钢管的订购和运输问题数学建模论文1
19569-数学建模-钢管订购和运输 (1)
钢管订购和运输张伟 丁林阁 邓小涛 指导教师：数模组 海军航空工程学院摘要 本模型研究了管道铺设过程中钢管的订购和运输问题，它通过图论和非线性规划的知识建立。
模型使总费用达到最小，很好地解决了向哪个钢厂定货，定货多少，如何运输的问题，并且可以推广到更一般的网络。
同时针对模型中涉及的变量多、求解复杂这一问题，我们对模型进行了适当的简化,大大减少了变量的个数,从而减少了计算量。
一、问题重述要铺设一条1521A A A →→→ 的天然气主管道，可以生产这种主管道钢管的钢厂有721,,S S S 七家。
钢厂的位置，管道的铺设路线，以及从钢厂到铺设地的运输网络（运输网络包括沿管道的公路）均已知。
每个钢厂的钢管价格及其生产能力不全一样，且一个钢厂若要生产这种钢管，至少需要生产500个单位（1千米钢管记为1个单位）。
铁路的运价和公路的运价不一样。
要求在这种情况下，（1）制定一个钢管的订购和运输计划，使总费用最小，并给出总费用。
(2)分析：哪个钢厂钢管的销价的变化对购运计划和总费用影响最大，哪个钢厂钢管的产量的上限的变化对购运计划和总费用的影响最大，给出相应的数字结果。
(3)如果铺设的管道不是一条线，而是一个树形图，铁路、公路和管道构成网络，就这种更一般的情形给出一种解决办法，并对图二按（1）的要求给出模型和结果。
二、问题的假设在问题所给条件成立的前提下，我们进一步作如下假设： 1. 假设公路运输费用不是整公里的按整公里计算是合理的。
2. 假设沿管道的公路（施工公路）运输费用也为每公里0.1万元（不足整公里部分按整公里计算）。
3. 假设不考虑铁路、公路及施工公路的运输能力限制。
4. 假设运输费用为单程运输的费用，即从出发点到目的地的单程费用，不考虑空车返回的费用。
5. 假设运输费用已包含装卸费用。
关于假设的一点说明：根据上述假设我们认为在铺设管道的过程中每隔一公里，卸下一单位钢管供工人铺设是合理的。
三、符号约定i S ：生产主管道钢管的钢厂 ；j A ：管道节点 ；1,+j j l ：从j A 到1+j A 铺设钢管的路段长度（单位：公里，14,...,1=j ）； i s : 钢厂i S 在指定期限内生产钢管的最大数量（单位：单位钢管）； i P : 钢厂i S 单位钢管的出厂价格（单位：万元）； ij x ：从 钢厂i S 运到j A 的钢管数量（单位：单位钢管）； ij c ：表示1单位钢管从 钢厂i S 到j A 的最小费用（单位：万元）； j X ：运到j A 的钢管总数（单位：单位钢管）； j L ： 从j A 往左铺设的钢管总数（单位：单位钢管），j L 为j X 的一部分； j R ： 从j A 往右铺设的钢管总数（单位：单位钢管），这里j j j L X R -=； 其中 15,...,1;7,...,1==j i 四、问题分析本问题分两部分：一部分是图论中的最短路径的问题：确定1单位钢管从 钢厂i S 到j A 的最小费用；另一部分是非线性规划问题：求总的最小费用。
钢管订购与运输问题一的数学模型与求解
钢管订购与运输问题一的数学模型与求解
钢管订购与运输问题是一种组合优化问题，它涉及到钢管的订购和运输，旨在找到最佳的订购和运输方案，以最小的成本获得最大的收益。
这个问题通常可以用数学模型来表示。
设 n 个工地需要订购 m 根钢管，钢管订购和运输费用分别为
c1(订购费用)、c2(运输费用),订购钢管的最早时间 t0 为早订购时间，最迟时间为 t1 为晚订购时间，运输时间不计费用。
则钢管订购与运输问题的数学模型可以表示为:
minimize Σi=1~n c1(t1-t0) + Σj=i+1~n c2(t2-t1)
subject to:
t1≤t0
t2≥t1
t1+t2≤t0+30
x1=1, x2=1, ..., xnm=1
其中，x1、x2、...、xnm 是订购钢管的数量，1 表示订购，0 表示不订购。
通过这个数学模型，我们可以制定出钢管订购与运输问题的求解方法，以找到最佳的订购和运输方案。
在实际问题中，我们通常需要对求解结果进行评估和优化，以便找到更加优秀的方案。
因此，钢管订购与运输问题的数学模型和求解方法只是问题的第一步，实际应用中还需要进行进一步的分析和优化。
数学建模 钢管订购和运输
钢管的订购和运输优化模型摘要本文建立的多元非线性优化模型。
问题一在保证天然气管道铺设可以顺利实施的情况下，给出了钢管的订购与运输总费用最小的方案。
在求钢管由钢厂运输到站点的费用和铺设钢管时产生的运输费，根据图一，我们通过深度优先遍历的方法对整个图一进行路径搜索，然后根据每条搜索到的路径上的铁路和公路上的不同权重，找到了各个钢厂到各个天然气管道上的站点的最佳路径。
对于整个优化过程我们给出了相关的算法，并用matlab 软件编程，经过一系列计算之后，得出了最优的订购与运输方案。
对于问题 1，我们求得的最优解为（具体方案见对于问题2我们经过计算比较得出：6S 钢管销价的变化对购运计划和总费用影响最大。
1S 的生产上限的变化购运计划和总费用影响最大。
对于问题 3，当天然气管道呈现的是一个树状图的时候，我们得到的最优解一、问题重述要铺设一条1521A A A →→→ 的输送天然气的主管道, 如图一所示(见下页)。
经筛选后可以生产这种主管道钢管的钢厂有721,,S S S 。
图中粗线表示铁路，单细线表示公路，双细线表示要铺设的管道(假设沿管道或者原来有公路，或者建有施工公路)，圆圈表示火车站，每段铁路、公路和管道旁的阿拉伯数字表示里程(单位km)。
为方便计，1km 主管道钢管称为1单位钢管。
一个钢厂如果承担制造这种钢管，至少需要生产500个单位。
钢厂i S 在指定期限内能生产该钢管的最大数量为i s 个单位，钢管出厂销价1单位钢管为i p 万1公路运输费用为1单位钢管每公里0.1万元（不足整公里部分按整公里计算）。
钢管可由铁路、公路运往铺设地点（不只是运到点1521,,,A A A ，而是管道全线）。
（1）请制定一个主管道钢管的订购和运输计划，使总费用最小（给出总费用)。
（2）请就（1）的模型分析：哪个钢厂钢管的销价的变化对购运计划和总费用影响最大，哪个钢厂钢管的产量的上限的变化对购运计划和总费用的影响最大，并给出相应的数字结果。
2000年数学建模B题钢管订购和运输全解答
钢管订购和运输摘要： 本文建立了一个运输问题的最优化模型。
通过分析题图一，我们利用Floyd 算法求出铁路网和公路网各点间最短路线，然后转化成最少运输，去掉了铁路和公路的性质，使运输网络变成一张供需运输价格表，然后建立了一个以总费用为目标函数的非线性规划模型，利用Lingo 软件，求出问题一的最优解为1278632万元通过对问题一中lingo 运行结果的分析，我们得出S5钢厂钢管的销价的变化对购运计划和总费用影响最大，S1钢厂钢管的产量的上限的变化对购运计划和总费用的影响最大。
问题三模型的建立原理和问题一的相同，利用Lingo 软件，求得最优解为1407149万元.关键词：Floyd 算法，非线性规划，0-1规划一 问题重述有7个生产厂，可以生产输送天然气主管道的钢管721,,S S S 。
要沿着1521A A A →→→ 的主管道铺设, 如题图一所示。
图中粗线表示铁路，单细线表示公路，双细线表示要铺设的管道(假设沿管道或者原来有公路，或者建有施工公路)，圆圈表示火车站，每段铁路、公路和管道旁的阿拉伯数字表示里程(单位km)。
为方便计，1km 主管道钢管称为1单位钢管。
一个钢厂如果承担制造这种钢管，至少需要生产500个单位。
钢厂i S 在指定期限内能生产该钢管的最大数量为i s 个单位，钢管出厂销价1单位钢管为i p 万元，如下表：123456780080010002000200020003000160155155160155150160iis ip1单位钢管的铁路运价如下表：里程(km) ≤300 301～350 351～400401～450451～500 运价(万元) 2023262932里程(km) 501～600601～700 701～800801～900901～1000运价(万元)37445055601000km 以上每增加1至100km 运价增加5万元。
公路运输费用为1单位钢管每公里0.1万元（不足整公里部分按整公里计算）。
钢管的订购和运输问题数学建模论文1
摘要本文针对钢管订购和运输的这一题目的要求，建立了非线性规划模型。
在给定钢管运输方式、价格、厂家生产量上下限、运输路线等条件下，本文利用非线性规划模型和图论最短路算法等基础知识，得到了最优的钢管订购运输方案，使总费用最小，并进行了灵敏度分析。
对于问题（1），本文选取钢管订购和运输的最小总费用作为该模型的目标函数，用floyd 算法分别求出铁路最短路矩阵和公路最短路矩阵，进而转化为费用，得到两个矩阵的最小费用，将两者合并求得总体最小运输费用矩阵。
然后用lingo 求解得到最优的钢管订购运输方案，为表1： 表1：对于问题（2），本文根据题目要求改变钢厂钢管的售价和钢厂钢管的产量上限，然后用lingo 求解，观察得到表格，对改变以上两个条件后总运费及方案受到的影响进行了分析，可知钢厂1S 钢厂2S 钢厂3S 单位钢管销售价发生变化时，对方案中总运费的影响最大。
钢厂1S 的产量上限的变化对购运费用和总费用影响最大。
对于问题（3），由于问（3）与问题（1）很相似，不同之处在于问题（3）中的钢管铺设路线变成了树形，本文仍然采用问题（1）的建模思路，仅对特殊之处进行修改。
采用图论中的floyd 算法，求得总体最小运输费用矩阵。
然后用lingo 求解得到最优的钢管订购运输方案，为表2： 表2：每家厂家的生产量：关键词： floyd 算法 非线性规划模型 最小总费用正文1.问题重述要铺设一条1521A A A →→→ 的输送天然气的主管道（如图一所示），可以生产这种主管道钢管的钢厂有721,,S S S 。
图中粗线表示铁路，单细线表示公路，双细线表示要铺设的管道 (铺设点有公路)，圆圈表示火车站，每段铁路、公路和管道旁的阿拉伯数字表示里程(单位km)。
为方便计，1km 主管道钢管称为1单位钢管。
一个钢厂如果承担制造这种钢管，至少需要生产500个单位。
钢厂i S 在指定期限内能生产该钢管的最大数量为i s 个单位，钢管出厂销价1单位钢管为i p 万元，如下表：i1 2 3 4 5 6 7 i s800 800 1000 2000 2000 2000 3000 i p160155155160 155150160 1单位钢管的铁路运价如下表：里程(km) ≤300 301～350351～400 401～450 451～500运价(万元) 2023262932里程(km)501～600601～700701～800 801～900 901～1000运价(万元)37 44 50 55 601000km 以上每增加1至100km 运价增加5万元。
钢管订购数学建模
数学建模实验报告班级：姓名：学号：钢管订购和运输摘要本文针对钢管订购和运输的一般特点和要求，建立了两个遵循题目要求的非线性规划模型。
在给定钢管需求量，运输方式及价格，厂家生产量上下线，运输路线图等条件下，非线性规划模型和图论的最短路算法，从而得到最优的钢管订购运输方案，使成本达到最小。
对于问题，我们选取了钢管订购和运输的总费用最小作为模型的目标函数，用floyd算法分别求出铁路最短路矩阵和公路最短路矩阵，利用费用转化公式，得到两个矩阵的最小费用，将两者综合求得总体最小运输费用矩阵C(i,j)。
然后用lingo求解得到最优的钢管订购运输方案。
对问题模型的求解得到最优钢管订购运输方案为：总费用=1278632万元每家厂家的生产量：关键词： floyd算法非线性规划模型总体最小运输费用矩阵一、问题重述要铺设一条输送天然气的主管道。
经筛选后可以生产这种主管道钢管的钢厂有七家。
图中粗线表示铁路，单细线表示公路，双细线表示要铺设的管道(假设沿管道或者原来有公路，或者建有施工公路)，圆圈表示火车站，每段铁路、公路和管道旁的阿拉伯数字表示里程(单位km)。
为方便计，1km主管道钢管称为1单位钢管。
一个钢厂如果承担制造这种钢管，至少需要生产500个单位。
每个钢厂在指定期限内能生产该钢管的最大数量和钢管出厂销售1单位钢管价格均已给出。
1000km以上每增加1至100km运价增加5万元。
公路运输费用为1单位钢管每公里0.1万元（不足整公里部分按整公里计算）。
钢管可由铁路、公路运往铺设地点（不只是运到点，而是管道全线）。
1单位钢管的铁路运价如下表：问题：请制定一个主管道钢管的订购和运输计划，使总费用最小（给出总费用)。
二、基本符号说明与基本假设2.1 基本符号说明iX：厂家i 的实际生产量 i P ：厂家i 的单位钢管销价a ：单位距离公路的钢管运费，a=0.1 i D ：线段i 的里程 Q ：单位距离铁路钢管运费 j A ：卸货节点b ：最小生产量，b=500 i s ：厂家i 的最大生产量ijY：从厂家i 运往卸点j 的钢管量 ij C 从厂家i 运往卸点j 的最小运输费用j t ：从卸点j A 往左运的钢管量 j w ：从卸点j A 往右运的钢管量lj：从卸点j A 往第三方向运的钢管量i m ：生产厂家i 是否生产，⎩⎨⎧，厂家已生产，厂家未生产10m i N ：表示该线段是否被占用，⎪⎩⎪⎨⎧=线段已占用线段未占用，，10N2.2 基本假设1) 假设沿管道或者原来有公路，或者建有施工公路。
钢管定购与运输问题的数学模型与求解的新方法
钢管定购与运输问题的数学模型与求解的新方法一、本文概述钢管作为一种重要的建筑材料，在各类工程项目中具有广泛的应用。
钢管的定购与运输问题涉及到供应链管理、物流优化等多个领域，是工业界和学术界共同关注的重要问题。
随着市场需求的不断变化和物流技术的快速发展，传统的钢管定购与运输方法已经难以满足现代工业的需求。
因此，本文旨在探讨钢管定购与运输问题的数学模型与求解的新方法，以提高钢管供应链的效率和经济性。
本文将首先分析钢管定购与运输问题的特点和难点，包括需求量的不确定性、运输成本的波动性、供应链中的信息不对称等。
在此基础上，建立适用于钢管定购与运输的数学模型，包括需求量预测模型、运输优化模型等。
这些模型将综合考虑市场需求、库存成本、运输费用等多个因素，为钢管的定购与运输提供决策支持。
接下来，本文将介绍求解钢管定购与运输问题数学模型的新方法。
这些方法将结合现代优化算法和计算机技术，对模型进行高效求解。
同时，本文还将探讨如何将这些方法应用于实际钢管供应链管理中，以提高供应链的整体效益。
本文将通过案例分析和仿真实验来验证所提出数学模型和求解方法的有效性和实用性。
这些案例和实验将基于实际钢管供应链数据，对模型和方法进行测试和评估。
通过对比分析不同方案的效果，本文将为钢管定购与运输问题的求解提供新的思路和方法。
本文旨在深入研究钢管定购与运输问题的数学模型与求解的新方法，以提高钢管供应链的效率和经济性。
通过建立适用的数学模型和采用先进的求解方法，本文将为钢管定购与运输问题的优化提供理论支持和实践指导。
二、钢管定购与运输问题的数学模型钢管定购与运输问题是一个涉及供应链管理和物流优化的复杂问题。
为了有效地解决这一问题，首先需要建立一个合适的数学模型。
这个模型需要能够准确地描述钢管的定购、库存、运输以及相关的成本和约束条件。
定购决策：根据预测需求、库存量和供应商条件，决定何时从哪些供应商定购钢管。
运输优化：选择最经济、最高效的运输方式，确保钢管按时送达目的地。
数学建模-钢管订购和运输
221案例10 订购和运输一、问题重述和分析要铺设一条1521A A A →→→ 的输送天然气的主管道，如图1所示,经筛选后可以生产这种主管道的钢厂有721,,,S S S . 图中粗线表示铁路，单细线表示公路，双细线表示要铺设的管道（假设沿管道或者原来有公路，或者建有施工公路），圆圈表示火车站，每段铁路、公路和管道旁的阿拉伯数字表示里程（单位km ）.图1为了方便，1km 主管道称为1单位钢管. 一个钢厂如果承担制造这种钢管，至少需要生产500个单位. 钢厂i S 在指定期限内能生产该钢管的最大生产数量为i s 个单位，钢厂出厂销价为i p 万元，如下表：72221单位钢管的铁路运价如下表：表21000以上每增加1至100运价增加5万元. 公路运输费用为1单位管道每公里0.1万元（不足整公里的按整公里计算）. 管道可由铁路、公路运往铺设地点（不只是运到点1521A A A →→→ ，而是管道全线）.问题1. 制定一个主管道钢管的订购和运输计划，使总费用最小，并给出总费用. 问题2. 就（1）的模型进行分析：哪个钢厂钢管的销价的变化对购运计划和总费用影响最大，哪个钢厂钢管的产量的上限的变化对购运计划和总费用的影响最大，并给出相应的数字结果.二、基本假设1． 在计算运费时，沿管道铺设路线上的公路与其它普通公路相同（1单位钢管每公里0.1万元）；2． 订购的钢管数量刚好等于需要铺设的钢管数量；3． 管道可由铁路、公路、管道全线运往铺设地点（不只是运到点1521,,,A A A ）； 4． 模型只考虑钢管销价费用和钢管从钢管厂运送到铺设点的钢管运费，而不考虑其它费用，如不计换车、转站的时间和费用，不计装卸费用等；5． 不计运输时由于运输工具出现故障等意外事故引起工期延误造成损失； 6． 销售价和运输价不受市场价格变化的影响.三、符号说明i S ： 第i 钢管厂i s ：表示i S 的最大生产能力j A ： 表示需要铺设管道路径上的车站 i j x ：从所有i S 运往j A 的钢管数223c i j ：表示单位钢管从i S 地运往j A 地的最小费用 i p ：从i S 订购钢管的单位价格Q ： 订购的所有钢管全部运到)15,,2,1( =j A j 点的总运费 T ： 当钢管从钢厂i S 运到点j A 后，钢管向j A 的左右两边运输（铺设）管道的运输费用Z ：用于订购和运输的总费用j y ： 运到j A 地向左铺设的数目 j z ： 运到j A 地向右铺设的数目d ： 单位钢管1公里的公路运输费用1 ,+j j A ： 表示1+j j A A 和之间需要铺设的管道长度四、模型的建立与求解问题1.1、 模型的建立钢管的订购和运输方案是直接影响工程费用的主要原因，因此，选取费用最小的路线运送货物，合理的订购计划是决定该工程费用的重要因素，首先利用图论的方法，来确定从钢管生产厂家到施工结点的费用最小路线，然后建立工程费用的优化模型，从中优化出最佳购运方案.对本问题而言，实际上是一个要求制定订购和运输计划，使总费用最小的优化问题. 本模型的总费用包括钢管的销价和运输总的费用. 首先，向某厂订购钢管，然后将在每个厂订购的钢管运往需要铺设的全路段. 欲解决本问题可以按以下方案进行思考：首先，需要确定将货物从i 地运往j 地的最优路线（费用最小）；然后，求出向每个钢管厂的订购计划，并确定出运输计划；最后计算将运往j 地的钢管铺到各个管道上的运输费用，我们不妨假设运往以j 为终点的钢管只铺到与j 点相邻的两段管道上. 因此，本问题可以按以下步骤求解.第一步：确定从i 地到j 地的最优路径，从而确定出单位钢管从i 地运往j 地的最小运费.)7,2,1( =i s i 表示钢管厂)7,2,1( =i S i 的最大生产能力，)15,,2,1( =j A j 表示需要铺设钢管路径上的车站. 假设从i S 运往j A 的钢管用于铺设j A 点左右侧的钢管数为j i x ,单位，单位产品从i S 到j A 地的运费为j i F ,万元，用j i ,c 表示单位钢管从i S 地224 运往j A 地的最小费用，则：j c min ij i F =（1）第二步：建立从i S 厂运送j ,i x 单位钢管到j A 点的运费的模型： 用Q 表示订购的所有钢管全部运到)15,,2,1( =j A j 点的总运费，则：15711Q c i j i j j i x ===∑∑；（2）第三步：将运到j A 处的钢管铺到相邻两段路上的运输费用对于运到j A 的钢管，它向左运输的总量j y ，它向左运输的总费用为：(1)(2)1j j j y d y d y dd ⨯+-⨯+-⨯⨯＝()0.1(12)0.051j j j y y y ⨯+++=+（万元）； 同理它向右运输的总费用为j j z z d2)1(+＝()0.051j j z z +用T 表示当钢管从钢厂i S 运到点j A 后，钢管向j A 的左右两边运输（铺设）管道的运输费用，得()()15j j j 1T 0.051y y 1j j z z =⎡⎤=+++⎣⎦∑（3）j z j y 和之间存在的关系为7i j i 11,1x ;(1,2,,15);(1,2,,14)j j jj j j y z j z y A j =++⎧=+=⎪⎨⎪+==⎩∑ （4）（1 ,+j j A 表示1+j j A A 和之间需要铺设的管道长度）第四步：建立订购费用的模型设W 表示订购管道的总费用，则可建立如下模型：225715, 1j 1W i i j i p x ===∑∑（5）又因为一个钢厂如果承担制造钢管任务，至少需要生产500个单位，钢厂i S 在指定期限内最大生产量为i s 个单位，故i j ijs x≤≤∑=152500 或0152=∑=j ij x ， 用Z 表示订购和运输的总费用，由（2）、（3）、（4）、（5），本问题可建立如下的非线性规划模型：目标函数()()71515i 111min W Q T ()0.0511i i j i j j j j j j j Z p c x y y z z ===⎡⎤=++=+++++⎣⎦∑∑∑约束条件7i j i 11,1151522x ;(1,2,,15);(1,2,,14)5000;(1,2,,7)0 1,,7,2,,15j j j j j j ij i ij j j ij y z j z y A j x s x i x i j =++==⎧=+=⎪⎪+==⎪⎪⎨⎪≤≤==⎪⎪≥==⎪⎩∑∑∑或 （6）其中1 ,+j j A 表示1+j j A A 和之间需要铺设的管道长度.2、模型的求解（1）首先求解 i j c 由于钢管从钢厂i S 运到运输点j A 要通过铁路和公路运输，而铁路运输费用是分段函数，与全程运输总距离有关. 又由于钢厂i S 直接与铁路相连，所以可先求出钢厂i S 到铁路与公路相交点j b 的最短路径. 依据钢管的铁路运价表，算出钢厂i S 到铁路与公路相交点j b 的最小铁路运输费用，并把费用作为边权赋给从钢厂i S 到j b 的边. 再将与j b 相连的公路、运输点i A 及其与之相连的要铺设管道的线路（也是公路）添加到图上，根据单位钢管在公路上的运价规定，得出每一段公路的运费，并把此费用作为边权赋给相应的边. 这样就转换为以单位钢管的运输费用为权的赋权图，再利用E.W.Dijkstra 的最短路算法计算出一个单位钢管从钢厂运到工地的最少费用系数阵()ij c ，MA TLAB 程序(略).226(2)根据以上结果, 继续求解非线性规划模型：()()71515i 111min ()0.0511i i j i j j j j j j j Z p c x y y z z ===⎡⎤=+++++⎣⎦∑∑∑7i j i 11,1151522x ;(1,2,,15);(1,2,,14).5000;(1,2,,7)0 1,,7,2,,15j j j j j j ij i ij j j ij y z j z y A j s t x s x i x i j =++==⎧=+=⎪⎪+==⎪⎪⎨⎪≤≤==⎪⎪≥==⎪⎩∑∑∑或由于不能直接处理约束条件：i j ijs x≤≤∑=152500或0152=∑=j ij x ，我们可先将此条件改为i j ijs x≤∑=152，得到如下模型：()()71515i 111min ()0.0511i i j i j j j j j j j Z p c x y y z z ===⎡⎤=+++++⎣⎦∑∑∑2277i j i 11,1152x ;(1,2,,15);(1,2,,14).;(1,2,,7)0 1,,7,2,,15j j j j j j ij i j ij y z j z y A j s t x s i x i j =++=⎧=+=⎪⎪+==⎪⎪⎨⎪≤=⎪⎪≥==⎪⎩∑∑用LINGO 求解（程序略）. 分析结果后发现购运方案中钢厂7S 的生产量不足500单位，下面我们采用不让钢厂7S 生产和要求钢厂7S 的产量不小于500个单位两种方法计算：1）不让钢厂7S 生产,程序略.计算结果：1Z =1278632（万元）（此时每个钢厂的产量都满足条件）. 2）要求钢厂7S 的产量不小于500个单位，程序略.计算结果：2Z =1285281（万元） （此时每个钢厂的产量都满足条件）. 比较这两种情况，得最优解为，121min min(,)Z Z Z Z ===1278632（万元）. 所以根据上述的模型，得运输总费用最小为1278632（万元）. 具体的购运计划和铺设方案如表4，表5.228问题2. 针对问题一的求解模型，讨论钢厂钢管的销售价格变化对购运计划和总费用影响及钢厂钢管产量的上限变化对购运计划和总费用的影响．定义 方案中运往各点i A 的运输量的变化量的绝对值之和称为运输方案变化量． 1、讨论钢厂钢管的销售价格变化对购运计划和总费用的影响当钢厂钢管销售价格变化时，会对购运计划和总费用造成影响. 为了更好地观察每一个钢厂钢管销售价格所造成的影响，采用比较法，即每次只让一个钢厂钢管的销售价格发生相同的变化，其余钢厂钢管的销售价格不发生变化.我们将各个钢厂单位钢管的销价分别增加1万元和减少1万元，借助LINGO 软件得出相应的总费用、运输方案、订购方案变化情况如表6、表7所示由上述表格观察分析可得： 6S 钢厂销价变化对总费用影响最大，56,S S 钢厂钢管的销价的变化对购运计划影响最大.2、讨论钢厂钢管产量的上限的变化对购运计划和总费用的影响同样采用比较法，即每次只让一个钢厂钢管产量的上限的发生相同的变化，其余钢厂钢管产量的上限不发生变化. 将各个钢厂的产量的上限分别增加100个单位和减少100个单位，分别计算，得到购运计划和总费用变化情况如表8、表9所示.S钢厂钢管的产量的上限的变化对总费用影响最大，由上述表格观察分析可得：1购运计划影响较小.五、模型的评价及改进由于总费用由订购费用和运输费两部分组成，运输费又由一般线路上的运输费和铺设管道上的运输费组成. 利用求网络中最短路径的Dijkstra算法，进行改进得到新的算法，可对含多种权重计算方式的网络进行搜索，得出最小费用路径（最短路径），算出两点之间的最优路径，进而根据非线性规划，借助于Lingo软件求解即可求出相应的结果.1．优点1）本问题中运用了求网络中最短路径的Dijkstra算法的思想，进行改进和修改得到新的算法，可对含多种权重计算方式的网络进行搜索，算出两点之间的最优路径，计算结果准确，从而得出相应的购运单价的矩阵.2）本问题构造出的模型算法较简单，也可以运用相应的其他编程软件来得到比较满意的结果.3）本模型计算步骤清晰，借助于Lingo软件求解，可靠性较高.2．缺点1）由于题意中不考虑铁路公路间转运的中转费用，也不限制转运次数，因此在算法设计中存在着考虑不周全的缺限，如我们考虑是先通过铁路再通过公路到铺设点，但这不一定是最小费用路径，有可能先通过公路，然后经铁路再经公路运到铺设点，费用更少，这里没有理论证明.2292) 问题二要求根据问题一的分析,指出哪家钢厂销价的变化对购运计划和总费用影响最大，哪家钢厂钢管产量的上限的变化对购运计划和总费用的影响最大，并给出相应的数字结果. 这个问题属于规划问题的灵敏度分析，一般来说，应该对于销价的变化△p 和产量上限的变化△s求出相应的总费用的变化△w，但要得到△w关于△p和△s的函数关系，几乎是不可能的，只对每个钢厂进行单独讨论.3．模型改进这个数学模型可以应用于西部开发中"天然气东送”问题，当然，西部开发中"天然气东送”问题远比我们的假设还要复杂的多，但无论如何，他们的本质一样，我们可将本问题运用于时间的变化等范围的推广. 本文还可以把问题1归结为网络最小费用流问题，建立了线性和非线性最小费用流模型，并运用相应的解法和分支定界法求解，简洁，层次分明.参考文献：[1] 甘应爱，田丰等等. 运筹学.清华大学出版社,北京,1994.[2] 袁亚湘.孙文瑜著. 最优化理论与方法.科学出版社，北京，1997.[3] 徐俊明著. 图论及其应用.中国科学技术大学出版社，合肥，1997.[4] 赵静，但琦. 数学建模与数学实验[M].北京：高等教育出版社，2003.习题1. 如果要铺设的管道不是一条线，而是一个树形图，铁路、公路和管道构成网络（图2），请就这种更一般的情形给出一种解决办法，制定一个主管道钢管的订购和运输计划，使总费用最小（给出总费用).230231图217。
钢管的订购与运输讲述
A j 1
y j1
Aj
yj
A j 1
设
y 是结点 j
A 向右铺设与 j
A 向左铺设之间的交点（ j 1
y 1
0，
y15
0 ）。
第二方案：也可以考虑在Aj左右各设一个变量！
j 2,3, ,14
2.求单位钢钢管的运输费 用为权的赋权图，再求最短路的权。
d j ：相邻点 Aj 与 Aj1 之间的距离；
j 1,2,,14
四、模型的分析、建立、求解
1. 模型的分析与决策变量的设置 根据题目要求，要制定一个主管道钢管的订购
和运输计划，使总费用最小。 先看总费用：总费用由三部分组成： 1) 钢管的订购费。 支付钢厂订购钢管的费用。因为钢厂生产单位钢 管的出厂销价为常量，所以在运费相同的情况下， 应从销价低的钢厂订购钢管。
二、模型假设
1.沿铺设的主管道以有公路或者有施工公路。 2.在主管道上，每公里卸1单位的钢管。 3.公路运输费用为1单位钢管每公里0.1万元（不足整公
里部分按整公里计算） 4.在计算总费用时，只考虑运输费和购买钢管的费用，
而不考虑其他费用。 5.假设钢管在铁路运输路程超过1000km时，铁路每增
加1至100km，1单位钢管的运价增加5万元。
37
44
50
55
60
可考虑将铁路与公路分开考虑。
1) 将铁路图转化成费用图（与Ai对应编号）
将铁路与公路交界的点编号 bj:
图一 中去掉公路得铁路图:
1) 由于钢厂 Si 直接与铁路相连，所以可先求出钢厂 Si 到铁路与公路相交点 bj（对应于 Aj）的最短路径。
计算Si 到bi 的最小费用（与Ai对应编号）
钢管订购与运输的优化模型
论文题目：钢管订购与运输的优化模型27队队长：杨璐学号：******** 专业：信计队员：高春妮学号：******** 专业：数应队员：贺瑞瑞学号：******** 专业：计科2012 年 07 月 19日钢管订购与运输的优化模型摘 要 本文讨论了在铺设天然气管道的过程中如何合理订购与运输钢管以使总费用最小的优化问题。
问题一是在一定约束条件下以钢管订购和运输的总费用为目标函数的非线性优化问题。
总费用由订购钢管的总费用、从钢厂到站点运输钢管的总费用及从站点开始铺设钢管的总费用三部分组成。
订购钢管的总费用和从钢厂到站点运输钢管的总费用分别通过在各厂购买量与各厂出厂销价和在各厂购买量与从各钢厂到各站点运输单位钢管的最小费用的线性运算得到。
从站点开始铺设钢管的总费用通过等差数列求和得到。
在求从钢厂到站点运输钢管的总费用时，关键是采用弗洛伊德算法，用MATLAB 软件编程求出单位钢管从各钢厂运往各站点最小运输费用（见表3）。
约束条件可由题目相应已知条件给出，故可建立钢管订购与运输的优化模型一。
利用LINGO 软件编程求解出此模型，得到钢管订购和运输的最小总费用为1280837万元，并经整理分析给出钢管订购与运输方案（见表4）和钢管铺设方案（见表5）。
问题二是对问题一中模型的灵敏度分析，通过控制变量的方法即每次只让一家钢厂的销价或生产上线发生变化并且每次的变化是相同的，分别得出：6S 钢厂钢管的销价变化对总费用影响最大，5S 和6S 钢厂钢管的销价变化对购运计划影响最大；1S 钢厂钢管的产量上限变化对总费用影响最大，3S 钢厂钢管的产量上限变化对购运计划影响最大。
问题三是对问题一的推广，站点向左右两边铺设变为向三个方向铺设，在问题一中模型基础上增加一些支路变量和约束条件，同时在目标函数中增加相应的铺设费用，由此建立了钢管订购与运输的优化模型二。
利用LINGO 软件编程求解得到钢管订购和运输的最小总费用为1414800万元，并给出钢管订购与运输方案（见表11）和钢管铺设方案（见表12）。
钢管订购与运输论文
钢管订购和运输优化模型关键词：最优化，Floyd 算法；钢管订购与运输；lingo ；摘要本文研究钢管订购与运输问题，该问题给定钢厂生产能力、不同路径长度下运输价格等限制，需要制定使总费用最小的订购运输计划，并分析在生产能力、单位订购价格变化时，对订购及运输计划的影响。
对问题一，我们先将整个网络图简化，利用Floyd 算法通过MATLAB 编程计算出铁路网上，任意两点的最短距离，从而可以知道从每个钢厂S 运往铁路网上各点个单位运输价格，结合公路运输路线，计算出钢管从钢厂i 运往节点j 运输单价ij c 。
设运往节点j ，刚才分别向左右两个方向运输的钢管量分别为j y 、j z ，那么铺设管道过程中的运输费也很容易表示。
我们就可以建立最小费用的优化模型。
再利用lingo 进行求解就可以得出最终结果。
最小总费用为：1278632万元，最终的订购计划为： S1 S2 S3 S4 S5 S6 S7 订购量800800100013211251问题二通过对模型参数的灵敏度分析，我们能得出模型的实际合理性，其中钢厂的产量影响通过问题一的LINGO 求解分析得出答案，而销价对结果的影响要通过自行改变钢厂的销价来实现。
分析结果显示：S1的产量变化对总费用的影响是最大的；S6钢厂销价的变化对总费用的影响是最大的，S4钢厂的销价变化对总费用的影响是最小的。
问题三，相对于问题一管道的铺设路径稍微复杂了一点，我们在问题一的基础上增设管道向第三方运输的运量j m ，再修改问题一的模型，得到本问题模型，再利用lingo 求解，最小总费用为：1404949万元，最终订购计划为： S1 S2 S3 S4 S5S6S7订购量80080010001475.086 1827.914 0最后，我们对模型进行了评价和改进，使模型更加完整和优化。
AbstractIn this paper, we study on the problem of pipe Ordering and Transporting,which Limit steel production capacity and transportation unit price under a different path length, and develop a plan of Pipe ordering and shipping making the minimumcost ,then analyze the production capacity of the unit subscription price changes, see which impacts of the ordering and transportation plans.The first problem, we first simplify the entire network diagram the use MATLAB programs and Floyd algorithm to calculate the shortest distance rail network, between any two points, which can be shipped to know from each steel S-line rail transportation unit price points, combined with road transport routes, calculate the transport unit from steel mills shipped node. Let destined for a node, the amount of steel were just about transport in both directions, respectively, then the process of laying the pipeline transportation costs can easily expressed. We can create the minimum cost optimization model. Reuse lingo for solving the final result can be drawn. The minimum total cost: 12,786,320,000 yuan, the final subscription plan is: S1 S2 S3 S4 S5 S6 S7 subscribe 800 800 1000 0 1321 1251 0 Second problem by sensitivity analysis of the model parameters, we can drawpractical rationality of the model, which yield a steel through problem solving LINGO analysis of the answer, but the selling price impact on the outcome of the change through their own mills the selling price to achieve. Analysis showed: the impact on the total production cost changes S1 is the largest; affect S6 steel selling price changes on the total cost is greatest impact on the selling price changes S4 mills total cost is minimal.Question three, relative to the laying of a pipeline path problem is slightly morecomplicated, we added the issue on the basis of a third-party pipeline to transport the volume, and then modify the problem a model to get the problem model, re-use lingo solved The minimum total cost: 14,049,490,000 yuan, the final subscription plan is:S1S2 S3 S4 S5S6S7subscribe 80080010001475.086 1827.914 0Finally, the model was evaluated and improved to make the model more complete and optimized.一、问题重述1.1问题提出要铺设一条1521A A A →→→ 的输送天然气的主管道,如题中图一所示，图中包括可以生产这种主管道钢管的钢厂有721,,S S S ，钢厂生产的钢管需要通过铁路运输网、公路运输网运到管道铺设处。
全国数模竞赛优秀论文钢管订购与运输的优化模型(浙江师范大学 胡国英 柯 懿 张惠锋) 精品
（1）如果要铺设的管道不是一条线，而是一个树形图，铁路、公路和管道构成网络，请就这种更一般的情形给出一种解决办法，并对图二（见附录一）按（1）的要求给出模型和结果。
（二）问题的分析本题要铺设一条A1~A15的天然气管道，使得总费用最小。
可以这样考虑问题：我们可以先把钢厂生产的钢管运到各个站点Ai(i≠1)再往两边运送，再计算出总的费用使之最小。
事实上我们并不知道每个站点上要运去多少货，所以设每个钢厂运往站点的数量为一变量及站点运往两边的钢管量也为变量，再通过图中已知信息相应的列出一些恒等式和约束条件。
为了使问题便于求解，我们把铁路费用及销价相应转换为公路费用（其简化的图示见附录一的图三），又因为铁路运费为一分段函数，故要对一些点之间加线使运费相当。
转换完毕后再利用赋权图的性质求出厂到站点的最短路。
（其具体数据见附录三）（三）模型的假设（１）运钢管过程中若用火车则可直接把钢管运到公路与铁路交接处,即下了火车不上火车。
（２）假设运输单位可提供足够的火车与汽车。
（３）费用计算时按照钢管数量来算，不考虑其他计费方法及因素。
（４）运费中不足整公里部分按整公里计。
（５）假设向每个钢管厂都订购钢管。
（６）设１Ｋm主管道钢管为１单位钢管。
（７）路中铺设的钢管只允许由其相邻站点提供。
（８）不计各个环节中的装卸费用。
（四）符号说明Ｓi: 表示生产钢管的钢厂（i=1,2…7）。
Ai：表示暂存钢管的站点。
(i=1,2…15)Ｘ1,+kk 与Ｘ1,-kk：分别表示Ａk运往Ａ1+k方向的钢管的数量和Ａk运往Ａ1-k方向的钢管的数量。
（其中Ｋ=2,3…15 X21=104, X16,15=0）Ｂk ：表示存放在Ａk处的钢管数量（k=2,3…15）.Yij : 表示从Ｓi－>Aj所运的钢管数量。
Ｆ(Xij ,Yij): 表示总的费用。
（单位:万元）△Ｐi :表示钢管销价的变化量。
（五）模型的建立与求解题Ⅰ：为了使问题简化，我们可采取如下原则：(1)总费用公路化原则：就是将铁路运费及钢管销价恰当的转换为公路运费。
钢管订购和运输的数学模型
１钢管订购和运输的数学模型摘要： 本文先对钢管订购和运输问题做了深入的分析，通过对问题的简化和等价转换,将问题归结为一非线性规划模型，利用软件LINGO 和LINDO 对问题1和3都作出最优解（分别为：127.966亿元与140.5170 亿元），在解1时给出简化模型和算法（解为：130.057亿元）。
在解问题3时，充分考虑了网络的特性,简化了算法。
由于本题是铁路,公路混合网,本文提出等价转换方法将之变为纯公路网,运用固有最段路径算法简化了计算过程.1 问题的提出计划铺设一条输送天然气的主管道，已知有五个生产主管道钢管的钢厂和铁路，公路混合的交通运输网。
试根据钢厂的位置距离销价生产能力以及运输费用等情况制定钢管订购和运输的最佳方案，使总费用最少。
已知运输网（略）及以下数据：（注：为方便计，1km 主管道钢管称为1单位钢管）钢厂i S 在指定期限内能生产该钢管的最大数量为i s 个单位，钢管出厂销价1单位钢管为i p 万元，如下表：1单位钢管的铁路运价如下表：公路运输费用为1单位钢管每公里0.1万元（不足整公里部分按整公里计算）。
2 问题假设H1：运输通路畅通无阻，即任一厂的钢管可到达网络上任一点。
H2：运输费用只与里程和所经过的线路有关，不考虑在铁路和公路之间转换时所增加的额外费用。
H3：总费用只包括运输费和所用钢管的总价格。
H4：钢管必须运到管道全线，设堆放点之间最小距离为1km。
H5：公路运输时不考虑空车来回开的费用3符号说明A i 节点iB i 铁路公路交点C ji厂j到节点i的单位费用(包括销价)S j厂j2*r i运到i点的钢量r i - w i ，r i+w i , r1i，r2i节点i向两侧铺运的距离，r3i为往第三方铺运的距离x ij厂j向i点供的钢量D 问题1中的管道总长d j j厂的销价v i 节点A i与节点A i+1之间的距离4问题分析4．1 问题1的分析1.将运输费用分成两部分：①在管道通路上的运费f1,简称铺运费，这种运输方式称铺运。
数学建模：钢管订购和运输
钢管订购和运输摘要：本文运用线性规划理论建立了钢管订购和运输计划问题的数学模型。
在求解时分别利用了图论中求最短路长的算法、整数规划中的0—1规划的解法及运输问题的表上作业法。
关键词：线性规划,运输问题一、问题重述有一条从A1→A2→ →A15的天然气管道需要铺设，如图1。
经筛选，只有7家厂商获得认可，分别记为S1，S2， ，S7。
图中粗线表示铁路，单细线表示公路，双细线表示管道（假设管道沿线有公路或建有施工公路）。
圆圈表示公路，每段铁路公路和管道旁的数字表示管道的里程（单位km），记1km为一个单位。
一个钢厂如果承担这种钢管的生产，则最少需要500个单位。
钢厂Si在制定期内最多能生产钢管的数量记为si个单位，钢管出场售价为每单位Pi万元，如下表。
一单位钢管的铁路运价如下表：1000km每增加100km运费增加5万元公路运输费为每公里0.1万元（不足整公里部分按1公里计算）。
1：制定一个主管道的订购和运输计划，市总费用最小（给出总费用）。
2：就问题1的模型进行分析，那个钢管厂的钢管销售价格变化对够运计划和总费用影响最大；哪个钢管厂钢管的产量上限的变化对够运计划和总费用的影响最大，并给出相应的数字结果。
3：如果要铺设的管道不是一条线，而是一个树形图，铁路、公路和管道构成网络，对这种更一般的情形给出一种解决办法，并对图2按问题1的要求给出模型和结果。
二、基本假设假设铺设钢管可从Aj向前后两个方向铺设或向同一方向铺设和不考虑火车运载与汽车运载的装卸费。
三、符号说明1 第Si 个钢管厂承担制造钢管的任务。
0 - 1变量Ri, Ri=0 第Si 个钢管厂不承担制造钢管的任务。
ai 表示向第Si 个钢管厂订购的钢管的数量。
xij 表示从钢管厂Si 沿着费用最小的路线运输到火车站Aj 点的钢管的数量。
bj 表示从各个钢管厂运输到Aj 点的钢管的总数。
cij 表示从钢管厂Si 运输单位钢管到Aj 的最小费用。
管道订购与运输问题-2000年全国数学建模竞赛B题优秀论文
管道订购与运输问题1 问题重述2 基本假设(1)只考虑订购费用和运输费用，不考虑装卸等其它费用． (2)钢管单价与订购量、订购次数、订购日期无关．(3)订购汁划是指对每个厂商的定货数量；运输方案是指具有如下属性的一批记录：管道区间，供应厂商，具体运输路线．(4)将每一单位的管道所在地看成一个需求点，向一单位管道的所在地运输钢管即为向一个点运输钢管．3 符号说明M ：钢厂总数. n ：单位管道总数.:i S 第i 个钢厂 :i S 第i 个钢厂的产量上限。
:i p 第i 个钢厂单位钢管的销售价 i A 管道线上第i 个站点。
i d 管道线上第i 个单位管道的位置。
F ：总费用。
:ij C 从钢厂(1,2,,)i S i m =到点(1,2,,)j d j n =的最低单位费用。
4 问题的简化求 S AP 矩阵的基本思路是图的最短路算法 . 由于铁路的运输费用与线路的长度不是线性关系 ,必须对铁路网做一些预处理才能套用图的标准最短路算法 . 下面叙述求 S AP 矩阵的过程:1.利用图的标准最短路算法 ,从铁路网络得出图中任两个点之间的最短路径表 T (如果两个点之间不连通 ,认为它们之间的最短路长度为+ ∞ ) .2.利用题中的铁路运价表将 T 中的每个元素 (即最短距离 )转化为运输费用 ,将运输费用表记为 C.3.将公路的长度换算为运输费用 ,由公路路程图 (包括要沿线铺设管道的公路 )得出公路费用图 G,若 i, j 不连通 ,则令 Gij = + ∞ .4.对于任一组 ( i , j)∈ { 1,… n }× { 1,… m } 如果 Cij <+ ∞ ,且小于 Gij ,那么就在公路费用图中加一条边. 即令 Gij = min{Cij , Gij } .5.利用图的标准最短路算法 ,求公路费用图中任一个 S 点到任一个 A 点的最小费用路径 ,得出 S AP 矩阵. 如表 1所示:SAP 矩阵A123 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 S1 170716031402986 380 205 31 212 642 920 960 1060 1212 1280 14202 215720531902 1716 1110 955 860 712 1142 1420 1460 1560 1712 1780 19203 230722032002 1816 1210 1055 960 862 482 820 860 960 1112 1180 13204 260725032352 2166 1560 1405 1310 1162 842 620 510 610 762 830 9705 255724532252 2066 1460 1305 1210 1112 792 570 330 510 712 730 8706 265725532352 2166 1560 1405 1310 1212 842 620 510 450 262 110 2807 275726532452 2266 1660 1505 1410 1312 992 760 660 560 382 260 205问题分析运输费用等价转换法则：按单位运费相等原则将任意两点间的最短铁路线转换为公路 线．对于铁路线上的任意两点,i j V V ，用F1oyd 算法找出两点间最短铁路路线的长度ij L 查铁路运价表求得ij L ，对应的铁路单位运费ij f ;又设与该段铁路等费用的公路长度为ij l ，则：0.1ij ij f l =⨯由此，我们就在,i j V V 之间用一条等价的公路线来代替,i j V V 间的最短铁路线．如果,i j V V 之间原来就有公路，就选择新旧公路中较短的一条．这样，我们就把铁路运输网络转换成了公路运输网络．销价等价转换法则：按单位费用相等将任意钢厂的单位销价转换为公路单位运价．对于钢厂S i 的销售单价P i ，我们可以虚设一条公路线，连接钢厂S i 及另一虚拟钢厂'i s ，其长度为i l ，并且满足0.1i i l p =⨯；从而将钢厂的销售单价转换成公路运输单价，而新钢厂'i s 的销售价为0.将铁路和销价转换为公路的过程可以由计算机编程实现． 通过上述的分析，我们可以将原问题化为一个相对简单的产量未定的运输问题，利用115A A 到之间的管道距离和钢厂和站点之间的公路距离建立一个产量未定的运输问题的模型．但是由于1215,A A A ,并不能代表所有的实际需求点(实际需求点是n 个单位管道)，因此，我们可以用F1oyd 算法进一步算出7个钢厂到所有实际的n 个需求点(对于问题一，n ＝5171;对于问题三，n ＝5903)的最短路径，并由此得出一个具有7个供应点、n 个需求点的产址未定的运输模型．6 模型的建立产量未定的运输模型根据假设4，我们可以将每一单位的管道看成一个需求点，向一单位管道的所在地运输钢管即为向一个点运输钢管．对每个点，我们可以根据该点的位置和最短等价公路距离，求出各钢厂与该点之间最小单位运输费用ij C (销价已经归人运输费用之中了)．设总共有m 个供应点(钢厂)，n 个需求点，我们就可以得到一个产量未定的运输模型：有m 个供应点、n 个需求点，每个供应点的供应量{0}{500,}i i u s ∈；每个需求点需要1单位，运输单价矩阵为C ，求使得总运输费用最小的运输方案．其数学规划模型： 11minmnij ij i j F C x ===∑∑11{0}{500,}1,2,,..11,2,01nij i j mij i ij x S i ms tx j n x ==⎧∈=⎪⎪⎪==⎨⎪⎪=⎪⎪⎩∑∑或其中： 1112112n m m mn C C C C CC C ⎛⎫⎪=⎪ ⎪⎝⎭为单位费用矩阵 1112112n m m mn x x x X x x x⎛⎫⎪=⎪ ⎪⎝⎭为决策矩阵，也为0-1矩阵 代码如下7 模型的求解对于本题，上述0-1规划规模宏大，现有的一些算法不能胜任，我们必须具体问题具体分析，结合本题实际情况，寻找行之有效的算法．(1)初始方案的改进的最小元素法和改进的伏格尔法 *改进的最小元素法改进的最小元素法又称为贪婪法或瞎子爬山法，它的宗旨是每一步都取当前的最优值算法步骤为，对费用矩阵C 作n 次下列循环：①C 中找一个最小值ij C ； ②令1;ij x =③C 的第j 的所有数据改为+∞；④如果1nij i j x s ==∑，第i 个供应点的供应量已达上限，将C 的第i 行数据全改为+∞。
钢管订购与运输问题
意义 表示由钢管厂 Si 运送到结点 A j 处的钢管数量 表示单位钢管由钢厂 Si 运送到结点 A j 处的最小费 用，包括订购费用和运输费用（万元/单位）
si
Tj yj
表示钢管厂 Si 生产钢管数量的上限 表示结点 A j 和 A j 1 ，之间待铺管道的长度； 表示从结点 A j ，开始向右铺设的管道长度( A j 1 方 向)
关键字：整数非线性规划模型 New-Dijkstra 算法
Floyd 算法 最优权重系数 整数-网络型规划模型
1
1.问题重述
1.1 问题背景 在经济建设中，经常碰到大量物资调运问题，尤其是我国地域广阔，自然资 源丰富且尚待大力开发，但分布又不均衡。我国西部地域广阔，自然资源丰富， 有巨大的发展潜力，加快发展西部地区可以促进各种资源的合理配置和流动，为 国民经济的发展提供广阔的空间和巨大的推动力量。 “西气东输”工程，设计管道长约 4000 公里。其中生产管道的工厂有若干 家，每家的生产能力、订购费用、及相距铺设点的距离都不一样。根据已有的铁 路、公路网，应如何制定订购和运输钢管方案，将这些钢管运到沿线各铺设地点 而总花费最小就显得尤为重要。 1.2 问题描述 要铺设一条 A1 A2 A15 的输送天然气主管道, 如图一所示。 经筛选 后可以生产这种主管道钢管的钢厂有 S1 , S 2 , S6 。图中粗线表示铁路，单细线表 示公路，双细线表示要铺设的管道(假设沿管道或者原来有公路，或者建有施工 公路)，圆圈表示火车站，每段铁路、公路和管道旁的阿拉伯数字表示里程(单位 km)。为方便计，1km 主管道钢管称为 1 单位钢管。 一个钢厂如果承担制造这种钢管， 则该钢厂在指定期限内最小生产 600 个单 s i 位，最大生产 个单位，钢管出厂销价 1 单位钢管为 p i 万元，如下表：
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摘要本文针对钢管订购和运输的这一题目的要求，建立了非线性规划模型。
在给定钢管运输方式、价格、厂家生产量上下限、运输路线等条件下，本文利用非线性规划模型和图论最短路算法等基础知识，得到了最优的钢管订购运输方案，使总费用最小，并进行了灵敏度分析。
对于问题（1），本文选取钢管订购和运输的最小总费用作为该模型的目标函数，用floyd 算法分别求出铁路最短路矩阵和公路最短路矩阵，进而转化为费用，得到两个矩阵的最小费用，将两者合并求得总体最小运输费用矩阵。
然后用lingo 求解得到最优的钢管订购运输方案，为表1： 表1：对于问题（2），本文根据题目要求改变钢厂钢管的售价和钢厂钢管的产量上限，然后用lingo 求解，观察得到表格，对改变以上两个条件后总运费及方案受到的影响进行了分析，可知钢厂1S 钢厂2S 钢厂3S 单位钢管销售价发生变化时，对方案中总运费的影响最大。
钢厂1S 的产量上限的变化对购运费用和总费用影响最大。
对于问题（3），由于问（3）与问题（1）很相似，不同之处在于问题（3）中的钢管铺设路线变成了树形，本文仍然采用问题（1）的建模思路，仅对特殊之处进行修改。
采用图论中的floyd 算法，求得总体最小运输费用矩阵。
然后用lingo 求解得到最优的钢管订购运输方案，为表2： 表2：每家厂家的生产量：关键词： floyd 算法 非线性规划模型 最小总费用正文1.问题重述要铺设一条1521A A A →→→ 的输送天然气的主管道（如图一所示），可以生产这种主管道钢管的钢厂有721,,S S S 。
图中粗线表示铁路，单细线表示公路，双细线表示要铺设的管道 (铺设点有公路)，圆圈表示火车站，每段铁路、公路和管道旁的阿拉伯数字表示里程(单位km)。
为方便计，1km 主管道钢管称为1单位钢管。
一个钢厂如果承担制造这种钢管，至少需要生产500个单位。
钢厂i S 在指定期限内能生产该钢管的最大数量为i s 个单位，钢管出厂销价1单位钢管为i p 万元，如下表：i1 2 3 4 5 6 7 i s800 800 1000 2000 2000 2000 3000 i p160155155160 155150160 1单位钢管的铁路运价如下表：里程(km) ≤300 301～350351～400 401～450 451～500运价(万元) 2023262932里程(km)501～600601～700701～800 801～900 901～1000运价(万元)37 44 50 55 601000km 以上每增加1至100km 运价增加5万元。
公路运输费用为1单位钢管每公里0.1万元（不足整公里部分按整公里计算）。
钢管可由铁路、公路运往铺设地点（不只是运到点1521,,,A A A ，而是管道全线） （1）请制定一个主管道钢管的订购和运输计划，使总费用最小（给出总费用)。
（2）请就（1）的模型分析：哪个钢厂钢管的销价的变化对购运计划和总费用影响最大，哪个钢厂钢管的产量的上限的变化对购运计划和总费用的影响最大，并给出相应的数字结果。
（3）如果要铺设的管道不是一条线，而是一个树形图，铁路、公路和管道构成网络，请就这种更一般的情形给出一种解决办法，并对图二按（1）的要求给出模型和结果。
72.问题分析对于问题（1），属于非线性规划问题，目标函数包含3部分：订购费用、运输费用、铺设费用，订购费用的求法比较简单，等于在每个钢厂的订购量与每单位钢管的售价的乘积之和，此问题的关键是求运输费用和铺设费用，对于运输费用，本文可以这样考虑，首先仅仅考虑铁路运输方式（此时公路之间的距离视为无穷大），写出邻接矩阵，根据Floyd 算法，可求出铁路的任意两点之间的最短路，进而求出最小费用，其次仅仅考虑公路运输方式（此时铁路之间的距离视为无穷大），写出邻接矩阵，根据Floyd 算法，可求出公路的任意两点之间的最短路，进而求出最小费用，最后进行合并（关键是写费用矩阵），即可求出运输费用。
对于问题（2），属于非线性规划问题中的灵敏度分析，要求钢厂钢管的售价和产量上限的变化对购运计划、总费用的影响，可以在问题（1）模型的基础上，分别将和改变一个相同的单位，并计算出总费用，即可看出哪个钢厂钢管的售价和产量上限的变化总费用的影响钢最大，用同样的方法便可得出哪个钢厂钢管的售价和产量上限的变化对购运计划的影响最大。
对于问题（3），由于问（3）与问题（1）很相似，本文仍然采用问题（1）的建模思路，仅对特殊之处进行修改，对由钢管厂家运往铺设站点的线路选择模型保留，对由站点点向铺设全程运输模型进行改变，将从站点向两边运输改为在某些站点处向三个方向运输，以满足问题（3）的要求。
3.模型假设1）设1km 钢管为1单位钢管。
2）订购单价与订购数量、订购时间无关。
3）公路距离不足整公里部分按整公里计算。
4）将钢管直接运输到15个暂存钢管的站点。
5）运输单位可提供足够的火车与汽车运输钢管。
6）只考虑订购费用、运输费用、铺设费用，不考虑装卸等其他费用。
7）路中铺设的钢管只允许由其相邻站点提供。
8）假设沿管道或者原来有公路，或者建有施工公路。
4.符号说明i S :表示生产这种主管道钢管的钢厂（i =1,2...7）；i s ：表示i S 钢厂在指定期限内能生产该钢管的最大数量（i =1,2...7）；i p ：表示1单位钢管的出厂销价（i =1,2...7）； j A ：表示暂存钢管的站点（j =1,2...15）；i x ：表示i S 钢厂的生产量，即在每个钢厂的订购量（i =1,2...7）； ij d ：表示从i S 钢厂运到j A 站点的钢管量（i =1,2...7），（j =1,2...15）； j n ：表示管道1j j A A 段需要铺设的钢管量（j =1,2...14）；j y ：表示从j A 站点向左铺设的钢管量（j =2...15）； j z ：表示从j A 站点向右铺设的钢管量（j =1,2...14）；f ：表示总费用；cos t i j （，）：表示把单位钢管从i S 钢厂运到j A 站点的购运价格； 1,={0,s i t i s i表示钢厂生产表示钢厂不生产j L ：表示运到j A 站点的钢管向第三个方向铺设的数目。
5.模型的建立于求解5.1问题（1）模型的建立于求解对于问题（1），根据题中所给数据，本文可以先计算出从i S 钢厂到j A 站点的最小订购费用ij a ，然后再计算出从i S 钢厂到j A 站点的最小运输费用ij b ，再求出最小铺设费用，最后根据最小订购费用ij a 、最小运输费用ij b 、最小铺设费用即可求解最小总费用，最小总费用=最小订购费用ij a +最小运输费用ij b +最小铺设费用。
ⅰ)单位钢管的订购及运输费用矩阵的计算模型 ① 计算铁路任意两点间的最小运输费用给各顶点编号并构造铁路距离赋权图，写出邻接矩阵a=3939(,)a i j ⨯，其中,,(,)={,,d i j ija i j i j +∞之间有铁路直接相连之间没有铁路直接相连(d ij 表示,i j 两点之间的铁路路程)然后用Floyd 算法来计算任意两点间的最短铁路距离值，再依据题中的铁路运价表，最终计算出铁路任意两点间的最小运输费用（其中，路径值无穷大时的费用也为无穷大），得到铁路单位最小运输费用矩阵，为方便描述，以下用符号aa 来代替。
② 计算公路任意两点间的最小运输费用构造公路距离赋权图，写出邻接矩阵b=3939(,)b i j ⨯，其中,,(,)={,,d i j ijb i j i j +∞之间有铁路直接相连之间没有铁路直接相连(d ij 表示,i j 两点之间的公路路程)然后用Floyd 算法来计算任意两点间的最短公路距离值，再依据题中的“公路运输费用为1 单位钢管每公里0.1 万元（不足整公里部分按整公里计算）”，最终计算出公路任意两点间的最小运输费用（其中，路径值无穷大时的费用也为无穷大），得到公路单位最小运输费用矩阵，为方便描述，以下用符号bb 来代替。
③计算任意两点间的最小运输费用由于可以用铁路、公路交叉运送，所以任意相邻两点间的最小运输费用为铁路、公路两者最小运输费用的最小值。
构造铁路、公路的混合费用赋权图，应用Floyd 算法，写出Matlab 程序，（见附录程序3）将铁路单位最小运输费用矩阵aa 与公路单位最小运输费用矩阵bb 进行合并，即(,)min((,),(,))c i j aa i j bb i j =，于是得到单位最小运输费用矩阵c 。
然后取出本文需要的单位钢管的最小运输费用，即i S 钢厂（i =1,2...7）运送到j A 站点（j =1,2...15）的最小运输费用，并作成157⨯的表格。
④在157⨯的表格的相应位置加上对应的单位钢管的出厂售价, 便得到单位钢管从i S 钢厂（i =1,2...7）到j A 站点（j =1,2...15）的购买和运送最小费用，作成表格，下表3：表3：单位钢管从i S 钢厂到j A 站点的购运的最小费用ⅱ)总费用的数学规划模型由前面的问题分析可以知道目标函数=订购费用+运输费用+铺设费用订购费用+运输费用为：715(,)cos (,)11c i j t i j i j ∑∑==铺设费用为：(1)(1)150.1()221z z y yi i i i j +++∑= 故目标函数应该为：(1)(1)71515min (,)cos (,)0.1()22111z z y yi i i i f c i j t i j i j j ++=++∑∑∑=== 约束条件应包括：钢厂产量约束：500t x t s t i i i i i ≤≤运量约束：y z n j j j+= 运量与铺量之间的约束：7(,)1c i j y z j ji =+∑=变量取值范围约束：,,,,,0x t y n z c i i i i i i≥且均为整数故该优化模型为：(1)(1)71515min (,)cos (,)0.1()22111z z y yi i i i f c i j t i j i j j ++=++∑∑∑===500..7(,)1,,,,,0t x t s ti i i i i y z n j j js t c i j y zj ji x t y n z c i i i i i i≤≤+==+∑=≥且均为整数 编写LINGO 程序后（见附录中的程序 1）可得出结果（见后面的模型的结果和分析）。
5.2问题（2）模型的建立于求解对于问题（2），要求钢厂钢管的售价i p 和产量上限i s 的变化对总费用f 、购运计划的影响，可以在问题（1）模型的基础上，分别将i p 和i s 改变一个相同的单位（此题均增加1），并在模型中计算出总费用'i f （i =1,2...7），与未改变的总费用i f （i =1,2...7）进行比较，求出差值（i =1,2...7）i f ，最后将i f （i =1,2...7）相比较，即可得出哪个钢厂钢管的售价i p 和产量上限i s 的变化总费用的影响钢最大f ，用同样的方法便可得出哪个钢厂钢管的售价i p 和产量上限i s 的变化对购运计划的影响最大。