第五章波动率的估计(GARCH模型)ppt课件
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对上式重复迭代我们得到向前l步预测能够写成
l 1 [ 1 ( ) ] l 1 0 1 1 h ( l ) ( ) h 1 ) T 1 1 T( 1 1 1 0 ,( l ) 1 1 1
2 1 t 2 2 2 t 3
( 1 ) 0 1
是无穷阶ARCH过程
2 max( p ,q ) 2) 过程 t 是一个ARMA(r,p)过程,其中 r
对于GARCH(p,q),
2 2 2 h ( h ) ( h ) t t 0 1 t 1 t 1 p t p t p
2 令w 合并同类项有 h t t t
2 2 h h h t 0 1 t 1 p t p 1 t 1 q t q
j q 时 j
0
l p 时 l 0
而
w h t t 满足：
2 t
E (w t ) 0
GARCH性质 3）参数i , i=1,2,…,q和i , i=1,2,…,p大于 零是保证条件方差为正的充分条件,而不 是必要条件。 4)可以证明 {2t}平稳的条件是1+…+q+1+…+ p <1。
GARCH预测
考虑GARCH(1,1)模型，假定T为预测原点。对 向前一步预测，我们有，
4 2 E ( ) 6 t 1 K 2 3 2 2 2 [ E ( )] 1 2 ( ) t 1 1 1
4 2 E ( ) 3 E ( h t t)
GARCH性质
1)当p=0时,GARCH过程成为ARCH过程,ARCH过程 是 GARCH 的特例，这也是该过程被称为广义 的原因。 2)GARCH过程的含义是条件方差 ht是ht-1,…ht-p 和t-1,t-q的函数。
cov( w , w ) 0 , j 1 t t j
但 w t 一般不是独立同分布的
GARCH(1,1)过程的峰度公式
GARCH(1,1)过程的峰度刻画波动率的厚尾性 峰度=4阶原点矩/标准差的四次方 4 E ( v 正态分布的峰度=3意味着 t ) 3
GARCH(1,1)过程的峰度
GARCH(1,1)
t htt
h h t 0 1 t 1
2 1t 1
ht是条件方差，随时间变化而变化。 无条件均值
E (t ) 0
0 ( ) 无条件方差 Var t 1 1 1
GARCH(1,1)的性质： 1) GARCH(1,1)等价一个无穷的ARCH过程
2 E [ ( ) h h ( v 1 ) |F ] 0 1 1 T 1 1T 1 T 1 T
Hale Waihona Puke Baidu
( ) h ( 1 ) 0 1 1 T
一般地，GARCH(1,1)模型的向前预测l 步的公式
h ( l ) ( ) h ( l 1 ) T 0 1 1 T l 1
2 h h v h t 1 0 1t 1t 1 1 t 2 ( ) h h ( v 1 ) 0 1 1 t 1t t
2 利用 E ( v 1 |F ) 0 从而得GARCH(1,1)以T为 T 1 T 预测原点的向前两步预测公式 h ( 2 ) E ( h |F ) T T 2 T
h h t 0 1 t 1
2 1 t 1
( h ) 0 1 0 1 t 2
2 1 t 1 2 1 t 2
( 1 ) h 0 1
2 1 t 1 2 1 1 t 2 2 1 t 1 2 1 2 2 t 2
第五章波动率的估计(GARCH 模型)
金融时间序列模型
其它ARCH类模型
ARCH(q)模型
t htt 2 2 h t 0 1 t 1 q t q
Vt是独立白噪声过程
为反映收益率波动的异方差性， ARCH模型将条件 方差 h t 表示为滞后残差平方的线性函数
t ht vt
2 2 2 2 2 1 t 1 pt p 1 t 1 qt q t
变形有
2 w w w t 0 t 1 t 1 p t p 2 2 ( ) ( 1 1 t 1 p r) t r
h h T 1 0 1 T
2 1T
于是
2 h ( 1 ) E ( h | F ) h T T 1T 0 1 T 1 T
GARCH（1，1）的向前多步预测 2 2 tv t 将 对向前多步预测，我们用 t h
GARCH(1,1)公式改写为
t htt
h h h t 0 1 t 1
2 p t p 1 t 1
2 q t q
相比ARCH模型： 1) GARCH (p,q)模型是ARCH模型的扩展, 即GARCH模型的条件方差不仅是滞后残差 平方的线性函数,而且是滞后条件方差的线 性函数。 2) GARCH模型适合在计算量不大时,方便地描述了 高阶的ARCH过程,因而具有更大的适用性
引入GARCH模型的背景：
ARCH模型虽然简单但为了充分描述波动 性聚类的特点往往需要很多参数，即要 提高ARCH模型的阶数p。但p较大时，参 数估计不再精确，由此计算出的条件方 差也不精确，存在较大误差。为克服这 一问题，Bollerslev1986提出了广义的 ARCH模型。
GARCH（p,q） 广义条件异方差模型
l 1 [ 1 ( ) ] l 1 0 1 1 h ( l ) ( ) h 1 ) T 1 1 T( 1 1 1 0 ,( l ) 1 1 1
2 1 t 2 2 2 t 3
( 1 ) 0 1
是无穷阶ARCH过程
2 max( p ,q ) 2) 过程 t 是一个ARMA(r,p)过程,其中 r
对于GARCH(p,q),
2 2 2 h ( h ) ( h ) t t 0 1 t 1 t 1 p t p t p
2 令w 合并同类项有 h t t t
2 2 h h h t 0 1 t 1 p t p 1 t 1 q t q
j q 时 j
0
l p 时 l 0
而
w h t t 满足：
2 t
E (w t ) 0
GARCH性质 3）参数i , i=1,2,…,q和i , i=1,2,…,p大于 零是保证条件方差为正的充分条件,而不 是必要条件。 4)可以证明 {2t}平稳的条件是1+…+q+1+…+ p <1。
GARCH预测
考虑GARCH(1,1)模型，假定T为预测原点。对 向前一步预测，我们有，
4 2 E ( ) 6 t 1 K 2 3 2 2 2 [ E ( )] 1 2 ( ) t 1 1 1
4 2 E ( ) 3 E ( h t t)
GARCH性质
1)当p=0时,GARCH过程成为ARCH过程,ARCH过程 是 GARCH 的特例，这也是该过程被称为广义 的原因。 2)GARCH过程的含义是条件方差 ht是ht-1,…ht-p 和t-1,t-q的函数。
cov( w , w ) 0 , j 1 t t j
但 w t 一般不是独立同分布的
GARCH(1,1)过程的峰度公式
GARCH(1,1)过程的峰度刻画波动率的厚尾性 峰度=4阶原点矩/标准差的四次方 4 E ( v 正态分布的峰度=3意味着 t ) 3
GARCH(1,1)过程的峰度
GARCH(1,1)
t htt
h h t 0 1 t 1
2 1t 1
ht是条件方差，随时间变化而变化。 无条件均值
E (t ) 0
0 ( ) 无条件方差 Var t 1 1 1
GARCH(1,1)的性质： 1) GARCH(1,1)等价一个无穷的ARCH过程
2 E [ ( ) h h ( v 1 ) |F ] 0 1 1 T 1 1T 1 T 1 T
Hale Waihona Puke Baidu
( ) h ( 1 ) 0 1 1 T
一般地，GARCH(1,1)模型的向前预测l 步的公式
h ( l ) ( ) h ( l 1 ) T 0 1 1 T l 1
2 h h v h t 1 0 1t 1t 1 1 t 2 ( ) h h ( v 1 ) 0 1 1 t 1t t
2 利用 E ( v 1 |F ) 0 从而得GARCH(1,1)以T为 T 1 T 预测原点的向前两步预测公式 h ( 2 ) E ( h |F ) T T 2 T
h h t 0 1 t 1
2 1 t 1
( h ) 0 1 0 1 t 2
2 1 t 1 2 1 t 2
( 1 ) h 0 1
2 1 t 1 2 1 1 t 2 2 1 t 1 2 1 2 2 t 2
第五章波动率的估计(GARCH 模型)
金融时间序列模型
其它ARCH类模型
ARCH(q)模型
t htt 2 2 h t 0 1 t 1 q t q
Vt是独立白噪声过程
为反映收益率波动的异方差性， ARCH模型将条件 方差 h t 表示为滞后残差平方的线性函数
t ht vt
2 2 2 2 2 1 t 1 pt p 1 t 1 qt q t
变形有
2 w w w t 0 t 1 t 1 p t p 2 2 ( ) ( 1 1 t 1 p r) t r
h h T 1 0 1 T
2 1T
于是
2 h ( 1 ) E ( h | F ) h T T 1T 0 1 T 1 T
GARCH（1，1）的向前多步预测 2 2 tv t 将 对向前多步预测，我们用 t h
GARCH(1,1)公式改写为
t htt
h h h t 0 1 t 1
2 p t p 1 t 1
2 q t q
相比ARCH模型： 1) GARCH (p,q)模型是ARCH模型的扩展, 即GARCH模型的条件方差不仅是滞后残差 平方的线性函数,而且是滞后条件方差的线 性函数。 2) GARCH模型适合在计算量不大时,方便地描述了 高阶的ARCH过程,因而具有更大的适用性
引入GARCH模型的背景：
ARCH模型虽然简单但为了充分描述波动 性聚类的特点往往需要很多参数，即要 提高ARCH模型的阶数p。但p较大时，参 数估计不再精确，由此计算出的条件方 差也不精确，存在较大误差。为克服这 一问题，Bollerslev1986提出了广义的 ARCH模型。
GARCH（p,q） 广义条件异方差模型