第二讲 陈玮懿数形结合思想
以数形结合思想引领数学,提高学生学习能力和思维能力的策略方法
以数形结合思想引领数学，提高学生学习能力和思维能力的策略方法作者：梁志莲来源：《中学课程辅导·教师教育（中）》2017年第03期【摘要】数形结合思想是数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化，将抽象的数学语言与直观的图形结合起来解决问题的思想方法，以数形结合思想引领数学，是提高学生学习能力，培养学生抽象概括能力，发展学生空间想象能力，提升学生思维能力的良好策略。
【关键词】以形助数以数解形数形结合【中图分类号】 G623.5 【文献标识码】 A 【文章编号】 1992-7711（2017）03-109-01“数形结合”就是根据数量与图形之间的对应关系，把抽象的数学语言与直观的图形相结合，使抽象思维和形象思维相结合，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要的数学思想，也是一种常用的数学方法。
通过实践发现，以数形结合思想引领数学，是提高学生学习能力，培养学生抽象概括能力，发展学生空间想象能力，提升学生思维能力的良好策略。
一、以形助数，抽象问题具体化，提高学生学习能力（一）用图形的直观，帮助学生理解数量关系图形思维可以说是数学家的思维特色，往往一个简单的图象就能表达复杂的思想，因此图象语言有助于数学思维的表达。
在数学中，有时看到学生遇到题目百思不得其解时，如能画个草图稍加点拨，学生的思维开阔了，就能积极地从多角度去思考问题、发现问题，促进学生形象思维和抽象思维的协调发展。
例如一年级教材中有一道解决问题：小朋友们排队做操，小红的前面有6个人，小明的后面也有6个人，这一排一共有多少个人？许多孩子一看完题目就马上列式：6+6=12（人），他们对小红是不是也在队伍里面弄不明白，所以出现了错误。
针对这种情况，我就指导学生画图解决问题：○○○○○○小红○○○○○○6+1+6=13（人）这样一画图，数形结合，数形互用，学生一目了然，找出了自己出现错误的原因，并能正确解答。
例如我在教“几倍求和的解决问题”时，我出示了例题：小宇家种苹果树200棵，种的橘子树是苹果树的3倍，苹果树和橘子树一共种多少棵？我并没有急于让学生解题，而是让他们找出谁是1倍的数，再画线段图，然后学生自己尝试做题，在小组合作交流时，一些学生除了用“200×3+200”这种方法，还会用了“200×（1+3）”的方法。
(数学)高三思想方法专题讲座【第2讲：数形结合思想】
高三数学思想方法专题讲座【第2讲：数形结合思想】【思想方法要点】1、数形结合的数学思想包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，在解选择题、填空题时发挥着奇特功效。
运用数形结合思想分析解决问题时，要遵循三个原则：(1)等价性原则，准确画出函数图象，注意函数的定义域．(2)双方性原则．(3)简单性原则．不要为了“数形结合”而数形结合．具体运用时，一要考虑是否可行和是否有利；二要选择好突破口，恰当设参、用参、建立关系、做好转化；三要挖掘隐含条件，准确界定参变量的取值范围．2、数形结合思想解决的问题常有以下几种：(1)构建函数模型并结合其图象求参数的取值范围、研究方程根的范围、究函数的最值问题和证明不等式等．(2)构建立体几何模型研究代数问题，构建解析几何中的斜率、截距、距离等模型研究最值问题.【典型例题分析】1．设,75sinπ=a ,72cos π=b ,72tan π=c 则( ) A ．c b a << B ．b c a << C ．a c b << D ．c a b <<2．若c b a ,,均为单位向量，且,0)()(,0≤-⋅-=⋅c b c a b a 则||c b a -+的最大值为( ) A ．12- B ．1 C ．2 D ．23．若不等式2)2(92-+≤-x k x 的解集为区间],,[b a 且,2=-a b 则=k ____．4．对于实数a 和b ，定义运算“*”：=b a *⎩⎨⎧>-≤-.,,,22b a ab b b a ab a 设),1(*)12()(--=x x x f且关于x 的方程)()(R m m x f ∈=恰有三个互不相等的实数根,,,321x x x 则321x x x 的取值范围是____．5．设函数,3)(3ax ax x f -=),,(ln )(2R b a x bx x g ∈-=已知它们在1=x 处的切线互相平行．(1)求b 的值； (2)若函数=)(x F ⎩⎨⎧>≤0),(0),(x x g x x f 且方程2)(a x F =有且仅有四个解，求实数a 的取值范围．6．已知函数,ln )(m x a mx x f --=,)(x eexx g =其中a m ,均为实数． (1)求)(x g 的极值；(2)设,0,1<=a m 若对任意的),](4,3[,2121x x x x =/∈|)(1)(1||)()(|1212x g x g x f x f -<- 恒成立，求a 的最小值；(3)设,2=a 若对任意给定的],,0(0e x ∈在区间],0(e 上总存在),(,2121t t t t =/使得)()()(021x g t f t f ==成立，求m 的取值范围.参考答案1．D 2．B 3．2 4．01631321<<-x x x 5．解：函数x bx x g ln )(2-=的定义域为),,0(+∞(1),0)1('33)('2=⇒-=f a ax x f ,12)1('12)('-=⇒-=b g xbx x g 依题意,012=-b 所以⋅=21b (2))1,0(∈x 时，01)('<-=x x x g ，),1(+∞∈x 时，01)('>-=xx x g所以当1=x 时，)(x g 取得极小值;21)1(=g当0=a 时，方程2)(a x F =不可能有四个解：当)1,(,0--∞∈<x a 时，,0)('<x f )0,1(-∈x 时，,0)('>x f所以当1-=x 时，)(x f 取得极小值,2)1(a f =- 又,0)0(=f 所以)(x F 的图象如图所示： 从图象可以看出2)(a x F =不可能有四个解．当,0>a )1,(--∞∈x 时，,0)('>x f )0,1(-∈x 时，0)('<x f 所以当1-=x 时，)(x f 取得极大值.2)1(a f =-又,0)0(=f所以)(x F 的图象如图：从图象看出方程2)(a x F =有四个解，则a a 2212<< 所以实数a 的取值范围是)2,22(6．解：(1),)1()('xx e x g -=令,0)('=x g 得.1=x 列表如下：,1)1(=g )(x g y =∴的极大值为1，无极小值．(2)当0,1<=a m 时，,1ln )(--=x a x x f ),0(+∞∈x0)('>-=xax x f 在]4,3[恒成立，)(x f ∴在]4,3[上为增函数． 设exe x g x h x==)(1)(，0)1()('21>-=-x x e x h x 在]4,3[恒成立， ]4,3[)(在x h ∴上为增函数．设,12x x >则|)(1)(1||)()(|1212x g x g x f x f -<-等价于),()()()(1212x h x h x f x f -<- 即).()()()(1122x h x f x h x f -<-设,11ln )()()(x e ex a x x h x f x u x⋅---=-=则]4,3[)(在x u 为减函数，)4,3(0)1(11)('2在≤-⋅--=∴xx e e x a x u x 上恒成立． x e ex a x x 11--+-≥∴恒成立．设,)(11x e ex x v x x --+-=],43)211[(1)1(1)('21211+--=-+-=---x e x x e ex v x x x ],4,3[∈x ,143]43)211[(221>>+-∴-e x e x ,0)('<∴x v )(x v 为减函数．]4,3[)(在x v ∴上的最大值为.323)3(2e v -=,3232e a -≥∴∴a 的最小值为2323e -.(3)由(1)知],0()(e x g 在上的值域为]1,0(,ln 2)(m x mx x f --= ),,0(+∞∈x当0=m 时，],0(ln 2)(e x x f 在-=为减函数，不合题意，当0=/m 时，,)2()('xm x m x f -=由题意知],0()(e x f 在不单调，所以,20e m <<即⋅>em 2① 此时)2,0()(m x f 在上递减，在),2()(e mx f 在上递增，,1)(≥∴e f 即,12)(≥--=m me e f 解得⋅-≥13e m ② 由①②，得⋅-≥13e m ],,0(1e ∈ 0)1()2(=≤∴f m f 成立， 下证存在],2,0(m t ∈使得.1)(≥t f 取,m e t -=先证,2me m <-即证.02>-m e m③设,2)(x e x w x -=则012)('>-=xe x w 在),13[+∞-e 时恒成立， )(x w ∴在),13[+∞-e 时为增函数． ,0)13()(>-≥∴e w x w ∴③成立，再证.1)(≥-m e f,113)(>-≥>+=--e m m me e f m m 13-≥∴e m 时，命题成立． 综上所述，m 的取值范围为).,13[+∞-e。
高考数学二轮复习 考前数学思想领航 二 数形结合思想讲学案 理
二、数形结合思想方法一 函数图象数形沟通法 模型解法函数图象数形沟通法，即通过函数图象来分析和解决函数问题的方法，对于高中数学函数贯穿始终，因此这种方法是最常用的沟通方法．破解此类题的关键点：①分析数理特征，一般解决问题时不能精确画出图象，只能通过图象的大概性质分析问题，因此需要确定能否用函数图象解决问题．②画出函数图象，画出对应的函数、转化的函数或构造函数的图象． ③数形转化，这个转化实际是借助函数图象将难以解决的数理关系明显化． ④得出结论，通过观察函数图象得出相应的结论．典例1 设定义在R 上的函数f (x )是最小正周期为2π的偶函数，f ′(x )是f (x )的导函数．当x ∈[0，π]时，0≤f (x )≤1；当x ∈(0，π)且x ≠π2时，⎝⎛⎭⎪⎫x －π2f ′(x )>0.则函数y ＝f (x )－sin x 在[－3π，3π]上的零点个数为() A ．4 B ．5 C ．6 D ．8解析 ∵当x ∈[0，π]时，0≤f (x )≤1，f (x )是最小正周期为2π的偶函数， ∴当x ∈[－3π，3π]时，0≤f (x )≤1.∵当x ∈(0，π)且x ≠π2时，⎝⎛⎭⎪⎫x －π2f ′(x )>0，∴当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )为单调减函数；当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π时，f (x )为单调增函数， ∵当x ∈[0，π]时，0≤f (x )≤1，定义在R 上的函数f (x )是最小正周期为2π的偶函数，在同一坐标系中作出y ＝sin x 和y ＝f (x )的草图如图，由图知y ＝f (x )－sin x 在[－3π，3π]上的零点个数为6，故选C. 答案 C思维升华 由函数图象的变换能较快画出函数图象，应该掌握平移(上下左右平移)、翻折(关于特殊直线翻折)、对称(中心对称和轴对称)等基本转化法与函数解析式的关系． 跟踪演练1 已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (－x －1)＝f (x －1)，当x ∈[－1,0]时，f (x )＝－x 3，则关于x 的方程f (x )＝|cos πx |在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－52，12上的所有实数解之和为()A ．－7B ．－6C ．－3D ．－1答案 A解析 因为函数f (x )为偶函数，所以f (－x －1)＝f (x ＋1)＝f (x －1)，所以函数f (x )的周期为2，如图，在同一平面直角坐标系内作出函数y ＝f (x )与y ＝|cos πx |的图象，由图知关于x 的方程f (x )＝|cos πx |在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－52，12上的实数解有7个．不妨设7个解中x 1<x 2<x 3<x 4<x 5<x 6<x 7，则由图得x 1＋x 2＝－4，x 3＋x 5＝－2，x 4＝－1，x 6＋x 7＝0，所以方程f (x )＝|cos πx |在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－52，12上的所有实数解的和为－4－2－1＋0＝－7，故选A.方法二 几何意义数形沟通法 模型解法几何意义数形沟通法即在解决问题的过程中对题目中的一些代数式进行几何意义分析，将其转化为与几何结构相关的问题，通过解决几何问题达到解决代数问题的目的．此方法适用于难以直接解决的抽象问题，可利用图形使其直观化，再通过图形的性质快速解决问题．破解此类题的关键点：①分析特征，一般从图形结构、性质等方面分析代数式是否具有几何意义． ②进行转化，把要解决的代数问题转化为几何问题．③得出结论，将几何问题得出的结论回归到代数问题中，进而得出结论．典例2 如果实数x ，y 满足(x －2)2＋y 2＝3，则yx的最大值为() A.12 B.33 C.32D. 3 解析 方程(x －2)2＋y 2＝3的几何意义为坐标平面上的一个圆，圆心为M (2,0)，半径为r ＝3(如图)，而y x ＝y －0x －0则表示圆M 上的点A (x ，y )与坐标原点O (0，0)的连线的斜率．所以该问题可转化为动点A 在以M (2,0)为圆心，以3为半径的圆上移动，求直线OA 的斜率的最大值．由图可知当∠OAM 在第一象限，且直线OA 与圆M 相切时，OA 的斜率最大，此时OM ＝2，AM ＝3，OA ⊥AM ，则OA ＝OM 2－AM 2＝1，tan ∠AOM ＝AMOA ＝3，故y x的最大值为3，故选D. 答案 D思维升华 解决此类问题需熟悉几何结构的代数形式，一般从构成几何图形的基本因素进行分析，主要有(1)比值——可考虑直线的斜率． (2)二元一次式——可考虑直线的截距． (3)根式分式——可考虑点到直线的距离． (4)根式——可考虑两点间的距离．跟踪演练2 设点P (x ，y )满足：301011x y x y x y ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩＋－，－＋，，，≤≥≥≥则y x －x y 的取值范围是()A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，32C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1 D ．[－1,1]答案 B解析 作出不等式组301011x y x y x y ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩＋－，－＋，，，≤≥≥≥所表示的可行域，如图阴影部分所示(包括边界)，其中A (2,1)，B (1,2)，令t ＝y x，f (t )＝t－1t，根据t 的几何意义可知，t 为可行域内的点与坐标原点连线的斜率，连接OA，OB ，显然OA 的斜率12最小，OB 的斜率2最大，即12≤t ≤2.由于函数f (t )＝t －1t 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上单调递增，故－32≤f (t )≤32，即y x －x y 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，32. 方法三 圆锥曲线数形沟通法 模型解法圆锥曲线数形沟通法是根据圆锥曲线中许多对应的长度、数式等都具有一定的几何意义，挖掘题目中隐含的几何意义，采用数形结合思想，快速解决某些相应的问题．破解此类题的关键点：①画出图形，画出满足题设条件的圆锥曲线的图形，以及相应的线段、直线等．②数形求解，通过数形结合，利用圆锥曲线的定义、性质、直线与圆锥曲线的位置关系、圆与圆锥曲线的位置关系等进行分析与求解．③得出结论，结合题目条件进行分析，得出所要求解的结论．典例3 已知点P 在抛物线y 2＝4x 上，那么点P 到点Q (2，－1)的距离与点P 到抛物线焦点的距离之和取得最小值时，点P 的坐标为()A.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，－1B.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，1 C ．(1,2) D ．(1，－2)解析 点P 到抛物线焦点的距离等于点P 到抛物线准线的距离，如图所示，设焦点为F ，过点P 作准线的垂线，垂足为S ，则|PF |＋|PQ |＝|PS |＋|PQ |，故当S ，P ，Q 三点共线时取得最小值，此时P ，Q 的纵坐标都是－1，设点P 的横坐标为x 0，代入y 2＝4x 得x 0＝14，故点P的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫14，－1，故选A.答案 A思维升华 破解圆锥曲线问题的关键是画出相应的图形，注意数和形的相互渗透，并从相关的图形中挖掘对应的信息进行研究．直线与圆锥曲线的位置关系的转化有两种，一种是通过数形结合建立相应的关系式，另一种是通过代数形式转化为二元二次方程组的解的问题进行讨论．跟踪演练3 已知抛物线的方程为x 2＝8y ，F 是其焦点，点A (－2,4)，在此抛物线上求一点P ，使△APF 的周长最小，此时点P 的坐标为________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，12解析 因为(－2)2<8×4，所以点A (－2,4)在抛物线x 2＝8y 的内部，如图所示，设抛物线的准线为l ，过点P 作PQ ⊥l 于点Q ，过点A 作AB ⊥l 于点B ，连接AQ ，由抛物线的定义可知，△APF 的周长为|PF |＋|PA |＋|AF |＝|PQ |＋|PA |＋|AF |≥|AQ |＋|AF |≥|AB |＋|AF |，当且仅当P ，B ，A 三点共线时，△APF 的周长取得最小值，即|AB |＋|AF |.因为A (－2,4)，所以不妨设△APF 的周长最小时，点P 的坐标为(－2，y 0)，代入x 2＝8y ，得y 0＝12，故使△APF 的周长最小的点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，12.。
解题方法突破+数形结合第二讲：数形结合(下)课件--名师微课堂
超级记忆法-记忆 规律
TIP3：另外，还有研究表明，记忆在我们的睡眠过程中也并未停止，我们的大 脑 会归纳、整理、编码、储存我们刚接收的信息。所以，睡前的这段时间可是 非常 宝贵的，不要全部用来玩手机哦~
TIP4：早晨起床后，由于不受前摄抑制的影响，我们可以记忆一些新的内容或 者 复习一下昨晚的内容，那么会让你记忆犹新。
2.把你学到的内容分享给别人； 3.如果别人通过你的语言能比较容易的理解，说明你掌握的还不错； 4.如果你觉得费了九牛二虎之力，别人却依然搞不懂， 除去语言表达等方面的问题，很大的原因是你自己还没搞清楚这个知识；
5.如果别人问了你一个问题，你就不知道怎么回答了，说明学的还不够全面； 6.通过别人的反馈，自己的实践，再次检验自己哪儿学的不扎实， 再返回去
身体记忆法小妙招
超级记忆法--故 事法
• 鲁迅本名：周树人
• 主要作品：《阿Q正传》、《药
》、
、
• 《狂人日记》、《呐喊》、《孔 乙己》
• 《故乡》、《社戏》、《祝福》
。
（图片来自网络）
超级记忆法-记忆 方法
TIP1：NPC代入，把自己想成其中的人物，会让自己的记忆过程更加有趣 （比如你穿越回去，成为了岳飞的母亲，你会在什么背景下怀着怎样的心情在 背 上刺下“精忠报国”四个字）；
如何利用规律实现更好记忆呢？
超级记忆法-记忆 规律
记忆中
选择恰当的记忆数量
魔力之七：美国心理学家约翰·米勒曾对短时记忆的广 度进行过比较精准的测定：通常情况下一个人的记忆 广度为7±2项内容。
超级记忆法-记忆 规律
TIP1：我们可以选择恰当的记忆数量——7组之内！ TIP2：很多我们觉得比较容易背的古诗词，大多不超过七个字，很大程度上也 是因 为在“魔力之七”范围内的缘故。我们可以把要记忆的内容拆解组合控制 在7组之 内（每一组不代表只有一个字哦，这7组中的每一组容量可适当加大）。 TIP3：比 如我们记忆一个手机号码18820568803，如果一个一组的记忆，我 们就要记11组，而如果我们拆解一下，按照188-2056-8803，我们就只需要 记忆3 组就可以了，记忆效率也会大大提高。
专题7第2讲数形结合思想 公开课一等奖课件
解析 作出 f(x)的大致图象．
由图象知，要使 f(a)＝f(b)＝f(c)，不妨设 a<b<c，则 －lg a＝lg b＝－21c＋6. ∴lg a＋lg b＝0， ∴ab＝1，∴abc＝c. 由图知 10<c<12，∴abc∈(10,12)． 答案 C
考题分析 本小题考查了分段函数的特征及性质．考查 了对数函数及其运算．重点考查了解决问题的方法即数 形结合的思想方法．体现了对知识和能力的双重考查． 易错提醒 (1)找不到问题解决的突破口，即想不到用数
则不等式f(x)－xf(－x)<0 的解集为
()
A．(－1,0)∪(1，＋∞)
B．(－∞，－1)∪(0,1)
C．(－∞，－1)∪(1，＋∞) D．(－1,0)∪(0,1)
思维启迪 (1)在同一坐标系中画出 y＝f(x)和 y＝lg x 的 图象，由它们交点个数判断方程的解的个数；(2)f(x)－ f(－x)＝2f(x)，画出 y＝2f(x)的大致图象，f(x)与 x 异号的 区间，即为不等式的解集．
第 2 讲 数形结合思想
感悟高考 明确考向
|lg x|， 0<x≤10，
(2010·全国)已知函数 f(x)＝－12x＋6， x>10，
若
a，b，c 互不相等，且 f(a)＝f(b)＝f(c)，则 abc 的取值范
Байду номын сангаас
围是 A．(1,10)
B．(5,6)
()
C．(10,12)
D．(20,24)
从而|PA|＝ |PC|2－|AC|2＝2 2. ∴(S 四边形 PACB)min＝2×12×|PA|×|AC|＝2 2. 这是运动变化的思想帮助我们打开了解题的思路．
2021高考数学(文)二轮复习策略《数形结合思想》
2.数形结合思想以形助数(数题形解)以数辅形(形题数解)借助形的生动性和直观性来阐述数之间的关系，把数转化为形，即以形作为手段，数作为目的解决数学问题的数学思想.借助于数的精确性和规范性及严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的解决问题的数学思想.数形结合思想通过“以形助数，以数辅形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，它是数学的规律性与灵活性的有机结合.应用1 解决方程的根或函数零点问题 【典例1】 (1)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋34，x ≥2，log 2x ，0＜x ＜2.若函数g (x )＝f (x )－k 有两个不同的零点，则实数k 的取值范围是________．(2)设方程10x ＝|lg(－x )|的两个根分别为x 1，x 2，则( ) A ．x 1x 2＜0 B ．x 1x 2＝1 C ．x 1x 2＞1D ．0＜x 1x 2＜1(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫34，1 (2)D [(1)画出函数f (x )的图象如图．要使函数g (x )＝f (x )－k 有两个不同零点，只需y ＝f (x )与y ＝k 的图象有两个不同的交点，由图象易知k ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫34，1.(2)本题考查函数的性质，在同一坐标系下，画出函数y ＝10x 与y ＝|lg(－x )|的图象(图略)，结合图象不难看出，它们的两个交点中，其中一个交点横坐标属于(－∞，－1)，另一个交点横坐标属于(－1,0)，即在x 1，x 2中，其中一个属于(－∞，－1)，另一个属于(－1,0)，不妨设x 1∈(－∞，－1)，x 2∈(－1,0)，则有10x 1＝|lg(－x 1)|＝lg(－x 1)，10x 2＝|lg(－x 2)|＝－lg(－x 2)，10x 1－10x 2＝lg(－x 1)＋lg(－x 2)＝lg(x 1x 2)＜0，故0＜x 1x 2＜1，故选D.]用图象法讨论方程(特别是含参数的指数、对数、根式、三角等复杂方程)的解(或函数零点)的个数是一种重要的方法，其基本思想是先把方程两边的代数式看作是两个熟悉的函数表达式(不熟悉时，需要作适当的变形转化为两个熟悉的函数)，然后在同一坐标系中作出两个函数的图象，图象的交点个数即为方程解(或函数零点)的个数.【对点训练1】 若关于x 的方程|x |x ＋4＝kx 2有四个不同的实数解，则k 的取值范围为________．⎝ ⎛⎭⎪⎫14，＋∞ [当x ＝0时，显然是方程的一个实数解； 当x ≠0时，方程|x |x ＋4＝kx 2可化为1k ＝(x ＋4)|x |(x ≠－4)，设f (x )＝(x ＋4)|x |(x ≠－4且x ≠0)，y ＝1k ，原题可以转化为两函数有三个非零交点．则f (x )＝(x ＋4)|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ，x ＞0，－x 2－4x ，x ＜0且x ≠－4的大致图象如图所示，由图，易得0＜1k ＜4， 解得k ＞14.所以k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫14，＋∞.]【对点训练2】 已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (－x －1)＝f (x －1)，当x ∈[－1,0]时，f (x )＝－x 3，则关于x 的方程f (x )＝|cos πx |在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－52，12上的所有实数解之和为________．－7 [因为函数f (x )为偶函数，所以f (－x －1)＝f (x ＋1)＝f (x －1)，所以函数f (x )的周期为2.又当x ∈[－1,0]时，f (x )＝－x 3，由此在同一平面直角坐标系内作出函数y ＝f (x )与y ＝|cos πx |的图象如图所示．由图象知关于x 的方程f (x )＝|cos πx |在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－52，12上的实数解有7个．不妨设x 1＜x 2＜x 3＜x 4＜x 5＜x 6＜x 7，则由图得x 1＋x 2＝－4，x 3＋x 5＝－2，x 4＝－1，x 6＋x 7＝0，所以方程f (x )＝|cos πx |在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－52，12上的所有实数解的和为－4－2－1＋0＝－7.]应用2 求解不等式或参数范围【典例2】 若不等式4x 2－log a x <0对任意x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14恒成立，则实数a 的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1256，1B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫1256，1 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1256 D.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，1256B [由已知4x 2<log a x 对任意x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14恒成立，相当于在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14上，函数y ＝log a x 的图象恒在函数y ＝4x 2图象的上方，显然当a >1时，不成立，当0＜a ＜1时，如图，只需log a 14≥4×⎝ ⎛⎭⎪⎫142⇒a 14≥14⇒a ≥1256， 又0＜a ＜1，故a ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫1256，1.故选B.]求参数范围或解不等式问题经常用到函数的图象，根据不等式中量的特点，选择适当的两个(或多个)函数，利用两个函数图象的上、下位置关系转化为数量关系来解决问题，往往可以避免繁琐的运算，获得简捷的解答.【对点训练3】 设A ＝{(x ，y )|x 2＋(y －1)2＝1}，B ＝{(x ，y )|x ＋y ＋m ≥0}，则使A ⊆B 成立的实数m 的取值范围是________．[2－1，＋∞) [集合A 是一个圆x 2＋(y －1)2＝1上的点的集合，集合B 是一个不等式x ＋y ＋m ≥0表示的平面区域内的点的集合，要使A ⊆B ，则应使圆被平面区域所包含(如图)，如直线x ＋y ＋m ＝0应与圆相切或相离(在圆的下方)，而当直线与圆相切时有|m ＋1|2＝1，又m ＞0，所以m ＝2－1，故m 的取值范围是[2－1，＋∞)．]【对点训练4】 若不等式|x －2a |≥12x ＋a －1对x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是________．⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12 [作出y ＝|x －2a |和y ＝12x ＋a －1的简图，依题意知应有2a ≤2－2a ，故a ≤12.]应用3 求解解析几何问题【典例3】 (2019·成都模拟)设双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右顶点分别为A 1，A 2，左、右焦点分别为F 1，F 2，以F 1F 2为直径的圆与双曲线左支的一个交点为P .若以A 1A 2为直径的圆与直线PF 2相切，则双曲线C 的离心率为( )A.2B. 3 C ．2 D. 5D [如图所示，设以A 1A 2为直径的圆与直线PF 2的切点为Q ，连接OQ ，则OQ ⊥PF 2.又PF 1⊥PF 2，O 为F 1F 2的中点，所以|PF 1|＝2|OQ |＝2a .又|PF 2|－|PF 1|＝2a ，所以|PF 2|＝4a .在Rt △F 1PF 2中，|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2⇒4a 2＋16a 2＝20a 2＝4c 2⇒e ＝c a ＝5.](1)在解析几何的解题过程中，通常要数形结合，这样使数更形象，更直白，充分利用图象的特征，挖掘题中所给的代数关系式和几何关系式，避免一些复杂的计算，给解题提供方便.(2)应用几何意义数形结合法解决问题需要熟悉常见的几何结构的代数形式，主要有：①比值——可考虑直线的斜率；②二元一次式——可考虑直线的截距；③根式分式——可考虑点到直线的距离；④根式——可考虑两点间的距离.【对点训练5】已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1和两点A(－m,0)，B(m,0)(m ＞0)．若圆C上存在点P，使得∠APB＝90°，则m的最大值为() A．7B．6C．5D．4B[根据题意，画出示意图，如图所示，则圆心C的坐标为(3,4)，半径r＝1，且|AB|＝2m，因为∠APB＝90°，连接OP，易知|OP|＝12|AB|＝m.要求m的最大值，即求圆C上的点P到原点O的最大距离．因为|OC|＝32＋42＝5，所以|OP|max＝|OC|＋r＝6，即m的最大值为6.]【对点训练6】已知P是直线l：3x＋4y＋8＝0上的动点，P A，PB是圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0的两条切线，A，B是切点，C是圆心，则四边形P ACB面积的最小值为________．22[由题意知圆的圆心C(1,1)，半径为1，从运动的观点看问题，当动点P沿直线3x＋4y＋8＝0向左上方或右下方无穷远处运动时，直角三角形P AC的面积S△P AC＝12·|P A|·|AC|＝12|P A|越来越大，从而S四边形P ACB也越来越大；当点P从左上、右下两个方向向中间运动，S四边形P ACB变小，显然，当点P到达一个最特殊的位置，即CP垂直于直线l时，S四边形P ACB应有唯一的最小值，此时|PC|＝|3×1＋4×1＋8|32＋42＝3，从而|P A|＝|PC|2－|AC|2＝22，所以(S四边形P ACB)min＝2×12×|P A|×|AC|＝2 2.]。
第讲数形结合思想高三高考数学二轮复习课件
()
数形结合思想通过“以形助数，以数辅形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，它是数学的规律性与灵活性的有机结合．
(2)(2020·长春模拟)已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1和两点A(－m,0)，B(m,0)(m>0)．若圆C上存在点P，使得∠APB＝90°，则m的最大值为
●
()
● A．7 ● C．5
B．6
B
D．4
●
【解析】 (1)在同一坐标系中作出三个函数y＝x2＋1，
● y＝x＋3，y＝13－x的图象如图：
● 由图可知，在实数集R上，
min{x2＋1，x＋3,13－x}为 y＝x＋3 上 A 点下方的射线，抛物线 AB 之间的部分，线段 BC，与直线 y＝13－x 点 C 下方的部分的组合图．显 然，在区间[0，＋∞)上，在 C 点时，y＝min{x2＋1，x＋3,13－x}取得最 大值．
应用三 数形结合思想在解决最值问题中的应用
不妨0＜x1＜1＜x2，则2－x1＝－log2x1,2－x2＝log2x2，
不妨0＜x1＜1＜x2，则2－x1＝－log2x1,2－x2＝log2x2，
∴所求不等式的解集为(－5,2)．
(1)(2020·张家口二模)已知方程2－x－|log2x|＝0的两根分别为x1，x2，则
max ∴适l当og变2(形x1转x2化)＜为0两，个故熟0悉＜的x函1x数2＜)，1再，在同一平面直角坐标系中作出两个函数的图象，图象的交点个数即为方程解(或函数零点)的个数．
(∴1lo)g对2(于x1几x2)何＜图0，形故中0＜的x1动x2态＜1问，题，应分析各个变量的变化过程，找出其中的相互关系求解．
高三数学二轮复习第二篇数学思想2.2数形结合思想课件理新人教版
由图知，两函数图象(tú xiànɡ)有2个交点， 所以函数f(x)有2个零点.
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【规律方法】利用数形结合探究方程解的问题的关注点 (1)讨论方程的解(或函数的零点)一般可构造两个函数, 使问题转化为讨论两曲线的交点(jiāodiǎn)问题,但用此 法讨论方程的解一定要注意图象的准确性、全面性,否则 会得到错解.
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2.若实数x,y满足等式(děngshì)x2+y2=1,y那么
x2
(
的最大值为 )
A. 1 B. 3 C. 3 D. 3
2
3
2
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【解析(jiě xī)】选B.设y k= ,如图所示,
x2
kPB=tan∠OPB=1 ＝ 3k，PA=-tan∠OPA=- 3 ,
3
同的交点,
所以函数f(x)=
ln
x,
x
［与1,y3=］,ax在区间
三个不同的交点,2ln
x,
x
[1 3
,1)，
内有[ 1，3]
3
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作函数f(x)= 图象如图,
ln
x, x与［y1=,3a］x, 在区间(qū
jiān)
2ln
x,
x
[
1 3
,1)，
[ 1内，3]的 3
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作出满足上述不等式组对应的点(a,b)所在的平面区域, 得到△ABC及其内部,即如图所示的阴影(yīnyǐng)部分(不含边 界).
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其中A(-3,1),B(-2,0),C(-1,0),
高三数学第二轮专题讲座复习：数形结合思想
张喜林制[选取日期]高三数学第二轮专题讲座复习：数形结合思想高考要求数形结合思想在高考中占有非常重要的地位，其“数”与“形”结合，相互渗透，把代数式的精确刻划与几何图形的直观描述相结合，使代数问题、几何问题相互转化，使抽象思维和形象思维有机结合 应用数形结合思想，就是充分考查数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义又揭示其几何意义，将数量关系和空间形式巧妙结合，来寻找解题思路，使问题得到解决 运用这一数学思想，要熟练掌握一些概念和运算的几何意义及常见曲线的代数特征 重难点归纳应用数形结合的思想，应注意以下数与形的转化 （1）集合的运算及韦恩图 （2）函数及其图象（3）数列通项及求和公式的函数特征及函数图象 （4）方程（多指二元方程）及方程的曲线以形助数常用的有 借助数轴；借助函数图象；借助单位圆；借助数式的结构特征；借助于解析几何方法以数助形常用的有 借助于几何轨迹所遵循的数量关系；借助于运算结果与几何定理的结合典型题例示范讲解例1设A ={x ｜–2≤x ≤a }，B ={y ｜y =2x +3，且x ∈A }，C ={z ｜z =x 2，且x ∈A }，若C ⊆B ，求实数a 的取值范围命题意图 本题借助数形结合，考查有关集合关系运算的题目知识依托 解决本题的关键是依靠一元二次函数在区间上的值域求法确定集合C 进而将C ⊆B 用不等式这一数学语言加以转化错解分析 考生在确定z =x 2，x ∈［–2,a ］的值域是易出错，不能分类而论 巧妙观察图象将是上策 不能漏掉a ＜–2这一种特殊情形技巧与方法 解决集合问题首先看清元素究竟是什么，然后再把集合语言“翻译”为一般的数学语言，进而分析条件与结论特点，再将其转化为图形语言，利用数形结合的思想来解决解 ∵y =2x +3在［–2, a ］上是增函数∴–1≤y ≤2a +3，即B ={y ｜–1≤y ≤2a +3}作出z =x 2的图象，该函数定义域右端点x =a 有三种不同的位置情况如下①当–2≤a ≤0时，a 2≤z ≤4即C ={z ｜a 2≤z ≤4}要使C ⊆B ,必须且只须2a +3≥4得a ≥21与–2≤a ＜0矛盾 ②当0≤a ≤2时，0≤z ≤4即C ={z ｜0≤z ≤4}，要使C ⊆B ，由图可知必须且只需⎩⎨⎧≤≤≥+20432a a 解得21≤a ≤2③当a ＞2时，0≤z ≤a 2，即C ={z ｜0≤z ≤a 2}，要使C ⊆B 必须且只需⎩⎨⎧>+≤2322a a a 解得2＜a ≤3 ④当a ＜–2时，A =∅此时B =C =∅，则C ⊆B 成立综上所述，a 的取值范围是(–∞,–2)∪［21,3］ 例2已知a cos α+b sin α=c , a cos β+b sin β=c (ab ≠0,α–β≠k π, k ∈Z )求证22222c o sb a +=-βα 命题意图 本题主要考查数学代数式几何意义的转换能力知识依托 解决此题的关键在于由条件式的结构联想到直线方程 进而由A 、B 两点坐标特点知其在单位圆上错解分析 考生不易联想到条件式的几何意义，是为瓶颈之一 如何巧妙利用其几何意义是为瓶颈之二技巧与方法 善于发现条件的几何意义，还要根据图形的性质分析清楚结论的几何意义，这样才能巧用数形结合方法完成解题证明:在平面直角坐标系中，点A （cos α,sin α）与点B （cos β, sin β）是直线l :ax +by =c 与单位圆x 2+y 2=1的两个交点如图从而 ｜AB ｜2=(cos α–cos β)2+(sin α–sin β)2=2–2cos(α–β) 又∵单位圆的圆心到直线l 的距离22||ba c d +=由平面几何知识知｜OA ｜2–(21｜AB ｜)2=d 2即 b a c d +==---2224)cos(221βα∴22222cos ba c +=-βα 例3曲线y =1+24x - (–2≤x ≤2)与直线y =r (x –2)+4有两个交点时，实数r 的取值范围解析 方程y =1+24x -的曲线为半圆，y =r (x –2)+4为过（2，4）的直线答案 （43,125］ 例4设f (x )=x 2–2ax +2,当x ∈［–1,+∞)时，f (x )＞a 恒成立，求a 的取值范围 解法一 由f (x )＞a ，在［–1,+∞)上恒成立 ⇔x 2–2ax +2–a ＞0在［–1,+∞)上恒成立考查函数g (x )=x 2–2ax +2–a 的图象在［–1,+∞］时位于x 轴上方 如图两种情况不等式的成立条件是(1)Δ=4a 2–4(2–a )＜0⇒a ∈(–2,1)(2)⇒⎪⎩⎪⎨⎧>--<≥∆0)1(10g a a ∈(–3,–2]， 综上所述a ∈(–3,1)解法二 由f (x )＞a ⇔x 2+2＞a (2x +1)令y 1=x 2+2,y 2=a (2x +1),在同一坐标系中作出两个函数的图象如图满足条件的直线l 位于l 1与l 2之间，而直线l 1、l 2对应的a 值（即直线的斜率）分别为1，–3， 故直线l 对应的a ∈(–3,1) 学生巩固练习1 方程sin(x –4π)=41x 的实数解的个数是( ) A 2 B 3 C 4 D 以上均不对2 已知f (x )=(x –a )(x –b )–2（其中a ＜b )，且α、β是方程f (x )=0的两根（α＜β)，则实数a 、b 、α、β的大小关系为( )A α＜a ＜b ＜βB α＜a ＜β＜bC a ＜α＜b ＜βD a ＜α＜β＜b3(4cos θ+3–2t )2+(3sin θ–1+2t )2，(θ、t 为参数)的最大值是4 已知集合A ={x ｜5–x ≥)1(2-x },B ={x ｜x 2–ax ≤x –a }，当A B 时，则a 的取值范围是5 设关于x 的方程sin x +3cos x +a =0在（0,π）内有相异解α、β（1）求a 的取值范围； （2）求tan(α+β)的值6 设A ={(x ,y )｜y =222x a -,a ＞0}，B ={(x ,y )｜(x –1)2+(y –3)2=a 2,a ＞0},且A ∩B≠∅，求a 的最大值与最小值 参考答案1 解析 在同一坐标系内作出y 1=sin(x –4π)与y 2=41x 的图象如图答案 B2 解析 a ,b 是方程g (x )=(x –a )(x –b )=0的两根，在同一坐标系中作出函数f (x )、g (x )的图象如图所示 答案 A3 解析 联想到距离公式，两点坐标为A (4cos θ,3sin θ),B (2t –3,1–2t )点A的几何图形是椭圆，点B 表示直线 考虑用点到直线的距离公式求解 答案227 4 解析 解得A ={x ｜x ≥9或x ≤3}，B ={x ｜(x –a )(x –1)≤0}，画数轴可得 答a ＞35 解 ①作出y =sin(x +3π)(x ∈(0,π))及y =–2a 的图象，知当｜–2a ｜＜1且–2a ≠23时，曲线与直线有两个交点， 故a ∈(–2,–3)∪(–3,2)②把sin α+3cos α=–a ,sin β+3cos β=–a 相减得tan 332=+βα， 故tan(α+β)=36 解 ∵集合A 中的元素构成的图形是以原点O 为圆心，2a 为半径的半圆；集合B 中的元素是以点O ′(1,3)为圆心，a 为半径的圆 如图所示∵A ∩B ≠∅，∴半圆O 和圆O ′有公共点 显然当半圆O 和圆O ′外切时，a 最小2a +a =｜OO ′｜=2,∴a min =22–2当半圆O 与圆O ′内切时，半圆O 的半径最大，即2a 最大此时2a –a =｜OO ′｜=2,∴a max =22+2。
二轮复习专题八第2讲数形结合思想
第 2 讲数形结合思想其应用大致可以分为1．数形结合的数学思想：包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，两种情形：一是借助形的生动性和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数作为目的，比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质；二是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质．2．运用数形结合思想分析解决问题时，要遵循三个原则：(1)等价性原则．在数形结合时，代数性质和几何性质的转换必须是等价的，否则解题将会出现漏洞．有时，由于图形的局限性，不能完整的表现数的一般性，这时图形的性质只能是种直观而浅显的说明，要注意其带来的负面效应．(2)双方性原则．既要进行几何直观分析，又要进行相应的代数抽象探求，仅对代数问题进行几何分析容易出错．(3)简单性原则．不要为了有利；二要选择好突破口，数形结合”而数形结合．具体运用时，一要考虑是否可行和是否恰当设参、用参、建立关系、做好转化；三要挖掘隐含条件，准确界定参变量的取值范围，特别是运用函数图象时应设法选择动直线与定二次曲线．3．数形结合思想解决的问题常有以下几种：(1)构建函数模型并结合其图象求参数的取值范围．(2)构建函数模型并结合其图象研究方程根的范围．(3)构建函数模型并结合其图象研究量与量之间的大小关系．(4)构建函数模型并结合其几何意义研究函数的最值问题和证明不等式．(5)构建立体几何模型研究代数问题．(6)构建解析几何中的斜率、截距、距离等模型研究最值问题．(7)构建方程模型，求根的个数．(8)研究图形的形状、位置关系、性质等．4．数形结合思想是解答高考数学试题的一种常用方法与技巧，发挥着奇特功效， 这就要求我们在平时学习中加强这方面的训练， 体操作时，应注意以下几点：(1)准确画出函数图象，注意函数的定义域．(2)用图象法讨论方程 (特别是含参数的方程 )的解的个数是一种行之有效的方法，值得注意的 是首先要把方程两边的代数式看作是两个函数的表达式 (有时可能先作适当调整，以便于作 图)，然后作出两个函数的图象，由图求解．热点一 利用数形结合思想讨论方程的根特别是在解选择题、 填空题时 以提高解题能力和速度． 具1 (2014 •东)已知函数f(x) =|x—2汁1, g(x)=kx，若方程f(x) = g(x)有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是(A. (0，2)B. (2, 1)D . (2,+s)C. (1,2)答案 B解析先作出函数f(x)= |x-2+ 1的图象，如图所示，当直线g(x)朋同―21*1=kx与直线AB平行时斜率为1，当直线g(x) = kx过A点时斜率ft为1，故f(x)= g(x)有两个不相等的实根时，k的范围为(1，1).思维升华用函数的图象讨论方程(特别是含参数的指数、对数、根式、三角等复杂方程)的解的个数是一种重要的思想方法，其基本思想是先把方程两边的代数式看作是两个熟悉函数的表达式(不熟悉时，需要作适当变形转化为两个熟悉的函数)，然后在同一坐标系中作出两个函数的图象，图象的交点个数即为方程解的个数.x2＋ bx＋c, xW 0,设函数f(x)= 若f( —4)2, x>0,=f(0), f( —2) = —2，则关于x的方程f(x) = x的解的个数为( )A．1 B．2C．3 D．4答案解析由f( —4) = f(0), f(- 2)=-2,解得X2 + 4x+ 2, xW 0, b= 4, c = 2, ••• f(x) =2, x>0.作出函数y= f(x)及y= x的函数图象如图所示, 由图可得交点有 3 个．热点二利用数形结合思想解不等式、求参数范围⑴已知奇函数f(x)的定义域是｛X|XM 0 ,x€ R｝，且在(0,+^ )上单调递增，若f(1) = 0,则满足X •(x)<0的X的取值范围是⑵若不等式|x—2a|>\+ a—1对x€ R恒成立，则a的取值范围是答案(1)( —1,0) U (0,1)解析(1)作出符合条件的一个函数图象草图即可，由图可知的取值范围是(一1,0) U (0,1).1(2)作出y=X —2a|和y =只+ a—1的简图，依题意知应有X所以 m = 72 — 1,故m 的取值范围是m 》Q 2— 1. ⑵令 0 = 79 — X 2,y 2= k(x + 2) —/2，在同一个坐标系中作出其图象，因 p 9 - X 2 W k(x+2) —U 2 的解集为［a , b ］且 b — a = 2.结合图象知b = 3, a = 1,即直线与圆的交点坐标为(1,^2) •思维升华 求参数范围或解不等式问题时经常联系函数的图象，根据不等式中量的特点，选 择适当的两个(或多个)函数，利用两个函数图象的上、下位置关系转化数量关系来解决问题, 往往可以避免烦琐的运算，获得简捷的解答.(1)设 A ={(x , y)|x 2 + (y — 1)2= 1} , B ={(x ,y)|x + y + mA 0｝，则使A? B 成立的实数 m 的取值范围是 (2)若不等式 寸9— x 2w k(x + 2)—羽的解集为区间[a , b], 答案且 b — a = 2,贝U k = (1)［<2 — 1,+- ) (2)迄解析 (1)集合A 是一个圆x 2+ (y — 1)2= 1上的点的集合, 集合B 是一个不等式 x + y + mA 0表示的平面区域内的点的集合, 要使 A? B ,则应使圆被平面区域所包含 (如图)，即直线圆相切或相离(在圆的下方)，而当直线与圆相切时有|m +1|p^= 1，又 m >0,yx +y + m = 0 应与 7 / OC-2.-4I)又因为点(一2在直线上, 所以 k= 4 =V 2.1 +2 T热点三利用数形结合思想解最值问题(1)已知P 是直线1: 3x + 4y + 8= 0上的动点，PA 、PB 是圆X 2+ y 2— 2x — 2y + 1 = 0的两条切线，A 、B 是切点，C 是圆心，则四边形PACB 面积的最小值为X — 2y + 1》0⑵已知点P(x , y)的坐标X , y 满足‘ 则X 2+ y 2— 6x + 9的取值范围是()|x|— y — K 0,B . [2,16] D . [4,16]A . [2,4] C . [4,10]答案（1）2^2 （2）B解析(1)从运动的观点看问题，当动点P沿直线3x+ 4y+ 8 = 0向左上方或右下方无穷远处运动时，直角三角形1 FAC 的面积S Rt △PAC= 2|PA| |AC|= 2|FA|越来越大，从而S四边形PACB也越来越大；当点P从左jfA7lT+4y+上、右下两个方向向中间运动时，S四边形PACB变小，显然，当点P到达一个最特殊的位置, 即CP垂直直线I时，S四边形PACB应有唯一的最小值，|3X 1 + 4 X 1 + 8|此时|PC|=----- L——:—=3,寸32+ 42从而|"|=寸|PC|2- |AC |2= 2血所以（S 四边形PACB）min = 2 X IPAI^ |AC|= 2护.(2)画出可行域如图，所求的X2+ y2-6x+ 9 = (x-3)2+ y2是点Q(3,0)到可行域上的点的距离的平方，由图形知最小值为Q到射线X- y- 1 = 0(x>0) 的距离d的平方，最大值为|QA|2= 16.••• d2= （）2=心）2= 2.彳12+ - 1 2•••取值范围是[2,16]. ¥-叮fl思维升华(1)在几何的一些最值问题中，可以根据图形的性质结合图形上点的条件进行转换，快速求得最值.⑵如果(不)等式、代数式的结构蕴含着明显的几何特征，就要考虑用数形结合的思想方法来解题，即所谓的几何法求解.(1)(2013 重庆)设 P 是圆(X — 3)2 + (y + 1)2= 4x =— 3上的动点，贝y |PQ|的最小值为( )yw 2,(2)可行域如图所示.又y 的几何意义是可行域内的点与坐标原点连线的斜率X由图知，过点A 的直线OA 的斜率最小.X — y + 1 = 0,联立y = 2,所以koA =—=2.所以X 的最小值为2.上的动点，Q 是直线A . 6B . 4C . 3(2)若实数X 、 y 满足 X — y + K 0,x>0,则y 的最小值是答案(1)B (2)2解析⑴由题意，知圆的圆心坐标为 (3，— 1)，圆的半径长为2, |PQI 的最小值为圆心到直线 x =—3的距离减去圆的半径长，所以|PQ|min = 3— (— 3) — 2 = 4.故选 B.k.得 A(1,2),1．在数学中函数的图象、方程的曲线、不等式所表示的平面区域、向量的几何意义、复数的几何意义等都实现以形助数的途径，当试题中涉及这些问题的数量关系时，我们可以通过图形分析这些数量关系，达到解题的目的．2．有些图形问题，单纯从图形上无法看出问题的结论，这就要对图形进行数量上的分析，通过数的帮助达到解题的目的．3．利用数形结合解题，有时只需把图象大致形状画出即可，不需要精确图象．4．数形结合思想常用模型：一次、二次函数图象；斜率公式；两点间的距离公式模、复（或向量的数的模）；点到直线的距离公式等.ln (x + 1) > ax 成立.比较对数函数与一次函数 y = ax 的增长速度.显然不存在 a>0使ln(x + 1) > ax 在x>0上恒成立.③当a<0时，只需在x<0时，x 2— 2x >ax 成立.即a >x — 2成立，所以a > — 2.综上所述：—2< a < 0.故选D.4. (2014天津)已知函数f(x) = |x 2 + 3x|, x € R.若方程f(x) — a|x — 1|= 0恰有4个互异的实数根, 4A- n55D.jn答案 A解析 •••/ AOB = 90° •••点 O 在圆 C 上.设直线2x + y — 4= 0与圆C 相切于点D ,则点C 与点O 间的距离等于它到直线 2x + y — 4= 0的距离,•••点C 在以O 为焦点，以直线 2x + y — 4= 0为准线的抛物线上,•••当且仅当O , C , D 共线时，圆的直径最小为|OD|.|2X 0+ 0 — 4| 4又 |OD|= —75—=75,2•圆C 的最小半径为不，•-圆C 面积的最小值为 n 翕)2= 5 n.3 .(2013课标全国I )已知函数f(x)=—X 2+ 2x , x < 0,若|f(x)|> ax,则a 的取值范围是( ) In x + 1 , x>0. A. ( — 8, 0](—S, 1] C . [ —2,1] [—2,0]解析 函数y =f(x)|的图象如图.①当 a = 0时，f(x)|》ax 显然成立.②当 a>0时，只需在x>0时,则实数 a 的取值范围为答案(0,1) U (9,+s )解析设y i = f(x) = X + 3x|, y2= aX —1|,在同一直角坐标系中作出y1 = |x2+ 3x|, y2= a|x—1|的图象如图所示.由图可知f(x)—a|x—1|= 0有4个互异的实数根等价于y i = |x2+ 3x|与y2= a|x—1|的图象有4个不同的交点．当4个交点横坐标都小于 1 时,y=—X2—3X, 有两组不同解x1, x2,y= a 1 —X消y 得x2+ (3 —a)x + a= 0，故A= a2—10a + 9>0,且X1+ x2= a—3<2 , X1X2= a<1，联立可得0<a<1.当 4 个交点横坐标有两个小于1, 两个大于 1 时,y= x2+ 3x，有两组不同解x3, x4.y= a x— 1消去y得x2+ (3 —a)x + a= 0, A= a2— 10a + 9>0,且X3+ x4= a—3>2 , X3X4= a>1，联立可得a>9,综上知, 0<a<1 或a>9.1 .方程|x2—2x|= a2+ 1（a>0）的解的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 4答案 B解析（数形结合法）••• a>0, ••• a2+ 1>1.而y= X2—2x|的图象如图,-y = |x2—2x|的图象与y= a2+ 1的图象总有两个交点.2 .不等式|x+ 3|—x—1|w a2—3a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为（）A . ( — s, — 1] U [4 ,+s)B . (— s,— 2] U[5 ,+s)C. [1,2]D . ( — 8, 1] U [2 ,+8 )答案 A—4 x< — 3 ,解析f(x)= |x+ 3|—|x—1|= 2x+ 2 — 3 Wx<1 ,4 x> 1 .图象，如图，可以看出函数f(x)的最大值为4,故只要画出函数f(x)的a2—3a> 4即可,解得aW— 1或a> 4.正确选项为 A.3•经过P(0, —1)作直线I，若直线I与连接A(1 , —2), B(2,1)的线段总有公共点，则直线I 的斜率k和倾斜角a的取值范围分别为_______________ , _________ .答案[—1,1] [0 , n U 于，n解析如图所示，结合图形：为使I与线段AB总有公共点,而k PB>0, k PA<0，故k<0时，倾斜角a为钝角，k= 0时,a为锐角.—2——1又k PA= ----------- =—1,1 —0—1 — 1k PB= -------- = 1, /• — 1 w kw 1.0 — 2又当Ow kw 1 时，0w aW n；3 n当-1W k<0时，「亦n故倾斜角a的取值范围为妖［0n 3 n，4] U [匚，n) 2x+ 3y— 6w 0,4. (2013山东)在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组x+ y—2>0, y> 0 所表示的区域上一动点，贝y |0M|的最小值是解析由题意知原点0到直线x + y—2= 0的距离为|0M|的最小值.2所以|OM|的最小值为p|=72.5. (2013江西)过点血,0)引直线I与曲线y=p 1 —X2相交于A、B两点, △ AOB的面积取最大值时，直线0为坐标原点，当I的斜率为答案-冬3解析 •/ S AAOB = 2I OA||OB |sin / AOB =知 / AOB < *.当/ AOB = n 时 S A AOB 面积最大.此时O 到AB 的距离d = ¥.设 AB 方程为 y = k(x —迈)(k<0)，即 kx — y —V 2k = 0.由d ^^爭k 卡6.设函数 f(x) = ax 3 — 3ax , g(x)= bx 2— ln x(a , b € R),已知它们在 x = 1 (1)求b 的值;f x , xw 0,c (2)若函数F(x)=且方程F(x)= a 2有且仅有四个解，求实数 g x , x>0, 解 函数g(x) = bx 2— In x 的定义域为(0,+ s), (1)f ‘ (x)= 3ax 2— 3a? f ' (1)= 0, g ' (x)= 2bx —x? g ' (1) = 2b —1,依题意得2b — 1 = 0，所以b = 2.(2)x € (0,1)时，g ' (x) = x — -<0，即 g(x)在(0,1)上单调递减, x1x € (1，+s)时，g ' (x) = x — ->0,即 g(x)在(1 ,+s)上单调递增,入所以当x = 1时，g(x)取得极小值g(1) = 2；当a = 0时，方程F(x)= a 2不可能有四个解;当 a<0, x € (—s,— 1)时，f ' (x)<0，即 卩 f(x)在(一s,— 1)上单调递减, x € (— 1,0)时，f ' (x)>0,即f(x)在(—1,0)上单调递增, 所以当x =— 1时，f(x)取得极小值f(— 1) = 2a ,又f(0) = 0，所以F(x)的图象如图⑴所示,处的切线互相平行.a 的取值范围.从图象可以看出F(x)= a2不可能有四个解.当a>0, x€ (—8,— 1)时，f’ (x)>0,即f(x)在(—s,— 1)上单调递增, x€ (- 1,0)时，f ‘(x)<0.即f(x)在(—1,0)上单调递减, 所以当x=—1时，f(x)取得极大值f(—1) = 2a.又f(0) = 0，所以F(x)的图象如图(2)所示,1从图⑵看出，若方程F(x) = a2有四个解，则2<a2<2a,1 . (2013 重庆)已知圆C1：(x—2)1 2+ (y—3)2= 1,圆C2：(x—3)2+ (y—4)2= 9, M , N 分别是圆C1, C2上的动点，P为x轴上的动点，贝U PM|+ |PN|的最小值为(所以，实数a的取值范围是当,2 .)A . 5迈—4 — 1C . 6 — 2 迈 D.V i7答案 A解析设P(x,O),设C i(2,3)关于x轴的对称点为C i' (2,—3),那么|PC i|+ |PC2|= |PC i'汁|PC2|> |C1' C2=yl 2 — 3 2+ —3— 4 2= 5迈.而|PM 1+ PN|= |PC i汁PC2|—4>5^2— 4.2. （2014江西）在平面直角坐标系中，A, B分别是x轴和y轴上的动点，若以AB为直径的圆C与直线2x+ y— 4 = 0相切，则圆C面积的最小值为（）。
高考数学思想技法攻略精讲：第二讲数形结合思想
第二讲数形结合思想魏总弋音怎環.戏宅很匣捉与蔻W间的篮应天丟，哥过故勺形的珥匸得代玦蔚讯扳学迥社耙患惡■烈形牯合思为和应用迅話凰下两T万面：（1）*的羽朋釵・.莊呪箜抽屛齐煜才问觀言观先■生引比「董懈靈梱象盅燈为廊象思址，觴示牧学问趟的不厉；M）■以址妄sr.it宜观囲岂酸Ei匕I更先更加箱址+思想方法突破sixiangl 扣制拙Upo抄典例剖祈方法探究要点一利用数形结合思想研究函数的零点、(刚订门)已旬严.升是圉数”了匸+口一人一丨血小的网个零虑川|■Z^ui*w"u*vi*M*v*w*Sr*u"!v*w"w*u"v>u^ae*waw*w«wa1>B w ai_|A BF*u K!lr h u a!W«u«v"u«v*uA l rS>HwH^w*M*Sr灯■■ ■■■ ■ ■ ■-■■ ■ ■ naaa ■ ■■ ■ ■ aauia ■ BB ■ U ■ l—W・■ ■ ■*■■■< ■!■■ ■ ■ ■«■■ ■A, 1 V_Fj Jf] 11, V I.Jt转忆内甫战y =甘，■ II® I的阳會交点横筮林的範值(2)(20ia ・昆三It检】LL对昊]--r鳴实数*的駅m世国把A H(-«!*(»B h<0.1 )切人点L转化为圉St y ="土£歩・訂』|的闍象交［解析］（i）在同一坐标系下画出函数y=2x与y=『x|的大致图象，结合图象不难看出，这两条曲线的两个交点中，其中一个交点横坐标属于区间（0,1）,另一个交点横坐标属于区间（1, +=）,不妨设1 —2x1 \1 _2 1 1 X i€ （0,1）, X2 € （1,+乂），则有2e = |lnx1|=- In冷€ qe , 2，2。
—2x2= |lnx2|= lnx2€ 0, 1e-2，1 ― 2x2 12。
巧用“数形结合”提升小学生的“数感”
巧用“数形结合”提升小学生的“数感”发布时间：2021-06-22T12:57:01.410Z 来源：《中小学教育》2021年7期作者：程永杰[导读] 目前，经济发展迅速，我国的小学教育教学的发展也有了改善程永杰广东省罗定市船步镇中心小学广东省 527225。
摘要：目前，经济发展迅速，我国的小学教育教学的发展也有了改善。
数学知识比较抽象，对小学生来说有一定的难度。
随着新课程改革的不断深入，在小学数学课堂中，教师应该不断优化教学方法，采用更加高效的数学思想方法进行教学。
笔者针对数形结合思想在小学数学教学中的应用进行了一定的分析，旨在提高小学数学课堂教学的质量。
关键词：巧用“数形结合”；提升小学生；“数感”引言数形结合所指的是依靠数与形之间的对应关系、转化关系来解决数学问题的思想方法，在全新的小学数学教学理念下，数形结合思想被视为代数与几何的完美整合。
把握几何知识、数字知识的应用特点，围绕教学问题重新确定数形结合的应用方法，能够在一定程度上提升教师的教学效率，帮助学生以更为科学的方式重新学习数学知识。
1在小学数学教学中应用数形结合思想的必要性 1.1促进学生对理论知识的理解目前，“填鸭式”教学法依然盛行，虽然这种教学模式能够让教师对知识点讲解得更全面，但是久而久之会打击学生学习数学的热情，导致学生对数学知识的理解浮于表面。
教师在课堂上有效应用数形结合思想，能够将复杂的理论知识简单化、具体化，从而促进学生对理论知识的理解，开阔学生的答题思路，提高学生的数学思维能力。
1.2帮助学生完善数学知识体系在学习的过程中，形成属于自己的数学知识体系是十分重要的。
学生需要具备良好的认知能力，才能将抽象的知识具体化，搭建属于自己的数学知识体系。
数学教材一般都是通过文字阐述知识点，而对于理解能力较差的学生来说，仅仅凭借课本的文字内容，是很难深入理解知识点的。
在这种情况下，学生容易丧失学习积极性，久而久之对数学的理解能力和分析能力就会逐渐下降。
数形结合思想在小学一、二年级解决问题教学中的探究_1
数形结合思想在小学一、二年级解决问题教学中的探究发布时间：2022-04-06T06:22:55.006Z 来源：《教学与研究》2021年10月第30期作者：叶惠儿[导读] 数学知识是源于生活实际中的具体事物或现象的，每一个数学知识点在生活中都有一个的事物或现象与之相对应。
叶惠儿广州市白云区汇侨第一小学摘要：数学知识是源于生活实际中的具体事物或现象的，每一个数学知识点在生活中都有一个的事物或现象与之相对应。
而人们认识世界之始是从直观形象的事物中开始的，逐渐过渡到抽象的符号或文字。
数学是研究人类历史中的生活经验里数与形的学科，数形结合是数学发展史的必然结果，本文主要探讨“数形结合思想在小学一、二年级解决问题教学中的探究”的一些个人的想法。
关键词：数形结合模式形化数以形教学数化形正文数学知识是源于生活实际中的具体事物或现象的，每一个数学知识在生活中都有一个事物或现象与之相对应。
而人们认识世界之始是从直观形象的事物中开始的，逐渐过渡到抽象的符号或文字。
小学一、二年级的数学学习是从熟悉的生活中的事物或现象到抽象的数学符号的学习。
数学是研究人类历史的生活经验里数与形的学科，数形结合是数学发展史的必然结果。
“数缺形，少直观；形缺数，难入微”，这是华罗庚教授对数形结合思想的深刻、透彻的阐释。
所以，教师在数学教学中要有意识地向学生灌输数形结合思想，特别是在解决问题教学中的运用。
在这里，我想和大家一起探讨一下“数形结合思想在小学一、二年级解决问题教学中的探究”。
首先，教师要给学生灌输“数形结合”的数学思想，帮助学生构建数形结合模式小学一年级正是孩子们正式启蒙时期，一切都是那样新奇。
孩子们对这个世界的好奇与渴望，还有对知识的浓厚兴趣，正是教师对他们灌输“数形结合”的数学思想，帮助他们构建数形结合模式的良好时机。
教师要在日常的教学工作中有意识地向学生灌输“数形结合”的数学思想，帮助学生构建数形结合模式，通过把“数”与“形”一一对应，让学生明白数学中的“数”与“形”在某些特定的条件下是可以“数化形”或者“形化数”的，知道“数形结合”就是把解决问题中的数量关系和抽象的数学语言用直观形象的几何图形、位置关系等“形”表示出来，通过“形化数”或“数化形”来展现，即通过把数学问题中的抽象现象转化为图形的直观形象现象，这样就可以使“数”的复杂问题简洁化，抽象问题直观形象化，从而实现明晰解题思路达到优化解题方法的目的。
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数形结合思想几点说明1． 数形结合思想，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想．数形结合思想的应用包括以下两个方面：(1)“以形助数”，把某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，揭示数学问题的本质；(2)“以数定形”，把直观图形数量化，使形更加精确．2． 数形结合思想的实质、关键及运用时应注意的问题：其实质是将抽象的数学语言与直观的图象结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化，在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参，合理用参，建立关系，由数思形，以形思数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围． 3． 实现数形结合，常与以下内容有关：(1)实数与数轴上的点的对应关系； (2)函数与图象的对应关系；(3)以几何元素和几何条件为背景，建立起来的概念，如复数、三角函数等；(4)所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义．如等式(x －2)2＋(y －1)2＝4，表示坐标平面内以(2,1)为圆心，以2为半径的圆． 高考题1． (2013·重庆)已知圆C 1：(x －2)2＋(y －3)2＝1，圆C 2：(x －3)2＋(y －4)2＝9，M ，N 分别是圆C 1，C 2上的动点，P 为x 轴上的动点，则|PM |＋|PN |的最小值为( )A ．52－4 B.17－1 C ．6－2 2D.172． (2011·大纲全国)已知a 、b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足(a －c )·(b－c )＝0，则|c |的最大值是( )A ．1B ．2C. 2D.223． (2013·山东)在平面直角坐标系xOy 中，M 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －2≥0，x ＋2y －1≥0，3x ＋y －8≤0所表示的区域上一动点，则直线OM 斜率的最小值为( )A ．2B ．1C ．－13D ．－124． (2013·课标全国Ⅰ)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ， x ≤0，ln (x ＋1)， x >0.若|f (x )|≥ax ，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，0]B ．(－∞，1]C ．[－2,1]D ．[－2,0] 5． (2012·天津)已知函数y ＝|x 2－1|x －1的图象与函数y ＝kx －2的图象恰有两个交点，则实数k的取值范围是________．1、答案 A解析 设P (x,0)，设C 1(2,3)关于x 轴的对称点为C 1′(2，－3)，那么|PC 1|＋|PC 2|＝|PC 1′|＋|PC 2|≥|C 1′C 2|＝(2－3)2＋(－3－4)2＝5 2.而|PM |＝|PC 1|－1，|PN |＝|PC 2|－3， ∴|PM |＋|PN |＝|PC 1|＋|PC 2|－4≥52－4. 2、答案 C解析 如图，设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，则CA →＝a －c ，CB →＝ b －c .由题意知CA →⊥CB →，∴O 、A 、C 、B 四点共圆．∴当OC 为圆的直径时，|c |最大，此时，|OC →|＝ 2.3、答案 C解析 如图，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －1＝0，3x ＋y －8＝0得A (3，－1)．此时直线OM 的斜率最小，且为－13.4、答案 D解析 函数y ＝|f (x )|的图象如图． ①当a ＝0时，|f (x )|≥ax 显然成立． ②当a >0时，只需在x >0时， ln(x ＋1)≥ax 成立．比较对数函数与一次函数y ＝ax 的增长速度． 显然不存在a >0使ln(x ＋1)≥ax 在x >0上恒成立． ③当a <0时，只需在x <0时，x 2－2x ≥ax 成立． 即a ≥x －2成立，∴a ≥－2.综上所述：－2≤a ≤0.故选D. 5、答案 (0,1)∪(1,4) 解析 根据绝对值的意义， y ＝|x 2－1|x －1＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1(x >1或x <－1)，－x －1(－1≤x <1).在直角坐标系中作出该函数的图象，如图中实线所示． 根据图象可知，当0<k <1或1<k <4时有两个交点．主要题型题型一 数形结合解决方程的根的个数问题例1 (2012·福建)对于实数a 和b ，定义运算“*”：a *b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a 2－ab ，a ≤b ，b 2－ab ，a >b .设f (x )＝(2x－1)*(x －1)，且关于x 的方程f (x )＝m (m ∈R )恰有三个互不相等的实数根x 1，x 2，x 3，则x 1x 2x 3的取值范围是________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－316，0 解析 由定义可知，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(2x －1)x ，x ≤0，－(x －1)x ，x >0.作出函数f (x )的图象，如图所示． 由图可知，当0<m <14时，f (x )＝m (m ∈R )恰有三个互不相等 的实数根x 1，x 2，x 3. 不妨设x 1<x 2<x 3， 易知x 2>0，且x 2＋x 3＝2×12＝1，∴x 2x 3<14.令⎩⎪⎨⎪⎧(2x －1)x ＝14，x <0，解得x ＝1－34.∴1－34<x 1<0，∴1－316<x 1x 2x 3<0.反思归纳 研究方程的根的个数、根的范围等问题时，经常采用数形结合的方法．一般 地，方程f (x )＝0的根，就是函数f (x )的零点，方程f (x )＝g (x )的根，就是函数f (x )和g (x )的图象的交点的横坐标．变式训练1 已知：函数f (x )满足下面关系：①f (x ＋1)＝f (x －1)；②当x ∈[－1,1]时，f (x )＝x 2， 则方程f (x )＝lg x 解的个数是( ) A ．5B ．7C ．9D ．10答案 C解析 由题意可知，f (x )是以2为周期，值域为[0,1]的函数．又f (x )＝lg x ，则x ∈(0,10]，画出两函数图象，则交点个数即为解的个数．由图象可知共9个交点．题型二 数形结合解不等式问题例2 设有函数f (x )＝a ＋－x 2－4x 和g (x )＝43x ＋1，已知x ∈[－4,0]时恒有f (x )≤g (x )，求实数a 的取值范围．审题破题 x ∈[－4,0]时恒有f (x )≤g (x )，可以转化为x ∈[－4,0]时，函数f (x )的图象都在函数g (x )的图象下方或者两图象有交点． 解 f (x )≤g (x )，即a ＋－x 2－4x ≤43x ＋1，变形得－x 2－4x ≤43x ＋1－a ，令y ＝－x 2－4x ， ① y ＝43x ＋1－a .②①变形得(x ＋2)2＋y 2＝4(y ≥0)，即表示以(－2,0)为圆心，2为半径的圆的上半圆；②表示斜率为43，纵截距为1－a 的平行直线系．设与圆相切的直线为AT ，AT 的直线方程为： y ＝43x ＋b (b ＞0)， 则圆心(－2,0)到AT 的距离为d ＝|－8＋3b |5，由|－8＋3b |5＝2得，b ＝6或－23(舍去)．∴当1－a ≥6即a ≤－5时，f (x )≤g (x )．反思归纳 解决含参数的不等式和不等式恒成立问题，可以将题目中的某些条件用图象表现出来，利用图象间的关系以形助数，求方程的解集或其中参数的范围．变式训练2 已知不等式x 2＋ax －2a 2<0的解集为P ，不等式|x ＋1|<3的解集为Q ，若P ⊆Q ，求实数a 的取值范围．解 x 2＋ax －2a 2＝(x ＋2a )(x －a )<0. |x ＋1|<3⇒Q ＝{x |－4<x <2}．当－2a <a ，即a >0时，P ＝{x |－2a <x <a }．∵P ⊆Q ，∴⎩⎨⎧－2a ≥－4，a ≤2，a >0.解得0<a ≤2.当－2a ＝a ，即a ＝0时，P ＝∅，P ⊆Q . 当－2a >a ，即a <0时，P ＝{x |a <x <－2a }，∵P ⊆Q ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≥－4，－2a ≤2，a <0， 解得－1≤a <0，综上可得－1≤a ≤2.题型三 数形结合解决有明显几何意义的式子(概念)问题例3 已知函数f (x )＝ax 2＋bx －1(a ，b ∈R 且a >0)有两个零点，其中一个零点在区间(1,2)内，则ba ＋1的取值范围为( )A ．(－∞，1)B ．(－∞，1]C ．(－2,1]D ．(－2,1)答案 D解析 因为a >0，所以二次函数f (x )的图象开口向上．又f (0)＝－1，所以要使函数f (x )的一个零点在区间(1,2)内，则有⎩⎪⎨⎪⎧a >0，f (1)<0，f (2)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧a >0，a ＋b －1<0，4a ＋2b －1>0.如图所示的阴影部分是上述不等式组所确定的平面区域，式子ba ＋1表示平面区域内的点 P (a ，b )与点Q (－1,0)连线的斜率．而直线QA 的斜率k ＝1－00－(－1)＝1，直线4a ＋2b －1＝0的斜率为－2，显然不等式组所表示的平面区域不包括边界，所以P ，Q 连线的斜率的取值范围为(－2,1)．故选D. 反思归纳 如果等式、代数式的结构蕴含着明显的几何特征，就要考虑用数形结合的思想方法来解题，即所谓的几何法求解，比较常见的对应有： (1)b －na －m ↔(a ，b )、(m ，n )连线的斜率； (2)(a －m )2＋(b －n )2↔(a ，b )、(m ，n )之间的距离； (3)a 2＋b 2＝c 2↔a 、b 、c 为直角三角形的三边；(4)f (a －x )＝f (b ＋x )↔f (x )图象的对称轴为x ＝a ＋b2.只要具有一定的观察能力，再掌握常见的数与形的对应类型，就一定能得心应手地运用数形结合的思想方法．变式训练3 已知点P (x ，y )的坐标x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≥0，|x |－y －1≤0，则x 2＋y 2－6x ＋9的取值范围是 ( )A ．[2,4]B ．[2,16]C ．[4,10]D ．[4,16]答案 B解析 画出可行域如图，所求的x 2＋y 2－6x ＋9＝(x －3)2＋y 2是点Q (3,0)到可行域上的点的距离的平方，由图形知最小值为Q 到射线x －y －1＝0(x ≥0)的距离d 的平方，最大值为|QA |2＝16. ∵d 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫|3－0－1|12＋(－1)22＝(2)2＝2. ∴取值范围是[2,16]． 题型四 数形结合解几何问题例4 若方程x ＋k ＝1－x 2有且只有一个解，则k 的取值范围是( )A ．[－1,1)B ．k ＝±2C ．[－1,1]D ．k ＝2或k ∈[－1,1)答案 D解析 令y ＝x ＋k ，令y ＝1－x 2，则x 2＋y 2＝1(y ≥0)．作出图象如图：而y ＝x ＋k 中，k 是直线的纵截距，由图知：方程有一个解⇔直线与 上述半圆只有一个公共点⇔k ＝2或－1≤k <1.练习一下1． 设函数f (x )定义在实数集上，f (2－x )＝f (x )，且当x ≥1时，f (x )＝ln x ，则有 ( )A ．f (13)<f (2)<f (12)B ．f (12)<f (2)<f (13)C ．f (12)<f (13)<f (2)D ．f (2)<f (12)<f (13)2． 设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋bx ＋c ， x ≤0，2， x >0.若f (－4)＝f (0)，f (－2)＝－2，则函数y ＝g (x )＝f (x )－x 的零点个数为 ( )A ．1B ．2C ．3D ．43． 设a ，b ，c 是单位向量，且a·b ＝0，则(a －c )·(b －c )的最小值为( )A ．－2B.2－2C ．－1D ．1－ 2 4． 当0<x ≤12时，4x <log a x ，则a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫0，22B.⎝⎛⎭⎫22，1C ．(1，2)D ．(2，2)5． 已知f (x )是定义在(－3,3)上的奇函数，当0<x <3时，f (x )的图象如图所示，那么不等式f (x )·cos x <0的解集是( )A.⎝⎛⎭⎫－3，－π2∪(0,1)∪⎝⎛⎭⎫π2，3 B.⎝⎛⎭⎫－π2，－1∪(0,1)∪⎝⎛⎭⎫π2，3 C ．(－3，－1)∪(0,1)∪(1,3)D.⎝⎛⎭⎫－3，－π2∪(0,1)∪(1,3) 6． 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|lg x |，0<x ≤10，－12x ＋6，x >10，若a 、b 、c 互不相等，且f (a )＝f (b )＝f (c )，则abc 的取值范围是( )A ．(1,10)B ．(5,6)C ．(10,12)D ．(20,24)7． 用min{a ，b ，c }表示a ，b ，c 三个数中的最小值．设f (x )＝min{2x ，x ＋2,10－x } (x ≥0)，则f (x )的最大值为( )A ．4B ．5C ．6D ．78． 函数f (x )＝(12)x －sin x 在区间[0,2π]上的零点个数为( ) A ．1B ．2C ．3D ．49． 设a ＝sin 5π7，b ＝cos 2π7，c ＝tan 2π7，则( )A ．a <b <cB ．a <c <bC ．b <c <aD ．b <a <c10． 不等式x 2－log a x <0在x ∈(0，12)时恒成立，则a 的取值范围是 ( )A ．0<a <1 B.116≤a <1C ．a >1D ．0<a ≤11611． 函数y ＝11－x的图象与函数y ＝2sin πx (－2≤x ≤4)的图象所有交点的横坐标之和等于( )A ．2B ．4C ．6D ．8 12． 若实数x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，x >0，y ≤2，则yx的最小值是________． 答案 213．设A ＝{(x ，y )|x 2＋(y －1)2＝1}，B ＝{(x ，y )|x ＋y ＋m ≥0}，则使A ⊆B 成立的实数m 的取值范围是__________．14．若函数f (x )＝a x －x －a (a ＞0且a ≠1)有两个零点，则实数a 的取值范围是________． 15．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x ，x ≥0－2x ，x <0，则关于x 的方程f [f (x )]＋k ＝0，给出下列四个命题：①存在实数k ，使得方程恰有1个实根； ②存在实数k ，使得方程恰有2个不相等的实根； ③存在实数k ，使得方程恰有3个不相等的实根； ④存在实数k ，使得方程恰有4个不相等的实根．其中正确命题的序号是________．(把所有满足要求的命题序号都填上) 16．设关于θ的方程3cos θ＋sin θ＋a ＝0在区间(0,2π)内有相异的两个实根α、β.(1)求实数a 的取值范围； (2)求α＋β的值．1答案 C解析 由f (2－x )＝f (x )知f (x )的图象关于直线x ＝2－x ＋x2＝1对称，又当x ≥1时，f (x )＝ln x ，所以离对称轴x ＝1距离大的x 的函数值大，∵|2－1|>|13－1|>|12－1|，∴f (12)<f (13)<f (2)．2答案 C解析 由f (－4)＝f (0) 得16－4b ＋c ＝c .由f (－2)＝－2，得4－2b ＋c ＝－2. 联立两方程解得：b ＝4，c ＝2.于是，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ＋2， x ≤0，2， x >0.在同一直角坐标系内，作出函数y ＝f (x )与函数y ＝x 的图象，知它们有3个交点，进而函数亦有3个零点．3答案 D解析 由于(a －c )·(b －c )＝－(a ＋b )·c ＋1，因此等价于求(a ＋b )·c 的最大值，这个最大值只有当向量a ＋b 与向量c 同向共线时取得．由于a ·b ＝0，故a ⊥b ，如图所示，|a ＋b |＝2，|c |＝1，当θ＝0时，(a ＋b )·c 取最大值2，故所求的最小值为1－ 2.4、答案 B解析 由0<x ≤12，且log a x >4x >0，可得0<a <1，由4 ＝log a 12可得a ＝22.令f (x )＝4x ，g (x )＝log a x ， 若4x <log a x ，12则说明当0<x ≤12时，f (x )的图象恒在g (x )图象的下方(如图所示)，此时需a >22.综上可得a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫22，1.5、答案 B解析 根据对称性画出f (x )在(－3，0)上的图象如图，结合y ＝cos x 在(－3,0)，(0,3)上函数值的正负，易知不等式f (x )cos x <0的解集是⎝⎛⎭⎫－π2，－1∪(0,1)∪⎝⎛⎭⎫π2，3. 6、答案 C解析 a ，b ，c 互不相等，不妨设a <b <c ， ∵f (a )＝f (b )＝f (c )，由图象可知，0<a <1,1<b <10,10<c <12. ∵f (a )＝f (b )，∴|lg a |＝|lg b |，即lg a ＝lg 1b ，a ＝1b .则ab ＝1，所以abc ＝c ∈(10,12)．7答案 C解析 画出y ＝2x ，y ＝x ＋2，y ＝10－x 的图象，如图所示，观察图象，可知当0≤x ≤2，f (x )＝2x ，当2<x ≤4时，f (x )＝x ＋2，当x >4时，f (x )＝10－x ，f (x )的最大值在x ＝4时取得，为6.8、答案 B解析 函数f (x )＝(12)x －sin x 在区间[0,2π]上的零点个数即为方程(12)x －sin x ＝0在区间[0,2π]上解的个数．因此可以转化为两函数y ＝(12)x 与y ＝sin x 交点的个数．根据图象可得交点个数为2，即零点个数为2.9、答案 D 解析 a ＝sin5π7＝sin ⎝⎛⎭⎫π－2π7＝sin 2π7，又π4<2π7<π2， 可通过单位圆中的三角函数线进行比较：如图所示，cos 2π7＝OA ，sin 2π7＝AB ，tan 2π7＝MN ， ∴cos 2π7<sin 2π7<tan 2π7，即b <a <c .10、答案 B解析 不等式x 2－log a x <0转化为x 2<log a x ，由图形知0<a <1且(12)2≤log a 12， ∴a ≥116，故a 的取值范围为⎣⎡⎭⎫116，1.11、答案 D解析 令1－x ＝t ，则x ＝1－t .由－2≤x ≤4，知－2≤1－t ≤4，所以－3≤t ≤3.又y ＝2sin πx ＝2sin π(1－t )＝2sin πt .在同一坐标系下作出y ＝1t和y ＝2sin πt 的图象． 由图可知两函数图象在[－3,3]上共有8个交点，且这8个交点两两关于原点对称．因此这8个交点的横坐标的和为0，即t 1＋t 2＋…＋t 8＝0.也就是1－x 1＋1－x 2＋…＋1－x 8＝0，因此x 1＋x 2＋…＋x 8＝8.12、解析 可行域如图所示．又y x的几何意义是可行域内的点与坐标原点连线的斜率k . 由图知，过点A 的直线OA 的斜率最小．联立⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0，y ＝2，得A (1,2)， ∴k OA ＝2－01－0＝2.∴y x 的最小值为2.13、答案 m ≥2－1解析 集合A 是一个圆x 2＋(y －1)2＝1上的点的集合，集合B 是一个不等式x ＋y ＋m ≥0表示的平面区域内的点的集合，要使A ⊆B ，则应使圆被平面区域所包含(如图)，即直线x ＋y ＋m ＝0应与圆相切或相离(在圆的下方)，而当直线与圆相切时有|m ＋1|2＝1，又m >0， ∴m ＝2－1，故m 的取值范围是m ≥2－1.14、答案 a ＞1解析 设函数y ＝a x (a ＞0且a ≠1)和函数y ＝x ＋a .则函数f (x )＝a x －x －a (a ＞0且a ≠1)有两个零点，就是函数y ＝a x (a ＞0且a ≠1)的图象与函数y ＝x ＋a 的图象有两个交点．由图象可知，当0＜a ＜1时，两函数只有一个交点，不符合；当a ＞1时，因为函数y ＝a x (a ＞1)的图象过点(0,1)，而直线y ＝x ＋a 的图象与y 轴的交点一定在点(0,1)的上方，所以一定有两个交点．所以实数a 的取值范围是a ＞1.15、答案 ①②解析 依题意知函数f (x )>0，又f [f (x )]＝依据y ＝f [f (x )]的大致图象(如图)知，存在实数k ，使得方程f [f (x )]＋k ＝0恰有1个实根；存在实数k ，使得方程f [f (x )]＋k ＝0恰有2个不相等的实根；不存在实数k ，使得方程恰有3个不相等的实根；不存在实数k ，使得方程恰有4个不相等的实根．综上所述，其中正确命题的序号是①②.16、解 方法一(1)设x ＝cos θ，y ＝sin θ，则由题设知，直线l ：3x ＋y ＋a ＝0与圆x 2＋y 2＝1有两个不同的交点A (cos α，sin α)和B (cos β，sin β)．所以原点O 到直线l 的距离小于半径1，即d ＝||0＋0＋a (3)2＋12＝|a |2＜1，∴－2＜a ＜2. 又∵α、β∈(0,2π)，且α≠β.∴直线l 不过点(1,0)，即3＋a ≠0.∴a ≠－3，即a ∈(－2，－3)∪(－3，2)．(2)如图，不妨设∠xOA ＝α，∠xOB ＝－β，作OH ⊥AB ，垂足为H ，则∠BOH ＝α－β2.∵OH⊥AB，∴k AB·k OH＝－1.∴tan α＋β2＝33.又∵α＋β2∈(0,2π)，∴α＋β＝π3或α＋β＝7π3.方法二(1)原方程可化为sin (θ＋π3)＝－a2，作出函数y＝sin (x＋π3)(x∈(0,2π))的图象．由图知，方程在(0,2π)内有相异实根α，β的充要条件是⎩⎨⎧－1＜－a2＜1－a2≠32，即－2＜a＜－3或－3＜a＜2.(2)由图知：当－3＜a＜2，即－a2∈⎝⎛⎭⎫－1，32时，直线y＝－a2与三角函数y＝sin(x＋π3)的图象交于C、D两点，它们中点的横坐标为7π6，∴α＋β2＝7π6，∴α＋β＝7π3.当－2＜a＜－3，即－a2∈⎝⎛⎭⎫32，1时，直线y＝－a2与三角函数y＝sin(x＋π3)的图象有两交点A、B，由对称性知，α＋β2＝π6，∴α＋β＝π3，综上所述，α＋β＝π3或α＋β＝7π3.。