复变函数第3讲x
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复变函数 全套课件
w1
8
2cos
9 16
i
sin
9 16
,
23
w2
8
2
cos
17 16
i sin 1176,
w3
8
2cos
25 16
i sin 2156.
y
w1
这四个根是内接于中
心在原点半径为8 2 的 圆的正方形的四个顶点.
w2
o
w0 x
w3
24
三、典型例题
例1 对于映射 w z 1 , 求圆周 z 2的象. z
3
三角表示法
利用直角坐标与极坐标的关系
x y
r r
cos , sin ,
复数可以表示成 z r(cos i sin )
指数表示法
利用欧拉公式 ei cos i sin ,
复数可以表示成 z rei 称为复数 z 的指数表示式.
4
方根
w
n
z
r
1 n
cos
2kπ
i sin
2kπ
n
n
6
2cos
12
i
sin
12 ,
w1
6
2cos
7 12
i sin 712,
w2
6
2cos
5 4
i
sin
5 4
.
22
例 计算 4 1 i 的值.
解
1i
2cos
4
i
sin
4
4
1
i
8
2cos 4
2k 4
i sin
4
2k
4
即
w0
8
复变函数第二章(第三讲)PPT课件
解 (2) f (z)=ex(cosy +isiny) 则 u=excosy, v= exsiny
u e x cos y, x v e x sin y, x
u e x sin y u v
y v
e x cos y
x v
y u
在R
2成立，
y
x y
且u, v在R2上偏导数连续
故 f (z) e x (cos y i sin y)在复平面C上可导，解析; 且f '(z) u i v e x cos y ie x sin y f (z)。
定理 设f (z)= u + i v, z= x +i y, z0=x0+i y0, 则f (z)在
(1) u( x, y), v( x, y)在( x0 , y0 )可微 ,
z0处可导 (2)
u x
v ,
y
u y
v x
在(
x0
,
y0
)成立.
定义 方程
u v v u x y x y
称为Cauchy-Riemann方程(简称C-R方程).
1.导数的概念
定义2.1.1 设函数f (z)在z0的某邻域N( z0 ,δ)内有定
义, 且极限 lim f (z0 z) f (z0 )存在，则称函数
z0
z
f (z)在点z0处可导。称此极限值为f (z)在z0的导数
记作
dw f '(z0 ) dz zz0
lim z0
f (z0 z) z
z
z
x x x x x iy x iy
当z取实数趋于0时, f z 1; 当z取纯虚数趋于0时, f z
0;
第三讲 复变函数 解析函数1
§2.1 解析函数的概念
1. 复变函数的导数定义 2. 解析函数的概念
一、解析函数的概念
1 复变函数的导数 定义：
函数w = f ( z ), z ∈ D; z 0 , z 0 + ∆z ∈ D
f ( z 0 + ∆z ) − f ( z 0 ) ∆w lim 若极限 lim = ∆z →0 ∆z → 0 ∆ z ∆z
f ( z ) ' f ' ( z ) g ( z ) − f ( z ) g' ( z ) , ( g ( z ) ≠ 0) g( z ) = 2 g (z)
由以上讨论 ⇒ P ( z ) = a 0 + a1 z + ⋯ + a n z n 在整个复平面上处处可 导； P(z) R( z ) = 在复平面上（ 点外） 在复平面上（除分母为 0点外）处 Q( z ) 处可导 .
(3)有界闭区域D上的连续函数必有界，且其模 在D上取到最大值与最小值;
例题2 讨论
f (z) = arg z
π
2
的连续性。
argz在区域 −π < argz < π内连续，
π
2
−π
−
π
θ
0 0
x
在负实轴 argz = π上不连续。
π
2
−
π
2
第二章 解析函数
第一节 第二节 第三节 解析函数的概念 函数解析的充要条件 初等函数
例2 问 f (z) = x +2yi 是否可导?
f (z +∆z) − f (z) [解] 这里 lim ∆z→0 ∆z ( x + ∆x) + 2( y + ∆y )i − x − 2 yi ∆x + 2∆yi = lim = lim ∆z →0 ∆z → 0 ∆x + ∆yi ∆x + ∆yi ∆x + 2∆yi ∆x = lim = 1. 取∆z = ∆x → 0 , lim ∆z→0 ∆ + ∆ x yi ∆z→0 ∆x ∆x + 2∆yi 2∆y 取∆z = i∆y → 0, lim = lim = 2. ∆z→0 ∆ + ∆ x yi ∆z→0 ∆y 所以 f (z) = x + 2yi 的导数不存在.
复变函数第3讲
z3 z2 等式说明： 等式说明： w2 w3
z1 − z 2 w1 − w 2
=
z3 − z 2 w3 − w 2
z1 − z 2 w1 − w 2 arg = arg z3 − z2 w3 − w2
所以表示二三角形相似！ 所以表示二三角形相似！
z → z0
lim f ( z ) = A， 或者 当z → z0时, f ( z ) → A。
注：从形式上来看，复变函数的极限定义与一元实函数 从形式上来看， 是完全类似的，但实际上二者有很重要的区别。 是完全类似的，但实际上二者有很重要的区别。主要是 因为在复平面上，变量z趋于z 的方式有无穷多种， 因为在复平面上，变量z趋于z0的方式有无穷多种，可以 从不同的方向，既可以沿直线，也可以沿曲线。 从不同的方向，既可以沿直线，也可以沿曲线。这一点 跟二元函数的极限又有相似之处。 跟二元函数的极限又有相似之处。
z n − 1 = ( z − z1 )( z − z 2 )L ( z − z n )
然后呢？ 然后呢？
比较两端n-1次幂的系数！ 比较两端 次幂的系数！ 次幂的系数
由此还可看出， 由此还可看出，n 个根的乘积为 （-ห้องสมุดไป่ตู้)n+1
z1 − z 2 w1 − w 2 3. 分析 = 的几何意义 z3 − z2 w3 − w2 w1 z1
3.函数的极限 3.函数的极限 定义：设函数 定义：设函数w=f(z)在z0的去心邻域内有定义，如果对于 在 的去心邻域内有定义， 任意给定的ε>0, 相应地总有 相应地总有δ>0存在，使得当 存在， 任意给定的 存在 使得当0<|z-z0|<δ时， 时 恒有|f(z)-A|<ε成立，则称 为f(z)当z趋向于Z0时的极限。 成立， 恒有 成立 则称A为 当 趋向于 时的极限。 记作： 记作：
z1 − z 2 w1 − w 2
=
z3 − z 2 w3 − w 2
z1 − z 2 w1 − w 2 arg = arg z3 − z2 w3 − w2
所以表示二三角形相似！ 所以表示二三角形相似！
z → z0
lim f ( z ) = A， 或者 当z → z0时, f ( z ) → A。
注：从形式上来看，复变函数的极限定义与一元实函数 从形式上来看， 是完全类似的，但实际上二者有很重要的区别。 是完全类似的，但实际上二者有很重要的区别。主要是 因为在复平面上，变量z趋于z 的方式有无穷多种， 因为在复平面上，变量z趋于z0的方式有无穷多种，可以 从不同的方向，既可以沿直线，也可以沿曲线。 从不同的方向，既可以沿直线，也可以沿曲线。这一点 跟二元函数的极限又有相似之处。 跟二元函数的极限又有相似之处。
z n − 1 = ( z − z1 )( z − z 2 )L ( z − z n )
然后呢？ 然后呢？
比较两端n-1次幂的系数！ 比较两端 次幂的系数！ 次幂的系数
由此还可看出， 由此还可看出，n 个根的乘积为 （-ห้องสมุดไป่ตู้)n+1
z1 − z 2 w1 − w 2 3. 分析 = 的几何意义 z3 − z2 w3 − w2 w1 z1
3.函数的极限 3.函数的极限 定义：设函数 定义：设函数w=f(z)在z0的去心邻域内有定义，如果对于 在 的去心邻域内有定义， 任意给定的ε>0, 相应地总有 相应地总有δ>0存在，使得当 存在， 任意给定的 存在 使得当0<|z-z0|<δ时， 时 恒有|f(z)-A|<ε成立，则称 为f(z)当z趋向于Z0时的极限。 成立， 恒有 成立 则称A为 当 趋向于 时的极限。 记作： 记作：
《复变函数第3讲》课件
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几何意义
复变函数的导数定义为函 数在复平面上的切线的斜 率。
STEP 03
计算方法
通过极限定义，利用实部 和虚部的导数计算复变函 数的导数。
导数表示函数在某一点的 切线斜率，即函数在该点 的变化率。
复数函数的积分
定义
复数函数的积分定义为复平面上的曲线下的面 积。
几何意义
积分表示函数在曲线下的面积，即函数在某个 区间上的增量。
幂级数的性质
幂级数具有很多重要的性质，如 收敛性、可导性、可积性等。这 些性质使得幂级数在数学和物理 中有广泛的应用。
幂级数的应用
幂级数在数学分析、微积分、复 变函数等领域有广泛的应用。例 如，它可以用来求解微分方程、 积分方程，以及研究函数的性质 等。
泰勒级数
泰勒级数的定义
泰勒级数是幂级数的一种特殊形式，它以一个函数为中心，展开成幂的形式。
复变函数的连续性
定义
如果对于任意给定的正数 ε，存在一个正数 δ，使得当 |z - z0| < δ 时，有 |f(z) - f(z0)| < ε，则称 f(z) 在 z0 处连续。
性质
连续性具有传递性、局部性、可加性、可乘性和复 合性。
判定方法
利用连续性的定义和性质进行判定。
复数函数在无穷远点的极限
柯西积分公式
对于全纯函数，可以通过柯西积分公式计算 其在任意点的值。
全纯函数的积分表示
积分公式
全纯函数的积分表示为沿任意简单闭曲线的积分。
柯西积分定理
对于全纯函数，其沿任意简单闭曲线的积分等于零。
柯西积分公式与全纯函数的积分表示
全纯函数的积分表示可以通过柯西积分公式得到。
复变函数第三讲解析函数的充要条件初等函数
u v 1 u v iii) 求导数： f' ( z ) i x x i y y
前面我们常把复变函数看成是两个实函数拼 成的, 但是求复变函数的导数时要注意, 并不是两个 实函数分别关于x,y求导简单拼凑成的.
二. 举例
例1 判定下列函数在何处可导，在何处解析：
若沿平行于实轴的方式 zቤተ መጻሕፍቲ ባይዱz z ( y0 )
f(z z)f(z) f(z)lim z 0 z [u (x x ,y )iv (x x ,y )] [u (x ,y )iv (x ,y )] lim x 0 x u (x x ,y )u (x ,y ) v (x x ,y )v (x ,y ) lim i lim x 0 x 0 x x
1 u v v u i i y y y y
f ' ( z ) 存在 u v v u i i x x y y u v x y
定义 方程
u x v x
记忆
v u x y
u y v y
Cauchy-Riemann方程
u v v u x y x y
上述条件满足时,有
f ' ( z ) u iv u iu v iu v iv x x x y y y y x
定理2 函数f (z)=u(x, y)+iv(x, y)在D内解析充要 条件是 u(x, y) 和 v(x, y)在D内可微，且 满足Cauchy-Riemann方程
第三讲 解析函数的充要条件 初等函数
§2.2 解析函数的充要条件
1. 解析函数的充要条件
前面我们常把复变函数看成是两个实函数拼 成的, 但是求复变函数的导数时要注意, 并不是两个 实函数分别关于x,y求导简单拼凑成的.
二. 举例
例1 判定下列函数在何处可导，在何处解析：
若沿平行于实轴的方式 zቤተ መጻሕፍቲ ባይዱz z ( y0 )
f(z z)f(z) f(z)lim z 0 z [u (x x ,y )iv (x x ,y )] [u (x ,y )iv (x ,y )] lim x 0 x u (x x ,y )u (x ,y ) v (x x ,y )v (x ,y ) lim i lim x 0 x 0 x x
1 u v v u i i y y y y
f ' ( z ) 存在 u v v u i i x x y y u v x y
定义 方程
u x v x
记忆
v u x y
u y v y
Cauchy-Riemann方程
u v v u x y x y
上述条件满足时,有
f ' ( z ) u iv u iu v iu v iv x x x y y y y x
定理2 函数f (z)=u(x, y)+iv(x, y)在D内解析充要 条件是 u(x, y) 和 v(x, y)在D内可微，且 满足Cauchy-Riemann方程
第三讲 解析函数的充要条件 初等函数
§2.2 解析函数的充要条件
1. 解析函数的充要条件
复变函数PPT第三章
2
x
1 例10 求 dz , C 为含 a 的任一简单闭路 , n C (z a) n 为整数.
1 例10 求 dz , C 为含 a 的任一简单闭路 , n C (z a) n 为整数.
解 因为 a 在曲线C 内部, 故可取很小的正数 ,
使 C1 : z a 含在 C 内部. 1 此结论非常重要，用起来很 在以 C C1 为边界的复连通域 ( 方便，因为C不必是圆， a z a )n 也不必是圆的圆心，只要a 内处处解析, 由闭路变形原理, 在简单闭曲线C内即可. 2 i , n 1 1 1 ( z a )n dz C ( z a )n dz 0, n 1. C
1 1 在C内作两个正向圆周 1 : z , C 2 : z 1 . C 4 4 y 根据复合闭路定理，
2z 1 2z 1 2z 1 C z 2 z dz C1 z 2 z dz C2 z 2 z dz
C1
C2
1 1 1 1 dz dz dz dz z 1 z z 1 z C1 C1 C2 C2
e dz. 2 z 5z 6
z
z i 1
z 5z 6
2
dz 0 .
例5 解
求 zdz 的值.
z0
z1
1 2 因为 z 是解析函数, 它的原函数是 z , 2 z1 z1 1 2 1 2 2 zd z z ( z1 z0 ). z0 2 z0 2
i 0
§3.1 复积分的概念
一、复积分的定义
二、积分存在的条件及其计算法 三、积分的性质
例1 计算 C zdz , C : 从原点到点 3 4i 的直线段.
x
1 例10 求 dz , C 为含 a 的任一简单闭路 , n C (z a) n 为整数.
1 例10 求 dz , C 为含 a 的任一简单闭路 , n C (z a) n 为整数.
解 因为 a 在曲线C 内部, 故可取很小的正数 ,
使 C1 : z a 含在 C 内部. 1 此结论非常重要，用起来很 在以 C C1 为边界的复连通域 ( 方便，因为C不必是圆， a z a )n 也不必是圆的圆心，只要a 内处处解析, 由闭路变形原理, 在简单闭曲线C内即可. 2 i , n 1 1 1 ( z a )n dz C ( z a )n dz 0, n 1. C
1 1 在C内作两个正向圆周 1 : z , C 2 : z 1 . C 4 4 y 根据复合闭路定理，
2z 1 2z 1 2z 1 C z 2 z dz C1 z 2 z dz C2 z 2 z dz
C1
C2
1 1 1 1 dz dz dz dz z 1 z z 1 z C1 C1 C2 C2
e dz. 2 z 5z 6
z
z i 1
z 5z 6
2
dz 0 .
例5 解
求 zdz 的值.
z0
z1
1 2 因为 z 是解析函数, 它的原函数是 z , 2 z1 z1 1 2 1 2 2 zd z z ( z1 z0 ). z0 2 z0 2
i 0
§3.1 复积分的概念
一、复积分的定义
二、积分存在的条件及其计算法 三、积分的性质
例1 计算 C zdz , C : 从原点到点 3 4i 的直线段.
复变函数讲x
6
主要内容
1、复数及其表示方法 2、复数运算 3、平面点集 4、复变函数的连续性
7
§1 复数及其四则运算
1、复数的概念
形如 z xiy 的表达式，称为复 其中 x, y为 实 数 .
其中
i 1 .
2
z ); ( z ); ( 虚部 yIm 实部 xRe
为 xiy 的共轭复数，记为 z. 共轭 x iy
点 P 表. 示
基于这样一种原因，我们把此时的坐标平 面称为复平面. 11
复数 zx iy 可用平面( 上 x ， y 坐 ) 的 标
y
y
Pz=x+iy
q
zx iy 点 P ( x ， y ) OP , 可 用 OP 向 表 量 示 zx iy .
称向量的长度为复数 z=x+iy 的模或绝对值；
9
容易证明:复数的运算满足分配律、交换律、 结合律. 另外，还经常用到以下性质：
( 1 )z z z z ; 1 2 1 2
( 2 ) z z z z 1 2 1 2;
(4 )zz 2Re z( ), z z 1 1 (3 ) ( ) (z ); 2 0 z z zz 2 i Imz ( ). 2 2
然而，一开始人们对复数的认识仅仅在于一种形 式上的表示，用它们进行计算时还有一些矛盾产生. 例如后面要介绍莱布尼兹和贝努利的一个悖论.
4
序 言
•
复数在历史上的很长一段时间内被人们视为不 可接受的虚数. 直到十七和十八世纪，有两个主要原 因促使了这种状况的改变：
1. 2.
微积分的发展； 复数与平面向量联系起来解决实际问题.
z ( x x y y ) i ( x y x y ); 乘 法： z 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1
主要内容
1、复数及其表示方法 2、复数运算 3、平面点集 4、复变函数的连续性
7
§1 复数及其四则运算
1、复数的概念
形如 z xiy 的表达式，称为复 其中 x, y为 实 数 .
其中
i 1 .
2
z ); ( z ); ( 虚部 yIm 实部 xRe
为 xiy 的共轭复数，记为 z. 共轭 x iy
点 P 表. 示
基于这样一种原因，我们把此时的坐标平 面称为复平面. 11
复数 zx iy 可用平面( 上 x ， y 坐 ) 的 标
y
y
Pz=x+iy
q
zx iy 点 P ( x ， y ) OP , 可 用 OP 向 表 量 示 zx iy .
称向量的长度为复数 z=x+iy 的模或绝对值；
9
容易证明:复数的运算满足分配律、交换律、 结合律. 另外，还经常用到以下性质：
( 1 )z z z z ; 1 2 1 2
( 2 ) z z z z 1 2 1 2;
(4 )zz 2Re z( ), z z 1 1 (3 ) ( ) (z ); 2 0 z z zz 2 i Imz ( ). 2 2
然而，一开始人们对复数的认识仅仅在于一种形 式上的表示，用它们进行计算时还有一些矛盾产生. 例如后面要介绍莱布尼兹和贝努利的一个悖论.
4
序 言
•
复数在历史上的很长一段时间内被人们视为不 可接受的虚数. 直到十七和十八世纪，有两个主要原 因促使了这种状况的改变：
1. 2.
微积分的发展； 复数与平面向量联系起来解决实际问题.
z ( x x y y ) i ( x y x y ); 乘 法： z 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1
复变函数与积分变换第3章积分PPT课件
0
0
22
例2 计算 zdz, zdz的值, 其中
C1
C2
C1是单位圆 z 1的上半圆周, 顺时针方向;
C2是单位圆 z 1的下半圆周，逆时针方 向.
解: 1)C1 : z ei ,0 .
zdz
0 e i ie i d i
0
dt i
C1
2)C2 : z ei , 0.
第三章 复变函数的积分
（与实函数中二型线积分类比）
• §3.1复积分的概念 • §3.2 Cauchy积分定理 • §3.3 Cauchy积分公式 • §3.4解析函数的高阶导数
§3.1复积分的概念
1. 积分的定义 2. 积分存在的条件及其计算法 3. 积分性质
1. 积分的定义
y
定义 设(1)w f (z) z D (2)C为区域D内点A 点B
zdz
0 e i ie i d i
0
dt i
C2
可见，在本题中，C的起点与终点虽然相同，但路径
不同，积分的值也不同．
练习 计算 z dz. (1)C : i i的直线段； C
（2）C：左半平面以原点为中心逆时针方向的单位半圆周。
解（1）线段 的参数方程为 z it t :1 1
i
例3
计算
C
(z
dz z0
)n1
这里C表示以
z0为中心,
r为半径的正向圆周, n为整数.
解 C : z z0 rei 0 2
y z z0 rei
dz C (z z0 )n1
2 0
ire i r e n1 i(n1)
d
o
z
z0
2 i 0 r ne in
复变函数(西交大)第三讲共48页PPT资料
| x| 1 , z
| y z| 1 x z(1 i3 ) 0
f(z) lim f(z z)f(z) u i v
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 0
z
x x
定理2 函数f (z)=u(x, y)+iv(x, y)在D内解析充要 条件是 u(x, y) 和 v(x, y)在D内可微，且 满足Cauchy-Riemann方程
f'(z)lim f(zz)f(z)
z 0
z
设 ( z)f(z z)f(z)f'(z)
z
则 f (z+ Δz)-f(z)=f (z)Δz+(Δz)Δz (1), 且
lim(z)0
z0
令：f (z+Δz) f (z)=Δu+iΔv，f (z)= a+ib， (Δz)=1+i2 故（1）式可写为
Δu+iΔv = (a+ib)(Δx+iΔy)+(1+i2)(Δx+iΔy) =(aΔx-bΔy+1Δx2Δy)
f(z)limf(zz)f(z)
z0
z
[u(xx, y)i v(xx, y)][u(x, y)i v(x, y)]
lim
x0
x
u(xx, y)u(x, y)
v(xx, y)v(x, y)
lim
i lim
x0
x
x0
x
u i v x x
若沿平行于虚轴 z的 z 方z(式 x0)
f(z)limf(zz) f(z)
§2.2 解析函数的充要条件
1. 解析函数的充要条件 2. 举例
如果复变函数 w = f (z) = u(x, y) + iv(x, y)在定 义域 D内处处可导，则函数 w = f (z) 在 D内解析。
复变函数第3讲x
7
思考
f ( z ) = Re z 的连续性如何？ 的连续性如何？
函数f 是否可导？ 例2 问：函数 (z)=x+2yi是否可导？ 是否可导
f ( z + z ) f ( z ) Q lim z → 0 解 z x + x + 2( y + y ) i ( x + 2 yi ) = lim =L z → 0 x + i y
例如， 例如，我们容易知道 f ( z ) = z 处处不可导！ 处处不可导！
19
注（ 3 关于 Cauchy Riemann 方程的记忆问题 . ） 可导， 若 f ( z ) = f ( x + i y ) = u ( x , y ) + i v ( x , y ) 可导，有 f ' ( z ) = f ' ( x + iy ) = u x + i v x , f ' ( z ) = f ' ( x + iy ) i = u y + i v y ,
1 于是 f ( z ) = 外可导， 外解析。 除 z = 0外可导，因而除 z = 0外解析。 z 1 并且 f ' ( z ) = 2 . z 多项式 f ( z ) = a n z n + a n 1 z n 1 + L + a1 z + a 0 处处解析 .
16
§2 函数可导与解析的条件
的可导性， 本节从函数 u (x , y) 及 v (x , y) 的可导性，探求 函数w=f (z) 的可导性，从而给出判别函数解析的 的可导性， 函数 一个充分必要条件，并给出解析函数的求导方法. 一个充分必要条件，并给出解析函数的求导方法
思考
f ( z ) = Re z 的连续性如何？ 的连续性如何？
函数f 是否可导？ 例2 问：函数 (z)=x+2yi是否可导？ 是否可导
f ( z + z ) f ( z ) Q lim z → 0 解 z x + x + 2( y + y ) i ( x + 2 yi ) = lim =L z → 0 x + i y
例如， 例如，我们容易知道 f ( z ) = z 处处不可导！ 处处不可导！
19
注（ 3 关于 Cauchy Riemann 方程的记忆问题 . ） 可导， 若 f ( z ) = f ( x + i y ) = u ( x , y ) + i v ( x , y ) 可导，有 f ' ( z ) = f ' ( x + iy ) = u x + i v x , f ' ( z ) = f ' ( x + iy ) i = u y + i v y ,
1 于是 f ( z ) = 外可导， 外解析。 除 z = 0外可导，因而除 z = 0外解析。 z 1 并且 f ' ( z ) = 2 . z 多项式 f ( z ) = a n z n + a n 1 z n 1 + L + a1 z + a 0 处处解析 .
16
§2 函数可导与解析的条件
的可导性， 本节从函数 u (x , y) 及 v (x , y) 的可导性，探求 函数w=f (z) 的可导性，从而给出判别函数解析的 的可导性， 函数 一个充分必要条件，并给出解析函数的求导方法. 一个充分必要条件，并给出解析函数的求导方法
复变函数的极限ppt课件
本身不自交的连续曲线称为简单曲线。
z( ) z( )的简单曲线，称为简单闭曲线,
或约当闭曲线.
z( ) z( )
z( ) z( )
简单闭曲线
不是简单闭曲线
约当定理（简单闭曲线的性质） 任一条简单闭曲线C：z=z(t)， t∈[a，b]， 把复平面唯一地分成两个互不相交的部分： 一个是有界区域，称为C的内部；
闭区域上的连续复变函数在该区域上有界. 例3 求 lim z 1
zi z 2 例4 讨论函数 arg z的连续性.
v (w)
w z2
w z2
o
x w z2 o
u
x2 y2 4
反函数 w f (z)确定了一个单值或多值函数
z (w)称为w f (z)的反函数, 也称
为映射w f (z)的逆映射.
若w f (z)和其反函数z (w)都是单值函数，
则称w f (z)是一一映射. 也称G和G*是一一对应的.
五、复变函数的极限
设函数f (z)在z0的某去心邻域内有定义，若对
0， 0,当0 z z0 时恒有 f (z) A
则称A为函数f (z)当z趋于z0时的极限，记作
lim f (z) A 或 f (z) A
z z0
(z z0)
注意：这里，z趋于z0的方式是任意的，即若 极限存在是指z沿着任意方向，以任意
x
2
y2 a映成w平面上
2xy b
怎样的曲线;
3) z平面上直线x 1, y 2映成w平面上怎 样的曲线？
解 1) w(z1 ) (1)2 1,
w(z3 ) (1 i)2 {
2[cos i sin ]}2
4
4
( 2)2[cos( 2 ) i sin( 2 )] 2i
z( ) z( )的简单曲线，称为简单闭曲线,
或约当闭曲线.
z( ) z( )
z( ) z( )
简单闭曲线
不是简单闭曲线
约当定理（简单闭曲线的性质） 任一条简单闭曲线C：z=z(t)， t∈[a，b]， 把复平面唯一地分成两个互不相交的部分： 一个是有界区域，称为C的内部；
闭区域上的连续复变函数在该区域上有界. 例3 求 lim z 1
zi z 2 例4 讨论函数 arg z的连续性.
v (w)
w z2
w z2
o
x w z2 o
u
x2 y2 4
反函数 w f (z)确定了一个单值或多值函数
z (w)称为w f (z)的反函数, 也称
为映射w f (z)的逆映射.
若w f (z)和其反函数z (w)都是单值函数，
则称w f (z)是一一映射. 也称G和G*是一一对应的.
五、复变函数的极限
设函数f (z)在z0的某去心邻域内有定义，若对
0， 0,当0 z z0 时恒有 f (z) A
则称A为函数f (z)当z趋于z0时的极限，记作
lim f (z) A 或 f (z) A
z z0
(z z0)
注意：这里，z趋于z0的方式是任意的，即若 极限存在是指z沿着任意方向，以任意
x
2
y2 a映成w平面上
2xy b
怎样的曲线;
3) z平面上直线x 1, y 2映成w平面上怎 样的曲线？
解 1) w(z1 ) (1)2 1,
w(z3 ) (1 i)2 {
2[cos i sin ]}2
4
4
( 2)2[cos( 2 ) i sin( 2 )] 2i
(完整版)复变函数知识点梳理解读
第一章:复数与复变函数这一章主要是解释复数和复变函数的相关概念,大部分内容与实变函数近似,不难理解。
一、复数及其表示法介绍复数和几种新的表示方法,其实就是把表示形式变来变去,方便和其他的数学知识联系起来。
二、复数的运算高中知识,加减乘除,乘方开方等。
主要是用新的表示方法来解释了运算的几何意义。
三、复数形式的代数方程和平面几何图形就是把实数替换成复数,因为复数的性质,所以平面图形的方程式二元的。
四、复数域的几何模型——复球面将复平面上的点,一一映射到球面上,意义是扩充了复数域和复平面,就是多了一个无穷远点,现在还不知道有什么意义,猜想应该是方便将微积分的思想用到复变函数上。
五、复变函数不同于实变函数是一个或一组坐标对应一个坐标,复变函数是一组或多组坐标对应一组坐标,所以看起来好像是映射在另一个坐标系里。
六、复变函数的极限和连续性与实变函数的极限、连续性相同。
第二章:解析函数这一章主要介绍解析函数这个概念,将实变函数中导数、初等函数等概念移植到复变函数体系中。
一、解析函数的概念介绍复变函数的导数,类似于实变二元函数的导数,求导法则与实变函数相同。
所谓的解析函数,就是函数处处可导换了个说法,而且只适用于复变函数。
而复变函数可以解析的条件就是:μ对x与ν对y的偏微分相等且μ对y和ν对x的偏微分互为相反数,这就是柯西黎曼方程。
二、解析函数和调和函数的关系出现了新的概念:调和函数。
就是对同一个未知数的二阶偏导数互为相反数的实变函数。
而解析函数的实部函数和虚部函数都是调和函数。
而满足柯西黎曼方程的两个调和函数可以组成一个解析函数,而这两个调和函数互为共轭调和函数。
三、初等函数和实变函数中的初等函数形式一样,但是变量成为复数,所以有一些不同的性质。
第三章:复变函数的积分这一章,主要是将实变函数的积分问题,在复变函数这个体系里进行了系统的转化,让复变函数有独立的积分体系。
但是很多知识都和实变函数的知识是类似的。
可以理解为实变函数积分问题的一个兄弟。
复变函数讲义-3-习题课
f (z) M ,那末 f (z)dz f (z)ds ML.
C
C
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29
例9 设C为圆周 z − 1 = 2证明下列不等式.
c
z z
+ 1dz −1
8.
证明 因为 z − 1 = 2，
所以 z + 1 = z − 1 + 2 z − 1 + 2 = 2,
24
2)若封闭曲线C包含0而不包含1,则
由柯西积分公式得
C
ez z(1 −
z)3
dz
=
ez
C
(1 − z)3 d z z
= 2i ez (1 − z)3 z=0
= 2i.
y
O
•
1x
C
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25
3)若封闭曲线C包含1而不包含0,则
f (z) = ez 在C内解析, 由高阶导数公式得 z
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20
(2) a在曲线C内，b不在曲线C内
由高阶导数公式，有
1
C
(
z
−
1 a)n (
z
−
b)
dz
=
C
(
z−b z − a)n
dz
=
2i
1 (n−1)
(n − 1)! z − b
z=a
=
2i (−1)n−1
(n − 1)!
(n − 1)! (z − b)n
2
一、定积分与不定积分
定积分(参数方程法)常用于函数在积分曲线上有 奇点或在积分区域内部有无穷多奇点情况；不定 积分注意所要求条件
复变函数第3讲
2 2
| u −u0 |< ε,| v − v0 |< ε 这 是 lim u(x, y) = u0 , lim v(x, y) = v0. 就 说
x→x0 y→y0 x→x0 y→y0
21
充分性:
如果lim u(x, y) = u0 , lim v(x, y) = v0
x→x0 y→y0 x→x0 y→y0
23
Re(z) 例 证明函数 f (z) = 当z→0时的极 | z| 限不存在
[证] 令z=x+iy, 则
f (z) =
由此得
x x +y
2 2
,
u(x, y) =
x x +y
2 2
, v(x, y) = 0.
24
由此得
u(x, y) =
x x +y
2 2
, v(x, y) = 0.
让z沿直线y=kx趋于零, 我们有
则任给ε > 0, 存在δ > 0, 使当 0 < (x − x0 ) + ( y − y0 ) < δ时 ,
2 2
| u − u0 |< ε / 2, | v − v0 |< ε / 2 而| f (z) − A|=| (u −u0 ) + i(v − v0 ) |≤| u −u0 | + | v − v0 | 则当 <| z − z0 |< δ时 有 0 , | f (z) − A|< + = ε,即 2 2
z→z0
lim f (z) = A
或记作当z→z0时, f(z)→A
17
这个定义的几何意义是:当变点z一旦进入z0 的充分小的δ邻域时, 它的象点f(z)就落A的 预先给定的ε邻域中. 应当注意, z趋向于z0的 方式是任意的, 无论以何种方式趋向于z0, f(z)都要趋向于同一常数A. v y z f(z)
| u −u0 |< ε,| v − v0 |< ε 这 是 lim u(x, y) = u0 , lim v(x, y) = v0. 就 说
x→x0 y→y0 x→x0 y→y0
21
充分性:
如果lim u(x, y) = u0 , lim v(x, y) = v0
x→x0 y→y0 x→x0 y→y0
23
Re(z) 例 证明函数 f (z) = 当z→0时的极 | z| 限不存在
[证] 令z=x+iy, 则
f (z) =
由此得
x x +y
2 2
,
u(x, y) =
x x +y
2 2
, v(x, y) = 0.
24
由此得
u(x, y) =
x x +y
2 2
, v(x, y) = 0.
让z沿直线y=kx趋于零, 我们有
则任给ε > 0, 存在δ > 0, 使当 0 < (x − x0 ) + ( y − y0 ) < δ时 ,
2 2
| u − u0 |< ε / 2, | v − v0 |< ε / 2 而| f (z) − A|=| (u −u0 ) + i(v − v0 ) |≤| u −u0 | + | v − v0 | 则当 <| z − z0 |< δ时 有 0 , | f (z) − A|< + = ε,即 2 2
z→z0
lim f (z) = A
或记作当z→z0时, f(z)→A
17
这个定义的几何意义是:当变点z一旦进入z0 的充分小的δ邻域时, 它的象点f(z)就落A的 预先给定的ε邻域中. 应当注意, z趋向于z0的 方式是任意的, 无论以何种方式趋向于z0, f(z)都要趋向于同一常数A. v y z f(z)
复变函数
3
2.去心邻域 去心邻域: 去心邻域
称由不等式 0 < z − z0 < δ 所确定的点的 集合为 z0 的去心邻域 .
说明
不包括无穷远点自身在 内, 仅满足 z > M 的所有点的集合 , 称为无穷远点的去心邻 域. 可以表示为 M < z < +∞ .
4
3.内点 内点: 内点
设 G 为一平面点集 , z0 为 G 中任意一点 . 如果 存在 z0 的一个邻域 , 该邻域内的所有点都属 于 G , 那末 z0 称为 G 的内点.
今后不再区别函数与映射. 今后不再区别函数与映射
31
三、典型例题
例1 在映射 w = z 2 下求下列平面点集在 w 平面
∆ABC → ∆A′B′C ′.
24
( 2) 函数 w = z 2 构成的映射 .
显然将 z 平面上的点 z1 = i , z2 = 1 + 2i , z3 = −1 映射成 w平面上的点 w1 = −1, w2 = −3 + 4i , w3 = 1.
y
⋅ w2 ⋅ z2
x
v
z1 ⋅ ⋅ z3 o
29
4. 反函数的定义 反函数的定义:
设 w = f ( z ) 的定义集合为 z 平面上的集合 G , 函数值集合为 w 平面上的集合 G*, 那末 G * 中的 每一个点 w 必将对应着 G 中的一个 (或几个 )点. 于是在 G * 上就确定了一个单值 (或多值 )函数 z = ϕ ( w ), 它称为函数 w = f ( z ) 的反函数 , 也称 为映射 w = f ( z ) 的逆映射 .
它们确定了自变量为 x 和 y 的两个二元实变函数 .
例如, 例如, 函数 w = z 2 , 令 z = x + iy , w = u + iv ,
2.去心邻域 去心邻域: 去心邻域
称由不等式 0 < z − z0 < δ 所确定的点的 集合为 z0 的去心邻域 .
说明
不包括无穷远点自身在 内, 仅满足 z > M 的所有点的集合 , 称为无穷远点的去心邻 域. 可以表示为 M < z < +∞ .
4
3.内点 内点: 内点
设 G 为一平面点集 , z0 为 G 中任意一点 . 如果 存在 z0 的一个邻域 , 该邻域内的所有点都属 于 G , 那末 z0 称为 G 的内点.
今后不再区别函数与映射. 今后不再区别函数与映射
31
三、典型例题
例1 在映射 w = z 2 下求下列平面点集在 w 平面
∆ABC → ∆A′B′C ′.
24
( 2) 函数 w = z 2 构成的映射 .
显然将 z 平面上的点 z1 = i , z2 = 1 + 2i , z3 = −1 映射成 w平面上的点 w1 = −1, w2 = −3 + 4i , w3 = 1.
y
⋅ w2 ⋅ z2
x
v
z1 ⋅ ⋅ z3 o
29
4. 反函数的定义 反函数的定义:
设 w = f ( z ) 的定义集合为 z 平面上的集合 G , 函数值集合为 w 平面上的集合 G*, 那末 G * 中的 每一个点 w 必将对应着 G 中的一个 (或几个 )点. 于是在 G * 上就确定了一个单值 (或多值 )函数 z = ϕ ( w ), 它称为函数 w = f ( z ) 的反函数 , 也称 为映射 w = f ( z ) 的逆映射 .
它们确定了自变量为 x 和 y 的两个二元实变函数 .
例如, 例如, 函数 w = z 2 , 令 z = x + iy , w = u + iv ,
北京大学复变函数讲义第三章：复变积分
C0
C1−
Cn−
我们把上述结果总结为
f (z)dz = f (z)dz + · · · f (z)dz
C0C1Biblioteka CnTheorem 3.6 (复连通区域的 Cauchy 定理) 如果 f (z) 是复连通区域 G 中的 (单值) 解析函数, 则
n
f (z)dz =
f (z)dz
C0
i=1 Ci
(12)
析区域内的任意一条积分路线, 有 b dz = ln b − ln a az
3.2 单连通区域的 Cauchy 定理
围道积分
a
如图, 如果积分路线的起点和终点重合, 积分路线为一闭合曲线, 这时复变积分称为围道积分, 记为
f (z)dz
C
显然, 如果 f (z) 在区域 G 内原函数存在, 则 G 中任何一条闭合围道积分 (∀a ∈ C)
3 复变积分
3.1 复变积分
复变积分 如图, 设 C 是分段光滑曲线 (本课程中曲线都是指分段光滑曲线).
复变函数积分定义为两个实变线积分的组合
f (z)dz ≡ (u + iv)(dx + idy)
C
C
= (udx − vdy) + i (vdx + udy)
(1)
C
C
可知, 复变函数积分的实部和虚部都是第二型曲线积分. 根据实变线积分的知识, 可以知道: 如果 f (z) 是 C 上的连续函数, 则复变积分一定存在.
其中 C0, C1, C2, ..., Cn 是构成复连通区域 G 的边界的各个(分段光滑)闭合围道, C1, C2, ..., Cn 都包含在 C0 的内部. 而且所有积分围道走向相同.
复变函数解读课件
幂级数展开式的应用
幂级数展开式在数学、物理、工程等 领域有广泛的应用，如求解微分方程、
研究函数的奇点和极点等。
洛朗兹级数展开式
洛朗兹级数展开式的定义
01
将复变函数表示为洛朗兹函数的无穷级数形式，可以用于研究
函数的局部行为和性质。
洛朗兹级数展开式的收敛性
02
洛朗兹级数展开式在一定条件下收敛，收敛条件决定了函数的
解析函数的性 质
在解析区域内，解析函数具有无限次 可微性，且满足柯西-黎曼条件。
全纯函数的性质
全纯函数
如果一个复数函数在某个区域内有定义，并且在该区域内可微，则称该函数为全纯函数。
全纯函数的性质
全纯函数具有零点孤立性、增长性、最大值最小值定理等性质。
共轭函数与解析函数的判别
共轭函数
如果一个复数函数的共轭复数也满足解析函 数的条件，则称该函数为共轭函数。
复数的性质
复数具有加法、减法、乘法和除法等 运算性质，满足交换律、结合律和分 配律等基本运算规则。
复数的几何意 义
1 2
3
复平面
复数可以用几何图形表示，通常在直角坐标系中，实部表示 为横轴，虚部表示为纵轴，形成一个二维平面称为复平面。
点的表示
每个复数$z=a+bi$在复平面上对应一个点$(a,b)$。
连续性的性质
连续性具有传递性、局部性等性质，并且满足中值定理。
一致连续与一致收敛
一致连续是指函数在整个定义域上具有连续性，而一致收敛则是 指函数序列在无穷远点处的极限存在。
一致连续与一致收敛
01
一致连续的定义
如果对于任意给定的正数$varepsilon$，存在正数$delta$，使得当两
复变函数 _第3讲
z 0
lim f ( z 0 z ) f ( z 0 ) ,
即 f ( z ) 在 z 0 连续 .
[证毕]
11
3.求导法则: 由于复变函数中导数的定义与一元实变函 数中导数的定义在形式上完全一致, 并且复变函 数中的极限运算法则也和实变函数中一样, 因而 实变函数中的求导法则都可以不加更改地推广 到复变函数中来, 且证明方法也是相同的. 求导公式与法则:
x
9
2.可导与连续: 函数 f (z) 在 z0 处可导则在 z0 处一定连续, 但 函数 f(z) 在 z0 处连续不一定在 z0 处可导. 证
根据在 z 0 可导的定义
0, 0,
,
使得当 0 | z | 时 ,
有
f ( z0 z ) f ( z0 ) z
f ( z ) 在 z 0 解析 .
如果函数 f ( z )在 区域 D内每一点解析, 则称 f ( z )在 区域 D内解析. 或称 f ( z )是 区域 D 内的一 个解析函数(全纯函数或正则函数 ).
14
2. 奇点的定义
如果函数 f ( z ) 的奇点 . f ( z ) 在 z 0 不解析 , 那末称 z 0 为
4
例1 解
求 f ( z ) z 的导数 .
2
f ( z ) lim
f (z z) f (z) z
z 0
lim
(z z) z
2
2
z 0
z
lim ( 2 z z ) 2 z .
z 0
2 ( z ) 2z
5
例2 解
讨论 f ( z ) Im z 的可导性 .
lim f ( z 0 z ) f ( z 0 ) ,
即 f ( z ) 在 z 0 连续 .
[证毕]
11
3.求导法则: 由于复变函数中导数的定义与一元实变函 数中导数的定义在形式上完全一致, 并且复变函 数中的极限运算法则也和实变函数中一样, 因而 实变函数中的求导法则都可以不加更改地推广 到复变函数中来, 且证明方法也是相同的. 求导公式与法则:
x
9
2.可导与连续: 函数 f (z) 在 z0 处可导则在 z0 处一定连续, 但 函数 f(z) 在 z0 处连续不一定在 z0 处可导. 证
根据在 z 0 可导的定义
0, 0,
,
使得当 0 | z | 时 ,
有
f ( z0 z ) f ( z0 ) z
f ( z ) 在 z 0 解析 .
如果函数 f ( z )在 区域 D内每一点解析, 则称 f ( z )在 区域 D内解析. 或称 f ( z )是 区域 D 内的一 个解析函数(全纯函数或正则函数 ).
14
2. 奇点的定义
如果函数 f ( z ) 的奇点 . f ( z ) 在 z 0 不解析 , 那末称 z 0 为
4
例1 解
求 f ( z ) z 的导数 .
2
f ( z ) lim
f (z z) f (z) z
z 0
lim
(z z) z
2
2
z 0
z
lim ( 2 z z ) 2 z .
z 0
2 ( z ) 2z
5
例2 解
讨论 f ( z ) Im z 的可导性 .
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uv, vu. x y x y
注：如何验证一个实函数的可微性？
由高数中定理，只要它具有连续的一阶偏导数
即可. 另外注意，初等函数的性质.
20
下面,我们讨论几个题目.
例1 判定下列函数在何处可导，在何处解析： (1)f(z)ex(cyo isiyn )； 解 (1 ) ： u e xco y , s v e xsiy ， n
(3)若z0为f(z)和g(z)的奇点z0， 也则 是 f(z)g(z)， f(z)的奇点； g(z)
2.若f(z)x2axyby2i(cx2dxyy2) 问常a数 ,b,c,d取何值 , f(时 z)在复平面内处 ?
25
思考题
实函数 , f(x中 )x2在( , )内可; 导 复函数 , f(z中 )z2的可导 ? 性
提示： 函数f(z) z2仅在 z0处可导， 处处连. 续
11
事实上 注意z到 2 zz,
f f(z 0 z ) f(z 0 ) (z 0 z )(z 0 z ) z 0 z 0
z
z
其l中 i m (Δ z)0 . Δ z 0
因此, |(z)z|是|z|的高阶无穷小量.
而f '(z0)z是 w=f(z) 的改变量w的线性部分, 称为函数 w=f(z) 在点 z0 的微分, 记作
dw=f '(z0)z. 如果函数在z0的微分存在, 则称函数 f(z) 在z0可微.
由此可见 f(z， )在点 z可导与可微是.等价
7
思考 f ( z ) Re z 的连续性如何？
例2 问：函数f (z)=x+2yi是否可导？
解 limf(zz)f(z)
z0
z
limxx2(yy)i (x2yi)
z0
xiy
故 函f(数 z)x2y处 i 处 不. 可 导
注：一个复变函数的可导性要求条件比较高！！
8
3、 求导法则
由于复函数与实函数的导数定义和极限运算法则在 形式上完全一致，因而二者具有相同的求导法则：
系.当一个函数可导时,仅由其实部或虚部就可以求
出导数来.
18
注（3）利用该定理可以判断那些函数是不可导的.
例如，我们容f(易 z)知 z处道处不可导！
注（ 4）关于 CauchyRieman方n 程的记忆问 若f (z) f (xi y) u(x, y)iv(x, y)可导，有 f'(z) f'(xiy) ux ivx, f'(z) f'(xiy)i uy ivy,
解 (2 )： ux3y3, v2x2y2 ， u 和 v可微
u 3x2, x v 4xy2, x
u 3y2, y v 4x2 y, y
故由C- R条件知道f (z)仅在(0,0)和(3 , 3)处可导， 44
处处不解析。
例 2设 f(z)aln x2(y2)iarcx tya )在 n x(0时
提示： 根据解析的条件f'， (z)得 0.到
23
小结
1、导数的概念，复变函数求导法则.
2、解析的概念，解析与可导的关系.
3、判别复变函数解析性的有效方法： 柯西—黎曼定理.
f(z)在区域D内解析
f(z)在区域D内可导
f(z)在z0点解析
f(z)在z0点可导
f(z)在z0点连续
24
练习： 1. 判别真、假： (1 )若 f'(z0)存在 f(z， )在 z0解 则 ;析 (2)若 z0为 f(z)的奇f点 (z)在 z， 0处则 不 ; 可
f(z0 Δz)f(z0)都趋于同一 . 个数 Δz
4
若上述极限不存在，则称函数在z0点不可导.
例：f(z)z3 .
解：根据定义，得
f(zΔz)f(z)
(zΔz)3z3
lim
lim
Δz 0
Δz
Δz 0
Δz
3z2.
f'(z)3z2.
结果与实函数一样.
思考 :设n为正整(z数 n)'， ? 5
2、 可导与连续之间的关系
主要内容：
1、解析函数的概念； 2、解析函数的判别方法； 3、五类基本初等函数.
2
§1 解析函数的概念
1、导数定义
定义 设函数w=f (z) z∈D, 且z0、 z0 +Δz∈D，
如果极限 limf(z0z)f(z0)存在，则称函数
z0
z
f (z)在点z0处可导。称此极限值为f (z)在z0的导数，
u v v u i i
x x y y u v , v u .
x y x y
19
将z0点 换 为 区 域 ， 则 域得 内到 可区 导 因 而 解 条件：
定理2 函数f (z)=u(x, y)+iv(x, y)在D内解析充要 条件是 u(x, y) 和 v(x, y)在D内可微，且 满足Cauchy-Riemann方程
dz dt dz （5）反函数的导数 f '(z) 1 ，其中 w=f (z)
'(w) 与z=(w)互为单值的反函数，且(w)0.
这样，我们知道多项式处处可导.例如， (3 z 4 2 z 2 z 6 ) '1z 3 2 4 z 1 .
另外，有理分式在分母不为零的点处可导.
10
例如 f(z ) z 2 1 z,则 z 0 当 , 1 时 f'(z ) ， (z 2 2 z z 1 )2.
u ex cosy, x v ex siny, x
u ex siny u v
y v ex cosy
x v
y u
y
x y
故 f (z) ex(cosyisiny)在全平面可导，解析
f'(z ) u i v e xco y isx e siy n f(z ).
x x
21
(2 )f(z) x 3 y 3 2 x 2y 2i.
解析 a的 ， . 值 求
22
例 若 f ' ( z ) 0 ,z D , 则 f ( z ) C ,z D . 3
证明
1
f'(z)ux
ivx
i
uy
vy
0,
ux vx uy vy 0,
uC1, vC2, f(z)C1iC2 C(常数. ）
例 4设 f(z)u(x,y)iv (x,y)解析u ， v2, 且 求 f'(z)的.值
第二章 解析函数
复变函数的主要研究对象是解析函数.因为，一 方面它具有比较良好的性质，如能展成幂级数，具 有任意阶导数，实、虚部皆为调和函数；另一方面 这也是实际问题中应用较为广泛的一类函数，如平 面无旋流体的流函数与势函数，静电场中的电通量 和电位，它们皆与解析函数有密切联系.
1
第二章 解析函数
与实函数一样，可导一定连续，但反之不成立.
事实上, 由在z0点可导的定义, 对于任给的e>0, 相应地有一个d>0, 使当0<|z|<d 时, 有
f
(z0
Δz) Δz
f
(z0 )
f
(z0 )
e,
令(Δz)
f (z0 Δz) Δz
f (z0)
f (z0),
则 lim (Δz) 0. Δz0
设f(z)x2iy,尽u管 x,v2y可微， 但f(z)处处不解析！
于 是 ， 就 自 然 提 的出 问这 题样 ：
f(z)ui v的 可 导 性 u、与 v的 偏 导 数 之 间
怎样的关系？
16
本节从函数 u (x , y) 及 v (x , y) 的可导性，探求 函数w=f (z) 的可导性，从而给出判别函数解析的 一个充分必要条件，并给出解析函数的求导方法.
z
(z0 z)z( 0 z z)z0z0z0z0 z z z.
当 z00 时 lz i0 ， m f z0 ,即 f'(0 )0 ;
当z0
0时l， imf 不 z0 z
存.
在
f(z)z2仅z在 0处可 . 导 12
4、 微分
设函数w=f(z)在z0可导, 则有
w=f(z0+z)f(z0)=f '(z0)z+(z)z,
于是 f ( z ) 1 除 z0外可导， z因 0外而 解除
z
并
且f
'(z)
1 z2
.
多项 f(z) 式 anznan 1zn 1a1za0处处 15
§2 函数可导与解析的条件
本节内容：介绍一种判别函数可导性、解析性的 非常有效的方法；建立函数的可导性与其实、虚部 之间的关系.
通过前面的知 学道 习 f(z)， u我 iv的 们连续 与 u和 v的连续性关； 系非常密切
注（ 1）定1理 提供了判别函数 一可 种导 非的 常 有效的方 . 法 使用时: i) 判别 u(x, y)，v (x, y) 偏导数的连续性；
ii) 验证C-R条件.
注 （ 2） 在 f(z)uiv可 导 的 情 况 下
f'(z)ux ivx ux iuy vy iuy vy ivx
由此可以看出可导函数的实部与虚部有密切的联
关于这个问题，我们有下面非常重要的结论：
定理1 函数f (z)=u(x, y)+iv(x, y)在点z0x0iy0 可导的充要条件是 u(x, y) 和 v(x, y)在(x0, y0) 可微，且在该点满足Cauchy-Riemann方程
u v v u , .
x y x y 17
定理的详细证明请参见课本第19页；下面我 们讨论几个注意的问题.
记作 f'(z0)d dw z zz0 lz i0m f(z0 zz )f(z0).