§16.6 测不准原理

(图16.6a )一束水珠穿过单缝（图16.6b ）一束光子穿过单狭缝§16.6 测不准原理在本教程即将结束时，再次强调微观粒子与宏观质点的不同特点．（一）宏观质点的位置坐标与动量的关系在经典力学中，一个宏观质点的运动状态，可用位置坐标、动量，以及运动轨道等概念来描述．已知一质点在某时刻的坐标和动量，以及它所在力场的性质，则可按牛顿运动定律求得它在任一时刻的坐标和动量，以及任一段时间内的运动轨道．看一个简单的例子，如（图16.6a ），设有一高压水枪，射出一束水注，沿着y 轴方向，垂直投射在一个宽为b 的单缝中．这束水珠穿过单缝后，冲击在垂直于y 轴的屏上Q 0点附近．（假设不计水珠所受重力，以及被缝的边缘阻挡的水珠）．当缝的宽度b 缩小一些时，通过缝的水珠的位置总的来说都是互相接近一些的．当缝的宽度b 增大一些时，穿过缝的水珠的位置却是互相离开一些的．但是，不论缝中水珠的位置互相接近或离开，对它们的动量的大小和方向不会有影响．这是我们的常识可以得出的结论，也与经典力学一致．（二）光子的位置坐标与动量的关系如（图16.6b ），设有一束光子穿过宽度为a 的单狭缝．在屏上相当宽的范围，将出现衍射条纹．这就是第三篇§12.5所说的光的单缝衍射条纹，这是光的波粒二象性应有的结果．如（图16.6b ），设Q 1与Q －1为此单缝衍射条纹的第一级极小位置，则Q 1至Q －1范围内便是中央亮纹的位置．光波的大部分能量投射在中央亮纹，也就是说，穿过狭缝的光子，大多数到达中央亮纹．设Q 1所对应的偏角为1ϕ，此束光子的波长为λ，则按单缝衍射公式可得如下关系：〔单缝衍射第一级极小位置的偏角1ϕ〕 a sin 1ϕ=λ （16.6.1）此式表明：a 值较小，则1ϕ值较大．也就是说，当光子通过狭缝时，彼此的位置比较靠近，则它们射到屏上的分散范围就比较大．从光子的动量变化，也可看出它们的衍射情况．在进入狭缝时，光子的动量都等于p ，方向都与y 轴一致，即y p p=、0p x =．穿过狭缝射向中央亮纹的光子，它们的方向分散在偏角－1ϕ到1ϕ范围内．也就是说，从狭缝穿出的光子，它们的动量的x 轴分量x p ，其数值的分布范围为0≤x p ≤p sin 1ϕ．光子的x p 值之间的最大差值△x p =p sin 1ϕ－0=p sin 1ϕ．此△x p 称为x p 的测不准量．如果考虑到还有光子会射到中央亮纹以外，则x p 的测不准量△x p 的关系式应写成：△x p ≥p sin 1ϕ．光子在狭缝中的位置坐标x 之间的最大差值△x ，显然等于缝宽a ．也就是说，x 的测不准量△x=a ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡∆∆x p x 与测不准量 λ=ϕ≥∆⋅∆ϕ≥∆=∆p s i np p x s i n p p ,x 1x 1x a a )3.6.16()2.6.16( 最后一式用到（16.6.1）式：a sin 1ϕ=λ．按德布罗意公式（16.1.5），p=h/λ，可将（16.6.3）式写成：〔△x 与△x p 的测不准关系〕 △x ·△x p ≥p λ=h （16.6.4）现在强调一下这个测不准关系式的重要意义．此式表明，△x 很小时，△x p 很大，△x 与△x p 的乘积必定大于常量h ．这就是说，如果缩小狭缝的宽度a ，使得穿过狭缝光子的位置测不准量△x 缩小，则必定使得这些光子的动量分量测不准量△x p 增大．简单地说，光子的坐标x 测得越准确．它的动量分量x p 就测得越不准确．反过来，如果增大狭缝的宽度a ，按（16.6.1）式可知，a 增大，则1ϕ、sin 1ϕ、x p 和△x p 都会缩小．a 增大，△x=a 也增大．这表明，光子的动量分量x p 测得准确，它的坐标x 就测得不准确．（三）海森伯的测不准关系（或称不确定关系）如果用电子束代替上述的光子束，令电子束通过相应的单狭缝，也可测到电子波的单狭缝衍射条纹，也可从电子的波粒二象性关系式，导出测不准关系式（16.6.4）．由于微观粒子都具有波粒二象性，因此，测不准关系式（16.6.4）对所有微观粒子都适用．比较（图16.6a ）与（图16.6b ）可知，测不准关系式（16.6.4）不适用于宏观质点．对宏观质点，可同时准确测定它的位置坐标与动量，可应用轨道的概念描述它的运动．宏观质点不具有波粒二象性，它的运动可用经典力学描述．测不准关系式（16.6.4）乃是只讲数量级的估算式子，式子中的普朗克常量可用h ，也可用 =h/2π表示．这个关系式不限于单狭缝衍射的简单例子，它可推广于微观粒子的一般运动情况：⎢⎣⎡测不准关系微观粒子的16.6.5） 这就是1927年初，德国年青物理学家海森堡提出的测不准原理❶．有的课本称上式为不确定度关系．（四）微观粒子的能量与时间的测不准关系设想有一束微观粒子，沿x 轴自由运动，其动量为p ．按测不准关系式（16.6.5）可知：△x ·△x p ≥ , x p p = （16.6.6）设此自由微粒的速度v <<c ，则其能量E 与动量p 的关系为：v <<c ，E=m v 2/2=p 2/2m ，∴△E=p △p/m=v △p ．此式代入（16.6.6）式得：△x ·△p=△x ·△E/v =△t ·△E ≥〔微观粒子的能量与时间的测不准关系〕△E ·△t ≥ （16.6.7）这个结论表明，微观粒子的能量与时间不可能同时进行准确的测量．比方说，氢原子在激发态的时间为10－8秒，可认为它的时间测不准量△t=10－8秒．代入（16.6.7）式便可得到❶《英汉物理学词汇》367页，科学出版社1975年版．它的能量测不准量△E：△E≥ /△t=1.05×10－34/10－8=1.05×10－26焦耳．这就是说，能量测不准量△E大于10－26焦．在（表15.3a）已列出，可见光光子的能量约为10－19焦．因此，氢原子发出的光谱线必定有一定的宽度．这结论已为实验所证实．（五）量子力学发展的艰辛历程❶❷1900年，普朗克为了从理论上说明热辐射的实验结果，提出了能量子的假设．这是牛顿以后自然哲学所经受的最巨大、最深刻的变革．从此以后人们不断地、严谨地探索微观粒子的客观性质．微观粒子的波粒二象性，它的波函数可表达几率密度，它的波动方程可导出四个量子数，它的位置坐标与动量、它的能量与时间都具有测不准关系，这一些主要结论互相一致，并都能纳入系统严密的量子力学中去．但是由于经典物理的辉煌成就，经典概念的深入人心，量子力学的发展过程是相当艰辛的．普朗克提出量子假设后，徘徊观望十几年，他企图把量子假设与经典理论调和起来，他首先起来反对爱因斯坦勇敢地推广量子理论．爱因斯坦是20世纪物理学两大重要发现（量子论与相对论）的元勋，是最受人们尊重的天才之一．但他与玻尔对量子力学的争论，是物理学史上持续时间最长、争论最激烈和最富有哲学意义的争论之一．玻尔是哥本哈根（丹麦首都）学派的领导人，他身边集结了一批极有才华的年青人，例如对波函数提出统计解释的玻恩，对微粒运动提出测不准关系的海森伯等．玻尔曾经提醒爱因斯坦，位置与动量、能量与时间的测不准关系，与他的相对论所说的时间要随运动系统而确定一样，都是人们不熟悉的客观规律．然而，爱因斯坦仍然认为一种完备的理论应该是决定论的，不应该用几率和测不准关系来表达微粒的运动．他多次设计理想实验，想证明测不准原理有错误，可是这些实验却证明测不准原理并无错误．由于对大多数学者接受的、哥本哈根学派量子理论的解释深感不满，爱因斯坦晚年，将自己置身于物理学发展的主流之外，一个人孤独而又艰难的跋涉着．哥本哈根学派的量子理论解释，也不是完美无缺的．物理学总要不断地向前发展，人类对自然规律的认识过程，总是不平坦的．〔例题16.6A〕试比较电子和质量为10g的子弹，在确定它们的位置时的不准量△x e和△x b．假定它们都沿x方向、以v=200m·s－1的速度运动，速度的测量误差在0.01%以内．〔解〕（1）由于v<<c，可知电子的质量m e=9.1×10－31kg．按题意，此电子的速度不准量△v=0.01%×v =10－4×200=2×10－2m/s，此电子的动量不准量△e p=m e△v=18.2×10－33kg·m/s．△v比v小得多，△e p也比e p=m e v小得多．代入测不准关系式（16.6.5）可得：△x e≥ /△e p=1.05×10－34/18.2×10－33=5.77×10－3m．已知原子的大小为10－10m数量级，上述电子的位置测不准量△x e比原子约大107倍．可知此电子的△e p较小，△x e就较大．此电子的动量测得准，位置就测不准．（2）按题意所述子弹的动量测不准量△b p可计算如下：❶杨建邺、止戈编著《杰出物理学家的失误》113—115，136—142页，1986年版．❷周世勋编《量子力学》399—405页，1961年版．△b p=m b△v=10×10－3×2×10－2=2.0×10－4kg·m/s．按测不准关系式（16.6.5），可求得此子弹的位置测不准量△x b：p 1.05×10－34/2×10－4=5.25×10－31m．△x b≥ /△b可知此子弹的△x b与△b p都很小，子弹的x b与b p可同时准确地测量．子弹是宏观物体，不具有波粒二象性，不受微观粒子测不准关系式（16.6.5）的限制．〔例题16.6B〕已知原子核线度的数量级为10－14米．假设电子被束缚在原子核内，试应用测不准关系估算此电子的动能有多大?〔解〕电子如果在原子核内，电子的位置不准量可认为是△x=10－14米．按照测不准关系式（16.6.5），此电子的动量不准量△p≥h/△x，即△p≥h/△x=6.63×10－34/10－14=6.63×10－20千克·米/秒．此电子的动量p不应小于△p，即p≥△p≥6.63×10－20千克·米/秒．按狭义相对论公式（见第一编〔附录4F〕）有：总能ε2=c2p2+20E，动能E k=ε－E0．由于cp≥3×108×6.63×10－20=1.99×10－11焦．此电子的静能E0=m0c2=9.1×10－31×9×1016=8.22×10－14焦．此静能E0远小于cp值，因此可略去E0，求得此电子的动能E k：E k=ε=cp≥1.99×10－11焦=124兆电子伏特．已知氘核的结合能为△E D=2.23兆电子伏特❶．上述电子的动能E k远大于△E D值，此电子会把氘核打碎．可知把电子关闭在一些原子核中是不可能的．❶程守洙、江之永主编《普通物理学》第三册（第三版）373—375页，1979年版．。