复变函数第3讲x

系.当一个函数可导时,仅由其实部或虚部就可以求
出导数来.
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注（3）利用该定理可以判断那些函数是不可导的.
例如，我们容f(易 z)知 z处道处不可导！
注（ 4）关于 CauchyRieman方n 程的记忆问 若f (z) f (xi y) u(x, y)iv(x, y)可导，有 f'(z) f'(xiy) ux ivx, f'(z) f'(xiy)i uy ivy,
u ex cosy, x v ex siny, x
u ex siny u v
y v ex cosy
x v
y u
y
x y
故 f (z) ex(cosyisiny)在全平面可导，解析
f'(z ) u i v e xco y isx e siy n f(z ).
x x
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(2 )f(z) x 3 y 3 2 x 2y 2i.
解 (2 )： ux3y3, v2x2y2 ， u 和 v可微
u 3x2, x v 4xy2, x
u 3y2, y v 4x2 y, y
故由C- R条件知道f (z)仅在(0,0)和(3 , 3)处可导， 44
处处不解析。
例 2设 f(z)aln x2(y2)iarcx tya )在 n x(0时
f(z0 Δz)f(z0)都趋于同一 . 个数 Δz
4
若上述极限不存在，则称函数在z0点不可导.
例：f(z)z3 .
解：根据定义，得
f(zΔz)f(z)
(zΔz)3z3
lim
lim
Δz 0
Δz
Δz 0
Δz
3z2.
f'(z)3z2.
结果与实函数一样.
思考 :设n为正整(z数 n)'， ? 5
2、 可导与连续之间的关系
提示： 根据解析的条件f'， (z)得 0.到
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小结
1、导数的概念，复变函数求导法则.
2、解析的概念，解析与可导的关系.
3、判别复变函数解析性的有效方法： 柯西—黎曼定理.
f(z)在区域D内解析
f(z)在区域D内可导
f(z)在z0点解析
f(z)在z0点可导
f(z)在z0点连续
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练习： 1. 判别真、假： (1 )若 f'(z0)存在 f(z， )在 z0解 则 ;析 (2)若 z0为 f(z)的奇f点 (z)在 z， 0处则 不 ; 可
关于这个问题，我们有下面非常重要的结论：
定理1 函数f (z)=u(x, y)+iv(x, y)在点z0x0iy0 可导的充要条件是 u(x, y) 和 v(x, y)在(x0, y0) 可微，且在该点满足Cauchy-Riemann方程
u v v u , .
x y x y 17
定理的详细证明请参见课本第19页；下面我 们讨论几个注意的问题.
记作 f'(z0)d dw z zz0 lz i0m f(z0 zz )f(z0).
如果w=f(z)在区域D内处处可导，则称 f (z)在区域D内可导.
3
也就是说, 对于任给的e>0, 存在d(e)>0, 使当 0<|z|<d 时, 有
f(z0Δ Δ zz)f(z0)f(z0)e.
应当注意, 定义中z0+zz0(即z0)的方式是任 意的, 定义中极限值存在的要求与z0+zz0的方式 无关, 也就是说, 当z0+z在区域D内以任何方式趋 于z0时, 比值
z
(z0 z)z( 0 z z)z0z0z0z0 z z z.
当 z00 时 lz i0 ， m f z0 ,即 f'(0 )0 ;
当z0
0时l， imf 不 z0 z
存.
在
f(z)z2仅z在 0处可 . 导 12
4、 微分
设函数w=f(z)在z0可导, 则有
w=f(z0+z)f(z0)=f '(z0)z+(z)z,
于是 f ( z ) 1 除 z0外可导， z因 0外而 解除
z
并
且f
'(z)
1 z2
.
多项 f(z) 式 anznan 1zn 1a1za0处处 15
§2 函数可导与解析的条件
本节内容：介绍一种判别函数可导性、解析性的 非常有效的方法；建立函数的可导性与其实、虚部 之间的关系.
通过前面的知 学道 习 f(z)， u我 iv的 们连续 与 u和 v的连续性关； 系非常密切
主要内容：
1、解析函数的概念； 2、解析函数的判别方法； 3、五类基本初等函数.
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§1 解析函数的概念
1、导数定义
定义 设函数w=f (z) z∈D, 且z0、 z0 +Δz∈D，
如果极限 limf(z0z)f(z0)存在，则称函数
z0
z
f (z)在点z0处可导。称此极限值为f (z)在z0的导数，
dz dt dz （5）反函数的导数 f '(z) 1 ，其中 w=f (z)
'(w) 与z=(w)互为单值的反函数，且(w)0.
这样，我们知道多项式处处可导.例如， (3 z 4 2 z 2 z 6 ) '1z 3 2 4 z 1 .
另外，有理分式在分母不为零的点处可导.
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例如 f(z ) z 2 1 z,则 z 0 当 , 1 时 f'(z ) ， (z 2 2 z z 1 )2.
定理 若函数在区域D内可导，则在D内一定解析.
即在区域上，可导与解析是等价的. （为什么？）
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(2 )由 以 上 结 论 ， 若 f(z)在 z 0 点 解 析 ， 则 定 在 z0 的 某 个 小 邻 域 内 处 处 解 析 。
即不可能存在离散的、孤立的解析点.
另外，由求导法则，不难看出： 解析函数的和、差、积、商仍为解析函数， 解析函数的复合函数仍为解析函数.
解析 a的 ， . 值 求
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例 若 f ' ( z ) 0 ,z D , 则 f ( z ) C ,z D . 3
证明
1
f'(z)ux
ivx
i
uy
vy
0,
ux vx uy vy 0,
uC1, vC2, f(z)C1iC2 C(常数. ）
例 4设 f(z)u(x,y)iv (x,y)解析u ， v2, 且 求 f'(z)的.值
第二章 解析函数
复变函数的主要研究对象是解析函数.因为，一 方面它具有比较良好的性质，如能展成幂级数，具 有任意阶导数，实、虚部皆为调和函数；另一方面 这也是实际问题中应用较为广泛的一类函数，如平 面无旋流体的流函数与势函数，静电场中的电通量 和电位，它们皆与解析函数有密切联系.
1
第二章 解析函数
与实函数一样，可导一定连续，但反之不成立.
事实上, 由在z0点可导的定义, 对于任给的e>0, 相应地有一个d>0, 使当0<|z|<d 时, 有
f
(z0
Δz) Δz
f
(z0 )
f
(z0 )
e,
令(Δz)
f (z0 Δz) Δz
f (z0)
f (z0),
则 lim (Δz) 0. Δz0
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所 Δ lz i0 以 f m ( z 0 Δ z ) f( z 0 )即 ,f( z ) 在 z 0 连 . 连续不一定可导，请举出反例说明.
例1 证明 : f(z)Rez在平面上的任何 可点 导 . 都
证:明 f Rze(z)Rze)(
z
z
xxx x . xiy xiy
l i mf 不存在 . z0 z
uv, vu. x y x y
Байду номын сангаас
注：如何验证一个实函数的可微性？
由高数中定理，只要它具有连续的一阶偏导数
即可. 另外注意，初等函数的性质.
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下面,我们讨论几个题目.
例1 判定下列函数在何处可导，在何处解析： (1)f(z)ex(cyo isiyn )； 解 (1 ) ： u e xco y , s v e xsiy ， n
(3)若z0为f(z)和g(z)的奇点z0， 也则 是 f(z)g(z)， f(z)的奇点； g(z)
2.若f(z)x2axyby2i(cx2dxyy2) 问常a数 ,b,c,d取何值 , f(时 z)在复平面内处 ?
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其l中 i m (Δ z)0 . Δ z 0
因此, |(z)z|是|z|的高阶无穷小量.
而f '(z0)z是 w=f(z) 的改变量w的线性部分, 称为函数 w=f(z) 在点 z0 的微分, 记作
dw=f '(z0)z. 如果函数在z0的微分存在, 则称函数 f(z) 在z0可微.
由此可见 f(z， )在点 z可导与可微是.等价
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5、 解析函数的概念
定义f： (z)不 若仅 z0点 在可导， z0的 而某 且个 在 邻域内处处f可 (z)在 导 z0点 ，解 则 . 析 称
不解析的点称为奇点.
注：（1）可导与解析是两个完全不同的概念，解析 一定可导，但可导未必解析.不解析的点可能可导， 即解析的条件比可导要强，但我们却有以下结论：
(1) c'0,其中 c为常数； (2) (zn)'nzn1;
(3) 若f(z)、g(z)都可导，则
(i) ( f g)' f'g';
(ii) ( f g)' f'g f g';
f f'g f g'
(iii) ( )' g
g2
(g(z) 0).
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(4)若 f(t)、 th(z)可导， f则 [h(z)可 ] 导， dddtf'[h(z)h ]'(z).
注（ 1）定1理 提供了判别函数 一可 种导 非的 常 有效的方 . 法 使用时: i) 判别 u(x, y)，v (x, y) 偏导数的连续性；
ii) 验证C-R条件.
注 （ 2） 在 f(z)uiv可 导 的 情 况 下
f'(z)ux ivx ux iuy vy iuy vy ivx
由此可以看出可导函数的实部与虚部有密切的联
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思考 f ( z ) Re z 的连续性如何？
例2 问：函数f (z)=x+2yi是否可导？
解 limf(zz)f(z)
z0
z
limxx2(yy)i (x2yi)
z0
xiy
故 函f(数 z)x2y处 i 处 不. 可 导
注：一个复变函数的可导性要求条件比较高！！
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3、 求导法则
由于复函数与实函数的导数定义和极限运算法则在 形式上完全一致，因而二者具有相同的求导法则：
设f(z)x2iy,尽u管 x,v2y可微， 但f(z)处处不解析！
于 是 ， 就 自 然 提 的出 问这 题样 ：
f(z)ui v的 可 导 性 u、与 v的 偏 导 数 之 间
怎样的关系？
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本节从函数 u (x , y) 及 v (x , y) 的可导性，探求 函数w=f (z) 的可导性，从而给出判别函数解析的 一个充分必要条件，并给出解析函数的求导方法.
u v v u i i
x x y y u v , v u .
x y x y
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将z0点 换 为 区 域 ， 则 域得 内到 可区 导 因 而 解 条件：
定理2 函数f (z)=u(x, y)+iv(x, y)在D内解析充要 条件是 u(x, y) 和 v(x, y)在D内可微，且 满足Cauchy-Riemann方程
思考题
实函数 , f(x中 )x2在( , )内可; 导 复函数 , f(z中 )z2的可导 ? 性
提示： 函数f(z) z2仅在 z0处可导， 处处连. 续
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事实上 注意z到 2 zz,
f f(z 0 z ) f(z 0 ) (z 0 z )(z 0 z ) z 0 z 0
z
z