绝对值问题的解法

绝对值问题的解法

绝对值是初中代数中的重点内容，也是复习的难点，深刻的理解绝对值的概念，牢固地掌握绝对值的性质，是解决绝对值问题的关键，现将绝对值有关性质总结如下：

⑴若a＞0,则∣a∣=a; 若 a=0, 则∣a∣=a, 若 a＜0, 则∣a∣= - a。

⑵∣a∣≧0,即绝对值的非负性。

⑶∣a∣+∣b∣=0,则a=0,b=0。

⑷∣a∣=m,则a=m或a=-m。

下面举例说明绝对值问题的解法。

一、运用绝对值概念：

例1、若x＜-2,则y=∣1-∣x+1∣∣等于（）。

（A）2+x (B) -2-x (C) x (D) –x

解：∵x＜-2, ∴1+x＜0

∴∣1+x∣=(1+x)=-1-x

于是y=∣1-(-1-x)∣=∣2+x∣

又∵2+x＜0,∴y=-(2+x)=-2-x,故选（ B ）。

二、平方法：

例2、已知实数 a满足∣1-a∣=1+∣a∣, = 。

解：原式两边平方得：

1-2a+ a 2 =1+2∣a∣+ a 2

∵∣a∣=-a,即a≤0

∴∣a-1∣=1-a

三、分类讨论法：

例3、若ab＞0,则∣a∣／a+ ∣b∣／b- ∣ab∣∕ab的值等于。

解：∵ab＞0,∴a、b同号。

⑴若a、b同正，则∣a∣=a,∣b∣=b,∣ab∣=ab

∴∣a∣／a+ ∣b∣／ b-∣ab∣／ab=1+1-1=1。

⑵若a、b同负，则∣a∣=-a,∣b∣=-b,∣ab∣=ab,∴∣a∣／a+∣b∣／b-∣ab∣／

ab=-1-1-1=-3。

综上所述，本题答案为1或-3。

四、应用非负数性质：

例4、若∣x-y+2∣与∣x+y-1∣=0

∵ x+y-1=0

x-y+2=0

∴ x=-1／2

y=3／2

∴x／y=-3。

五、零点分界法：

例5、化简∣x-1∣+∣1-2x∣-∣x+2∣。

解：令∣x-1∣=0,∣1-2x∣=0,∣x+2∣=0,得x=1,x= 1／ 2 ,x=-2。

以-2,1／2,1为界，将数轴分为四段。

⑴当x≤-2时，原式=1-x+1-2x+x+2=4-2x,

⑵当-2＜x≤1／2时，原式=1-x+1-2x-(x+2)=-4x,

⑶当1／2＜x≤1时，原式=1-x+2x-1-(x+2)=-2,

⑷当x＞1时，原式=x-1+2x-1-(x+2)=2x-4。

六、整体运算法：

例6、解方程 -6x+3+∣x-3∣=0,

解：原方程变为 (X-3)2 +∣x-3∣-6=0

即∣x-3∣2 +∣x-3∣-6=0

分解因式得：（∣x-3∣+3）(∣x-3∣-2)=0

∵∣x-3∣+3﹥0,∴∣x-3∣-2=0

∴x=1或 x=5

练习题：

1.已知∣a+1∣+a+1=0,∣b-1∣=b-1,求∣a-b∣-∣a-2∣-∣b+3∣的值。

2.方程∣12x-1∣-1=2的解的个数是（）。

（A）1个；（B）2个；（C）3个（D）4个。

3.方程x-2+∣x-3∣=1的实数解个数为（）

（A）2个（B）3个 (C)4个 (D)无数个

4.设a 、b、 c为非零有理数，则a／∣a∣+b／∣b∣+c／∣c∣+ab／∣ab∣+bc／∣bc∣+ac／∣ac∣+abc／∣abc∣的值等于（）。

以上内容只是我个人的一些拙见，不到之处还望各位同仁提出宝贵意见和建议，为我们的共同进步做好良好的铺垫。

2014、11、6、