第9章 振动学基础答案

第9章 振动学基础

答案

9.4 一个运动质点的位置与时间的关系为 m t x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=32

5cos 1.0ππ , 其中x 的单位是

m , t 的单位是s .试求：

（1）周期、角频率、频率、振幅和初相位； （2）t =2s 时质点的位移、速度和加速度.

解：（1）由题中质点位置与时间的关系便知，振幅A =0.1m ，初相位3

πϕ=

，角频率

s rad /2

5πω=，频率Hz 45

=

ν，周期s f T 8.05

41===

（2）⎪⎭⎫ ⎝⎛+-==325sin 41πππυt dt dx ；⎪⎭⎫ ⎝⎛+-==32

5cos 85222

πππt dt x d a 则当t=2s 时，质点的位移，速度和加速度分别为

m x 05.03cos 1.0322

5

cos 1.0-=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯=πππ；

s m /68.08

33

sin 4

1322

5

sin 4

1===⎪⎭

⎫ ⎝⎛+⨯-=ππππππυ

222/1.33cos 85322

5

cos 85s m a ==⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯-=πππππ

9.5 一个质量为2.5kg 的物体，系于水平放置的轻弹簧的一端，弹簧的另一端被固定.若弹簧受10N 的拉力,其伸长量为5.0cm,求物体的振动周期.

解：由kx f =可得弹簧的经度系数为 m N x f k /10210

510

22

⨯=⨯==- 弹簧振子的周期 s k m T 70.010

25.2222=⨯==ππ

9.6 如图9.27图所示 ,求振动装置的振动频率,已知物体的质量为m ,两个轻弹簧的劲度系数为1k 和2k 。

解：设物体离开平衡位置的位移是x ，此时物体所受合力x k k f )(21+-=作为线性回复力，则有02

1=++x m k k x

故m k k 21+=ω m

k k 2

121

+=π

ν

9.7 如图9.28所示 , 求振动装置的振动频率,已知物体的质量为m ,两个轻弹簧的径度系数为1k 和2k 。

解：设物体m 离开平衡位置的位移为x ，所受线性回复力为f 则有）

（12

211x k x k f -=-= )2(21x

x x =+

（1）、（2）联立解之得 2

12121/1/11

k k k k x k k f +-=+-

=

所以有振动方程0)(12121=++x k k k k m x

，则 )

(21

,)

(212

1212

1k k m k k k k m k k +=

+=π

νω

9.8 仿照式（9.15）的推导过程,导出在单摆系统中物体的速度与角位移的关系式.

解：对于单摆系统中的物体m ，其振动动能 2222121θυ ml m E k == 系统的势能（重力势能）221)cos 1(θθmgl mgl mgh E p ≈-== 而系统的总能量 201θm g

l E E E p k =+= 所以20212

212

221θθθmgl

mgl

ml =+ 由此得：)()(220

22202θθωθθθ-=-=l

g )220θθωθ-±= 9.9 与轻弹簧的一端相接的小球沿x 轴作简谐振动,振幅为A ,位移与时间的关系可以用余弦函数表示.若在t =0时,小球的运动状态分别为

（1）x = - A ；（2）过平衡位置,向x 轴正向运动；（3）过x =A /2处,向x 轴负向运动；（4）过2/A x =处,向x 轴正向运动.试确定上述状态的初相位. 解：位移x 与时间t 的一般关系可表为 )cos(ϕω+=t A x

（1）t =0时，A x -=， 则有ϕcos A A =-， 即1cos -=ϕ。则初相πϕ=

（2）t =0时，过平衡位置，向x 轴正向运动，即 0cos ==ϕA x ，0sin >-=ϕωA dt

dx

由此可知初相2/πϕ-=.

图9.27 题9.6示图 图9.28 题9.7示图

（3）过2/A x =处，向x 轴负向运动，即t =0时2A x =

，0

dx ∴有2

1cos 2

cos =→=ϕϕA A 及 0s i n <-ϕωA 由此得初相3

π

ϕ=

（4）过2/A x =处，向x 轴正向运动，即t =0，2

A x =

，0>dt dx

∴有 2

2c o s 2

c o s =

→=ϕϕA A 及

0sin >-ϕωA .由此得初相4

πϕ-=. 9.10 长度为l 的弹簧,上端被固定,下端挂一重物后长度变为l +s ,并仍在弹簧限度之内.若将重物向上托起,使弹簧缩回到原来的长度,然后放手,重物将做上下运动.

（1）证明重物的运动是简谐振动；（2）求简谐振动的振幅、角频率和频率； （3）若从放手时开始计时,求此振动的位移与时间的关系（向下为正）. 解：（1）以平衡位置为坐标原点，向下为x 轴正向，则在位移为x 处，重物所受之力为

)(s x k mg F +-= 在平衡位置x =0，F =0。则mg=ks 。 所以kx F -=，即合力为线性回复力，则重物的运动是简谐振动。

（2）简谐振动的振幅A =s.角频率 m k =

ω 频率

m

k ππων212/=

=

（3）设)cos(ϕω+=t A x t =0时，s x -= 则得πϕ=

∴振动的位移与时间的关系为)cos(π+=t m

k s x

9.11 一个物体放在一块水平木板上,此板在水平方向上以频率v 作简谐振动.若物体与木板之间的静摩擦系数为0μ ,试求使物体随木板一起振动的最大振幅.

解：设简谐运动的位移与时间的关系为 )c o s (ϕω+=t A x

则加速度)cos(2ϕωω+-==t A x a ，那么物体所受的最大力为m A mA F m 2224νπω== 而这力要靠静摩擦力来充当。故有mg A m 0224μνπ≤ 由此得物体随木版一起振动的最大振幅为2

20max 4νπμg

A =

9.12 一个物体放在一块水平木板上,此板在竖直方向上以频率v 作简谐振动.试求使物体随木板一起振动的最大振幅.

解：同题9.11，这里物体要做简谐振动，重力和支持力之和充当回复力，所以有：

N mg A m +<224νπ.