比例线段及比例的基本性质
成比例线段与比例的基本性质
000,2
000,∴ac
3
=6
1
=2
,
d = 1 000 = 1 ,∴a =d ,
b 2 000 2 c b
∴这四条线段成比例.
方法归纳 解此类问题的基本步骤:①统一单位;②进行排序;③进行计
算;④做出判断.
1 成比例线段
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知识点二 比例的性质
名称 比例的 基本性质 等式的 基本性质 合比性质 等比性质
(b,d不为0)
如果 a
b
=
c d
=
e f
=…=mn
(b+d+f+…+n≠0),那么ab
ce df
m n
=
a b
1 成比例线段
例2 (1)根据下列各题的条件求a∶b的值.
①2a=3b;② a b = 1 ;③ a 2b = 5 .
a 2 3b 3
(2)已知 a = b = c ,且a,b,c都是正数,求 a 3b 2c 的值.
1 成比例线段
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解析
(1)∵四条线段的数值按从小到大的顺序排列为3,4,5,7,da
3
=4
,b
c
=
5 ,且3 ≠5 ,∴ a ≠b .
7 47 d c
∴这四条线段不成比例.
(2)a=3 cm,b=20 m=2 000 cm,c=6 cm,d=10 m=1 000 cm.
∵四条线段的数值按从小到大的顺序排列为3,6,1
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初中数学（北师大版）
九年级 上册
第四章 图形的相似
第四章 图形的相似
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1 成比例线段
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知识点一 线段的比及成比例线段
线段的比与比例线段的概念
线段的比与比例线段的概念、比例的性质和黄金分割I 梳理知识比与比例、比例的基本性质、合比性质、等比性质、两线段的比、成比例线段、平行线分 线段成比例、截三角形两边或其延长线的直线平行于第三边的判定、黄金分割1. 线段的比的定义 在同一单位长度下，两条线段2. 比例线段的定义在四条线段中，如果其中两条线段的_______________________________________ 等于另外两条线段的 _____ ,那么这四条线段叫做 成比例线段，简称 ____________ .在 a ： b = c ： d 中，a 、d 叫做比例的 ___ , b 、c 叫做比例 的 _____ ，称d 为a 、b 、c 的 _____________ .3. 比例的性质(1)比例的基本性质：如果a : b = c : d ，那么 则b 叫a , c 的比例中项.⑵合份)比性质：若a⑶等比性质：若一b4.黄金分割(1) 黄金分割的意义：如图，点 那么称线段 AB 被点C 黄金分割.其中点C 叫做线段AB 的 做 .(2) 黄金分割的作法【例题讲解】 例1.(1)已知1,厉,5三个数，如果再添一个数，使之能与已知的三个数成比例，则这个数应该是 ___________ .⑵在比例尺为1: n 的某市地图上，规划出一块长 5cm X 2cm 的矩形工业区，则该工业区的实际面积是平方米.例 2.(1)已知 X ： y : z = 3 : 4 : 5，①求-—y的值；②若 x +y + z = 6, za(2)已知a 、b 、c 、d 是非零实数，且 --------b c d的值•的比叫做这两条线段的比•特别地，若a : b = b : C,即 ，则C 把线段AB 分成两条线段 AC 和BC,如果 __________________ , ,AC 与AB 的比叫求 X 、y 、z.C bad一d一k ，求 ka b c求x 的值.黄金分割点吗为什么【同步测试】 一、选择题1. 已知一矩形的长 a = 1.35m , (A)9 : 400(B)9 : 402. 下列线段能成比例线段的是( b = 60cm ，贝U a : b 的值为((C)9 : 4(D)90 : 4)(A)1cm,2cm,3cm,4cm (B)1cm, 72 cm,V 2 cm,2cm (C b/2 cm,亦cm, J 3 cm,1cm(D)2cm,5cm,3cm,4cm3. 如果线段a = 4, (A)84. 已知- b 3 (A)- 25. 已知 (A)— 2(B)16 2 2,则3 4 (B)4 y : z = 1 (B)2b = 16,c = 8, (C)24 「 的值为b5 (C)5 :2 : 3，且 (C)3 那么a 、b 、c 的第四比例项d 为( (D)32 3 (D)- 5 2x + y — 3z =— 15，贝U x 的值为( (D)— 3 6. 在比例尺为1 : 38000的南京交通游览图上，玄武湖隧道长约为 7cm ，它的实际长度约为()(A)0.226km (B)2.66km (C)26.6km (D)266km 7. 某班同学要测量学校升国旗的旗杆高度，在同一时刻，量得某一同学的身高是 影长是1米，旗杆的影长是 8米，则旗杆的高度是( ) (A)12 米 8. 已知点 1.5 米, (B)11 米 (C)10 米 C 是AB 的黄金分割点(AC >BC , (B)(6 — 2也)cm (D)9 米 若AB = 4cm ，贝U AC 的长为( (C)詰—1)cm AD AE (A)(2A /5 — 2)cm )(D)(3 —75 )cm 9.若D 、E 分别是△ ABC 的边AB 、AC 上的点，且AB =疋，那么下列各式中正确的是 ((3)若a 、b 、c 是非零实数，并满足ab c ，且 xa(a b)(b c)(c a)abc例3.(1 )已知线段AB = a ,在线段 AB 上有一点C,若则点 C 是线段AB 的(A)AD DEDB = BCAB(B)A DAE=A CDB AB(C)Ec = ACAD AE(D)DB = AC10.若k丄空 b 2c a + b+ CM0,k的值为（(A)—1 (B)2 (C)1 (D) —二、填空题11.在(5 +x)：2中的x= (5—x) : x 中的x=12.若10 813.若a : 3 = b : 4 = c : 5 ,且a + b —c= 6,贝U a=,b= c=14.已知x : y :z= 4 : 5 ,且x+ y+ z= 12,那么x= ,y=z=15.若b16.已知ace,②(x + y) : (y + z)17.若x 2y18.图纸上画出的某个零件的长是是32 mm,如果比例尺是 1 : 20,这个零件的实际长19.如图，已知AB : DB = AC：EC, AD = 15 cm , AB = 40 cm , AC = 28 cm ,贝U AEA20.已知，线段 2 cm, c (2 73) cm, 则线段a、c的比例中项b是三、解答题21.已知x3 0，求下列各式的值：（1）2x 3y 4z⑵5x 3y za22.已知——x0，求x+y+ z 的值.23.若△ ABC 的三内角之比为 1 : 2 : 3,求^ ABC 的三边之比.24.已知 a 、b 、c 为^ ABC 的三边，且 a + b + c = 60cm , a : b : c = 3 : 4 : 5,求^ ABC 的面 积.25.已知线段AB = 10cm , C 、D 是AB 上的两个黄金分割点，求线段CD 的长.四、挑战中考DE = 12 , BC = 15, GH = 4，求 AH .ABCD,取 AB 的中点 P ,连结 PD ,在BA 的延 长线上取点F ,使PF =PD,以AF 为边作正方形 AMEF ,点M 在AD 上(1)求AM 、MD 的长；1、若一c-a bA . 12B . 1C .— 1则k 的值为()D .-或一12AGABC 中,2、如图，△ 匹，且。
北师大数学九年级上册第四章比例线段
第01讲_比例线段知识图谱比例与比例线段知识精讲一．比例的性质1.比例的基本性质：a cad bc b d =⇔=； 2.反比定理：a c b db d ac =⇔=；3.更比定理：a c a b b d c d =⇔=(或d cb a =)；4.合比定理：a c a b c db d b d ++=⇔=； 5.分比定理：a c a b c db d b d --=⇔=； 6.合分比定理：a c a b c db d a bcd ++=⇔=--； 7.等比定理：(0)a c m a c m ab d n b d n b d n b++⋅⋅⋅+==⋅⋅⋅=++⋅⋅⋅+≠⇔=++⋅⋅⋅+．二．成比例线段1.比例线段：对于四条线段a b c d ，，，，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如a cb d=（即::a b c d =），那么这四条线段a b c d ，，，叫做成比例线段，简称比例线段． 2.比例的项：在比例式a cb d =（::a bcd =）中，a d ，称为比例外项，b c ，称为比例内项，d 叫做a b c ，，的第四比例项．三条线段a bb c=（2b ac =）中，b 叫做a 和c 的比例中项．3.黄金分割：如图，若线段AB 上一点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC （AC BC >），且使AC 是AB 和BC 的比例中项（即2AC AB BC =⋅）则称线段AB 被点C 黄金分割，点C 叫线段AB 的黄金分割点，其中510.618AC AB AB -=≈，350.382BC AB AB -=≈，AC 与AB 的比叫做黄金比．三点剖析一．考点：比例与成比例线段二．重难点：比例的性质三．易错点：注意等比定理在运用时的时候一定要对分母为0或不为0进行讨论．比例的基本性质例题1、已知23a b=（0ab≠），下列比例式成立的是（）A.32ab= B.32a b= C.23ab= D.32ba=【答案】B【解析】本题考查比例的基本性质，内项积等于外项积。
比例性质及比例线段
比例性质及比例线段（初二4.16）一、知识点与方法概述：1、比例的性质：基本性质：如果a:b=c:d，那么ad=bc；如果ad=bc，那么a:b=c:d.合比性质：等比性质：如果，那么.2、（成）比例线段：比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比. 那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段.设a、b、c、d为线段，如果a:b=c:d，b、c叫比例内项，a、d叫比例外项，d叫做a、b、c的第四比例项；如果a:b=b:c，或b2=ac，那么b叫a、c的比例中项.3、黄金分割：如图，把线段AB分成两条线段AC和BC（AC>BC)，且使AC是AB和BC的比例中项，叫做把线段AB黄金分割, 点C叫做线段AB的黄金分割点.注意：1、AC 0.618AB；2、0.618叫做黄金比；3、一条线段有两个黄金分割点.4、平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的线段对应成比例.推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例. 推论的扩展：平行于三角形一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例.（三角形一边平行线的性质）推论的逆定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边.（三角形一边平行线的判定定理）5、平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等.根据被截的两条直线的位置关系，可以分五种图形情况（如图1-图5）:推论1：经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰.已知：在梯形ACFD 中，CF AD //，AB=BC求证：DE=EF推论2：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边.已知：在△ACF 中，CF BE //，AB=BC 求证：AE=EF6、三角形的中位线定理：三角形的中位线：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
比例线段
∴AD=BD
∴
∴ （等比代换）
即EA:EC=BF:CF
证法二: 过 C作CM//FD交AB于M
∵CM//FD
∴AD=BD
∴
∴ （等比代换）
即EA:EC=BF:CF
证法二: 过 C作CM//FD交AB于M
1. 2. 3. 4.
101 align=left v:shapes="_x0000_s1034" u1:shapes="_x0000_s2063"> 知:如图,△ABC中,CD平分∠ACB,DE//BC, AD:DB=2:3,AC=10,求DE的长。
练习参考答案:
这三个基本图形的用途是:
1.由平行线产生比例式
基本图形(1): 若l或两边的延长线),所得的对应线段成比例,那么这条直线平行于三角形的第三边。
这四个定理主要提出由平行线可得到比例式;反之,有比例可得到平行线。首先要弄清三个基本图形。
这三个基本图形的用途是:
∵D是AB中点
∴AD=BD
∴
∴ （等比代换）
即EA:EC=BF:CF
证法二: 过 C作CM//FD交AB于M
∵CM//FD
∴AD=BD
∴
∴ （等比代换）
即EA:EC=BF:CF
证法二: 过 C作CM//FD交AB于M
3、答案（C）
解析：∵DE∥AC
∵CE：BE=AD：DB=3：4
∵EF∥AB （B）OE=OF
（C）OE=2OF
这四个定理主要提出由平行线可得到比例式;反之,有比例可得到平行线。首先要弄清三个基本图形。
24.1比例线段及比例的基本性质
两条线段的比是它们的长度的比， 也就是两个数的比. 关于成比例的数具有下面的性质.
比例式是等式， 因而具有等式的各个性质， 此外还有一些特殊性质：
(1)比例的基本性质
如果 a：b =c：d ，那么ad =bc.
比因为例a的：内b=c项：d乘，积即等于ab =外dc项， 乘积.
两边同乘以 bd，得 ad=bc； 上述性质反过来也对，就是
BE CF EA = FA
，
E
F
那么
AE AB =
AF AC
，
B
C
理由：
BE CF
EA = FA
AE+BE AE
=
AF+CF AF
AB AC AE = AF
AE AF AB = AC .
练习3—5：
如图，已知
BE AB
=
CF AC
，
那么
AE AB =
AF AC
，
E
理由：
B
A F C
BE CF
=
a b
.
练习3—5：
A
如图，已知
BE AB
=
CF AC
，
那么
AE AB =
AF AC
，
E
F
理由：
B
C
BE CF
AB = AC
AC CF AB = BE
AC AB
=
–CF –BE
AB–BE≠0
AC–CF AB–BE
=
AC AB
AF AC AE = AB
AF AE AC = AB
AC BC =
DF EF
，
《成比例线段 成比例线段与比例的基本性质》 教案
《成比例线段成比例线段与比例的基本性质》教案教学目标：1. 理解成比例线段的定义和性质。
2. 掌握成比例线段与比例的基本性质。
3. 能够运用成比例线段解决实际问题。
教学重点：1. 成比例线段的定义和性质。
2. 成比例线段与比例的基本性质。
教学难点：1. 成比例线段的判断和应用。
教学准备：1. 教学课件或黑板。
2. 尺子、直尺、三角板等绘图工具。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引导学生回顾线段的基本概念，如线段的定义、长度等。
2. 提问：我们已经学过线段的哪些性质和运算规则？二、成比例线段的定义和性质（10分钟）1. 引入成比例线段的定义：如果四个线段a、b、c、d满足a/b = c/d，称这四个线段为成比例线段。
2. 引导学生通过举例来理解成比例线段的定义。
3. 探讨成比例线段的一些性质，如成比例线段的长度比相等，任意两个成比例线段的乘积相等等。
三、成比例线段与比例的基本性质（10分钟）1. 引入比例的概念：比例是指两个比相等的式子，如a:b = c:d。
2. 探讨成比例线段与比例的关系，引导学生理解成比例线段是比例的一种特殊形式。
3. 讲解比例的基本性质，如比例中任意两个数的乘积相等，比例的两个内项之和等于两个外项之和等。
四、成比例线段的判断和应用（10分钟）1. 引导学生通过举例来判断给定的线段是否成比例。
2. 讲解如何运用成比例线段的性质解决实际问题，如长度测量、图形划分等。
3. 给出一些实际问题，让学生练习运用成比例线段的知识解决问题。
2. 提问学生是否能够运用成比例线段解决实际问题，并给予评价和建议。
教学反思：本节课通过讲解成比例线段的定义、性质以及与比例的关系，让学生掌握成比例线段的基本概念和应用。
在教学过程中，应注意引导学生通过举例来理解和掌握知识点，给出一些实际问题让学生练习运用成比例线段的知识解决问题。
在教学评价环节，可以让学生回顾所学内容，并进行自我评价，教师给予评价和建议，以提高学生的学习效果。
第08讲 比例线段
第八讲 比例线段比例的性质：1.a c ad bc b d=⇔=，为比例的基本性质. 由它可推出许多比例形式2.a cb d b d a c=⇔=（反比例） 3. a c a b b d c d =⇔=（或d c b a=）（更比定理） 4. a c a b c d b d b d++=⇔=（合比定理） 5. a c a b c d b d b d--=⇔=（分比定理） 6. a c a b c d b d a b c d++=⇔=--（合分比定理） 7.()0a c m b d n b d n ===+++≠L L ⇔a c m a b d n b +++=+++L L （等比定理） 成比例线段：1.比例线段对于四条线段a 、b 、c 、d ，如果其中两条线的比（即它们的长度比）与另两条线的比相等，如a c b d=（即a ∶b =c ∶d ）.那么这四条线段a 、b 、c 、d 叫做成比例线段，简称比例线段.2.比例的项 在比例式中a c b d=（即a ∶b =c ∶d ），a 、d 称为比例外项，b 、c 称为比例内项，d 叫做a 、b 、c 、d 的第四比例项. 三条线段中a b b c =（即a ∶b =b ∶c ），b 叫做a 和c 的比例中项. 3.黄金比例如图，若线段AB 上一点把线段AB 分成两条线断AC 和BC （AC ＞BC ），且使AC 是AB 和BC 的比例中项（即2AC AB BC =⋅）则称线段AB 被点C 黄金分割，点C 叫做线段AB的黄金分割点，其中0.618AC AB AB =≈ ，0.382BC AB AB =≈.BC 与AC 、AC 与AB 的比叫做黄金比.平行线分线段成比例定理1.定理三条平行直线截两条直线，截得的对应线段成比例.2.推论平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例3.推论得逆定理如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边.4.三角形一边的平行性质平行于三角形的一边，并且和其它两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例.【例1】（1）设14a c eb d f ===，则ac e bd f +-+-= . （2）已知：234x y z ==，则33x y z x y -+-= . （3）已知：b c a c a b k a b c+++===，则k = .【例2】（1）如图，已知点D 为△ABC 中AC 边的中点，AE ∥BC ，ED 交AB 于点G ，交BC的延长线于点F ，若31BG GA =，BC =8,则AE 的长为 .（2）如图，123l l l ∥∥，AO =4，DE =8，OC =6，DF =12，则OD = ,OB = .【例3】如图，已知AB ∥EF ∥CD ，若AB =a ，CD =b ，EF =c ，求证：111c a b=+.【例4】在△ABC 中D 为BC 边上一点，E 、F 分别为AB 、AC 上的点，连接AD 、EF 有EF ∥BC ，EF 交AD 于点G .则EG BD FG CD=.【例5】M 、N 分别是矩形的边AD 、BC 的中点，在边CD 的延长线上取点P ，PM 交对角线AC 于Q .证明：NM 平分∠PNQ .【例6】如图，H 是△ABC 的高AD 上的任一点，BH 、CH 分别交AC 、AB 于点E 、F .求证：∠EDH =∠FDH .。
比例的性质与比例线段定理
比例的性质与比例线段定理比例是数学中非常重要的概念之一，它描述了两个或多个量之间的关系。
在实际生活中，我们常常会遇到各种各样的比例问题，比如比例尺、相似三角形等等。
本文将探讨比例的性质以及比例线段定理，希望能够对读者更好地理解比例的概念和应用。
1. 比例的基本性质比例关系是指两个或多个数或量之间存在着相等关系。
如果两个比例相等，我们可以称之为“比例相等”。
比如，若a/b=c/d，我们可以说a 与b的比例等于c与d的比例。
基于此，我们可以得出比例的三个基本性质：性质一：如果a/b=c/d，那么a/c=b/d，即比例的两对比例项可以交叉相乘。
性质二：如果a/b=c/d，那么a/(b+c)=c/(d+a)，即比例的两对比例项可以组合相加。
性质三：如果a/b=c/d，那么(a+b)/b=(c+d)/d，即比例的两对比例项可以组合相加后再除以一个比例项。
这些性质为我们解决比例问题提供了方便和灵活性，可以通过灵活运用来求解各种复杂的比例关系。
2. 比例线段定理比例线段定理是比例的一个重要应用，它可以帮助我们求解线段上的未知点坐标。
比例线段定理可以描述为：定理一：在一条直线上，如果有两点A、B将这条直线分成了三个部分，设AC:CB= m:n，则m/n等于点A到点B的距离的比例。
这个定理可以用数学表达式表示为AC/BC=m/n。
根据这个定理，我们可以通过已知点的坐标和比例关系来求解未知点的坐标。
除了比例线段定理外，我们还可以利用相似三角形来解决比例问题。
在相似三角形中，对应边的比例是相等的，这一点也可以用于比例问题的求解。
总结：比例的性质与比例线段定理在数学中扮演着重要的角色。
比例的基本性质使得我们能够更加灵活地运用比例关系来解决问题，而比例线段定理则为我们提供了一种求解线段上未知点坐标的方法。
通过理解和掌握比例的性质与比例线段定理，我们可以更好地应用数学知识解决实际生活中的问题，提升自己的数学能力。
（以上内容仅供参考，具体格式和表达方式请根据实际需要进行调整。
比例线段
线段的比与比例线段的概念、比例的性质和黄金分割Ⅰ梳理知识比与比例、比例的基本性质、合比性质、等比性质、两线段的比、成比例线段、平行线分线段成比例、截三角形两边或其延长线的直线平行于第三边的判定、黄金分割 1.线段的比的定义在同一单位长度下，两条线段 的比叫做这两条线段的比. 2.比例线段的定义在四条线段中，如果其中两条线段的 等于另外两条线段的 ，那么这四条线段叫做成比例线段，简3.4.黄5.例3.(1)已知线段AB=a ，在线段AB 上有一点C ，若AC=a 253-，则点C 是线段AB 的黄金分割点吗？为什么？(2)宽与长的比等于黄金比的矩形也称为黄金矩形。
请你设法作出一个黄金矩形.Ⅲ同步测试一、选择题(每小题3分，共30分)1.已知一矩形的长a =1.35m ，宽b =60cm ，则a ∶b 的值为（ ） (A)9∶400 (B)9∶40 (C)9∶4 (D)90∶42.下列线段能成比例线段的是（ ）(A)1cm,2cm,3cm,4cm (B)1cm,2cm,22cm,2cm 3.4.5.6.7.是8.9.= ，= ，= .15.若43===f e d c b a , 则______=++++f d b e c a .16.已知x ∶4 =y ∶5 = z ∶6 , 则 ①x ∶y ∶z = , ② (x+y )∶(y+z )= .17.若322=-y y x , 则_____=yx .18.图纸上画出的某个零件的长是32 mm ，如果比例尺是 1∶20，这个零件的实际长是 .19.如图，已知 AB ∶DB = AC ∶EC ，AD = 15 cm , AB = 40 cm ,A CDB EAC = 28 cm , 则 AE = ；(第19题图)20.已知，线段a = 2 cm ，)32(-=c cm ，则线段a 、c 的比例中项b 是 .三、解答题(每小题8分，共40分) 21.已知0≠==zy x ，求下列各式的值：(1)z y x +- (2)z y x ++432. 22.23.若24.25.1 2 3、 BA 的延长线上取点F ，以AF 为边作正方形AMEF ，点M 在AD 上（如图l －4－1）． （1）求AM 、MD 的长；（2）你能说明点M 是线段AD 的黄金分割点吗？〖考查重点与常见题型〗1．考查比例的性质，常以选择题或填空题出现，如：(1)已知a＝4，b＝9，则a、b的比例中项是(2)已知线段a＝4cm，b＝9cm，线段c是a、b的比例中项，则线段c的长为2．求线段的比、面积的比，在中考题中常以选择题、填空题或求解题型出现，如图，已知DE∥BC，CD和c＋d1234(A) ADBD=BFCF(B)AEDE=CEBC(C)AECE=BDCD(D)ADDE=ABBC(4) (8)AB CD EFA BCDE5、把m=abc 写成比例式，且使m 为第四比例项 ;6、若线段a=5cm ，b=10cm,c=4dm,d=2cm,它们是否成比例线段 ;7、已知x y =53，则(x+y):(x-y)= ;8、如图，已知ΔABC 中，DE ∥BC,AC=7cm,CE=3cm,AB=6cm,则AD= ;9、如图，已知梯形ABCD 中，AD ∥BC,AC,BD 交于O ，过O 作AD 的平行线交AB 于M ，交CD 于N ，若AD=3cm ，101、（1 （22345、已知，在梯形ABCD 中，AD ∥BC,点E,F 分别在AB,AC 上，EF ∥BC, EF 交AC 于G ，若EB=DF ，AE=9,CF=4,求BE,CD, GFAD的值。
专题：比例线段与平行推相似定理
专题：比例线段与平行推相似定理考点一 比例线段与比例的基本性质1．比例线段与比例中项若线段a ，b ，c ，d 满足： ，则称这四条线段成比例； 若线段a ，b ，c 满足 ，则称b 叫a ，c 的比例中项． 2．比例的性质(1)基本性质：如果a b ＝cd，那么： ．反之也成立；(2)合比性质：如果a b ＝cd ，那么：a ＋b b ＝ ；(3)等比性质：如果a 1b 1＝a 2b 2＝…＝a nb n，且b 1＋b 2＋…＋b n ≠0，那么：a 1＋a 2＋…＋a nb 1＋b 2＋…＋b n＝ .【例1】1．下列各选项中的四条线段成比例的是( ) A ．a ＝12，b ＝8，c ＝15，d ＝11 B ．a ＝4，b ＝6，c ＝5，d ＝10 C ．a ＝2，b ＝3，c ＝2，d ＝3 D ．a ＝2，b ＝5，c ＝15，d ＝232．若mn ＝ab ≠0，则下列比例式中错误的是( )A ．a m ＝n bB ．a n ＝m bC ．m a ＝n bD ．m a ＝b n3．若a=3，b=6，且b 是a 和c 的比例中项，则c= ．4．若x 2＝y 3＝zm (x ，y ，z 均不为0)，x ＋2y －z z ＝1，则m = ．5．若c a ＋b ＝a b ＋c ＝ba ＋c ＝k ，则k 的值为 ．6．已知三条线段的长分别为1 cm ，2 cm ， 2 cm ，如果另外一条线段与它们是成比例线段，试求出另外一条线段的长．考点二 黄金分割1．黄金分割的相关概念(如下图)(1)黄金分割点：如果点P 把线段AB 分成两条线段AP 和PB ，使AP >PB ，且____________，则称线段AB 被点P _________；(2)黄金分割比：黄金比APAB ＝________≈________．【例2】1．已知C 是AB 的黄金分割点(AC >BC )，下列结论错误的是( )A ．AC AB ＝BC ACB ．BC 2＝AB ·ACC ．AC AB ＝5－12D ．BCAC≈0．6182．宽与长的比是5－12的矩形叫做黄金矩形．我们可以用这样的方法画出黄金矩形：如图②，作正方形ABCD ，分别取AD ，BC 的中点E ，F ，连结EF ；如图③，以点F 为圆心，以FD 为半径画弧，交BC 的延长线于点G ；作GH ⊥AD ，交AD 的延长线于点H ，则图中下列矩形是黄金矩形的是( )A ．矩形ABFEB ．矩形EFCDC ．矩形EFGHD ．矩形DCGH3．如图1，已知P 是线段AB 的黄金分割点，且P A ＞PB ．若S 1是以P A 为边的正方形的面积，S 2表示长是AB ，宽是PB 的矩形的面积，则S 1 S 2(填“＞”“＝”或“＜”)．图14．如图2，电视节目主持人在主持节目时，站在舞台的黄金分割点处最自然得体．若舞台AB 长为20 m ，试计算主持人站到离A 点多远处主持节目较为合适．图2考点三 平行线分线段成比例1．平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段___________． 2．平行线分线段成比例推论：________三角形一边的直线截其他两边(或两边延长线)，所得的对应线段 ．【例3】1．如图3，l 1∥l 2∥l 3，直线AC 与DF 交于点O ，且与l 1，l 2，l 3分别交于点A ，B ，C ，D ，E ，F ，则下列比例式不正确的是( )A ．AB BC ＝DE EF B ．AB BO ＝DE EO C ．OB OC ＝OE OFD ．OD OF ＝OA AB图32．如图4，在△ABC 中，D ，E 分别为AB ，AC 边上的点，DE ∥BC ，点F 为BC 边上一点，连接AF 交DE 于点G ，则下列结论中一定正确的是( )A ．AD AB ＝AE EC B ．AG GF ＝AE BD C ．BD AD ＝CE AE D ．AG AF ＝AC EC图4 3．如图，过平行四边形ABCD的一个顶点A作一直线分别交对角线BD、边BC、边DC的延长线于点E，F，G．求证：EA2＝EF·EG．4．如图，在△ABC中，EF∥CD，DE∥BC．(1)求证：AF·BD＝AD·FD；(2)若AB＝15，AD：BD＝2：1，求FD的长．考点四平行线分三角形相似定理1．平行线分三角形相似定理：平行于三角形一边的直线与其他两边(或两边的延长线)相交，截得的三角形与原三角形________．【例4】1．如图5，在△ABC中，D，E分别在AB边和AC边上，DE∥BC，M为BC边上一点(不与B，C重合)，连接AM 交DE于点N，则() A ．ADAN＝ANAE B．BDMN＝MNCE C．DNBM＝NEMC D．DNMC＝NEBM图5 2．如图6，在□ABCD中，E是AD延长线上一点，BE交AC 于点F，交CD于点G，则下列结论中错误的是( )A．△ABE∽△DGE B．△CGB∽△DGEC．△BCF∽△EAF D．△ACD∽△GCF图63．如图7，直线l1∥l2，AF：FB＝2：3，BC：CD＝2：1，则AE：EC为()A．5：2 B．4：1 C．2：1 D．3：2图74．如图8，在△ABC中，D是BC的中点，E是AD的中点，BE的延长线交AC于F，则AF：FC的值是()A．1：2 B．1：3 C．2：3 D．3：5图85．如图9，AB∥GH∥CD，点H在BC上，AC与BD交于点G，AB＝2，CD＝3，则GH的长为．图96．如图10，△ABC中，AD是BC边上的中线，F是AD边上一点，且AEEB＝16，射线CF交AB于E点，则AFFD等于．图107．如图，点M ，N 分别在△ABC 的边AB ，AC 上，MN ∥BC ，过顶点A 作BC 的平行线PQ 分别交CM 和BN 的延长线于点P 和点Q ．试判断线段AP 与AQ 之间的数量关系，并说明理由．※课后练习1．若b 是a 和c 的比例中项，c 是b 和d 的比例中项，则下列各式中不一定成立的是( )A．a b ＝b c B ．a d ＝b c C ．b c ＝c d D ．a b ＝c d2．如图1，直线l 1∥l 2∥l 3，直线AC 分别交l 1，l 2，l 3于A ，B ，C ，直线DF 分别交l 1，l 2，l 3于D ，E ，F ．已知AB AC ＝13，则( )A ．AB BC ＝13 B ．DE EF ＝13 C ．DE EF ＝12D ．DE DF ＝14图13．如图2，点F 是□ABCD 的边CD 上一点，直线BF 交AD 的延长线于点E ，则下列结论错误的是( )A ．ED EA ＝DF AB B ．ED BC ＝EF FB C ．BC DE ＝BF BED ．BF BE ＝BC AE图24．如图3，在□ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 为OD 的中点，连接AE 并延长交DC 于点F ，则EF ：EA 为( ) A ．1：4 B ．1：3 C ．2：3 D ．1：2图35．如图4，在矩形ABCD 中，AB ＝1，在BC 上取一点E ，沿AE 将△ABE 向上折叠，使点B 落在AD 上的点F 处，若四边形EFDC 与矩形ABCD 相似，则AD 的长为( )A ．5－12B ．5＋12C ． 5D ．2图46．已知a 2＝b 3＝c5≠0，则3a ＋2b －2c 2a －b ＋c的值为 ．7．如图5，E 是□ABCD 的边AD 上的一点，且AE DE ＝32，CE 交BD 于点F ，BF ＝15 cm ，则DF 的长为 cm ．图58．如图6，菱形BEFD 的顶点E ，F ，D 在△ABC 的边上，且AB ＝18，AC ＝BC ＝12，则菱形的边长为 ．图69．如图7，在△ABC 中，D 在AC 边上，DC ＝2AD ，O 是BD 的中点，连接AO 并延长交BC 于E ，则BE ：EC ＝ ．图7 10．我们定义：顶角为36°的等腰三角形称为黄金三角形(底边与腰的比值为黄金比)．如图8，△ABC，△BDC，△DEC都是黄金三角形．已知AB＝1，则DE的长为．图8 11．如图，已知EC∥AB，∠EDA＝∠ABF．求证：(1)四边形ABCD是平行四边形；(2)OA2＝OE·OF．12．如图，AD∥EG∥BC，EG分别交AB，BD，AC于点E，F，G．若AD＝6，BC＝10，AE＝5，AB＝8．求EG和FG的长．13．如图，在△NBE中，点D，C分别在NE和NB上，DC∥BE，延长BE到点A，使AE＝BE，连接AD，AC，AC交EN于点M．求证：DM·NE＝ME·DN．14．如图，在△ABC中，DE∥BC，BE与CD交于点O，直线AO与BC边交于点M，与DE交于点N．求证：BM＝MC．15．探究与应用型问题(1)小明遇到一个问题：如图①所示，AD是△ABC的角平分线．求证：BDCD＝ABAC．他通过思考发现：过点B作BE∥AC交AD的延长线于点E，通过证三角形相似，可以解决问题(如图②)．请证明：BDCD＝ABAC．(2)请你利用上述结论，解决下列问题：如图③，在四边形ABCD中，AB＝2，BC＝6，∠ABC＝60°，BD平分∠ABC，CD⊥BD，AC与BD相交于点O．则：①AOOC＝________；②ODCD＝________．。
线段的比与比例的基本性质
第四章图形的相似4.1 成比例线段第1课时 线段的比与比例的基本性质掌握比例的基本性质，并能进行简单应用【学习目标】 1．结合实际情境了解线段比的概念，并会计算两条线段的比． 2．结合实际情境了解比例线段的概念．3．理解并掌握比例的基本性质，并能进行简单应用． 【学习重点】理解线段的比和比例线段的概念，会求两条线段的比及判断线段是否成比例． 【学习难点】掌握比例的基本性质，并能进行简单应用．情景导入 生成问题1．如图：，则线段AB 与CD 的比为AB ∶CD ＝3∶8．2．已知线段AB ＝2cm ，线段CD ＝2m ，则线段AB ∶CD ＝1∶100． 自学互研 生成能力知识模块 探索线段的比与比例的基本性质先阅读教材P 76－78页的内容，然后完成下面的问题：1．线段比的定义：如果选用同一个长度单位量得两条线段AB 、CD 的长度分别是m 、n ，那么就说这两条线段的比AB ∶CD ＝m ∶n 或写成AB CD ＝m n ，其中，线段AB 、CD 分别叫做这两个线段比的前项和后项．如果把mn 表示成比值k ，则ABCD＝k 或AB ＝kCD.2．求两条线段的比时，应保持两条线段的长度单位相同．3．比例线段的定义：四条线段a ，b ，c ，d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 的比，即a b ＝cd ，那么这四条线段a ，b ，c ，d 叫做成比例线段，简称比例线段．4．比例的性质：(1)比例的基本性质：如果a ∶b ＝c ∶d ，那么ad ＝bc ；(2)如果ad ＝bc(a 、b 、c 、d 都不等于0)，那么a b ＝cd．在求两条线段的比时，有哪些地方是需要特别留意的？归纳结论：(1)线段的比为正数；(2)单位要统一；(3)线段的比与所采用的长度单位无关． 典例讲解： 1．见教材P 78例1.2．已知四条线段a 、b 、c 、d 的长度，试判断它们是否成比例？(1)a ＝16cm ，b ＝8cm ，c ＝5cm ，d ＝10cm ；(2)a ＝8cm ，b ＝5cm ，c ＝6cm ，d ＝10cm .解：(1)a b ＝2，d c ＝2，则a b ＝dc ，所以a 、b 、d 、c 成比例；(2)由已知得ab ≠cd ，ac ≠bd ，ad ≠bc ，所以a 、b 、c 、d 四条线段不成比例．对应练习：1．已知一矩形的长a ＝1.35m ，宽b ＝60cm ，则a ∶b ＝9∶4． 2．下列各组线段(单位：cm )中，成比例线段的是 ( D )A ．1，2，2，3B ．1，2，3，4C ．1，3，2，4D ．1，2，2，43．如图所示，已知直角三角形的两条直角边长的比为a ∶b ＝1∶2，其斜边长为45cm ，那么这个三角形的面积是( B )A ．32cm 2B ．16cm 2C ．8cm 2D ．4cm 24.如图，点C 、D 是线段AB 上的两点，AC ＝1cm ，CD ＝2cm ，DB ＝3cm ，找出图中能成比例的四条线段，并用比例式表示．解：∵AC CD ＝12，BD AB ＝36＝12，∴AC CD ＝BDAB.(答案不唯一)交流展示 生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上．并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块 探索线段的比与比例的基本性质检测反馈 达成目标1．如图，线段AB ∶BC ＝1∶2，那么，AC ∶BC 等于( D )A ．1∶3B ．2∶3C ．3∶1D ．3∶2 2．等边三角形的一边与这边上的高的比是( C ) A .3∶2 B .3∶1 C ．2∶ 3 D ．1∶ 3 3．下列线段中，能成比例的是( D ) A ．2cm ，3cm ，4cm ，5cm B ．1.5cm ，2.5cm ，4cm ，5cm C ．1.1cm ，2.2cm ，3.3cm ，4.4cm D ．1cm ，2cm ，3cm ，6cm4．已知线段a ，b ，c ，d 是成比例线段，且a ＝6，c ＝4，d ＝2，则b ＝__3．5．如图，已知矩形ABCD(AB＜BC)，AB＝1.将矩形ABCD对折，得到小矩形ABFE，如果AEAB的值恰好与ABAD的值相等，求原矩形ABCD的边AD的长．解：设AD长为x，则AE＝12x，由AEAB＝ABAD，得12x1＝1x，即12x2＝1，解得x1＝－2(舍去)，x2＝ 2.∴AD＝ 2.课后反思查漏补缺1．收获：________________________________________________________________________ 2．存在困惑：________________________________________________________________________。
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[文件] sxc2jja0001.doc
[科目] 数学
[年级] 初二
[章节]
[关键词] 比例线段/比例的基本性质
[标题] 比例线段及比例的基本性质
[内容]
教学目标
1．理解比例线段的概念，能说出比例关系式中比例的内项、外项、第四比例项或比例中项.
2．掌握比例的基本性质，初步会用它进行简单的比例变形，并会判断四条线段是否成比例.
3．培养学生将比例式看成是关于末知数的方程的观点，利用方程思想来解决问题. 教学重点和难点
重点是比例线段的概念及基本性质的应用；难点是应用比例的基本性质进行比例变形. 教学过程设计
一、复习四个数成比例的有关知识
1.四个数a ，b ，c ，d 成比例的定义，比例的项、内项及外项的含义.
2.比例的基本性质的内容.
二、类比联想、定义比例线段的有关概念
1.复习两条线段的比的有关知识.
投影：如图5-4，矩形ABCD 与矩形A 'B 'C 'D '中，AB=50，CD=25，A 'B '=20，C 'D '=10.求出'
''
'C B B A BC AB 及的值，并回答它们的大小关系. 答：1
2''''==C B B A BC AB 由此引出比例线段的概念. 2.用类比的方法学习比例线段的概念.
（1）比例线段的概念.
在四条线段中，如果其中两条线段比等于另外两条线段比，那么这两条线段叫做成比例线段，简称比例线段.
（2）比例线段的符号表示及有关名称.
① 四条线段 a ，b ，c ，d 成比例，记作a :b=c :d .组成比例的项是a ，b ，cd ，其中比例外项为a ，b ，比例内项为b ，c ，d 称为a ，b ，c 的第四比例项.
② 特殊情况：若作为比例内项的两条线段相同，即a :b=c :d .则线段b 叫a ，c 的比例中项.
③ （3）教师应强调四条线段才能成比例，而且有顺序关系.
如图5-4中，'''
'B
A C
B B
C AB ≠，即AB ，BC ，B 'C '，A 'B '四条线段不成线段，而AB ，BC ，A 'B ' ,B 'C '四条线段成比例.
三、比例的基本性质的证明及应用
教师应指出，将四条线段成比例转化成四条线段的长度成比例，它具有数的成比例的所有性质，本节先学习比例的基本性质对于线段的应用.
1.比例的基本性质的内容及推导.
（1） 内容：
bc ad d
c b a =<=>= （2） 特例：ac b c b b a =<=>=2 （3） 说明：①引导学生根据等式的性质从正、反两方面进行证明.②教师强调,它的
作用是将等积式与比例式互化,由于线段的长度都是正数,因此由一个等积式可
得到八种比例式.
2.比例基本性质的应用.应用（1） 判断四条线段是否成比例：将已知四条线段按大小顺序排列，如a >b >c >d ，若最长（a ）和最短（d ）的两条线段长之积等于其余两条线段长（b,c ）之积，则这四条线段a ，b ，c ，d 成比例.
例１ 判断下列四条线段是否成比例.
① a=2，b=5,c=15，d=32；
② a=2，b=3, c=2，d=3；
③ a=4，b=6, c=5，d=10；
④ a=12，b=8, c=15，d=10.
说明：教师示范一个例子，其余请学生来巩固练习.
如第①题排序时，将a 改写成4，d 改写成12
ab ＜b ＜d ＜c ，而ac ＝4×15；bd=5×12，ad=bd ，
a ，
b ，
c ，
d 四条线段成比例.
答案：②不成比例；③不成比例；④b ，d ，a ，c 四条线段成比例.
应用（2）按要求将等积式改写成比例式.
教给学生等积式化比例式的方法.按照分类讨论的思想以及“内项积等于外项积”，同时可写出8个比例式，也可根据需要写出其中某一个比例式，要求学生熟练掌握这种比例变形. 例2已知：ad=bc .
（1） 将其改写成比例式；
（2） 写出所有以a ，d 为内项的比例式；
（3） 写出使b 作为第四项比例项的比例式；
（4）若d
b c a =；写出以c 作第四比例项的比例式； 分析：教给学生等积式化比例式的方法.
（1）分类讨论.认准等积式中的一条线段，它可以在比例的内项、外项共四个位置出现，以a 为例： ()()()()()()()()()()()()a a a a ====
,,, (2)找出与a 作乘积的项d ，放在相应位置上 . ()()()()()()()()a
d a d d a d a
====,,, (3)写出其余两项，分别有两种情况，同时交换比例的内项或外项，共可得到八个比例式： ①()()d c b a =②()()d b c a = ③()()c d a b = ④()()b d a c = ⑤()()c d a b = ⑥()()b d a
c = ⑦
()()a c b d = ⑧()()a
b c d = 解(1)见分析(3)(2)
(4)可以先将比例式化为等积式ab=bc ，转化为第(3)题再处理，也可以这样处理：①直接同时交换每个比的前项和后项，②交换比例的内项或外项.
应用(3)检查所作的比例变形是否正确，把比例式化为等积式，看与原式所得的等积式是否 桢即可. 如将d c b a =变形为b
c d a =，由于各自可化为等积式ad=bc ，ad=cd ，它们不相等，因此所作的比例变形不正确.
四、应用举例、变式练习
例3 计算.
(1)已知：x ∶y=5∶4，y ∶z=3∶7.求x ∶y ∶z.
(2)已知：a ，b ，c 为三角形三边长，(a-c) ∶(c+b) ∶(c-d)=2∶7∶(-1)，周长为24.求三边长.
分析：将比例式转化为方程(或方程组)来解决问题.
第(1)题可将已知分别看成含同一字母y 的方程，表示出x=
45y ，z=37y ，得x ∶y ∶z=45∶1∶3
7=15∶12∶28.或利用分数的基本性质，将两个比例式中y 的对应项系数化成它们的最小公倍数，如x ∶y=5∶4=15∶12，y ∶z=3∶7=12∶28，得出x ∶y ∶z=15∶12∶28. 第(2)小题可将比例式改为两个等积式，结合周长得到关于a ，b ，c 的三元一次方程组；
例4 在相同时刻的物高与影长成比例，如果一古塔在地面上影长为50m ，同时，高为1.5m 的测竿的影长为2.5m ，那么，古塔的高是多么米?
分析：
(1)利用比例的知识测量不可直接到达的物体的高度，是比例的很重要的一个应用；
(2)“相同时刻的物高与影长成比例”的实际含义是指同一时刻，两物体的高与它们对应的影长的比相等；
(3)列出比例式，得到关于古塔高度的方程求解(古塔高为30m).
例5(选用)已知：如图5-5，EF
BE AD AB =，AB=10cm ，AD=2cm ，BC=7.2cm ，E 为BC 中点.求
EF，BF的长.(答：0.72cm，2.88cm)
分析：应着重培养学生的分析能力，分析图中哪些线段可知长度，并列出关于一个末知数的方程来解决问题.
练习课本第204页第1，2题.
补充练习如图5-6，AG·BC=DE·AH.(1) 写出由以上等积式得到的八个比例式；(2)若DE=12，BC=15，GH=3.求AH的长.(15)
五、师生共同小结
在学生尝试总结的基础上，教师强调：
1.比例线段的有关概念和注意事项.
2.比例的基本性质的内容.它是怎样证明的?有哪些应用?应用时有哪些需要注意的问题?
3.将比例式看成方程解决问题的观点.
六、作业
课本第207页第4题,第203页第1,2,3题.
1.成比例线段的顺序性课本虽然强调了，但学生体会不深，需要教师课堂举例让学生理解透彻,而且如何判断四条线段成比例，最好教给学生切实可行的措施.
2.比例的基本性质是后边证明三角形相似以及证明等积式、比例式经常用到的基础知识，教师应教给学生如何熟练利用性质进行比例变形，如何检查变形是否正确.例如根据需要化乘积式为比例式的方法，使学生能逐渐熟练巩固这些性质，为后边“相似三角形”的学习扫清障碍，打好基础.。