建筑曲率的计算公式模版
曲率及讲义其计算公式00517
4
2O
y=0．4 x2
2
x
谢谢观看
例2 抛物线yax2bxc 上哪一点处的曲率最大？K ( 1 | y y 2 | ) 3 2
解 由yax2bxc，得 y2axb ，y2a ，
代入曲率公式，得 K ( 1 | y y 2 | ) 3 2 [1(2a|2xa|b)2]32
要使K 最大，只须2axb0， 即 x b ． 而 x b 对应的点为 2 a 2 a
a a a s e c 2 d y ， d y y ，
a． a d d 1 t 2 1 y x a 2 x
于是 d y d x ． 又 知 d s 1 y 2 d x 1 y 2
从而，有 | y |
K ( 1 y 2 ) 3 2
例1
计算等双曲线x y 1在点(1，1)处的曲率．
M1
M2
N1
N2 )j
可以用单位弧段上切线转过的角度的大小来表达弧段的平均 弯曲程度，
设曲线C是光滑的，曲线 线C上从点M 到点M 的弧
为Ds ，切线的转角为Da ．
C y
M
M0
s
Ds M
Da
a
a+Da
平均曲率：
O
x
）
我 们 称 K D a为 弧 段 M M 的 平 均 曲 率 ． D s 曲率：
显然，弧 s 是 x 的函数：ss(x)，而且s(x)是x的单调增加函 数．
y
yHale Waihona Puke M0 s>0M
O x0
x
M s<0 M0
xO x
x0
x
下面来求s(x)的导数及微分．
设x ， x+ Dx 为(a，b)内两个邻近的点，它们在曲线 yf(x)上的对应点为M，M，并设对应于x的增量Dx ，弧 s 的增 量为Ds，于是
曲率及其计算公式
抛物线顶点处的曲率半径为
r 1 1．25．
K 所以选用砂轮的半径不得超过1．25单位长，即直径不得超过
2．50单位长．
y
4
2O
y=0．4 x2
2
x
例3 设工件表面的截线为抛物线y0．4x 2．现在要用砂轮 磨削其内表面．问用直径多大的砂轮才比较合适？
解 砂轮的半径不应大于抛物线顶点处的曲率半径． y0．8x ，y0．8， y|x00，y|x00．8．
把它们代入曲率公式，得
K | y | 0．8．2
1 2．
(1 y2 )3 2 (1 (1)2 )3 2 2 2
设x ， x+ Dx 为(a，b)内两个邻近的点，它们在曲线 yf(x)上的对应点为M，M，并设对应于x的增量Dx ，弧 s 的增 量为Ds，于是
(
(
(
Ds Dx
2
MM Dx
2
|
MM MM
|
2
|
MM |2 (Dx)2
|
MM MM
|
2
(Dx)2 (Dy (Dx)2
)2
(
|
MM MM
2a
抛物线的顶点．因此，抛物线在顶点处的曲率最大，最大曲率为
K|2a| ．
讨论：
1．直线上任一点的曲率等于什么？
提示：设直线方程为y=ax+b，则y =a， y = 0．于是
K
| (1
y | y2 )3
2
0.
2．若曲线由参数方程
x j (t)
y
(t
)
给出，那么曲率如何计算？
提示：
K
| j(t) (t) j(t) (t) [j2 (t) 2 (t)]3 2
曲率及其曲率半径的计算课件
提示: 设直线方程为y=ax+b，则y =a， y = 0．于是
K
| (1
y | y2 )3
2
0.
2. 若曲线由参数方程
x j (t)
y
(t
)
给出，那么曲率如何计算？
提示:
K
| j(t) (t) j(t) (t) [j2 (t) 2 (t)]3 2
|
．
10
三、曲率圆与曲率半径
y
曲线在M点的曲率半径
2a ,
代入曲率公式, 得
K
| (1
y | y2 )3
2
． [1
| 2a | (2ax b)2 ]3
2
要使K 最大, 只须2ax b 0, 即 x b ．而 x b 对应的点为
2a
2a
抛物线的顶点. 因此，抛物线在顶点处的曲率最大，最大曲率为
K |2a| .
9
讨论:
1．直线上任一点的曲率等于什么？
|
2
|
MM |2 (Dx)2
|
MM MM
|
2
(Dx)2 (Dy (Dx)2
)2
(
|
MM MM
|
2
1
Dy Dx
2
(
Ds Dx
|
MM MM
|
2
1
Dy Dx
2
y M0
M
Ds M
Dy
Dx
O x0
x x+Dx x 3
(
Ds
Dx
|
MM MM
|
2
1
，y
2 x3
．
因此，y |x 1 1，y |x 1 2.
曲率及其计算公式
应用
通过空间曲率计算公式，可以了 解空间曲线在某一点的弯曲程度 ，对于分析三维几何图形、优化 航天器轨道等方面具有重要意义
。
曲率计算公式的应用
工程设计
在工程设计中，曲率计算公式常 用于分析曲线形状的合理性，如 道路设计、桥梁工程等。
物理研究
在物理研究中，曲率计算公式可 用于描述粒子运动的轨迹、电磁 场的分布等。
解释
该公式表示平面曲线在某一点的曲率，其中y''表示该点处曲线的二阶导数，y'表示该点 处曲线的导数。
应用
通过曲率计算公式，可以了解平面曲线在某一点的弯曲程度，对于分析几何图形、优化 道路设计等方面具有重要意义。
空间曲线的曲率计算公式
曲率计算公式
对于空间曲线，曲率K由下式给 出：K = |(3*[(x''*y''*z'' +
相对曲率
相对曲率是描述曲线或曲面在某一点的方向性弯曲程度的量，它等于该点的主曲率与次曲率的比值。相对曲率在 几何学和物理学中有重要的应用，例如在分析力学和电磁学等领域中，相对曲率可以帮助我们更好地理解和描述 物体的行为。
曲率在物理学中的应用
光学
在光学中，曲率是描述光学元件（如 透镜和反射镜）的弯曲程度的量。透 镜的曲率决定了光线通过透镜的折射 方向和聚焦点，反射镜的曲率决定了 反射光的方向。
曲率等于曲线在该点的切线的 斜率的倒数，即曲率 = 1/斜率 。
当曲率为正时，表示曲线在该 点向外凸出；当曲率为负时， 表示曲线在该点向内凹进。
曲率在几何学中的重要性
曲率是几何学中重要的概念之一，它在曲线和曲面理论中扮演着重要的角 色。
曲率在曲线和曲面分析、微分几何等领域中有着广泛的应用，如曲线拟合 、曲面重建等。
渐近线与曲率的性质与应用
渐近线通常用于描述 函数在无穷大处的行 为，有助于理解函数 的性质和行为。
在几何和工程领域， 渐近线有广泛的应用 ，例如在绘制地图、 建筑设计等领域。
渐近线的几何意义
渐近线是曲线在无穷远处的切 线
渐近线的斜率等于函数在该点 的导数
渐近线的存在性取决于函数的 单调性和极限
渐近线的位置与函数的极值有 关
渐近线与曲率的性质与 应用
汇报人：XX
目录
添加目录标题
01
渐线的性质
02
渐近线与曲率的关系
04
渐近线与曲率的实际 应用
05
曲率的性质
未来研究展望
03
06
添加章节标题
渐近线的性质
渐近线的定义
渐近线是曲线上的点 集，当这些点与给定 的直线之间的距离趋 向于0时，这些点构 成的线就是渐近线。
渐近线可以是水平、 垂直或斜的，取决 于曲线的形状和方 向。
渐近线与曲率的 实际应用
机械工程中的渐近线和曲率设计
汽车轮胎设计： 利用渐近线和曲 率优化轮胎的形 状和性能，提高 车辆的操控性和
稳定性。
飞机机翼设计： 利用渐近线和曲 率设计机翼，实 现空气动力性能 的提升，提高飞
行效率。
机械零件设计：在 机械零件设计中， 利用渐近线和曲率 可以优化零件的结 构和性能，提高机 械系统的可靠性和
曲率的设计需要考虑不同速度下车辆的行驶轨迹和稳定性，以及道路或桥梁的结构和 承载能力。
渐近线和曲率的设计需要综合考虑道路或桥梁的使用功能、交通流量、车辆类型、 地形条件等因素，并进行详细的分析和计算。
航空航天工程中的渐近线和曲率设计
飞机机翼设计：利用渐近线原理， 设计出符合飞行要求的机翼形状。
混凝土梁的曲率计算方法
混凝土梁的曲率计算方法一、前言混凝土梁是建筑工程中常见的结构形式，用于承载楼板和其他荷载。
在设计混凝土梁时，需要计算其曲率，以确保其符合建筑要求。
本文将详细介绍混凝土梁的曲率计算方法。
二、混凝土梁的曲率概述混凝土梁的曲率是指梁在受力情况下产生的弯曲变形程度。
曲率是一个重要的参数，影响梁的承载能力和稳定性。
在设计梁时，需要计算其曲率，以保证其能够承受预期的荷载，并满足建筑要求。
三、曲率计算方法1.曲率计算公式混凝土梁的曲率计算可以使用以下公式：κ = M / EI其中，κ是梁的曲率，M是梁上的弯矩，E是混凝土的弹性模量，I是梁的截面惯性矩。
2.弯矩计算方法弯矩是混凝土梁曲率计算的关键参数之一。
以下是计算弯矩的方法：M = Wl^2 / 8其中，M是梁上的弯矩，W是梁的荷载，l是梁的长度。
3.截面惯性矩计算方法截面惯性矩是混凝土梁曲率计算的另一个关键参数。
以下是计算截面惯性矩的方法：I = (bh^3) / 12其中，I是梁的截面惯性矩，b是梁的宽度，h是梁的高度。
4.弹性模量计算方法弹性模量是混凝土梁曲率计算的另一个关键参数。
以下是计算弹性模量的方法：E = 57,000 * sqrt(f_c)其中，E是混凝土的弹性模量，f_c是混凝土的抗压强度。
四、曲率计算实例为了更好地理解混凝土梁曲率计算方法，以下给出一个实例。
假设有一根长度为5m，宽度为0.2m，高度为0.4m的混凝土梁，其承受的荷载为20kN。
试计算该梁的曲率。
首先，计算梁的截面惯性矩：I = (0.2 * 0.4^3) / 12 = 0.0010667 m^4然后，计算混凝土的弹性模量：E = 57,000 * sqrt(20) = 269,258 N/mm^2接着，计算梁上的弯矩：M = 20 * 5^2 / 8 = 62.5 kN*m最后，计算梁的曲率：κ = 62.5 * 10^6 / (0.0010667 * 269,258 * 10^6) = 0.228 /m因此，该梁的曲率为0.228 /m。
曲率公式是什么
曲率公式是什么
在数学上，曲率是表明曲线在某一点的弯曲程度的数值，曲率的公式可以表示为：K=|dα/ds|。
曲率
曲线的曲率是曲线上一点的切线方向角对弧长的旋转率，由微分定义，表示曲线偏离直线的程度。
数学上表示曲线在某一点的弯曲程度的数值。
曲率越大，曲线的曲率越大。
曲率的倒数就是曲率半径。
曲率的定义
曲率的计算公式
什么是曲率半径
曲率的倒数就是曲率半径，即R=1/K。
平面曲线的曲率就是针对曲线上某个点的切线方向角对弧长的转动率，通过微分来定义，表明曲线偏离直线的程度。
对于曲线，它等于最接近该点处曲线的圆弧的半径。
对于表面，曲率半径是最适合正常截面或其组合的圆的半径。
圆形半径越大，弯曲程度就越小，也就越近似于一条直线。
所以说，曲率半径越大曲率越小，反之亦然。
曲率及其曲率半径的计算
M
Dy
Dx
x x+Dx x
Ds MM Dx | MM |
2
Dy 2 1 Dx
(
Dy | MM | | MM | y， lim 因为 lim 1， 又 lim D x 0 Dx 0 | MM | M M | MM | Dx ds 2 因此 1 y ． dx ds ds 1 y2 ． 由于ss(x)是单调增加函数，从而 >0, dx dx
| 2a | | y | K ． 2 32 [1 (2ax b) 2 ]3 2 (1 y ) b b 要使K 最大，只须2axb0， 即 x 对应的点为 ．而 x 2a 2a 抛物线的顶点．因此，抛物线在顶点处的曲率最大，最大曲率为
K|2a| ．
讨论： 1．直线上任一点的曲率等于什么？ 提示：设直线方程为y=ax+b，则y =a， y = 0．于是 | y | K 0. 2 3 2 (1 y ) x j (t ) 2．若曲线由参数方程 给出，那么曲率如何计算？ y (t ) 提示：
曲率圆曲率半径
一、弧微分
有向弧段 M0 M 的值 s(简称为弧s) ： s 的绝对值等于这弧段的长度，当有向弧段的方向与曲线的
正向一致时s>0，相反时s<0． 显然，弧 s 是 x 的函数：ss(x)，而且s(x)是x的单调增加函 数． y y (
M0
s>0
M
M
s<0
M0
O
x0
x
x
O
x
x0
x
下面来求s(x)的导数及微分． 设 x ， x+ D x 为 ( a ， b ) 内两个邻近的点 ，它们在曲线 yf(x)上的对应点为M，M，并设对应于x的增量Dx ，弧 s 的增 量为Ds，于是
曲率半径的计算公式
曲率半径的计算公式是什么？
曲率半径的计算公式是R=1/K。
平面曲线的曲率就是针对曲线上某个点的切线方向角对弧长的转动率，通过微分来定义，表明曲线偏离直线的程度。
对于曲线，它等于最接近该点处曲线的圆弧的半径。
对于表面，曲率半径是最适合正常截面或其组合的圆的半径。
应用：
（1）对于差分几何上的应用，请参阅Cesàro方程。
（2）对于地球的曲率半径（由椭圆椭圆近似），请参见地球的曲率半径。
（3）曲率半径也用于梁的弯曲三部分方程中。
（4）曲率半径（光学）。
（5）半导体结构中的应力。
曲线的参数方程与曲率计算
曲线的参数方程与曲率计算曲线是我们生活中常见的一种形态，它们可以是自然界中的山脉、河流，也可以是人工构建的建筑物、道路等。
曲线的形状和特征对于我们理解和描述事物的运动和变化具有重要意义。
在数学中，我们可以通过参数方程来描述曲线的运动轨迹，而曲率则是衡量曲线弯曲程度的重要指标。
一、曲线的参数方程曲线的参数方程是一种描述曲线运动轨迹的方式。
它由一组参数方程组成，每个参数对应曲线上的一个点。
以二维平面上的曲线为例，我们可以将曲线上的每个点表示为(x, y)，其中x和y分别是该点在x轴和y轴上的坐标。
而参数方程则是通过引入一个参数t，将x和y表示为t的函数，即x=f(t)，y=g(t)。
通过不同的参数取值，我们可以得到曲线上的不同点。
例如，我们可以通过参数方程x=cos(t)，y=sin(t)来描述单位圆的运动轨迹。
当t取0时，对应的点坐标为(1, 0)，即单位圆上的起点。
随着t的增大，曲线逐渐绕着原点旋转，最终回到起点。
通过参数方程，我们可以清晰地描述出单位圆的运动轨迹。
二、曲线的曲率计算曲率是衡量曲线弯曲程度的指标。
在曲线上的每一点，曲率可以通过计算曲线在该点处的切线与曲线的弯曲程度来得到。
具体地，我们可以通过曲线的参数方程来计算曲率。
曲线的曲率计算可以分为两步：首先计算曲线的切向量，然后通过切向量来计算曲率。
对于曲线的参数方程x=f(t)，y=g(t)，我们可以分别求出x和y对t的导数，即dx/dt和dy/dt。
这两个导数分别表示曲线在该点处x和y坐标的变化率，也就是切向量的两个分量。
然后，我们可以通过切向量的两个分量来计算曲线的切向量的模长。
切向量的模长表示曲线在该点处的切线的斜率，也就是曲线的斜率。
最后，通过对切向量的模长求导，我们可以得到曲线的曲率。
曲率的计算公式为k=|dy/dt * d^2x/dt^2 - dx/dt * d^2y/dt^2| / (dx/dt^2 +dy/dt^2)^(3/2)，其中d^2x/dt^2和d^2y/dt^2分别表示x和y对t的二阶导数。
曲率
2)曲线上一点处的曲率半径越大,曲线在该点处的曲率越 小(曲线越平坦);曲率半径越小,曲率越 大(曲线越弯曲).
3)在实际问题中，常常用曲率圆 M 点 邻近的一段圆弧来近似代替曲线弧， 以使问题简化.
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3.4.3 曲率圆与曲率半径
2. 在生产实践中的应用举例
例4 ［磨削工具的选择］设工件内表面的截线为抛物线 y 0.4x2 .现在要用砂轮磨削其内表面，问用直径多大的砂 轮才比较合适？ 解：由例 3 知，抛物线在其顶点处的曲率最大，所以抛物 线在其顶点处的曲率半径最小. 为了在磨削时不使砂轮与 工件接触处附近的那部分磨去太多，砂轮的半径应不大于 抛物线顶点处的曲率半径，因此，只要求出抛物线 y 0.4x2 在顶点 O(0,0) 处的曲率半径即可确定砂轮直径. 由于
解 不妨考察半径为 R 的圆标准方程， x2 y2 R2
由隐函数求导法得
,上式两边继续对 x 求导，得
,由曲率的计算公式得圆的曲率为
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3.4.2 曲率及其计算公式
例3 抛物线 y ax2 bx c 上哪一点处的曲率最大？
解
抛物线的曲率为
显然，当 2ax b 0 ，即 x b 时，K 有最大值为 | 2a | ， 2a
计算公式及在生产实践中的应用 重点是曲率、曲率半径的计算公式，难点是这些
公式的实际应用
作业
P75，习题3-4: 1；2；3；4
对曲线上任一点 M (x, y) ，规定有向弧段 的值 s
（简称为弧 s ）如下： (1) s 的绝对值等于这弧段的长度. (2) 当有向弧 的方向与曲线 的正向一致时 s 0 ，相反时 s 0 .
弧 s 与 x 存在函数关系 s s(x) ， 且 s(x) 是 x 的单调增加函数.
曲率及其计算公式(精)
于是
da
y 1 y2
dx．又知 ds
1 y2
dx．
从而，有
| y | K (1 y2 )3 2
．
例1
计算等双曲线x y 1在点(1，1)处的曲率．
K
| y | (1 y2 )3 2
解 由y 1 ，得
x
1 y x 2
，y
2 x3
．
因此，y|x11，y|x12．
代入曲率公式，得
K
| (1
y | y2 )3
2
． [1
| 2a | (2ax b)2 ]3
2
要使K 最大，只须2axb0， 即 x b ．而 x b 对应的点为
2a
2a
抛物线的顶点．因此，抛物线在顶点处的曲率最大，最大曲率为
K|2a| ．
讨论：
1．直线上任一点的曲率等于什么？
2
|
MM MM
|
2
|
MM |2 (Dx)2
|
MM MM
|
2
(Dx)2 (Dy (Dx)2
)2
(
|
MM MM
|
Байду номын сангаас
2
1
Dy Dx
2
(
Ds Dx
|
MM MM
|
2
y
4
2O
y=0．4 x2
2
x
例3 设工件表面的截线为抛物线y0．4x 2．现在要用砂轮 磨削其内表面．问用直径多大的砂轮才比较合适？
一、5 曲率
有相同的切线
——曲率半径
有相同的凹向 有相同的曲率
注意:
1.曲线上一点处的曲率半径与曲线在该点处
的曲率互为倒数。
1
k
k 1
2.曲线上一点处的曲率半径越大,曲线在该点 处的曲率越小(曲线越平坦);曲率半径越小, 曲率越大(曲线越弯曲)。
3.曲线上一点处的曲率圆弧可近似代替该点附 近曲线弧(称为曲线在该点附近的二次近似)。
模板一 微分及其应用
课题五 曲率
教学目标
1.理解曲率半径及曲率的概念,掌握曲率 及曲率半径的计算公式;
2.掌握有关曲率中心以及曲率圆的概念 与计算公式；
3.能够运用曲率的相关知识解决实际问题。
课题提出
已知某工件的内表面为抛物线 y 0.4x,2 现在 要用砂轮磨削其内表面，问用直径多大的砂轮比 较合适？另外请确定磨削工件时砂轮的中心位置。
1 2Rl
x02
1 l2 2Rl
l, 2R
R
y
x x0
1 Rl
x0
1l Rl
1, R
l
A( x0 , y0 )
o
C( x0 ,0)
X
故在终端A的曲率为
1
kA
y
3
(1 y2 )2
x x0
(1
R l2
4R2
3
)2
l 1, R
略去二次项
l2 4R
2
得
kA
一、曲率的定义
曲率是描述曲线局部性质（弯曲程度）的量。
注意: (1) 直线的曲率处处为零; (2) 圆上各点处的曲率等于半径的倒数,且
半径越小曲率越大。
参数方程下的曲率公式
参数方程下的曲率公式曲率的定义是物体的曲度，即当物体在特定的参数方程中，其表面自变量的变化程度。
曲率公式是求取曲率的重要工具，它可以帮助我们计算物体表面的曲度，也可以用于曲面的平面展开，以及几何学中的微分几何。
在几何学中，曲率是一个重要的度量，用它可以衡量曲面、曲线在不同空间上的弯曲程度。
它有助于研究曲面、曲线在空间中的特性和轨迹，也可以应用于其他科学研究中。
在参数方程下，可以计算出曲率的一个公式，即曲率公式。
曲率公式可以表示为：κ = R（1 + h^2）^( 3/2)其中，R是曲率半径，h是曲面中自变量的变化率。
曲率公式的求取基础是参数方程，参数方程是由物体表面的参数方程求取的，因此，了解参数方程是非常重要的。
参数方程有三类：抛物面参数方程、凸反平面参数方程和椭圆回形参数方程。
抛物面参数方程可以表示为：X = A + Ucosθ + VsinθY = B + U2sin2θ + V2cos2θZ = C + U2sin2θ + V2cos2θ其中，A，B，C是物体表面的常数参数，U，V是物体表面的自变量，θ是变量θ的参数值。
凸反平面参数方程可以表示为：X = A + Ucosθ + VsinθY = B + U2sin2θ + V2cos2θZ = C + V2cos2θ U2sin2θ它和抛物面参数方程的区别是负号的使用。
椭圆回形参数方程可以表示为：X = A + Ucosθ + VsinθY = B + U2sin2θ + V2cos2θZ = C + U2cos2θ + V2sin2θ它与抛物面参数方程的区别在于自变量的变化率是相反的。
这三类参数方程可以用来求取曲率公式。
我们可以准备三类参数之后，将物体表面的自变量U、V和参数θ代入曲率公式，就可以计算出物体表面的曲率值了。
由于曲率公式可以用来测量物体表面的曲度，因此，在工程中有着广泛的应用。
例如，它可以应用于构件的强度评估，也可以用于测量地形和气象环境的精细变化；它可以用于太阳能电池板的制造，也可以用于油藏的勘察中。
曲率总结范文
曲率总结曲率是描述曲线或者曲面弯曲程度的一个重要概念，在数学和物理学中都得到广泛应用。
虽然曲率的数学定义可能相对复杂，但是在应用中我们可以通过一些简化的方法来理解和计算曲率。
本文将对曲率的概念、计算方法以及应用领域进行总结。
1. 曲率的概念在数学中，曲率是描述曲线或者曲面弯曲程度的一个量。
对于曲线而言，曲率可以理解为曲线在某一点处的弯曲程度；对于曲面而言，曲率可以理解为曲面在某一点处的弯曲程度。
曲率可以用于描述道路的弯曲程度、几何体的表面形状等。
2. 曲率的计算方法2.1 曲线的曲率计算对于曲线，我们可以通过求导数的方式计算曲线在某一点处的曲率。
具体而言，曲线的曲率可以使用以下公式计算：k = |dθ/ds|其中，k表示曲率，dθ表示弧长元素ds对应的角度变化。
2.2 曲面的曲率计算对于曲面，曲率的计算相对复杂一些。
常用的计算曲率的方法有以下两种：2.2.1 主曲率和法向量法主曲率是曲面上曲率最大和最小的两个方向的曲率。
我们可以通过计算曲面上的法向量和曲面上的两个方向的曲率来求得主曲率。
具体而言，主曲率的计算公式如下：k1 = |H + sqrt(H^2 - K)|k2 = |H - sqrt(H^2 - K)|其中，k1和k2分别表示主曲率，H表示平均曲率，K表示高斯曲率。
2.2.2 曲面的切曲率法曲面的切曲率法是通过计算曲面上某一点处曲线的曲率来求得该点的曲率。
具体而言，曲面的切曲率法计算曲率的公式如下：k = (dN/ds) · B其中，k表示曲率，dN表示曲面上法向量的变化量，ds表示曲线上的弧长元素，B表示曲线的切向量。
3. 曲率的应用领域曲率的概念和计算方法在许多领域中都有广泛的应用。
下面简要介绍几个典型的应用领域：3.1 车辆行驶路径规划曲率可以用于车辆行驶路径规划。
在道路设计中，合理的曲率设计可以提高车辆行驶的安全性和舒适性。
通过计算道路曲线的曲率，可以确定适合车辆行驶的最佳速度和转弯半径等参数。
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y2axb y2a 代入曲率公式 得
K
| 2a |
[1(2axb)2]3 2
显然 当2axb0时曲率最大
曲率最大时 x b 对应的点为抛物线的顶点 2a
因此 抛物线在顶点处的曲率最大 此处K|2a|
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铃
讨论：
1 直线yaxb上任一点的曲率是什么？
2 若曲线的参数方程为xj(t) yy(t) 那么曲率如何
解解
由
y
1 x
得
y 1 x2
y
2 x3
因此y|x11 y|x12 曲线在点(1 1)处的曲率为
K
| (1
y| y2)3
2
2 (1(1)2)3 2
1 2
2 2
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曲率的计算公式： K
d
ds
| (1
y| y2)3
2
例2 抛物线yax2bxc上哪一点处的曲率最大？
解 由yax2bxc 得
Ds0 Ds
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❖曲率的计算公式
在 lim D d 存在的条件下 K d
Ds0 Ds ds
ds
曲率：
记 K lim D 称 K 为曲线 C 在点 M 处的曲率
Ds0 Ds
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❖曲率的计算公式
在 lim D d 存在的条件下 K d
Ds0 Ds ds
可以用单位弧段上切线转过的角度的大小来表达弧 段的平均弯曲程度
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❖曲率 设曲线C是光滑的 曲线上
点M对应于弧s 在点M处切线的
倾角为 曲线上另外一点N对
应于弧sDs 在点N处切线的倾
角为D
平均曲率：
记 K D 称 K 为弧段 MN 的平均曲率
Ds 曲率：
记 K lim D 称 K 为曲线 C 在点 M 处的曲率
ds lim Ds lim (Dx)2 (Dy)2 lim 1(Dy)2
dx Dx0 Dx Dx0
|Dx|
Dx0
Dx
1 y2 由此得弧微分公式
ds 1 y2 dx
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铃
二、曲率及其计算公式
观察与思考： 观察曲线的弯曲线程度与哪些因素有关 怎样衡量
曲线的弯曲程度？ 提示：
计算？
3 半径为R的圆上任一点的曲率是什么？ 提示：
1 设直线方程为yaxb 则ya y 0 于是K0
2
K
|j(t)y (t) j(t)y (t) | [j2(t)y 2(t)]3/2
3 圆的参数方程为xR cos t yR sin t
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三、曲率圆与曲率半径
❖曲率圆与曲率半径
设曲线在点M处的曲率为K(K0)
在曲线凹的一侧作一个与曲线相切于M且半径为
rK1的圆
上述圆叫做曲线在点M 处的曲率圆 其圆心叫做曲
曲率半径
曲率中心
率中心 其半径r叫做曲率半
径
❖曲率与曲率半径关系
曲率圆
r 1
K
K
1
r
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铃
例3 设工件表面的截线为抛物线y04x2 现在要用 砂轮磨削其内表面 问用直径多大的砂轮才比较合适？
ds
设曲线C的方程为yf(x) 且f(x)具有二阶导数
因为tan y 所以
sec 2dydx
d
y
sec2
dx
1
y
tan2
dx
y 1 y2
dx
又知 ds 1 y2 dx 从而得曲率的计算公式
K
d
ds
| (1
y| y2)3
2
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铃
曲率的计算公式： K
d
ds
| (1
y| y2)3
2
例1 计算等边双曲线xy1在点(1 1)处的曲率
解 砂轮的半径不应大于抛物线顶点处的曲率半径
y08x y08
y|x00 y|x008 把它们代入曲率公式 得
K
| y| (1 y2)3
2
08
抛物线顶点处的曲率半径为
rK1125
因此, 选用砂轮的半径不得超过125单位
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一、弧微分
•曲线的基点与正向 设函数f(x)在区间(a b)内具有连续导数 在曲线yf(x)
上取固定点M0(x0 y0)作为度量弧长的基点 并规定依 x 增 大的方向作为曲线的正向
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( (
一、弧微分
•有向弧段 M0M 的值 对曲线上任一点 M(x y) 规定有向弧段的值 s (简称
弧)如下 s 的绝对值等于这弧段的长度 当有向弧段M0M 的方向与曲线的正向一致时s>0 相反时s<0
显然 弧 s 是 x 的单调增加函数 ss(x)
s<0
s>0
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❖弧微分公式 设x xDx为(a b)内两个邻近的点 它们在曲线yf(x)
上的对应点为M N 并设对应于x的增量Dx 弧 s 的增量 为Ds 因为当Dx0时 Ds ~ MN 又Dx与Ds同号 所以