第9章振动学基础答案

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大物B课后题09-第九章振动学（1）

习题9-5.在气垫导轨上质量为m 的物体由两个轻弹簧分别固定在气垫导轨的两端，如图所示，试证明物体m 的左右运动为简谐振动，并求其振动周期。

设弹簧的劲度系数为k 1和k2.解：取物体在平衡位置为坐标原点，则物体在任意位置时受的力为 12()F k k x =-+ 根据牛顿第二定律有2122()d xF k k x ma m dt=-+==化简得21220k k d x x dt m++= 令212k k m ω+=则2220d x x dtω+=所以物体做简谐振动，其周期22T πω==9-6 如图所示在电场强度为E 的匀强电场中，放置一电偶极矩P=ql 的电偶极子，+q 和-q 相距l ，且l 不变。

若有一外界扰动使这对电荷偏过一微小角度，扰动消失后，这对电荷会以垂直与电场并通过l 的中心点o 的直线为轴来回摆动。

试证明这种摆动是近似的简谐振动，并求其振动周期。

设电荷的质量皆为m ，重力忽略不计。

解取逆时针的力矩方向为正方向，当电偶极子在如图所示位置时，点偶极子所受力矩为 sin sin sin 22l lM qE qE qEl θθθ=--=- 点偶极子对中心O 点的转动惯量为2221222l l J m m ml ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由转动定律知2221sin 2d M qEl J ml dtθθβ=-==∙化简得222sin 0d qEdt mlθθ+=当角度很小时有sin θθ≈，若令22qEmlω=，则上式变为222sin 0d dtθωθ+= 所以电偶极子的微小摆动是简谐振动。

而且其周期为22T πω==9-7 汽车的质量一般支承在固定与轴承的若干根弹簧上，成为一倒置的弹簧振子。

汽车为开动时，上下为自由振动的频率应保持在 1.3v Hz = 附近，与人的步行频率接近，才能使乘客没有不适之感。

问汽车正常载重时，每根弹簧松弛状态下压缩了多少长度？解汽车正常载重时的质量为m ，振子总劲度系数为k ，则振动的周期为2T =，频率为1v T == 正常载重时弹簧的压缩量为22220.15()44mg T g x g m k vππ====9-8 一根质量为m ，长为l 的均匀细棒，一端悬挂在水平轴O 点，如图所示。

第9章振动学基础习题答案

第9章振动学基础习题答案
9-1 一竖直弹簧振子，T=0.5s，现将它从平衡位置向下拉 4cm释放，让其振动，则振动方程为
y 4 cos 4t cm
9-2 已知简谐振动方程 x 2 cos 动能 E K 最大；势能 E P

2 最大；E K E P 。
t (cm) ，则t为何值时，
k 2 令最大 2 解：E K 2 sin t t 2n 1 2 2 2 2 t 2n 1 , n 0,1,2, k 2 令最大 E P 2 cos 2 t t n 2 2 2 t 2n , n 0,1,2,
x 0.12 cost 3
9-10 一质点沿x轴简谐振动，振幅为0.12m，周期2s，当t=0 时，质点的位置在0.06m处，且向x轴正向运动，求（1）质点振动的运动方程；（2）t=0.5s时质点的位置、速度、加
速度；（3）质点在x=-0.06m处，且向x轴负向运动，再回
解：用旋转矢量法表示两个振动，
A1 4 2 3 j 2 6
A2 2( 56 ) 3 j
A A1 A2 3 j 2 6
表示为振动方程。合振动为
x 2 cost cm 6
9-10 一质点沿x轴简谐振动，振幅为0.12m，周期2s，当t=0 时，质点的位置在0.06m处，且向x轴正向运动，求（1）质点振动的运动方程；（2）t=0.5s时质点的位置、速度、加
x 0.12cost1 0.06 t1 23 或 43 3 3 v 0.12 sint1 0 t1 23 3 3
令
在平衡位置，x 0.12cos t 0 3

第9章振动学基础习题

第9章振动学基础习题9.1 质量为10×10-3kg的小球与轻弹簧组成的系统，按x=0.1cos（8πt＋2π/3）（SI）的规律振动，求：（1）振动的圆频率、周期、振幅、初相以及速度与加速度的最大值；（2）最大回复力、振动能量、平均动能和平均势能；（3）t＝1、2、5、10s等各时刻的相位；（4）分别画出振动的x-t图线，v-t图线和a-t图线；（5）画出这些振动的转动矢量图示，并在图中指明t＝1、2、5、10s时矢量的位置。

9.2 一个弹簧振子m=0.5kg，k=50N／m，振幅A=0.04m，求：（1）振动的圆频率，最大速度和最大加速度；（2）当振子对平衡位置的位移为x=0.02m时的瞬时速度、加速度和回复力；（3）以速度具有正的最大值时为计时起点，写出振动的表达式。

9.3 一质点在x=0附近沿x轴作简谐振动。

在t=0时位置为x=0.37cm，速度为零，振动频率为0.25Hz。

试求：（1）周期、圆频率、振幅；（2）在时刻t的位置和速度；（3）最大速度和最大加速度的值；（4）在t=3.0s时的位置和速率。

9.4 作简谐振动的小球，速度最大值为v m=3cm/s，振幅A=2cm，若从速度为正的最大值时开始计算时间，求：（1）振动的周期；（2）加速度的最大值；（3）振动表达式。

9.5 如图，两轻弹簧与小球串联在一直线上，将两弹簧拉长后系在固定点A、B之间，整个系统放在水平面上。

设弹簧的原长为l1、l2，倔强系数为k1、k1，A、B间距离为L，小球的质量为m。

（1）试确定小球的平衡位置。

（2）使小球沿弹簧长度的方向作一微小位移后放手，小球将作振动，这一振动是否是简谐振动？振动的周期为多少？9.6 一轻弹簧的倔强系数为k，其下悬有一质量为m的盘子。

现有一质量为M的物体从离盘h高度处自由下落到盘中并和盘子粘在一起，盘子开始振动起来。

（1）此时振动周期与空盘振动的周期各为多少？（2）此时振动的振幅。

力学答案第九章

第九章一、选择题1、弹簧振子作简谐运动时，如果振幅增加为原来的两倍，则它的总能量是[ ](A) 原来总能量的2倍 (B) 原来总能量的4倍(C) 原来总能量的一半 (D) 不发生变化2、关于共振，下列说法正确的是：[ ](A) 当振子作无阻尼受迫振动时，共振时振幅为无限大(B) 当振子作无阻尼受迫振动时，共振的振幅很大，但不会无限大(C) 受迫振动是一个稳定的简谐振动(D) 共振不是受迫振动3、弹簧振子作简谐运动时，如果振幅增加为原来的两倍，而频率减小为原来的一半，则它的总能量是[ ]（A）原来总能量的2倍（B）原来总能量的4倍（C）原来总能量的一半（D）不发生变化4、对一个作简谐振动的物体，下面哪种说法是正确的？[ ](A) 物体处在运动正方向的端点时，速度和加速度都达到最大值(B) 物体位于平衡位置且向负方向运动时，速度和加速度都为零(C) 物体位于平衡位置且向正方向运动时，速度最大，加速度为零(D) 物体处在负方向的端点时，速度最大，加速度为零5、以下关于简谐振动的合成，说法正确的是[ ]（A）两个同方向、同频率简谐振动合成后还是一个简谐振动，频率发生了改变（B）两个同方向、同频率简谐振动合成后还是一个简谐振动，频率不发生改变（C）两个同方向、同频率简谐振动合成后不是一个简谐振动，频率不发生改变（D）两个同方向、同频率简谐振动合成后不是一个简谐振动，频率发生了改变6、以下关于驻波的说法错误的是[ ]（A）驻波是入射波和反射波叠加的结果（B）驻波中，除了节点外，各点均做同频率的简谐振动（C）驻波中，波腹和波节等距离交互排列（D ）两相邻波节间各点的振动位相相同，一波节两侧的点的振动位相也相同7、一质点同时参与两个同方向的简谐振动，振动方程分别为)45cos(05.01π+=t x ，250.05cos(5)4x t π=+，则合振动方程为[ ] (A) 0 (B) 30.05cos(5)2x t π=+ (C) 30.1cos(5)2x t π=+ (D)30.1cos(10)2x t π=+8、同一个弹簧振子，使它分别在光滑水平面上，竖直方向上，光滑的斜面上以相同的振幅作简谐振动，则：[ ]（A ）它们的频率不同（B ）通过平衡位置时的动能不同（C ）到达平衡位置时弹簧形变相同（D ）它们的周期相同9、竖直弹簧振子系统谐振周期为T ，将小球放入水中，水的浮力恒定，粘滞阻力及弹簧质量不计，若使振子沿铅直方向振动起来，则：[ ](A) 振子仍作简谐振动，但周期<T (B) 振子仍作简谐振动，但周期>T(C) 振子仍作简谐振动，且周期仍为T (D) 振子不再作简谐振动10、一质点的振动方程为：)3/2cos(2.0ππ+=t x ，则在t=0.3 （s ）时：[ ](A) 质点在平衡位置右方，沿x 轴负向运动(B) 质点在平衡位置左方，沿x 轴正向运动(C) 质点在平衡位置右方，沿x 轴正向运动(D) 质点在平衡位置左方，沿x 轴负向运动11、弹簧振子作简谐振动时的总能量为E ，如果振幅增大为原来的两倍，振动质量减少为原来的一半，则总能量E’为：[ ]（A ）E’=E （B ）E’=2E （C ）E’=0.5E （D ）E’=4E12、质量为m 的物体作简谐振动，振幅为A ，最大加速度为a ，则通过平衡位置时的动能为：[ ]（A ）0.5maA 2 (B) 0.5ma 2A 2 (C) ma 2A 2 (D) 0.5maA二、填空题1、两个同方向同频率的简谐振动合成后的运动是。

第9章振动学基础答案

第9章振动学基础答案9.4 一个运动质点的位置与时间的关系为 m t x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=325cos 1.0ππ , 其中x 的单位是m , t 的单位是s .试求：（1）周期、角频率、频率、振幅和初相位；（2）t =2s 时质点的位移、速度和加速度.解：（1）由题中质点位置与时间的关系便知，振幅A =0.1m ，初相位3πϕ=，角频率s rad /25πω=，频率Hz 45=ν，周期s f T 8.0541===（2）⎪⎭⎫ ⎝⎛+-==325sin 41πππυt dt dx ；⎪⎭⎫ ⎝⎛+-==325cos 85222πππt dt x d a 则当t=2s 时，质点的位移，速度和加速度分别为m x 05.03cos 1.03225cos 1.0-=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯=πππ；s m /68.0833sin 413225sin 41===⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯-=ππππππυ222/1.33cos 853225cos 85s m a ==⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯-=πππππ9.5 一个质量为2.5kg 的物体，系于水平放置的轻弹簧的一端，弹簧的另一端被固定.若弹簧受10N 的拉力,其伸长量为5.0cm,求物体的振动周期.解：由kx f =可得弹簧的经度系数为 m N x f k /1021051022⨯=⨯==- 弹簧振子的周期 s k m T 70.01025.2222=⨯==ππ9.6 如图9.27图所示 ,求振动装置的振动频率,已知物体的质量为m ,两个轻弹簧的劲度系数为1k 和2k 。

解：设物体离开平衡位置的位移是x ，此时物体所受合力x k k f )(21+-=作为线性回复力，则有021=++x m k k x故m k k 21+=ω mk k 2121+=πν9.7 如图9.28所示 , 求振动装置的振动频率,已知物体的质量为m ,两个轻弹簧的径度系数为1k 和2k 。

解：设物体m 离开平衡位置的位移为x ，所受线性回复力为f 则有）（12211x k x k f -=-= )2(21xx x =+（1）、（2）联立解之得 212121/1/11k k k k x k k f +-=+-=所以有振动方程0)(12121=++x k k k k m x，则 )(21,)(21212121k k m k k k k m k k +=+=πνω9.8 仿照式（9.15）的推导过程,导出在单摆系统中物体的速度与角位移的关系式.解：对于单摆系统中的物体m ，其振动动能 2222121θυ ml m E k == 系统的势能（重力势能）221)cos 1(θθmgl mgl mgh E p ≈-== 而系统的总能量 201θm gl E E E p k =+= 所以20212212221θθθmglmglml =+ 由此得：)()(22022202θθωθθθ-=-=lg )220θθωθ-±= 9.9 与轻弹簧的一端相接的小球沿x 轴作简谐振动,振幅为A ,位移与时间的关系可以用余弦函数表示.若在t =0时,小球的运动状态分别为（1）x = - A ；（2）过平衡位置,向x 轴正向运动；（3）过x =A /2处,向x 轴负向运动；（4）过2/A x =处,向x 轴正向运动.试确定上述状态的初相位. 解：位移x 与时间t 的一般关系可表为 )cos(ϕω+=t A x（1）t =0时，A x -=，则有ϕcos A A =-，即1cos -=ϕ。

大学物理复习题(附答案)

第9章振动学基础复习题1.已知质点的振动方程为)cos(ϕω+=t A x ，当时间4Tt =时 (T 为周期)，质点的振动速度为:（A ）ϕωsin A v -= （B ）ϕωsin A v =（C ）ϕωcos A v = （D ）ϕωcos A v -=2．两个分振动的位相差为2π时，合振动的振幅是：A.A 1+A 2;B.| A 1-A 2|C.在.A 1+A 2和| A 1-A 2|之间D.无法确定3．一个做简谐运动的物体，在水平方向运动，振幅为8cm ，周期为0.50s 。

t =0时，物体位于离平衡位置4cm 处向正方向运动，则简谐运动方程为 . 4.一质点沿x 轴作简谐振动，振动方程为 )32cos(1042ππ+⨯=-t x m 。

从t = 0时刻起，到质点位置在x = -2 cm 处，且向x 轴正方向运动的最短时间间隔为 .5．一个简谐振动在t=0时位于离平衡位置6cm 处，速度v =0，振动的周期为2s ，则简谐振动的振动方程为 .6.一质点作谐振动，周期为T ，当它由平衡位置向 x 轴正方向运动时，从二分之一最大位移处到最大位移处这段路程所需要的时间为 .7.一个质量为0.20kg 的物体作简谐振动，其振动方程为)25cos(6.0π-=t x m ，当振动动能和势能相等时振动物体的位置在A ．3.0±mB ．35.0± mC ．42.0±mD ．0 8．某质点参与)43cos(41ππ+=t x cm 和)43cos(32ππ-=t x cm 两个同方向振动的简谐振动，其合振动的振幅为 9. 某质点参与)22cos(101ππ+=t x cm 和)22cos(41ππ-=t x cm 两个同方向振动的简谐运动，其合振动的振幅为 ;10．一个作简谐振动的物体的振动方程为cm t s )3cos(12ππ-=,当此物体由cm s 12-=处回到平衡位置所需要的最短时间为。

9-振动学基础

，初位相2=___________.
答案：4cm 2π/3 提示：运用旋转矢量法，如图。
y
A
A2
A1
O
x
解答 12 题
-7-
二、选择题
1、下列说法正确的是： (A) 简谐振动的运动周期与初始条件无关；(B) 一个质点在返回平衡位置的力作用下，一定做简谐振动；(C) 已知一个谐振子在 t =0 时刻处在平衡位置，则其振动初相为π/2；(D) 因为简谐振动机械能守恒，所以机械能守恒的运动一定是简谐振动。
周期 T；2）当速度是 12cm/s 时的位移。
9-S 简谐振动的运动规律
4、如图，一质点在一直线上作简谐振动，选取该质点向右运动通过 A 点时作为计时起点（t=0），经
2 秒后质点第一次经过 B 点，再经过 2 秒后第 2 次经过 B 点，若己知该质点在 A，B 两点具有相同的速率，
AB=10cm，求：1）质点的振动方程；2）质点在 A 点（或 B 点）处的速率。
计算 5 题
mF
7、有两个振动方向相同的简谐振动，其振动方程分别为
x1
10 cos(2t
)
cm，
x2
10 cos(2t
)
2
cm，
O
计算 6 题
1) 求它们的合振动方程；
2) 另有一同方向的简谐振动 x3 2 cos(2t 3 ) cm，问当3 为何值时， x1 x3 的振幅为最大值？
8、一个沿 x 轴作简谐振动的弹簧振子，振幅为 A，周期为 T，其振动方程用余弦
(A) Asin ;
(B) Asin ; (C) A cos ; (D) A cos
y
Hale Waihona Puke 4、如图所示质点的简谐振动曲线所对应的振动方程是：

大学物理答案第九章

振幅A与初相位三、振幅与初相位φ 的确定
ψ = Acos(ωt +φ)
dψ = − Asin ω +φ) ω ( t dt
简谐振动的振幅和初相位由振动的初始状态决定。简谐振动的振幅和初相位由振动的初始状态决定。初始状态决定
已知t=0时，振动量Ψ的振动状态为 ψ0, dψ
ψ0 = Acosφ
− 1
dΨ dt 0 2 A= Ψ0 + ω
2
dΨ dt φ = tan−1 0 ω 0 Ψ
说明： (1) 一般来说φ 的取值在 - π和π(或0和2π)之间； (2) 在应用上面的式子求φ 时，一般来说有两个值，还要由初始条件来判断应该取哪个值； (3)常用方法：先求A，然后由 Ψ0=Acosφ 、 (dΨ /dt)0=-Aωsinφ 两者的共同部分求φ 。
1 2 Ekmax = kA 2
Ekmin = 0
势能
Ep = 1 kx2 2
1 2 2 = kA cos (ω +φ0) t 2
1 2 Epmax = kA 2
Epmin = 0
机械能
1 2 E = Ek + Ep = kA 2
简谐振动系统机械能守恒
E
E (1/2)kA2
Ep
o
Ek
Ep = Ek
t
T
x t
由起始能量求振幅
1 2 E = kA 2
2E0 2E A= = k k
LC振荡电路中，电容器上的电量q和电路中的电流I分别为：
q =Q cos(ωt +φ) 0 I = −ωQ sin ωt +φ) ( 0

文档震动学

位差为：
A
A2
(A) 0
(B)π/2
(C)π/3
(D)π/4
A1
答案： B 提示：其矢量图如图所示， A1 10 ， A 20 ，根据矢量的叠加， O
1
x
- 10 -
可知 A2 为第二振动的振幅。矢量 A 在 A1 的投影大小为 A cos / 3 20 1/ 2 10 A1 ，所以 A1 与 A2 垂直
(A) Asin ;
(B) Asin ; (C) A cos ; (D) A cos
答案：B
x/m
9-X 简谐振动曲线
2
4、如图所示质点的简谐振动曲线所对应的振动方程是：( D )
2
(A) x=2cos(3t/4+π/4)(m) (B) x=2cos( t/4+5 /4)(m) (C) x=2cos( t O
2
22
2
9-X 简谐振动的动能变换频率
9、当质点以频率 v 作简谐振动时，它的动能的变化频率为
(A) v 答案：B
(B) 2v
(C) 4v
(D) v / 2
提示：利用 sin2 x 1 cos 2x 半角公式即可求频率。 2
9-X 简谐振动的能量
10、一弹簧振子作简谐振动，当位移为振幅的一半时，其动能为总能量的
速度最大值和加速度最大值。
解：将该简谐振动的表达式与简谐运动方程的一般形式 x A cos(t 0 ) 作比较后可得：
- 11 -
8 rad/s，振幅 A=0.1m，初相位0 2 / 3 ，于是周期 T 2 / 0.25 s
速度最大值 vmax A 8 0.1 m/s 0.8 m/s
1
t/s

大学物理【第五版下册】第九章振动

F弹
o
EK 0
1 2 E1 KA 2
1 2 1 2 E2 mv kx 2 2
x
A
当谐振子伸长为X时:
因为机械能守恒
1 2 1 2 1 2 kA mv kx 2 2 2
一弹簧原长为l,倔强系数为k,一物体m相距原长X0处于平衡位置,现物体位于平衡位置下方X处,以平衡位置为势能零点,求在C点 E重 , E弹 , EP 的
例如：质点、刚体、理想气体等都是理想模型。把实际气体抽象为理想气体时，气体分子间的碰撞和自由运动是主要因素，分子间的引力和重力是被忽略的次要因素. 显然，抽象和减少因素是密切相关的，抽象的过程就伴随着减少因素。在物理学的创立和发展过程中，理想模型起着不可缺少的重要作用，研究气体热性质时，首先根据气体实验定律导出理想气体状态方程，进而深入研究实际气体的性质。
倔强系数由弹簧性质决定
例1.证明竖直悬挂弹簧的运动是谐振动。证明：平衡位置弹簧伸长x0 mg kx0 ⑴ o x0 在任意位置 x 处，合力为 x F mg k( x0 x ) ⑵
⑴式代入⑵式
F kx
x
物体受回复力(重力与弹力之和) 作用，作谐振动。
证毕
思考:拍皮球是否谐振动?
F回 kx F回 x
mg
为变力
此处F=mg为恒力,所以拍皮球不是谐振动.
一维振动
2
F回 kx
ma
F弹
o x
d x F回 k a 2 x dt m m 2 dx k x 0 2 dt m
2
x
k ω称为固有角频率或圆频率,由令谐振动系统本身的性质决定. m 2 d x 2 x 0 简谐振动微分方程有 2 dt

大学物理第九章振动学基础习题答案

第九章振动学习题9-1 一小球与轻弹簧组成的振动系统，按(m) 3ππ8cos 05.0⎪⎭⎫ ⎝⎛+=t x ，的规律做自由振动，试求（1）振动的角频率、周期、振幅、初相、速度最大值和加速度最大值；（2）t=1s ，2s ，10s 等时刻的相位；（3）分别画出位移、速度和加速度随时间变化的关系曲线。

解：（1）ω=8πs -1，T=2π/ω=0.25s ，A=0.05m ，ϕ0=π/3，m A ω=v ，2m a A ω=（2）π=8π3t φ+ （3）略9-2 一远洋货轮质量为m ，浮在水面时其水平截面积为S 。

设在水面附近货轮的水平截面积近似相等，水的密度为ρ，且不计水的粘滞阻力。

（1）证明货轮在水中做振幅较小的竖直自由运动是谐振动；（2）求振动周期。

解：（1）船处于静止状态时gSh mg ρ=，船振动的一瞬间()F gS h y mg ρ=-++ 得F gSy ρ=-，令k gS ρ=，即F ky =-，货轮竖直自由运动是谐振动。

（2）ω==，2π2T ω==9-3 设地球是一个密度为ρ的均匀球体。

现假定沿直径凿通一条隧道，一质点在隧道内做无摩擦运动。

（1）证明此质点的运动是谐振动；（2）计算其振动周期。

解：以球心为原点建立坐标轴Ox 。

质点距球心x 时所受力为324433x mF G G mx x πρπρ=-=-令43k G m πρ=，则有F kx =-，即质点做谐振动。

（2）ω==2πT ω== 9-4 一放置在水平桌面上的弹簧振子，振幅A ＝2.0 ×10-2 m ，周期T s 。

当t ＝0时，（1）物体在正方向端点；（2）物体在平衡位置，向负方向运动；（3）物体在x ×10-2m 处，向负方向运动；（4）物体在x ＝-×10-2 m 处，向正方向运动。

求以上各种情况的振动方程。

解：ω=2π/T=4πs -1（1）ϕ0=0，0.02cos4(m)x t π=（2）ϕ0=π/2，0.02cos 4(m)2x t ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（3）ϕ0=π/3，0.02cos 4(m)3x t ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（4）ϕ0=4π/3，40.02cos 4(m)3x t ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭9-5 有一弹簧，当其下端挂一质量为m 的物体时，伸长量为9.8 ×10-2 m 。

高二物理第九章机械振动知识点及习题练习+单元练习(含答案)

机械振动三、基础知识 1、简谐运动的概念①简谐运动的定义：____________________________________________________________。

②简谐运动的物体的位移x 、回复力F 、加速度a 、速度v 、动能E K 、势能E P 的变化规律： A ．在研究简谐运动时位移的起点都必须在平衡位置处。

B ．在平衡位置：位移最小、回复力最小、加速度最小；速度最大、动能最大。

C ．在离开平衡位置最远时：_________________________________________。

D ．振动中：注意以上各量的矢量性和对称性。

③简谐运动机械能守恒，但机械能守恒的振动不一定时简谐运动。

④注意：A ．回复力是效果力。

B ．物体运动到平衡位置不一定处于平衡状态。

C ．简谐运动定义式F=-K x 中的K 不一定是弹簧的劲度系数。

2、总体上描述简谐运动的物理量①振幅A ：______________________称为振幅。

它是描述振动______的物理量。

它是__量。

简谐运动的振幅不变，而位移在时刻变化。

②周期T 和频率f ：_________________________________称为周期T,它是_____量，单位是秒；________________________________称为振动频率，单位是赫兹（Hz ）。

周期和频率都是描述___________的物理量，它们的关系是：T=1/f 。

它们与______无关，由_________________决定，因而以叫_______周期，或______频率。

3、单摆①单摆的概念：在细线的一端拴一个小球，另一端固定在悬点上，________________可忽略，线长远大于球的直径，这样的装置叫单摆。

②单摆的特点：A ．单摆是实际摆的理想化，是一个理想模型;B ．单摆的等时性，在振幅很小的情况下，单摆的振动周期与___________________无关;动C．单摆的回复力由_______________________提供，当最大摆角α<100时，单摆的振动是简谐运动，其振动周期T=__________。

大学物理第九章振动学基础习题答案

解：（1）ω=8πs -1，T=2π/ω=0.25s ，A=0.05m ，ϕ0=π/3，m A ω=v ，2m a A ω=（2）π=8π3t φ+ （3）略 9-2 一远洋货轮质量为m ，浮在水面时其水平截面积为S 。

设在水面附近货轮的水平截面积近似相等，水的密度为ρ，且不计水的粘滞阻力。

（1）证明货轮在水中做振幅较小的竖直自由运动是谐振动；（2）求振动周期。

解：（1）船处于静止状态时gSh mg ρ=，船振动的一瞬间()F gS h y mg ρ=-++ 得F gSy ρ=-，令k gS ρ=，即F ky =-，货轮竖直自由运动是谐振动。

（2）ω==，2π2T ω==9-3 设地球是一个密度为ρ的均匀球体。

现假定沿直径凿通一条隧道，一质点在隧道内做无摩擦运动。

（1）证明此质点的运动是谐振动；（2）计算其振动周期。

解：以球心为原点建立坐标轴Ox 。

质点距球心x 时所受力为324433x m F G G mx x πρπρ=-=- 令43k G m πρ=，则有F kx =-，即质点做谐振动。

（2）ω==2πT ω== 9-4 一放置在水平桌面上的弹簧振子，振幅A ＝2.0 ×10-2 m ，周期T ＝0.50s 。

当t ＝0时，（1）物体在正方向端点；（2）物体在平衡位置，向负方向运动；（3）物体在x ＝1.0×10-2m 处，向负方向运动；（4）物体在x ＝-1.0×10-2 m 处，向正方向运动。

求以上各种情况的振动方程。

解：ω=2π/T=4πs -1（1）ϕ0=0，0.02cos4(m)x t π=（2）ϕ0=π/2，0.02cos 4(m)2x t ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ （3）ϕ0=π/3，0.02cos 4(m)3x t ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ （4）ϕ0=4π/3，40.02cos 4(m)3x t ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭9-5 有一弹簧，当其下端挂一质量为m 的物体时，伸长量为9.8 ×10-2 m 。

大学物理下波的振动部分的习题及答案

第九章振动一、简答题1、如果把一弹簧振子和一单摆拿到月球上去,它们的振动周期将如何改变? 答案：弹簧振子的振动周期不变，单摆的振动周期变大。

2、完全弹性小球在硬地面上的跳动是不是简谐振动，为什么？答案：不是，因为小球在硬地面上跳动的运动学方程不能用简单的正弦或余弦函数表示，它是一种比较复杂的振动形式。

3、怎样判定一个振动是否简谐振动？写出简谐振动的运动学方程和动力学方程。

答案：物体在回复力作用下，在平衡位置附近，做周期性的线性往复振动，其动力学方程中加速度与位移成正比，且方向相反:x dt xd 222ω−=或：运动方程中位移与时间满足余弦周期关系:)cos(φω+=t A x 4、简谐运动的三要素是什么？答案：振幅、周期、初相位。

5、一质量未知的物体挂在一劲度系数未知的弹簧上，只要测得此物体所引起的弹簧的静平衡伸长量，就可以知道此弹性系统的振动周期，为什么？答案：因为kmT π2=，若知伸长量为l ，则有kl mg =，于是glT π2=。

6、弹簧振子作简谐运动时，如果振幅增为原来的两倍而频率减小为原来的一半，问它的总能量怎样改变? 答：根据2222121A m kA E ω==，如果是保持质量不变通过减小劲度系数减小频率，则总能量不变；如果是保持劲度系数不变通过增大质量减小频率，则总能量将变为原来的4倍。

二、选择题1、一个质点作简谐运动，振幅为A ，在起始时刻质点的位移为2A−，且向x 轴正方向运动，代表此简谐运动的旋转矢量为（ B ）2、已知某简谐运动的振动曲线如图所示，则此简谐运动的运动方程(x 的单位为cm ,t 的单位为s )为( D )：(A) ⎪⎭⎫ ⎝⎛−=ππ3232cos 2x t (B) ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=ππ3232cos 2x t(C) ⎪⎭⎫ ⎝⎛−=ππ3234cos 2x t (D) ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=ππ3234cos 2x t3、两个同周期简谐运动曲线如图所示，1x 的相位比2x 的相位( B )：(A) 落后2π(B) 超前2π(C) 落后π (D) 超前π4、当质点以频率f作简谐运动时，它的动能的变化频率为( C )：(A)2f (B)f (C) f 2 (D) f 45、一个沿x 轴做简谐振动的弹簧振子,己知其振幅为A ，周期为T ，如果在0t =时质点处于2A 处并且向x 轴正向运动，则振动方程为( D )： (A)⎪⎭⎫ ⎝⎛+=3T 2Acos x ππt (B) ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=32T2Acos x ππt (C)⎪⎭⎫ ⎝⎛−=32T 2Acos x ππt (D) ⎪⎭⎫ ⎝⎛−=3T 2Acos x ππt 6、两个质点各自作简谐振动，他们的振幅相同、周期相同，第一个质点的振动方程为()αω+=t Acos x 1。

第九章振动习题册解答 (1)

位差为 ± (2k + 1)π , k = 0,1,2...，合振动方程为 x = 0.1cos(πt − π ) （ m ）。（注意单位） 2
x/m
0.2
ⅠⅡ
0.1
0
12
3
4
t/s
分析：反相，相位差为： ± (2k + 1)π , k = 0,1,2...，在一个周期内可取 ± π T = 2s ⇒ ω = 2π = π (rad / s) T
2、旋转矢量法
0.3
0.4
9.11 质量为 0.10kg 的物体，以振幅 1.0×10-2m 作简谐运动，其最大加速度为 4.0m•s-2。求：（1）振动的周期。（2）物体通过平衡位置时的总能量与动能。（3）物体在何处其动能和势能相等？（4）当物体的位移为振幅的一半时动能、势能各占总能量的多少？
(A) π (B)0 (C) π /2 (D) θ
分析：θ：角位移的振幅；初相位ϕ = 0
θl 正
θ ′ = θ cos(ωt + ϕ) 余弦函数：θ ′ = θ cos(ωt)
θ
m
正弦函数：θ ′ = θ sin(ωt + π ) 2
9.9 图中Ⅰ、Ⅱ为两个同方向同频率简谐振动的振动曲线，则第Ⅰ、Ⅱ两个简谐振动的相
（1）t=0 时，物体在平衡位置上方 8.0×10-2m 处，由静止开始向下运动，求运动方程。（2）t=0 时，物体在平衡位置并以 0.60m·s-1 的速度向上运动，求运动方程。
解：
mg
=
kl
⇒ ω2
=
k m
=
g l
=
9.8m.s −2 9.8×10−2 m
= 100 ，ω

大学物理_第五版_下册_第九章到第十一章课后答案

第九章振动9-1 一个质点作简谐运动，振幅为A ，在起始时刻质点的位移为2A -，且向x 轴正方向运动，代表此简谐运动的旋转矢量为（）题９-１图分析与解（b ）图中旋转矢量的矢端在x 轴上投影点的位移为－A /2，且投影点的运动方向指向O x 轴正向，即其速度的x 分量大于零，故满足题意．因而正确答案为（b ）． 9-2 已知某简谐运动的振动曲线如图（a ）所示，则此简谐运动的运动方程为（）()()()()()()()()cm π32π34cos 2D cm π32π34cos 2B cm π32π32cos 2C cm π32π32cos 2A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=t x t x t x t x题９-２图分析与解由振动曲线可知，初始时刻质点的位移为 –A /2，且向x 轴负方向运动．图（ｂ）是其相应的旋转矢量图，由旋转矢量法可知初相位为3/π2．振动曲线上给出质点从–A /2 处运动到+A 处所需时间为 1 s ，由对应旋转矢量图可知相应的相位差3/π4Δ=，则角频率()1s 3/π4Δ/Δ-==t ω，故选（D ）．本题也可根据振动曲线所给信息，逐一代入方程来找出正确答案．9-3 两个同周期简谐运动曲线如图（a ）所示， x 1 的相位比x 2 的相位（）（A ）落后2π （B ）超前2π （C ）落后π （D ）超前π 分析与解由振动曲线图作出相应的旋转矢量图（b ）即可得到答案为（b ）．题９-３图9-4 当质点以频率ν 作简谐运动时，它的动能的变化频率为（）（A ） 2v （B ）v （C ）v 2 （D ）v 4 分析与解质点作简谐运动的动能表式为()ϕωω+=t A m E k 222sin 21，可见其周期为简谐运动周期的一半，则频率为简谐运动频率ν的两倍．因而正确答案为（C ）． 9-5 图（a ）中所画的是两个简谐运动的曲线，若这两个简谐运动可叠加，则合成的余弦振动的初相位为（）（A ） π23 （B ）π21 （C ）π （D ）0 分析与解由振动曲线可以知道，这是两个同振动方向、同频率简谐运动，它们的相位差是π（即反相位）．运动方程分别为t A x ωcos 1=和()πcos 22+=t ωA x ．它们的振幅不同．对于这样两个简谐运动，可用旋转矢量法，如图（b ）很方便求得合运动方程为t A x ωcos 21=．因而正确答案为（D ）．题９-５图9-6 有一个弹簧振子，振幅m 10022-⨯=.A ，周期s 01.=T ，初相4/π3=．试写出它的运动方程，并作出t x -图、t -v 图和t a -图．题９-6 图分析弹簧振子的振动是简谐运动．振幅A 、初相ϕ、角频率ω是简谐运动方程()ϕω+=t A x cos 的三个特征量．求运动方程就要设法确定这三个物理量．题中除A 、ϕ已知外，ω可通过关系式T ω/π2=确定．振子运动的速度和加速度的计算仍与质点运动学中的计算方法相同．解因T ω/π2=，则运动方程()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=t π2cos cos T A t ωA x 根据题中给出的数据得 ()()m 75.0π2cos 100.22πt x +⨯=-振子的速度和加速度分别为()()-12s m π75.0π2sin 10π4d /d ⋅+⨯-==-t y x v()()-1222s m π75.0π2cos 10π8d /d ⋅+⨯-==-t y x a t x -、t -v 及t a -图如图所示．9-7 若简谐运动方程为()()m π25.0π20cos 10.0+=t x ，求：（1）振幅、频率、角频率、周期和初相；（2）s 2=t 时的位移、速度和加速度．分析可采用比较法求解．将已知的简谐运动方程与简谐运动方程的一般形式()ϕω+=t A x c o s作比较，即可求得各特征量．运用与上题相同的处理方法，写出位移、速度、加速度的表达式，代入t 值后，即可求得结果．解（1）将()()m π25.0π20cos 10.0+=t x 与()ϕω+=t A x cos 比较后可得：振幅A ＝0.10m ，角频率1s π20-=ω，初相ϕ＝0.25π，则周期s 1.0/π2==ωT ，频率Hz /1T =v ．（２）s 2=t 时的位移、速度、加速度分别为()m 1007.7π25.0π40cos 10.02-⨯=+=t x()-1s m 44.4π25.0π40sin π2d /d ⋅-=+-==t x v()-22222s m 1079.2π25.0π40cos π40d /d ⋅⨯-=+-==t x a9-8 一远洋货轮，质量为m ，浮在水面时其水平截面积为S ．设在水面附近货轮的水平截面积近似相等，水的密度为ρ，且不计水的粘滞阻力，证明货轮在水中作振幅较小的竖直自由运动是简谐运动，并求振动周期．分析要证明货轮作简谐运动，需要分析货轮在平衡位置附近上下运动时，它所受的合外力F 与位移x 间的关系，如果满足kx F -=，则货轮作简谐运动．通过kx F -=即可求得振动周期k m ωT /π2/π2==．证货轮处于平衡状态时［图（a ）］，浮力大小为F ＝mg ．当船上下作微小振动时，取货轮处于力平衡时的质心位置为坐标原点O ，竖直向下为x 轴正向，如图（b ）所示．则当货轮向下偏移x 位移时，受合外力为∑'+=F P F其中F '为此时货轮所受浮力，其方向向上，大小为gSx mg gSx F F ρρ+=+='题９-８图则货轮所受合外力为kx gSx F P F -=-='-=∑ρ式中gS k ρ=是一常数．这表明货轮在其平衡位置上下所作的微小振动是简谐运动．由∑=t x m F 22d d /可得货轮运动的微分方程为 0d d 22=+m gSx t x //ρ令m gS /ρω=2，可得其振动周期为gS ρm πωT /2/π2==9-9 设地球是一个半径为R 的均匀球体，密度33m kg 1055-⋅⨯=.ρ．现假定沿直径凿通一条隧道，若有一质量为m 的质点在此隧道内作无摩擦运动．（1）证明此质点的运动是简谐运动；（2）计算其周期．题９-９图分析证明方法与上题相似．分析质点在隧道内运动时的受力特征即可．证（1）取图所示坐标．当质量为m 的质点位于x 处时，它受地球的引力为2x m m G F x -= 式中G 为引力常量，x m 是以x 为半径的球体质量，即3/π43x ρm x =．令3/π4Gm ρk =，则质点受力kx Gmx ρF -==3/π4因此，质点作简谐运动．（2）质点振动的周期为s 1007.5/π3/π23⨯===ρG k m T9-10 如图（a ）所示，两个轻弹簧的劲度系数分别为1k 、2k ．当物体在光滑斜面上振动时．（1）证明其运动仍是简谐运动；（2）求系统的振动频率．题9-10 图分析从上两题的求解知道，要证明一个系统作简谐运动，首先要分析受力情况，然后看是否满足简谐运动的受力特征（或简谐运动微分方程）．为此，建立如图（b ）所示的坐标．设系统平衡时物体所在位置为坐标原点O ，Ox 轴正向沿斜面向下，由受力分析可知，沿Ox 轴，物体受弹性力及重力分力的作用，其中弹性力是变力．利用串联时各弹簧受力相等，分析物体在任一位置时受力与位移的关系，即可证得物体作简谐运动，并可求出频率υ．证设物体平衡时两弹簧伸长分别为1x 、2x ，则由物体受力平衡，有2211sin x k x k mg ==θ （1）按图（b ）所取坐标，物体沿x 轴移动位移x 时，两弹簧又分别被拉伸1x '和2x '，即21x x x '+'=．则物体受力为()()111222sin sin x x k mg x x k mg F '+-='+-=θθ （２）将式（1）代入式（2）得1122x k x k F '-='-= （３）由式（3）得11k F x /-='、22k F x /-='，而21x x x '+'=，则得到 ()[]kx x k k k k F -=+-=2121/式中()2121k k k k k +=/为常数，则物体作简谐运动，振动频率 ()m k k k k πm k ωv 2121/21/π21π2/+=== 讨论（1）由本题的求证可知，斜面倾角θ 对弹簧是否作简谐运动以及振动的频率均不产生影响．事实上，无论弹簧水平放置、斜置还是竖直悬挂，物体均作简谐运动．而且可以证明它们的频率相同，均由弹簧振子的固有性质决定，这就是称为固有频率的原因．（2）如果振动系统如图（c ）（弹簧并联）或如图（d ）所示，也可通过物体在某一位置的受力分析得出其作简谐运动，且振动频率均为()m k k v /π2121+=，读者可以一试．通过这些例子可以知道，证明物体是否作简谐运动的思路是相同的．*9 －11 在如图（a ）所示装置中，一劲度系数为k 的轻弹簧，一端固定在墙上，另一端连接一质量为1m 的物体A ，置于光滑水平桌面上．现通过一质量m 、半径为R 的定滑轮B （可视为匀质圆盘）用细绳连接另一质量为2m 的物体C ．设细绳不可伸长，且与滑轮间无相对滑动，求系统的振动角频率．题9-11 图分析这是一个由弹簧、物体A 、C 和滑轮B 组成的简谐运动系统．求解系统的振动频率可采用两种方法．（1）从受力分析着手．如图（b ）所示，设系统处于平衡状态时，与物体A 相连的弹簧一端所在位置为坐标原点O ，此时弹簧已伸长0x ，且g m kx 20=．当弹簧沿x O 轴正向从原点O 伸长x 时，分析物体A 、C 及滑轮B 的受力情况，并分别列出它们的动力学方程，可解得系统作简谐运动的微分方程．（2）从系统机械能守恒着手．列出系统机械能守恒方程，然后求得系统作简谐运动的微分方程．解1 在图（b ）的状态下，各物体受力如图（c ）所示．其中()i F 0x x k +-=．考虑到绳子不可伸长，对物体A 、B 、C 分别列方程，有()22101d d tx m x x k F T =+-= （1） 22222d d tx m F g m T =- （2） ()2212d d 21tx mR J R F F T T ==-α （3） g m kx 20= （4）方程（3）中用到了22T T F F '=、11T T F F '=、22/mR J =及R a /=α．联立式（1）～式（4）可得02d d 2122=+++x m m m k t x / （5）则系统振动的角频率为 ()221//m m m k ++=ω解2 取整个振动装置和地球为研究系统，因没有外力和非保守内力作功，系统机械能守恒．设物体平衡时为初始状态，物体向右偏移距离x （此时速度为v 、加速度为a ）为末状态，则由机械能守恒定律，有()20222212021212121x x k ωJ m m gx m E +++++-=v v 在列出上述方程时应注意势能（重力势能和弹性势能）零点的选取．为运算方便，选初始状态下物体C 所在位置为重力势能零点；弹簧原长时为弹性势能的零点．将上述方程对时间求导得()tx x x k t ωωJ t m t m g m d d d d d d d d 00212+++++-=v v v vv 将22/mR J =，v =R ω，22d /d d /d t x t =v 和02kx g m = 代入上式，可得 02d d 2122=+++x m m m k t x / （6）式（6）与式（5）相同，表明两种解法结果一致．9-12 一放置在水平桌面上的弹簧振子，振幅A ＝2.0 ×10-2 m ，周期T ＝0.50ｓ．当t ＝0 时，（1）物体在正方向端点；（2）物体在平衡位置、向负方向运动；（3）物体在x ＝-1.0×10-2m 处，向负方向运动；（4）物体在x ＝-1.0×10-2 m 处，向正方向运动．求以上各种情况的运动方程．分析在振幅A 和周期T 已知的条件下，确定初相φ是求解简谐运动方程的关键．初相的确定通常有两种方法．（1）解析法：由振动方程出发，根据初始条件，即t ＝0 时，x ＝x 0 和v ＝v 0 来确定φ值．（2）旋转矢量法：如图（a ）所示，将质点P 在Ox 轴上振动的初始位置x 0 和速度v 0 的方向与旋转矢量图相对应来确定φ．旋转矢量法比较直观、方便，在分析中常采用．题9-12 图解由题给条件知A ＝2.0 ×10-2 m ，1s π4/2-==T ω，而初相φ可采用分析中的两种不同方法来求．解析法：根据简谐运动方程()ϕω+=t A x cos ，当0t =时有()ϕω+=t A x c o s 0，sin 0ωA -=v ．当（1）A x =0时，1cos 1=ϕ，则01=ϕ；（2）00=x 时，0cos 2=ϕ，2π2±=，因00<v ，取2π2=；（3）m 100120-⨯=.x 时，50cos 3.=ϕ，3π3±= ，由00<v ，取3π3=；（4）m 100120-⨯-=.x 时，50cos 4.-=ϕ，3ππ4±= ，由00>v ，取3π44=．旋转矢量法：分别画出四个不同初始状态的旋转矢量图，如图（b ）所示，它们所对应的初相分别为01=ϕ，2π2=，3π3=，3π44=．振幅A 、角频率ω、初相φ均确定后，则各相应状态下的运动方程为（1）()m t πcos4100.22-⨯=x（2）()()m /2πt π4cos 100.22+⨯=-x（3）()()m /3πt π4cos 100.22+⨯=-x（4）()()m /3π4t π4cos 100.22+⨯=-x 9-13 有一弹簧，当其下端挂一质量为m 的物体时，伸长量为9.8 ×10-2 m ．若使物体上、下振动，且规定向下为正方向．（1）当t ＝0 时，物体在平衡位置上方8.0 ×10-2 ｍ处，由静止开始向下运动，求运动方程．（2）当t ＝０时，物体在平衡位置并以0.6ｍ·s -1的速度向上运动，求运动方程．分析求运动方程，也就是要确定振动的三个特征物理量A 、ω和φ．其中振动的角频率是由弹簧振子系统的固有性质（振子质量m 及弹簧劲度系数k ）决定的，即ω=k 可根据物体受力平衡时弹簧的伸长来计算；振幅A 和初相φ需要根据初始条件确定．题9-13 图解物体受力平衡时，弹性力F 与重力P 的大小相等，即F ＝mg ．而此时弹簧的伸长量Δl ＝9.8 ×10-2m ．则弹簧的劲度系数k ＝F ／Δl ＝mg ／Δl ．系统作简谐运动的角频率为1s 10-=∆==l g m k //ω（1）设系统平衡时，物体所在处为坐标原点，向下为x 轴正向．由初始条件t ＝0 时，x 10 ＝8.0 ×10-2 m 、v 10 ＝0 可得振幅()m 10082210210-⨯=+=./ωv x A ；应用旋转矢量法可确定初相π1=［图（a ）］．则运动方程为()()m π10t cos 100.821+⨯=-x（2）t ＝０时，x 20 ＝0、v 20 ＝0.6 ｍ·s -1 ，同理可得()m 100622202202-⨯=+=./ωv x A ；2/π2=［图（b ）］．则运动方程为()()m π5.010t cos 100.622+⨯=-x9-14 某振动质点的x -t 曲线如图（a ）所示，试求：（1）运动方程；（2）点P 对应的相位；（3）到达点P 相应位置所需的时间．分析由已知运动方程画振动曲线和由振动曲线求运动方程是振动中常见的两类问题．本题就是要通过x －t 图线确定振动的三个特征量A 、ω和0ϕ，从而写出运动方程．曲线最大幅值即为振幅A ；而ω、0ϕ通常可通过旋转矢量法或解析法解出，一般采用旋转矢量法比较方便．解（1）质点振动振幅A ＝0.10 ｍ．而由振动曲线可画出t 0 ＝0 和t 1 ＝4 ｓ时旋转矢量，如图（b ）所示．由图可见初相3/π=0（或3/π50=），而由()3201//ππω+=-t t 得1s 24/π5-=ω，则运动方程为 ()m 3/π24π5cos 10.0⎪⎭⎫ ⎝⎛-=t x题9-14 图（2）图（a ）中点P 的位置是质点从A ／2 处运动到正向的端点处．对应的旋转矢量图如图（c ）所示．当初相取3/π0-=时，点P 的相位为()000=-+=p p t ωϕϕ（如果初相取成3/π50=，则点P 相应的相位应表示为()π2=0t ω+=p 0p ．（3）由旋转矢量图可得()3/π0=-p t ω，则s 61.=p t ．9-15 作简谐运动的物体，由平衡位置向x 轴正方向运动，试问经过下列路程所需的最短时间各为周期的几分之几？（1）由平衡位置到最大位移处；（2）由平衡位置到x ＝A /2 处；（3）由x ＝A /2处到最大位移处．解采用旋转矢量法求解较为方便．按题意作如图所示的旋转矢量图，平衡位置在点O ．（1）平衡位置x 1 到最大位移x 3 处，图中的旋转矢量从位置1 转到位置3，故△φ1=2/π，则所需时间 411//T t =∆=∆ωϕ（2）从平衡位置x 1 到x 2 ＝A /2 处，图中旋转矢量从位置1转到位置2，故有△φ2=6/π，则所需时间1222//T t =∆=∆ωϕ（3）从x 2 ＝A /2 运动到最大位移x 3 处，图中旋转矢量从位置2 转到位置3，有△φ3=3/π，则所需时间633//T t =∆=∆ωϕ题9-15 图9-16 在一块平板下装有弹簧，平板上放一质量为1.0 kg 的重物．现使平板沿竖直方向作上下简谐运动，周期为0.50ｓ，振幅为2.0×10-2 m ．求：（1）平板到最低点时，重物对平板的作用力；（2）若频率不变，则平板以多大的振幅振动时，重物会跳离平板？（3）若振幅不变，则平板以多大的频率振动时，重物会跳离平板？题9-16 图分析按题意作示意图如图所示．物体在平衡位置附近随板作简谐运动，其间受重力P 和板支持力F N 作用，F N 是一个变力．按牛顿定律，有22d d ty m F mg F N =-= （1）由于物体是随板一起作简谐运动，因而有()ϕωω+-==t A ty a cos d d 222，则式（1）可改写为()ϕωω++=t mA mg F N cos 2 （2）（1）根据板运动的位置，确定此刻振动的相位ϕω+t ，由式（2）可求板与物体之间的作用力．（2）由式（2）可知支持力N F 的值与振幅A 、角频率ω和相位（ϕω+t ）有关．在振动过程中，当π=+t ω时N F 最小．而重物恰好跳离平板的条件为N F ＝0，因此由式（2）可分别求出重物跳离平板所需的频率或振幅．解（1）由分析可知，重物在最低点时，相位ϕω+t ＝0，物体受板的支持力为()N 9612222./=+=+=t mAmg mA mg F N πω 重物对木块的作用力N F ' 与N F 大小相等，方向相反．（2）当频率不变时，设振幅变为A ′．根据分析中所述，将N F ＝0及π=+t ω代入分析中式（2），可得m 102.6π4//2222-⨯==='gT ωm mg A（3）当振幅不变时，设频率变为v '．同样将N F ＝0及π=+t ω代入分析中式（2），可得Hz 52.3/π21π22==='mA mg ωv 9-17 两质点作同频率、同振幅的简谐运动．第一个质点的运动方程为()ϕω+=t A x cos 1，当第一个质点自振动正方向回到平衡位置时，第二个质点恰在振动正方向的端点，试用旋转矢量图表示它们，并求第二个质点的运动方程及它们的相位差．题9-17 图解图示为两质点在时刻t 的旋转矢量图，可见第一个质点M 的相位比第二个质点N 的相位超前2/π，即它们的相位差Δφ＝π/2．故第二个质点的运动方程应为()2cos 2/πϕω-+=t A x9-18 图（a ）为一简谐运动质点的速度与时间的关系曲线，且振幅为2cm ，求（1）振动周期；（2）加速度的最大值；（3）运动方程．分析根据v -t 图可知速度的最大值v max ，由v max ＝Aω可求出角频率ω，进而可求出周期T 和加速度的最大值a max ＝Aω2 ．在要求的简谐运动方程x ＝A cos （ωt ＋φ）中，因为A 和ω已得出，故只要求初相位φ即可．由v －t 曲线图可以知道，当t ＝0 时，质点运动速度v 0 ＝v max /2 ＝Aω/2，之后速度越来越大，因此可以判断出质点沿x 轴正向向着平衡点运动．利用v 0 ＝－Aωsinφ就可求出φ．解（1）由ωA v =max 得1s 51-=.ω，则 s 2.4/π2==ωT（2）222max s m 1054--⋅⨯==.ωA a（3）从分析中已知2/sin 0ωA ωA =-=v ，即21sin /-=ϕ6/π5,6/π--=因为质点沿x 轴正向向平衡位置运动，则取6/π5-=，其旋转矢量图如图（b ）所示．则运动方程为 ()()cm 6/π55.1cos 2-=t x题9-18 图9-19 有一单摆，长为1.0m ，最大摆角为5°，如图所示．（1）求摆的角频率和周期；（2）设开始时摆角最大，试写出此单摆的运动方程；（3）摆角为3°时的角速度和摆球的线速度各为多少？题9-19 图分析单摆在摆角较小时（θ＜5°）的摆动，其角量θ与时间的关系可表示为简谐运动方程()ϕωθθ+=t cos max ，其中角频率ω仍由该系统的性质（重力加速度g 和绳长l ）决定，即l g /=ω．初相φ与摆角θ，质点的角速度与旋转矢量的角速度（角频率）均是不同的物理概念，必须注意区分．解（1）单摆角频率及周期分别为s 01.2/π2;s 13.3/1====-ωT l g ω（2）由0=t 时o max 5==θθ可得振动初相0=ϕ，则以角量表示的简谐运动方程为t θ13.3cos 36π=（３）摆角为3°时，有()60cos max ./==+θθϕωt ，则这时质点的角速度为()()1max 2max max s2180800cos 1sin /d d --=-=+--=+-=..ωθϕωωθϕωωθθt t t线速度的大小为 1s 2180/d d --==.t l v θ讨论质点的线速度和角速度也可通过机械能守恒定律求解，但结果会有极微小的差别．这是因为在导出简谐运动方程时曾取θθ≈sin ，所以，单摆的简谐运动方程仅在θ 较小时成立．9-20 为了测月球表面的重力加速度，宇航员将地球上的“秒摆”（周期为2.00ｓ），拿到月球上去，如测得周期为4.90ｓ，则月球表面的重力加速度约为多少？（取地球表面的重力加速度2E s m 809-⋅=.g ）解由单摆的周期公式g l T /π2=可知21T g /∝，故有2M 2E E M T T g g //=，则月球的重力加速度为()2E 2M E M s m 631-⋅==./g T T g9-21 一飞轮质量为12kg ，内缘半径r ＝0.6ｍ，如图所示．为了测定其对质心轴的转动惯量，现让其绕内缘刃口摆动，在摆角较小时，测得周期为2.0s ，试求其绕质心轴的转动惯量．9-21 题图分析飞轮的运动相当于一个以刃口为转轴的复摆运动，复摆振动周期为c /π2mgl J T =，因此，只要知道复摆振动的周期和转轴到质心的距离c l ，其以刃口为转轴的转动惯量即可求得．再根据平行轴定理，可求出其绕质心轴的转动惯量．解由复摆振动周期c /π2mgl J T =，可得22π4/mgrT J =．则由平行轴定理得222220m kg 8324⋅=-=-=./mr mgrT mr J J π9-22 如图（a ）所示，质量为1.0 ×10-2kg 的子弹，以500m·s -1的速度射入木块，并嵌在木块中，同时使弹簧压缩从而作简谐运动，设木块的质量为4.99 kg ，弹簧的劲度系数为8.0 ×103 N·m-1 ，若以弹簧原长时物体所在处为坐标原点，向左为x 轴正向，求简谐运动方程．题9-22 图分析可分为两个过程讨论．首先是子弹射入木块的过程，在此过程中，子弹和木块组成的系统满足动量守恒，因而可以确定它们共同运动的初速度v 0 ，即振动的初速度．随后的过程是以子弹和木块为弹簧振子作简谐运动．它的角频率由振子质量m 1 ＋m 2 和弹簧的劲度系数k 确定，振幅和初相可根据初始条件（初速度v 0 和初位移x 0 ）求得．初相位仍可用旋转矢量法求．解振动系统的角频率为 ()121s 40-=+=m m k /ω由动量守恒定律得振动的初始速度即子弹和木块的共同运动初速度v 0 为()12110s m 01-⋅=+=.m m v m v又因初始位移x 0 ＝0，则振动系统的振幅为 ()m 105.2//202020-⨯==+=ωωx A v v 图（b ）给出了弹簧振子的旋转矢量图，从图中可知初相位2/π0=，则简谐运动方程为()()m π0.540cos 105.22+⨯=-t x9-23 如图（a ）所示，一劲度系数为k 的轻弹簧，其下挂有一质量为m 1 的空盘．现有一质量为m 2 的物体从盘上方高为h 处自由落入盘中，并和盘粘在一起振动．问：（1）此时的振动周期与空盘作振动的周期有何不同？（2）此时的振幅为多大？题9-23 图分析原有空盘振动系统由于下落物体的加入，振子质量由m 1 变为m 1 + m 2，因此新系统的角频率（或周期）要改变．由于()2020/ωx A v +=，因此，确定初始速度v 0 和初始位移x 0 是求解振幅A 的关键．物体落到盘中，与盘作完全非弹性碰撞，由动量守恒定律可确定盘与物体的共同初速度v 0 ，这也是该振动系统的初始速度．在确定初始时刻的位移x 0 时，应注意新振动系统的平衡位置应是盘和物体悬挂在弹簧上的平衡位置．因此，本题中初始位移x 0 ，也就是空盘时的平衡位置相对新系统的平衡位置的位移．解（1）空盘时和物体落入盘中后的振动周期分别为k m ωT /π2/π21== ()k m m ωT /π2/π221+='='可见T ′＞T ，即振动周期变大了．（2）如图（b ）所示，取新系统的平衡位置为坐标原点O ．则根据分析中所述，初始位移为空盘时的平衡位置相对粘上物体后新系统平衡位置的位移，即g km g k m m k g m l l x 2211210-=+-=-= 式中l 1 ＝m 1/k 为空盘静止时弹簧的伸长量，l 2 ＝（m 1 ＋m 2）/k 为物体粘在盘上后，静止时弹簧的伸长量．由动量守恒定律可得振动系统的初始速度，即盘与物体相碰后的速度gh m m m m m m 22122120+=+=v v 式中gh 2=v 是物体由h 高下落至盘时的速度．故系统振动的振幅为()212202021/m m kh k g m ωx A ++='+=v 本题也可用机械能守恒定律求振幅A ．9-24 如图所示，劲度系数为k 的轻弹簧，系一质量为m 1 的物体，在水平面上作振幅为A 的简谐运动．有一质量为m 2 的粘土，从高度h 自由下落，正好在（a ）物体通过平衡位置时，（b ）物体在最大位移处时，落在物体上．分别求：（1）振动周期有何变化？（2）振幅有何变化？题9-24图分析谐振子系统的周期只与弹簧的劲度系数和振子的质量有关．由于粘土落下前后，振子的质量发生了改变，因此，振动周期也将变化．至于粘土如何落下是不影响振动周期的．但是，粘土落下时将改变振动系统的初始状态，因此，对振幅是有影响的．在粘土落到物体上的两种不同情况中，系统在水平方向的动量都是守恒的．利用动量守恒定律可求出两种情况下系统的初始速度，从而利用机械能守恒定律（或公式()2020/ωx A v +=）求得两种情况下的振幅．解（1）由分析可知，在（a ）、（b ）两种情况中，粘土落下前后的周期均为 k m ωT /π2/π21== ()k m m ωT /π2/π221+='='物体粘上粘土后的周期T ′比原周期T 大．（2）（a ）设粘土落至物体前后，系统振动的振幅和物体经过平衡位置时的速度分别为A 、v 和A ′、v ′．由动量守恒定律和机械能守恒定律可列出如下各式2/2/212v m A k =' （1）()2/2/2212v '+='m m A k （2）()v v '+=211m m m （3）联立解上述三式，可得 ()A m m m A 211+='/即A ′＜A ，表明增加粘土后，物体的振幅变小了．（b ）物体正好在最大位移处时，粘土落在物体上．则由动量守恒定律知它们水平方向的共同速度v ′＝m 1v /（m 1 ＋m 2 ）＝0，因而振幅不变，即A ′＝A9-25 质量为0.10kg 的物体，以振幅1.0×10-2 m 作简谐运动，其最大加速度为4.0 ｍ·s -1 求：（1）振动的周期；（2）物体通过平衡位置时的总能量与动能；（3）物体在何处其动能和势能相等？（4）当物体的位移大小为振幅的一半时，动能、势能各占总能量的多少？分析在简谐运动过程中，物体的最大加速度2max ωA a =，由此可确定振动的周期T ．另外，在简谐运动过程中机械能是守恒的，其中动能和势能互相交替转化，其总能量E ＝kA 2/2．当动能与势能相等时，E k ＝E P ＝kA 2/4．因而可求解本题．解（1）由分析可得振动周期s 314.0/π2/π2max ===a A ωT（2）当物体处于平衡位置时，系统的势能为零，由机械能守恒可得系统的动能等于总能量，即J 100221213max 22k -⨯====.m Aa m A E E ω（3）设振子在位移x 0 处动能与势能相等，则有42220//kA kx =得 m 100772230-⨯±=±=./A x（４）物体位移的大小为振幅的一半（即2x A =/）时的势能为 4221212P /E A k kx E =⎪⎭⎫ ⎝⎛==则动能为 43P K /E E E E =-= 9-26 一氢原子在分子中的振动可视为简谐运动．已知氢原子质量m ＝1.68 ×10-27 Kg ，振动频率υ＝1.0 ×1014 Hz ，振幅A ＝1.0 ×10-11ｍ．试计算：（1）此氢原子的最大速度；（2）与此振动相联系的能量．解（1）简谐运动系统中振子运动的速度v ＝－A ωsin （ωt ＋φ），故氢原子振动的最大速度为12max s m 1028.62-⋅⨯===A πA ωv v（２）氢原子的振动能量J 1031.32/202max -⨯==v m E9-27 质量m ＝10g 的小球与轻弹簧组成一振动系统，按()()cm 3/ππ85.0+=t x 的规律作自由振动，求（1）振动的角频率、周期、振幅和初相；（2）振动的能量E ；（3）一个周期内的平均动能和平均势能．解（1）将()()cm 3/ππ85.0+=t x 与()ϕω+=t A x cos 比较后可得：角频率1s π8-=ω，振幅A ＝0.5cm ，初相φ＝π/3，则周期T ＝2π/ω＝0.25 ｓ（2）简谐运动的能量 J 1090721522-⨯==.ωmA E （3）简谐运动的动能和势能分别为()ϕωω+=t mA E K 222sin 21 ()ϕωω+=t mA E P 222cos 21 则在一个周期中，动能与势能对时间的平均值分别为()J 109534d sin 2115220222-⨯==+=⎰.ωϕωωmA t t mA T E T K ()J 109534d cos 2115220222-⨯==+=⎰.ωϕωωmA t t mA T E T P 9-28 已知两同方向、同频率的简谐运动的运动方程分别为()()m π75.010cos 05.01+=t x ；()()m π25.010cos 06.02+=t x ．求：（1）合振动的振幅及初相；（2）若有另一同方向、同频率的简谐运动()()m 10cos 07033ϕ+=t x .，则3ϕ为多少时，x 1 ＋x 3 的振幅最大？又3ϕ 为多少时，x 2 ＋x 3 的振幅最小？题9-28 图分析可采用解析法或旋转矢量法求解.由旋转矢量合成可知，两个同方向、同频率简谐运动的合成仍为一简谐运动，其角频率不变；合振动的振幅()12212221cos 2ϕϕ-++=A A A A A ，其大小与两个分振动的初相差12ϕϕ-相关．而合振动的初相位()()[]22112211cos cos sin sin arctanϕϕϕϕϕA A A A ++=/ 解（1）作两个简谐运动合成的旋转矢量图（如图）．因为2/πΔ12-=-=，故合振动振幅为 ()m 1087cos 2212212221-⨯=-++=.ϕϕA A A A A 合振动初相位 ()()[]rad1.48arctan11cos cos sin sin arctan22112211==++=ϕϕϕϕϕA A A A / （2）要使x 1 ＋x 3 振幅最大，即两振动同相，则由π2Δk =得,...2,1,0,π75.0π2π213±±=+=+=k k k要使x 1 ＋x 3 的振幅最小，即两振动反相，则由()π12Δ+=k 得(),...2,1,0,π25.1π2π1223±±=+=++=k k k9-29 手电筒和屏幕质量均为m ，且均被劲度系数为k 的轻弹簧悬挂于同一水平面上，如图所示．平衡时，手电筒的光恰好照在屏幕中心．设手电筒和屏幕相对于地面上下振动的表达式分别为()11cos ϕω+=t A x 和()22cos ϕω+=t A x ．试求在下述两种情况下，初相位φ1 、φ2 应满足的条件：（1）光点在屏幕上相对于屏静止不动；（2）光点在屏幕上相对于屏作振幅A ′＝2A 的振动．并说明用何种方式起动，才能得到上述结果．题9-29 图分析落在屏幕上的光点相对地面的运动和屏幕相对于地面的运动都已知道，且是两个简谐运动．因此由运动的合成不难写出光点相对屏的运动（实际上是两个同方向、同频率简谐运动的合成）．根据相对运动公式，有屏对地光对屏光对地x x x +=依题意()()2211ϕωϕω+==+==t A x x t A x x cos cos 屏对地光对地所以 ()()212121cos cos ϕπωϕω++++='+=-=t A t A x x x x x 光对屏可见光点对屏的运动就是两个同方向、同频率简谐运动()11c o sϕω+=t A x 和()22cos ϕπω++='t A x 的合成．用与上题相同的方法即可求解本题．其中合运动振幅()12222πcos 2-+++='A A A A ．解（1）根据分析和参考上题求解，当要求任一时刻光点相对于屏不动，即0=光对屏x ，就是当()π12π12+=-+k 时，即π212k +=时（,...,,210±±=k ），A ′＝0．当光点相对于屏作振幅为2A 的运动时，要求π2π12k =-+，即()π1212-+=k ．（2）由以上求解可知，要使光点相对于屏不动，就要求手电筒和屏的振动始终要同步，即同相位，为此，把它们往下拉A 位移后，同时释放即可；同理，要使光点对屏作振幅为2A 的谐振动，两者必须相位相反，为此，让手电筒位于平衡点0 上方的-A 处，而屏则位于+A 处同。

西工大与西安交大期末复习考研备考大学物理题库第九章振动习题及答案

大学物理习题第九章振动一选择题1、一弹簧振子，重物的质量为m ，弹簧的倔强系数为k ，该振子作振幅为A 的简谐振动，当重物通过平衡位置且向正方向运动时开始计时，则其振动方程为[ ]（A ） )2cos(π+=t m k A x （B ）)2cos(π-=t m k A x （C ）)2cos(π+=t k m A x （D ）)2cos(π-=t k m A x （E ）)cos(t mk A x =2、谐振动的位移—时间曲线关系如图所示，该谐振动的振动方程为[ ] （A ）t x π2cos 4=（B ）)cos(4ππ-=t x （C ）t x πcos 4=（D ）)2cos(4ππ+=t x3、一质点沿x 轴做简谐振动，振动方程为)32cos(1042ππ+⨯=-t x (SI)，从0=t 时刻起，到质点向x 轴正方向运动到2-=x cm 位置处的最短时间间隔为[ ]（A ）81 s （B ） 41 s （C ） 31 s （D ） 21s （E ） 61 s 4、已知一质点沿y 轴作简谐振动，其振动方程为)43cos(πω+=t A y 。

图中与之对应的振动曲线是[ ]5、在图所示的振动系统中，木块质量为1m ，与倔强系数为k 的轻质弹簧相连，另一质量为2m 的木块以速度v 向左运动，与1m 接触后，1m 与2m 一同向左运动，若滑动时阻力不计，则1m 的振幅为[ ](x )s-（A ）k m m v m m )()(2121+- （B ） k m m vm m )()(2121++（C ）km m vm )(211+ （D ）km m v m )(212+6、一弹簧振子作简谐振动，当位移为振幅的一半时，其动能为总能量的[ ] （A ）21 （B ）41 （C ）21 （D ）43（E ）23答案[ ]7、已知两个同方向谐振动的表达式分别为36cos(1042π+⨯=-t x (SI)和)36cos(1042π-⨯=-t x (SI)，则它们的合振动表达式为[ ] （A ） )6cos(1042π+⨯=-t x （B ） t x 6cos 1042-⨯=（C ） )6cos(1022π+⨯=-t x （D ） t x 6cos 1022-⨯=8、为了测定音叉c 的振动频率，另选两个和c 频率相近的音叉a 和b ，a 上注明“500”，b 上注明“495”。

练习册-9-第九章

第九章振动学基础9-1 简谐振动【学习指导】一、简谐振动的动力学描述 1．简谐振动的受力特征简谐振动的动力学定义：振动系统在与位移大小成正比、而方向相反的回复力作用下的运动称为简谐振动。

kx f -=，k 为比例系数。

2．简谐振动的微分方程 0222=+x dtx d ω mk =ω 二、简谐振动的运动学描述1．简谐振动的数学表达式——运动方程谐振动的运动学定义：位移随时间按余弦（正弦）规律变化的运动是简谐振动。

cos()x A t ωϕ=+ sin()dx v A t dt ωωϕ==-+ 2cos()dv a A t dtωωϕ==-+ 2．简谐振动的三个特征量角频率、频率、周期——由振动系统的性质决定。

角频率：m k =ω（弹簧振子系统）周期：ωπ2=T 频率：T1=ν 角频率、频率的关系：2ωπν=振幅A ——表示振动物体离开平衡位置的最大距离。

振幅A 和初相ϕ由初始条件决定： A = 1()v tg x ϕω-=-431．简谐振动的动能：222211sin ()22K E mv A t ωωϕ==+ 2．简谐振动的势能：22211cos ()22p E kx kA t ωϕ==+ 3．简谐振动的机械能：2222121ωmA kA E E E p K ==+=弹簧振子的动能和势能按正弦或余弦的平方随时间作周期性变化，其周期为谐振周期的一半；当动能最大时，势能最小；当动能最小时，势能最大；但机械能保持恒定不变。

【典型例题】【例9-1】质量为kg 10103-⨯的小球与轻弹簧组成的系统，按)SI ()328cos(1.0ππ+=x 的规律作谐振动，求：(1)振动的周期、振幅和初位相及速度与加速度的最大值；(2)最大的回复力、振动能量、平均动能和平均势能，在哪些位置上动能与势能相等? (3)s 52=t 与s 11=t 两个时刻的位相差；解：(1)设谐振动的标准方程为)cos(0φω+=t A x ，则知：3/2,s 412,8,m 1.00πφωππω===∴==T A 又 πω8.0==A v m 1s m -⋅ 51.2=1s m -⋅2.632==A a m ω2s m -⋅(2) N 63.0==m m a FJ 1016.32122-⨯==m mv E J 1058.1212-⨯===E E E k p 当p k E E =时，有p E E 2=，即)21(212122kA kx ⋅=44 ∴ m 20222±=±=A x (3) ππωφ32)15(8)(12=-=-=∆t t【例9-2】图9.2为一个谐振动的t x -曲线，试写出其谐振动方程．解：由图9.2，∵0=t 时，s 2,cm 10,,23,0,0000===∴>=T A v x 又πφ即 1s rad 2-⋅==ππωT故 m )23cos(1.0ππ+=t x a 【分类习题】一、选择题1．以下所列运动形态哪些不是简谐振动？（1）球形碗底小球小幅度的摆动；（2）细绳悬挂的小球作大幅度的摆动；（3）小木球在水面上的上下浮动；（4）橡皮球在地面上作等高的上下跳动；（5）木质圆柱体在水面上的上下浮动（母线垂直于水面）.（A ）（1）（2）（3）（4）（5）都不是简谐振动.（B ）（1）（2）（3）（4）不是简谐振动. （C ）（2）（3）（4）不是简谐振动. （D ）（1）（2）（3）不是简谐振动. 2．同一弹簧振子按图9.3的三种方法放置，它们的振动周期分别为T a 、T b 、T c （摩擦力忽略），则三者之间的关系为（A ） T a =T b =T c . （B ） T a =T b >T c . （C ） T a >T b >T c . （D ） T a <T b <T c . （E ） T a >T b <T c .*3．两根轻弹簧和一质量为m 的物体组成一振动系统，弹簧的倔强系数为k 1和k 2，串联后与物体相接，如图9.4。

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