差分方程的基本知识(3)
差分方程简介
k (1) Cn y x nk k 0 n k
,
!n ! ) k n ( !k
k n
C中 其 且规定0 yx yx f ( x)
由定义知， y f ( x)的n阶差分 是f ( x n), f ( x n 1),...f ( x 1), f ( x) 的线形组合，
(3)（ayx bzx） ayx bz x
(4)（yx zx） yx1zx zx yx yx zx zx1yx
yx z x y x y x z x (5)( ) (其中z x 0) zx z x z x1
二、差分方程
定义2 含有自变量，未知函数及未知函数差 分的方程，称为差分方程，其一般形式为
yx1 yx yx
yxn yx C yx C y ... C y yx
n
n1 n1 n x
C yx
k 0 k n k
n
由定义容易证明，差分具有以下性质
(1)(c) o(c为常数)
(2)（cyx） cyx (c为常数)
y x5 y x3 4 y x 2 y x e x 是五阶差分方程， 因为（x 5） x 5;
方程3 y x yx 1 0可转化为yx 3 3 y x 2 3 y x 1 1 0， 因而是2阶差分方程
定义4 如果某个函数代入差分方程后能使差分方程 成为恒等式，则称此函数为该差分方程的解。
反之函数y f ( x)的各个函数值也可以 用y x f ( x)和它的各阶差分式表示 。即
差分方程
(2) yx2 yx4 yx2
解 (1) x 3 x 3，
(1)是三阶差分方程；
(2) x 2 ( x 4) 6，
(2)是六阶差分方程.
2.差分方程的解
如果函数y φ( x)代入差分方程后，方程两 边恒等，则称此函数为该差分方程的解.
差分方程的通解
含有相互独立的任意常数的个数与差分方程的 阶数相同的差分方程的解.
yxn a1yxn1 an1yx1 an yx f x 2
的一个特解, Yx 是与(2)对应的齐次方程(1)的通
解, 那么 yx Yx yx* 是 n 阶常系数非齐次线性差分
方程(2)的通解.
由此可见，要求出n阶常系数非齐次线性差分方 程（2）的通解，只需求出（1）的通解和（2） 的一个特解即可.
解 设y x 2，则
yx ( x2 ) ( x 1)2 x2 2x 1 2 yx 2( x2 ) (2x 1)
2( x 1) 1 (2x 1) 2
3 yx 3 ( x2 ) 2 2 0
例 2 求下列函数的差分
(1)y loga x;
(2)y sinax
解 (1)yx yx1 yx
一阶常系数线性差分方程的解法
一阶常系数齐次线性差分方程的一般形式
yx1 ayx 0(a 0为常数)
1
一阶常系数非齐次线性差分方程的一般形式
y x1 ayx f ( x)
2
(a 0为常数，f x 0)
注：1为2所对应的一阶常系数齐次线性差分方程.
一 、一阶常系数齐次线性差分方程的求解
例题 教材 208页 例3，例4
例1 求2 yx1 yx 0的通解.
1
解 a
2
差 分 方 程 的 通 解 为Yx
差分方程简介
差分方程简介
汇报人：
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目录
• 差分方程的基本概念 • 差分方程的求解方法 • 差分方程的应用 • 差分方程的局限性 • 差分方程的发展历程与未来趋势 • 差分方程的实际案例分析
01
差分方程的基本概念
定义与例子
• 差分方程是描述离散序列变化的方程式。例如，考虑一个数列{an}，我们可以写出一个差分方程：a{n+1} = 2a_n + 3。
应用
经济学中的差分方程模型适用于预测经济指标的未来趋势 、政策效应分析等。然而，由于现实世界中的复杂性，该 模型可能不适用于所有经济情况。
THANKS
感谢观看
公式法
公式法的原理
01
通过差分方程的解的公式直接计算出解。公式法的步骤 Nhomakorabea02
根据差分方程的特点，寻找解的公式，然后代入初值计算出解
。
公式法的优缺点
03
公式法适用于某些特定类型的差分方程，但不适用于所有类型
的差分方程，需要具体问题具体分析。
计算机方法
计算机方法的原理
利用计算机强大的计算能力，通过编程等方法求解差分方程。
人群、感染人群和免疫人群之间的转换。这些因素都可以通过差分方程来描述 。 • 数学方程：常见的传染病模型如SIR模型，其差分方程为 S(t+1) = S(t) b*S(t)*I(t)/N(t), I(t+1) = I(t) + b*S(t)*I(t)/N(t) - d*I(t), R(t+1) = R(t) + d*I(t)，其中S表示易感人群，I表示感染人群，R表示免疫人群，b表示感染率 ，d表示疾病死亡率。 • 应用：传染病模型适用于预测疾病的传播趋势、评估公共卫生干预措施的效果 等。然而，由于现实世界中的复杂性，该模型可能不适用于所有疾病传播情况 。
差分方程的基本概念
差分方程的应用领域
01
02
03
金融领域
差分方程在金融领域中用 于描述股票价格、债券收 益率等金融变量的动态变 化。
物理学领域
在物理学中，差分方程用 于描述离散系统的动态行 为，如离散的弹簧振荡器、 离散的波动等。
生物学领域
在生态学和流行病学中， 差分方程用于描述种群数 量随时间的变化规律。
差分方程与微分方程的关系
定义
差分方程的稳定性是指当时间步 长趋于无穷大时，差分方程的解 是否收敛到原方程的解。
分类
根据稳定性性质的不同，差分方 程可以分为稳定、不稳定和临界 稳定三种类型。
稳定性判据
判据一
如果对于任意小的正数ε，存在一个正 数δ，使得当|Δt|<δ时，差分方程的 解满足|x(n+1)−x(n)|<ε，则称差分方 程是稳定的。
有限元法的基本思想是将连续的求解区域离 散化为有限个相互连接的子域（即有限元）， 并在每个子域上选择合适的基函数进行近似。 通过这种方式，可以将偏微分方程转化为离 散的差分方程，从而进行数值求解。
有限体积法
总结词
有限体积法是一种将偏微分方程离散化为差 分方程的数值方法，通过在每个控制体积上 对微分进行离散近似，将微分方程转化为差 分方程。
数值解法
数值解法是一种通过数值计算方法来求解差分方程的方法。常用的数值解法包括 欧拉பைடு நூலகம்、龙格-库塔法等。
数值解法的优点是适用于各种类型的差分方程，特别是一些难以直接求解的差分 方程。数值解法的精度可以通过增加计算步数来提高。然而，数值解法的计算量 大，需要较高的计算能力。
03 差分方程的稳定性
定义与分类
详细描述
有限差分法的基本思想是将连续的空间离散化为有限个离散点，并利用泰勒级数展开式或其它近似方 法，将微分运算转化为差分运算。通过这种方式，可以将偏微分方程转化为离散的差分方程，从而进 行数值求解。
差分方程知识点总结
差分方程知识点总结一、差分方程的概念差分方程是指用差分运算符号（Δ）表示的方程。
差分运算符Δ表示的是某一变量在两个连续时间点的变化量。
差分方程通常用于描述离散时间下的变化规律，比如时间序列、离散动力系统等。
二、常见的差分方程1. 一阶线性差分方程一阶线性差分方程的一般形式为：y(t+1) - y(t) = a*y(t) + b，其中a和b为常数。
一阶线性差分方程常常用于描述某一变量在不同时间点之间的线性变化规律。
2. 二阶线性差分方程二阶线性差分方程的一般形式为：y(t+2) - 2*y(t+1) + y(t) = a*y(t) + b，其中a和b为常数。
二阶线性差分方程通常用于描述某一变量在不同时间点之间的二阶线性变化规律。
3. 线性非齐次差分方程线性非齐次差分方程的一般形式为：y(t+1) - a*y(t) = b，其中a和b为常数。
线性非齐次差分方程通常用于描述某一变量在不同时间点之间的线性变化规律，并且受到外部条件的影响。
4. 滞后差分方程滞后差分方程的一般形式为：y(t+1) = f(y(t))，其中f为某一函数。
滞后差分方程通常用于描述某一变量在不同时间点之间的非线性变化规律。
5. 差分方程组差分方程组是指由多个差分方程组成的方程组。
差分方程组通常用于描述多个变量之间的变化规律，比如混合动力系统、多变量时间序列等。
三、差分方程的解法1. 特征根法特征根法是解一阶或二阶线性差分方程的一种常用方法。
通过求解特征方程，可以求得差分方程的通解。
2. 递推法递推法是解一阶或二阶非齐次差分方程的一种常用方法。
通过递推关系，可以求得差分方程的特解。
3. Z变换法Z变换法是解一阶或二阶差分方程的一种常用方法。
通过对差分方程进行Z变换，可以将其转换为等价的代数方程，然后求解其解。
4. 数值解法对于复杂的差分方程，通常采用数值解法求解。
数值解法包括Euler法、Runge-Kutta法、递推法等，通过迭代计算逼近差分方程的解。
差分方程的基本知识(3)
差分方程模型的理论和方法1、差分方程：差分方程反映的是关于离散变量的取值与变化规律。
通过建立一个或几个离散变量取值所满足的平衡关系，从而建立差分方程。
差分方程就是针对要解决的目标，引入系统或过程中的离散变量，根据实际背景的规律、性质、平衡关系，建立离散变量所满足的平衡关系等式，从而建立差分方程。
通过求出和分析方程的解，或者分析得到方程解的特别性质（平衡性、稳定性、渐近性、振动性、周期性等），从而把握这个离散变量的变化过程的规律，进一步再结合其他分析，得到原问题的解。
2、应用：差分方程模型有着广泛的应用。
实际上，连续变量可以用离散变量来近似和逼近，从而微分方程模型就可以近似于某个差分方程模型。
差分方程模型有着非常广泛的实际背景。
在经济金融保险领域、生物种群的数量结构规律分析、疾病和病虫害的控制与防治、遗传规律的研究等许许多多的方面都有着非常重要的作用。
可以这样讲，只要牵涉到关于变量的规律、性质，就可以适当地用差分方程模型来表现与分析求解。
3、差分方程建模：在实际建立差分方程模型时，往往要将变化过程进行划分，划分成若干时段，根据要解决问题的目标，对每个时段引入相应的变量或向量，然后通过适当假设，根据事物系统的实际变化规律和数量相互关系，建立每两个相邻时段或几个相邻时段或者相隔某几个时段的量之间的变化规律和运算关系（即用相应设定的变量进行四则运算或基本初等函数运算或取最运算等）等式（可以多个并且应当充分全面反映所有可能的关系），从而建立起差分方程。
或者对事物系统进行划分，划分成若干子系统，在每个子系统中引入恰当的变量或向量，然后分析建立起子过程间的这种量的关系等式，从而建立起差分方程。
在这里，过程时段或子系统的划分方式是非常非常重要的，应当结合已有的信息和分析条件，从多种可选方式中挑选易于分析、针对性强的划分，同时，对划分后的时段或子过程，引入哪些变量或向量都是至关重要的，要仔细分析、选择，尽量扩大对过程或系统的数量感知范围，包括对已有的、已知的若干量进行结合运算、取最运算等处理方式，目的是建立起简洁、深刻、易于求解分析的差分方程。
差分方程考研题库
差分方程考研题库一、基础知识题1. 定义差分方程：给定一个函数\( y \)，如果存在一个方程，使得\( y \)的第\( n \)项与前\( k \)项的函数值有关，那么这个方程被称为差分方程。
2. 差分方程的阶数：差分方程中，最高次的差分项的阶数称为该差分方程的阶。
3. 差分方程的解：满足差分方程的函数序列称为该差分方程的解。
二、计算题1. 给定一阶线性差分方程\( y_{n+1} - y_n = 2 \)，求其通解。
2. 考虑二阶齐次线性差分方程\( y_{n+2} - 2y_{n+1} + y_n = 0 \)，求其特征方程，并求出其通解。
3. 解下列非齐次线性差分方程\( y_{n+1} + y_n = 3n + 1 \)。
三、证明题1. 证明对于一阶线性齐次差分方程\( ay_{n+1} - by_n = 0 \)，其通解为\( y_n = C \cdot b^n \)，其中\( C \)为常数。
2. 证明二阶线性齐次差分方程\( y_{n+2} - 2y_{n+1} + y_n = 0 \)的特征方程为\( r^2 - 2r + 1 = 0 \)。
四、应用题1. 某公司每年的利润增长率为5%，如果第一年的利润为100万元，求第\( n \)年的利润。
2. 一个种群的增长遵循差分方程\( P_{n+1} = kP_n(1 -\frac{P_n}{K}) \)，其中\( k \)是增长率，\( K \)是环境的承载能力。
求该种群的稳定状态。
五、综合题1. 考虑一个具有周期性变化的差分方程\( y_{n+1} = y_n + 2\sin(\frac{2\pi n}{T}) \)，分析其解的性质。
2. 给定一个差分方程\( y_{n+1} = \alpha y_n + \beta n \)，其中\( \alpha \)和\( \beta \)是常数，求其通解。
结束语差分方程的解题方法多样，包括直接法、特征方程法、迭代法等。
高考数学中的差分方程及相关概念
高考数学中的差分方程及相关概念在高中数学中，我们学习了许多数学知识，其中差分方程是一个比较重要的概念，在高考中也经常出现。
那么差分方程是什么？有什么用处呢？一、什么是差分方程差分方程，也叫离散微积分方程，是指用有限差分代替导数的微分方程，其本质是一种递推式。
差分方程的一般形式为y[n+1] = f(y[n], y[n-1], ... , y[n-k])，其中y[n]是第n个离散点的函数值，y[n-k]是第n-k个离散点的函数值。
差分方程是一种离散的动态系统，可以用来描述各种离散事件的演化。
它广泛应用于数学、物理、工程、经济等领域中各种动态系统的建模与分析。
二、差分方程的分类根据差分方程的阶数及系数对n的依赖关系，差分方程可以分为以下几类：1.一阶线性差分方程一阶线性差分方程的一般形式为y[n+1] = ay[n] + b，其中a和b 是常数。
这种差分方程的解可以用递推公式y[n] = ay[n-1] + b求得。
2.二阶线性差分方程二阶线性差分方程的一般形式为y[n+2] + ay[n+1] + by[n] = f[n]，其中a、b是常数，f[n]是已知函数。
这种差分方程的解可以用特征根法或借助于已知解求得通解。
3.非线性差分方程非线性差分方程的一般形式为y[n+1] = f(y[n])，其中f(y[n])是非线性函数。
这种差分方程的解一般需要运用迭代法或数值解法求解。
三、差分方程的应用差分方程是一种用来描述具有离散状态的系统演化的工具，它在许多领域中都有着广泛的应用，例如：1.物理学差分方程在物理学中应用广泛，例如：在天体物理学中，用差分方程描述行星运动的轨迹、研究宇宙星系的演化等；在量子力学中，用差分方程描述粒子的运动状态等。
2.经济学差分方程在经济学中也有着广泛的应用，例如：在货币政策分析中，用差分方程描述货币供应量、利率与物价水平等的变化；在经济增长模型中，用差分方程描述经济增长的变化趋势等。
差分方程基础知识
2B1 x + B0 + B1 = x +1. 比较系数, 得 2B1 = 1, B0 + B1 = 1, 1 B0 B1 , 2 1 y x C x ( x 1). 2
设特解的待定式为
y x B0 B1 x Bm x m (a 1)
或
(6)
(7)
y x ( B0 B1 x Bm x m ) x (a 1)
其中B0 , B1 , , Bm为待定系数.
例5 求差分方程 yx+1 #43; 3x + 1)
= 3(x + 1)2 + 3(x + 1) + 1 (3x2 + 3x + 1) = 6x + 6, 3(x3) = (6x + 6) = 6(x + 1) + 6 (6x + 6)
= 6, 4(x3) = (6) 6 = 0.
二、差分方程的概念 定义2 含有自变量、未知函数及其差分的方程, 称 为差分方程. 差分方程的一般形式为 F(x, yx, yx, , n yx) = 0. (1)
为二阶差分, 记为2 yx, 即
2 yx = (yx) = yx+2 2 yx+1 + yx
同样可定义三阶差分3yx, 四阶差分4yx, 即
3yx = (2yx), 4yx = (3yx) .
例1 求(x3), 2(x3), 3(x3), 4(x3). 解 (x3) = (x + 1)3 x3 = 3x2 + 3x + 1,
定义1 设函数 y = f (x), 记为 yx, 则差
差分方程方法总结
差分方程方法总结差分方程是用来描述离散时间系统行为的一种数学工具。
它们在许多领域中都有广泛的应用，包括物理学、工程学、经济学等。
本文将总结差分方程方法的基本原理和常见应用。
差分方程的基本原理是通过描述系统在不同时间点上的状态来推导出系统的动态行为。
差分方程可以应用于任何离散时间系统，这些系统的行为只在特定时间点上进行观察和量化。
差分方程的一般形式为：y(n+1)=f(y(n),y(n-1),...,y(n-k))其中，y表示系统在时间点n的状态，f是一个给定的函数，k表示差分方程的阶数，表示系统在过去k个时间点上的状态对当前状态的影响。
差分方程的解可以通过递归方法求得。
给定一个初始条件（通常是系统在初始时间点的状态），可以使用差分方程的递推关系式计算未来时间点上的状态。
例如，对于一个一阶差分方程：y(n+1)=a*y(n)+b其中a和b是常数，可以通过给定的初始条件y(0)求得差分方程的解。
根据递推关系式，可以计算y(1)、y(2)、y(3)等等。
在应用中，差分方程通常用于建模和预测。
通过观察系统在过去时间点上的行为，可以构建一个差分方程来描述系统的动态行为。
然后，可以使用差分方程来预测未来时间点上的系统状态。
这对于许多实际问题是非常有用的，例如经济学中的经济增长模型、工程学中的控制系统等。
此外，差分方程还可以用于分析系统的稳定性和收敛性。
通过分析差分方程的特征根（即差分方程的解的形式），可以得出系统是否稳定或收敛到一个特定的平衡点。
这对于控制系统设计和优化非常重要。
差分方程方法在许多领域中都有广泛的应用。
在物理学中，差分方程可以用于描述离散化的空间或时间系统，例如计算机模拟、粒子追踪等。
在工程学中，差分方程可以用于建模和控制系统，例如电路设计、机器人控制等。
在经济学中，差分方程可以用于经济增长模型、市场预测等。
总结起来，差分方程方法是一种描述离散时间系统行为的数学工具。
它具有简单的原理和应用广泛的特点，并且可以用于建模、预测和分析系统的稳定性和收敛性。
差分方程基本概念和方法
差分方程基本概念和方法差分方程是一种描述离散系统行为的数学模型，与微分方程类似。
差分方程的解描述了系统的演化过程，这使得差分方程在多个领域中有广泛的应用，如物理、生物、经济学等。
差分方程的基本概念：1.序列：差分方程的解是一个序列，即有序数字集合。
通常用{x_n}表示，其中n是自然数。
2.差分算子：在差分方程中，通常使用差分算子△来表示序列的递推关系。
差分算子△的作用是将序列中的元素转化为下一个元素。
3.初始条件：差分方程还需要初始条件。
初始条件是差分方程的一个边界条件，用来确定序列的起点。
差分方程的一般形式为：x_{n+1}=f(x_n)其中，x_{n+1}是序列中的下一个元素，f是一个给定的函数。
差分方程的解法可以分为两种方法：定解条件法和递推法。
1.定解条件法：此方法适用于已知一些递推关系的问题。
定解条件法的基本思想是找到满足差分方程的序列，并给出初始条件来解决方程。
步骤如下：a.先猜测一个可能的递推关系，并将其代入差分方程中。
b.解得的递推关系与给定的初始条件进行比较，如果相符，则该递推关系为差分方程的解。
c.如果猜测的递推关系与初始条件不符，可以再次猜测一个新的递推关系，继续以上步骤，直到找到满足条件的递推关系。
2.递推法：此方法适用于无法直接找到递推关系的情况。
递推法的基本思想是通过已知的序列元素来逐步计算下一个元素，以构造出满足差分方程的序列。
步骤如下：a.给出初始条件，即序列的前几项。
b.根据初始条件计算出序列的下一项，再利用这一项计算出下下一项，以此类推。
c.最终得到满足差分方程的序列。
需要注意的是，差分方程的解不一定存在，且可能存在多个解。
此外，解的形式可能是递推公式、闭式公式或者一个序列。
总之，差分方程是一种离散系统行为的数学模型，差分方程的解描述了系统的演化过程。
通过定解条件法和递推法，我们可以解决差分方程问题并得到满足条件的解。
高等数学中的差分方程相关知识点详解
高等数学中的差分方程相关知识点详解在高等数学中，差分方程是一个非常重要的数学工具，它被广泛应用于各种科学领域，如物理、化学、工程学等。
差分方程与微分方程不同，在处理离散数据时更加方便，因此在实际应用中得到了广泛的应用。
接下来，我们将详细介绍差分方程的相关知识点。
1.差分方程的定义差分方程是一种用递推关系式描述离散变量间数值关系的数学工具，通常表示为：$a_n=F(a_{n-1},a_{n-2},...,a_{n-k})$其中，$a_n$表示一个数列的第$n$项，$k$为正整数，$F$为给定的函数。
差分方程起始值$a_0,a_1,...,a_{k-1}$也是给定的。
2.差分方程的求解方法求解差分方程的过程与求解微分方程的过程类似，需要先求出差分方程的通解，然后根据初始条件得到特解。
（1）求通解对于一个$k$阶差分方程，我们可以猜测一个$k$次线性递推数列$\{b_n\}$，即$b_n=c_1\lambda_1^n+c_2\lambda_2^n+...+c_k\lambda_k^n$，其中$c_1,c_2,...,c_k$是任意常数，$\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_k$是$k$个根。
将猜测的线性递推数列带入差分方程中得到：$c_1\lambda_1^n+c_2\lambda_2^n+...+c_k\lambda_k^n=F(c_1\la mbda_1^{n-1}+c_2\lambda_2^{n-1}+...+c_k\lambda_k^{n-1},c_1\lambda_1^{n-2}+c_2\lambda_2^{n-2}+...+c_k\lambda_k^{n-2},...,c_1\lambda_1^{n-k}+c_2\lambda_2^{n-k}+...+c_k\lambda_k^{n-k})$整理得到：$c_1(\lambda_1^n-F(\lambda_1^{n-1},\lambda_1^{n-2},...,\lambda_1^{n-k}))+c_2(\lambda_2^n-F(\lambda_2^{n-1},\lambda_2^{n-2},...,\lambda_2^{n-k}))+...+c_k(\lambda_k^n-F(\lambda_k^{n-1},\lambda_k^{n-2},...,\lambda_k^{n-k}))=0$由于$c_1,c_2,...,c_k$是任意常数，因此需要使方程的每个系数都等于$0$，也就是：$\lambda_1^n-F(\lambda_1^{n-1},\lambda_1^{n-2},...,\lambda_1^{n-k})=0$$\lambda_2^n-F(\lambda_2^{n-1},\lambda_2^{n-2},...,\lambda_2^{n-k})=0$...$\lambda_k^n-F(\lambda_k^{n-1},\lambda_k^{n-2},...,\lambda_k^{n-k})=0$将上述$k$个方程写成矩阵的形式，即可解得$\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_k$。
差分方程
第七节 差分方程对连续型变量而言，我们常常回导致到微分方程的问题. 对离散型变量将导致一类的问题.一、差分的定义定义 设)(x y y =是一个函数, 自变量从x 变化到x +1, 这时函数的增量记为)()1(x y x y y x -+=∆, 我们趁这个量为)(x y 在点x 步长为1的一阶差分,简称为)(x y 的一阶差分. 为了方便我们也记)(),1(1x y y x y y x x =+=+,即x x x y y y -=∆+1.称x x x x x x x x y y y y y y y y +-=---=∆∆+++++121122)()()(为)(x y 二阶差分,简记为x y 2∆.同样记)(2x y ∆∆为x y 3∆,并称为三阶差分.一般记)(1x n x n y y -∆∆=∆,称为n 阶差分.且有i n x i ni i n x ny C y -+=-=∆∑)1(0. 性质: 当a,b,C 是常数, y x 和z x 是函数时,(1) Δ(C )=0;(2) Δ(Cy x )= C Δ(y x );(3) Δ(ay x + b z x )= a Δy x + b Δ z x ;(4) Δ(y x z x )= z x+1Δy x +y x Δ z x = y x+1Δz x +z x Δy x ;(5) 1111++++∆-∆=∆-∆=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∆x x x x x x x x x x x x x xz z z y y z z z z y y z z y . 例 已知),0(≠=x x y x α求Δ(y x ).解 Δ(y x )= ααx x -+)1(.特别, 当n 为正整数时, Δ(y x )= i n n i i n x C-=∑1, 阶数降了一阶.推论 若m, ,n 为正整数时, m,> n P(x)为n 次多项式,则0)(=∆x P m .例 已知),10(≠<=a a y x x 求Δ(y x ).解 Δ(y x )= )1(1-=-+a a a a x x x .二、差分方程定义 设是含有未知函数差分的等式，称为差分方程。
差分方程详解
差分方程百科内容来自于:差分方程是含有未知函数及其导数的方程，满足该方程的函数称为差分方程的解。
基本概念一、差分的概念设函数yt=f(t)在t=…，-2，-1，0，1，2，…处有定义,对应的函数值为…，y-2，y-1，y0，y1，y2，…，则函数yt=f(t)在时间t的一阶差分定义为Dyt=yt+1-yt=f(t+1)-f(t)。
依此定义类推，有Dyt+1=yt+2-yt+1=f(t+2)-f(t+1)，Dyt+2=yt+3-yt+2=f(t+3)-f(t+2)，………………一阶差分的性质(1) 若yt=C(C为常数)，则Dyt=0；(2) 对于任意常数k，D(kyt)=kDyt；(3) D(yt+zt)=Dyt+Dzt。
函数yt=f(t)在时刻t的二阶差分定义为一阶差分的差分，即D2yt= D (D yt)= D yt+1- D yt=(yt+2-yt+1)-(yt+1-yt)=yt+2-2yt+1+yt．依此定义类推，有D2yt+1= Dyt+2- Dyt+1=yt+3-2yt+2+yt+1，D2yt+2= Dyt+3-Dyt+2=yt+4-2yt+3+yt+2，………………类推，计算两个相继的二阶差分之差，便得到三阶差分D3yt= D2yt+1- D2yt=yt+3-3yt+2+3yt+1-yt，D3yt+1= D2yt+2- D2yt+1=yt+4-3yt+3+3yt+2-yt+1，………………一般地,k阶差分(k为正整数)定义为这里二、差分方程含有未知函数yt=f(t)以及yt的差分Dyt，D2yt，…的函数方程，称为常差分方程(简称差分方程)；出现在差分方程中的差分的最高阶数，称为差分方程的阶。
n阶差分方程的一般形式为F(t，yt，Dyt，…，Dnyt)=0，其中F是t，yt, Dyt，…，Dnyt的已知函数，且Dnyt一定要在方程中出现。
含有两个或两个以上函数值yt，yt+1，…的函数方程，称为(常)差分方程，出现在差分方程中未知函数下标的最大差，称为差分方程的阶。
差分方程基本知识
3. 常系数线性差分方程及解的性质
定义4 形如
ytn a1 ytn1 an1 yt1 an yt f ( x)
(1)
的差分方程称为n 阶常系数线性差分方程，其中
a1 , a2 , , an 为常数，且 an 0, f (t )为已知函数.
当 f (t) 0时，差分方程(1)称为齐次的，
例如，
yt2 2 yt1 yt 3t
是一个二阶差分方程， 可以化为
yt 2 yt1 yt2 3t2.
如果将原方程的左边写为
( yt2 yt1 ) ( yt1 yt ) yt1 yt 2 yt ,
则原方程还可化为 2 yt 3t.
若 f (t) 0, 则 (3) 称为一阶常系数非齐次线性
差分方程.
1. 常系数齐次线性差分方程的通解 对于一阶常系数齐次线性差分方程
yt1 ayt 0
(4)
通常有如下两种解法.
(1) 迭代法求解： 设 y0 已知，则
yn ayn1 a(ayn2 ) a2 yn2 an1 y1 an y0 ,
由于 a 1 , b 5 , a b,
22
故可设其特解为： yt* kbt .
代入方程，解得：k c 1 ,
ba 2
故原差分方程通解为：
yt
Y
yt*
A
1 t 2
1 2
5 t 2
.
(三) f (t) ctn (c为常数)， 则差分方程为
2
于是原方程的通解为
其中C为任意常数.
yt
C(
1)t , 2
差分方程基础知识
yt yt y
* t
C APt , 1 P A Ct ,
其中， A为任意常数，且当
P 1 时，
当
P 1 时，
C A y0 A1 , 1 P
A y0 A 1 .
例5 求差分方程
解 由于
yt 1 3 yt 2 的通解.
，故原方程的通解为
[(t 1) (t n 1)]t (t 1) (t n 2) nt
差分满足以下性质： （1） （2） （3）
(Cyt ) Cyt (C为常数)
（yt zt ) yt zt
（yt zt ) zt yt yt 1zt
y3 Py2 P y0
t
, yt Pyt 1 P y0 .
t y P y0 为方程的解.容易验证，对任意常数 A 则 t
yt APt
都是方程的解，故方程的通解为
yt APt
例4 求差分方程
yt 1 3 yt 0 的通解.
解 利用公式得，题设方程的通解为 yt A3 t.
yt zt yt yt zt （ ) ( zt 0) （4） zt zt 1 zt
例3 求 yt t 2 3t 的差分.
解 由差分的运算性质，有
yt (t 3 ) 3 t (t 1) (3 )
2 t t 2 2 t
3 (2t 1) (t 1) 2 3 3 (2t 6t 3)
差分方程基本知识
差分方程： 差分方程反映的是关于离散变量 的取值与变化规律。通过建立一个或几个离散 变量取值所满足的平衡关系，从而建立差分方 程。 差分方程就是针对要解决的目标，引入系统或 过程中的离散变量，根据实际背景的规律、性 质、平衡关系，建立离散变量所满足的平衡关 系等式，从而建立差分方程。通过求出和分析 方程的解，或者分析得到方程解的 特别性质 （平衡性、稳定性、渐近性、振动性、周期性 等），从而把握这个离散变量的变化过程的规 律，进一步再结合其他分析，得到原问题的解。
差分方程_精品文档
程）法。本节主要讲述前3种方法，后2种方法将在后续章节中讲
解。
一、差分方程的初值问题（边界条件）
二、差分方程的解法（前3种方法）
三、传输算子的概念
返回
一、差分方程的初值问题（边界条件）
相应于连续时间系统中的起始条件和初始条件, 在离散时间系统中存在着起始样值与初始样值。
起始样值即在激励信号加入之前系统已具有的 一组样值, 以符号y-(n)表示。
返回
例7-4-6 已知 y(n)+2y(n-1) =5u(n), 且y(-1) =1,
求完全解。
特征方程 a +2=0 a = -2
齐次解
yhn C1 2n
特解
因为x(n)=5u(n), n³0时为5（常数）
所以 yp(n) =D
代入原方程求特解 D+2D =5 (n 0)
完全解
所以 D 5
“E”表示将序列超前一个单位时间的运算。 E也称为移
序算子，利用移序算子可y(n写-1)出= 1: y(n)
对y于(n差+分1方)=程Eyy((nn)+1)
-
ay(n)
E
=x(n)
可改写为: （E - a）y(n) =x(n)
对于二例，可以引入
传输算子 HE 1
于是有：
Ea
而对于方程式 y(n) - ay(n-1) =x(n -1)
N
akCa nk 0
k 0
消去常数C，逐项除以a n-N 并化简得:
a0a N+a1a N-1+……+ aN-1a + aN=0
该式称为差分方程的特征方程，特征方程的根a1. a2 、……、 aN称为差分方程的特征根。
差分方程_基础知识
定义2 含有自变量、未知函数及其差分的方程, 称 为差分方程.
差分方程的一般形式为
F(x, yx, yx, , n yx) = 0.
(1)
差分方程中可以不含自变量 x 和未知函数 yx, 但必须含 有差分.
式(1)中, 当 n = 1时, 称为一阶差分方程；当n = 2时, 称为二阶差分方程.
yx+2 + ayx+1 + byx = 0
(11)
称为齐次差分方程; 当 f (x) 0时, 称为非齐次差分方程.
类似于二阶线性常微分方程, 二阶线性差分方程与 其有相同的解的结构. 故先求齐次方程(11)的通解.
当 为常数时, yx = x和它的各阶差商有倍数关系, 所以可设 yx = x为方程(11)的解.
其中B0 , B1 , , Bm为待定系数.
例5 求差分方程 yx+1 2yx = 3x2 的一个特解.
解 这里 a = 2, 设 °yx B0 B1x B2 x2,
代入差分方程, 得
B0+B1(x+1)+B2(x+1)2 2(B0+B1x+B2x2)=3x2. 整理, 得
差 分 方 程(1) ——基础知识
一、差分 二、差分方程的概念 三、一阶常系数线性差分方程 四、二阶常系数线性差分方程
一、差分
微分方程是自变量连续取值的问题, 但在很多实际问 题中, 有些变量不是连续取值的. 例如, 经济变量收入、储 蓄等都是时间序列, 自变量 t 取值为0, 1, 2, , 数学上把这 种变量称为离散型变量. 通常用差商来描述因变量对自变 量的变化速度.
2(x3) = (3x2 + 3x + 1) = 3(x + 1)2 + 3(x + 1) + 1 (3x2 + 3x + 1) = 6x + 6,
(整理)差分方程
第三章 差分方程及其应用在经济与管理及其它实际问题中，许多数据都是以等间隔时间周期统计的。
例如，银行中的定期存款是按所设定的时间等间隔计息，外贸出口额按月统计，国民收入按年统计，产品的产量按月统计等等。
这些量是变量，通常称这类变量为离散型变量。
描述离散型变量之间的关系的数学模型成为离散型模型。
对取值是离散化的经济变量，差分方程是研究他们之间变化规律的有效方法。
本章介绍差分方程的基本概念、解的基本定理及其解法，与微分方程的基本概念、解的基本定理及其解法非常类似，可对照微分方程的知识学习本章内容。
§1 基本概念 线性差分方程解的基本定理一、 基本概念1、函数的差分对离散型变量，差分是一个重要概念。
下面给出差分的定义。
设自变量t 取离散的等间隔整数值：，，，， 210±±=t t y 是t 的函数，记作)(t f y t =。
显然，t y 的取值是一个序列。
当自变量由t 改变到1+t 时，相应的函值之差称为函数)(t f y t =在t 的一阶差分，记作t y ∆，即)()1(1t f t f y y y t t t -+=-=+∆。
由于函数)(t f y t =的函数值是一个序列，按一阶差分的定义，差分就是序列的相邻值之差。
当函数)(t f y t =的一阶差分为正值时，表明序列是增加的，而且其值越大，表明序列增加得越快；当一阶差分为负值时，表明序列是减少的。
例如：设某公司经营一种商品，第t 月初的库存量是)(t R ，第t 月调进和销出这种商品的数量分别是)(t P 和)(t Q ，则下月月初，即第1+t 月月初的库存量)1(+t R 应是)()()()1(t Q t P t R t R -+=+，若将上式写作)()()()1(t Q t P t R t R -=-+，则等式两端就是相邻两月库存量的改变量。
若记))()1()(t R t R t R -+=∆，并将理解为库存量)(t R 是时间t 的函数，则称上式为库存量函数)(t R 在t 时刻（此处t 以月为单位）的差分。
差分方程笔记
差分方程笔记
差分方程是一种数学工具，它可以帮助我们研究某些重要类型的函数。
它表示不同值之间的变化，并且可以定义函数的行为。
因此，差分方程在数学中有广泛的应用。
差分方程的定义是，给定一个函数f（x），它表示不同x值之间的变化，可以通过求解关于x的微分方程来解释这种变化。
因此，差分方程可以用来表示一个函数的行为。
微分方程的求解过程可以分为三个步骤：求函数的微分，求微分方程的解，并确定解的精确类型。
第一步，我们首先要求函数的微分，也就是求斜率。
微分可以理解为一个函数的变化速度。
它用来描述函数的变化率。
在求解微分方程的解之前，我们需要根据所求的函数定义其格式，使用基本的微积分定理来解决它。
根据函数的特征，我们可以求出微分方程的一般解，其中包含一个或多个未知数。
最后，我们可以求出函数的定积分。
定积分可以用来求出函数的精确表达，从而确定解的精确类型，并可以详细了解函数的行为。
以上就是求解差分方程的基础知识。
差分方程经常用于研究常见的函数，这些函数经常用于解决实际的问题。
例如，电子电路和机器人控制系统都有利用差分方程研究的应用。
因此，差分方程的研究是数学中重要的一个领域。
它的研究可以帮助我们解决许多实际问题，这些问题通常很复杂，需要我们深入探索。
此外，差分方程也可以应用于计算机科学和工程研究中。
总而言之，差分方程在数学中有广泛的应用，它可以用来帮助我们解决实际问题，可以让我们更好地理解函数的行为，也可以用于计算机科学和工程领域中的研究，因此它受到了广泛的认可。
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差分方程模型的理论和方法1、差分方程：差分方程反映的是关于离散变量的取值与变化规律。
通过建立一个或几个离散变量取值所满足的平衡关系，从而建立差分方程。
差分方程就是针对要解决的目标，引入系统或过程中的离散变量，根据实际背景的规律、性质、平衡关系，建立离散变量所满足的平衡关系等式，从而建立差分方程。
通过求出和分析方程的解，或者分析得到方程解的特别性质（平衡性、稳定性、渐近性、振动性、周期性等），从而把握这个离散变量的变化过程的规律，进一步再结合其他分析，得到原问题的解。
2、应用：差分方程模型有着广泛的应用。
实际上，连续变量可以用离散变量来近似和逼近，从而微分方程模型就可以近似于某个差分方程模型。
差分方程模型有着非常广泛的实际背景。
在经济金融保险领域、生物种群的数量结构规律分析、疾病和病虫害的控制与防治、遗传规律的研究等许许多多的方面都有着非常重要的作用。
可以这样讲，只要牵涉到关于变量的规律、性质，就可以适当地用差分方程模型来表现与分析求解。
3、差分方程建模：在实际建立差分方程模型时，往往要将变化过程进行划分，划分成若干时段，根据要解决问题的目标，对每个时段引入相应的变量或向量，然后通过适当假设，根据事物系统的实际变化规律和数量相互关系，建立每两个相邻时段或几个相邻时段或者相隔某几个时段的量之间的变化规律和运算关系（即用相应设定的变量进行四则运算或基本初等函数运算或取最运算等）等式（可以多个并且应当充分全面反映所有可能的关系），从而建立起差分方程。
或者对事物系统进行划分，划分成若干子系统，在每个子系统中引入恰当的变量或向量，然后分析建立起子过程间的这种量的关系等式，从而建立起差分方程。
在这里，过程时段或子系统的划分方式是非常非常重要的，应当结合已有的信息和分析条件，从多种可选方式中挑选易于分析、针对性强的划分，同时，对划分后的时段或子过程，引入哪些变量或向量都是至关重要的，要仔细分析、选择，尽量扩大对过程或系统的数量感知范围，包括对已有的、已知的若干量进行结合运算、取最运算等处理方式，目的是建立起简洁、深刻、易于求解分析的差分方程。
在后面我们所举的实际例子中，这方面的内容应当重点体会。
差分方程模型作为一种重要的数学模型，对它的应用也应当遵从一般的数学建模的理论与方法原则。
同时注意与其它数学模型方法结合起来使用，因为一方面建立差分方程模型所用的数量、等式关系的建立都需要其他的数学分析方式来进行；另一方面，由差分方程获得的结果有可以进一步进行优化分析、满意度分析、分类分析、相关分析等等。
第一节 差分一、 基本概念1、差分算子设数列{}n x ，定义差分算子n n n x x x -=∆∆+1:为n x 在n 处的向前差分。
而1--=∆n n n x x x 为n x 在n 处的向后差分。
以后我们都是指向前差分。
可见n x ∆是n 的函数。
从而可以进一步定义n x ∆的差分：n n x x 2)(∆=∆∆称之为在n 处的二阶差分，它反映的是的增量的增量。
类似可定义在n 处的k 阶差分为：))((1n k n k x x -∆∆=∆2、差分算子 、不变算子、平移算子记n n n n x Ix x Ex ==+,1，称E 为平移算子，I 为不变算子 。
则有：n n n n x I E Ix Ex x )(-=-=∆I E -=∆∴由上述关系可得：i n ki i k i k n ik i i k i k n k n k x C x E C x I E x +=-=-∑∑-=-=-=∆00)1()1()( （1） 这表明n x 在n 处的k 阶差分由n x 在k n n n ++....1,，处的取值所线性决定。
反之，由 n n n x x x -=∆+1 得 n n n x x x ∆+=+1：n n n n x x x x +-=∆++1222，得：n n n n x x x x 2122∆++-=++,这个关系表明：第n+2项可以用前两项以及相邻三项增量的增量来表现和计算。
即一个数列的任意一项都可以用其前面的k 项和包括这项在内的k+1 项增量的增量的增量……..第k 层增量所构成。
……..,)1(10k n i n k i i k i k n kx x C x ++-=-+-=∆∑得： n k i n k i i k i k k n x x C x ∆+--=+-=-+∑10)1( （2）可以看出：k n x +可以由n k n n x x x ∆∆,...,,的线性组合表示出来3、差分方程由n x 以及它的差分所构成的方程),...,,,(1n k n n n k x x x n f x -∆∆=∆ （3）称之为k 阶差分方程。
由（1）式可知（3）式可化为),...,,,(11-+++=k n n n k n x x x n F x （4）故（4）也称为k 阶差分方程（反映的是未知数列n x 任意一项与其前，前面k 项之间的关系）。
由（1）和（2）可知，（3）和（4）是等价的。
我们经常用的差分方程的形式是（4）式。
4、差分方程的解与有关概念（1） 如果n x 使k 阶差分方程（4）对所有的n 成立，则称n x 为方程（4）的解。
（2） 如果-=x x n （-x 为常数）是（4）的解，即),...,,(---=x x n F x则称-=x x n 为（4）的平衡解或叫平衡点。
平衡解可能 不只一个。
平衡解的基本意义是：设n x 是（4）的解，考虑n x 的变化性态，其中之一是极限状况，如果x x n n =∞→lim ，则方程（4）两边取极限（x 就存在在这里面），应当有),...,,(---=x x n F x （3） 如果（4）的解n x 使得--x x n 既不是最终正的，也不是最终负的，则称n x 为关于平衡点-x 是振动解。
（4） 如果令：--=x x y n n ，则方程（4）会变成),...,,(1-++=k n n k n y y n G y （5）则 0=y 成为（5）的平衡点。
（5） 如果（5）的所有解是关于0=y 振动的，则称k 阶差分方程 （5）是振动方程。
如果（5）的所有解是关于0=y 非振动的，则称k 阶差分方程（5）是非振动方程。
（6） 如果（5）有解n y ，使得对任意大的y N 有 0>≥n N n ySup y则称n y 为正则解。
（即不会从某项后全为零）（7） 如果方程（4）的解n x 使得-∞→=x x Lim n n ，则称n x 为稳定解。
5、差分算子的若干性质（1）n n n n y x y x ∆+∆=+∆βαβα)(.)(（2）)(1)(1n n n n n n n ny x x y y y y x ∆-∆=∆+（3）n n n n n n y x x y y x ∆+∆=∆+1)(（4）∑∑==+++∆+-=∆bak k k a b a k a b b k k y x y x y x x y 111 （5）∑=∆=+∆==ni i in n nn x C x I x E x 0000)(第二节 差分方程常用解法与性质分析1、常系数线性差分方程的解方程)(...110n b x a x a x a n k k n k n =+++-++ （ 8）其中k a a a ,...,,10为常数，称方程（8）为常系数线性方程。
又称方程0...110=+++-++n k k n k n x a x a x a （9）为方程（8）对应的齐次方程。
如果（9）有形如nn x λ=的解，带入方程中可得：0 (11)10=++++--k k k k a a a a λλλ （10）称方程（10）为方程（8）、（9）的特征方程。
显然，如果能求出（10）的根，则可以得到（9）的解。
基本结果如下：（1） 若（10）有k 个不同的实根，则（9）有通解：n k k n n n c c c x λλλ+++=...2211，（2） 若（10）有m 重根λ，则通解中有构成项：n m m n c n c c λ)...(121----+++（3）若（10）有一对单复根 βαλi ±=，令：ϕρλi e ±=，αβϕβαρarctan,22=+=，则（9）的通解中有构成项： n c n c n n ϕρϕρsin cos 21--+（4） 若有m 重复根：βαλi ±=，φρλi e ±=，则（9）的通项中有构成项：n n c n c c n n c n c c n m m m m n m m ϕρϕρsin )...(cos )...(1221121---++---+++++++综上所述，由于方程（10）恰有k 个根，从而构成方程（9）的通解中必有k 个独立的任意常数。
通解可记为：-n x 如果能得到方程（8）的一个特解：*n x ，则（8）必有通解：=n x -n x +*n x （11）（8） 的特解可通过待定系数法来确定。
例如：如果)(),()(n p n p b n b m m n =为n 的多项式，则当b 不是特征根时，可设成形如)(n q b m n 形式的特解，其中)(n q m 为m 次多项式；如果b 是r 重根时，可设特解：r n n b )(n q m ，将其代入（8）中确定出系数即可。
例1 设差分方程1,0,0231012===++++x x x x x n n n ，求n x解：特征方程为0232=++λλ，有根：2,121-=-=λλ故：n n n c c x )2()1(21-+-=为方程的解。
由条件1,010==x x 得：n n n x )2()1(---=2、二阶线性差分方程组设=)(n z )(n y x n ，)(dc b a A =，形成向量方程组 )()1(n Az n z =+ （12）则 )1()1(z A n z n =+ （13）（13）即为（12）的解。
为了具体求出解（13），需要求出n A ，这可以用高等代数的方法计算。
常用的方法有：（1）如果A 为正规矩阵，则A 必可相似于对角矩阵，对角线上的元素就是A 的特征值，相似变换矩阵由A 的特征向量构成：)1()()1(,,111z p p n z p p A p p A n n n Λ=+∴Λ=Λ=---。
（2）将A 分解成ηξξη,,/,=A 为列A A n n n .)(.......).(1//.//-===ηξηξηξηξηξ从而，)1(.)()1()1(1/Az z A n z n n -==+ηξ（3） 或者将A 相似于约旦标准形的形式，通过讨论A 的特征值的性态，找出n A 的内在构造规律，进而分析解)(n z 的变化规律，获得它的基本性质。