完全平方公式

=100² +2×100×2+2²
=200² -2×200×3+3²
=40000-1200+9 =38809
=10000+400+4
=10404
练一练
比一比赛一赛看谁做的又对又快!
（1） 305² （2） 198²
（3） 95 ²
（4） 19²
说说你的收获
注意完全平方公式和平方差公式不同： 形式不同．
“我们刚学习了完全平方公式：= a2+ 2ab +b2， 你的同桌不明白这个公式是什么意思，你将如何 向她解释？可以在解释时使用图片或图形。”
*有时需要进行变形，使变形后的式子符合应用 完全平方公式的条件，即为“两数和(或差)的平 方”，然后应用公式计算
公式: (a+b)2= a2+ 2 ab + b2.
完全平方公式的证明
想一想
(a+b)2=a2+2ab+b2 ; 2 −2ab+b2. 2 a (a − b ) =
(1) 你能用多项式的乘法法则来说明它成立吗?
(2) 小颖写出了如下的算式: (a−b)2= [a+(−b)]2 她是怎么想的? 你能继续做下去吗?
(a−b)2 = a2 −ab −b(a−b) = a2−2ab+b2 .
例题解析
例1 利用完全平方公式计算： (1) (2x−3)2 ；(2) (4x+5y)2 ; (3) (mn−a)2
1 (4) ( x − 2y)2 ; 2
注意
使用完全平方公式与平方差公式的使用一样, 先把要计算的式子与完全平方公式对照, 明确个是 a , 哪个是 b.
完全平方公式的结果 是三项， 结果不同： 即 (a b)2＝a2 2ab+b2; 平方差公式的结果 是两项， 即 (a+b)(a−b)＝a2−b2.
在解题过程中要准确确定a和b、对照公式原形的 两边, 做到不丢项、不弄错符号、2ab时不少乘2； 首项、末项是乘积被平方时要注意添括号, 是运用 完全平方公式进行多项式乘法的关键.
研究性学习
①填空：（ ）2 =9a2―（ ）+16b2 ；
②计算：（―a+b）2和（―a―b）2 ； ③与（a+b）2及（a―b）2比较，你发现了什么律？ 探索发现:(a+b)2=(―a―b)2 , （a―b）2 = （―a+b）2
解题规律:
当所给的二项式的符号相同时，就用“和”的完全平方式； 当所给的二项式的符号不同时，就用“差”的完全平方式。
6.填空：
1) a2+ 2ab +b2=(a+b)2
2) a2+ (-2ab) +b2=(a - b)2
3) 4a2+ 4ab +b2=(2a+b)2
4) 4a2+ (-4ab) +b2=(2a - b)2
5) (2a )2+4ab+b2=( 2a +b)2
6) a2-8ab+16b2=( a-4b )2 7.如果 x2 +mx+4是完全平方式,那么 m的值是多少?
几何解释：
(a+b)2= a2+2ab#43;b2 a−b b a−b (a−b)2 b(a−b)
ab
b2 ab
a
a2
a
a
b
b
ab
a
结构特征:
左边是二项式(两数和(差) )的平方;
右边是两数的平方和加上(减去)这两数乘积 的两倍.
语言表述:
两数和(差)的平方等于这两数的平方和加 上(减去)这两数乘积的两倍.
2
纠错练习
指出下列各式中的错误，并加以改正：
(1) (2x−3y)2＝2x2+3y2; (2) (2x+3y)2＝2x2+ 2(2x)(3y)+3y2 ； (3) (2x−3y)2＝(2x)2+ 2(2x)(3y)+(3y)2. 解: (1) 首项、末项被平方时, 未添括号;
少了第一数与第二数乘积的2倍 (丢了一项) :2•(2x)•(3y) ; (2) 少了第一数与第二数乘积的2倍 (丢了一项) :2•(2x)•(3y) ;
解：(1) (2x−3)2 = ( 2x ) 2 − 2 • 2x • 3 + 3 2 = 4x2 − 12x + 9 ;
随堂练习
1、计算：
1 1 x 2 y 2
2
1 2 2 xy x 5
2
3 n 1
2
n
2
4 3mn 2
2、下列运算中，正确的有
：
1、 a 3 a 6a 9 2 2 2 2 、 ab c ab 2abc c 2 2 3 、 a 2 a 2a 4 2 2 2 4 、 m n m 2mn n
2 2
4 2 2 2 5、 x y x y 3 9
2
拓展练习
下列等式是否成立? 说明理由．
(1) (4a+1)2=(1−4a)2；成立
(2) (4a−1)2=(4a+1)2；成立
(3) (4a−1)(1−4a)＝(4a−1)(4a−1)＝(4a−1)2；不成立．
(4) (4a−1)(1−4a)＝(4a−1)(4a+1). 不成立．
理由:
(1) 由加法交换律 4a+l＝l−4a。 (2) ∵ 4a−1＝(4a+1)，
∴(4a−1)2＝[(4a+1)]2＝(4a+1)2.
(3) ∵ (1−4a)＝−(1+4a) ＝(4a−1)， 即 (1−4a)＝(4a−1) ∴ (4a−1)(1−4a)＝(4a−1)·[(4a−1)] ＝(4a−1)(4a−1)＝(4a−1)2。 (4) 右边应为: (4a−1)(4a+1)。
例 2 (试试看!)
运用完全平方公式计算 （1） （-b² +4a）² 1． 2． 3． （2） （-2x-3y）²
想一想：哪个是a ？哪个是b？ 计算 你还能用其他方法计算吗？试试看！
例3 利用完全平方公式计算：(1) 1022 ;
解: 102²=（100+2）²
(2) 1972 .
解: 197² =（200-3）²
(3) 正确.
纠错练习
指出下列各式中的错误，并加以改正： (1) (2a−1)2＝2a2−2a+1; (2) (2a+1)2＝4a2 +1； (3) (a−1)2＝a2−2a−1. 解: (1) 第一数被平方时, 未添括号;
第一数与第二数乘积的2倍 少乘了一个2 ; 应改为: (2a−1)2＝ (2a)2−2•2a•1+1; (2) 少了第一数与第二数乘积的2倍 (丢了一项); 应改为: (2a+1)2＝ (2a)2+2•2a•1 +1; (3) 第一数平方未添括号, 第一数与第二数乘积的2倍 错了符号; 第二数的平方 这一项错了符号; 应改为: (a−1)2＝(a)2−2•(a )•1+12;
推证 (a+b)2 = (a+b) (a+b) =a2+ab+ ab+b2
=a2+2ab+ b2; 利用两数和的 完全平方公式 推证公式
(a−b)2= [a+(−b)]2 = a 2 + 2 a (−b) + (−b) 2 + b2. = a2 − 2ab

初识完全平方公式
(a+b)2 = a2+2ab+b2 . (a−b)2 = a2−2ab+b2 .
做一做 一块边长为a米的正方形实验 田， 因需要将其边长增加 b 米。形成四块实 验田，以种植不同的新品种(如图1—6). 用不同的形式 表示实验田的总面 积, 并进行比较.
b
探索:
你发现了什么?
a
a
图1—6
b
直 接 法一 求 间 接 法二 求
总面积= (a+b)2 ；
总面积= a2+ ab+ ab+ b2.
1.8
完全平方公式（一）
回顾 & 思考 ☞
平方差公式 (a+b)(a−b)= a2 − b2
公式的结构特征: 左边是 两个二项式的乘积, 即两数和与这两数差的积. 右边是 两数的平方差.
应用平方差公式的注意事项:
☾ 弄清在什么情况下才能使用平方差公式:
对于一般两个二项式的积, 看准有无相等的“项”和 符号相反的“项”; 仅当把两个二项式的积变 成公式标准形式后，才能使用平方差公式。 在解题过程中要准确确定a和b、对照公式原 形的两边, 做到不弄错符号、当第一(二)数是乘积 且被平方时 要注意添括号, 是运用平方差公式进 行多项式乘法的关键。