第五章波动率的估计(GARCH模型)ppt课件
波动率的估计(ARCH模型)
异方差性破坏了古典模型的基本假定，如果
我们直接应用最小二乘法估计回归模型，将得 不到准确、有效的结果。
异方差性
异方差性另一例子：波动率据聚类性。
资本市场的波动性通常用收益率的标准差 来度量,也称为波动率.大量研究表明股票 收益率表现为在某个时间段波动大,而在 另一个时间段收益率波动又比较小的现 象, 这种现象被称为波动率聚类性。
异方差性例子：在实际经济问题中，随机
扰动项Ui往往是异方差的，例如
（1）调查不同规模公司的利润，发现大公 司的利润波动幅度比小公司的利润波动幅度大；
（2）分析家庭支出时发现高收入家庭支出 变化比低收入家庭支出变化大。
在分析家庭支出模型时，我们会发现高收入 家庭通常比低收入家庭对某些商品支出有更大 的方差。
HEW0.8
HEWV0.2
波动率的特性： P194, (1)-(6)
实现的波动率
使用日内数据计算样本方差做为一天内波 动率的估计。
假设一天内收集到价格 计算日内收益率
pt,0, pt,1,..p.t,n
r t,1 ,r t,2 ,.r t.,n ,.r t,i, ln p t,i 1 ( ) ln p t,i)(
50
40
30
20
10
0 1200 1400 1600 1800 2000 2200 2400
H30V
H120V
H60V
H240V
滑动平均波动率
30天与240天 60
50
40
30
20
10
0 1200 1400 1600 1800 2000 2200 2400
H30V
H240V
滑动平均波动率－关于n的选择
随机波动率模型PPT课件
:
( 1
,
2 1
2
)=(h
,
2 h
)
则有以下：
但是，也正是因为SV 模型中包含着潜在变量，涉及的似然函 数和无条件矩要通过高维积分来计算，极大似然法不能直接求 解。
7
2.SV模型的矩条件
❖ 之所以要先介绍矩条件，是因为模型估计方法要用
❖ 原点矩
E[XP]= x p f (x)dx
性质1：GMM估计量是相合的，即ˆT P
性质2：1
T
T t i
ft ( ) d (0, S), S是N * N正定矩阵
则ˆT 渐进服从正态分布，渐进方差 — 协方差矩阵为：
A
var(ˆT
)
(GWG)
1GTWSWG(G
WG)1
,
其中G
E[
ft (
s 1 s2 2
e 2 ,s ¡
它们在计算SV模型的矩条件时使用。
9
SV模型（ =0 ）
对于 SV 模型（t =0， =0）
rhtt
eht
/2 zt , zt : iidN (0,1)
ht1 vt , 0
1, vt
:
iidN (0,1)
8)
11
❖ （3）其他矩条件（Jacquier、Polson、Rossi(1994)）：
E[rt2rt
2 i
]
exp(2h
2 h
(1
i ))
E[
rt rti
]
2
exp(h
2 h
GARCH模型与波动性建模
∂ ( y t − X t′ξ ) 2 − 2 X t u t = ∂θ 0
q ∂ ht − 2 ∑ α j u t − j X t − j = j =1 ∂θ z t (ξ )
所以，
s t (θ ) = ∂ ln f ( y t X t , Ω t −1 ;θ ) ∂θ
Var ( y t +1 xt ) = x t2σ 2
采用上述策略的一个主要问题是，事先假定了可变 方差是由一特定外生变量产生的。通常情况，人们 并没有充分的理论依据来解释为什么选择某一个变 量序列而不选择其它变量序列。例如，20世纪70年 代西方国家全商品价格指数（WPI）剧烈波动，就 很难说清楚究竟是石油价格的波动、实施货币政策 的变化、还是布雷顿森林体系的崩溃所导致的。研 究变量方差变异的另外一种途径就是借用时间序列 建模的思想，对条件方差的动态变化特征进行建模。 下面我们讨论ARCH模型。
其中
ht = α 0 + α u
2 1 t −1
+ L + α qu
2 t −q
= α 0 + α 1 ( y t −1 − X t′−1ξ ) 2 + L + α q ( y t − q − X t′− qξ ) 2
记δ = (α 0 ,α 1 ,L ,α q )′ ,
则 h = [z (ξ ) ]′ δ t t
y t +1 = ε t +1 xt
其中， y t +1 为所关注的变量； ε t +1 为白噪声扰动项，其方差 为 σ 2 ； xt 为第 t 期可观测的独立变量。 如果 xt = xt −1 = xt − 2 = L = 常数，则序列 {yt } 与白噪声类似， 具有常定方差。然而，当序列 {xt } 的实现值各不相等时， 在已知 xt 的观测值的情况下， y t +1 的条件方差就为：
第五章波动率的估计(GARCH模型)
EGARCH模型
1）重要特征是引入不对称性 2）参数没有大于0的约束，因为对求对数后 的条件方差建模，，可以保证方差为对数。 3）可以假设νt~广义误差分布 4）假设vt是正态分布时E(|vt|)= (2X t′β + δg (ht ) + ε t
g()是条件方差的函数通常是ht ，ln ht
2 利用 E(vT +1 − 1 | FT ) = 0 从而得GARCH(1,1)以T为 预测原点的向前两步预测公式 hT (2) = E(hT +2 | FT )
2 t
= ht v
2 t
将
2 = E[α 0 + (α1 + β1 )hT +1 + α1hT +1 (vT +1 − 1) | FT ]
ε t = htν t
ht = α 0 + α ε
2 1 t −1
+L+α ε
2 p t −q
反映波动率的非对称性 ε t = htν t
S-1是虚拟变量，如果εt-1<0，则S-1取值为1， 如果εt-1≥0则S-1取值为0。 通过画出响应曲线，看到市场利空和利好 消息对波动率的不同影响
GJR模型
响应曲线
20
15
SIG2
10
5
0 -10
-5
0 Z
5
EGARCH 指数广义条件异方差模型
ln ht = k 0 + β 1 ln ht −1 + L + β r ln ht − r +
= α 0 + (α1 + β1 )hT (1)
一般地，GARCH(1,1)模型的向前预测l 步的公式
波动率讲解 PPT
例
估计一个变量服从均值为0得正态分布得方差
Maximize: or:
This gives:
n i1
1 2v
exp
ui2 2v
n
i 1
ln(v)
ui2 v
v
1 n
n i 1
ui2
GARCH(1,1)得应用
选择参数,最大化下式
n
i 1
ln(vi
)
ui2 vi
日元汇率数据得计算
/ 2)T
d1
T
VIX指数 VIX指数就是S&P500指数得波动率指数
VIX指数
VIX 就是芝加哥期权期货交易所 使用得市场波动性指数。通过该指数,可以了解 到市场对未来30天市场波动性得预期。
VIX由CBOT(芝加哥期权期货交易所)编制,以S&P500指数期权得隐含波动率计算 得来(1993年从8只成分股为基础计算,现在覆盖了标普500所有成分股)。若隐含 波动率高,则VIX指数也越高。该指数反映出投资者愿意付出多少成本去对冲投资 风险(用股票期权对冲风险得成本)。因此,VIX广泛用于反映投资者对后市得恐慌 程度,又称“恐慌指数”。指数愈高,意味着投资者对股市状况感到不安;指数愈低, 表示股票指数变动将趋缓。
日波动率得最新估计为每天1、53%
GARCH(p,q)
p
q
2 n
w
aiun2i
j
2 n
j
i 1
j 1
其它模型
许多其它得GARCH模型已被提出 比如,我们可以设计一个GARCH模型,使其赋予 ui2 得权重依赖
于 ui 得正负值
方差目标
一种估计GARCH(1,1)参数得很好方法就是所谓得方差目标 将长期平均方差设定为由数据计算出得抽样方差 模型只需要估计两个参数
garch模型课件
会是怎样出现的？
恩格尔和克拉格〔Kraft, D., 1983〕在分析宏观数据时，发现这样一些 现象：时间序列模型中的扰动方差稳定性比通常假设的要差。恩格尔的结论 说明在分析通货膨胀模型时，大的及小的预测误差会大量出现，说明存在一 种异方差，其中预测误差的方差取决于后续扰动项的大小。
第五讲 条件异方差模型
EViews中的大多数统计工具都是用来建立随机变量的 条件均值模型。本章讨论的重要工具具有与以往不同的目 的——建立变量的条件方差或变量波动性模型。
我们想要建模并预测其变动性通常有如下几个原因: 首先，我们可能要分析持有某项资产的风险；其次，预测 置信区间可能是时变性的，所以可以通过建立残差方差模 型得到更精确的区间；第三，如果误差的异方差是能适当 控制的，我们就能得到更有效的估计。
立长期均值的加权平均〔常数〕，上期的预期方差〔GARCH项〕和在以前各
期下中 降观的t2测资到产的收关益于出(变乎yt动意1性 料的 地x信 大t1息，γ)〔 那2 A么R贸C易H项t商21〕将来会预增测加本对u期下t2的1期方方差差。的t2如1预果期上。升这或个
模型还包括了经常可以在财务收益数据中看到的变动组，在这些数据中，收益 的巨大变化可能伴随着更进一步的巨大变化。
ut 扰N动0项, (u0t的1u分t21布) 是：
~
(5.1.2)
也就是，ut 遵循以0为均值，( 0+ 1u2t-1 )为
方差的正态分布。
由于v(5a.r1(.u2t))中utt的2 方差0 依赖1ut2于1 前期的平方
扰动项，我们称它为ARCH(1)过程：
波动率PPT课件
不同的标准下，波动率可以进行不同的分类，这里按照 波动率的计算方法与应用不同，将波动率分为：隐含波动 率、历史波动率和已实现波动率(高频波动率/日内波动率) 等几类。
隐含波动率 历史波动率 1预2 测波动率 已实现波动率 其他高频波动率
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隐含波动率
S
T
r
其中： 2
—期权价格；
—期权执行价格N(d；),N(— d ) 标的资产即
1
2
期率价；格—；年—度期化权方有差效，期隐；含— 波率连；续21 复X利eX2计2d— x无标风准险正利态
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历史波动率的估计
也是一种静态波动率的估计，假定一定时期内波动 率保持不变。
目前，最常用的条件异方差模型是GARCH(1,1)模型， 基本能反映金融时间序列方差(或波动率)的特征。
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ARCH模型法：
在模型中，我们也可以给长期方差率指定权重，VL为长期
平均方差
2 n
VL
u m
2
i1 i ni
三个8 层次
波动率估计（方法研究）
波动率特征（自相关、长记忆、杠杆效应）
波动率预测（参数估计、模型评价）
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波动率研究发展的三个阶段
从纵向看，波动率模型经历了三个发展阶段： 第一个阶段：经典的金融分析模型中的波动率，如Black-Scholes的期权定价模型，这些模型假定市场收益率呈正 态分布，波动率是恒定的，遵从随机游走过程。 第二个阶段：Engle(1982)提出了ARCH模型，Bollerslev(1986)把这个模型一般化，得到GARCH，由此产生出 一个新的条件波动率研究领域，条件波动率模型层出不穷，它们大多是对GARCH的拓展，以更好的模拟某种特定 的市场效应。与此同时，Taylor(1986)、Hull和White(1987)以及Chesney和Scott(1989)提出了随机波动率模 型。随机波动率模型更易于写成连续形式，往往用于对衍生工具的理论分析（例如期权定价）。 第三阶段：近十年来，用高频分时数据估计波动率的方法开始流行，Andersen、Bollerslev、Diebold、Labys等 （1998、1999、2000、2001）对此方法进行了一系列的研究。以往的波动率都是无法观测到的，它们隐含在价 格曲线或收益率曲线中，人们只能通过收益曲线的时间序列来估计随机波动率模型的参数，继而预测波动率以及评 价各种波动率模型。高频估计能得到准确的波动率估计值，因而可以把波动率的高频估计当做一个观测到的时间序 列，以此为基础，波动率的实证检验和预测研究将能大大拓展。
Ch波动率PPT课件
可编辑
9.15
实际波动率（Realized Volatility）
Andersen等（1998,2001）提出了一种度量波动率的新方法，称之 为实际波动率（Realized Volatility），是通过加总某一频率下的日 内分时数据的收益平方来得到真实波动率的一个估计。
理论证明：在日内频率选取适当的情形下，该估计量是真实波动率的 无偏一致且有效的估计量。因此，近期国外大量的文献致力于利用高 频样本数据来研究非参数的实际波动率。而对于最优样本频率的选取， 则成为计算实际波动率过程中最为关键的问题。若样本频率过小，则 不会得到真实波动率的一个一致的估计量；若样本频率过大，由于收 益受到市场微观结构噪声的影响，度量结果会有较大的误差。因此， 最优的样本频率一定存在且是某个中间值，它可以对这两方面的制约 进行平衡。
的自相关系数来检验
GARCH模型的正确性。
在最大似然估计方法中，我们选择合适 的参数以使得观测值发生的概率最大。
可编辑
9.34
例1
观察一个实验，在进行的十次实验中假设 某个事件为随机事件，那么这个事件发生 一次的概率是多少呢？ 计算的结果是： p(1 p)9
使得表达式取得最大值的极大似然估计值:
p=0.1
可编辑
9.35
例2
估计一组服从正态分布的，均值为零的观 测值得方差
金融风险管理
第九章 波动率
可编辑
9.1
本章主要内容
波动率定义 波动率估计
历史波动率 隐含波动率 已实现波动率估计 指数加权移动平均模型 条件方差模型（ARCH，GARCH）
可编辑
9.2
波动率研究的发展
三个阶段
✓ 金融分析模型中的波动率。假设市场收益正态分布， 波动率常数。
《ARCH和GARCH估计》课件
解释如何对ARCH和GARCH模型进行诊断分析，以及优化模型的方法。
模型实证分析
数据分析
利用金融数据进行ARCH和 GARCH模型的实证分析，展示不 同模型的效果。
模型验证
介绍如何验证ARCH和GARCH模 型的准确性和可靠性，并对比实 证结果。
时间序列预测
探讨ARCH和GARCH模型在金融 时间序列预测中的应用，展示其 预测能力。
介绍GARCH模型的基本原理，并分析其在金融领域中的优势和局限性。
3 条件异方差性
解释条件异方差性的概念，为后续模型引入提供理论基础。
估计ARCH和GARCH模型的方法
1
最大似然估计法(MLE)
详细介绍最大似然估计法在ARCH和
广义矩法(GMM)
2
GARCH模型中的应用，并讨论其优缺点。
讲解广义矩法在ARCH和GARCH模型中的
展望未来，分析ARCH和GARCH模型的发展趋势，探讨可能的改进方向和研 究方向。
风险敞口计算
讲解如何使用ARCH和 GARCH模型计算个体资产或 投资组合的风险敞口。
ARCH和GARCH模型优劣势比较
1 ARCH模型的局限性和改进方法
探讨ARCH模型在应用上的局限性，并介绍改进方法和相关研究。
2 GARCH模型的局限性和改进方法
分析GARCH模型的局限性，并介绍改进方法以提高模型的准确性。
《ARCH和GARCH估计》 PPT课件
本课件将深入介绍ARCH和GARCH模型的估计方法和应用场景，帮助您更好 地分析金融资产价格波动，并在市场风险管理和投资组合风险管理方面提供 实用工具。
ARCH和GARCH模型简介
1 ARCH模型
波动率的估计(ARCH模型)课件
ARCH(自回归条件异方差)模型的基本思想
ARCH模型的基本思想是指在以前信息集下， 某一时刻一个噪声的发生是服从正态分布。该 正态分布的均值为零，方差是一个随时间变化 的量(即为条件异方差)。并且这个随时间变化 的方差是过去有限项噪声值平方的线性组合 (即为自回归)。这样就构成了自回归条件异方 差模型。
等价于如下形式
ˆt2 t2 1(1)ˆt2 1
指数滑动平均
可以选择的范围是0.25~0.02之间。 如果使用EWMA模型进行短期预测选择较
大的，否则选择较小的 。
指数滑动平均计算结果
140
120
100
80
60
40
20
0 1400 1450 1500 1550 1600 1650 1700 1750 1800 1850
数学表达： Yt = βXt＋εt (1)
其中， Yt为被解释变量， Xt为解释变量， εt为误差项。
2 t
的特点
令 t t2Et1(t2) 即t t2 ht
重新表述ARC2
对金融资产的收益率作折线图： P14 图1.3.3
波动率的重要性
股票(期权)定价 P193,公式(5.1) 货币政策制定 证券管理 风险分析
估计波动率的几种方法
历史波动率Historical Volatility 滑动平均moving average 指数加权滑动平均Exponentially
n越大，曲线越平滑，n越小曲线越不平滑； 如果市场没有什么异常变换，n的选择对波
动率预测影响不大； n大时如果在某个时刻收益率出现异常，那
么计算的波动率就会在今后一段时间都 大，持续的时间长度是n的大小；
指数滑动平均(EWMA)
波动率的估计(ARCH模型)ppt课件
ˆt2 t2 1(1)ˆt2 1
指数滑动平均
可以选择的范围是0.25~0.02之间。 如果使用EWMA模型进行短期预测选择较
大的，否则选择较小的 。
指数滑动平均计算结果
140
120
100
80
60
40
20
0 1400 1450 1500 1550 1600 1650 1700 1750 1800 1850
实际波动率估计公式：
2 t
n
r2 t ,i
i 1
用计算出的实际波动率来建立AR模型对未
来波动率进行预测
自回归条件异方差
几个主要的自回归条件异方差模型
Engle(1982)ARCH Bollerslev(1986)GARCH Nelson(1991)EGARCH GJR模型 ARCH-M
Weighted Moving Averages 隐含波动率Implied Volatility 实现的波动率realized volatility 自回归条件异方差类模型
数据
以上证日收益率为例
r1 ,r2,r3,…,rT
实际波动率计算公式
2 t
rt2
波动率年度化
*2501/2*100%
历史波动率的估计
t ht vt
ht
0
2 1 t1
vt ~i.i.d (0,1) 正态分布，v t 与 t 1 相互独立
特点：P199
ARCH模型的性质总结：P201
ARCH过程缺点总结
不能反应波动率的非对称特点 约束强，要求系数非负，如果要求高阶
矩存在，还有更多的约束 不能解释为什么存在异方差，只是描述
金融时间序列模型
第 5 章 波动率模型
第5章波动率模型前面介绍的模型都是预测被解释变量的期望值，而ARCH，GARCH模型预测的是被解释变量的方差。
ARCH模型在分析金融时间序列中有着广泛的应用。
5.1 问题的提出以前介绍的异方差属于递增型异方差，即随机误差项方差的变化随解释变量的增大而增大。
但利率，汇率，股票收益等时间序列中存在的异方差却不属于递增型异方差。
例如，汇率，股票价格常常用随机游走过程描述，x t = x t -1 + u t(5.1)其中u t为白噪声过程。
1971M01-2004M10日元兑美元汇率时间序列及差分序列见图5.1和图5.2。
图5.1 日元兑美元汇率序列ER_sa 图5.2 日元兑美元汇率差分序列（收益）图5.3 收益绝对值序列图5.4 D(ER_sa)的平方金融时间序列具有如下的特征（1）过程的方差不仅随时间变化，而且有时变化得很激烈。
（2）按时间观察，表现出“波动集群”（volatility clustering）特征，即方差在一定时段中比较小，而在另一时段中比较大。
（3）取值的分布是“高峰厚尾”（leptokurtosis and fat-tail）特征，即均值附近与尾区的概率值比正态分布大，而其余区域的概率比正态分布小。
（4）取值的分布是“非对称”（asymmetries）特征，即在平均收益率之下和之上的分布不对称。
图5.5给出高峰厚尾分布示意图。
图5.6给出一个高峰厚尾分布实例。
显然现期方差与前期的“波动”有关系。
描述这类关系的模型称为自回归条件异方差（ARCH）模型（Engle 1982年提出）。
ARCH模型的应用价值（1）通过预测x t或u t的变化量评估股票的风险；（2）可以预测x t随时间变化的置信区间；（3）对条件异方差进行正确估计后可以使回归参数的估计量更具有有效性。
高峰厚尾分布曲线正态分布曲线图5.5 高峰厚尾分布特征示意图图5.6 日元兑美元汇率差分序列（收益）分布直方图正态分布密度峰值上限=（最大组频数 / 观测值总个数）/ 组距=0.3989。
波动率模型_ARCH_GARCH
可以用迭代计算条件方差的h步预测。预测公式如 下： 2 2 hT (1) 0 1 T q T 1q
2 2 hT (2) 0 1hT (1) 2 T q T 2q
2 ( p) 度。LM服从
分布。
ˆ 确定阶数的方法可以观察时间序列 { t }的自相关系数
2
和偏自相关系数。使用建立ARMA模型时确定p和q的
ˆ 方法来确定{ t2} 的滞后长度。也可以使用AIC和BIC准
则来确定适当的滞后长度。
假设对误差项建立ARCH(q)模型，ARCH模型是关于
参数的非线性模型，可以使用极大似然法估计系数， 似然函数如下：
无条件方差为： c Yt t 1 t 1 1 1 c 2 var(Yt ) E (Yt ) E ( t 1 t 1 ) 2 1 1
E ( t2 ) 0 /(1 0 ) var(Yt ) 2 1 1 1 12
i 1
T计Βιβλιοθήκη 样本的自相关系数：i t i 1
( t2 2 )( t2i 2 ) ˆ ˆ ˆ ˆ ( t2 2 ) 2 ˆ ˆ
t 1 T
T
计算Q统计量。
ARCH-LM检验（自回归条件异方差-拉格朗日乘子
检验）Engle (1982) ˆ 计算残差用 t 表示，进行下面的回归分析：
ARCH(1)过程{εt}的条件期望仍然是常数，但是条件 方差不再是常数。这样的过程根据定义是不相关的， 但是并不独立。
ARCH模型表明，如果εt-1异常地偏离它的条件期望，
那么εt的条件方差ht要比通常情况下大，所以有理由 预期εt会比较大，这样使得ht+1比较大；反之，如果 εt-1异常地小，那么条件方差ht要比通常情况下小，所 以有理由预期εt会比较小。这样使得ht+1比较小。虽然
CH4-波动率与Garch族
5/56
4.1 波动率的定义
交易天数与日历天数
计算波动率时，应该采用交易天数 or 日历天数？ 研究人员证明：价格在交易时间内的波动比无交易时间的 波动大得多，所以采用历史数据估计波动率时，应该忽略 无交易的天数 美国：约252个交易日 中国：约250个交易日
6/56
3.1 波动率的定义
（2）计算rt的标准差σ；
1 n 2 r r t i n 1 i 1
(5-1)
（3）根据“时间的平方根”法则对σ进行调整。 计算实例：HS300.xls
11/56
5.3 收益率是否服从正态分布
表5-1 价格变化大于1－6个标准差的天数占全部观察日的比例
Real World (%) >1 SD >2 SD >3 SD >4 SD >5 SD >6 SD 25.04 5.27 1.34 0.29 0.08 0.03 Normal Model (%) 31.73 4.55 0.27 0.01 0.00 0.00
27/56
5.5 指数加权移动平均模型
J.P. Morgan投资银行开发的RiskMetrics技术曾建议将λ取为 0.94，但该技术在金融风险测度领域中的糟糕表现，说明 这一取值并不具备较强的合理性和实用性。 另外，EWMA模型还隐含着未来各期波动率的期望值都是 当前的波动率水平，即 E t2 k t2 k 1, 2,3, ，这显 然忽视了近期数据特征对于波动过程的较强影响。
2 2.88 75.51 0.0000642
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5.4 监测日波动率
日波动率为常数的假设与实际严重不符
可以利用最新价格不断更正对波动率的估计，从而得到每 天不同的波动率
Garch模型
Garch模型Garch⼩声逼逼⼀句，学长有毒吧~~让我进⾦融的东东，我懂个锤⼦⾦融时间序列⾦融资产的波动是⼀个⾮常重要的概念，它与资产的风险直接相关，因此对资产的波动模式进⾏建模是量化投资中的⼀个重要课题。
⼀般来讲，波动建模有以下量化投资⽅向的应⽤：期权定价：波动率是影响期权价值的重要因素；风险度量和管理：在VaR的计算中波动率是主要影响因素，根据波动率决定交易策略的杠杆；资产价格预测和模拟：通过Garch簇模型对资产价格的时间序列进⾏预测和模拟；调仓：盯住波动率的调仓策略，如⼀个tracing指数的策略；作为交易标的：在VIX、ETF以及远期中波动率作为标的可以直接交易。
上⾯的⼏⾏确实没明⽩，正确性有待考证许良：股票收益率中的⽅差⼀般就是表⽰风险嗯，这个check了⼀下，债券/股票等的收益率的波动性（volatility）就是风险，就是滚动风险。
⾦融时间序列分析的核⼼是找到资产收益率序列的⾃相关性，并利⽤它。
同⽅差&&异⽅差在讲Garch模型之前，我们必须对同⽅差和异⽅差的概念进⾏回顾。
在时间序列的弱平稳条件中⼆阶矩是⼀个不变的、与时间⽆关的常数。
在理想条件下，如果这个假设是成⽴的，那么⾦融时间序列的预测将会变得⾮常简单，采⽤ARIMA等线性模型就能做不错的预测。
然⽽采⽤Ariam等模型对⾦融事件序列建模效果是⾮常差的，原因就在于⾦融事件序列的异⽅差性。
这种⾮平稳性⽆法⽤简单的差分去消除，其根本原因在于其⼆阶矩随时间t变化⽽变化。
这⾥说的⽅差是回报率(收益率)简单的理解就是说对于普通的时间序列，⼀般采⽤取n差分或者取对数或者滞后，就可以使时间序列平稳，这个的前提是⽅差不随时间变化也就是同⽅差（此时⽅差是个常数，因为是不随时间变化的），这个时候可以使⽤ARIMA进⾏预测了。
但是⾦融时间序列的⽅差是随着时间变化⽽变化的,⽅差不在是⼀个常数了。
异⽅差描述的是⾦融时间序列⼤的趋势，时间跨度相对较长。
第五章波动率的估计(GARCH模型)
α 1 g (vt −1 ) + ... + α q g (vt − q )
g (vt ) = {| ν t | − E (| ν t |)} + θν t
θ>0同等程度的正扰动引起条件方差的变化比负 扰动要大；θ<0同等程度的正扰动引起条件方差 的变化比负扰动要小; θ=0同等程度的正扰动引 起条件方差的变化与负扰动相等。
变形有 ht = α 0 + β 1 ht −1 + L + β p ht − p + α 1ε t2−1 + L + α q ε t2− q
ε t2 = α0 + wt − β1wt −1 −L− β p wt − p
+ (β1 + α1 )ε + L+ (β p + αr )ε
2 t −1 2 t −r
GARCH(1,1)的无条件方差
练习题1：求GARCH(1,2)的向前一步和向 前两步预测公式 GARCH(1,2)模型：
ε t = ht vt
ht = α 0 + β 1 ht −1 + α 1ε t2−1 + α 2 ε t2− 2
vt 是独立同分布的白噪声过程，并且
E (vt ) = 0, Var (vt ) = 1.
= α 0 + (α1 + β1 )hT (1)
一般地，GARCH(1,1)模型的向前预测l 步的公式
hT (l ) = α 0 + (α 1 + β 1 ) hT (l − 1) l >1
对上式重复迭代我们得到向前l步预测能够写成
α 0 [1 − (α 1 + β1 ) l −1 ] hT (l ) = + (α 1 + β 1 ) l −1 hT (1) 1 − α 1 − β1 α0 → , (l → ∞) 1 − α 1 − β1
用GARCH模型预测股票指数波动率
用G A R C H模型预测股票指数波动率目录Abstract .......................................................................................................................................1.引言..........................................................................................................................................2.数据..........................................................................................................................................3.方法..........................................................................................................................................3.1．模型的条件平均 ............................................................................................................3.2. 模型的条件方差 .............................................................................................................3.3 预测方法..........................................................................................................................3.4 业绩预测评价 ..................................................................................................................4.实证结果和讨论 ......................................................................................................................5.结论.......................................................................................................................................... References...................................................................................................................................AbstractThis paper is designed to make a comparison between the daily conditional variance through seven GRACH models. Through this comparison, to test whether advanced GARCH models are outperforming the standard GARCH models in predicting the variance of stock index. The database of this paper is the statistics of 21 stock indices around the world from 1 January to 30 November 2013. By forecasting one –step-ahead conditional variance within different models, then compare the results within multiple statistical tests. Throughout the tests, it is found thatthe standard GARCH model outperforms the more advanced GARCH models, and recommends the best one-step-ahead method to forecast of the daily conditional variance. The results are to strengthen the performance evaluation criteria choices; differentiate the market condition and the data-snooping bias.This study impact the data-snooping problem by using an extensive cross-sectional data establish and the advanced predictive ability test. Furthermore, it includes a 13 years’ period sample set, which is relatively long for the unpredictabilit y forecasting studies. It is part of the earliest attempts to inspect the impact of the market condition on the forecasting performance of GARCH models. This study allows for a great choice of parameterization in the GARCH models, and it uses a broad range of performance evaluation criteria, including statistical loss function and the Mince-Zarnowitz regressions. Thus, the results are more robust and diffusely applicable as compared to the earliest studies.KEY WORDS: GARCH models; volatility, conditional variance, forecast, stock indices.1.引言波动性预测可以运用到投资组合选择，期权定价，风险管理和以波动性为基础的交易策略。
波动率于garch模型
1.1.波动率波动率是用来描述证券价格、市场指数、利率等在它们均值附近上下波动幅度的术语，是标的资产投资回报率的变化程度的度量。
股票的波动率σ是用于度量股票所提供收益的不确定性。
股票通常具有15%-50%之间的波动率。
股票价格的波动率可以被定义为按连续复利时股票在1年内所提供收益率的标准差。
当∆t 很小时，2t σ∆近似的等于在∆t 时间内股票价格变化百分比的方差。
这说明σ ∆t 近似的等于在∆t 时间内股票价格变化百分比的标准差。
由标准差来表述股票价格变化不定性的增长速度大约为时间展望期长度的平方根（至少在近似意义下）。
1.2.由历史数据来估计波动率为了以实证的方式估计价格的波动率，对股票价格的观察通常是在固定的时间区间内（如每天、每星期或每个月）。
定义n+1——观测次数；S i ——第i 个时间区间结束时变量的价格，i =0，1，…n ； τ——时间区间的长度，以年为单位。
令1ln ,0,1,,;i i i S u i n S -⎛⎫== ⎪⎝⎭1.2.1u i 的标准差s 通常估计为s = 1.2.2或s =1.2.3其中u 为i u 的均值。
由于iu 的标准差为因此，变量s 是所以σ本身可以被估计σ∧，其中σ∧=可以证明以上估计式的标准差大约为/σ∧。
在计算中选择一个合适的n 值并不很容易。
一般来讲，数据越多，估计的精确度也会越高，但σ确实随时间变化，因此过老的历史数据对于预测将来波动率可能不太相干。
一个折中的方法是采用最近90～180天内每天的收盘价数据。
另外一种约定俗成成俗的方法是将n 设定为波动率所用于的天数。
因此，如果波动率是用于计算量年期的期权，在计算中我们可以采用最近两年的日收益数据。
关于估计波动率表较复杂的方法涉及GARCH 模型与EWMA 模型，在下文中将进行详细介绍。
1.3.隐含波动率首先对于一个无股息股票上看涨期权与看跌期权，它们在时间0时价格的布莱克-斯科尔斯公式为012()()rT c S N d Ke N d -=-1.3.1201()()rT p Ke N d S N d -=---1.3.2式中21d =221d d==-函数N(x)为标准正态分布变量的累积概率分布函数。
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h h T 1 0 1 T
2 1T
于是
2 h ( 1 ) E ( h | F ) h T T 1T 0 1 T 1 T
GARCH（1，1）的向前多步预测 2 2 tv t 将 对向前多步预测，我们用 t h
GARCH(1,1)公式改写为
GARCH(1,1)
t htt
h h t 0 1 t 1
2 1t 1
ht是条件方差，随时间变化而变化。 无条件均值
E (t ) 0
0 ( ) 无条件方差 Var t 1 1 1
GARCH(1,1)的性质： 1) GARCH(1,1)等价一个无穷的ARCH过程
t htt
h h h t 0 1 t 1
2 p t p 1 t 1
2 q t q
相比ARCH模型： 1) GARCH (p,q)模型是ARCH模型的扩展, 即GARCH模型的条件方差不仅是滞后残差 平方的线性函数,而且是滞后条件方差的线 性函数。 2) GARCH模型适合在计算量不大时,方便地描述了 高阶的ARCH过程,因而具有更大的适用性
4 2 E ( ) 6 t 1 K 2 3 2 2 2 [ E ( )] 1 2 ( ) t 1 1 1
4 2 E ( ) 3 E ( h t t)
GARCH性质
1)当p=0时,GARCH过程成为ARCH过程,ARCH过程 是 GARCH 的特例，这也是该过程被称为广义 的原因。 2)GARCH过程的含义是条件方差 ht是ht-1,…ht-p 和t-1,t-q的函数。
2 1 t 2 2 2 t 3
( 1 ) 0 1
是无穷阶ARCH过程
2 max( p ,q ) 2) 过程 t 是一个ARMA(r,p)过程,其中 r
对于GARCH(p,q),
2 2 2 h ( h ) ( h ) t t 0 1 t 1 t 1 p t p t p
t ht vt
2 2 2 2 2 1 t 1 pt p 1 t 1 qt q t
变形有
2 w w w t 0 t 1 t 1 p t p 2 2 ( ) ( 1 1 t 1 p r) t r
对上式重复迭代我们得到向前l步预测能够写成
l 1 [ 1 ( ) ] l 1 0 1 1 h ( l ) ( ) h 1 ) T 1 1 T( 1 1 1 0 ,( l ) 1 1 1
2 令w 合并同类项有 h t t t
2 2 h h h t 0 1 t 1 p t p 1 t 1 q t q
j q 时 j
0
l p 时 l 0源自 而w h t t 满足：
2 t
E (w t ) 0
2 h h v h t 1 0 1t 1t 1 1 t 2 ( ) h h ( v 1 ) 0 1 1 t 1t t
2 利用 E ( v 1 |F ) 0 从而得GARCH(1,1)以T为 T 1 T 预测原点的向前两步预测公式 h ( 2 ) E ( h |F ) T T 2 T
第五章波动率的估计(GARCH 模型)
金融时间序列模型
其它ARCH类模型
ARCH(q)模型
t htt 2 2 h t 0 1 t 1 q t q
Vt是独立白噪声过程
为反映收益率波动的异方差性， ARCH模型将条件 方差 h t 表示为滞后残差平方的线性函数
cov( w , w ) 0 , j 1 t t j
但 w t 一般不是独立同分布的
GARCH(1,1)过程的峰度公式
GARCH(1,1)过程的峰度刻画波动率的厚尾性 峰度=4阶原点矩/标准差的四次方 4 E ( v 正态分布的峰度=3意味着 t ) 3
GARCH(1,1)过程的峰度
h h t 0 1 t 1
2 1 t 1
( h ) 0 1 0 1 t 2
2 1 t 1 2 1 t 2
( 1 ) h 0 1
2 1 t 1 2 1 1 t 2 2 1 t 1 2 1 2 2 t 2
引入GARCH模型的背景：
ARCH模型虽然简单但为了充分描述波动 性聚类的特点往往需要很多参数，即要 提高ARCH模型的阶数p。但p较大时，参 数估计不再精确，由此计算出的条件方 差也不精确，存在较大误差。为克服这 一问题，Bollerslev1986提出了广义的 ARCH模型。
GARCH（p,q） 广义条件异方差模型
2 E [ ( ) h h ( v 1 ) |F ] 0 1 1 T 1 1T 1 T 1 T
( ) h ( 1 ) 0 1 1 T
一般地，GARCH(1,1)模型的向前预测l 步的公式
h ( l ) ( ) h ( l 1 ) T 0 1 1 T l 1
GARCH性质 3）参数i , i=1,2,…,q和i , i=1,2,…,p大于 零是保证条件方差为正的充分条件,而不 是必要条件。 4)可以证明 {2t}平稳的条件是1+…+q+1+…+ p <1。
GARCH预测
考虑GARCH(1,1)模型，假定T为预测原点。对 向前一步预测，我们有，