§16.6 测不准原理

(图16.6a )一束水珠穿过单缝

（图16.6b ）一束光子穿过单狭缝

§16.6 测不准原理

在本教程即将结束时，再次强调微观粒子与宏观质点的不同特点．

（一）宏观质点的位置坐标与动量的关系

在经典力学中，一个宏观质点的运动状态，可用

位置坐标、动量，以及运动轨道等概念来描述．已知

一质点在某时刻的坐标和动量，以及它所在力场的性

质，则可按牛顿运动定律求得它在任一时刻的坐标和

动量，以及任一段时间内的运动轨道．

看一个简单的例子，如（图16.6a ），设有一高压

水枪，射出一束水注，沿着y 轴方向，垂直投射在一

个宽为b 的单缝中．这束水珠穿过单缝后，冲击在垂直于y 轴的屏上Q 0点附近．（假设不计水珠所受重力，以及被缝的边缘阻挡的水珠）．当缝

的宽度b 缩小一些时，通过缝的水珠的位置总的来说都是互相接近一些的．当缝的宽度b 增大一些时，穿过缝的水珠的位置却是互相离开一些的．但是，不论缝中水珠的位置互相接近或离开，对它们的动量的大小和方向不会有影响．这是我们的常识可以得出的结论，也与经典力学一致．

（二）光子的位置坐标与动量的关系

如（图16.6b ），设有一束光子穿过宽度为a 的单狭缝．在屏上相当宽的范围，将出现衍射条纹．这就是第三篇§12.5所说的光的单缝衍射条纹，这是光的波粒二象性应有的结果．

如（图16.6b ），设Q 1与Q －1为此单缝衍射条

纹的第一级极小位置，则Q 1至Q －1范围内便是中央

亮纹的位置．光波的大部分能量投射在中央亮纹，

也就是说，穿过狭缝的光子，大多数到达中央亮纹．

设Q 1所对应的偏角为1ϕ，此束光子的波长为

λ，则按单缝衍射公式可得如下关系：

〔单缝衍射第一级极小位置的偏角1ϕ〕 a sin 1ϕ=

λ （16.6.1）

此式表明：a 值较小，则1ϕ值较大．也就是说，当光子通过狭缝时，彼此的位置比较靠近，则它们射到屏上的分散范围就比较大．

从光子的动量变化，也可看出它们的衍射情况．在进入狭缝时，光子的动量都等于p ，方向都与y 轴一致，即y p p

=、0p x =．穿过狭缝射向中央亮纹的光子，它们的方向分散在偏角－1ϕ到1ϕ范围内．也就是说，从狭缝穿出的光子，它们的动量的x 轴分量x p ，其数值的分布范围为0≤x p ≤p sin 1ϕ．光子的x p 值之间的最大差值△x p =p sin 1ϕ－0=p sin 1ϕ．此△x p 称为x p 的测不准量．如果考虑到还有光子会射到中央亮纹以外，则x p 的测不准量△x p 的关系式应写成：△x p ≥p sin 1ϕ．

光子在狭缝中的位置坐标x 之间的最大差值△x ，显然等于缝宽a ．也就是说，x 的测不准量△x=a ．

⎥⎦⎤⎢⎣⎡∆∆x p x 与测不准量 λ=ϕ≥∆⋅∆ϕ≥∆=∆p s i n

p p x s i n p p ,x 1x 1x a a )3.6.16()2.6.16( 最后一式用到（16.6.1）式：a sin 1ϕ=λ．

按德布罗意公式（16.1.5），p=h/λ，可将（16.6.3）式写成：

〔△x 与△x p 的测不准关系〕 △x ·△x p ≥p λ=h （16.6.4）

现在强调一下这个测不准关系式的重要意义．此式表明，△x 很小时，△x p 很大，△x 与△x p 的乘积必定大于常量h ．这就是说，如果缩小狭缝的宽度a ，使得穿过狭缝光子的位置测不准量△x 缩小，则必定使得这些光子的动量分量测不准量△x p 增大．简单地说，光子的坐标x 测得越准确．它的动量分量x p 就测得越不准确．

反过来，如果增大狭缝的宽度a ，按（16.6.1）式可知，a 增大，则1ϕ、sin 1ϕ、x p 和△x p 都会缩小．a 增大，△x=a 也增大．这表明，光子的动量分量x p 测得准确，它的坐标x 就测得不准确．

（三）海森伯的测不准关系（或称不确定关系）

如果用电子束代替上述的光子束，令电子束通过相应的单狭缝，也可测到电子波的单狭缝衍射条纹，也可从电子的波粒二象性关系式，导出测不准关系式（16.6.4）．

由于微观粒子都具有波粒二象性，因此，测不准关系式（16.6.4）对所有微观粒子都适用．

比较（图16.6a ）与（图16.6b ）可知，测不准关系式（16.6.4）不适用于宏观质点．对宏观质点，可同时准确测定它的位置坐标与动量，可应用轨道的概念描述它的运动．宏观质点不具有波粒二象性，它的运动可用经典力学描述．

测不准关系式（16.6.4）乃是只讲数量级的估算式子，式子中的普朗克常量可用h ，也可用 =h/2π表示．这个关系式不限于单狭缝衍射的简单例子，它可推广于微观粒子的一般运动情况：

⎢⎣⎡测不准关系微观粒子的16.6.5） 这就是1927年初，德国年青物理学家海森堡提出的测不准原理❶．有的课本称上式为不确定度关系．

（四）微观粒子的能量与时间的测不准关系

设想有一束微观粒子，沿x 轴自由运动，其动量为p ．按测不准关系式（16.6.5）可知：

△x ·△x p ≥ , x p p = （16.6.6）

设此自由微粒的速度v <

v <

此式代入（16.6.6）式得：

△x ·△p=△x ·△E/v =△t ·△E ≥

〔微观粒子的能量与时间的测不准关系〕△E ·△t ≥ （16.6.7）

这个结论表明，微观粒子的能量与时间不可能同时进行准确的测量．比方说，氢原子在激发态的时间为10－8秒，可认为它的时间测不准量△t=10－8秒．代入（16.6.7）式便可得到

❶《英汉物理学词汇》367页，科学出版社1975年版．