a +与2315,a a a a ++与2425,a a a a ++与34a a +三对数全不相等，则10B =；综上述，B 的所有可能的值组成的集合为{}7,8,9,10.【小问3详解】当4A =，不妨记A 集合为{}1234,,,a a a a ，且1234a a a a <<<，则必有1213232434a a a a a a a a a a +<+<+<+<+，和中剩下的元素为14a a +，满足131424a a a a a a +<+<+，所以B 有两种可能，当1423a a a a +≠+，6B =；当1423a a a a +=+，5B =；ⅰ）当6B =，不妨记这6个元素为123456,,,,,b b b b b b ，且让123456b b b b b b <<<<<，则必有121323243435454656b b b b b b b b b b b b b b b b b b <<<<<<<<，所以9C ≥；ⅱ）当5B =，1423a a a a +=+，不妨记112b a a =+，213b a a =+，323b a a =+，424b a a =+，534b a a =+，则12345b b b b b <<<<，则必有12132324343545b b b b b b b b b b b b b b <<<<<<，积中剩下的141525,,b b b b b b 满足141525b b b b b b <<，则7C ≥，下面先证明7C ≠．假设7C =，由1314242535b b b b b b b b b b <<<<，则142315242534,,b b b b b b b b b b b b ===，即535242131424,,b b b b b b b b b b b b ===，所以35241234b b b b b b b b ===，令21b q b =，由15241234b b b b a a a a +=+=+++，则431111b b q b q b q +=+，所以431q q q +=+，则1q =，与事实不符，所以7C ≠．下面再证明8C ≠．由上述分析知：要使8C =，积中剩下的141525,,b b b b b b 满足141525b b b b b b <<，必有两对积与12132324343545,,,,,,b b b b b b b b b b b b b b 七对中的两对相等，有如下五种情况：一是23142415b b b b b b b b =⎧⎨=⎩，则可推得524134b b b b b b ==，令其比值为t ，则1t >，于是5421,b tb b tb ==，由15241234b b b b a a a a +=+=+++，则1414b tb tb b +=+，则()()1410t b b --=，显然无解，故此情况不能；二是23143415b b b b b b b b =⎧⎨=⎩，则可推得35241314,b b b b b b b b ==，令3524121314,b b b b t t b b b b ====，显然211t t >>，由15241234b b b b a a a a +=+=+++，则124114b t b t b b +=+，所以()()241111t b t b -=-，而显然()()241111t b t b ->-，故此情况不可能；三是23143425b b b b b b b b =⎧⎨=⎩，则可推得354123b b b b b b ==，令其比值为t ，则1t >，由152432b b b b b +=+=，又2315b b b =，则15b b +=，这与15b b +>矛盾，故此情况不可能；四是23153425b b b b b b b b =⎧⎨=⎩，可推得524132b b b b b b ==，令其比值为t ，则1t >，于是53b tb =，21b tb =，2421b tb t b ==，2314a a a a +=+，于是由15241234b b b b a a a a +=+=+++，则2131132b tb tb t b b +=+=，所以132b b t =-，代入得211122b tb t b t+=-，推得()()222t t t +-=，所以32220t t t --+=，所以()()2120t t --=，有1t >，所以t =，这与21b t b =是有理数相矛盾，所以此情况不能；五是24153425b b b b b b b b =⎧⎨=⎩，可推得532142b b b b b b ==，令其比值为t ，则1t >，于是5421,b tb b tb ==，由15241234b b b b a a a a +=+=+++，则1414b tb tb b +=+，则()()1410t b b --=，显然无解，故此情况不可能．所以8C ≠．综上，所以9C ≥．【点睛】关键点点睛:本题考查集合新定义，关键是对集合元素数的大小关系进行讨论，推出矛盾证明第三问.。
湖南省长沙市长郡中学2024-2025学年高一上学期10月月考数学试题
湖南省长沙市长郡中学2024-2025学年高一上学期10月月考数学试题一、单选题1．已知集合{}26A x x =≤<，{}240B x x x =-<，则A B =I （ ）A ．()0,6B ．()4,6C ．[)2,4D ．()[),02,-∞⋃+∞2．命题“x ∃∈R ，2220x x -+≤”的否定是（ ） A ．x ∃∈R ，2220x x -+≥ B ．x ∃∈R ，2220x x -+> C ．x ∀∈R ，2220x x -+≤ D ．x ∀∈R ，2220x x -+>3．设a ∈R ，则“1a >”是“11a<”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．下列各组函数中，表示同一个函数的是（ ）A ．2(),()x f x x g x x ==B ．()(),()()f x x x R g x x x Z =∈=∈C ．,0(),(),0x x f x x g x x x ≥⎧==⎨-<⎩D ．2(),()f x x g x ==5．函数1xy x=+的大致图象是（ ） A ． B ．C ．D ．6．若x A ∈且1A x ∈就称A 是伙伴关系集合，集合111,0,,,1,2,3,432M ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合个数为（ ） A ．15B ．16C ．64D ．1287．某班有学生56人，同时参加了数学小组和英语小组的学生有32人，同时参加了英语小组和语文小组的学生有22人，同时参加了数学小组和语文小组的学生有25人．已知该班学生每人至少参加了1个小组，则该班学生中只参加了数学小组、英语小组和语文小组中的一个小组的人数最多是（ ） A ．20B ．21C ．23D ．258．已知集合P ，Q 中都至少有两个元素，并且满足下列条件：①集合P ，Q 中的元素都为正数；②对于任意(),a b Q a b ∈≠，都有aP b∈；③对于任意(),a b P a b ∈≠，都有ab Q ∈；则下列说法正确的是（ ）A ．若P 有2个元素，则Q 有3个元素B ．若P 有2个元素，则P Q ⋃有4个元素C ．若P 有2个元素，则P Q ⋂有1个元素D ．存在满足条件且有3个元素的集合P9．如果0a b <<，那么下列不等式成立的是（ ） A ．11a b< B ．2ab b < C ．2ab a -<-D ．11a b-<-二、多选题10．已知关于x 的不等式20ax bx c ++≥的解集为{}34x x -≤≤∣，则下列说法正确的是（ ）A ．0a <B ．不等式20cx bx a -+<的解集为1143xx ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭∣ C ．0a b c ++< D ．2342cb ++的最小值为4- 11．已知0x >，0y >且3210x y +=，则下列结论正确的是（ ）A．xy 的最大值为625B C ．32x y +的最小值为52D ．22x y +的最大值为10013三、填空题12．若函数f （x ）＝－x 2－2(a ＋1)x ＋3在区间(－∞，3]上是增函数，则实数a 的取值范围是．13．已知函数()f x =R ，则实数a 的取值范围是．14．已知函数()()2462f x x a x a =-++-，若集合(){}N 0A x f x =∈<中有且只有两个元素，则实数a 的取值范围是四、解答题15．已知集合{}121A x m x m =-≤≤-，集合()(){}230B x x x =-+<． (1)若2m =，求A B U ； (2)若A B ⊆，求实数m 的范围．16．如图所示，某学校要建造一个一面靠墙的无盖长方体垃圾池，垃圾池的容积为360m ，为了合理利用地形，要求垃圾池靠墙一面的长为6m ，如果池底每平方米的造价为200元，池壁每平方米的造价为180元（不计靠墙一面的造价），设垃圾池的高为m x ，墙高5m ，(1)试将垃圾池的总造价y （元）表示为(m)x 的函数，并指出x 的取值范围； (2)怎样设计垃圾池能使总造价最低？最低总造价是多少？ 17．已知()24xf x x =+，()2,2x ∈-． (1)求证：函数()f x 在区间()2,2-上是增函数； (2)求函数()f x 在区间()2,2-上的值域. 18．已知函数()11mx f x =++，()()21g x x x a =++. (1)当0a =，1m =-时，解关于x 的不等式()()f x g x ≥；(2)当0m =时，对任意[)1,x ∞∈+，关于x 的不等式()()f x g x ≤恒成立，求实数m 的取值范围；(3)当0m <，0a <时，若点()111,P x y ，()222,P x y 均为函数()y f x =与函数()y g x =图象的公共点，且12x x ≠，求证：()1221223a x x --<+<.19．已知集合A 为非空数集.定义：{}|,,,{|,,}S x x a b a b A T x x a b a b A ==+∈==-∈ (1)若集合{1,3}A =，直接写出集合S ，T ；(2)若集合{}12341234,,,,,A x x x x x x x x =<<<且T A =．求证：423x x =；(3)若集合{}|02024,N ,A x x x S T ⊆≤≤∈⋂=∅，记A 为集合A 中元素的个数，求A 的最大值.。
湖南省长沙市2024-2025学年高一上学期10月月考数学试题含答案
2024年下学期10月份考试试卷高一数学（答案在最后）时量：120分钟分值：150分命题人：一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.下列表示集合6N N A x x ++⎧⎫=∈∈⎨⎬⎩⎭和(){}22536B x x x=+=关系的Venn 图中正确的是（）A.B.C.D.【答案】A 【解析】【分析】依题意可求得集合,A B ，根据集合中的元素可判断两集合之间的关系.【详解】根据题意由6N ,N x x++∈∈可得1,2,3,6x =，即{}1,2,3,6A =；解方程()22536x x+=可得256x x +=或256x x +=-，解得1x =或6x =-或2x =-或3x =-，即可得{}1,2,3,6B =---；因此可得集合,A B 有交集，但没有包含关系.故选：A2.如果对于任意实数x ，[]x 表示不超过x 的最大整数，例如[]π3=，[]0.60=，[]1.62-=-，那么“1x y -<”是“[][]x y =”的（）．A.充分条件B.必要条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】举出反例得到充分性不成立，再设[][]x y k ==，得到1k x k ≤<+，1k y k ≤<+，故1x y -<，必要性成立，得到答案.【详解】不妨设 1.6, 2.5x y ==，满足1x y -<，但[][]1,21.6 2.5==，不满足[][]x y =，充分性不成立，若[][]x y =，不妨设[][]x y k ==，则1k x k ≤<+，1k y k ≤<+，故1x y -<，必要性成立，故“1x y -<”是“[][]x y =”的必要条件.故选：B3.已知命题p ：x ∀∈R ，01xx >-，则p ⌝为（）.A.x ∀∈R ，01xx ≤- B.x ∃∈R ，01xx ≤-C.x ∀∈R ，01xx ≤-或10x -= D.x ∃∈R ，01xx ≤-或10x -=【答案】D 【解析】【分析】利用全称命题的否定求解即可.【详解】由全称命题的否定是特称命题知：原命题的否定为x ∃∈R ，01xx ≤-或10x -=.故选：D4.若正实数x ，y 满足40x y xy +-=，则t xy =的取值范围为（）A.{|04}t t <≤B.{|2}t t ≥C.{|4}t t ≥D.{|16}t t ≥【答案】D 【解析】【分析】由基本不等式得到4x y +≥，求出答案.【详解】正实数x ，y 满足40x y xy +-=，则4x y +≥，当且仅当x y =时取等号，所以t xy =，即xy ≥，即t ≥，两边平方,结合0t >，解的16t ≥.故选：D.5.已知命题2:,230p x ax x ∀∈++>R 为真命题，则实数a 的取值范围是（）A.1|02a a ⎧⎫<≤⎨⎩⎭B.1|03a a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭C.1|3a a ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭D.1|3a a ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭【答案】D 【解析】【分析】问题转化为不等式2230ax x ++>的解集为R ，根据一元二次不等式解集的形式求参数的值.【详解】因为命题2:,230p x ax x ∀∈++>R 为真命题，所以不等式2230ax x ++>的解集为R .所以：若0a =，则不等式2230ax x ++>可化为230x +>⇒32x >-，不等式解集不是R ；若0a ≠，则根据一元二次不等式解集的形式可知：20Δ2120a a >⎧⎨=-<⎩⇒13a >.综上可知：13a >故选：D6.若实数αβ，满足1312αβ-<<<-，则αβ-的取值范围是（）A.1312αβ-<-<-B.250αβ-<-<C.10αβ-<-<D.11αβ-<-<【答案】C 【解析】【分析】根据不等式的性质及题中条件即可得到结果.【详解】因为αβ<，所以0αβ-<，又1312α-<<-，1312β-<<-，所以1213β<-<所以11αβ-<-<，故10αβ-<-<，故选：C7.关于x 的一元二次不等式()()()2120x a x a --+->⎡⎤⎣⎦，当01a <<时，该不等式的解集为（）A.2|21a x x x a -⎧⎫><⎨⎬-⎩⎭或 B.2|21a x x a -⎧⎫<<⎨⎬-⎩⎭C.2|21a x x x a -⎧⎫<>⎨⎬-⎩⎭或 D.2|21a x x a -⎧⎫<<⎨⎬-⎩⎭【答案】B 【解析】【分析】由01a <<，知10a -<，原不等式等价于()2201a x x a -⎛⎫--< ⎪-⎝⎭，再确定相应二次方程的根的大小得不等式的解集.【详解】由01a <<，则10a -<，原不等式等价于不等式()2201a x x a -⎛⎫--< ⎪-⎝⎭的解集，又由01a <<，则方程()2201a x x a -⎛⎫--= ⎪-⎝⎭的两根分别为1222,1a x x a -==-，当01a <<时，221a a -<-，故原不等式的解集为2|21a x x a -⎧⎫<<⎨⎬-⎩⎭.故选：B8.已知长为a ，宽为b 的长方形，如果该长方形的面积与边长为1k 的正方形面积相等；该长方形周长与边长为2k 的正方形周长相等；该长方形的对角线与边长为3k 的正方形对角线相等；该长方形的面积和周长的比与边长为4k 的正方形面积和周长的比相等，那么1k 、2k 、3k 、4k 大小关系为（）A.1423k k k k ≤≤≤B.3124k k k k ≤≤≤C.4132k k k k ≤≤≤D.4123k k k k ≤≤≤【答案】D 【解析】【分析】先求出21ab k =，22a b k +=3=，2442k aba b k =+，然后利用基本不等式比较大小即可.【详解】由题意可得，21ab k=①，22a b k +=3=③，2442k aba b k =+④，且,0a b >，由基本不等式的关系可知，a b +≥a b =时等号成立，由①②得，2122k k ≥，所以21k k ≥⑤，因为()22222()22+=++≤+a b a b ab a b，所以222()2a b a b ++≥，当且仅当a b =时等号成立，由②③得，2223422k k ≥，所以32k k ≥⑥，又2ab aba b ≤=+，当且仅当a b =时等号成立，由①④得，241422k kk ≤，所以41k k ≤⑦，综合⑤⑥⑦可得，4123k k k k ≤≤≤.故选：D .二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．9.下列说法不正确的是（）A.“a b <”是“11a b>”的必要不充分条件B.若1x y +=，则xy 的最大值为2C.若不等式20ax bx c ++>的解集为{|13}x x <<，则230a b c ++<D.命题“R x ∃∈，使得210x +=．”的否定为“R x ∀∉，使得210x +≠．”【答案】ABD 【解析】【分析】根据充分条件和必要条件的定义判断A ，消元，根据二次函数性质判断B ，根据一元二次不等式的解集与二次方程的关系求,,a b c 的关系，由此判断23a b c ++的正负，判断C ，根据含量词的命题的否定方法判断D.【详解】对于A ，取1a =-，1b =，则a b <，但11a b<，取1a =，1b =-，则11a b>，但a b >，所以“a b <”是“11a b>”的既不充分也不必要条件，A 错误；对于B ，因为1x y +=，所以()2211124xy x x x x x ⎛⎫=-=-+=--+ ⎪⎝⎭，所以xy 的最大值为14，B 错误；因为不等式20ax bx c ++>的解集为{|13}x x <<，所以0a <，且1,3为方程20ax bx c ++=的根，所以13b a +=-，13c a⨯=，所以4b a =-，3c a =，所以238920a b c a a a a ++=-+=<，C 正确；命题“R x ∃∈，使得210x +=．”的否定为“R x ∀∈，使得210x +≠．”D 错误；故选：ABD.10.已知正数a ，b 满足238a b +=，则下列说法正确的是（）A.83ab ≤ B.227a b +>C.224932a b +≥ D.11126436a b a b +≥++【答案】ACD 【解析】【分析】由已知条件结合基本不等式及相关结论检验选项A,C,D ，举出反例检验选项B ，即可判断.【详解】对于A ，因为823a b =+≥，故83ab ≤，当且仅当23,238a b a b =+=,即42,3a b ==时等号成立，故A 正确;对于B ，当2,1b a ==时,2267a b +=<，B 显然错误;对于C ，因为22249(23)12641232a b a b ab ab +=+-=-≥，当且仅当42,3a b ==时等号成立，故C 正确;对于D ，由238a b +=可得()6932324a b a b +=+=,即()264324a b a b +++=,所以111264326432643242643a b a b a b a b a b a b a b a b ++++++⎛⎫+=+ ⎪++++⎝⎭143261122242643246a b a b a b a b ⎛++⎛⎫=++≥+= ⎪ ++⎝⎭⎝当且仅当2643a b a b +=+，即42,3a b ==时等号成立，故D 正确.故选：ACD.11.对于一个非空集合B ，如果满足以下四个条件：①(){},,B a b a A b A ⊆∈∈，②(),,a A a a B ∀∈∈，③,a b A ∀∈，若(),a b B ∈且(),b a B ∈，则a b =，④,,a b c A ∀∈，若(),a b B ∈且(),b c B ∈，则(),a c B ∈，就称集合B 为集合A 的一个“偏序关系”，以下说法正确的是（）A.设{}1,2A =，则满足是集合A 的一个“偏序关系”的集合B 共有3个B.设{}1,2,3A =，则集合()()()()(){}1,1,1,2,2,1,2,2,3,3B =是集合A 的一个“偏序关系”C.设{}1,2,3A =，则含有四个元素且是集合A 的“偏序关系”的集合B 共有6个D.(){},R,R,R a b a b a b =∈'∈≤是实数集R 的一个“偏序关系”【答案】ACD 【解析】【分析】A 选项，分析出()()1,1,2,2B ∈，分析③可知，()1,2和()2,1只能二选一，或两者均不能在B 中，从而得到足是集合A 的一个“偏序关系”的集合B 共有3个；B 选项，()1,2B ∈且()2,1B ∈，但12≠，B 错误；C 选项，分析出()()()1,1,2,2,3,3B ∈，再添加一个元素即可，从而得到答案；D 选项，通过分析均满足四个条件，D 正确.【详解】A 选项，{}1,2A =，则(){}()()()(){},,1,1,1,2,2,1,2,2a b a A b A ∈∈=，通过分析②可知，()()1,1,2,2B ∈，分析③可知，()1,2和()2,1只能二选一，或两者均不能在B 中，取()(){}1,1,2,2B =，或()()(){}1,1,2,2,1,2B =，或()()(){}1,1,2,2,2,1B =，故满足是集合A 的一个“偏序关系”的集合B 共有3个，A 正确；B 选项，集合()()()()(){}1,1,1,2,2,1,2,2,3,3B =，()1,2B ∈且()2,1B ∈，但12≠，故②不成立，故BC 选项，{}1,2,3A =，通过分析②可知，()()()1,1,2,2,3,3B ∈，结合③和④，可再添加一个元素，即()()()()()()1,2,2,1,1,3,3,1,2,3,3,2中任选一个，即取()()()(){}1,1,2,2,3,3,1,2B =，或()()()(){}1,1,2,2,3,3,1,3B =，或()()()(){}1,1,2,2,3,3,2,3B =，或()()()(){}11,1,2,2,3,3,,2B =，或()()()(){}11,1,2,2,3,3,,3B =，或()()()(){}21,1,2,2,3,3,,3B =，共6个，C 正确；D 选项，(){},R,R,R a b a b a b =∈'∈≤是R 的子集，满足①，且当a b =时，()R,,a a a R '∀∈∈，满足②，当a b =时，满足③，,,R a b c ∀∈，若(),a b R '∈且(),b c R '∈，则,a b b c ≤≤，所以a c ≤，则(),a c R ∈'，满足④，故(){},R,R,R a b a b a b =∈'∈≤是实数集R 的一个“偏序关系，D 正确.故选：ACD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.设,a b ∈R ，集合{}1,,0,b a b a a ⎧⎫+⊇⎨⎬⎩⎭，则a b +=______【答案】0【解析】【分析】根据ba可知0a ≠，故0a b +=.【详解】由ba可知0a ≠，又{}1,,0,b a b a a ⎧⎫+⊇⎨⎬⎩⎭，故0a b +=.故答案为：013.已知条件:30p x ⌝-<<，条件:q x a ⌝>，且q 是p 的充分不必要条件，则a 的取值范围是_________.【答案】(],3-∞-.【分析】根据充分、必要条件的定义及命题的否定形式计算参数范围即可.【详解】由题设得:0p x ≥或3x ≤-，设P ={0x x ≥或3x ≤-}，同理可得:q x a £，设{}Q x x a =≤，因为q 是p 的充分不必要条件，所以Q P ⊆，因此3a ≤-.故答案为：(],3-∞-.14.出入相补是指一个平面（或立体）图形被分割成若干部分后面积（或体积）的总和保持不变，我国汉代数学家构造弦图，利用出入相补原理证明了勾股定理，我国清代的梅文鼎、李锐、华蘅芳、何梦瑶等都通过出入相补原理创造了不同的面积证法证明了勾股定理.在下面两个图中，若AC b =，()BC a b a =≥，AB c =，图中两个阴影三角形的周长分别为1l ，2l ，则12l l a b++的最小值为________.【答案】12+【解析】【分析】根据图形中的相似关系先表示出12l l +，然后利用基本不等式求解出最小值.【详解】如图1，易知BDE V ∽ACB △，且BD CD BC b a =-=-，所以1l BD b a AC b a b c -==++，所以()1b al a b c b-=⨯++；如图2，易知GFH ∽ACB △，且FG a =，所以2l FG a AC b a b c ==++，所以()2al a b c b=⨯++，所以22221222112l l a b c a b a b a b a b a b a b ab+++++==+=++++++221121ab a b =+++,又因为222a b ab +≥，所以2221ab a b +≤，当且仅当a b =时取等号，所以121211112l l a b +≥+=+++，所以最小值为212+，故答案为：212+.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知{|23}A x x =-≤≤，{|53}B x a x a =-<<，全集R U =．（1）若12a =，求A B ，A B ⋂；（2）若()U B A B =ðI ；求实数a 的取值范围．【答案】（1）9|32A B x x ⎧⎫⋃=-<≤⎨⎬⎩⎭，3|22A B x x ⎧⎫⋂=-≤<⎨⎬⎩⎭，（2）283a a a ⎧⎫≤-≥⎨⎬⎩⎭或【解析】【分析】（1）由条件根据集合运算法则求A B ，A B ⋂即可；（2）由条件可得U B A ⊆ð，根据集合包含关系列不等式可求a 的取值范围．【小问1详解】因为12a =，所以93{|53}|22B x a x a x x ⎧⎫=-<<=-<<⎨⎬⎩⎭，又{|23}A x x =-≤≤，所以9|32A x x B ⎧⎫-<≤=⎨⎬⎩⎭ ，3|22A B x x ⎧⎫=-≤<⎨⎬⎩⎭ ，【小问2详解】因为()U B A B =ðI ，所以U B A ⊆ð，因为{|23}A x x =-≤≤，所以{2U A x x =<-ð或}3x >，又{|53}B x a x a =-<<，当B =∅时，U B A ⊆ð，此时35a a ≤-，接的52a ≤-，当B ≠∅时，由U B A ⊆ð，可得3532a a a >-⎧⎨≤-⎩或3553a a a >-⎧⎨-≥⎩，所以5223a -<≤-或8a ≥，综上23a ≤-或8a ≥.所以a 的取值范围23a a ⎧≤-⎨⎩或}8a ≥.16.（1）设a b c d ,,,均为正数，且a b c d +=+，证明：若ab cd >>（2）已知,,a b c 为正数，且满足1abc =，证明：222111a b c a b c ++≤++.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）先对（2）利用基本不等式结合1abc =可证得结论【详解】（1）因为222a b c d =++=++又因为,0a b c d ab cd +=+>>,,,a b c d >为正数，所以22>，>（2）因为2222222,2,2a b ab b c bc c a ac +≥+≥+≥，当且仅当a b c ==时，取等号，又1abc =，故有222111ab bc ca a b c ab bc ca abc a b c++++≥++==++.所以222111a b c a b c ++≤++，当且仅当1a b c ===时取等号.17.已知p ：2280x x +-≤，q ：()22210x m x m m -+++≤.（1）若q 是p 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围；（2）若q 是p 的既不充分也不必要条件，求实数m 的取值范围.【答案】（1）41m -≤≤（2）1m >或4m <-【解析】【分析】（1）解不等式化简命题,p q ，由充分不必要条件列出不等式求解；（2）根据命题,p q 的关系，可得对应集合互不包含，列出不等式求解.【小问1详解】由2280x x +-≤，可得42x -≤≤，则p ：42x -≤≤，又由()22210x m x m m -+++≤，可得1m x m +≤≤，则q ：1m x m +≤≤，若q 是p 的充分不必要条件，可得[],1m m +是[]4,2-的真子集，有412m m ≥-⎧⎨+≤⎩，解可得41m -≤≤；【小问2详解】若q 是p 的既不充分也不必要条件，则[],1m m +和[]4,2-互不包含，可得12m +>或4m <-，解得1m >或4m <-.18.某蛋糕店推出两款新品蛋糕，分别为薄脆百香果蛋糕和朱古力蜂果蛋糕，已知薄脆百香果蛋糕单价为x 元，朱古力蜂果蛋糕单位为y 元，现有两种购买方案：方案一：薄脆百香果蛋糕购买数量为a 个，朱古力蜂果蛋糕购买数量为b 个，花费记为1S ;方案二：薄脆百香果蛋糕购买数量为b 个，朱古力蜂果蛋糕购买数量为a 个，花费记为2S ．（其中4,4y x b a >>>>）（1）试问哪种购买方案花费更少？请说明理由；（2）若a ，b ，x ，y 同时满足关系4224y x b a a =-=+-，求这两种购买方案花费的差值S 最小值（注：差值S =花费较大值-花费较小值）．【答案】（1）采用方案二；理由见解析（2）24【解析】【分析】（1）列出两种方案的总费用的表达式，作差比较，即可求解；（2）根据题意，得到214((4S S x a a -=-⋅+-，利用换元法和基本不等式，即可求解.【小问1详解】解：方案一的总费用为1S ax by =+（元）；方案二的总费用为2S bx ay =+（元），由21()()()()()S S bx ay ax by a y x b x y y x a b -=+-+=-+-=--，因为4,4y x b a >>>>，可得0,0y x a b ->-<，所以()()0y x a b --<，即210S S -<，所以21S S <，所以采用方案二，花费更少.【小问2详解】解：由（1）可知()()(1244S S y x b a x a a ⎛⎫-=--=-⋅+⎪-⎝⎭，令t =，则24x t =+，所以2224(1)33x t t t -=-+=-+≥，当1t =时，即5x =时，等号成立，又因为4a >，可得40a ->，所以44(4)44844a a a a +=-++≥=--，当且仅当444a a -=-时，即6,14a b ==时，等号成立，所以差S 的最小值为2483=⨯，当且仅当5,8,6,14x y a b ====时，等号成立，所以两种方案花费的差值S 最小为24元.19.已知集合{}()*1,2,3,,2N ,4n S n n n =∈≥ ，对于集合n S 的非空子集A ，若n S 中存在三个互不相同的元素,,a b c ，使得,,+++a b b c c a 均属于A ，则称集合A 是集合n S 的“期待子集”.（1）试判断集合{}{}123,4,5,3,5,7A A ==是否为集合4S 的“期待子集”；（直接写出答案，不必说明理由）（2）如果一个集合中含有三个元素,,x y z ，同时满足①x y z <<，②x y z +>，③x y z ++为偶数.那么称该集合具有性质P .对于集合n S 的非空子集A ，证明：集合A 是集合n S 的“期待子集”的充要条件是集合A 具有性质P .【答案】（1）1A 是集合4S 的“期待子集”，2A 不是集合4S 的“期待子集”（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据所给定义判断即可.（2）先证明必要性，再证明充分性，结合所给“期待子集”的定义及性质P 的定义证明即可；【小问1详解】因为{}41,2,3,4,5,6,7,8S =，对于集合{}13,4,5A =，令345a b b c c a +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩，解得213a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，显然41S ∈，42S ∈，43S ∈所以1A 是集合4S 的“期待子集”；对于集合2{3,5,7}A =，令111111357a b b c c a +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩，则111152a b c ++=，因为4111,,a b c S ∈，即111N *a b c ++∈，故矛盾，所以2A 不是集合4S 的“期待子集”【小问2详解】先证明必要性：当集合A 是集合n S 的“期待子集”时，由题意，存在互不相同的,,n a b c S ∈，使得,,a b b c c a A +++∈，不妨设a b c <<，令x a b =+，y a c =+，z b c =+，则x y z <<，即条件P 中的①成立；又()()()20x y z a b c a b c a +-=+++-+=>，所以x y z +>，即条件P 中的②成立；因为()()()()2x y z a b c a b c a b c ++=+++++=++，所以x y z ++为偶数，即条件P 中的③成立；所以集合A 满足条件P .再证明充分性：当集合A 满足条件P 时，有存在A ∈x,y,z ，满足①x y z <<，②x y z +>，③x y z ++为偶数，记2x y z a z ++=-，2x y z b y ++=-，2x y z c x ++=-，由③得,,Z a b c ∈，由①得a b c z <<<，由②得02x y z a z ++=->，所以,,n a b c S ∈，因为a b x +=，a c y +=，b c z +=，所以a b +，b c +，c a +均属于A ，即集合A 是集合n S 的“期待子集”【点睛】关键点睛：涉及集合新定义问题，关键是正确理解给出的定义，然后合理利用定义，结合相关的其它知识，分类讨论，进行推理判断解决.。
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辽宁省实验中学分校2016-2017学年高一数学10月月考试题一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（每小题5分，共60分）。
1．设全集U ＝{1,2,3,4,5}，集合M ＝{1,4}，N ＝{1,3,5}，则N∩(∁U M)等于( )A ．{1,3}B ．{1,5}C ．{3,5}D ．{4,5}2．已知f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1x≥2，－x 2＋3x x ＜2，则f(－1)＋f(4)的值为( )A ．－7B ．3C ．－8D ．4 3．已知函数f(x)的定义域为(－1，0)，则函数f(2x ＋1)的定义域为( )A ．(－1，1) B.⎪⎭⎫ ⎝⎛--21,1 C ．(－1，0) D. ⎪⎭⎫ ⎝⎛1,21 4．若函数f(x)满足f(3x ＋2)＝9x ＋8，则f(x)的解析式是( )A.f(x)＝9x ＋8B.f(x)＝3x ＋2C.f(x)＝－3x －4D.f(x)＝3x ＋2或f(x)＝－3x －45．已知函数f(x)＝ax 3－bx －4，其中a ，b 为常数．若f(－2)＝2，则f(2)的值为( )A ．－2B ．－4C ．－6D ．－10 6．指数函数y ＝f (x)的图象经过点⎪⎭⎫ ⎝⎛-41,2 ，那么f(4)·f(2)等于( )A ．8B ．16C ．32D ．647．若函数y ＝a x－(b ＋1)(a>0，a≠1)的图象在第一、三、四象限，则有( )A ．a>1，且b<1B ．a>1，且b>0C ．0<a<1，且b>0D ．0<a<1，且b<0 8.式子235aab ab 化简正确的是（ ）A 111144a b B 111142a b C 114a D 114b9．若f(x )是偶函数且在(0，＋∞)上减函数，又f(－3)＝1，则不等式f(x)<1的解集为( )A ．{x|x>3或－3<x<0}B ．{x|x<－3或0<x<3}C ．{x|x<－3或x>3}D ．{x|－3<x<0或0<x<3} 10．若函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧a x，x>14－a2x ＋2，x≤1是R 上的增函数，则实数a 的取值范围为( )A ．(1，＋∞)B ．(1,8)C ．(4,8)D ．[4,8)11．定义在R 上的偶函数f(x)满足：对任意的x 1，x 2∈[0，＋∞)(x 1≠x 2)，有fx 2－f x 1x 2－x 1<0，则( )A ．f(3)<f(－2)<f(1)B ．f(1)<f(－2)<f(3)C ．f(－2)<f(1)<f(3)D ．f(3)<f(1)<f(－2)12.设函数2()(21)4f x x a x =+-+，若a x x x x 2,2121=+<时，有12()()f x f x >，则实数a 的取值范围是 A.41>a B.41≥a C.41<a D.41≤a二、填空题：(本大题共4小题，每题5分，共20分)13．已知函数y ＝f(x)是R 上的增函数，且f(m ＋3)≤f(5)，则实数m 的取值范围是 ________．14．函数f(x)＝－x 2＋2x ＋3在区间[－2,3]上的最大值与最小值的和为________．15．若函数f(x)＝x 2＋a ＋1x ＋ax 为奇函数，则实数a ＝________.16．函数f(x)的定义域为D ，若对于任意x 1，x 2∈D ，当x 1<x 2时，都有f(x 1)≤f(x 2)，则称函数f(x)在D 上为非减函数．设函数f(x)在[0,1]上为非减函数，且满足以下三个条件：①f(0)＝0；②f(x 3)＝12f(x)；③f(1－x)＝1－f(x)，则f(13)＋f(18)＝________.三、解答题：（本大题共6小题，共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
）17.(10分)图中给出了奇函数f(x)的局部图像，已知f(x)的定义域为[－5, 5](1)f(0)=；（2）试补全其图像；（3）并比较f(1)与f(3)的大小．18．(12分)设集合A＝{x|a≤x≤a＋3}，集合B＝{x|x<－1或x>5}．(1)若A∩B≠∅，求实数a的取值范围；(2)若A∩B＝A，求实数a的取值范围．19．(12分)分别求实数m的范围，使关于x的方程x2＋2x＋m＋1＝0，(1)有两个负根；(2)有两个实根，且一根比2大，另一根比2小；(3)有两个实根，且都比1大．20．(12分)设y ＝f(x)是定义在(0，＋∞)上的减函数，且满足f(xy)＝f(x)＋f(y)，f ⎪⎭⎫ ⎝⎛31＝1.(1)求f(1)，f ⎪⎭⎫ ⎝⎛91，f(9)的值；(2)若f(x)－f(2－x)<2，求x 的取值范围．21．(12分)已知13≤a≤1，若函数f(x)＝ax 2－2x ＋1在区间[1,3]上的最大值为M(a)，最小值为N(a)，令g(a)＝M(a)－N(a)． (1)求g(a)的函数表达式；(2)判断并证明函数g(a)在区间[13，1]上的单调性，并求出g(a)的最小值．22．(12分)设f(x)＝－2x＋m2x ＋1＋n(m>0，n>0)．(1)当m ＝n ＝1时，证明：f(x)不是奇函数； (2)设f(x)是奇函数，求m 与n 的值； (3)在(2)的条件下，求不等式f(f(x))＋f )103(<0的解集．2016____2017高一11月月考数学参考答案1．C [∁U M ＝{2,3,5}，N ＝{1,3,5}， 则N ∩(∁U M)＝{1,3,5}∩{2,3,5}＝{3,5}2.B.解析：f(4)＝2×4－1＝7，f(－1)＝－(－1)2＋3×(－1)＝－4，∴f(4)＋f(－1)＝3，故选3.B 解析：对于f(2x ＋1)，－1<2x ＋1<0，解得－1<x<－21，即函数f(2x ＋1)的定义域为21. 4．B [f(3x ＋2)＝9x ＋8＝3(3x ＋2)＋2，∴f(t)＝3t ＋2，即f(x)＝3x ＋2 5.D 解析：因为f(－2)＝a(－2)3＋b·(－2)－4＝2， 所以8a ＋2b ＝－6，所以f(2)＝8a ＋2b －4＝－10.6.D 解析 设f(x)＝a x(a>0且a ≠1)，由已知得41＝a －2，a 2＝4， 所以a ＝2，于是f(x)＝2x，所以f(4)·f(2)＝24·22＝64. 7.B 解析 画图易知，a>1，且b>0. 8 A 9 C10. D. 因为f(x)在R 上是增函数，故结合图象(图略)知＋2≤a a，解得4≤a<8. 11A 12 C 13．m ≤214．－1 解析 f(x)＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4，∵1∈[－2,3]，∴f(x)max ＝4，又∵1－(－2)>3－1，由f(x)图象的对称性可知，f(－2)的值为f(x)在[－2,3]上的最小值，即f(x)min ＝f(－2)＝－5，∴－5＋4＝－1. 15．－1解析 由题意知，f(－x)＝－f(x)，即－x x2－(a ＋1x ＋a＝－x x2＋(a ＋1x ＋a，∴(a ＋1)x ＝0对x ≠0恒成立，∴a ＋1＝0，a ＝－1.16.43解析 由题意得f(1)＝1－f(0)＝1，f(31)＝21f(1)＝21，f(21)＝1－f(21)， 即f(21)＝21，由函数f(x)在[0,1]上为非减函数得，当31≤x ≤21时，f(x)＝21，则f(83)＝21， 又f(31×83)＝21f(83)＝41，即f(81)＝41.因此f(31)＋f(81)＝43.17解：（1）f(0)=0 2分(2)奇函数的图像关于原点对称，可画出其图像如图.(8分)(3) f(3)＞f(1)．(10分)18解：(1)因为A ∩B ≠∅，所以a<－1或a ＋3>5，即a<－1或a>2.(6分) (2)因为A ∩B ＝A ，所以A ⊆B ，所以a>5或a ＋3<－1，即a>5或a<－4.(12分) 19．解 (1) 设方程的两个根为x 1，x 2， 则有两个负根的条件是x1x2＝m ＋1>0，x1＋x2＝－2<0，解得－1<m ≤0.4分（2）设函数f(x)＝x 2＋2x ＋m ＋1，则原问题转化为函数f(x)与x 轴的两个交点分别在2的两侧，结合函数的图象，有f(2)＝m ＋9<0，解得m<－9. 8分 (3)或f(1＝m ＋4>0＝－1>1，12分 因为两方程组无解，故解集为空集．20.解：(1)令x ＝y ＝1，则f(1)＝f(1)＋f(1)，所以f(1)＝0.令x ＝3，y ＝31，则f(1)＝f(3)＋f 31，所以f(3)＝－1. 故f 91＝f 31＝f 31＋f 31＝2，f(9)＝f(3×3)＝f(3)＋f(3)＝－2. (2)因为f(x)－f(2－x)<2，所以f(x)<f(2－x)＋2＝f(2－x)＋f 91＝f （2－x ）1. 由y ＝f(x)是定义在(0，＋∞)上的减函数，得（2－x ），1解得，1即51<x<2.故x 的取值范围为，21.21．解 (1)∵31≤a ≤1，∴f(x)的图象为开口向上的抛物线，且对称轴为x ＝a 1∈[1,3]． ∴f(x)有最小值N(a)＝1－a 1.当2≤a 1≤3时，a ∈[31，21]，f(x)有最大值M(a)＝f(1) ＝a －1；当1≤a 1<2时，a ∈(21，1]，f(x)有最大值M(a)＝f(3) ＝9a －5； ∴g(a)＝<a ≤1.1(2)设31≤a 1<a 2≤21，则g(a 1)－g(a 2)＝(a 1－a 2)(1－a1a21)>0， ∴g(a 1)>g(a 2)，∴g(a)在[31，21]上是减函数．设21<a 1<a 2≤1，则g(a 1)－g(a 2)＝(a 1－a 2)(9－a1a21)<0，∴g(a 1)<g(a 2)， ∴g(a)在(21，1]上是增函数．∴当a ＝21时，g(a)有最小值21. 22．(1)证明：当m ＝n ＝1时，f(x)＝2x ＋1＋1－2x ＋1.由于f(1)＝22＋1－2＋1＝－51，f(－1)＝2＋1＝41，所以f(－1)≠－f(1)，f(x)不是奇函数． (2)解：f(x)是奇函数时，f(－x)＝－f(x)，即2－x ＋1＋n －2－x ＋m ＝－2x ＋1＋n －2x ＋m对定义域内任意实数x 成立．化简整理得(2m －n)·22x＋(2mn －4)·2x＋(2m －n)＝0，这是关于x 的恒等式， 所以2mn －4＝0，2m －n ＝0，解得n ＝－2m ＝－1，或n ＝2.m ＝1，经检验n ＝2m ＝1，符合题意．(3)解：由(2)可知，f(x)＝2x ＋1＋2－2x ＋1＝212x ＋12， 易判断f(x)是R 上单调减函数．由f(f(x))＋<0，得f(f(x))<，f(x)>－，2x<4，得x<2即f(x)>0的解集为(－∞，2)．。